U2_Ejercicios de Integración_ Matrices y Determinantes_2022_2C

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Ejercicios de 
Integración: 
Matrices y 
Determinantes 
 
 
 Unidad 2 
 
 
 
 
 Material de cátedra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Álgebra FCE (71) 
 Cátedra: Gache 
 
 
Ejercicios de Integración de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
 
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Ejercicios de Integración de Matrices y Determinantes 
 
 
 
Resolver los siguientes ejercicios teniendo en cuenta las siguientes etapas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Etapa 1 
 
 
1) Si 
1 1 1
. 2 1 2 
1 1 5
A B
− − 
 
=  
 
 
y ( ) 5Det A = − . Calcular ( )Det B . 
 
 
2) Sean A y B dos matrices de orden 5 que satisfacen 2 2 A B I
−− = y Det(A) un número entero 
distinto de cero. Demostrar que Det(B) es un número par, negativo. 
 
3) I) Para la matriz 
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A
 
 
=  
 
 
, investigar si admite inversa. En caso afirmativo, calcularla. 
 
 II) Utilizando lo obtenido en I) hallar, si existe, X tal que 2
T
XA A I= − + 
 
 
 
4) Sea 
1 0
1 0 0
1 3 2
k
A
− 
 
=  
 − − 
 y 3 3xX  . Hallar kde modo que la ecuación XA A I= − admita 
solución (no se pide hallar explícitamente dicha solución) 
 
 
 
➢ Etapa 1: Enunciados. Intentá resolver sólo los problemas, con la ayuda del material teórico y práctico que 
dispongas. 
➢ Etapa 2: Luego de haber pensado e intentado distintas estrategias y no lograr resolver el problema, te 
propongo que leas esta etapa, donde te daré alguna sugerencia o ayuda. 
➢ Etapa 3: En esta etapa figura una resolución del problema. Te pido que la leas luego de haber intentado las 
etapas 1 y 2, o para controlar resultados y procedimientos, en el caso que hayas resuelto sólo el problema. 
 
Ejercicios de Integración de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
 
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➢ Etapa 2 
 
 
1) Calcular el determinante de AB y utilizar propiedad de determinantes. 
2) Calcular el determinante de las matrices de cada lado de la igualdad y aplicar las propiedades. 
3) I) Para decidir si la matriz admite inversa, calcular el determinante. Para hallar la inversa, si existe, 
utilizar la definición de matriz inversa. 
 II) Hallar X, `despejándola´ de la ecuación. Tené cuidado al despejar, recordá que el producto de 
matrices no es conmutativo. 
4) Despejar X para analizar cuál es la condición que debe cumplir A, para que el despeje sea correcto. 
 
 
➢ Etapa 3 
 
1) Calculamos (por cualquier método) ( ) 10Det AB = y por la propiedad de los determinantes 
 
 10 ( ) ( ). ( ) ( 5). ( ) Det AB Det A Det B Det B= = = − . Entonces Det( )= 2B − 
 
2) ( )2 2 2 1 52 ( ) (2 ) ( ) . ( ) 2 ( ) 32 A B I Det A B Det I Det A Det B Det I− − −− =  − =  − = = 
 Estamos utilizando las propiedades de los determinantes y 1 1( )
( )
Det A
Det A
− = 
 Entonces 5
2
1 1
32 ( 1) ( ) ( 1) ( )
( ) ( )( )
Det B Det B
Det A Det ADet A
= − = − de donde se obtiene: 
 
 2 2( ) 32( ( )) 2 16( ( ))Det B Det A Det A = − = −  , dadas las hipótesis, lo que está entre corchete es un 
 número entero negativo, por lo tanto ( )Det B es un número par negativo. 
 
3) I) Calculando el determinante por cualquiera de los métodos, da 1, por lo tanto la matriz admite 
inversa, la calculamos por la definición de matriz inversa: 
 
 II) Multiplicando a derecha por 1A
− obtenemos 1( 2 )
T
X A I A
−= − + 
 
 
1 1 1 1 1 1 2 2 3
0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 1 2 2
X
− − − −    
    
= − − − = −    
    − − − −    
 
 
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4) Despejando obtenemos: ,1 1( )X A I A I A− −= − = − es decir que X existe siempre y cuando la matriz 
A admite inversa, o lo que es lo mismo siempre que 0Det A  . 
 Como 2Det A k= − , la ecuación planteada tiene solución siempre que 0k  .