Semana6_Ejerc_Clase_Distr_Normal_Expon

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Ejemplo 4.11  
En el estudio del ingreso en la población, se sabe que éste se distribuye de forma 
normal con un ingreso promedio de $345 y una desviación estándar de $46 . Si 
se elige un ciudadano al azar, 
a. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo inferior a $280? 
p(X<280) =p(Z<-1.41) = 0.07927 
 =-1.41 Z = σ
x μ− = 46
280 345− 
 
b. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $324? 
P(X>324) = p(Z>-0.46) = p(Z<0.46) = 0.67724 
=-1.41 Z = σ
x μ− = 46
324 345− 
 
c. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $400? 
 
d. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo entre $300 y $360? 
P(300<X<360) = p(-0.98<Z<0.33) = p(Z<0.33) – p(Z<-0.98) = 
= 0.62930-0.16354=0.46576 
X1 = 300 🡪 = -0.98 Z1 = σ
x μ1− = 46
300 345− 
X2= 360 🡪 .33Z2 = σ
x μ2− = 46
360 345− = 0 
 
e. ¿Cuál es el ingreso que es superado por el 80% de esa población? 
P(X>x) = 0.8 
P(Z>z) = 0.8 
P(Z<z) = 0.2 🡪 z= (-0.85-0.84)/2 = -0.845 
 
 Z = σ
x μ− 
.845 − 0 = 46
x 345− 🡪 X=306.13$ 
 
 
a) P(X<5000) 
 
b) P(X>x) = 0.95 🡪 p(Z>z) = 0.95 🡪 p(Z<z) = 0.05 🡪 Z= (-1.65-1.64)/2 = -1.645 
 Z = σ
x μ− 
-1.645=(x-7000)/600 🡪 X=6013 
 
c) X>7000 p(X>7000 ∩ X>7000 ∩ X>7000) = [p(X>7000)] 3 = 
=0.5 3 = 0.125 
 
 
 
DISTRIBUCION EXPONENCIAL 
 
 
X (intervalos entre suceso) es v.a Exponencial de parámetro λ (número promedio de sucesos 
por intervalo), entonces se definen: 
 Func.Distrib: P(X<=x)= 1-p(X>x) = F(x) = 1 − e x− 
 Func. Densid, f(x) = (d/dx)F(x) = e x− 
Medidas descrip�vas: E(x) = u = 1/λ , Var(x) = 1/λ 2 
 
Ejemplo 4.21  
Sea X: “tiempo entre las detecciones de una partícula rara por contador Geiger” una v.a 
exponencial con media de 1.4 minutos; 
a. c uál es la probabilidad de detectar una partícula rara durante un lapso de 30 
segundos desde que se enciende el contador? 
 
Media: u = 1/ λ 🡪 λ =1/u = 1/1.4 
P(X<30 seg) = p(X<0.5 min) = 1 – e - λ x = 1 - e -(1/1.4)0.5 = 0.30033 
 
 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera partícula se presente 
después de 1 minuto? 
P(X>1) = .489541e ( )1− 11.4 = 0 
 
c. ¿Cuál es el tiempo superado en el 5% de las ocasiones hasta que 
se presente una nueva partícula? 
P(X>x) = 0.05 
 .05e ( )x− 11.4 = 0 
Ln( ) n (0.05)e ( )x− 11.4 = l 
X = / n − ln l (0.05) ( 11.4) 
 =4.1940 
 
 
V.a. Poisson v.a. Exponencial Parámetro 
N: Número de baches en un 
km de carretera 
X: Distancia recorrida 
(km) hasta encontrar un 
primer bache (nuevo 
bache). 
Distancia entre baches 
λ: Número promedio de baches 
por km de carretera 
N: número de sucesos por 
intervalo 
X: intervalo entre sucesos 
(intervalo hasta el primer 
suceso) 
λ: Número promedio de sucesos 
por intevalo 
P(N= N ) = N !
e (x)x− N 
P(N= 0 ) = = =p(X>x) 0!
e (x)x− 0 e x− 
 
Ej: 
λx =2.1(1) intervalo: 1km 
λx=2.1(2) intervalo: 2km 
λx =2.1(0.1) intervalo: 100m