Introduccion a la Estatica y Resistencia de Materiales Cesar Raffo Cap4 5 y 6

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CAPÍTULO IV 
CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO 
Hemos visto en parág. 3 que el efecto cinemática de las fuerzas se 
manifiesta por una traslación o por una rotación, y que es propósito de 
la Es�ática contrarrestar aquellos desplazamientos para obtener el equi­
librio·estático del sistema. 
Este último problema se denomina : Equilibrio de un sistema de 
fuerzas. 
9. Equilibrio de un . sistema de fuerzas. - Consideremos un 
sistema cualquiera de fuerzas, por ejemplo el de la fig. 23a, concurrente 
en A y su correspondiente vectorial, fig. 23b. La resultante R sustituye 
a las fuerzas dadas señalando el sentido de la traslación que impulsa 
a la chapa c. 
A 
Fig. 23 
Si la fuerza R se sustituye por otra E de igual intensidad y línea 
de acción pero de sentido opuesto, quedará anulado el efecto cinemática 
de R puesto que ambas forman una bifuerza. El sistema de fuerzas 
. P1, P2, P3, E carece de resultante y el sólido al cual se aplica se man­
tendrá en reposo de traslación, esto es en equilibrio de traslación. 
La fuerza E se denomina equilíbrante del sistema P 1, P 2, P 3 . Tra­
zado el vectorial de P1P2P3E ( fig. 23c) se observa que puede ser reco-. S 
l'rido partiendo de O (o de cualquier otro vértice) siguiendo el sentido 
de sus flechas hasta volver al vértice de partida : es un vectorial cen·ado. 
CONDICIONES GRAFICAS
. 
DE EQUILIBRIO 21 
ICn cambio el vectorial de fig. 23b, correspondiente al sistema P�o P2, 
1'1, R es abierto. 
Nótese que en un · vectorial cerrado cualquier fuerza que lo form4 
., equilibrante de las restantes, pues ella cierra el vectorial de todas 
la• demás fuerzas. 
· 
10. Interpretación cinemática de les polígonos vectorial y funi­
cular. - Vamos a demostrar que la traslación, o la rotaCión, o el 
r poso de un sólido sometido a fuerzas conocidas, puede interpretarse 
rráficamente mediante los polígonos vectorial y funicular. 
Funicular obier/ó 
'Pt Vectorial oóierto 
e 
Fig. 24 
a) Sea un sistema de fuerzas no concurrentes (fig. 24) P1, P2, !'3 
y sus correspondientes polígonos vectorial, polar y funicular. La pre­
sencia de una resultante R indica que la chapa C está sometida a una 
traslación. El vectorial se presenta abierto y el funicular ofrece la ca­
racterística que su prjmer y último lados son concurrentes . en A. Un 
funicular en tales condiciones · lo llamaremos funicular abierto. 
En consecuencia podrá decirse : 
Si un sistema de fuerzas admite resuUante (traslación) sus 
correspondientes polígonos vectorial y funicular son abiertos. 
Tratándose de un conjunto de fuerzas concurrentes, es suficiente 
la existencia de un vectorial abierto. 
22 RAFFO, C. M. • ESTAT. Y RESIS1'ENCIA DE MATERIALES 
La conclusión enunciada puede expresarse a la inversa. 
Si los polígonos vectorial y funicular son abiertos, el sistema de 
fuerzas correspondientes tiene resultante (traslación) . , 
_ b) Sea. un sistema de fuerzas no concurrentes P11 P2, P8, P4 (fig. 
25) . Su vectorial, suponemos, puede ser recorrido a partir del .origen O 
(o de cualquier otro vértice A, B, C) siguiendo el sentido indicado por 
sus flechas hasta volver al punto de partida : es un vectorial cerrado; 
Fig. 25 
/unlcull.lr rk 
/qt/ÍJs t'J'II't'/7111$ 
¡PI.ll"tddo.s 
VaJe decir, según el parág. 9, cualquier fuerza de sistema es equilibrante 
de los demás. 
En consecuencia el sistema dado de fuerzas no admite resultante 
(ausencia de traslación) . 
E l polígono polar se caracteriza por tener superpuestos el primero 
y el último radios polares que lo forman : 1 y 5 de la figura. En cambio 
el polígono funicular se presenta con sus lados extremos, 1 y 5, parale­
los. Denominaremos 'un funicular en estas condiciones funicular cerrado 
(en un punto impropio o sea en el infinito) o también funicular de 
lados �xtremos paralelos. 
Como cada uno de estos lados extremos es sostén de una fuerza : 
F 1 en el lado 1 y F 1 en el lado extremo 5 (según se dijo- en parág. 8 ) 
y estas fuerzas son iguales y opuestas, pues ambas están medidas por 
el segmento OP del polar, el sistema es equivalente a una cupla (ro-
tación) . 
· 
Por consiguiente : 
Si un sistema de fuerzas se reduce a '!<;�u. cupla (rotación) el 
.correspondiente polígo'YI>O vectOrial es cerrado y el funicular 
tiene s.us lados extremos paralelos. 
La inversa siempre se verifica ; es decir : si el funicular es de lados 
extremos paralelos y el vectorial cerrado, el sistema de f�erÚ1s corres­
pondiente se reduce a una cupla (rotación) . 
CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO 23 
e) Por últl" o, consideremos el sistema de la fig. 26, cuyo vecto­
rial, suponemos ea el OABCO, resulta cerrado. Construido el funicular 
rreapondiente e observa que el primer lado 1 y el último 5, están 
IUperpuestos. ún funicular en estas condiciones se · dice funicular ce­
l"t'Gdo. 
"1' � 
� 
§-t.;¡ 
� 
� 
� � � � '--
Funicular cerrutiJ 
Veclllrio/ cerrodo 
�'ig. 26 
Por tanto el lado 1-5 del funicular es sostén de dos fuerzas F 1 y 
F 5 iguales y opuestas, según indica el segmento 001 del polar; y la 
eupla que aparecía en fig. 25 se reduce, en el caso actual, a una bi­
fuerza. 
El sistema dado de fuerzas, no admite pues resultante (no hay tras­
lación) ni cupla (no hay rotación) : está en equilibrio, o sea f;'ln reposo. 
En conclusión : 
Si un sistema de fuerzas carece de resultante y de cupla (re­
poso) los correspondientes polígonos vectorial y funicular son 
ambos cerrados. 
De lo dicho en a) , b f y e) se deduce que un polígono vectorial tra­
duce gráficamente la existencia de traslación debidó a la presencia de 
una resultante; en cambio el polígono funicular señala, con la presencia 
de una cupla, un movimiento de rotación. 
11. Condiciones gráficas de equilibrio. - Interesa conocer las 
condiciones a cumplir por un sistema de fuerzas conocido, para que el 
sólido sometido a ellas permanezca en reposo. Se denominan condiciones 
gráficas de equilibrio por cuanto hacen referencia a los polígonos vec­
torial y funicular. Son éstas : 
Fuerzas concurrentes. - Una sola condición es suficiente. 
Un sistema concurrente 
, 
de "fuerzas está en equilibrio cuando 
su vectorial es cerrado. 
24 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERIALES 
Fuerzas no concurrentes. - Dos condiciones son necesarias. 
Un sistema de fuerzas no concurrentes está en equilibrio cuan­
do sus polígonos vectorial y funic?flar son ambos cerrados. 
EJEMPLO 5. - Averiguar si la chapa ABCD de la. fig. 27 está en equi­
librio al ser solicitada por las .fuerzas P, ; P, ; P.; P. y P • . 
� � �t�--�-��w--����----r--�---� 
Fig. 27 
EF= 50kg . lcm. 
EL= 5mm lcm, 
Se trata de un sistema plano de fuerzas no concurrentes. Para su equi­
librio es preciso que se cumplan dos condiciones gráficas : vectorial y funi-
cular cerrados. 
. 
Se verifica que el vectorial OABCDO es cerrado ; y el funicular co­
rrespondiente cuyos vértices son, ordenadamente, A, ; A, ; A. ; A, ; A,, resulta 
con sus lados extremos 1 y 6 paralelos. En consec�encia, la chapa no está 
en equilibrio : el momento resultante vale 
M = - Fd = - 2,15 cm . (EF) . 2,5 cm . (EL) = 53,75 kgm 
1 
EJEMPLO 6. -' Averiguar si la chapa ABC de la fig. 28 está en equili­
brio bajo la acción de las fuerzas P, ; P, ; Pa ; P • . 
8 
CONDICIONES GRAFlCAS DE EQUILIBRIO 
EF=..J.L ll_5em EL= 
45cm 4 cm 
P,� ;� F 1 u 
Fig. 28 
25 
Procediendo como en el ejemplo anterior, se comprueba que el vectorial 
de las fuerzas dadas OEFGO es cerrado y el funicular con vértices en A.; 
A,; A. ; A. se caracteriza por la superposición de sus lados extremos 1 y 5. 
Luego la chapa está en equilibrio. 
CAPÍTULO V 
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 
12. Momento estático de una fuerza. - Se denomina momento 
estático o de primer orden, o lineal, o simplemente momento de una 
fuerza P, respecto de un punto e, el producto de la intensidad de la 
fuerza (kg, t, etc.) por la 
distancia a (m, cm, etc.) ó) del punto a la línea de ac­ción de P (fig. 29) . 
e se llama centro de 
momentos o polo ; a, bra-
o. zode palanca de la fuer­
za. La unidad de medida e del momento estático es : 
-t-11_; kilogramo-metro o kilográ­
m e t r o (kgm) ; tonelada­
metro o tonelámetro (tm) ; 
Fig. 29 etc. Si S es una chapa em-
pernada en e, el efecto ci­
nemático de P, respecto de e, es una rotación de la chapa ; en sentido 
positivo si gira según las agujas del reloj (fig. 29b ) , negativo en sen­
tido opuesto ( fig. 29a) . 
Todo momento estático está pues afectado de un signo que se an­
tepone al valor de aquél ; así, se escribirá : 
M = + 300 kgm M' = - 4 tm . 
Trazada por e (fig. 29a) l a paralela S a la línea de acción b de 
la fuerza P, resulta que el momento de ésta no varía si e se desplaza 
a cualquier otro punto de la recta s ; ésta, a veces, se denomina eje de 
momentos. De tal modo queda definido el momento de una fuerza P res­
pecto de un .eje s paralelo a su línea de acción. 
El momento estático que es igual a cero cuando a = O, vale decir, 
cuando el polo e pertenece a la línea de acción de la fuerza, es una 
magnitud estática, homogénea con un trabaj o. En cambio, éste es una 
magnitud dinámica. 
El momento estático es el producto de dos segmentos : uno repre­
sentativo de la fuerza y el otro del brazo de palanca. Si uno de ellos se 
mide en la escala de fuerzas el otro habPá que apreciarlo en la escala 
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 27 
Un ni o viceversa .. Por ejemplo (fig. 30) , si AB = 4 cm, se tendrá in­
d latlntamente (a = 3 cm) : 
M = 3 cm . (EF) . 4 cm . (EL) = 
= 3 cm . 
1 t 
1 cm 
1 m 
· 
. 4 cm • ;= + 12 tm 1 cm _ 
M = 3 cm . (EL) . 4 cm . (EF) -
1 m 1 t 
3 cm • . 4 cm . 1= + 12 tm . 1 cm 1 cm 
Un momento estático puede repre­
KOntarse por el doble del área (fig. 30 ) 
del triángulo de base P y altura a o 
por el doble del área del triángulo de 
base AC y altura h ; es decir : 
EF:-f..L fcm EL=..-!fo._ tcm 
M = 2 Pa = 2 AC . h . [1 ] 
13. Momento estático de un siste­
na de fuerzas. - Consideremos dos 
:uerzas P1 y P2 (fig. 31) y un polo C. 
,e tiene : Fig. 30 e 
M P1 = Momento de P 1 respecto de C = AC . h1 : Triángulo ACD 
M P, ¡::= Momento de p 2 respecto de e = AC . h2 : Triángulo ACE . 
Sumando ordenadamente resulta : 
Momento de P1 + momento de P2 = AC (h1 + h2) = AC . h (ver fig. 31) . 
A 
es : 
a3 h, P, Pz 
R3 cLJ 
hz 
1 az 
X 
Fig. 31 S 
Fig. 32 R 
Pero AC . h es el momento MR de la resultante R de P1 Y P2 ; esto 
Fátima Ledesma
Fátima Ledesma
2!s I_}AFFO, C. M. - ES'PA T. Y RESISTENCIA VE MA TERIALES 
Si las fuerzas concurrentes fueran más de dos, subsiste la igualdad : 
[2] 
Y si las fuerzas no son concurrentes, la igualdad [2] es válida para 
dos fuerzas cualesquiera del sistema ; después será válida para esta re­
sultante parcial y una tercer fuerza ; y así siguiendo. 
Por tanto puede enunciarse la siguiente ley ( Teorema de Varignon ) : 
El momento de la resultante de cualquier sistema de fuerzas 
coplanares, respecto de un punto del plano, iguala a ;la suma 
algebraica de los momentos de las componentes, 
que escribiremos así : 
[3] 
siendo x la distancia de R al centro de momentos ; a, la distancia de 
· cada fuerza P, al mismo centro. 
Si las fuerzas son paralelas y se traza por e ( fig. 32) centro de 
momentos un eje s paralelo a la dirección común de las fuerzas, la ecua­
ción [3] permite hallar x (posición de la resultante)', como veremos en 
el próximo capítulo. 
Fig. 33 
14. ·D e t e r m i n a c i ó n 
gráfica del momento es­
tático de fuerzas. - Sean 
p la fuerza y e el centro 
de momentos (fig. 33 ) . 
Construidos el vecto- . 
rial y funicular de P y 
trazada por e la paralela 
s a la dirección de P, se 
obtienen los triángulos se­
meJantes rayados en la fi-
gura. 
Si h es la distancia de 01 a la dirección de P, distancia llamadh 
distancia. polar o base de reducción, se tiene : 
o sea : 
y p 
a: = T 
Pa = hy . [4] 
El segmento BD, que denominaremos en adelante ordenada y, está 
determinado por la intercepción de la s con el primero y último lados 
del funicular de la fuerza P. 
Análogamente para varias fuerzas no concurrentes (fig. 34) : tra­
zados el vectorial y funicular del sistema dado y por el centro de mo­
mentos C una paralela s a la resultante R, la ordenada y es el .�g­
mento BD interceptado por el primero y último lados, 1 y 4, sobre dicha 
paralela. Como los triángulos rayados en la figura son también seme­
jantes resulta la igualdad [ 4] , sustituyendo P por R. 
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 
a) 
Fig. 34 
Luego podrá decirse : 
o 
EF� 1cm 
EL� lcm 
EH = ft:./Jh kgm /cm 
29 
El momento de cualquier sistema de fuerzas, respecto 'de u11 
punto de su plano, es -el producto de la distancia polar h po1 
la ordenada y. 
Para apreciar numéricamente el producto hy de [ 4] , según s� r " 
visto e n parág. 12, e s necesario medir u n segmento, por ejemplo h, en 
la escala de fuerzas, y el otro y, en la escala lineal o viceversa. Es decir 
que el momento de un sistema M. respecto de e, vale : 
o 
Me = y (cm) . EL . h (cm) . EF 
Me = y (cm) . EF . h (cm) . EL . 
Cualquiera que sea la forma de medir el momento, se tendrá : 
Me = y (cm) . [EL . EF . h] . 
El producto 
EL . EF . h 
[5] 
constituye una escala de momentos. Indicándola con EM, valdrá, para 
las escalas indicadas en fig. 34 : 
EM = 
a m 
1 cm 
f3 kg 
1 cm 
h ( ) _ 
af3h kgm 
· - cm -
1 cm • 
La escala de momentos es, pues, el producto de la escala lineal, por 
la escala de fuerzas, por la distancia polar. 
Por consiguiente, según [5 ] el momento en C de las fuerzas de 
fig. 34 vl_!.le : 
Me = y (cm) . EM . 
Se obtiene gráficamente el valor del momento de un sistema de 
fuerzas respecto de un punto de su plano, multi1Jlicando la ordenada y 
por la escala de momentos. 
30 RAFFO, C. M. - ESTA T. J:' RESISTENCIA DE MA TERIALES 
Por ejemplo, si : 
11 :::: 3 r.m ; EL = 
2 m 
1 cm 
EF 
800 kg 
1 cm 
h = 10 cm 
la escala de momentos resulta : 
EM = 
2 m 
1 cm 
800 kg 
1 cm 
. 10 cm = 16 tm 
1 cm 
y el momento de las fuerzas dadas respecto de C, vale : 
Me = 3 cm . 
16 tm = 48 tm . 
1 cm 
La determinación gráfica de momentos también sirve para obtener 
el .momento de un grupo sucesivo de fuerzas, por eJemplo de las P1 y 
p2 (fig. 35) . 
o 
e 
Fig. 35 
a EF= �kg '1 C/TL 
EL=.$d!!:.. !cm 
EH= tr.(Jh,tkgm. !cm, 
Si C es el punto respecto al cual se busca el momento estático · de 
las fuerzas referidas, se traza por él la paralela s a la resultante R2 • 
La ordenada y queda determinada por la intersección de s con los lados 
1 y 3 del funicular que comprende a las fuerzas P1, P2 . La ordenada y 
apreciada en la escala de momentos fija el valor del momento de P1P2 
respecto de C. 
o 15. Coplas. - Sea / p la cupla Pa de la fig. 
.¿- 36a. Construídos el vec-
.,:- � torial y f u n i c u l a r co-... 
;<-o rrespondientes, los la� , 
a '-..? o, dos extremos 1 y 3 de 
A JI este último se presen-tan p a r a l e l o s, puesto a) � que ambos lo son al ra-dio polar 001 (fig. 36b). 
Fig. 36 co·mo las paralelas 1 'J 
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 31 
8 no determinan ningún punto finito, la cupla carece de resultante ; 
luego tod,a cupla es irreductible a una fuerza. 
Determinemos el momento de una cupla Pa (fig. 37) respecto de 
un punto e de su plano. 
a) � e) 
�� 
p p a 
e e 
1' a a, J a2 f-- a' p a 2 1' 
Mc·-Pd 11c1· -Pd Mc2=-Pti 
Fig. 37 
Si e está en la recta de acción de una de las fuerzas (fig. 37a.) 
componentes de la cupla se tiene : 
M0 = - Pa . 
Si e ( fig. 37b ) es exterior al brazo de palanca a, resulta : 
M0 = Pa1 - Pa2 == P (a1 - �) = - Pa . 
y si e (fig. 37 e) es interior al brazo de palanca : 
M0 = - Pa - Pa2 = P (- a1 - a2) -= - Pa . 
En conclusión : el momento de una cupla es independiente del 'cen-­
tro de momentos. Su valor es el producto de la intensidad de la fuerza 
por su brazo de palanca, con el signo correspQndiente al sentido de la 
rotación que origine. 
· 
16. Operaciones con las cuplas • . - Se denominan cuplas equiva­
lentes aquellas que tienen igual momento, en valor y signo.En la fig. 
38, se presentan varias 
cuplas cuyo momento es 
M = - 500 kg m. T o­
das e l l a s s o n equiva­
lentes e n t r e sí por­
que mantienen el valor 
de M. 
Las cuplas pueden 
componerse, m e d i a n te 
adición algebraica de 
sus respectivos momen­
' 5t t �v5M� =·�====�====�=;. �t 5t � <:§. 
Fig. 38 
tos. El resultado es otra cupla estáticamente equivalente a las dadas. 
Por ejemplo : las cuplas de momentos M' = - 300 kgm ; M" = -500 
32 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERIALES 
kgm ; M"' = - 800 km, se componen en una cupla resultante de mo-
mento M dado por: 
· · 
M = M' + M" + lW" = '- 300 km + 51)0 km - 800 km = - 600 km, 
que produce el mismo efecto cinemática que las dadas. 
Es de interés la composición de uná cupla con una fuerza. 
Sea la cupla de momento M = ..:.._ P1a1 (fig. 39) a componer con la 
fuérza P aplicada en A. Transformemos la cupla en otra equivalente, 
formada por dos fuerzas iguales a P; cuyo brazo de palanca a está 
. . p dado por la igualdad M = - Pa o sea a = l M \ · 
La nueva cupla puede trasladarse en su p ano, hasta que una de sus 
fuerzas actúe en la línea de acción de la fuerza única P por A, pero en 
sentido opuesto a esta última (fig. 39b) . La . otra fuerza que forma la 
cupla quedará ubicada a una distancia a de la recta de acción s. 
a) h) e) 
Fig. 39 
En A se tiene una bifuerza que pudiendo suprimirse, reduce el sis­
tema de fig. 39b al de la fig. 39c, estáticamente equivalente al a) , y 
constituido por una única fuerza P pasante por B y paralela a la fuerza 
dada P. 
Luego : una cupla y una fuerza se reducen a una . fuerza. 
· Ejemplo : 
Dado el sistema de fuerzas paralelas indicado en la fig. 40, deter­
minar gráficamente : 
a) el momento de las P2 y P3 respecto del punto C. 
b) el momento de todas las fuerzas respecto de cualquier punto C1, 
situado en la recta de acción de la fuera P 1 . 
Elegidas libremente las escalas lineal y de fuerzas se traza el vec­
torial de éstas a partir de un origen O. A continuación con polo en 01, 
distante h = 2 cm de la resultante OA de las fuerzas, el polígono polar 
de radios polares I, II, III, IV, V. 
Las paralelas a estos radios polares, trazadas en el esquema de las 
fuerzas dadas, a partir de cualquier punto Q de sil plano, determinan 
·· el funicular de lados 1, 2, �. 4, 5. 
a) Los lados 2 y 4 de éste, que comprenden a las fuerzas P2 y P3, 
prolongados ha�ta interceptar en N y L, respectivamente, a la vertical 
por C, que es paralela a la resultante R' de laa fuerzas P2 y P3, deter-
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 33 
- ' P.=3t J P,=zt ¡ 4-lt l!=lt o 4 
!m 2m 2m fm 8 
1:1 Pz 
L, R' 
/ 1 " / " · / 1 / !J. / / 
el / / / / 1 / 
/ ' 1 !J !1, ' / ' d-J.5m / ' / ' / ' · / ' 1 / h=2cm / ' / R'=4t ' 4.-Jm ' 1 ' ' / ' 
' iN / / / / / 
N, 1?2 34=5t . , 
� EF=_il_ EL= 1m EH= 4tm 1,5cm !;cm !.5cm 
Fig; 40 
mina la ordenada LN = y (cm) . Ésta apreciada en la escala de mo­
mentos : 
EM = EL _ EF . h = - 4 
tm 
1,5 cm 
determina el momento pedido : 
Me = - 13,866. tm, 
negativo, porque amblls fuerzas están a la izquierda del centro de mo­
mentos. 
b) Cualquiera LJ.ue sea el punto sobre la línea de acción de la fuerea 
P1 , con respecto al cual hay que determinar el momento de todas las 
fuerzas dadas, la vertical por él coincide con la recta a. Luego en L1N; 
se tiene el segmento interceptado por los lados extremos 1 y 5 del funi-
34 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DJ:!J MA TERIALES 
cular de todas las fuerzas, que apreciado en la escala de momentos de­
termina el momento : 
4 tm 
Me1 = y1 (cm) . EM = 5,7 cm . 1 5 = 15,200 tm . , cm 
Utilizando las resultantes R' y R 2,3,4 , se obtienen los siguientes 
valores : 
Me = - dR' = - 14 tm Me, = d1R2,3,4 = 15 tm . 
CAPÍTULO VI 
COMPOSICióN ANALíTICA DE F)UERZAS 
17. Composición de fuerzas concu­
rrentes. -· Sea el si,stema concurrente 
n O de la fig. 41, formado por las fuer­
las P¡, P2 y P3 • Para componerlo analí­
ticamente debemos referirlo a un sis­
tema ortogonal de ejes, por ejemplo al 
IIDOy. 
Proyectando todas las fuerzas sobre 
el eje x, se tendrá : 
P 1 cos a1 + P 2 cos a2 + 
+ P 3 cos as = P,. . [1] 
En esta igualdad cada suma.ndo es­
tá afectado del signo más o del menos 
en concordancia con el signo del coseno, 
pues las fuerzas siempre se consideran 
positivas. El segundo miembro P ,, en 
valor y signo mide la magnitud de la 
!J 
Fig. 41 
componente del sistema, o sea de su resultante R, según el eje x. 
Proyectando sobre el eje y, se tendrá : 
P1 sen a1 + P2 sen a2 + P3 sen as = P11 ; [2] 
P11 es en valor y signo, la medida de la componente de R según el eje y. 
Obtenidos los valores de P,. y P 11 resulta : 
p" tg a = --Pz [3] 
que permite fijar la dirección de la resultante R, cuya intensidad puede 
calcularse con la fórmula : 
R = V P:r:2 + P./ . [4] 
Su punto de aplicación es O. 
En la práctica conviene distribuir las operaciones a realizar en una 
tabla numérica, como se indica en -el . siguiente ejemplo. 
36 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES 
EJEMPLO 7. - Determinar analíticamente la resultante del sistema de 
fuerzas concurrentes en O, indicado en la fig. 42. 
p �neát. lt costt 
3 g¡¡o o 
�5 50° - 0,5 
2 50° -454 
1 JO" 0,87 
4 o· f 
stllX PaAI'a:l Psmtt toneladas 
- 1 o 
-0,87 -475 
�(l75 -1,28 ·- ·-- · 
a5 +�IJ7 
o + 4 
g�l.J4 
- 3 
- !,J 
+1,52 
+0,5 
o 
1�=-Z,ZS 
IJ=2t' 
Fig. 42 
!J 
Pg 
/j==.Jt 
EF=...!L !cm 
l}-4t 
X 
Todos los datos y las operaciones señaladas en las ecuaciones [1] y [2] 
se llevan a un cuaqro como el que acompaña a la fig. 42. 
La dirección de R es : 
tg a = 
La intensidad : 
- 2,28 = - o 80 
2,84 ' 
a � - 3803()' 
R = V 2,84" + 2,28· = 3,64 t 
18. Composición de fuerzas no concurrentes. - Para determinar 
intensidad, sentido y dirección de la resultante, en un sistema de fuer­
zas P1, P2, P8 (fig. 43 ) aplicadas respectivamente en A, B, C, sirven 
- !J 
1 1 1 1 1 1 1 1 p' --- - - !/ 
P, X X 
X 
Fig. 43 
COMPOSICION ANALITICA DE FUERZAS 37 
mismas ecuaciones [1] a [ 4] estudiadas en los sistemas concurren­
•· a saber : 
Pz � (P cos a) 
p� � (P sen a) 
tg a -
[5] 
En cuanto a la línea de acción de R, su posición se determina cal­
c•ulundo su distancia r, a un punto cualquiera del plano de fuerzas, con­
ll h l rado centro de momentos, mediante el teorema de momentos de Va-
1' 1 non (pág. 28) : 
R . r = P1p1 + P2p� + PaPa 
lll tmdo P1P2Pa los respectivos brazos de palanca de las fuerzas dadas. 
Esta igualdad se simplifica ubicando el centro de momentos en el 
url¡cen de coordenadas y sustituyendo todas las fuerz[\s, por sus dos 
t•umponentes ortogonales según x e y. En la posició!' indicada por la 
f h c. 43 se tiene : 
[6] 
• • n donde x2, x3 son datos. de posición ; y P"�· P'"11, P11 están ya calcu,­
IMdas en la 21l- ecuación de [5] . Luego : 
P" yx2 + P"' v . x3 
Py X = [7] 
''" nbscisa de la intersección D, de la línea de acción de R con el eje x. 
EJEMPLO 8. - En los puntos H, F, E, �e una chapa plana, actúan las 
tuerzas P,, P,, P", P, según fig. 44, en donde aparecen todos Jos valores nu-
1 1 1 ricos necesarios. Determinar analíticamente la resultante . . ( Incógnitas : 
"• U, x ) . 
Refiriendo l a chapa al sistema de ejes xAy, se determinan primeramen­
l r las componentes P: P. de la resultante mediante las dos primeras fórmu­
ln� [5] ; o sea proyectando todas las fuerzas P,, P,, P., P, R sobre cada eje : 
P. = 1 . cos 250 - 2 . cos 35° = 0,9 - 1,64 = - 0,74 t [8] 
P, '=: 1 . sen 250 - 2 - 3 + 2 . sen 35° = 0,42 - 5 + 1,14 = - 3,44 t 
La dirección de R es : 
tg "' = 
La magnitud : 
3,44 = 4 65 0,74 ' 
R = V 0,74' + 3,44' = , 3,5 t 
Para determinar su posición; ubicaremos el centro de momentos en A ; 
I n suma de los momentos de las componentes, según x · e y, de las fuerzas 
dadas, tendrá 9ue igualar a Jos momentos de. las componentes P. , P. de la 
38 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERl/lL.iJJi:) 
1 
Rv ! 
il'i1,x 
Fig. 45 
- ltn EL- !cmFig. 44 
resultante. Como las componentes según x, tienen 
momento nulo, sólo quedan las componentes vertica­
les. Por tanto será : 
P, . x = P,x. + P,x, - P.'v . x, 
Teniendo en cuenta que [8] es : 
se tiene : 
P.'v = 2 sen 350 = 1 ,14 t 
+ 3,44 X = + 2 . 0,60 + 33,60 - 1,14 . 4,60 
resulta : + 6,80 
3,44 = 1,97 m X = 
EJEMPLO 9. - El pilar representado en la fig. 
45, está solicitado por las fuerzas H, N, y P. Deter­
minar la intensidad de la resultante, y el punto e en 
que su línea de acción corta al plano de base AB. 
· Las componentes horizontal RH y vertical Rv 
de la resultante R, se obtienen proyectando horizon­
tal y verticalmente, el sist.:ma de fuerzas aplicado 
al pilar. Es decir según las do::s primeras de [5] : 
Ru = 1 t 
Rv = 7,5 + 15 = 22 t 
1 Sus respectivos sentidos están indicados en la 
fig. 45. 
eOMPOSICION ANALITieA DE FUERZAS 39 
Para determinar la distancia x del punto en que la línea de accwn de 
la resultante intercepta al plano de base , supuesto que sea el e, bastará to-
mar momentos con respecto a él. · 
Luego : 
Rx = -. N ( 1 - x) - P (0,6 - x) + 8H = O , 
que debe ser nulo porque el punto e pertenece a R. 
Reemplazando valores : 
resulta : 
- 7,5 + 7,5x - 15 . 0,6 + 15x + 8 O , 
x = 
7,5 + 9 - 8 
= o 38 22,5 
' m 
La intensidad e inclinación de R se obtiene utilizando las dos últimas 
ecuaciones [5] : 
22 tg a = -1- 22 . " . a = 870 
R = ...j 1 + 22" � 22 t