Tarea1_2011

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EAE 210B-3, Primero Semestre 2011
Tarea 1: Preferencias y demanda
SOLUCIONES
1. Preguntas cortas
(a) A Juan le gusta tomar cerveza pero después de algunas, empieza a sentirse mal.
¿Qué axioma de las preferencias no satisface Juan?
El axioma de no-saciedad o “más es mejor”.
(b) Imaǵınate que una pareja tiene un arreglo para decidir qué hacer el sábado en la
noche. Juegan primero a cachipún y la persona que gana después elige qué hacer.
Imaǵınese que la señora prefiere ir a bailar y que el hombre prefiere quedarse en
la casa. ¿Cuál de los supuestos sobre las preferencias no cumplen las decisiones
de la pareja?
Las decisiones de la pareja podŕıan no cumplir con los axiomas de completitud y
de transitividad.
(c) Usando los axiomas que hemos visto en clase, demuestre formalmente que las
curvas de indiferencia no pueden cruzarse.
Imaginemos que los puntos A y B están en una misma curva de indiferencia. A
y C también están en una misma curva (las curvas se cruzan en el punto A). El
primer supuesto indica que A ∼ B y el segundo que A ∼ C. Por transitividad,
entonces, sabemos que B ∼ C. Pero, si las curvas se cruzan, tenemos que uno de
estos dos puntos tiene más de los dos bienes que el otro. Por el supuesto de no
saciedad, entonces, sabemos que B � C o que B ≺ C y entonces que B � C lo
que es una contradicción.
(d) Tienes que eligir tus ramos en Ingeneŕıa Comercial para el semestre que viene. Da
un ejemplo de preferencias lexicográficas para hacer la elección. Explica por qué
estas preferencias no pueden ser representadas por una función de utilidad.
Podŕıas, por ejemplo, rankear los ramos usando el orden de los números de cursos
(210b viene es preferido a 310 y a 220, 310 a 320.). Tambien, podŕıas usar el
orden alfabético de los nombres de los profesores. El problema con estas prefer-
encias es que no cumplen con el axioma de continuidad. No tenemos curvas de
indiferencias, sino un punto.
(e) Un hombre rico que gana 5 millones al mes donaba $2.5 millones a obras de
caridad cada mes y consumı́a el resto el año pasado. Este año, este hombre
tiene un sueldo de 8 millones pero el nivel de los precios de todos los bienes
que consumı́a se ha doblado (mientras que el “precio” de las donaciones no ha
cambiado, naturalmente). Según los principios de preferencias reveladas, ¿podŕıan
disminuir sus contribuciones caritativas?
Todas las canastas con menos de 2 millones de donación eran factibles con la re-
stricción de presupuesto anterior y no fueron elegidas en el caso previo. Entonces,
fueron reveladas como peores que la canasta elegida anteriormente y entonces, no
1
pueden ser elegidas ahora por el axioma débil de preferencias reveladas. Las con-
tribuciones caritativas del hombre, entonces, podŕıan bajar hasta 2 miliones según
el axioma débil de preferencias reveladas.
caridad
Otros 
bienes
5
5/p
8/2p
82
3/p
Punto 
elegido el 
ano pasado
2.5
Unicas
canastas con 
menos 
donaciones 
que podrian
ser elegidas
2. El mercado por la palta chilena está caracterizado por una función de oferta igual a
QS = −2 + 0.01P en millones de unidades y el precio en pesos. La demanda por palta
está dada por QD = 98− bP .
(a) Calcula el equilibrio en este mercado como función de b.
Igualando la cantidad demandada y ofrecida, obtenemos:
−2 + 0.01P = 98− b
(b+ 0.01)P = 100
P =
100
b+ 0.01
Q =
−2b+ 0.098
b+ 0.01
Si b < 0.49, la cantidad sera 0.
(b) ¿Cuál es la elasticidad precio de la oferta en el punto de equilibrio? ¿Cuál es la
elasticidad precio de la demanda? ¿ Es la palta un bien elástico?
La elasticidad precio de la oferta es:
εQSp =
∂QS
∂p
p
QS
= 0.01
P
−2 + 0.01P
= 0.01
100
b+0.01
−2 + 0.01∗100
b+0.01
=
1
−2b+ 0.98
2
La elasticidad precio de la demanda es:
εQDp =
∂QD
∂p
p
QD
= −b P
98− bP
= −b
100
b+0.01
98 + 100b
b+0.01
=
−100b
−2b+ 0.98
La palta es un bien elástico si la elasticidad precio de la demanda es mayor (en
valor absoluto) que 1 o menor que −1, es decir cuando:
εQDp < −1
−100b
−2b+ 0.98
< −1
100b > −2b+ 0.98
102b > 0.98
b > 0.009607
(c) Imagina que el gobierno impone un precio maximo de $100 por palta, explicando
que la palta es un bien esencial y que ningún chileno puede sobrevivir sin esto.
¿Cuál es la cantidad que será intercambiada en el mercado? ¿Cuál será el precio?
¿Cómo cambian tus respuestas como función de b? Explica en tus propias palabras
la razón de esto.
Cuando el precio está fijo en P = 100, la cantidad ofrecida es negativa (−1), es
decir,ninguno de los productores quieren producir palta. Entonces, no tendremos
palta en la economı́a. El precio será 100. Las respuestas no cambian como función
de b porque b influye la demanda y con un precio bajo el equilibrio, la cantidad
está determinada por la oferta.
3. Mart́ın compra lápices (L) y plumones (P) en una tienda de productos escolares. Cada
lápiz cuesta $200 y cada plumón, $500; además, él tiene un presupuesto de $10,000.
(a) Escribe la ecuación de presupuesto y represéntala en un gráfico, poniendo los
lápices en el eje horizontal.
La ecuación de presupuestos está dada por 10, 000 = 200L+500P o 100 = 2L+5P .
Ver el gráfico en la parte (c).
(b) ¿Cuál es el óptimo para Mart́ın si su función de utilidad está dada por U(L, P ) =
exp(LP )? ¿ Y si la función es igual a min[2L, P ] o igual a 3P + L?
3
Para encontrar el punto óptimo, usamos el Lagrangiano en el primero caso: £ =
exp(LP ) + λ(100− 2L− 5P ). Tomando las derivas, obtenemos:
∂£
∂L
= exp(LP ) ∗ P − 2λ = 0
∂£
∂P
= exp(LP ) ∗ L− 5λ = 0
∂£
∂λ
= 100− 2L− 5P = 0
Combinando las dos primeras ecuaciones, obtenemos 5P = 2L y reemplazando
esto en la ecuación de presupuesto, obtenemos 100 = 4L o L = 25 y P = 10.
En este caso, no necesitamos buscar soluciones de esquina porque la función de
utilidad es tal que nunca uno preferiŕıa consumir 0 de un bien y una cantidad
positiva de un otro.
Si la función de utilidad es igual a min[2L, P ], no podemos usar cálculo. Pero
sabemos que el punto óptimo será en la esquina de la curva de indiferencia que
se encuentra en el punto 2L = P . Combinando esta restricción con la ecuación
de presupuesto, obtenemos 100 = 6P o P = 16.6 y L = 8.33.
Finalmente, si la función de utilidad es lineal, tenemos que usar el método de
Kuhn-Tucker. Podemos escribir el Lagrangiano como: £ = 3P + L + λ(100 −
2L− 5P ). Tomando las derivas, obtenemos:
∂£
∂L
= 1− 2λ ≤ 0 y ∂£
∂L
L = 0
∂£
∂P
= 3− 5λ ≤ 0 y ∂£
∂P
P = 0
∂£
∂λ
= 100− 2L− 5P ≤ 0 y ∂£
∂λ
λ = 0
La ultima ecuación tiene que estar satisfecha como igualdad porque Mart́ın nunca
dejaŕıa de gastar todo su dinero. Si ambos bienes están comprados, tenemos que
1 = 2λ y 3 = 5λ, lo que es imposible. Si L = 0 pero P > 0, sabemos por la
restricción de presupuesto que P = 20. También, la segunda derivada será igual
a 0 y entonces, λ = 3/5. Para concluir, tenemos que verificar si este valor de
λ cumple con la primera restricción, es decir que 1 ≤ 2λ y es verdadero cuando
λ = 3/5. Tenemos ahora que verificar si la canasta P = 0 y L > 0 es tambien un
óptimo. En este caso, obtendŕıiamos que L = 50 y que la primera derivada seŕıa
igual a zero, es decir que λ = 1/2. Pero, con este valor de λ, la segunda derivada
no es menor que 0 (es igual a 0.5) y entonces, éste no puede ser el punto óptimo.
(c) Imaǵınate ahora que la tienda tiene una “oferta”. Si uno compra dos lápices, ob-
tiene un plumón gratis. Encuentra la nueva restricción de presupuesto y represéntala
en el gráfico anterior.
4
L
P
20
50
25
Sin 
oferta
Con 
oferta
La restricción de presupuesto ahora está dada por 10, 000 = 500(P −0.5L)+200L
si L ≤ 50 porque uno paga sólo los plumones cuando compra más de 2 veces el
número de lapices. La nueva restricción está representada en el gráfico arriba.
(d) ¿ Cuál es su respuesta a la pregunta (b) dada esta nueva restricción de pre-
supuesto?
Dado que todas las funciones de utilidad valoran los dos bienes, el punto en la
restricción de presupuestoque da más de ambos bienes es mejor para todas las
funciones de utilidades, entonces, en todos los casos, Mart́ın eligirá L = 50 y
P = 25.
4. Durante las vacaciones de verano, a Marcelo le gusta hacer surf (S horas) y jugar tenis
(T horas) según la siguiente función de utilidad
U(S, T ) = 2 lnS + 4 lnT
(a) ¿Cuántas horas de surf y de tenis eligirá Marcelo cuando los precios son ps y pt y
él tiene un ingreso de m?
Para encontrar la demanda marshalliana, usamos el Lagrangiano, que aqúı es
igual a L = 2 lnS + 4 lnT + λ(m − SpS − Tpt). Como la función de utilidad
es igual a −∞ cuando uno de los bienes es igual a 0, nunca queremos estar en
esta situación y no tendremos problemas de soluciones de esquina. Tomando las
derivadas, obtenemos:
∂L
∂S
=
2
S
− λps = 0
∂L
∂T
=
4
T
− λpt = 0
∂L
∂λ
= m− Sps − Tps = 0
Combinando las dos primeras, obtenemos 2Sps = ptT . Usando la restricción de
presupuesto, obtenemos que m = 3Sps o S =
m
3ps
. Finalmente, T = 2m
3pt
.
5
(b) ¿Es S o T un bien inferior o normal? ¿ Es alguno de los dos un bien Giffen?
Calcula la elasticidad precio de cada demanda marshalliana.
Los dos bienes son normales porque la demanda sube cuando el ingreso aumenta.
Ninguno de los dos es un bien Giffen: no son bienes inferiores y los Giffen son
un tipo de bien inferior. Además la demanda por el bien baja cuando el precio del
mismo bien sube.
La elasticidad de la demanda marshalliana por surf es igual a
εSps =
∂S
∂ps
ps
S
=
−m
3p2s
∗ 3p
2
s
m
= −1
Y la por tenis
εTpt =
∂T
∂pt
pt
T
=
−2m
3p2t
∗ 3p
2
t
2m
= −1
(c) ¿Cuál es la función de gastos de Marcelo? Usando ésta, encuentra la demanda
hicksiana por los dos bienes.
Obtenemos primero la función de utilidad indirecta de Marcelo, dada por
V = 2 ln
(
m
3ps
)
+ 4 ln
(
2m
3P − t
)
= ln
(
16m6
36p2sp
4
t
)
Ahora, podemos encontrar la función de gastos de la función anterior aislando la
variable m de manera que
exp(U) =
16m6
36p2sp
4
t
36p2sp
4
t exp(U)
16
= m6
3p
1/3
s p
2/3
t (expU)
1/6
22/3
= m = E(u, ps, pt)
6
Una vez que tenemos la función de gastos, podemos usar el Lemma de Shephard
y encontrar la demanda hicksiana como:
Sh(u, ps, pt) =
∂E
∂ps
=
3p
2/3
t (expU)
1/6
3p
2/3
s 22/3
=
p
2/3
t (expU)
1/6
p
2/3
s 22/3
T h(u, ps, pt) =
∂E
∂pt
=
2 ∗ 3p1/3s (expU)1/6
3p
1/3
t 2
2/3
=
21/3p
1/3
s (expU)1/6
p
1/3
t
7