Ayudantia 4 II 2013

Vista previa del material en texto

Clases Métodos de Optimización
Modelos Estáticos
Ejercicio 1
La Junta Nacional de Auxilio Escolar y Becas (JUNAEB) es la institución estatal que abastece a las escuelas de escasos recursos de raciones de alimentación. Mediante subasta los proveedores tienen la posibilidad de proponer distintos “paquetes” (bundles en inglés). Cada paquete consiste en una cantidad de raciones diarias a ser entregadas en distintas comunas a un determinado costo. Por ejemplo, la empresa Sodex podría ofrecer dos paquetes. El paquete 1 incluye 8.000 raciones para la comuna de La Pintana, 5.000 raciones para San Ramón y 7.000 raciones para El Bosque, con un costo total de 500.000 [US$]; el paquete 2 incluye 5.000 raciones para Lo Prado, 1.000 raciones para Pudahuel y 3.000 raciones para San Ramón, con un costo total de 300.000 [US$]. Los proveedores pueden ofrecer tantos paquetes como lo justifiquen sus economías de escala y economías de red.
La JUNAEB recibe la descripción de los paquetes de todas las empresas que participan en la licitación. Luego decide cómo adjudicar los paquetes de manera de satisfacer la demanda mínima de raciones de cada comuna, minimizando el monto total a pagar a los proveedores. Para controlar el riesgo de provisión, ninguno de los proveedores puede adjudicarse más del 20% del total de las raciones demandadas. 
Plantee el problema de optimización desde el punto de vista de la JUNAEB, es decir, con la descripción de los paquetes como parámetros del problema. Suponga que la asignación de un paquete puede ser parcial o total. Por ejemplo, el paquete 1 puede adjudicarse en un 50%, lo que implica gastar un 50% del costo declarado por la empresa. (En la práctica, de asignarse el paquete debe hacerse en un 100% para preservar las economías de escala y de red del proveedor).
Ejercicio 1
Ejercicio 2: Prueba Nº1, 1º semestre 2010
.
Una tienda de departamentos en un centro comercial debe decidir cuántos metros cuadrados [m2] destinará a cada categoría de productos (computación, electrónica, ropa de hombres, entre otros) y cuántas personas contratar [p], de manera de maximizar las ventas menos el gasto en personal. Cada millón de pesos [MM$] de venta mensual de una categoría requiere determinada superficie. El personal puede ser de diferentes tipos: vendedores, promotores, ayudantes, etc. La venta que realiza cada empleado depende de su tipo y de la categoría del producto. A cada tipo de empleado se le paga una cantidad fija por hora trabajada más una comisión por ventas, que también depende de la categoría. Debido a los contratos con los proveedores, existen compromisos de venta mínimos por categoría. Alhajar cada m2 tiene un costo mensual que depende de la categoría, para lo cual existe un presupuesto total para la tienda. Si se sobrepasa el presupuesto, el costo extra es descontado de las ventas. De estimarse conveniente, la tienda se puede ampliar arrendando locales contiguos en el centro comercial, aunque no más de un cierto porcentaje de la superficie de la tienda. El costo asociado también es descontado de las ventas. 
Defina conjuntos, parámetros y variables que describen el problema del texto.
Plantee el programa lineal que optimiza la operación de la tienda según el texto.
Muestre cómo se complementa la modelación si por motivos comerciales, debe existir un balance entre las categorías. Por ejemplo, por cada 5 m2 de ropa no debe haber menos de 2 m2 de zapados ni más de 4 m2 de zapados.
Ejercicio 2: Prueba Nº1, 1º semestre 2010
Conjuntos:
C = computación, electrónica,…	categorías;
T = vendedor, promotor,… 		tipo de personal. 
Parámetros:
A [m2]		área total disponible;
Bc [m2/MM$]	área requerida para vender 1 [MM$] en la categoría c;
Kc,t [MM$/p]	venta de categoría c por el empleado tipo t;
Cc,t [%]		comisión por ventas de la categoría c por el empleado tipo t;
St [$/p]		sueldo fijo del empleado tipo t;
Vc [MM$]		requerimiento mínimo de ventas tipo c;
Hc [$/m2]		costo de alhajar 1 m2 de tienda destinada a categoría c;
D [MM$/m2]	costo de arrendar 1 m2 adicional;
W[MM$]		presupuesto mensual para alhajar la tienda;
M[%]		porcentaje de la tienda que se puede ampliar.
Variables:
z [MM$]	ventas menos gastos en personal;
xc [m2]	área destinada a cada categoría de producto;
yt,c [p]	empleados de cada tipo contratados para cada categoría de producto;
w [m2]	superficie arrendada fuera del local para categoría c;
q [MM$]	costo extra de alhajar la tienda.
Ejercicio Prueba Nº1, 1º semestre 2010
Ejercicio Prueba Nº1, 1º semestre 2010
Muestre cómo se complementa la modelación si por motivos comerciales, debe existir un balance entre las categorías. Por ejemplo, por cada 5 m2 de ropa no debe haber menos de 2 m2 de zapados ni más de 4 m2 de zapados.
Este balance se puede lograr creando los siguientes parámetros:
Pc,d	mínima cantidad de m2 destinados a la categoría c, por cada m2 destinado a la categoría d.
Qc,d	máxima cantidad de m2 destinados a la categoría c, por cada m2 destinado a la categoría d.
Ambos parámetros toman valor unitario cuando c = d.
 
Además, se debe agregar la restricción:
 
Pc,d ∙ xd ≤ xc ≤ Qc,d ∙ xd	 
Ejercicio 3: Prueba Nº1, 2º semestre 2011
Una Fundación tiene como principal fuente de ingresos su campaña nacional de recolección de fondos, para la cual debe organizar una colecta durante tres días a lo largo de todo el país. En esta colecta, la fundación debe cubrir cierto número de esquinas o puntos clave de tránsito de automóviles y peatones. Para este propósito, cuenta con la participación de voluntarios para participar en la colecta y, en caso de ser necesario, puede solicitar a las personas contratadas por la Fundación que apoyen a los voluntarios.
Los directores de la organización le han solicitado a usted maximizar el valor generado con la campaña, el cual está expresado en términos de dos componentes:
La primera componente es el monto en dinero recolectado, el cual depende directamente de la cantidad de personas que atiende en el punto; y es distinta para cada uno de estos puntos y para cada uno de los días de recolección 
	El segundo componente corresponde a la “generación de marca”, ya que el despliegue de voluntarios permite que la Fundación se dé a conocer. El valor marca generado, medido en pesos, depende de cada punto clave y del número de voluntarios que estén en el punto (las personas contratadas no aportan a la generación de marca). La relación entre número de voluntarios y generación de marca es decreciente. Concretamente, hay una generación de valor determinada por cada voluntario presente en el punto hasta que el punto se satura de voluntarios. Sobre el punto de saturación, hay un nuevo valor de generación de marca que aporta cada voluntario adicional y que es menor que el valor anterior. Un estudio de mercado indica la cantidad de voluntarios que saturan cada punto y la disminución fija en la disminución de la “generación de valor” una vez que se traspasa este umbral. 
Por otro lado, hay un cupo máximo para recolectores (voluntarios o no) en cada punto, que no depende del día. El requerimiento mínimo de recolectores por punto, para cada día de la colecta, está determinado según el tráfico de personas.
Ejercicio Prueba Nº1, 2º semestre 2011
Cada punto clave cuenta con un encargado que debe conseguir a los voluntarios para trabajar en los distintos días en su punto, lo que se puede considerar como la cantidad de “insumo” generada por el punto. Estos encargados tienen distintos desempeños, es decir, hay una cantidad máxima de voluntarios que puede conseguir cada uno para cada día de la colecta.
Los encargados de puntos, que desean maximizar el valor total de la colecta y no sólo de sus puntos, están autorizados para transferir voluntarios desde un punto a otro de la ciudad. Existe un costo de traslado de voluntarios que depende de los puntos de colecta de origen y destino. Además, hay un máximo de voluntarios que se pueden traspasar desde cada punto y un máximo de voluntarios que puede recibir cada punto.
Si la Fundación lo requiere, puede solicitara las personas contratadas de planta por ésta que participen de la colecta. Esto genera un costo fijo diario por persona (dado sus empleados pierden un día de trabajo). Si bien la productividad de las personas contratadas es igual a la de los voluntarios en cuanto a la recolección de dinero, ellos no generan valor en cuando a la “generación de marca”. Además, existe una cantidad máxima de personas contratadas que puede haber en cada punto por cierta cantidad de voluntarios en el mismo. Este parámetro es el mismo para todos los puntos y días de la colecta. El total gastado en la contratación de personas en cada punto no puede ser mayor a un 10% del total recolectado en ese punto durante los tres días.
Dado que el flujo de personas en cada punto aumenta a lo largo de los días, la Fundación ha impuesto que durante el segundo día de coleta, el total de recolectores en cada punto debe ser al menos el doble que los recolectores que haya el primer día en el mismo punto; y los que haya el tercer día de colecta en cada punto, deben ser al menos el triple que los que haya el primer día en el mismo punto. Además, el total de recolectores en todos los puntos durante el tercer día debe ser al menos igual al total de recolectores durante los dos días anteriores. 
Ejercicio Prueba Nº1, 2º semestre 2011
10
Ejercicio Prueba Nº1, 2º semestre 2011
11
12
Conjuntos: 
P = {1, 2, 3,...} paquetes; 
E = {Sodex, Central Casinos,...} proveedores; 
De = {{1, 2}, {3, 4, 5},...} paquetes propuestos por empresa e; 
M = {SR, LP, P....} comunas. 
Parámetros: 
Cp costo del paquete p; 
Rp,m raciones del paquete p para la comuna m; 
Dm demanda de raciones en la comuna m. 
Variables: 
 z costo total; 
 xp proporción del paquete p que se asigna. 
Min. z = p
p
px C∑ 
s.a: m
p
pmp x DR , ≥∑ ∀ m demanda de raciones; 
∑ ∑∑
∈
≤
eDp m
m
m
pmp x D2,0R , ∀ e concentración proveedores; 
0 ≤ xp ≤ 1. 
 
Conjuntos: 
P = {1, 2, 3,...} paquetes; 
E = {Sodex, Central Casinos,...} proveedores; 
D
e
 = {{1, 2}, {3, 4, 5},...} paquetes propuestos por empresa e; 
M = {SR, LP, P....} comunas. 
Parámetros: 
C
p 
 costo del paquete p; 
R
p,m 
 raciones del paquete p para la comuna m; 
D
m
 demanda de raciones en la comuna m. 
Variables: 
 z costo total; 
 x
p
 proporción del paquete p que se asigna. 
Min. z = 
p
p
p
xC
å
 
s.a: 
m
p
pmp
xDR
,
³
å
 " m demanda de raciones; 
å åå
Î
£
e
Dp m
m
m
pmp
xD2,0R
,
 " e concentración proveedores; 
0 ≤ x
p
 ≤ 1. 
 
Maximizar z = Ventas – Costo de ampliar la tienda – Costo extra de alhajar la tienda – 
Sueldos variables – Sueldos Fijos = 
∑
tc
tctc y
,
,,K – D w – q – ∑
tc
tctctc y
,
,,, KC – ∑
tc
tct y
,
,S 
sujeto a: 
∑
t
tctc y ,,K ≥ Vc ∀ c Venta mínima por categoría; 
xc ≥ Bc ∑
t
tctc y ,,K ∀ c Superficie por categoría; 
∑
c
cx ≤ A + w Superficie total; 
w ≤ A M Superficie máx. a arrendar; 
∑
c
cc xH ≤ W + q Presupuesto decoración; 
xc , yt,c , wc , q ≥ 0. 
 
Maximizar z = Ventas – Costo de ampliar la tienda – Costo extra de alhajar la tienda – 
Sueldos variables – Sueldos Fijos = 
å
tc
tctc
y
,
,,
K
– D w – q – 
å
tc
tctctc
y
,
,,,
KC
– 
å
tc
tct
y
,
,
S
 
sujeto a: 
å
t
tctc
y
,,
K
³ V
c
 " c Venta mínima por categoría; 
x
c
 ³ B
c
 
å
t
tctc
y
,,
K
 " c Superficie por categoría; 
å
c
c
x
≤ A + w Superficie total; 
w ≤ A M Superficie máx. a arrendar; 
å
c
cc
xH
≤ W + q Presupuesto decoración; 
x
c
 , y
t,c
 , w
c
 , q ³ 0. 
 
Variables 
: Cantidad de recolectores voluntarios en cada punto n, en el día t. 
: Cantidad de recolectores voluntarios, generados por el encargado del punto n, en el día 
t. 
: Cantidad de recolectores adicionales contratados en cada punto n, en el día t. 
: Cantidad de recolectores trasladados desde el punto i al punto j, en el día t. 
: Cantidad de total de recaudadores en cada punto n, en el día t. 
 
Variables 
: Cantidad de recolectores voluntarios en cada punto n, en el día t. 
: Cantidad de recolectores voluntarios, generados por el encargado del punto n, en el día 
t. 
: Cantidad de recolectores adicionales contratados en cada punto n, en el día t. 
: Cantidad de recolectores trasladados desde el punto i al punto j, en el día t. 
: Cantidad de total de recaudadores en cada punto n, en el día t. 
 
 
Sujeto a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , , 
 
 
Sujeto a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , ,