Sistemas de Ecuaciones Lineares

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FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
 
UNIDAD 4 – Sistemas de ecuaciones lineales..................................................................... 84 
Introducción ......................................................................................................................... 84 
4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ............................................... 84 
4.2.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales ...................................................... 85 
4.2.1.- Método de igualación ........................................................................................ 85 
4.2.2.- Método de sustitución ....................................................................................... 88 
4.2.3.- Método de reducción......................................................................................... 89 
4.3.- Problema de aplicación............................................................................................ 90 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 4.............................................................................. 91 
1.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales ............................................................. 91 
2.- Resolver los siguientes problemas ................................................................................. 93 
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
84 Curso de Ingreso 
UNIDAD 4 – Sistemas de ecuaciones lineales 
Introducción 
En esta unidad se aborda el estudio de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos 
incógnitas. Se analizan distintos métodos para resolverlos, lo que permite elegir el que 
resulte más conveniente en cada caso particular. 
También se realiza la interpretación gráfica, considerando la importancia que tiene este 
recurso para facilitar la comprensión del problema e ilustrar las posibilidades que pueden 
presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales. 
4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
• Se desea determinar el valor de dos números reales x e y , que verifican la siguiente 
condición: “el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”.
La condición requerida establece que: 
72 =+ yx
Se ha planteado una ecuación lineal con dos incógnitas. 
Como ya se vio anteriormente el conjunto solución 1S de esta ecuación está formado por 
infinitos pares ordenados ),( yx que la verifican. 
Simbólicamente: { }72/);(1 =+= yxyxS o bien { }72/);(1 +−== xyyxS
Para obtener algunos de estos pares que son solución de la ecuación planteada, se dan 
valores a x y se determinan los correspondientes para y , utilizando la expresión 
72 +−= xy .
Por ejemplo: si 1=x , 5=y .
)5,1( es una de las soluciones de la ecuación, ya que 7512 =+⋅ .
También son soluciones: )7,0( , )3,2( , K
La representación gráfica de la ecuación 72 =+ yx es una recta. Los puntos que 
pertenecen a la recta verifican la ecuación y por lo tanto son las soluciones de la misma. 
O x
y
( )0,27
)7,0(
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Curso de Ingreso 85
• Se desea determinar el valor de dos números reales x e y , que verifican 
simultáneamente las siguientes condiciones: 
o “el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”
o “la diferencia entre x e y es igual a 2 ”.
Las condiciones planteadas pueden expresarse algebraicamente del siguiente modo: 



=−
=+
2
72
yx
yx
Han resultado dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 
Estas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente, por eso se dice que forman un 
sistema de ecuaciones lineales.
Se observa que cada una de las ecuaciones del sistema se representa gráficamente 
mediante una recta. 
Es importante tener en cuenta que: 
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas significa hallar, si es que 
existen, todos los pares ),( yx que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. 
4.2.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero en este capítulo 
sólo se verán los siguientes: método de igualación, método de sustitución y método de 
reducción. 
4.2.1.- Método de igualación 
Sea el sistema 



=−
=+
2
72
yx
yx
.
Se indican a continuación los pasos a seguir para resolver este sistema empleando el 
método de igualación. 
1º) Se despeja la misma incógnita en cada ecuación. 



−=
+−=
2
72
xy
xy
2º) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación con una incógnita que se 
formó. 
722 +−=− xx
272 +=+ xx
93 =x
3=x
3º) Se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones obtenidas en el primer paso, el valor de la 
incógnita que se ha determinado, y así se calcula el valor de la otra incógnita. 
En 2−= xy se reemplaza x por el valor obtenido y resulta: 
123 =−=y
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86 Curso de Ingreso 
La solución del sistema es el par ordenado )1,3( .
Resulta conveniente verificar si la solución hallada satisface las ecuaciones del sistema. 



=−
=+⋅
213
7132
Ahora se puede afirmar que el conjunto solución es { })1,3(=S .
El sistema tiene sólo una solución. El conjunto solución tiene un único elemento, por lo tanto 
el cardinal de S es igual a 1: 1=S (ver Apéndice A – Conjuntos). 
Gráficamente: 
72 +−= xy es la ecuación de la recta 1r
2−= xy es la ecuación de la recta 2r
Las dos rectas tienen en común el punto )1,3(P . Ese punto representa gráficamente la 
solución del sistema. 
 
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales. Interpretación gráfica. 
Se vio que si al representar gráficamente las dos ecuaciones lineales de un sistema, las 
rectas que resultan se cortan en un punto, entonces el sistema tiene única solución. 
Sin embargo, hay sistemas que tienen infinitas soluciones y otros que no tiene solución. 
Los ejemplos que siguen muestran estas situaciones. 
Ejemplo 1:
Sea 



+=
=−
yx
yx
4122
62
• Se despeja y de la primera ecuación. 
62 +−=− xy
3
2
1
−= xy (I) 
• Se despeja y de la segunda ecuación. 
O x
y
)1,3(P
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Curso de Ingreso 87
1224 −= xy
3
2
1
−= xy (II) 
Se observa que las expresiones (I) y (II) son iguales. Esto significa que las ecuaciones del 
sistema corresponden a la misma recta. Cada punto ),( yx de esa recta es solución del 
sistema. 
El sistema tiene infinitas soluciones. 
El conjunto solución es 





 −== 3
2
1/),( xyyxS y ∞=S .
Gráficamente: 
 
Ejemplo 2:
Sea 



+−=
−=+
242
32
xy
yx
• Se despeja y de la primera ecuación. 
32 −−= xy (I) 
• Se despeja y de la segunda ecuación. 
12 +−= xy (II) 
Las expresiones (I) y (II) corresponden a las ecuaciones de dos rectas que tienen igual 
pendiente, pero distinta ordenada al origen. Esas rectas son paralelas y no tienen ningún 
punto en común. 
El sistema no tiene solución. 
El conjunto solución es vacío: ∅=S y 0=S .
Gráficamente: 
O x
y
(0,-3) 
(6,0) 
O x
y
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En el siguiente cuadro se presenta una clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. 
 
Observación 
Antes de aplicar cualquier procedimiento algebraico es conveniente realizar primero la 
representación gráfica de las ecuaciones del sistema para determinar si el sistematiene o 
no solución y si tiene solución establecer si es única o no. 
4.2.2.- Método de sustitución 
Se aplicará el método de sustitución para resolver el sistema 



=−
=+
2
72
yx
yx
, ya resuelto 
anteriormente por el método de igualación. 
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en alguna de las 
ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 
1º) En este ejemplo se despeja y en la primera ecuación. 
xy 27 −=
2º) En la otra ecuación se sustituye y por x27 − .
2)27( =−− xx
3º) Se resuelve esta ecuación que tiene una sola incógnita. 
2)27( =−− xx
Sistemas de dos ecuaciones 
lineales con dos incógnitas 
Compatibles
Tienen solución 
Incompatibles
No tienen solución 
Determinados
Única solución 
Indeterminados
Infinitas soluciones 
Las rectas se cortan 
en un punto 
Las rectas son 
coincidentes 
Las rectas son 
paralelas P
x
y
x
y
y
x
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Curso de Ingreso 89
227 =+− xx
3
93
722
=
=
+=+
x
x
xx
4º) Se sustituye en la expresión xy 27 −= el valor obtenido para x y se calcula el valor de 
la otra incógnita. 
1327 =⋅−=y
La solución del sistema es el par ordenado )1,3( .
Se confirma, aplicando ahora el método de sustitución, que el conjunto solución del sistema 
dado es { })1,3(=S .
4.2.3.- Método de reducción 
El sistema 



=−
=+
2
72
yx
yx
se resolverá también aplicando el método de reducción. 
Este método consiste en: 
• Multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los 
coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las dos ecuaciones. 
• Luego, se restan las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y poder 
despejar la otra. 
1º) Se puede observar que si no se modifica la primera ecuación y se multiplica por 2 la 
segunda, se igualan los coeficientes correspondientes a la incógnita x . Se obtiene un 
sistema equivalente al original que resulta: 



=−
=+
422
72
yx
yx
2º) Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema. 
330
422
72
=+
=−
=+
−
yx
yx
yx
3º) Se resuelve la ecuación que quedó. 
33 =y
1=y
4º) Se sustituye el valor de y en alguna de las ecuaciones originales y se despeja la otra 
incógnita. 
712 =+x
3
2
17 =−=x
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El conjunto solución es { })1,3(=S , el mismo que se obtuvo cuando se resolvió el sistema 
por los otros métodos. 
Otra forma de resolver el sistema de ecuaciones de este ejemplo es eliminando la variable 
y , para lo cual en este caso se suman miembro a miembro las dos ecuaciones que forman 
el sistema: 
903
2
72
=+
=−
=+
+
yx
yx
yx
Entonces: 3
3
9 ==x
Reemplazando en 2=− yx , resulta: 
1
23
=
=−
y
y
4.3.- Problema de aplicación 
Un bodeguero debe realizar una venta de 355 litros de vino de dos variedades distintas: 
Malbec y Cabernet. Si el precio del vino Malbec es $8 el litro y el de Cabernet es de $ 6 el 
litro, ¿cuántos litros de cada variedad debe vender el bodeguero para recibir por la venta un 
total de $2590? 
Sea: 
x la cantidad de litros de vino Malbec que se deberán vender e 
y la cantidad de litros de vino Cabernet. 
Las condiciones del problema establecen que: 




=⋅+⋅
=+
2590$68
355
$$ yx
lyx
ll
Ha quedado planteado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, el cual 
podrá ser resuelto aplicando alguno de los métodos vistos. 
Se deja como ejercicio encontrar el conjunto solución. 
 
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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 4 
 
1.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 
1.1. Dado el sistema 



−=
=+
xy
yx
442
12
a) Representar gráficamente las ecuaciones del sistema 
b) Determinar gráficamente si el sistema tiene solución o no. Si el sistema tiene 
solución, encontrar analíticamente el conjunto solución. 
1.2. Construir para cada gráfico un sistema de ecuaciones cuya representación geométrica 
sea la dada. 
 
1.3. Para los sistemas de ecuaciones lineales que figuran a continuación: 
i) Interpretar gráficamente cada uno de ellos 
ii) En cada caso, indicar si el sistema tiene solución o no, y si tiene solución establecer si 
es única o no. 
iii) Si el sistema tiene solución única, resolverlo mediante un método analítico. Escribir el 
conjunto solución. 
iv) Si el sistema tiene infinitas soluciones, proporcionar al menos dos de ellas 
a. 






−=+
=−
5
2
25
2
23
yx
yx
x
y
5
5
2
x
y
6
4
2
x
y
4
4
2
2
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92 Curso de Ingreso 
b. 



=−−
=−
0424
12
yx
yx
c. 



=+
=+
82
1423
yx
yx
d. 



=+−
−=
01263
42
vu
vu
e. 




=+−
=+−
4
5
7
5
3
473
yx
yx
f. 



+−=
=−
yx
yx
5103
352
g. 






−=
+=
2
1
3
2
yx
yx
h. 




−=
=+−
24
2
333
xy
xy
i. 



−=
−=
yx
yx
91012
3104
j. ( )

−=
=−−
246
02
yx
yx
k. 



=+
=+
932
1864
yx
yx
l. 



=−
=+
534
432
yx
yx
m. 



=+−
=−
424
02
yx
yx
n. 



=−
=−
43
162
yx
yx
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Curso de Ingreso 93
2.- Resolver los siguientes problemas 
2.1. Un joyero ha vendido 18 pulseras de plata y 13 de oro por $3500. Una pulsera de oro 
cuesta cuatro veces lo que cuesta una de plata. ¿Cuál es el precio de una pulsera de cada 
clase? 
 
2.2. Esteban pagó una cuenta de $300 con billetes de $2 y de $5. En total empleó 90 billetes 
para hacer el pago.¿Cuántos billetes de cada valor utilizó? 
 
2.3. Entre dos estantes de una librería hay 90 libros. Si se pasan 10 libros del segundo al 
primer estante, ambos quedan con la misma cantidad de libros.¿Cuántos libros había 
inicialmente en cada estante? 
 
2.4. Un número de dos cifras es tal que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es el 
duplo de la que ocupa el lugar de las unidades, y la diferencia de las dos cifras, aumentada 
en 12, es igual a 15. Calcula ese número. 
 
2.5. Laura es 17 años mayor que Pablo y la suma de sus edades es 75 años. ¿Qué edad 
tiene cada uno? 
 
2.6. En un grupo de 560 personas asistentes a un espectáculo la razón entre hombres y 
mujeres es 2/5. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres concurrieron? 
 
2.7. La edad de María más el duplo de la edad de Pedro es 14. El duplo de la edad de María 
dentro de 4 años será la de Pedro dentro de 6 años. Calcular la edad de ambos. 
 
2.8. Un comerciante compra dos objetos por $2100 y los vende por $2202. Si en la venta de 
uno de los objetos gana el 10% y en el otro pierde el 8%, ¿cuánto pagó por cada uno de los 
objetos? 
 
2.9. En un triángulo isósceles la suma de la base y de la altura es igual a 40cm. Si se 
agregan 12cm a la base, se obtiene 9/4 de la altura. Calcular el área. 
 
2.10. Si se aumenta en 2m tanto el ancho como el largo de un rectángulo, el perímetro mide 
30m Si el largo se disminuye en 2m resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del 
rectángulo? 
 
2.11. El perímetro de un rectángulo mide 17cm y su base mide 0,1dm más que el doble de 
la altura. Averiguar las medidas en m del rectángulo 
2.12. El propietario de un campo ha decidido sembrar en él dos tipos de cultivo: A y B. 
La semilla del cultivo A cuesta $4 por hectárea, y la del cultivo B, $6 por hectárea. 
El costo de mano de obra es de $20 por hectárea parael cultivo A y de $10 por hectárea 
para el cultivo B. 
Si el propietario dispone gastar $480 en semillas y $1400 en mano de obra, ¿cuántas 
hectáreas de cada cultivo podrá sembrar? 
2.13. Un elaborador de vinos artesanales se dispone a preparar un corte (mezcla) entre dos 
variedades: chardonay y pinot gris. Para responder a un pedido de compra, el volumen total 
de la mezcla a obtener debe ser de 1420 litros. Si el volumen de chardonay que interviene 
en la mezcla es igual a dos tercios del volumen de pinot gris más 120 litros, ¿cuántos litros 
de cada variedad deben mezclarse para obtener el corte deseado? 
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94 Curso de Ingreso 
2.14. Juan para ingresar a la universidad debe rendir un examen tipo test que consta de 20 
preguntas. Por cada respuesta correcta obtiene 0,5 puntos y por cada respuesta incorrecta o 
no contestada se le resta 0,25 puntos. Si luego de corregida la prueba obtuvo 7 puntos, 
calcular cuantas respuestas correctas tuvo.