Analisis-parametrico-de-un-quemador-de-premezcla-pobre-con-un-medio-poroso-y-un-flujo-de-aire-adyacente

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE 
MÉXICO 
 
 
 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ANÁLISIS PARAMETRICO DE UN QUEMADOR DE 
PREMEZCLA POBRE CON UN MEDIO POROSO Y 
UN FLUJO DE AIRE ADYACENTE” 
 
 
 
 
T E S I S 
Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E 
I N G E N I E R O M E C Á N I C O 
 
 
P R E S E N T A: 
 
 
DUQUE BERMUDEZ EDUARDO 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: DR. WILLIAM VICENTE Y RODRIGUEZ 
 
 
 
 
 
MÉXICO, D.F. CD. UNIVERSITARIA 
 
 
 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
AGRADECIMIENTOS. 
En estas líneas quiero agradecer a todas aquellas personas que me han apoyado y me han 
brindado su amistad durante el transcurso de mi vida en especial a mi mamá Dora Bermúdez 
Avilez, que siempre me ha apoyado en todas las cosas que he emprendido, a mi hermana Luci que 
siempre me ha estado presionando para que salga adelante y a la bebita, que donde quiera que se 
encuentre estará muy orgullosa de su brother al igual que papá. 
Además quiero agradecer a mi primo Sergio Brito Duque, por encaminarme a la 
Universidad, así como también a mi tía Leonor Duque y a Lurdes quienes siempre me han dado 
sus consejos. 
También le quiero agradecer el apoyo brindado por la UNAM y darme la oportunidad de 
ser parte de ella, quiero también mencionar al Dr. William Vicente y Rodríguez director de este 
trabajo de tesis por su paciencia, tolerancia y empeño para la realización de este trabajo, gracias 
también al Dr. Martín Salinas Vázquez por su apoyo 
De igual forma quiero agradecerle a mi novia Jacqueline Jiménez Ruiz por que a lo largo 
de toda mi formación académica dentro y fuera de la universidad me ha apoyado al igual que toda 
su familia incluyendo al “chepes”. 
Además les doy las gracias sinceras a todas aquellas personas que han contribuido con una 
sonrisa, con una palabra, con un joke y darme ánimo para que pudiera terminar, por fin, este 
trabajo. 
Y se agradece a la Dirección General del Personal Académico por el apoyo brindado 
mediante el proyecto PAPIIT-IN-109106-3 
 
 
 
Gracias Totales Lalo. 
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iii 
 
 
Simbología. 
 
 
 
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iv 
 
Índice general 
 
Capitulo 1 Introducción 
 
 
1. Introducción………………………………………………………………………………….. 5
2. Métodos de predicción…..………………………………………………………………….... 4
3. Objetivos…………………………………………………………………………………….... 7
4. Estructura de la tesis……………..………………………………………………………….... 8
 
Capitulo 2 Ecuaciones de transporte 
1. Introducción………………………………………...………………………………………… 9
2. Ecuación Continuidad………………………………………………….…………………….. 10
3. Conservación de cantidad de movimiento………..………………………………………….. 10
4. Conservación de las especies……………………………….………………………………… 11
5. Conservación de la energía total……………………………………………………………… 13
6. Ecuación de estado y flujo difusivo ……………………………………………………......... 14
7. Ecuación diferencial homogénea y fracción de mezcla……………………………………… 17
8. Promediado de las ecuaciones ……………………………………………………………….. 19
9. Modelos de radiación….……………………………………………………………………... 24
10. Modelos de combustión….…………………………………………………………………… 26
11. Mecanismos reducidos……………………………………………...………………………... 26
 11.1 Mecanismo global de un paso ………………………………….………………………. 27
 11.2 Mecanismo global de dos pasos………………………………………..……………….. 27
12. Lecho granular………………...……………………………………………………………… 29
 
Capitulo 3 Método de solución 
1. Introducción…………………………………………………………………………………... 29
2. Método de volúmenes finitos………………………………………………………………… 29
 
Capitulo 4 Resultados 
1. Introducción…………………………………………………………………………………... 36
2. Definición de conceptos……………………………………………………………………… 36
 2.1 Combustión……………………………………………………………………………… 36
 2.2Configuración experimental………………………………………………………………. 37
3. Análisis cualitativo…………………………………………………………………………… 40
4. Resultados cualitativos ………………………………………………………………………. 41
 4.1 Perfil de velocidad……………………………………………………………………….. 41
 4.2 Perfil de temperaturas……………………………………………………………………. 43
 4.3 Concentración de especies químicas mayoritarias………………………………………. 44
 4.4 Contornos de H2O……………………………………………………………………….. 44
 4.5 Contornos de CO2……………………………………………………………………….. 45
 4.6 Contornos de O2…………………………………………………………………………. 46
 4.7 Concentración de especies químicas minoritarias ………………………………………. 47
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Bibliografía. 
 
 
- v - 
 4.8 Contornos de CO ………………………………………………………………………... 47
5. Análisis cuantitativo ……………………………..................................................................... 48
 Tabla numero 3. Variaciones de velocidad……………………………………………... 48
 Tabla numero 4. Variación de la posición del medio poroso……………………………. 55
 Tabla numero 5 Variación de la relación Aire Combustible.……………………………. 57
 
 Capitulo 5 Conclusiones y recomendaciones 
1. Introducción………………………………………………………………………………….. 60
2. Recomendaciones ………...…...……………………….......................................................... 61
 
Apéndice A Modelos de Turbulencia 
1. Introducción….……………………………………………………………………………….. 62
2. Cierres de segundo orden ……………………………………………………………………. 62
3. Modelos de viscosidad turbulenta……………………………………………………………. 66
 
Apéndice B Esquemas de Discretización. 
 
1. Introducción…………………………………………………………………………………... 69
2. Esquemas lineales…………………………………………………………………………..... 70
 2.1 Diferencias desplazadas de primer orden........................................................................... 70
 2.2 Diferencias centradas…………………………………………………………………….. 70
 2.3 Hibrido…………………………………………………………………………………… 71
 
 
 Bibliografía……..…………………………………………………………………………………... 
72
 
 
 
 
 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
- 1 - 
 
Capítulo 1. Introducción. 
 
El crecimiento poblacional en nuestro país, principalmente en la Ciudad de México y área 
conurbada, hacen que la mancha urbana siga ganándole terreno a las reservas ecológicas debido a los 
numerosos asentamientos irregulares en zonas denominadas como “suelo de conservación”, esto 
aunado al rápido crecimiento del parque automotriz; a la falta de vialidades adecuadas para una 
buena circulación; un deficiente y ya obsoleto sistema de transporte traen como resultado la 
contaminación atmosférica cuando su principal fuente de abastecimiento de energía son los 
combustibles fósiles. Debido a que la combustión de estos hidrocarburos alteran el equilibrio 
ambiental que cambia la composición de la atmosfera generando problemas y efectos colaterales. La 
atmósfera es esencial para el desarrollo de la vida en nuestro planeta y cualquier cambio repercute en 
los seres vivos, por lo tanto es muy importante encontrar fuentes alternas de energía y mejorar los 
sistemas de combustión que disminuyan las emisiones contaminantes para así mantener una calidad 
de aire aceptable. 
El resultado de la combustión de hidrocarburos, son emisiones altamente contaminantes como; 
monóxido de carbono (CO), bióxido de carbono(CO2), los compuestos de nitrógeno llamados 
colectivamente óxidos de nitrógeno (NOX), hidrocarburo inquemados, entre otros. Estos gases en su 
conjunto provocan diferentes fenómenos atmosféricos como el llamado efecto invernadero, que es 
un fenómeno natural y que se encarga de mantener un equilibrio térmico sobre la superficie de la 
tierra. En las últimas décadas debido al aumento de estos gases, la tierra ha estado experimentando 
un sobrecalentamiento global, lo que deriva en problemas tales como el deshielo de los polos 
terrestres, el aumento consecuente del nivel del mar, la inundación de ciudades costeras, la pérdida 
de biodiversidad, además de contribuir a la desertización de áreas cercanas a los trópicos, y por tanto 
un aumento de hambrunas y conflictos internacionales. 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
- 2 - 
 
Para contrarrestar las diversas problemáticas mencionadas, algunos países desarrollados han 
adoptado diferentes acuerdos, uno de ellos es el protocolo de Kyoto, en este acuerdo los países se 
han comprometido a reducir, de manera considerable las emisiones contaminantes para evitar el 
sobrecalentamiento, por otra parte teniendo en cuenta que las fuentes móviles representan la 
principal cusa de la formación de estos gases nocivos los grandes fabricantes automotrices, destinan 
millonarias sumas en investigaciones, todas encaminadas a eficientar los sistemas de transporte en el 
mundo. 
Actualmente, en México también se están llevando a cabo investigaciones al respecto, donde 
sistemas educativos, ONG`s y gobierno promueven la participación de la sociedad para el ahorro de 
energía. En este sentido el Instituto de Ingeniería, en conjunto con el Laboratorio de Control de 
Emisiones de la Facultad de Ingeniería ambos de la Universidad Nacional Autónoma de México, 
está llevando a cabo diversas investigaciones para proponer un quemador de propano que accione un 
Motor de Combustión Externa (MCE) 
En el prototipo del quemador analizado, la combustión se lleva a cabo en un cilindro fuera del 
motor, y los gases productos de la combustión se utilizan para realizar el trabajo útil dentro del 
motor. 
La figura 1 muestra la configuración del MCE, así como las partes principales que lo constituyen y 
se describe de manera simplificada el funcionamiento de dicho motor. 
 
 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
- 3 - 
 
 
Figura 1. Configuración del motor de combustión externa 
 
Como se observa en la figura 1, el aire se comprime mediante el cilindro (1), este aire se introduce 
en el quemador (2), en el cual también se inyecta una mezcla de aire-combustible a través de una 
boquilla, (además del agua que proviene de las camisas que el motor y al propio quemador). La 
combustión se inicia con el disparo de la bujía (3) y la energía térmica liberada hacen que se 
incremente el volumen y la temperatura de los gases los que se expanden en el cilindro de expansión 
(4), generando el trabajo útil. 
Al realizarse la combustión en un sistema externo y no en un sistema cilindro embolo, como 
comúnmente se lleva a cabo, se tiene un mejor control sobre las emisiones, producidas en este 
proceso y por lo tanto es un beneficio al medio ambiente. 
Para el MCE se propuso un quemador que se explicara con mayor detalle en el capitulo 4, este 
quemador básicamente consiste de en un sistema compuesto de una entrada de aire-combustible 
previamente premezclados y un flujo de aire que entra de forma anular a la cámara de combustión. 
El combustible es gas LP, en particular usamos propano, y la mezcla de aire combustible se vario en 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
- 4 - 
 
diferentes porcentajes para hacerla rica, pobre y estequiométrica. Aguas abajo de la entrada del 
quemador se localiza un medio poroso cuya finalidad es confinar la llama, provocando una mejor 
mezcla de los gases, la distancia existente entre la salida de los gases y el medio poroso se vario para 
permitiendo de esta forma encontrar la distancia más adecuada entre estos dos elementos, 
permitiendo de esta manera un mejor aprovechamiento del combustible. 
La combustión de premezcla pobre (o Lean Premixed Combustion, LPC), como la que opera el 
quemador es una técnica empleada para reducir los niveles de NOX. En LPC, el combustible y el 
oxidante se mezclan de forma previa a la entrada del quemador, en tales proporciones que existe un 
substancial exceso de aire, el exceso de aire combinado con la premezcla, evita las regiones 
temperaturas que están asociadas a las zonas estequiométricas de las llamas no premezcladas y por 
tanto conduce a una disminución de las emisiones de NOX 
La riqueza o pobreza de la mezcla combustible y aire se indica frecuentemente mediante la 
comparación de la relación aire/combustible en la llama con la misma relación para proporciones 
estequiométricas, esto es las proporciones de combustible y oxidante en la mezcla para tener una 
reacción completa para que no sobre ninguno de ellos. Al cociente de estas dos relaciones se le llama 
tasa de equivalencia, φ. Por lo tanto si φ>1, la mezcla es rica en combustible; si φ=1 la mezcla es 
estequiométrica y si φ<1, la mezcla es pobre en combustible es decir se tiene un exceso de oxidante. 
 
2. Métodos de predicción. 
 
El diseño de un quemador, como el propuesto para el MCE debe muy eficiente y poco contaminante 
por lo que requiere un conocimiento de las características del flujo del fluido y de su interacción con 
la cinética química de la combustión. 
El sistema a analizar es de geometría multidimensional y consta de una mezcla multicomponente de 
gases que reaccionan químicamente entre ellos. El flujo es turbulento como en la mayoría de las 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
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aplicaciones donde encontramos procesos de combustión. El sistema se puede analizar mediante dos 
técnicas; la primera serían ensayos experimentales, donde se requiere un prototipo o modelo físico 
del sistema y llevar a cabo ensayos y mediciones. Además el modelo físico se debe instrumentarse 
adecuadamente para llevar a cabo las mediciones de forma correcta, lo cual nos tomaría mucho 
tiempo y dinero. La segunda alternativa es la simulación numérica, mas económica que la 
experimentación, y nos proporciona resultados más completos y detallados 
 En la mayoría de los procesos de combustión el flujo analizado es turbulento, al igual que en este 
trabajo, el problema tiene la dificultad añadida de la complejidad de la cinética química de la 
combustión que involucra un gran número de reacciones y de especies. 
Para simular el flujo numéricamente, se tienen tres alternativas, la primera es la Simulación 
Numérica Directa (Direct Numerical Simulation, DNS), que consiste en la discretización de las 
ecuaciones instantáneas que gobiernan el movimiento del flujo, válidas tanto para flujo laminar 
como para turbulento. Las ecuaciones que se resuelven son: las ecuaciones de conservación de masa, 
las de cantidad de movimiento, la de energía y las de especies químicas. Por este método se 
resuelven todas las escalas espaciales y temporales de las variables del flujo, y por lo tanto no 
requiere de ninguna aproximación o modelo de turbulencia. En el flujo turbulento sin reacciónpara 
capturar todas las escalas, el número de puntos de la discretización (espacio temporal) es función del 
número de Reynolds elevado prácticamente al cubo. Debido a que el problema considerado incluye 
especies reactivas aparecerán escalas menores que exigen más detalle en la simulación, como el flujo 
de interés es casi siempre turbulento y con un número de Reynolds alto, la aplicación de este método 
se limita por la falta de equipos de cálculo con suficiente potencia. 
La segunda alternativa es la Simulación de Grandes Escalas (Large Eddy Simulation, LES), esta 
resuelve las ecuaciones para las escalas de mayor tamaño modelando el efecto de las pequeñas 
fluctuaciones sobre ellas. Aun cuando esta técnica puede mejorar sustancialmente la predicción de la 
aerodinámica del flujo sobre todo en flujos con estructuras transitorias de vorticidad que dominan los 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
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procesos, la mayor parte de las reacciones químicas asociadas a la combustión siguen sucediendo en 
estructuras que están por debajo de la resolución de la malla, y por lo tanto hay que modelar su 
efecto en las estructuras resueltas. 
Finalmente la tercera posibilidad es, una simulación con ecuaciones promediadas (RANS) 
extensamente utilizada en casos prácticos de interés industrial y que consiste en promediar todas las 
escalas, espaciales y temporales, de las fluctuaciones turbulentas y resolver las ecuaciones de 
transporte en términos de variables medias del sistema. 
En el presente trabajo se utilizara la alternativa de ecuaciones promediadas, descrita en el capítulo 2 
con mayor detalle. Este método tiene el nombre de RANS (Reynolds Average Navier-Stokes 
equations) donde el transporte turbulento de la cantidad de movimiento, energía o especies químicas, 
se modela mediante algún modelo de turbulencia que se tratan en el apéndice A. 
La modelización del término de reacción química implica a menudo la comparación entre los 
tiempos característicos asociados a la cinética química tq, y aquellos asociados a una escala del 
movimiento turbulento por ejemplo la escala integral de la turbulencia tI, o la escala de Kolmogorov 
tK0. El número de Damköhler es la relación entre estos tiempos por ejemplo DaK0= tI/tq. (Se puede 
análogamente definir DaK0= tK0/tq). 
Una hipótesis a menudo utilizada es la llamada “hipótesis de la química rápida” en la que se supone 
que tq<<tI o Da>>1. En esta situación se considera frecuentemente que la reacción química ocurre 
en una capa delgada que no es afectada internamente, por la turbulencia por lo que se puede simular 
como una llama laminar afectada en su forma por transporte turbulento. Esta aproximación se 
denomina “flamelet laminar” [24]. Para números de Damköhler muy altos una simplificación 
adicional permite considerar la reacción infinitamente rápida, ignorando totalmente la tasa cinética 
de reacción. Entre esta clase de modelos se encuentran los modelos del tipo “lo que se mezcla 
reacciona” (mixed is burned), incluyendo el popular modelo Eddy Break Up (EBU) [14]. El modelo 
EBU supone que en la reacción química, el factor límite es la velocidad a la que los reactantes se 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
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mezclan a nivel molecular, ayudados por la turbulencia, la mayor parte de las reacciones que liberan 
energía en la combustión pueden considerarse, condiciones normales, rápidas. 
Por otro lado si se supone que la reacción química es mucho mas lenta que la tasa de mezcla de los 
reactantes (tq<<tI, o equivalente Da>>1), entonces se puede considerar que el fluido 
multicomponente esta perfectamente mezclado y la tasa de reacción se puede evaluar con valores 
medios de los escalares termoquímicos. 
Cuando los tiempos característicos de la cinética química y escalas turbulentas se solapan, el uso de 
la función de densidad de probabilidad (FDPs) de los escalares termoquímicos pueden ser una 
opción para calcular la tasa media de reacción. La FDP contiene toda la información estadística 
sobre los escalares que influyen en la reacción y por tanto permite calcular el termino de reacción sin 
ninguna aproximación. 
Para determinar la FDP en cada punto del flujo reactivo de interés existen fundamentalmente dos 
alternativas; por un lado se puede suponer una forma determinada dentro (de una familia) para la 
FDP, por ejemplo gaussiana, y calcular su forma concreta a partir de un cierto número de parámetros 
estadísticos obtenibles en cada punto a través de modelos. Alternativamente se puede deducir y 
resolver numéricamente una ecuación de transporte para la FDP, similar a las utilizadas para el 
transporte de las especies químicas. 
Dados los altos requerimientos computacionales y en tiempo de calculo por parte de las FDP´s en 
esta tesis se utilizara un modelo de tipo disipación viscosa, que incluye el efecto de las tasas de 
reacción química y el modelo Eddy Break Up. Este modelo se trata en el capitulo 2. 
 
3. Objetivos 
 
Proponer una configuración física adecuada para el quemador de propano. Así mismo presentar las 
condiciones químicas más apropiadas para un eficiente funcionamiento, tomando en cuenta el 
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Capítulo 1 Introducción 
 
 
- 8 - 
 
cuidado el medio ambiente. Teniendo como base el análisis numérico siendo este proceso el mas 
tardado de la investigación. 
Llevar a cabo el objetivo planteado, se realizaron distintas simulaciones tomando como referencia un 
caso base. En la primera etapa se hizo variar la velocidad del aire circundante, para la segunda etapa 
se vario la posición del medio poroso y finalmente se vario la relación de aire-combustible que 
entran por la boquilla. 
 
4. Estructura de la tesis 
 
Tras este capítulo introductorio, en el capítulo 2 se presentan las ecuaciones de transporte que 
gobiernan el movimiento del flujo y se deduce las ecuaciones promediadas que resuelven el modelo. 
En el capítulo 3 se presenta el método utilizado para la solución de las ecuaciones de transporte 
descritas en el capitulo anterior, que describe el flujo. 
En el capítulo 4 tras una breve introducción se presentan los resultados cualitativos, productos de 
una simulación para un caso base, posteriormente se presentan resultados de las 15 simulaciones 
hechas a parir de este caso base variando diferentes paramentos tanto físicos como químicos. 
Las conclusiones y las recomendaciones para posteriores investigaciones se presentan en el capítulo 
5 
Los apéndices A y B, presentan los modelos de turbulencia y esquemas de discretización utilizados 
respectivamente. 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 9 - 
 
Capítulo 2. Ecuaciones de Transporte. 
 
1. Introducción 
 
 
En el capitulo introductorio se hablo de de tres alternativas para la simulación de flujos turbulentos, 
en este capítulo veremos definiciones básicas y algunas consideraciones que se hacen debido al 
problema considerado, también explicare el método utilizado en la simulación del quemador de 
propano considerado. 
La alternativa más conveniente para la simulación de flujos turbulentos es, a mi parecer, el 
promediado de las ecuaciones de Navier-Stokes (RANS) ya que es menos exigente 
computacionalmente hablando, aun cuando sí requiere medios considerables debido aque son 
cálculos tridimensionales. 
 
Las ecuaciones que modelan el efecto de la radiación térmica y la definición de la ecuación integro-
diferencial del flujo radiante con su resolución, se presentan posteriormente. 
 
Si consideramos que la cinética química de las reacciones en la combustión es muy rápida, podemos 
afirmar que estas reacciones ocurren en una capa delgada que es deformada por la turbulencia, sin 
embargo la estructura interna de la reacción no se ve afectada. El número de variables o especies que 
intervienen en la combustión es muy grande y por lo tanto nos vemos obligados a reducir el sistema 
químico detallado a uno más sencillo y los modelos utilizados para este fin se explican mas adelante. 
Por ultimo daré la explicación del por que introducir un medio poroso dentro del quemador 
 
 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 10 - 
 
2. Continuidad 
 
La ecuación de continuidad la expresa la conservación de masa y la podemos definir como: 
 ( ) 0=⋅∇+
∂
∂ υρρ r
t
 (1) 
donde υ y ρ son la velocidad y la densidad instantáneas de la mezcla reactiva respectivamente. 
 
3. Conservación de cantidad de movimiento 
 
La conservación de cantidad de movimiento del flujo se describe por la siguiente ecuación: 
 ( ) ( ) mfpt
rrrrrr ρτυυρυρ +′⋅∇+−∇=⋅∇+
∂
∂
 (2) 
donde p es la presión, τ ′rr es el tensor de esfuerzos viscosos y f m
r
 son las fuerzas másicas, por 
ejemplo la gravedad, gr 
A su vez la ley de Navier-Poisson establece que el tensor de esfuerzos viscosos es [1]: 
 ( ) ( )( )δυμμυυμτ υ
rrrrrrrr ⋅∇−+∇+∇=′ 3/2T (3) 
donde μ es la viscosidad molecular de la mezcla, μυ es el coeficiente de viscosidad volumétrico y 
δ
rr
es el tensor delta de Kronecker. Por lo general, el coeficiente de viscosidad volumétrico se 
desprecia. [25]. 
Sustituyendo esta última ecuación en (2), se obtienen las ecuaciones de Navier- Stokes, que se define 
como: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) gp
t
T rrrrrrrrr ρδυυυμυυρυρ +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅∇−∇+∇⋅∇+−∇=⋅∇+
∂
∂
3
2 (4) 
 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 11 - 
 
4. Conservación de las especies 
 
En una mezcla de N especies, la fracción másica de una especie química α es: 
 
mezclaladetotalmasa
especielademasa
m
mY
T
== αα (5) 
de acuerdo con esta definición, podemos afirmar que la suma de todas las fracciones másicas de las 
especies es uno. 
11 =∑ = Y
N
αα . 
La conservación de la especie α se expresa en términos de la fracción másica por la ecuación: 
 ( ) SJYYt αααα υρρ +⋅−∇=⋅∇+∂
∂ rr )( N...,2,1=α (6) 
donde J
r
α es el flujo difusivo y Sα es la tasa de formación neta de la especie α . Para satisfacer la 
ecuación de continuidad (1), se tiene que cumplir que: 
 01 =∑ = S
N
αα y 01 =∑ = J
N r
αα 
El flujo difusivo de la especie α , J
r
α se trata más adelante. 
 
Una expresión general que representa la tasa de reacción química, Sα , se puede obtener si 
suponemos un sistema químico con R reacciones, presentan la siguiente forma: 
 χνχν α
α
αα
α
α ∑↔∑
==
N
b
r
N
f
r
1
,
1
, Rr ,...,1= (7) 
donde χα es el símbolo químico de cada especie, ν α son los coeficientes estequiométricos, el 
superíndice f indica la reacción directa (forward) y b reacción inversa (backward). Cuando la 
reacción (7) es elemental, la tasa de producción Sα es: 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 12 - 
 
 ( )ωνν ααααα
α
r
R
r
f
r
b
r
v
WS
r
,
1
,,
,
∑ −=
= 43421 N,.....,1=α (8) 
donde W α es el peso molecular de la especie α y ωα r, es la velocidad de reacción de la especie α , 
debido a la reacción r . La tasa de reacción neta,ωα r, , de la reacción r es: 
 [ ] [ ]∏−∏=
==
N
rb
N
rfr XkXk
b
r
f
r
1
,
1
,,
,,
αα
α α να νω αα (9) 
donde [ ]X α es la fracción molar de la especie α y k rf , y k rb, son respectivamente las constantes de 
reacción directa e inversa de la reacción r . La constante de reacción directa, k rf , según la ley de 
Arrhenius se define como: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= TR
E
rrf
c
r
rebTAk , (10) 
donde Ar es un factor pre-exponencial, br es el exponente de la temperatura, Er es la energía de 
activación y Rc es la constante universal de los gases. La reacción constante de la reacción inversa 
rbk , se relaciona con la constante de reacción directa, rfk , , mediante la siguiente constante de 
equilibrio: 
 
re
rf
rb k
k
k
,
,
, = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ−=
RT
Zk
o
re exp, (11) 
donde Z oΔ es el cambio de energía de Helmholtz en el estado estándar. 
Por otra parte el cambio de la energía libre de Helmholtz en el estado estándar es: 
 ( )( )oo
N fbo STUssZ ααα
α
αα −∑ −=Δ
=1
 (12) 
donde oUα , αT y 
oSα son, la energía interna, temperatura y la entropía en el estado estándar de la 
especie α . 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 13 - 
 
La ecuación (6) también se puede formular en términos de la molalidad, nα , número de moles por 
unidad de masa de la mezcla, definida como: 
 
W
Yn
α
α
α
= (13) 
 
5. Conservación de la energía total 
 
La energía total de la mezcla es la suma de las energías cinética, potencial e interna: 
 Uue ++= υ
r 2
2
1
 (14) 
donde e , u y U son respectivamente la energía específica total, interna y potencial, y Ug −∇=r . 
 
La ecuación de la energía total se define como: 
 ( ) ( ) QJpUuUut re
&rrr
rrrrr +⋅∇−⋅∇−⋅′⋅∇=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⋅∇+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
∂
∂ υυτυυρυρ 22
2
1
2
1 (15) 
donde J e
r es el flujo difusivo de calor y Qr& es el intercambio de calor por radiación. De esta misma 
ecuación, podemos decir que los dos primeros términos representan el trabajo de las fuerzas viscosas 
y de presión. 
La entalpía de la mezcla se define como: 
 
ρ
puh += (16) 
Y en términos de esta ultima ecuación, la ecuación de la energía total la podemos escribir como: 
 QJDt
DpUhUh
t rh
&rr
rrrrr +⋅∇−∇′+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⋅∇+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
∂
∂ υτυυρυρ :
2
1
2
1 22 (17) 
donde ∇⋅+∂∂= υrtDtD , es la derivadasustancial, y ( )υτ rrr ⋅′⋅∇ es la disipación viscosa, ΦV . 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 14 - 
 
En flujos de baja velocidad, el número de Mach ( TRMa oco γυr= , donde γ es la relación entre 
las capacidades térmicas a presión y a volumen constante) es pequeño, 1<<Ma , y por lo tanto, la 
energía cinética comparada con la entalpía es despreciable.[26] 
El flujo es de baja velocidad, pero el número de Froude es grande, 12 >>= lgFr oo
rrυ por lo tanto las 
fuerzas de inercia son mucho mayores que las gravitatorias. 
El término DtDp es importante si se tienen en el sistema de gradientes de presión extrema, como 
ondas de choque o detonaciones [25], que en esta investigación no se analizara. 
El número de Eckert, TCpEc ooυr2= nos indica la contribución de la disipación de la energía 
cinética al nivel total de la entalpía. Cuando, en el caso de los fluidos estudiados en esta tesis, 
1<<Ec , el término ΦV se puede despreciar. La explicación del término J h
r se presenta más 
adelante. 
En la combustión el intercambio de energía por radiación,Qr& , es importante cuando hay flujos con 
altas temperaturas. Sin embargo no lo considerare en está investigación, debido a que el efecto de la 
radiación lo estudiare con el modelo de pérdidas de calor por radiación. 
 
6. Ecuación de estado y flujo difusivo 
 
Todas las ecuaciones anteriormente presentadas deben complementarse con ecuaciones de estado 
que relacionen variables más simples de controlar como la presión, la densidad y la temperatura, 
igualmente con expresiones para los flujos difusivos. 
En términos de la densidad de las especies constitutivas dentro de la mezcla, la densidad la podemos 
calcula como: 
 
∑
=
=
N Y
1
1
α
α
α
ρ
ρ (18) 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 15 - 
 
Suponiendo una mezcla de gases ideales tenemos: 
 
∑ =
=
N
W
Y
RT
p
1α
α
α
ρ (19) 
La temperatura la podemos conocer a partir de la definición de la entalpía de la mezcla: 
 hYh
N
α
α
α∑=
=1
 (20) 
donde como ya vimos hα es la entalpía de cada especie de la mezcla y por ende la entalpía de la 
especie α es la suma de las entalpías térmica y química: 
 hdTTCph f
T
To ααα ,
'' Δ+∫= (21) 
donde Cpα es el calor específico a presión constante de la especie α , T o es la temperatura inicial o 
de referencia y h f α,Δ es la entalpía de formación de la especie α , definido como el calor liberado 
cuando un kilomol de sustancia es formado a partir de sus elementos en el estado estándar. 
El flujo difusivo, J
r
α , se produce por gradiente de especies, de temperatura (efecto Soret), y de 
presión[26]. Estos dos efectos, generalmente, son despreciados en flujos con combustión ([25] y 
[26]). El flujo difusivo, J
r
α , se expresa mediante la ley de Fick, que se escribe como [25]: 
 XWD
W
WJ
N
m
ββ
αβ
αβ
α
α
ρ
∇∑=
≠
2
r
 (22) 
donde los subíndices α y β indican especies químicas, Dαβ es el coeficiente de difusión binario, 
X α es la fracción molar y W m es igual a .WXN αα α∑ Generalmente esta componente de flujo difusivo 
se suele aproximar con la expresión: 
 α
α
α
αα ρ XX
YDJ M ∇−=
r
 (23) 
donde D Mα es el coeficiente de difusión medio de la especie α en la mezcla de especies. El 
coeficiente MDα se puede calcular a partir del coeficiente de difusión binario αβD : 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 16 - 
 
 
∑ ≠
Υ−
= N
M
Dx
D
αβ αβ
α
α
β
1 (24) 
El flujo difusivo de calor, hJ
r
 se produce por conducción de calor, definido como el efecto Dufour y 
por el flujo difusivo de la especie. Estos dos últimos efectos son usualmente despreciables en flujos 
con combustión ([25] y [26]); por lo tanto el término ( )hJ
r
 se expresa con la ley de Fourier: 
 TkJh ∇−= (25) 
donde k es la conductividad térmica de la mezcla y T es la temperatura. 
Por otro lado el número adimensional de Schmidt de la especie α , αSc , se define como: 
 
ρ
μ
α
α D
Sc = (26) 
Y así mismo el flujo difusivo de la especie αJ , en términos del anterior número se puede rescribir 
como: 
 ααα Υ∇Γ−=J
r
 DSc αα
α ρ
μ
==Γ (27) 
Aplicando estas suposiciones y sustituyendo en las expresiones de flujos difusivos, anteriormente 
vistas, se pueden escribir de la siguiente manera: 
Ecuación de Continuidad. 
 ( ) 0=⋅∇+
∂
∂ υρρ r
t
 (28) 
Ecuación de Cantidad de Movimiento. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) gp
t
T rrrrrrrrr ρδυυυμυυρυρ +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅∇−∇+∇⋅∇+−∇=⋅∇+
∂
∂
3
2 (29) 
 
Ecuación. de Especies químicas. 
 ( ) ( ) ααααα υρρ SYYYt +∇Γ⋅∇=⋅∇+∂
∂ r (30) 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 17 - 
 
Ecuación de Energía. 
 ( ) ( ) QJhh
t Rh
+⋅−∇=⋅∇+
∂
∂ υρρ r (31) 
Cuando Cp puede suponerse constante, la ley de Fourier igualmente se puede escribir como: 
 h
Cp
kJ h ∇−=
r
 (32) 
 
Y a su vez el número de Prandtl, Pr, Se define como: 
 
 
k
Cpμ=Pr (33) 
 
Por ultimo en términos del número de Prandtl, la expresión (32) se puede escribir como: 
 hhhJ ∇Γ−=
r
 
Pr
μ
=Γh (34) 
 
7. Ecuación diferencial homogénea y fracción de mezcla 
 
Es muy frecuente que en flujos con combustión, se haga la suposición de que los coeficientes 
difusivos de las especies y la entalpía son iguales: 
 hΓ=Γ=Γ α (35) 
El número de Lewis, Le. Se define como: 
 
CpD
kScLe
α
α
ρ
==
Pr
 (36) 
Por lo tanto, la hipótesis de igual difusividad implica que Le es uno. 
Cabe mencionar que la anterior hipótesis de igual difusividadde las especies no suele ser apropiada 
en flujo laminar para especies ligeras, como H y H 2 , cuya menor masa les confiere una mayor 
difusividad, esto para flujo laminar. Por el contrario en un flujo turbulento, como se explica más 
adelante, el término de difusividad molecular es con mucha frecuencia despreciado cuando se le 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 18 - 
 
compara con el transporte turbulento φυ α′′′′
r . Este flujo turbulento se modela como un término de 
difusión turbulenta con igual coeficiente de difusión para las especies y la entalpía, por lo que la 
hipótesis de igual difusividad está justificada. 
Para especies inertes (que no reaccionan), y para otros escalares transportados que no constan de un 
término fuerte, la hipótesis de igual difusividad, como consecuencia sus ecuaciones de conservación 
tienen la misma forma: 
 ( ) ( ) 0=∇Γ⋅∇−⋅∇+
∂
∂
zzzt
φφυρρφ r (37) 
donde zφ es la especie inerte o la entalpía. 
A esta ecuación se le denomina ecuación “homogénea”, por no tener término fuente (S α ). 
Para la ecuación de la entalpía, que no tiene términos fuente, la hipótesis mencionada anteriormente: 
de número de Lewis unitario, también responde a la ecuación diferencial homogénea (37). 
Podemos combinar linealmente las fracciones másicas de las especies reactivas, convenientemente 
pesadas con los coeficientes estequiométricos en distintas reacciones, de forma que el término fuente 
de la ecuación para la variable resultante es nulo. Por lo tanto, la ecuación (37) también representa 
estas combinaciones resultantes, que se denominan frecuentemente como funciones de acoplamiento 
[26]. 
Cuando el sistema a estudiar tiene sólo dos condiciones de contorno distintas para estas variables 
que responden a la ecuación diferencial homogénea (esto es, dos entradas de material), entonces 
todas las soluciones para esas variables están relacionadas linealmente a través de esas condiciones 
de contorno: 
 
21
2
2,.1,
2,.
hh
hh
zz
zz
−
−
=
−
−
φφ
φφ
 (38) 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 19 - 
 
donde las subíndices 1 y 2 indican las entradas. El cociente de la anterior expresión se denomina 
fracción de mezcla, f , y por estar normalizada con las condiciones de contorno varían entre 0 (en 
una entrada) y 1(en la otra). En cualquier punto del dominio, f indica la fracción de material local 
que procede de la entrada 1, y (1-f) la que procede de la entrada 2, independientemente del estado de 
reacción del fluido local. La fracción de la mezcla (38) también responde a la ecuación diferencial 
(37), al ser una combinación lineal de soluciones de esta ecuación. 
 
8. Promediado de las ecuaciones 
 
En la mayoría de los sistemas físicos que se analiza un fluido este se vuelve turbulento, en este 
trabajo de investigación no es la excepción, y la característica que sin duda describe este tipo de 
flujos es una variación irregular y completamente aleatoria del fluido, tanto en el espacio como en el 
tiempo, presentando diferentes características en un mismo proceso. 
 
La alternativa de simulación que hemos seleccionado es un promedio de todas las ecuaciones, esto 
es, se promedian todas las variaciones temporales obteniendo un valor medio que posteriormente se 
utiliza al resolver las ecuaciones de transporte aquí cabe mencionar que estas ecuaciones no son 
cerradas y por lo tanto se requerirán modelos que remplacen a los términos no cerrados. 
Cuando un fluido tiene densidad variable podemos utilizar dos alternativas: 
La primera es sacar el promedio de Reynolds, el cual toma a la densidad como cte. 
Por otra parte podemos obtener el promedio de Favre [3], que es ponderado con la densidad. 
Con el fin de no confundir al lector, la simbología utilizada la definimos en este momento para las 
siguientes ecuaciones representamos con el símbolo Φ a cualquier propiedad transportada, como la 
fracción másica de la especie Yα , la entalpía h y las componentes de velocidad, υ
r . Por otra parte los 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 20 - 
 
valores instantáneos de las mismas propiedades son escritos en términos de un promedio y una 
fluctuación turbulenta: 
 Φ′+Φ=Φ
_
 (39) 
 Φ ′′+Φ=Φ ~ (40) 
Los dos promedios 
_
Φ y Φ~ están definidos como: 
 ( )∑ Φ
∞→
=Φ
=
en
i
i
ee nn 1
_ 1lim Promedio de Reynolds (41) 
 ( ) ( )i
n
i
i
ee
e
nn
Φ∑
∞→
=Φ
=1
1lim~ ρ Promedio de Favre (42) 
En donde ( )iΦ es la muestra i del conjunto de realizaciones n e de un experimento. 
de las definiciones anteriores: 
 0
_____
=Φ ′′ρ , Donde 0
____
≠Φ ′′ (43) 
Con la definición de los dos promedios se obtiene: 
 Φ ′′+Φ=Φ ~ (44) 
 
ρ
ρ Φ ′′′
−=Φ ′′ (45) 
 Φ′′=Φ ′′′ ρρ
______________
 (46) 
 Φ ′′+
Φ ′′′
+Φ ′′=Φ′ ui
uiuiui
_______
___________
________ ~
ρ
ρ
 (47) 
El motivo principal de la aplicación del promedio de Favre en las ecuaciones de transporte es que al 
aplicar este promedio, las ecuaciones resultantes son mucho más sencillas que dejan de incluir 
correcciones con fluctuaciones de densidad. 
 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 21 - 
 
Así pues aplicando el promedio de Favre a las ecuaciones de transporte obtenemos: 
instantáneas de continuidad, cantidad de movimiento, energía y especies químicas, se obtienen las 
ecuaciones siguientes [25]: 
Ecuación de Continuidad. ( ) 0~ =⋅∇+
∂
∂ υρρ r
t
 (48) 
Ecuación de cantidad de movimiento. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gpt
T rrrrrrrrrrr ρυυρδυυυμυυρυρ +′′′′⋅∇−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅∇−∇+∇⋅∇+−∇=⋅∇+
∂
∂ ~
3
2~~~~~ (49) 
Ecuación de energía 
 ( ) ( ) ( ) αααααα υρυρρ SYYYYt +′′′′⋅∇−∇Γ⋅∇=⋅∇+∂
∂ r&&&r ~~~ (50) 
Ecuación de especies químicas 
 ( ) ( )hJhh
t h
′′′′⋅∇−⋅−∇=⋅∇+
∂
∂ υρυρρ rr ~~)~( (51) 
Así mismo aplicando el promedio de Favre en la ecuación homogénea obtenemos: 
 ( ) ( ) ( ) ( )zzzzt φυρφφυρφρ ′′′′⋅∇−∇Γ⋅−∇=⋅∇+∂
∂ r&&&r ~~ (52) 
Estas ecuaciones son idénticas a las correspondientes ecuaciones instantáneas que contienen un 
termino adicional ()Φ ′′′′u i , e involucra fluctuaciones de velocidad y el escalar Φ , y que representa 
físicamente el transporte convectivo de Φ por movimientos turbulentos. En flujos turbulentos, el 
término (I) de las ecuaciones anteriores es generalmente despreciable frente al término (II). Por lo 
tanto, las ecuaciones (48), (49), (50), (51) y (52) se escriben como: 
 ( ) 0~ =⋅∇+
∂
∂ υρρ r
t
 (53) 
 ( ) ( ) ( ) gp
t
rrrrrr ρυυρυυρυρ +′′′′⋅∇+−∇=⋅∇+
∂
∂ ~~~ (54) 
 ( ) ( ) ( ) αααα υρυρρ SYYYt
&&&rr +′′′′⋅−∇=⋅∇+
∂
∂ ~~~ (55) 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 22 - 
 
 ( ) ( )hhh
t
′′′′⋅−∇=⋅∇+
∂
∂ υρυρρ rr~~)~( (56) 
 ( ) ( ) ( )zzzt φυρφυρφρ ′′′′⋅−∇=⋅∇+∂
∂ ~~ rr (57) 
Si el flujo es de baja velocidad (Ma<<1) generalmente se supone que las fluctuaciones de la presión 
son despreciables [6]. Por lo tanto, los valores medios de la densidad y la tasa de reacción química se 
pueden expresar como función de una presión de referencia p0. Donde αφ
~ representa la fracción 
másica de las especies; para 1,...,1 += Nα . 
 
Los flujos turbulentos Φ ′′′′υr de la ecuaciones (54), (55), y (56) son términos desconocidos que 
requieren modelización. El cierre del término υυρ ′′′′ rr de la ecuación media de cantidad de 
movimiento (54) se trata en el apéndice A. 
 
El tratamiento del término ´´~zφυρ
r ′′ , se puede consultar en Jones et al [6] y [7], y Lindstedt [11] 
( zφ
~ puede representar también la fracción másica de las especies si se incluye un término fuente). 
 
Para poder hacer el cierre de las ecuaciones (53), (54), (55), y (56), también hace falta conocer el 
valor medio de la tasa de reacción de la especie química αS y la densidad ρ . La densidad se puede 
escribir como: 
 ( )NT φφρρ ~,.....,~,~ 1= (61) 
Una de las principales dificultades que se presentan en la simulación es la modelización de la tasa de 
reacción media para flujos turbulentos reactivos. Esto se debe al efecto que tienen las fluctuaciones 
turbulentas en la tasa de reacción media. Por otra parte la tasa de reacción química es no lineal, por 
lo que su valor no se puede calcular simplemente a partir de las variables medias, que son los 
resultados que se obtienen del modelo. 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 23 - 
 
En la modelación del término de reacción química lo mas recomendado es referirse a dos casos 
extremos que limitan el rango de situaciones posibles, por una parte plantear la hipótesis de una 
reacción infinitamente rápida o por el contrario muy lenta. Estas hipótesis se fundamentan a partir de 
comparaciones entre los tiempos característicos de la cinética química tq, y de una escala de tiempos 
de turbulencia (por ejemplo, la escala integral, tI). El número de Damköhler es la relación entre estos 
tiempos: DaKo= tI/tq. La primera hipótesis de química rápida implica que tq<<tI o Da>>1y la de 
química lenta tq>>tI o Da<<1. 
Analizando si suponemos que la cinética química es infinitamente rápida, se puede considerar que 
reacción ocurre en una capa delgada, que es conveccionada, alabeada, y estirada o comprimida por la 
turbulencia, pero cuya estructura interna no es afectada por ella. Este tipo de modelos ha dado lugar 
al desarrollo de modelos del tipo de “mixed is burned” y “laminar flamelet”. Los primeros ignoran 
totalmente la cinética química, y los segundos consideran que dentro de la zona de reacción el flujo 
es laminar. Un modelo del tipo “mixed is burned", utilizado frecuentemente en la simulación de 
flujos industriales de llamas premezcladas, supone que la reacción química procede al paso dictado 
por la mezcla de reactantes a nivel molecular, dando lugar a los modelos de combustión de la familia 
Eddy Break Up (EBU) [14]. Estos modelos son utilizados en este trabajo de investigación serán 
discutidos con mayor detalle posteriormente en este mismo capítulo. 
En el otro extremo del rango de números de Danköhler (Da<<1) supone que la mezcla se da de 
forma mucho más rápida que la reacción química, y por lo tanto se puede considerar al fluido como 
perfectamente mezclado a nivel molecular cuando la reacción química tiene lugar. La tasa de 
reacción media se puede entonces aproximar con valores medios de los escalares termoquímicos: 
 ( )YYYSS Nh ~~~ ,...,,,,~ 21ραα ≈ 66 (62) 
Por esta razón, esta reacción química se denomina a menudo “pseudo laminar”. En combustión, las 
principales reacciones liberadoras de calor son demasiado rápidas para que esta aproximación se 
válida [20 y 17]. 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 24 - 
 
9. Modelos de radiación 
 
En cualquier sistema de combustión las perdidas de calor por efecto de radiación se pueden calcular 
por diferentes métodos, en nuestro sistema de combustión las temperaturas que se alcanzan, son 
suficientemente altas para que la transferencia de calor por radiación pueda ser significativa, para el 
estudio de este fenómeno, en nuestro caso incluimos un modelo muy sencillo descrito en esta misma 
sección. 
La radiación emitida es proporcional a la temperatura del cuerpo emisor a la cuarta potencia, y por 
tanto es un fenómeno muy importante a altas temperaturas y poco relevante a bajas. En todos los 
sistemas en los que se tienen temperaturas altas se debe estudiar este fenómeno a profundidad ya que 
representa una importante perdida. Por otra parte La radiación es un fenómeno que también depende 
del espacio, tiempo de la dirección y de la longitud de onda. 
La ecuación para la intensidad radiante I es una compleja ecuación integro-diferencial que se integra 
espectralmente esto es, sin dependencia de λ: 
 { { ( )44 344 21321
DR
recogida
Dispersión
E
EmisiónDD
disipada
Dispersión
A
Absorción
IdPTasIaI
ds
dI
∫ ΩΩΩ++−−=
π
π
σ 4
0
4
""
´´, a=α (63) 
donde s es el coeficiente de dispersión, a el coeficiente de absorción y λ es la longitud de onda. 
Apoyándonos en la figura (1) podemos decir que el significado de la ecuación anterior expresa las 
pérdidas y ganancias (por unidad de longitud) en intensidad I que sufre el rayo que viaja en una 
dirección determinada al atravesar un volumen de fluido. Las pérdidas son de dos tipos: en primer 
lugar (componente A), una fracción de I es absorbida por el medio (A); y en segundo lugar 
(componente DD), una fracción s de la intensidad que es dispersada por el medio en otras 
direcciones. Las ganancias en intensidad son debidas a otros dos factores: a la emisión de radiación 
por el volumen de fluido que tiene lugar en la dirección del rayo que se considera (contribución E); y 
la radiación que se recoge en la dirección del rayo proveniente de la dispersión (componente DR). 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte- 25 - 
 
Esta última tiene la forma de la integral de la probabilidad de que un rayo viaje en dirección 
´Ω disperse radiación de intensidad I en la dirección Ω considerada. 
 
La resolución de la ecuación, incluso obviando el termino integral, es bastante compleja. Para 
resolverla se han desarrollado varios métodos computacionales, como el método de transferencia 
discreta y los métodos de flujos. Estos últimos son los más sencillos de implementar en códigos de 
volúmenes finitos y son computacionalmente muy eficientes. Puesto que además proporcionan una 
simulación de una precisión razonable serán utilizados en esta tesis. 
 
 
Figura 1: Representación grafica de la ecuación para la intensidad radiante. 
 
El método de flujos considera que la intensidad radiante solo dependiente de la posición, el tiempo y 
los cósenos directores. La dependencia de la longitud de onda se elimina por integración. La 
ecuación de la intensidad radiante es la siguiente: 
 ( ) ( )RRRSaERsaRdx
d
sadx
d
zyx ++−−+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ 3
21 (64) 
donde R representa el flujo que cruza la superficie en dirección x, y, o z. En términos de intensidad 
radiante se expresara como Rx , Ry o Rz respectivamente. 
 
 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 26 - 
 
10. Modelos de combustión 
 
El modelo de Eddy Break-Up supone que el factor limitante en la tasa de reacción química no es la 
velocidad cinética, sino la velocidad a la que los reactantes se mezclan a nivel molecular. Esta 
velocidad de mezcla se puede representar mediante un término proporcional a la velocidad de 
disipación de las fluctuaciones del escalar, a menudo modelada como: 
 Yk
CS c cEBU
2´´
_ ερ−= (65) 
donde CEBU es una constante y Y c2´´ es la varianza de Favre de la fracción másica del combustible. 
Para escalares pasivos, esta varianza puede modelarse mediante una ecuación de transporte; para 
escalares reactivos, el término de reacción química da lugar a correlaciones no cerradas, difíciles de 
modelar y que en combustión turbulenta pueden ser importantes. 
Para evitar este problema, Magnussen et al [14] proponen sustituir Y c2´´ por la fracción másica 
media de la especie con menor presencia: 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−=
s
Y
s
YYk
CS c
po
cEBU 1
,,
_ ερ (66) 
donde s es el coeficiente estequiométrico y los subíndices c, o y p se refieren al combustible, 
oxidante y productos respectivamente. (El coeficiente estequiométrico es la masa de oxidante por 
unidad de combustible que se necesita para la reacción completa). 
 
11. Mecanismos reducidos 
 
En la combustión hidrocarburos, inclusive en los más sencillos como el propano, se tiene de decenas 
de especies y cientos de reacciones. Para disminuir el número de especies, es común reducir el 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 27 - 
 
sistema químico a un menor de variables que sean manipulables. El mecanismo resultante se 
denomina “mecanismo reducido”. 
Un mecanismo reducido debe de ser lo suficientemente detallado para predecir de forma correcta los 
fenómenos de interés al ser aplicado en una simulación. A continuación se presentan los mecanismos 
reducidos de uno y dos pasos de reacción para el propano usados en este trabajo. 
11.1Mecanismo global de un paso 
 
El mecanismo químico de un paso para el propano es: 
 
 ( ) ( )NOHOCNOHC 2222283 76.354376.355 ++⇒++ (67) 
 
11.2 Mecanismo global de dos pasos 
 
Para el propano, un mecanismo global de dos pasos de reacción es: 
 ( ) ( )NOHCONOHC 222283 76.32
74376.3
2
7
2
7
++⇒++ (68) 
 NCONOCO 2222 )76.3(2
1)76.3(
2
1
2
1
+⇒++ (69) 
Las tasas químicas de las reacciones (66), (68) y (69) se calculan con la expresión (65). 
 
12. Lecho granular 
 
Para mejorar el nivel de mezclado en los gases se propone la idea de utilizar un medio poroso a una 
cierta distancia de la boquilla, esto nos ayudara también para tener un mejor confinamiento de la 
llama, esto es tendremos una zona de mezclado y otra zona de combustión. Hay que considerar que 
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Capítulo 2 Ecuaciones de Transporte 
 
 
- 28 - 
 
debido a la introducción de este medio poroso tendremos como consecuencia una caída de presión y 
debido a esto tenemos que modelar y cuantificar esta caída de presión. 
Para puntualizar las ecuaciones que describen un lecho poroso se entenderá como permeabilidad a la 
capacidad del medio poroso para permitir que un fluido lo atraviese sin cambiar su estructura 
interna. La permeabilidad de un fluido cuando pasa a través de dicho lecho granular normalmente se 
determina por la ecuación de Forchheimer: 
 v
k
v
kL
P 2
21
ρμ
+=
Δ (70) 
donde PΔ representa una caída de presión, L es el espesor del medio poroso, ρ y μ son la 
viscosidad y la densidad del fluido, respectivamente, y v es el flujo volumétrico por unidad de área 
del fluido. 
En la ecuación (72), la caída de presión para un fluido incompresible esta dada por: 
 PPP oi −=Δ (71) 
donde Pi y Po son las presiones absolutas a la entrada y salida del medio poroso, respectivamente. 
La k1 y k 2 significan las constantes de permeabilidad de Darcyan, estos parámetros representan las 
propiedades estructurales del medio poroso. 
De las correlaciones que incorporan características de un medio poroso, la propuesta por Ergun, es la 
más usada. Esta correlación se determina a partir del flujo a través de un lecho granular. En general 
tiene la misma forma que la ecuación (62), y se expresa como [15]: 
 ( ) ( )
d
v
d
v
L
P
pp
2
323
2 175.11150 ρ
ε
εμ
ε
ε −+−=Δ (72) 
donde ε es la porosidad y d p es el diámetro de las partículas que conforman el medio poroso. 
 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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Capítulo 3. Método de Solución. 
 
1. Introducción 
 
El método utilizado para resolver las ecuaciones que modelan la aerodinámica de un fluido es 
conocido como método de volúmenes finitos, el cual consiste en la discretización del dominio, 
donde posteriormente se identifican los nodos que caracterizan cada subdominio, este nodo aparece 
geométricamente en el centro de nuestro dominio, los cuales son llamados volúmenes de control, en 
forma similar se discretizan el tiempo en intervalos. 
 
1. Método de volúmenes finitos 
 
Las ecuaciones medias de continuidad, cantidad de movimiento y del modelo de turbulencia 
introducidas en el capítulo anterior, se pueden representar mediante una ecuación general, donde la 
variable dependiente está representada por φ~ :( ) ( ) ( ) φφφφρφρ Sut i =∇Γ⋅∇−⋅∇+∂
∂ ~~~ (1) 
donde φΓ es el coeficiente de difusión y φS es el término fuente. Los términos del lado izquierdo de 
la ecuación (1) son el término transitorio, convectivo y de difusión respectivamente. Los términos 
φΓ y φS están especificados para cada variable φ
~ . 
(Para la ecuación de continuidad 1~ =φ .) 
La ecuación (1) se puede discretizar con el método de volúmenes finitos. Con este método, el 
dominio se divide en pequeños volúmenes de control (figura 1), asociando a cada unos de ellos un 
punto nodal. De forma similar se discretiza el tiempo en intervalos temporales. La ecuación 
diferencial se integra en cada volumen de control y en cada intervalo temporal, y el resultado es una 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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ecuación discretizada que relaciona los valores de φ~ para un determinado grupo de puntos nodales. 
Esta ecuación algebraica expresa el principio de conservación de φ~ en el volumen finito, de la 
misma manera que la ecuación diferencial lo expresa para un volumen infinitesimal. La ecuación 
algebraica para un nodo P puede expresarse en forma general como: 
 ∑
=
++=
LHSNWEIi
TTIiPP Baaa
,,,,,,
~~~ φφφ (2) 
donde el subíndice I representa las celdas vecinas, i la cara entre las celdas P e I, T el valor 
correspondiente en el intervalo temporal anterior, y B el término fuente. La deducción detallada de la 
ecuación (2) puede consultarse en numerosos textos de dinámica de fluidos computacional, por 
ejemplo en Patankar [18], Ferziger-Peric [4]. 
En el caso de una malla cartesiana, escalona (“staggered”) y uniforme (celdas de iguales 
dimensiones espaciales), un volumen de control bidimensional (por sencillez) es como el que se 
muestra en la figura 2 (el espesor de la celda en dirección z puede considerarse la unidad.) En una 
malla escalonada, las variaciones se encuentran definidas en el centro de la celda, mientras que los 
componentes de velocidad correspondientes a la celda se encuentran desplazadas en cada dirección a 
las caras de la celda. 
En la figura 2 se muestra la notación de la celda y de sus vecinas. Dada una celda P, sus vecinas se 
notarán según las iniciales de los puntos cardinales (en ingles) en las direcciones “x” e “y” y como 
“Low” y “High” en la dirección z. Las caras de la celda se notan con la misma nomenclatura, pero 
con letras minúsculas. 
El tiempo también se discretiza. Las celdas en la dirección temporal se llaman intervalos temporales. 
La celda P en el paso temporal se nota como T. 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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Figura 1: Representación del sistema discretizado en volúmenes finitos. 
 
 
Figura 2: Diagrama esquemático de un volumen de control bidimensional. 
 
 
A continuación, se presentan los términos de la ecuación discretizada (2). 
Definiendo los símbolos F, D, y Pe como: 
 υρ ~r iF = , i
D
δ
Γ
= , 
D
FPe = (3) 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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donde υri es la velocidad en la cara i, iδ es la distancia entre los nodos que incluyen la cara i y Pe es 
de número de Peclet, que es una relación entre la convección y la difusión, υr es la velocidad en la 
cara i y ix . (Las expresiones F y D representan el efecto de los términos convectivo y difusivo de la 
ecuación de transporte (1) respectivamente.) 
Los coeficientes ia de la ecuación (2) son: 
 ( ) ( )0,max iiii FPefDa −+= (4) 
Los valores F y D en la cara de la celda de la ecuación (4) son: 
 ( ) iiiF Δ= υρ ~r ( )i
D iii δ
ΔΓ
= , i=n, s, e, w (5) 
donde iΔ es la longitud de la cara i. 
Para determinar iF se necesita conocer ρ y iu~ en la cara de la celda. El cálculo del término 
convectivo de la ecuación de transporte (1) requiere también el conocimiento de las variables 
escalar,φ~ , en la cara de la celda. La velocidad υ~r i está calculada en la cara de la malla escalonada; 
pero ρ~ y φ~ están calculados en el nodo y necesitan ser interpolados a la cara para calcular los 
coeficientes ia de la ecuación discretizada (2). 
La obtención de estas variables en la cara de la celda es importante en precisión y convergencia de 
la solución. El cálculo de ρ~ y iφ
~ da lugar a los llamados esquemas de discretización. La función 
( )Pef de la ecuación (4) depende del esquema de interpolación. Por ejemplo, en el esquema de 
diferencias desplazadas, ( ) 1=Pef , y para el sistema hibrido [18]: 
 ( ) ( )PePef 5.01.0max −= (6) 
En el apéndice B se presentan estos esquemas de discretización lineales con más detalle y que son 
los que se utilizaran en esta tesis en la discretización del termino convectivo de las ecuaciones de 
cantidad movimiento, energía, especies químicas y modelo de turbulencia. 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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El coeficiente para el término transitorio es: 
 
t
yx
a TT Δ
ΔΔ
=
ρ (7) 
Para el cálculo del término iD (5) se necesita obtener el coeficiente de difusión, Γ , en la cara de la 
celda. El coeficiente Γ no es necesariamente una constante, sino probablemente función de valores 
variables que se conocen en los nodos (por ejemplo la temperatura), y por tanto es necesario 
interpolarlo en la cara. Esta interpolación puede ser aritmética o armónica. Para la cara e, por 
ejemplo, estas interpolaciones son: 
 ( )
x
x
e
EP
e
δ2
Γ+ΓΔ=Γ 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
+
Γ
Δ
=Γ
EP
e
e
x
x
11
2δ (8) 
El término fuente de la ecuación general (1), S φ , se linealiza como: 
 SSS
P
c φυφφφ ~,, += (9) 
donde el término S υφ , se elige de acuerdo a la relación existente entre S φ y φ
~ , en caso de depender 
el primero del segundo. El objetivo de la linealización del término fuente es mejorar la convergencia 
de la solución. 
Con esta suposición, los términos B y a p de la ecuación (2) son: 
 φφ
~
TTayxSB c +ΔΔ= (10) 
 yxSaaaaaa Tsnwep ΔΔ−++++= υφ , (11) 
La ecuación (2) se aplica en cada celda del dominio, para cada φ y para cada paso temporal tΔ , por 
lo que se tiene un sistema de ecuaciones lineales (los coeficientes a pueden depender, directa o 
indirectamente de φ~ , por lo que el sistema es realmente pseudo-lineal). 
Para resolver este sistema de ecuaciones se puede utilizar cualquier método de resolución de 
ecuacioneslineales. 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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En el cálculo de las velocidades a partir de las ecuaciones de cantidad de movimiento, se tiene el 
inconveniente de que la presión, cuyo gradiente aparece como término fuente en estas ecuaciones de 
cantidad de movimiento, no tiene una ecuación propia para calcularla. Una solución ampliamente 
utilizada es transformar la ecuación de continuidad en una ecuación para la presión. 
Entre los algoritmos iterativos que se basan en este procedimiento están los de la familia SIMPLE 
(Semi-Implicid Method for Pressure- Linked Equations) ([18], [19] y [22]). El algoritmo utilizado en 
esta tesis para resolver el problema de acoplamiento velocidad-presión pertenece a esta familia. 
El proceso de solución de este sistema de ecuaciones es iterativo y durante éste, las ecuaciones del 
sistema, en general, no se cumplen; el balance entre la parte izquierda y derecha de la ecuación se 
denomina residuo. La convergencia del proceso iterativo se da cuando los residuos disminuyen. 
Para procurar acelerar esta convergencia se utiliza un método de relajación de algunas de las 
variables dependientes y propiedades. Se emplean dos tipos de relajación: la inercial y la lineal. La 
relajación inercial se emplea para las velocidades y los parámetros de turbulencia, y aumenta la 
diagonal de la matriz de coeficientes al agregar a la ecuación de cualquier variable φ~ el término 
fuente: 
 ( ) ( )( )nPnP
f
P
r t
VS φφρφ
~~ 1
, −Δ
= − (12) 
Donde PV es el volumen de la celda P, ftΔ es el intervalo de tiempo falso y el superíndice n se 
refiere al número de iteración. 
Para la presión y la densidad se emplea la relajación lineal dada por: 
 ( ) ( ) ( )1~1~~ −−+= nPsolPnP φαφαφ (13) 
donde α es el factor de relajación, el superíndice sol se refiere al valor de la propiedad 
proporcionado por el “solver” en la interacción actual. El factor de relajación α, normalmente toma 
valores entre 0 y 1. 
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Capitulo 3 Método de Solución 
 
 
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El criterio de convergencia utilizado para detener el proceso iterativo para un paso temporal dado y 
pasar al siguiente es tal que, para cada variable, la suma de los valores absolutos de los residuos en 
todo el dominio sea menor que un determinado porcentaje de un valor de referencia. 
En esta tesis se usa el código de fluido-dinámica computacional PHOENICS [12] para resolver las 
ecuaciones que describen la aerodinámica del flujo: continuidad, cantidad de movimiento, energía, 
especies químicas y turbulencia 
 
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Capitulo 4 Resultados 
 
 
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Capítulo 4. Resultados. 
 
1. Introducción 
En este capitulo se presentan los resultados de la simulación numérica del quemador. En una primera 
parte se presenta la configuración experimental de la sección de prueba del quemador a simular, 
haciendo referencia a conceptos básicos y explicando cada una de las partes que lo constituyen. En la 
segunda parte, se presentan resultados cualitativos del modelo en estudio, en términos de especies 
mayoritarias como: H2O, CO2 y O2, y minoritarias como CO, llevándose a cabo un análisis para 
determinar los factores que alteran el comportamiento de la combustión dentro del quemador. Los 
factores que se modificaron en el modelo numérico son: diámetro del quemador, longitud de 
colocación del medio poroso y gasto de aire lateral. 
El modelo en estudio es básicamente un quemador de combustión premezclada que opera con una 
mezcla de gas LP-Aire. Para mejorar el proceso de mezclado y operación a bajas temperaturas, se 
tiene un medio poroso colocado a cierta distancia del quemador y adicionalmente se suministra una 
corriente de aire que entra la región anular entre la boquilla y las paredes del quemador. 
 
2. DEFINICIÓN DE CONCEPTOS 
 Combustión. 
 
La combustión se puede definir como una reacción química que libera energía en forma de calor al 
combinar combustible y oxigeno, como consecuencia de la reacción se tiene la formación de una 
llama. En estos procesos además de emitirse luz y calor se genera una gran cantidad de contaminación. 
Los principales contaminantes atmosféricos son N2, CO2, H2O, y SO2 e hidrocarburos sin quemar, que 
pueden originar daños a la salud y al medio ambiente. De ahí el interés en buscar soluciones a la 
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Capitulo 4 Resultados 
 
 
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contaminación mediante investigaciones y modelos de análisis para disminuir los gases nocivos 
productos de la combustión. 
 
2.2 Configuración experimental 
 
La configuración experimental del quemador simulado en esta tesis, se construyo físicamente en el 
laboratorio de Control de Emisiones de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, y consta en general de 
un tubo que representa el cuerpo del quemador, la boquilla por la cual entra la mezcla de aire-
combustible, y un lecho granular, que se propuso para mejorar la combustión en el quemador. 
 
Partes que constituyen el quemador: 
Tubo. 
La configuración experimental del quemador es un tubo recto con longitud de 400 [mm] y de diámetro 
50.8 [mm], dentro de el cual, se tiene una boquilla y un lecho granular de 50.8 [mm], que se propuso 
para mejorar la mezcla entre los gases productos de la combustión y gases reactantes. 
 
 
Boquilla. 
La boquilla es una placa que consta en total de 18 orificios, los seis primeros tienen un arreglo circular 
a 12.5 [mm] de radio y cada orificio tiene 3 [mm] de diámetro además de uno en el centro con las 
mismas características físicas, mientras que las once perforaciones restantes están situadas a un radio 
de 23 [mm] del centro, y con un radio de 1.5 [mm]. 
El dominio de simulación en la boquilla se discretizó tomando las perforaciones circulares, de la 
entrada de los reactantes, como trapezoides circulares, el arreglo que se implemento se muestra en la 
figura 1. 
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Capitulo 4 Resultados 
 
 
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Por otra parte el dominio del cuerpo del quemador se reduce a la mitad, esto con fines de ahorro en 
memoria y tiempo de cálculo. Para discretizar el dominio se utilizó una malla en coordenadas 
cilíndrico polares, que comienza a la salida de la boquilla, con las siguientes dimensiones 32 x 22 x 
120 celdas en la direcciones angular (θ), radial (r), y axial (z) respectivamente, esta ultima dirección se 
extiende hasta 400 [mm]. Debido a que el mayor numero de reacciones químicas ocurren próximo a la 
salida de la mezcla, además se tienen que analizar los fenómenos que se presentan en esa parte del 
quemador, por tal motivo, se hizo un refinamiento de malla en los primeros 30 [mm] y se colocaron 30 
celdas en esta longitud, en los 370 [mm] restantes se colocaron 90 celdas. El arreglo se muestra en la 
figura 2. 
 
Lecho granular. 
El lecho granular, es un medio constituido por material poroso cerámico, con un diámetro de partícula 
de 3 [mm], el cual está colocado