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Autocorrelación
Yolanda Portilla
Otoño 2014
Y. Portilla () Econometría 1 06/14 1 / 12
Presencia de la Correlación Serial
Suponga el siguiente modelo:
E (yt | yt−1) = β0 + β1yt−1
Donde nosotros asumimos estabilidad, |β1| < 1. Vamos a considerar
ahora el término de error:
yt = β0 + β1yt−1 + ut
E (ut | yt−1) = 0
Los estimadores MCO de este modelo son consistentes
Los errores podrían estar serialmente correlacionados
Cov (ut , ut−1) = −β1Cov (ut , yt−2)
Esta covarianza no necesariamente es cero.
Los estadísticos que nosotros usamos para el contraste de hipótesis no
son válidos en la presencia de autocorrrelación. Además, el estimador
MCO no sigue siendo BLUE (Mejor Estimador Lineal Insesgado).
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 2 / 12
Problemas de Consistencia
Suponga un modelo de correlación serial AR(1) para el término de
error de un modelo de regresión lineal simple:
ut = ρut−1 + et , t = 1, 2, ..., n
|ρ| < 1
Donde et son variables no correlacionadas con media cero y varianza
σ2e .
Además,
E (et | ut−1, ut−2, ...) = E (et | yt−1, yt−2, ...) = 0
Cov (yt−1, ut ) = ρCov (yt−1, ut−1)
Esta covarianza es cero solamente cuando ρ es cero.
La covarianza causa que los estimadores de MCO sean inconsistentes.
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 3 / 12
Contrastando Correlación Serial AR(1)
Veamos el modelo AR(1):
La hipótesis nula es que no hay correlación serial.
En el modelo AR(1), esta hipótesis implica lo siguiente:
H0 : ρ = 0
Los errores no son observados. Sin embargo, podemos reemplazar los
errores por los correspondientes residuos, ût .
El contraste de Correlación Serial AR(1) con regresores estrictamente
exógenos consiste:
(i) Correr la regresión de MCO de yt en xt1, ..., xtk y obtiene los
residuos MCO, ût , para todo t = 1, 2, ..., n.
(ii) Correr la regresión de ût en ût−1 para todo t = 1, 2, ..., n.
obteniendo el coeficiente ρ̂ y su estadístico tρ̂.
(iii) Usar tρ̂ para contrastar H0 : ρ = 0 contra H1 : ρ 6= 0.
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 4 / 12
Contraste Durbin-Watson
El estadístico Durbin-Watson es también basado en los residuos MCO:
DW =
n
∑
t=2
(ût − ût−1)2
n
∑
t=1
û2t
≈ 2 (1− ρ̂)
Muchos paquetes económetricos tabulan los valores críticos y los
p-values para DW.
Usualmente, el contraste DW es calculado para la alternativa:
H1 : ρ > 0
Usando la aproximación de DW anterior, ρ̂ ≈ 0 implica que el DW
≈ 2, y ρ̂ > 0 implica que el DW< 2.
Por consiguiente, para rechazar la hipótesis nula en favor de la
alternativa necesitamos un valor de DW que sea significativamente
menor a dos.
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 5 / 12
Contraste Durbin-Watson
Desafortunadamente, debido a los problemas que existen al obtener la
distribución bajo la nula del DW, nosotros debemos comparar DW en
dos conjuntos de valores críticos.
Estos usualmente son llamados dU (para el límite superior) y dL (para
el lìmite inferior). Si DW<dL, luego, nosotros rechazamos la hipótesis
nula en favor de la alternativa.
Si DW>dU , nosotros no rechazamos la hipótesis nula. Si
dL ≤ DW ≤ dU , el contraste no es concluyente.
Dado que el DW nos puede llevar a una región donde no es
concluyente, las desventajas estadísticas de este contraste con
grandes.
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Contraste para Correlación Serial AR(1) sin regresores
exógenos
Los pasos para el Contraste de Correlación Serial con Regresores
Generales son:
(i) Correr la regresión MCO de yt en xt1, xt2, ..., xtk y obtener los
residuos, ût , para todo t = 1, 2, .., n.
(ii) Correr la regresión de
ût en xt1, xt2, ..., xtk , ût−1, para todo t = 2, ..., n.
para obtener el coeficiente ρ̂ en ût−1 y su estadístico tρ̂.
(iii) Usar tρ̂ para contrastar H0 : ρ = 0 contra H1 : ρ 6= 0.
Casualmente, debido a que ût = yt − β̂0 − β̂1xt1 − ...− β̂kxtk en el
paso (ii) se puede usar yt en lugar de ût .
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Contraste de Correlación Serial de Orden Mayor
La hipótesis nula tiene la siguiente forma:
H0 : ρ1 = 0, ρ2 = 0, ..., ρq = 0
para contrastar la correlación serial en un modelo autoregresivo de
orden q:
ut = ρ1ut−1 + ρ2ut−2 + ...+ ρqut−q + et
Los pasos del contraste son los siguientes:
(i) Correr la regresión MCO de yt en xt1, ..., xtk y obtener los residuos
MCO, ût , para todo t = 1, 2, ..., n.
(ii) Correr la regresión de ût en xt1, ..., xtk , ût−1, ût−2, ..., ût−q , para
todo t = (q + 1) , ..., n.
(iii) Calcular el contraste F de significancia conjunta de
ût−1, ût−2, ..., ût−q . El estadístico LM (contraste de Breusch-Godfrey)
es
LM = (n− q)R2û
Bajo la nula se distribuye asintóticamente como χ2q .
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Corrigiendo Correlación Serial con Regresores Exógenos
Para obtener el estimador BLUE en un modelo AR(1) necesitamos
relajar el supuesto que los errores no se encuentran correlacionados.
ut = ρut−1 + et , para todo t = 1, 2, ...
La varianza de ut tendrá la siguiente forma:
Var (ut ) =
σ2e
(1− ρ2)
Vamos a trabajar con el modelo de regresión lineal simple. Para
realizar las transformaciones necesarias necesitamos las siguientes dos
ecuaciones para t ≥ 2:
yt−1 = β0 + β1xt−1 + ut−1
yt = β0 + β1xt + ut
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Corrigiendo Correlación Serial con Regresores Exógenos
Ahora, multiplicamos la primera ecuación por ρ y la restamos a la
segunda ecuación:
ỹt = (1− ρ) β0 + β1x̃t + et , t ≥ 2
donde ỹt = yt − ρyt−1, x̃t = xt − ρxt−1 y et = ut − ρut−1. Estas
nuevas variables son llamadas los datos cuasi-diferenciados ya que si
ρ = 1 serían diferenciados.
Esta ecuación satisface todos los supuestos de Gauss-Markov.
Para que los estimadores de la ecuación anterior sean BLUE
necesitamos modificar la observación del primer período que no ha
sido considerada.
ỹ1 =
(
1− ρ2
) 1
2 β0 + β1x̃1 + ũ1
donde ũ1 =
(
1− ρ2
) 1
2 u1, ỹ1 =
(
1− ρ2
) 1
2 y1 y x̃1 =
(
1− ρ2
) 1
2 x1.
El error tiene varianza σ2e , por eso, podemos obtener estimadores
BLUE de β0 y β1. Esto es otro ejemplos de MCG si conocemos ρ.
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 10 / 12
Estimación por Mínimos Cuadrados Factibles de los errores
AR(1)
El problema con el estimador de MCG es que ρ es raramente
conocido. Sin embargo, nosotros ya conocemos como obtener un
estimador consistente de ρ.
Para ello, nosotros estimamos los residuos de MCO con su respectivo
rezago. Luego, usamos este ρ̂, en lugar de ρ para obtener las variables
cuasi-diferenciadas. Finalmente, empleamos MCO en la ecuación:
ỹt = β0x̃t0 + β1x̃t1 + ...+ βk x̃tk + errort
Donde x̃t0 = (1− ρ̂) para t ≥ 2, y x̃10 =
(
1− ρ̂2
) 1
2 .
Esto resulta en los estimadores de Mínimos Cuadrados Factibles
(MCF) de los βj .
Los errores estándar, los estadísticos t y F son asintóticamente válidos.
Dado que el estimador MCF no es insesgado, no es BLUE. Sin
embargo, es asintóticamente más eficiente que un estimador MCO
cuando los errores tienen correlación serial AR(1).
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Estimación por Mínimos Cuadrados Factibles de los errores
AR(1)
Existen diferentes nombres de la estimación por MCF que provienen
de los diferentes métodos de estimación de ρ y los diferentes
tratamientos de la primera observación.
La estimación de Cochrane-Orcutt (CO) omite la primera observación
y usa el ρ̂.
La estimación de Prais-Winsten (PW) usa la primera observación con
la transformación explicada anteriormente.
En la práctica, ambos métodos son usados en un esquema iterativo
hasta encontrar dos estimadores de ρ que sean similares después de
dos iteraciones consecutivas.
Y. Portilla (UC) Econometría 1 06/14 12 / 12
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