Distribuciones Discretas Especiales - Letras Nocturnas

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Probabilidad y Estadística 
 
 
Universidad de Sonora 
 
 
Probabilidad y estadística 
 
 
 
 
 
DISTRIBUCIONES DISCRETAS ESPECIALES 
 
1. DISTRIBUCION DE BERNOULLI 
 
Definición: 
Un ensayo de Bernoulli, es un experimento aleatorio “ ” que tiene asociados dos posibles resultados, 
llamados E :”éxito” y F :”fracaso”, con pEP =)( y pFP −=1)( . 
 
Definición: 
Supóngase que se tiene un ensayo de Bernoulli. Definimos la variable aleatoria discreta 
Exito
Fracaso
ocurre
ocurre
si
si
X



=
1
0
 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X tiene una Distribución 
de Bernoulli con parámetro p ”, lo cual denotamos “𝑋 ≅ 𝐵𝐸(𝑝)”. 
 
Además: 
a. El rango de X es 𝑅𝑋 = {0, 1} 
b. La función de distribución de probabilidades de X es 
 
1
01
)(
=
=


 −
=
k
k
sip
sip
kPX 
c. El valor esperado de X es 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑝 
 
𝐸(𝑋) = (0)𝑃𝑋(0) + (1)𝑃𝑋(1) = (0)(1 − 𝑝) + (1)(𝑝) = 𝑝 
 
d. La varianza de X es 𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) 
 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = (0 − 𝑝)2𝑃𝑋(0) + (1 − 𝑝)
2𝑃𝑋(1) = (0 − 𝑝)
2(1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2(𝑝) 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = (𝑝)2(1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2(𝑝) = [𝑝(1 − 𝑝)][𝑝 + (1 − 𝑃)] 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) 
 
 
e. La Desviación Estándar es 𝜎 = √𝑉(𝑋) = √𝑝(1 − 𝑝) 
Probabilidad y Estadística 
 
 
2. DISTRIBUCION BINOMIAL 
 
Definición: 
Supóngase que se efectúan n -repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli. Sí definimos la 
variable aleatoria discreta X como: 
X = Nº de éxitos observados en las n -repeticiones independientes del experimento. 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X , posee una 
Distribución Binomial con parámetros n y p ”, lo cual denotamos “𝑋 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝)”. 
 
Además, 
a. El rango de X es 𝑅𝑋 = {0, 1, 2, 3, … . , 𝑛 − 1, 𝑛} 
b. La función de distribución de probabilidades de X es: 
 
𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑘
𝑛𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 
 
OBSERVACIONES: 
Supóngase que se efectúan n -repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli (EB). 
Para cada repetición INDEPENDIENTE de EB, definimos las variables aleatorias discretas 
𝑋𝑖 ≅ 𝐵𝐸(𝑝) con i= 1, 2, 3, 4, ….., n, con esto tenemos n v.a.d. independientes, 
 
∑𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛:Número de éxitos: 𝑋 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝) 
Si 𝑋 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝), entonces 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋𝑛 con 𝑋𝑖 ≅ 𝐵𝐸(𝑝) e 
independientes 
 
c. El valor esperado de X es 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 
𝐸(𝑋) = (0)𝐶0
𝑛𝑝0(1− 𝑝)0+ (1)𝐶1
𝑛𝑝1(1− 𝑝)𝑛−1+⋯+ (𝑛)𝐶𝑛
𝑛𝑝𝑛(1− 𝑝)0 Por Definición 
de valor esperado 
 
Apliquemos propiedades del valor esperado 
𝐸(𝑋) = 𝐸(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 ) = ∑ 𝐸(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑝
𝑛
𝑖=1 = 𝒏𝒑 con 𝑋𝑖 ≅ 𝐵𝐸(𝑝) 
 
d. La varianza de X es 𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
 
Vamos aplicar las propiedades de varianza 
𝑉(𝑋) = 𝑉(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 ) = ∑ 𝑉(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑝
𝑛
𝑖=1 (1 − 𝑝) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) con 𝑋𝑖 ≅ 𝐵𝐸(𝑝) 
 
e. La Desviación Estándar es 𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. DISTRIBUCION GEOMÉTRICA 
Probabilidad y Estadística 
 
 
Definición: 
Supóngase que se efectúan repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli, hasta que ocurre la 
primer repetición exitosa. Sí definimos la variable aleatoria discreta X como: 
X = Nº de repeticiones de ensayos de Bernoulli, necesarios para obtener la primer repetición 
exitosa 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X , posee una 
Distribución Geométrica con parámetro p ”, lo cual denotamos “𝑋 ≅ 𝐺(𝑝)”. 
 
Además, 
a. El rango de X es ,......}4,3,2,1{=XR 
b. La función de distribución de probabilidades de X es 
𝑃𝑋(𝑘) = (1 − 𝑝)
𝑘−1𝑝 
X=k: F1, F2, F3,….., Fk-1, Ek 
 
c. El valor esperado de X es, 𝐸(𝑋) = 
1
𝑝
 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖
𝑥𝑖∈𝑅𝑋
𝑃𝑋(𝑥𝑖) = ∑𝑘
∞
𝑘=1
𝑃𝑋(𝑘) = ∑𝑘(1− 𝑝)𝑘−1𝑝
∞
𝑘=1
= (𝑃)∑(𝑘)
∞
𝑘=1
(1 − 𝑝)𝑘−1 
 
𝑆𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
 
𝐸(𝑋) = (𝑃)∑(𝑘)
∞
𝑘=1
(𝑞)𝑘−1 = 𝑝∑(
𝑑
𝑑𝑞
 (𝑞)𝑘)
∞
𝑘=0
= (𝑝)
𝑑
𝑑𝑞
∑(𝑞)𝑘
∞
𝑘=0
 
 
∑(𝑞)𝑘
∞
𝑘=0
: 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 
1
1 − 𝑞
 
𝐸(𝑋) = (𝑝)
𝑑
𝑑𝑞
(
1
1 − 𝑞
) = (𝑝)
𝑑
𝑑𝑞
(1 − 𝑞)−1 = (𝑝)[(−1)(1 − 𝑞)−2(−1)] = 
𝑝
(1 − 𝑞)2
= 
𝑝
𝑝2
= 
1
𝑝
 
 
d. La varianza de X es, 
2
)1(
)(
p
p
XV
−
= 
e. La desviación estándar de X es, 
2
)1(
p
p
X
−
= 
f. 
 
 
4. DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA (PASCAL) 
 
Definición: 
Supóngase que se efectúan repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli, hasta que ocurren 
las primeras r repeticiones exitosas. Sí definimos la variable aleatoria discreta X como: 
 
X = Nº de repeticiones de ensayos de Bernoulli, necesarios para obtener la r -ésima repetición 
exitosa. 
 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X , posee una 
Distribución Binomial Negativa o de Pascal con parámetro r y p ”, lo cual denotamos “𝑋 ≅ 𝐵𝑁(𝑟, 𝑝)”. 
Probabilidad y Estadística 
 
 
Además, 
a. El rango de X es ,......}1,{ += rrRX 
b. La función de distribución de probabilidades de X es: 
𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑟−1
𝑘−1 𝑝𝑟(1 − 𝑝)𝑘−𝑟 
 
X = K: F, F, …F, E1, F, .., E2, ……E3, ……., F, Er-1, ……,F, Er 
 
OBSERVACIÓN: 
Si 𝑋 ≅ 𝐵𝑁(𝑟, 𝑝) tenemos que: 
𝜀: “Realizar repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli, hasta que ocurren las primeras 
r repeticiones exitosas” , se puede expresar como: 
𝜀: 𝜀1 → 𝜀2 → 𝜀3 → ⋯ . .→ 𝜀𝑟, donde: 
𝜀1: 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐵. , ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 é𝑥𝑖𝑡𝑜" 
𝜀2: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 é𝑥𝑖𝑡𝑜, 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐵. , ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 é𝑥𝑖𝑡𝑜" 
𝜀3: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 é𝑥𝑖𝑡𝑜, 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐵. , ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 é𝑥𝑖𝑡𝑜" 
 
. 
. 
 
𝜀𝑟: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 é𝑥𝑖𝑡𝑜 (𝑟 − 1), 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐵. , ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑟" 
 
Para cada experimento definimos las variables 
𝑋𝑖: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐵. ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 é𝑥𝑖𝑡𝑜", para las cuales 
se tiene que 𝑋𝑖 ≅ 𝐺(𝑝) 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Por otra parte: 
𝑋 =∑𝑋𝑖
𝑟
𝑖=1
= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 +⋯+ 𝑋𝑟 
c. El valor esperado de X es, 
p
r
XE =)( 
𝐸(𝑋) = 𝐸 (∑𝑋𝑖
𝑟
𝑖=1
) =∑𝐸(𝑋𝑖)
𝑟
𝑖=1
=∑
1
𝑝
𝑟
𝑖=1
= (𝑟)(
1
𝑝
) 
 
d. La varianza de X es, 
2
)1(
)(
p
pr
XV
−
= 
𝑉(𝑋) = 𝑉 (∑𝑋𝑖
𝑟
𝑖=1
) =∑𝑉(𝑋𝑖)
𝑟
𝑖=1
=∑
(1 − 𝑝)
𝑝2
𝑟
𝑖=1
= (𝑟)(
(1 − 𝑝)
𝑝2
) 
e. La desviación estándar de X es, 
2
)1(
p
pr
X
−
= 
 
 
 
 
 
 
5. DISTRIBUCION DE POISSON 
Probabilidad y Estadística 
 
Definición (Proceso de Poisson) 
Dado un intervalo de número reales, supóngase que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho 
intervalo. Si este intervalo se puede dividir en subintervalos suficientemente pequeños, tales que: 
i. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero; 
ii. Para cada subintervalo la probabilidad de que ocurra un éxito es constante, y proporcional a la 
longitud de estos; 
iii. El conteo de ocurrencias de éxitos en cada subintervalo es independiente de los demás. 
Diremos que el proceso es de Poisson 
 
p 2p 3p p p p p p p p p p p 
 
Definición: 
Supóngase que se efectúan repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli durante un intervalo (0, 
t), si definimos la variable aleatoria discreta X como: 
 
X = Nº de éxitos observados durante elintervalo (0, t) 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X , posee una Distribución 
de Poisson con parámetro  ”, lo cual denotamos “ )(PX  ”. Donde  es el número de éxitos que se 
esperan observar, en promedio, durante el intervalo (0, t). 
 
Además, 
 
a. El rango de X es ,......}3,2,1,0{=XR 
b. La función de distribución de probabilidades de X es: 
!
)(
k
e
kP
k
X
 −
= 
 
 
𝑆𝑖 𝑌 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝), lim
𝑛→∞
𝑃𝑌(𝑘) = lim
𝑛→∞
 𝐶𝑘
𝑛𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = 
𝛼𝑘𝑒−𝛼
𝑘!
 
c. El valor esperado de X es, =)(XE 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖
𝑥𝑖∈𝑅𝑋
𝑃𝑋(𝑥𝑖) = ∑𝑘
∞
𝑘=0
𝑃𝑋(𝑘) = ∑(𝑘)(
∞
𝑘=0
𝛼𝑘𝑒−𝛼
𝑘!
) = ∑(𝑘)(
𝛼𝛼𝑘−1𝑒−𝛼
𝑘[(𝑘 − 1)!]
)
∞
𝑘=0
 
𝐸(𝑋) = 𝛼∑ (∞𝑘=1
𝛼𝑘−1𝑒−𝛼
[(𝑘−1)!]
), haciendo 𝑟 = 𝑘 − 1, tenemos que 
𝐸(𝑋) = 𝛼∑
𝛼𝑟𝑒−𝛼
𝑟!
∞
𝑟=0
= 𝛼 
 
d. La varianza de X es, =)(XV 
e. La desviación estándar de X es,  =X 
 
 
 
 
 
6. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 
Probabilidad y Estadística 
 
 
 
Definición: 
Supóngase que se tienen N -objetos, de los cuales r son de la clase “éxito” y )( rN − son de la 
clase “fracaso”. Suponga además, que seleccionamos n -objetos sin sustitución, sí definimos la 
variable aleatoria discreta X como: 
X = Nº de objetos de la clase éxito, seleccionados en la muestra de tamaño n 
X = Nº de éxitos observados en las n -repeticiones NO independientes del experimento 
 
Diremos que, bajo las condiciones anteriores, “la variable aleatoria discreta X , posee una 
Distribución Hipergeométrica con parámetros N , n y r ”, lo cual denotamos “ ),,( rnNHX  ”. 
a. El rango de X es },....,2,1,0{ rónRX = 
N= 20 personas, de las cuales 5(r) mujeres (E) y 15(N-r) hombres (F), y 
Seleccionamos 4 (n) personas sin sustitución ➔ {0, 1, 2, 3, 4} 
Seleccionamos 6(n) personas sin sustitución ➔ el rango es {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
b. La función de distribución de probabilidades de X es: 
N
n
rN
kn
r
k
X
C
CC
kP
−
−=)( = 
#(𝐴)
#(Ω)
 
 
c. El valor esperado de X es, )()(
N
r
nXE = 
d. La varianza de X es, )
1
)()(()(
−
−−
=
N
nN
N
rN
N
r
nXV 
e. La desviación estándar de X es, )
1
)()((
−
−−
=
N
nN
N
rN
N
r
nX 
 
Problema: Sea X una variable aleatoria cuya distribución es Binomial con parámetros n = 10 y p = 0.40. 
𝑋 ≅ 𝐵(10, 0.40) ➔ 𝑅𝑋 = {0, 1, 2, …… , 10} y la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑘
10 (0.40)𝑘 (0.60)10−𝑘 
Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: 
a. 𝑃(𝑋 > 3) = 𝑃𝑋(4) + 𝑃𝑋(5) +⋯ .+𝑃𝑋(10) 
𝑃(𝑋 > 3) = 𝐶4
10 (0.40)4 (0.60)6 + 𝐶5
10 (0.40)5 (0.60)5 +⋯ . . +𝐶10
10 (0.40)10 (0.60)0 = 0.61772 
 
Otra forma de determinar la probabilidad 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3)] 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 − [𝐶0
10 (0.40)0 (0.60)10 + 𝐶1
10 (0.40)1 (0.60)9 + 𝐶2
10 (0.40)2 (0.60)8
+ 𝐶3
10 (0.40)3 (0.60)7] = 1 − 0.38228 = 0.61772 
 
b. 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3) +⋯ .+𝑃𝑋(9) 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 𝐶2
10 (0.40)2 (0.60)8 + 𝐶3
10 (0.40)3 (0.60)7 +⋯ .+𝐶9
10 (0.40)9 (0.60)1 = 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 𝑃(𝑋 ≤ 9) − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0.9999 − 0.04636 = 0.95363 
 
Otra forma de determinar la probabilidad 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(10)] 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 1 − [𝐶0
10 (0.40)0 (0.60)10 + 𝐶1
10 (0.40)1 (0.60)9 + 𝐶10
10 (0.40)10 (0.60)0] 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 1 − [0.00605 + 0.04031 + 0.0001] = 0.95363 
 
Probabilidad y Estadística 
 
 
c. 𝑃(𝑋 > 5) = 𝑃𝑋(6) + 𝑃𝑋(7) + 𝑃𝑋(8) + 𝑃𝑋(9) + 𝑃𝑋(10) 
𝑃(𝑋 > 5) = 𝐶6
10 (0.40)6 (0.60)4 + 𝐶7
10 (0.40)7 (0.60)3 +⋯ .+𝐶10
10 (0.40)10 (0.60)0 = 0.16624 
 
d. 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = (10)(0.40) = 4 
e. 𝑉(𝑋) = 𝑛(𝑝)(1 − 𝑝) = (10)(0.40)(0.60) = 2.4 
f. 𝜎𝑋 = √𝑛(𝑝)(1 − 𝑝) = √(10)(0.40)(0.60) = √2.4 = 1.5491 
 
 
Problema: Sea X una variable aleatoria cuya distribución es Poisson con parámetro 𝛼 =
 0.6 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: 
La f.d. p. de X es 𝑃𝑋(𝑘) = 
∝𝑘𝑒−∝
𝑘!
 Con 𝑅𝑋 = {0, 1, 2, 3, … } 
a. Observar más de tres éxitos en un minuto 
∆𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 ➔ 𝛼 = 0.6 por lo que la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 
(0.6)𝑘𝑒−0.6
𝑘!
 
𝑃(𝑋 > 3) = 𝑃𝑋(4) + 𝑃𝑋(5) + 𝑃𝑋(6) +⋯ 
𝑃(𝑋 > 3) = 
(0.6)
4
𝑒−0.6
4!
+
(0.6)
5
𝑒−0.6
5!
+
(0.6)
6
𝑒−0.6
6!
+⋯ = 0.00336 
 
Otra forma de determinar la probabilidad 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3)] 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 − [
(0.6)0𝑒−0.6
0!
+
(0.6)1𝑒−0.6
1!
+
(0.6)2𝑒−0.6
2!
+
(0.6)3𝑒−0.6
3!
] = 1− 0.99664 = 
 
b. Observar a lo más 4 éxitos en 5 minutos 
 
∆𝑡 = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ➔ 𝛼 = 3 por lo que la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 
(3)𝑘𝑒−3
𝑘!
 
𝑃(𝑋 ≤ 4) = 𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4) 
𝑃(𝑋 ≤ 4) = 
(3)
0
𝑒−3
0!
+
(3)
1
𝑒−3
1!
+
(3)
2
𝑒−3
2!
+
(3)
3
𝑒−3
3!
+
(3)
4
𝑒−3
4!
= 0.81526 
 
 
c. ¿Cuántos éxitos esperamos en 10 minutos? 
∆𝑡 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ➔ 𝛼 = 6 ➔ 𝑬(𝑿) = 𝝁𝑿 = 𝛼 = 6 
 
Problema: Los empleados de cierta oficina llegan al reloj marcador a una tasa promedio de 1.5 por minuto. ¿Cuál 
es la probabilidad de que: 
𝐸: "𝐸𝑙 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟" 𝑃(𝐸) = ¿ ? 
𝑋:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 
La v.a.d. 𝑋 ≅ 𝑃(𝛼) y su f.d.p. es 𝑃𝑋(𝑘) = 
∝𝑘𝑒−∝
𝑘!
 Con 𝑅𝑋 = {0, 1, 2, 3, … } 
 
a. a lo más 4 empleados lleguen en un minuto cualquiera? 
𝑆𝑖 ∆𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 1.5 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 ➔ 𝑃𝑋(𝑘) = 
(1.5)𝑘𝑒−(1.5)
𝑘!
 
𝑃(𝑋 ≤ 4) = 𝑃𝑋(0)+𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2)+𝑃𝑋(3) +𝑃𝑋(4) 
Probabilidad y Estadística 
 
𝑃(𝑋 ≤ 4) = 
(1.5)0𝑒−(1.5)
0!
+
(1.5)1𝑒−(1.5)
1!
+
(1.5)2𝑒−(1.5)
2!
+
(1.5)3𝑒−(1.5)
3!
+
(1.5)4𝑒−(1.5)
4!
= 0.98142 
b. al menos 3 empleados lleguen en un intervalo de 2 minutos? 
𝑆𝑖 ∆𝑡 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 3 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 ➔ 𝑃𝑋(𝑘) = 
(3)𝑘𝑒−(3)
𝑘!
 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃𝑋(3)+𝑃𝑋(4) +𝑃𝑋(5) + ⋯ 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 
(3)3𝑒−(3)
3!
+
(3)4𝑒−(3)
4!
+
(3)5𝑒−(3)
5!
+⋯ = 0.19115 
 
Otra forma de calcular la probabilidad 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − [𝑃𝑋(0)+𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2)] 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − [
(3)0𝑒−(3)
0!
+
(3)1𝑒−(3)
1!
+
(3)2𝑒−(3)
2!
] = 1 − 0.80885 = 0.19115 
 
c. ¿cuántos empleados se espera que lleguen en 8 minutos? 
𝑆𝑖 ∆𝑡 = 8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 12 ➔ 𝑬(𝑿) = 𝝁𝑿 = 𝛼 = 12 
Esperamos que un período de 8 minutos, lleguen en promedio 12 empleados al reloj marcador 
 
Problema: Un cliente entra a una agencia de autos cada hora. La probabilidad de que una vendedora cierre una 
transacción es 0.1. Si ella está determinada a continuar trabajando hasta que venda tres autos, 
𝐸: "𝐿𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑢𝑡𝑜)" 
con 𝑃(𝐸) = 0.1 𝑦 𝑃(𝐹) = 0.9 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝/𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝜀: "𝑂𝑓𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 3 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠" 
𝑋: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 (ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) , ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
𝑋 ≅ 𝐵𝑁(3, 0.1) ➔ 𝑹𝑿 = {3, 4, 5, 6,… . }➔ 𝑷𝑿(𝒌) = 𝐶2
𝑘−1(0.1)3(0.9)𝑘−3 
 ¿cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar ocho horas?, 
𝑃𝑋(8) = 𝐶2
7(0.1)3(0.9)5 = 0.0124 
 
¿y más de ocho horas? 
𝑃(𝑋 > 8) = 𝑃𝑋(9) + 𝑃𝑋(10) + 𝑃𝑋(11) + ⋯ = 𝐶2
8(0.1)3(0.9)6 + 𝐶2
9(0.1)3(0.9)7 +⋯
= 0.96191 
 
Otra forma de calcular la probabilidad 
𝑃(𝑋 > 8) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 8) = 1 − [𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4) + ⋯+ 𝑃𝑋(8)] 
𝑃(𝑋 > 8) = 1 − [𝐶2
2(0.1)3(0.9)0 + 𝐶2
3(0.1)3(0.9)1 +⋯+ 𝐶2
7(0.1)3(0.9)5] = 1 − 0.03809 
 
 
Problema: Se estima que el 60% de la población de consumidores prefiere la marca A en pasta dental. Si se realizan 
una serie de entrevistas hasta encontrar la primera persona que prefiere la marcaA. Encuentre la probabilidad de 
que: 
𝐸: " 𝐸𝑙 consumidor prefiere la marca A en pasta dental" 
➔𝑃(𝐸) = 𝑝 = 0.60 𝑦 𝑃(𝐹) = 0.40 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 Las entrevistas son independientes 
𝜀: "Realizar una serie de entrevistas, hasta encontrar la primera persona que prefiere la marca A" 
𝑋:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 , hasta encontrar la primera persona que prefiere la marca A" 
Por las condiciones anteriores diremos que 𝑋 ≅ 𝐺(0.60), por lo tanto, 
𝑹𝑿 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … . }➔ 𝑷𝑿(𝒌) = (0.40)
𝑘−1(0.60) 
 
Probabilidad y Estadística 
 
a. requiera entrevistar por lo menos dos consumidores; 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑷𝑿(𝟐) +𝑷𝑿(𝟑) + 𝑷𝑿(𝟒) + ⋯ = 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = (0.40)1(0.60) + (0.40)2(0.60)+ (0.40)3(0.60)+⋯ = 0.4 
Otra forma de calcular la probabilidad 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 𝑷𝑿(𝟏) = 1 − (0.40)
0(0.60) = 0.40 
 
 
b. se entrevisten a lo más cinco consumidores. 
𝑃(𝑋 ≤ 5) = 𝑷𝑿(𝟏) + 𝑷𝑿(𝟐) + 𝑷𝑿(𝟑) + 𝑷𝑿(𝟒)+ 𝑷𝑿(𝟓) 
𝑃(𝑋 ≤ 5) = (0.40)0(0.60)+ (0.40)1(0.60) + (0.40)2(0.60)+ (0.40)3(0.60)+ (0.40)4(0.60)
= 0.98976 
 
c. ¿cuántos consumidores se requiere entrevistar para encontrar al primero que prefiere la marca A? 
𝐸(𝑋) = 
1
𝑝
= 
1
0.60
= 1.66 
 
Esperamos que, en promedio entrevistar a 1.66 personas, para encontrar a la primera que prefiere la marca A 
en pasta dental 
 
 
Problema: Aproximadamente, el 45% de una población, pertenece al grupo sanguíneo O. Si se hacen pruebas 
sucesivas para detectar a la primera persona que tiene este tipo de sangre, determine 
 
𝐸: " 𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 pertenece al grupo sanguíneo O" 
➔𝑃(𝐸) = 0.45 𝑦 𝑃(𝐹) = 0.55 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. Las pruebas son independientes 
𝜀: "Realizar una pruebas, hasta encontrar la primera persona que pertenece al grupo sanguíneo O" 
𝑋:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 pruebas, hasta encontrar la primera persona que pertenece al grupo sanguíneo O" 
 
Por las condiciones anteriores diremos que 𝑋 ≅ 𝐺(0.45) = 𝐵𝑁(1, 0.45), por lo tanto, 
➔ 𝑹𝑿 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,… . } y la fdp es 𝑷𝑿(𝒌) = (0.55)
𝑘−1(0.45) 
 
a. la probabilidad de que se realicen entre 2 y 8 pruebas, 
 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4)+ 𝑃𝑋(5) + 𝑃𝑋(6) + 𝑃𝑋(7) 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = (0.55)2(0.45) + (0.55)3(0.45) + (0.55)4(0.45) + (0.55)5(0.45) + (0.55)6(0.45) 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = 𝑃(𝑋 ≤ 7) − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.98478 − 0.6975 = 0.91503 
 
 
b. la probabilidad de que se hagan al menos tres pruebas 
 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4)+ 𝑃𝑋(5) + 𝑃𝑋(6) + ⋯ 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = (0.55)2(0.45) + (0.55)3(0.45) + (0.55)4(0.45) + (0.55)5(0.45) + ⋯ = 0.3025 
 
Otra forma de determinar la probabilidad es 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − [𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2)] = 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − [(0.55)0(0.45) + (0.55)1(0.45)] 
 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − [0.6975] = 0.3025 
 
 
Problema: Aproximadamente, el 45% de una población, pertenece al grupo sanguíneo O. Si se hacen 20 pruebas 
sucesivas, determine 
Probabilidad y Estadística 
 
 
𝐸: " 𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 pertenece al grupo sanguíneo O" 
➔𝑃(𝐸) = 0.45 𝑦 𝑃(𝐹) = 0.55 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. Las pruebas son independientes 
𝜀: "Realizar pruebas a las 20 personas" 
𝑋:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 personas que pertenece al grupo sanguíneo O 
 
Por las condiciones anteriores diremos que 𝑋 ≅ 𝐵(20, 0.45), por lo tanto, 
➔ 𝑹𝑿 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 20} y la fdp es 𝑷𝑿(𝒌) = 𝐶𝑘
20(0.45)𝑘(0.55)20−𝑘 
 
a. la probabilidad de que entre 2 y 8 personas pertenezcan al grupo sanguíneo O, 
 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4)+ 𝑃𝑋(5) + 𝑃𝑋(6) + 𝑃𝑋(7) 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = 𝐶3
20
(0.45)3(0.55)17 + 𝐶4
20
(0.45)4(0.55)16 + 𝐶5
20
(0.45)5(0.55)15
+ 𝐶6
20
(0.45)6(0.55)14 + 𝐶7
20
(0.45)7(0.55)13 
𝑃(2 < 𝑋 < 8) = 𝑃(𝑋 ≤ 7) − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.25201 − 0.00093 = 
b. la probabilidad de que al menos tres personas pertenezcan al grupo sanguíneo O 
 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4)+ 𝑃𝑋(5) + 𝑃𝑋(6) + ⋯+ 𝑃𝑋(20) 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝐶3
20
(0.45)3(0.55)17 + 𝐶4
20
(0.45)4(0.55)16 + 𝐶5
20
(0.45)5(0.55)15 +⋯
+ 𝐶20
20
(0.45)20(0.55)0 = 0.99907 
 
Otra forma de determinar la probabilidad es 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − [𝑃𝑋(0)+𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2)] = 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − [𝐶0
20
(0.45)0(0.55)20 + 𝐶1
20
(0.45)1(0.55)19 + 𝐶2
20
(0.45)2(0.55)18] 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 0.00093 = 
 
 
 
Problema: Una bolsa contiene 18 focos de los cuales 8 están en buen estado. Se seleccionan al azar 5 focos y se 
prueban. Encuentre la probabilidad de que: 
𝜀: "𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 5 focos " 
𝐸: "𝐸𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑏𝑢𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜" ➔ 𝑃(𝐸) = 𝑝 𝑦 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑝 ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠?𝑁𝑂, por lo tanto la 
selección de focos NO es independiente 
𝑋: "𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑏𝑢𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 5 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠" 
𝑋 ≅ 𝐻(18, 5, 8) 
➔ 𝑅𝑋 = {0, 1, 2,… , 5} y la f.d.p. es 𝑃𝑋(𝑘) = 
𝐶𝑘
8𝐶5−𝑘
10
𝐶5
18 
 
a. a lo más 3 estén en buen estado; 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3) 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 
𝐶0
8𝐶5
10
𝐶5
18
+ 
𝐶1
8𝐶4
10
𝐶5
18
+ 
𝐶2
8𝐶3
10
𝐶5
18
+
𝐶3
8𝐶2
10
𝐶5
18
= 0.91176 
 
Otra forma de calcular es: 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 > 3) = 1 − [𝑃𝑋(4) + 𝑃𝑋(5)] = 1 − [
𝐶4
8𝐶1
10
𝐶5
18
+ 
𝐶5
8𝐶0
10
𝐶5
18
] 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − 0.08824 = 0.91176 
 
b. al menos uno esté en buen estado. 
Probabilidad y Estadística 
 
 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3)+𝑃𝑋(4) + 𝑃𝑋(5) 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 
𝐶1
8𝐶4
10
𝐶5
18
+ 
𝐶2
8𝐶3
10
𝐶5
18
+
𝐶3
8𝐶2
10
𝐶5
18
+ 
𝐶4
8𝐶1
10
𝐶5
18
+ 
𝐶5
8𝐶0
10
𝐶5
18
= 0.97059 
 
Ó 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃𝑋(0) = 1 − 
𝐶0
8𝐶5
10
𝐶5
18
= 1 − 0.02941 
 
 
 
 
Problema: Se afirma que el 5% de los fusibles producidos por una fábrica son defectuosos. Si seleccionamos 20 
de tales fusibles, calcule la probabilidad de que: 
𝐸: "𝐸𝑙 𝑓𝑢𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜" ➔ 𝑃(𝐸) = 𝑝 = 0.05 𝑦 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑝 = 0.95 son constantes, por lo tanto, la 
selección de fusibles son independientes. 
𝜀: "𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 20 𝑓𝑢𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠" 
𝑋: "𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 20 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠" 
𝑋 ≅ 𝐵(20, 0.05) ➔𝑹𝑿 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟐𝟎} y la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑘
20 (0.05)𝑘 (0.95)20−𝑘 
 
a. al menos 4 fusibles sean defectuosos; 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 𝑃𝑋(4) + 𝑃𝑋(5) + ⋯…+ 𝑃𝑋(20) 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 𝐶4
20 (0.05)4 (0.95)16 + 𝐶5
20 (0.05)5 (0.95)15 +⋯+ 𝐶20
20 (0.05)20 (0.95)0 = 0.0159 
 
Otra forma de calcular la probabilidad: 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 < 4) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3)] 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − [𝐶0
20 (0.05)0 (0.95)20 + 𝐶1
20 (0.05)1 (0.95)19 + 𝐶2
20 (0.05)2 (0.95)18
+ 𝐶3
20 (0.05)3 (0.95)17] = 1 − 0.9841 = 0.0159 
 
 
b. más de uno sea defectuoso. 
 
𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1)] 
𝑃(𝑋 > 1) = 1 − [𝐶0
20 (0.05)0 (0.95)20 + 𝐶1
20 (0.05)1 (0.95)19] = 1 − 0.73584 
 
 
c. el número de fusibles defectuosos que se espera encontrar en la muestra 
 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = (20)(0.05) = 1 
Esperamos encontrar, en promedio, un artículo defectuoso en los 20 seleccionados. 
 
 
 
 
 
Problema: Se sabe que el 96% de las semillas de una planta rara germinan. Si sembramos 30 de éstas semillas, 
¿cuál es la probabilidad de que germinen; 
Probabilidad y Estadística 
 
𝐸: "𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎" ➔ 𝑃(𝐸) = 𝑝 = 0.96 𝑦 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑝 = 0.04, son constantes, por lo tanto, la 
geminación ó no de las semillas, son independientes. 
𝜀: "𝑆𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟 30 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠" 
𝑋: "𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 30 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠" 
𝑋 ≅ 𝐵(30, 0.96) ➔𝑹𝑿 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟑𝟎} y la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑘
30 (0.96)𝑘 (0.04)30−𝑘 
a. más de 25 semillas? 
𝑃(𝑋 > 25) = 𝑃𝑋(26) + 𝑃𝑋(27) + 𝑃𝑋(28) + 𝑃𝑋(29) + 𝑃𝑋(30) 
𝑃(𝑋 > 25) = 𝐶26
30 (0.96)26 (0.04)4 + 𝐶27
30 (0.96)27 (0.04)3 + 𝐶28
30 (0.96)28 (0.04)2
+ 𝐶29
30 (0.96)29 (0.04)1 + 𝐶30
30 (0.96)30 (0.04)0 = 0.99368 
 
b. entre26 y 29 semillas? 
𝑃(26 < 𝑋 < 29) = 𝑃𝑋(27) + 𝑃𝑋(28) = 𝐶27
30 (0.96)27 (0.04)3 + 𝐶28
30 (0.96)28 (0.04)2 = 0.0863 + 0.22192 
 
c. ¿cuántas semillas se espera que germinen?, 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = (30)(0.96) = 28.8 , Esperamos que, en promedio, 28.8 semillas germinen de las 30 
sembradas 
 
 ¿con que desviación estándar? 
𝜎𝑋 = √𝑛(𝑝)(1 − 𝑝) = √(30)(0.96)(0.0.04) = √1.152 = 1.07 
La variación promedio del número de semillas que germinan con respecto a las 28.8 que esperamos que 
germinen, es de 1.07 semillas 
 
Problema Suponga que el conmutador de una oficina de Asesorías recibe en promedio 0.6 llamadas por minuto, 
calcule la probabilidad de que: 
𝐸: "𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎", 𝑃(𝐸) = 𝑝 =? 𝑦 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑝 =? 
𝜀: "𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡" 
𝑋: "𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎, 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 
𝑋 ≅ 𝑃(𝛼) ➔ 𝑹𝑿 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } y la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 
∝𝑘𝑒−∝
𝑘!
 
 
a. en un minuto se reciban al menos 2 llamadas? 
∆𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 ➔ 𝛼 = 0.6 por lo que la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 
(0.6)
𝑘
𝑒−0.6
𝑘!
 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑃𝑋(2)+𝑃𝑋(3)+⋯ =
(0.6)2𝑒−0.6
2!
+
(0.6)3𝑒−0.6
3!
+⋯ = 0.1219 
 
Otra forma de calcular la probabilidad es 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃𝑋(0)+𝑃𝑋(1)] = 1 − [
(0.6)0𝑒−0.6
0!
+
(0.6)1𝑒−0.6
1!
] 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 0.8781 = 0.1219 
 
b. en 4 minutos se reciban a lo más 3 llamadas? 
∆𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ➔ 𝛼 = 2.4 por lo que la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) = 
(2.4)
𝑘
𝑒−2.4
𝑘!
 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃𝑋(0)+𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2)+𝑃𝑋(3) 
Probabilidad y Estadística 
 
𝑃(𝑋 ≤ 3) =
(2.4)
0
𝑒−2.4
0!
+
(2.4)
1
𝑒−2.4
1!
+
(2.4)
2
𝑒−2.4
2!
+
(2.4)
3
𝑒−2.4
3!
= 0.77872 
 
c. ¿cuántas llamadas se esperan recibir en 10 minutos? 
 
∆𝑡 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 , 𝛼 = 6 
𝑬(𝑿) = 𝝁𝑿 = 𝛼 = 6 
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜, 6 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
Problema: El número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radioactiva es una variable 
aleatoria que tiene distribución de Poisson con  =5.8 . Si un detector deja de operar cuando hay más de un rayo 
por segundo, ¿Cuál es la probabilidad de que este instrumento deje de funcionar durante un segundo cualquiera? 
 
X: “Número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radioactiva” 
𝑋 ≅ 𝑃(5.8), 𝑠𝑖 ∆𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 , la función de distribución de probabilidad es 
𝑃𝑋(𝑘) =
𝛼𝑘𝑒−𝛼
𝑘!
=
(5.8)𝑘𝑒−5.8
𝑘!
 , con 𝑅𝑋 = {0, 1, 2, 3, … . } 
𝑃(𝑋 > 1) = 𝑃𝑋(2) + 𝑃𝑋(3) + 𝑃𝑋(4) + ⋯ = 
(5.8)2𝑒−5.8
2!
+
(5.8)3𝑒−5.8
3!
+
(5.8)4𝑒−5.8
4!
+ ⋯ = 0.97941 
 
Otra forma de calcular la probabilidad 
𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − [𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1)] = 1 − [
(5.8)0𝑒−5.8
0!
+
(5.8)1𝑒−5.8
1!
] 
 
 
Problema: Un grupo está compuesto por 20 mujeres y 30 hombres. Si se seleccionan diez personas al azar, ¿cuál 
es la probabilidad de que se seleccionen: 
𝐸: "𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟" ➔ 𝑃(𝐸) = 𝑝 = 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝐶𝑇𝐸. 𝑦 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑝 = 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝐶𝑇𝐸. , por lo tanto, la 
selección de las personas NO es independiente. 
𝜀: "𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 10 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑎𝑧𝑎𝑟 (sin 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛)" 
𝑋: "𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 10" 
𝑋 ≅ 𝐻(50, 10, 20) ➔ 𝑹𝑿 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟏𝟎} la fdp es 𝑃𝑋(𝑘) =
𝐶𝑘
20𝐶10−𝑘
30
𝐶10
50 
a. puras mujeres? 
 
𝑃𝑋(10) = 
𝐶10
20𝐶0
30
𝐶10
50
= 
b. sólo dos mujeres? 
 
𝑃𝑋(2) = 
𝐶2
20𝐶8
30
𝐶10
50
= 
 
Probabilidad y Estadística 
 
c. al menos una mujer? 
 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 𝑃𝑋(1) + 𝑃𝑋(2) + ⋯+ 𝑃𝑋(10) = 
 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃𝑋(0) = 1 −
𝐶0
20𝐶10
30
𝐶10
50
 
d. ¿cuántas mujeres se espera encontrar en la muestra?, 
 
𝐸(𝑋) = 𝜇𝑋 = (𝑛) (
𝑟
𝑁
) = (10) (
20
50
) = 4, esperamos encontrar 4 mujeres en promedio en la 
muestra de 10 personas seleccionadas 
 
 ¿con que desviación estándar? 
𝜎𝑋 = √(𝑛) (
𝑟
𝑁
) (
𝑁 − 𝑟
𝑁
)(
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
) = √(10) (
20
50
)(
30
50
) (
40
49
) = 1.3997 
La variación promedio, del número de mujeres encontradas en la muestra, con respecto a su 
promedio (4), es de 1.39 mujeres