Bondad-de-ajuste-para-la-distribucion-logistica--pruebas-graficas-y-pruebas-formales

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
BONDAD DE AJUSTE PARA LA DISTRIBUCIÓN 
LOGÍSTICA: PRUEBAS GRÁFICAS Y PRUEBAS 
FORMALES 
 
 
T E S I S 
 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 A C T U A R I A 
 
 
 P R E S E N T A : 
 
ERIKA NAYELI ABAD VIVERO 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTORA DE TESIS: 
MAT. MARGARITA ELVIRA CHÁVEZ CANO 
 
 
 
 
2009 
 
 
 
Neevia docConverter 5.1
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
Hoja de Datos del Jurado 
 
1. Datos del alumno 
Abad 
 Vivero 
 Erika Nayeli 
 57 82 67 01 
 Universidad Nacional Autónoma de México 
 Facultad de Ciencias 
 Actuaría 
 300118744 
2. Datos del tutor 
Mat. 
Margarita Elvira 
Chávez 
Cano 
3. Datos del sinodal 1 
Dra. 
Ruth Selene 
Fuentes 
García 
4. Datos del sinodal 2 
M. en D. 
Alejandro 
Mina 
Valdés 
5. Datos del sinodal 3 
Dra. 
María Edith 
Pacheco 
Gómez-Muñoz 
6. Datos del sinodal 4 
Act. 
 Jaime 
Vázquez 
Alamilla 
7. Datos del trabajo escrito 
Bondad de Ajuste Para la Distribución Logística: 
Pruebas Gráficas y Pruebas Formales 
142 p 
2009 
 
 
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Agradecimientos 
 
 
A la Universidad Nacional Autónoma de México y a quienes hacen posible que la 
Educación Superior sea Pública y de Calidad. 
 
 
 A mi querida Facultad de Ciencias y todos sus valiosos profesores. 
 
 
A mis sinodales: Dra. Ruth Selene Fuentes García, Dra. María Edith Pacheco Gómez-
Muñoz, M. en D. Alejandro Mina y Act. Jaime Vázquez Alamilla, por sus valiosos 
comentarios y recomendaciones. 
 
 
Y de manera muy especial quiero agradecer a mi tutora Mat. Margarita Elvira Chávez Cano 
por su apoyo constante y decidido sin el cual no hubiera sido posible este trabajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Dedicatoria 
 
 
A aquellos que siempre me han hecho soñar y creer en un mejor futuro…siempre me 
hacen a volver a la esperanza: 
 
Mis abuelos, mis raíces siempre presentes. 
 
Mis padres María del Refugio y Luis Manuel, ejemplos de superación constante. Mi 
fuente de fortaleza y permanencia. 
 
Mis padrinos Luz María y Francisco Javier, por su consejo y cariño constantes. 
 
Mis hermanas Úrsula, Bárbara y Lucía, por seguir su “signo”, sus convicciones. 
 
Mi compañero Emmanuel, por mostrarme nuevos “ingredientes para que el pan que 
muchos llaman mañana se cocine…” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 “Yo sueño que estoy aquí 
 destas prisiones cargado, 
 y soñé que en otro estado 
 más lisonjero me vi. 
 ¿Qué es la vida? Un frenesí. 
 ¿Qué es la vida? Una ilusión, 
 una sombra, una ficción, 
 y el mayor bien es pequeño; 
 que toda la vida es sueño, 
 y los sueños, sueños son." 
 
 
Pedro Calderón de la Barca 
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http://es.wikiquote.org/wiki/Vida
http://es.wikiquote.org/wiki/Sue%C3%B1o
INDICE 
I.Introducción 8 
 CAPÍTULO I. Información general sobre la Distribución Logística 10 
1.1 Antecedentes Históricos. 10 
1.2 Características y propiedades básicas de la distribución logística. 13 
1.3 Pruebas de Bondad de Ajuste 22 
1.4 Muestras Censuradas 24 
 CAPÍTULO II. Pruebas de Bondad de Ajuste para la Distribución Logística: 
Técnicas gráficas 26 
2. 1 Función de Distribución Empírica 27 
2.2 Prueba gráfica de bondad de ajuste utilizando la gráfica de la función de distribución empírica.
 31 
2.2.1 Ejemplos 32 
2.2.2 Conclusiones y recomendaciones 34 
2.3 Gráfica de Probabilidad de la Función Logística 35 
2.3.1 Definición 35 
2.3.2 Casos especiales 36 
2.3.3 Gráficas de Bondad de ajuste y estimación de parámetros 38 
2.3.4 Detección de desviaciones de linealidad en gráficas de probabilidad de la función logística 
 40 
2.3.5 Gráficas de probabilidad para muestras censuradas. 44 
2.3.6 Ejemplos 54 
CAPÍTULO III. Pruebas de Bondad de Ajuste para la Distribución Logística: 
Técnicas formales. 
 58 
3.1 Pruebas del tipo Ji-cuadrada. 58 
3.1.1 Las pruebas Clásicas de la Ji-cuadrada. 59 
3.1.2 Sobre el número de celdas 65 
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3.1.3 Elección de una prueba 68 
3.1.4 Ejemplos 68 
3.2 Las pruebas Ji-Cuadradas generales: Celdas dependientes de los datos. 78 
3.2.1 Ejemplos 79 
3.2.2 Conclusiones y recomendaciones 85 
3.3 Pruebas basadas en estadísticas EDF 85 
3.3.1 Hipótesis Simple 93 
3.3.2 Hipótesis Compuesta 102 
3.3.3 Ejemplos 106 
3.3.4 Transformaciones uniformes 113 
3.4 Pruebas basadas en espacios normalizados 115 
3.4.1 Estadística Anderson-Darling A2 modificada 115 
3.4.2 Estadística de Tiku 117 
3.4.3 Ejemplos 119 
3.5 Pruebas basadas en regresión y correlación 123 
3.5.1 Modelos de pruebas de regresión 127 
3.5.2 Pruebas basadas en el coeficiente de determinación 128 
3.5.3 Otras pruebas 129 
3.5.3 Ejemplos 130 
Conclusiones 135 
Bibliografía 137 
 
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I.Introducción 
 
En muchos casos, probar bondad de ajuste es solo un eslabón de la gran meta: puede ser 
desde el paso inicial o incluso el paso cúspide de todo un análisis estadístico o propuesta 
de modelo. No por ser uno de los muchos posibles pasos del análisis pierde valía. De 
hecho, el problema de Bondad de Ajuste es inherente a cualquier análisis estadístico 
formal pues siempre que se genera una hipótesis sobre la distribución de las observaciones 
muestrales es necesario probarla. 
 
Considerando que la distribución Logística es de las distribuciones más conocidas se vió la 
necesidad de retomar las principales técnicas para evaluar la Bondad de Ajuste de esta 
distribución. Es de hacer notar que la distribución logística ha ido ganando popularidad por 
ser una función sencilla y efectiva para modelar fenómenos relacionados con el 
crecimiento, desde el de la población humana hasta la penetración o crecimiento que tiene 
un nuevo producto o una nueva tecnología enel mercado. A pesar de ser una distribución 
“popular”, las técnicas de bondad de ajuste para ella no son tan conocidas. De hecho, las 
pruebas paramétricas más conocidas están limitadas a la distribución normal y acaso a la 
distribución exponencial. Por otra parte, aunque hay un buen número de técnicas no-
paramétricas, éstas necesitan consideraciones especiales para cada distribución. 
 
En este sentido y con el propósito de contar con una herramienta útil en las principales 
áreas de aplicación de un actuario como la ciencia actuarial y sus aplicaciones tradicionales 
en el ramo de seguros y pensiones, pero también en áreas como la demografía, salud 
pública, o incluso en mercadotecnia (conocer la duración de vida de un producto en el 
mercado o el tiempo que tarda una innovación en entrar totalmente, o ganar su mercado) 
se presentan las técnicas más representativas para probar bondad de ajuste de la 
distribución logística. 
 
El objetivo general de este trabajo es retomar las técnicas o pruebas más útiles para probar 
Bondad de Ajuste de una Distribución Logística, hacer un balance sobre sus alcances y 
limitaciones, así como analizar la posibilidad de ser complementadas entre sí. Como primer 
paso, se vió la necesidad de entender el origen de esta distribución a partir de las 
motivaciones y los personajes que propiciaron su desarrollo. Este acercamiento abre paso 
para reconocer las principales características de la distribución logística. En el capítulo I se 
abordan estos temas. 
 
En los capítulos II y III se muestran las Técnicas Gráficas y las Técnicas Formales, donde 
para ejemplificar cada una de las técnicas propuestas se decidió utilizar dos conjuntos de 
datos: el llamado LOG,y el NOR que por construcción se sabe tienen una función de 
distribución logística L(100, 18.14) y distribución normal N(100, 10) respectivamente.. El 
objetivo de utilizar estos datos es mostrar cómo cada una de las técnicas propuestas resulta 
más potente para detectar distintos comportamientos, pues dadas las características de la 
distribución logística es frecuente que sea “confundida” por una distribución normal. 
 
 
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Dado que en muchas de las áreas de aplicación de un actuario se trabaja con observaciones 
relacionadas a la supervivencia, se incorpora el enfoque de muestras censuradas para cada 
una de las técnicas descritas en los capítulos II y III. La intención es desarrollar las técnicas 
de bondad de ajuste en el más puro sentido del análisis de supervivencia al incorporar las 
consideraciones necesarias para trabajar con observaciones censuradas, de manera que el 
aporte parcial de cada observación no sea ignorada y se cuente con toda la información 
disponible. Ésto está en sintonía con el sentido primero de la estadística: analizar el 
fenómeno con toda la información posible. 
 
Cabe mencionar que las técnicas o metodologías aquí presentadas pretenden ser lo más 
útiles posible en la práctica, por lo que técnicas de mayor complejidad son omitidas o solo 
mencionadas como antecedente de las técnicas propuestas. 
 
 
 
 
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CAPÍTULO I. Información general sobre la Distribución Logística 
1.1 Antecedentes Históricos. 
Estudiosos de la historia de las matemáticas, en este caso de la historia de la distribución 
logística, tal como J.S. Cramer (The origins and development of the logit model, 2003) 
establecen que los orígenes de la distribución logística se remontan al siglo XIX, en pleno 
desarrollo de los primeros estudios de dinámica de poblaciones por una parte y el estudio 
de las reacciones químicas autocatalíticas. 
En cuanto a los estudios de dinámica de población, se sabe que esta área del conocimiento 
se encarga de estudiar los cambios, ya sean marginales o de largo plazo, que sufre una o 
más poblaciones en su número de integrantes o en la composición por peso, edad, etc. De 
hecho, los estudios de dinámica de población han ido ampliando su campo de acción y se 
interesan en entender los procesos biológicos, ambientales y, en el caso de poblaciones 
humanas, los procesos sociales que influyen en los cambios de la población. 
Thomas Robert Malthus (1766-1834), demógrafo y economista inglés, aportó con su 
Modelo de Crecimiento de Malthus las bases de la dinámica de población. Incluso, el 
primer principio de dinámica de población es ampliamente aceptado como la ley 
exponencial de Malthus. Fue entre 1789 y 1826 que Malthus publicó seis ediciones de su 
famoso “An Essay on the Principle of Population” incorporando en cada una de ellas 
innovaciones, espacio para sus críticos e incluso cambios a sus propios puntos de vista 
sobre el tema. Sin embargo, desde su primera edición tuvo gran repercusión en el 
pensamiento de sus contemporáneos y resultó una influencia importante en investigadores 
de áreas como demografía, economía y biología. Mientras que teóricos e investigadores del 
pensamiento y acción económica como John Maynard Keynes o David Ricardo eran 
influidos notablemente por el trabajo de Malthus
1
, en el área de biología o de la evolución 
el mismo Charles Darwin no escapó de la influencia de su trabajo. Gracias a Malthus, 
Darwin reconoció el valor de la competencia entre poblaciones, ya sea entre diferentes 
especies o incluso entre individuos de la misma especie (Young, R.M. 1985). 
Cramer (2003) apunta que en el siglo XIX los estudios de dinámica de población causaban 
un interés tal que no solo demógrafos estaban involucrados. Tal es el caso de Alphonse 
Quetelet, astrónomo de formación pero dedicado a la estadística. Él estaba al tanto de los 
últimos y más innovadores teorías del área, en especial de la teoría de Malthus sobre el 
crecimiento de la población. Alphonse Quetelet estaba consciente de un detalle muy 
 
1 http://william-king.www.drexel.edu/top/prin/txt/equil/malthus.html 
 http://cepa.newschool.edu/het/profiles/malthus.htm 
 
 
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http://william-king.www.drexel.edu/top/prin/txt/equil/malthus.html
http://cepa.newschool.edu/het/profiles/malthus.htm
importante en el modelo de Malthus: que una población humana por si sola crecería en 
progresión geométrica. Bajo este modelo, la extrapolación de un crecimiento exponencial, 
si se lleva al uso indiscriminado para valores grandes en el tiempo, lleva a valores 
imposibles de población humana. 
Lo anterior puede verse más claramente si consideramos que la derivación del modelo de 
Malthus, así como la derivación del modelo del curso de una reacción autocatalítica, 
consideraron en primera instancia el desarrollo en el tiempo de una cierta cantidad P(t) y 
su tasa de crecimiento simplemente como: 
𝑃 (𝑡) =
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
 
(1.1) 
Donde la primera suposición fue que 𝑃 (𝑡) es proporcional a 𝑃 𝑡 : 
𝑃 𝑡 = 𝛽𝑃 𝑡 
(1.2) 
Donde 𝛽 es la tasa de crecimiento y es constante pues se define como 𝛽 =
𝑃 𝑡 
𝑃 𝑡 
. 
Este modelo llevó directamente a una solución exponencial: 
𝑃 𝑡 = 𝐴𝑒𝛽𝑡 
(1.3) 
Donde la constante A suele ser remplazada por la condición inicial P(0). 
Si con P(t) nos estamos refierendo, ya sea a la población de un país o al curso de una 
reacción química autocatalítica, este modelo estaría reflejando un crecimiento sin 
oposición. Es en este punto donde la teoría de Maltus encontró tanto detractores como 
curiosos. Entre ellos Alphonse Quetelet y su pupilo Pierre Francois Verhulst. 
Quetelet y Verhulst 
2
 trabajaron para encontrar el término adecuado para modelar la 
“resistencia” que de manera lógica o natural debe enfrentar el crecimiento de una 
 
2 Siguiendo similares motivaciones y también de principios del siglo XIX sobresale el trabajo de Benjamin Gompertz . La 
Ley de Mortalidad de Gompertz sería utilizada ampliamente por las compañías aseguradoraspara calcular el costo del 
seguro de vida. Incluso, hoy en día la llamada curva de mortalidad de Gompertz es el modelo base de muchos cálculos 
actuariales . El modelo de Gompertz publicado en 1825 tenía la forma siguiente: 
𝑁 ′ 𝑡 = 𝑟𝑁 𝑡 𝑙𝑜𝑔 
𝐾
𝑁(𝑡)
 
Neevia docConverter 5.1
población. El primer paso fue decidir que esta resistencia sería una cierta función 𝜑(. ) que 
estaría también en función del nivel actual de población: 
𝑃 𝑡 = 𝛽𝑃(𝑡) − 𝜑(𝑃 𝑡 ) 
(1.4) 
Pierre F. Verhulst, matemático belga y doctor en Teoría de los Números por la Universidad 
de Ghent, para 1838 tenía lista la que sería primero conocida como la ecuación de 
Verhulst y más tarde como la función logística. Él derivó su équation logistique para 
describir el crecimiento auto-limitante de una población de seres vivos. 
La aportación importante de Verhulst, es decir la derivación de la función logística, 
consistió en usar a la función 𝜑 como una función cuadrática simple, de manera que puede 
ser escrita como: 
𝑃 𝑡 = 𝛽𝑃(𝑡) Ω − 𝑃(𝑡) 
(1.5) 
Donde Verhulst incorpora la idea de que existe un límite superior o un nivel de saturación 
de la población, Ω, y que el crecimiento de la población no solo depende del tamaño de la 
población actual sino que es también proporcional al “espacio disponible” o Ω − 𝑃 𝑡 . 
Si 𝑃 𝑡 es expresado como una proporción entre la población al momento t y el nivel de 
saturación de la población 𝑃 𝑡 = 𝑊(𝑇) Ω el modelo queda expresado como: 
𝑃 𝑡 = 𝛽𝑃(𝑡) 1 − 𝑃(𝑡) 
(1.6) 
Donde 𝑃 𝑡 es el número de individuos al tiempo t, 𝛽 es la tasa de crecimiento de la 
población y Ω es la capacidad o número máximo de individuos que el medio puede 
soportar. En términos más sencillo, este modelo de crecimiento de la población establece 
que: 
 La tasa de reproducción o tasa de crecimiento es proporcional al nivel actual de 
población, siempre que todas las demás variables se mantengan constantes. 
 La tasa de reproducción o tasa de crecimiento es proporcional a los recursos 
existentes, siempre que todas las demás variables se mantengan constantes. 
 
Donde 𝑁 𝑡 es el número de individuos al tiempo t, 𝑟 es la tasa de crecimiento intrínseca y 𝐾 hace referencia al número 
de individuos en equilibrio. 
 
Neevia docConverter 5.1
De hecho, el segundo punto modela la relación de competencia por los recursos existentes, 
que al final resulta ser el mayor limitante en el crecimiento de una población. 
La ecuación de Verhulst puede ser integrada exactamente. De hecho, la solución para esta 
ecuación diferencial es la expresión que Verhulst bautizó como función logística: 
 
𝑃 𝑡 =
exp⁡(𝛼 + 𝛽𝑡)
1 + exp⁡(𝛼 + 𝛽𝑡)
 
(1.7) 
De manera que de acuerdo a la ecuación de Verhulst la población en el tiempo t será: 
𝑃 𝑡 = Ω
exp⁡(𝛼 + 𝛽𝑡)
1 + exp⁡(𝛼 + 𝛽𝑡)
 
(1.8) 
Donde, lim𝑡→∞ 𝑃 𝑡 = Ω. 
Verhulst publicó , aunque de manera modesta , entre 1938 y 1947 su modelo en tres 
artículos. En ellos otorga, sin dar mayor explicación, el nombre de curva logística a su 
modelo y también presenta evidencias de lo bien que la curva describía los niveles de 
población de Francia, Bélgica, Essex y Rusia para los años anteriores a 1833. 
Desafortunadamente la muerte prematura de Verhulst y su carácter serio o reservado 
limitaron la difusión de su trabajo. Incluso el propio Quetelet, tutor de Verhulst, desdeñó 
los resultados obtenidos por su pupilo de manera que quedaron en el olvido total. 
Finalmente, la historia le hizo justicia al primer descubridor de la función logística: el 
matemático belga C. Verhulst es reconocido de manera oficial como el descubridor de la 
función tal como la concebimos actualmente. Aunque cabe decir que su posterior desarrollo 
estuvo determinado por “... acciones individuales e historias personales de unos cuantos 
estudiosos: el redescubrimiento de la función de crecimiento se debe a Pearl y Reed (1920), 
el renacimiento del término logístico a Yule (1925) y la introducción de la función en el 
campo de la investigación biomédica (y por lo tanto en Estadística) a Berkson.”
3
 
1.2 Características y propiedades básicas de la distribución 
logística. 
Sin duda, el teorema del límite central fue un parteaguas pues abrió paso a un gran rango de 
posibilidades tanto en la práctica como en el desarrollo y estudio de las funciones de 
distribución. 
 
3
 Crámer, J. S. The origins and development of the logit model. (2003) 
Neevia docConverter 5.1
Como bien resume Emmanuel Lesigne (2005, págs. 29-31), este teorema es resultado del 
trabajo sucesivo de Abraham de Moivre (The Doctrine of Chance, Londres 1718), Pierre 
Simon Laplace (Théorie analytique des probabilités, París 1812) y Carl Friedrich Gauss 
(Theoria combinationis observationionum erroribus minimus obnoxiae, 1821). El 
descubrimiento de De Moivre fue la curva normal, descubrimiento que abrió la puerta a la 
del teorema del límite central de De Moivre-Laplace, que sería finalmente complementado 
por Gauss. Fue precisamente Karl Friedrich Gauss, debido en gran medida a su capacidad 
de trabajar tanto en la parte pura como en la aplicada, uno de los primeros en usar la curva 
normal y en mostrar las múltiples aplicaciones. De esta manera, con el teorema del límite 
central se establece el rol universal de la famosa curva de campana, la distribución normal. 
Con el paso del tiempo se vio la necesidad de modelar los fenómenos de distintas 
naturalezas con modelos más afines a sus características y claro, para muestras finitas. Así 
para los fenómenos que implican un crecimiento, la distribución logística ha demostrado 
ser de las distribuciones más apropiadas. 
Actualmente la distribución logística es una de las funciones de probabilidad más 
conocida. A través del tiempo ha sido utilizada para modelar desde crecimiento de 
poblaciones, reacciones autocatalíticas, la velocidad de expansión de una innovación 
tecnológica, diagnósticos médicos, salud pública o incluso para medir los cambios 
porcentuales día a día del índice S&P (Standar and Poor´s), entre otras aplicaciones. Sus 
características y propiedades principales son muy conocidas. Entre ellas destacan 
(Balakrishnan, N. en Handbook of the Logistic Distribuction, capítulo I): 
Función de densidad: 
𝑓 𝑥; 𝜇,𝜎 =
𝜋
𝜎 3
𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
 1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3 
2 
 (1.9) 
Con −∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝜇 < ∞ , 𝜎 > 0. 
Función de distribución: 
𝐹(𝑥; 𝜇,𝜎) =
1
1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
 
(1.10) 
Donde, por ser función de distribución se sabe cumple: 
lim
𝑥→−∞
𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 = 0 𝑦 lim
𝑥→∞
𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 = 1 
Neevia docConverter 5.1
Para la variable aleatoria 𝑌 =
𝑋−𝜇
𝜎
, la función logística estandarizada, 𝐿 0,1 , con 𝜇 = 0 y 
𝜎 = 1 tiene función de densidad: 
𝑓(𝑦) =
𝜋
 3
𝑒−𝜋𝑦 / 3
 1 + 𝑒−𝜋𝑦 / 3 
2 
(1.11) 
Y función de distribución: 
𝐹 𝑦 =
1
1 + 𝑒
−
𝜋𝑦
 3
 
 (1.12) 
Si se define la variable aleatoria: 
 𝑍 = 𝜋(𝑋 − 𝜇)/𝜎 3 = 𝜋𝑌/ 3 
(1.13) 
La función de densidad y la función de distribución se simplifican y facilitan su uso: 
𝑓∗ 𝑧 =
𝑒−𝑧
 1 + 𝑒−𝑧 2
 
(1.14) 
 𝐹∗(𝑧) =
1
1 + 𝑒−𝑧
 
(1.15) 
Esta transformación también es conocida como una forma estándar y simplificada de la 
distribución logística y será denotada por L(0,1) (distribución logística estándar). A partir 
de las gráficas de la función de densidad y la función de distribución es posible apreciar que 
la función dedensidad de L(0,1) es simétrica alrededor del cero y tiene una punta más alta 
que la de la distribución normal. 
La llamada función de riesgo (hazard function) de la variable 𝑌: 
𝐻 𝑌 = ln 1 + 𝑒−𝜋𝑌/ 3 
(1.16) 
Neevia docConverter 5.1
 Así como la tasa de falla (failure rate) o tasa riesgo (hazard rate) h(y), es el cociente de la 
función de distribución y la función de supervivencia S(y). En el caso de la logística 
estándar 𝐿 0,1 toma la forma: 
𝑕(𝑦) =
𝑓(𝑦)
𝑆(𝑦)
=
𝑓(𝑦)
1 − 𝐹(𝑦)
=
𝜋
 3 1 + 𝑒−𝜋𝑌/ 3 
 
 (1.17) 
Fig. 1.1 Función de densidad de una v.a. L(0,1) 
 
Fig. 1.2 Función de distribución de una v.a. L(0,1) 
 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(y)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(y)
Neevia docConverter 5.1
Para una variable aleatoria positiva y continua, en este caso Y, la cual se interpreta como 
la duración de vida de cierto objeto, la función riesgo se refiere a la razón de cambio de la 
probabilidad de no supervivencia entre t y t+1 dado que al tiempo t sobrevive. Dicho de 
otra manera, la función de riesgo proporciona información sobre la probabilidad de que un 
objeto que sobrevive al tiempo t no sobreviva para un tiempo adicional dt. 
Fig. 1.3 Función de riesgo de una v.a. L(0,1). 
 
 En cuanto a la gráfica de la función distribución y de la función riesgo, es notoria la 
relación de proporcionalidad entre ellas. Esta peculiar característica de la función logística 
le valió ser considerada como una buena distribución para modelar el crecimiento de una 
población. 
No solo existe en el caso de la función logística una relación de proporcionalidad entre su 
función de distribución y su función riesgo. Basta recordar que para cualquier variable 
aleatoria continua, su función de distribución puede ser especificada a partir de la función 
de riesgo (ver Ross 2002)
4
: 
𝑕(𝑦) =
𝑓(𝑦)
𝑆(𝑦)
=
𝑓(𝑦)
1 − 𝐹(𝑦)
=
𝑑
𝑑𝑦 𝐹(𝑦)
1 − 𝐹(𝑦)
 
(1.17) 
Al integrar ambos lados de la igualdad se tiene: 
 
4
 Ross, S. A first Course in Probability. Sexta edición 2002. 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
h(y)
Neevia docConverter 5.1
 𝑕(𝑦)𝑑𝑦 = 
𝑑
𝑑𝑦𝐹(𝑦)
1 − 𝐹(𝑦)
𝑦
0
𝑦
0
= 
𝑑𝑢
𝑢
𝑢
0
 
 (1.18) 
Si 𝑢 = 1 − 𝐹(𝑦) y entonces 𝑑𝑢 = −
𝑑
𝑑𝑦
𝐹(𝑦) 
 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = − ln 𝑢 + 𝑐 = −ln⁡(1 − 𝐹 𝑦 )
𝑦
0
+ 𝑐 
(1.19) 
De manera que: 
ln⁡(1 − F y ) = − 𝑕 𝑦 𝑑𝑦
𝑦
0
+ 𝑐 
(1.20) 
o bien: 
1 − 𝐹(𝑦) = 𝑒𝑐𝑒𝑥𝑝 − 𝑕 𝑦 𝑑𝑦
𝑦
0
 
(1.21) 
𝐹(𝑦) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 − 𝑕 𝑦 𝑑𝑦
𝑦
0
 
(1.22) 
De esta relación entre la función de distribución y la función riesgo, también se desprende 
la llamada función de riesgo acumulada, que es la integral de la función riesgo y se 
interpreta como la probabilidad de que ocurra una falla al tiempo t dado que había 
sobrevivido hasta el tiempo t: 
𝐻(𝑡) = 𝑕 𝑦 𝑑𝑦
𝑡
0
 
(1.23) 
O, alternativamente, como lo muestra la relación anterior: 
𝐻(𝑡) = −ln⁡(1 − 𝐹 𝑡 ) 
(1.24) 
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En busca de una descripción directa y sin complicaciones de cálculo del crecimiento 
logístico, es frecuente se utilice a la variable aleatoria 𝑍 = 𝜋𝑌/ 3 para describir las 
principales características y propiedades (Balakrishnan, N. 1992): 
 Función generadora de momentos 
𝑀𝑧 𝑡 = 𝐸 𝑒
𝑡𝑍 = 
𝑒−𝑧𝑒𝑡𝑧
 1 + 𝑒−𝑧 2
∞
−∞
𝑑𝑧 = 
𝑒− 1−𝑡 𝑧
 1 + 𝑒−𝑧 2
∞
−∞
𝑑𝑧 
= 𝑢𝑡(1 − 𝑢)𝑡𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑢 =
1
1 + 𝑒−𝑧
1
0
 
= 𝐵 1 + 𝑡, 1 − 𝑡 
= Γ 1 + 𝑡 Γ 1 − 𝑡 . 
(1.24) 
De esta manera, la función generadora de cumulantes de Z se obtiene como: 
𝐾𝑧(𝑡) = 𝑙𝑛𝑀𝑧(𝑡) = 𝑙𝑛Γ(1 + 𝑡) + 𝑙𝑛Γ(1 − 𝑡) 
 (1.25) 
Los cumulantes de Z se obtienen a partir de 1.25 al derivar con respecto a t y evaluando 
t=0. Por ejemplo: 
𝐸(𝑍) = Γ′(1) − Γ′(1) = 0. 
(1.26) 
𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 2 Γ′′ (1) − (Γ′ 1 )2 
(1.27) 
Donde Γ′′ . y Γ′(. ) son la segunda y primera derivada de la función gamma. 
También es posible encontrar los momentos de la variable aleatoria Z por medio de la 
integración de la función de densidad. Dado que la función logística es simétrica alrededor 
del cero, los momentos nones serán cero. En el caso de los momentos pares, la integral de 
la función de densidad tendría la forma: 
𝐸 𝑍2𝑟 = 𝑧2𝑟
𝑒−𝑧
 1 + 𝑒−𝑧 2
∞
−∞
𝑑𝑧 
 = 2 𝑧2𝑟
𝑒−𝑧
 1 + 𝑒−𝑧 2
∞
0
𝑑𝑧 
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 = 2 𝑧2𝑟 (−1)𝑗−1𝑗𝑒−𝑗𝑦∞𝑗=1 
∞
0
𝑑𝑦 
 = 2Γ(2𝑟 + 1) 
(−1)𝑗−1
𝑗2𝑟
∞
𝑗=1
 
 = 2Γ 2𝑟 + 1 1 −
1
22𝑟−1
 𝜂(2𝑟) 
(1.28) 
Para 𝑟 = 1, 2,… donde 𝜂 𝑠 = 𝑗−𝑠∞𝑗=1 es la función zeta de Riemann. 
Así, para el segundo y cuarto momento se tiene: 
 𝑉𝑎𝑟 𝑍 = 𝐸 𝑍2 = 2 ∗ 2 1 −
1
2
 𝜂 2 
= 2 
𝜋2
6
 =
𝜋2
3
 
(1.29) 
𝐸 𝑍4 = 2 ∗ 24 1 −
1
8
 𝜂 4 
 = 42 
𝜋4
90
 =
7𝜋4
15
 
(1.30) 
Y como consecuencia, también es posible conocer el valor de los coeficientes de kurtosis y 
sesgo (skewness) de una población con distribución logística: 
𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜: 𝛽1 =
𝐸(𝑥 − 𝜇)3
𝜎3
= 0. 
(1.31) 
𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠: 𝛽2 =
𝐸(𝑥 − 𝜇)4
𝜎4
=
63
15
= 4.2 
(1.32) 
Donde 𝐸(𝑥 − 𝜇)𝑛 denota al n-ésimo momento central de la distribución logística. Una 
medida de sesgo cero es característica de una distribución simétrica, como lo son la 
distribución normal o normal estándar. Por su parte un valor de una kurtosis grande está 
relacionado con que mucha de la varianza de la distribución es debida a valores muy 
grandes y atípicos en las colas. 
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De hecho las características de la distribución logística muestran gran parecido con la 
flexible distribución normal, razón por la cual resulta en ocasiones difícil diferenciar 
claramente entre una y otra. Johnson y Kotz (1970) muestran que al comparar la 
distribución de una variable normal estándar contra una logística estándar la diferencia 
entre ellas es muy pequeña pues el máximo valor de la diferencia se obtenía cuando 
𝑦 = 0.7 y era del orden de 0.0228. En contraste, una característica importante de la 
distribución logística es su nivel de kurtosis de 4.2 que comparado con el nivel de kurtosis 
de una normal estándar 𝑁(0,1) donde el valor de 𝛽2 o kurtosis es de 3 es fácil notar que la 
función logística posee colas más largas o pesadas que la función normal. 
La presencia de colas largas o pesadas indica que mucha de la variabilidad se debe a 
observaciones grandes. Distribuciones con colas más largas que las de la normal 
corresponden a distribuciones donde hay gran cantidad de observaciones con 
probabilidades lejos del valor de la media. Esto es, colas largas dificultan las conclusiones 
acerca del valor de la media. Fenómeno que no ocurre en la distribución normal. 
Se podría decir que en términos de la variabilidad de las observaciones y por consecuencia, 
del nivel de kurtosis, la distribución logística es el “punto intermedio” entre la distribución 
normal y la distribución valor extremo. Esto va ligado al tipo de fenómeno que es descrito 
de mejor manera por cada distribución: la distribución logística es útil, intuitivamente, para 
modelar con mayor fineza aquellos fenómenos donde el comportamiento que más interesa 
conocer es la probabilidad de ocurrencia en los “extremos” del tiempo de medición, por 
ocurrir ahí la mayor variabilidad. Esta variabilidades grande pero no al extremo de las 
variabilidades esperadas bajo una distribución de valores extremos. 
Como ilustración a esto, se muestra una relación entre la función de distribución valor 
extremo (usada principalmente para medir “puntos de quiebre” bajo condiciones extremas o 
de stress también conocidos como modelos de stress-resistencia) y la distribución logística: 
Sean X y Y variables aleatorias independientes con distribución valor extremo 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚(𝛼,𝛽), entonces X-Y se distribuye como una distribución logística 𝐿 0,𝛽 . 
(Krishnamoorthy, K. 2006) 
Estimadores máximo verosímiles 
Para la distribución logística la función de verosimilitud 𝐿(𝜇,𝜎) esta dada por: 
 𝐿 𝜇,𝜎 = 𝑓(
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖; 𝜇,𝜎) 
 = 
𝜋
𝜎 3
𝑒−𝜋 𝑥𝑖−𝜇 /𝜎 3
 1 + 𝑒−𝜋 𝑥𝑖−𝜇 /𝜎 3 
2
𝑛
𝑖=1
 
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Las ecuaciones de máxima verosimilitud pueden ser resueltas numéricamente a través de 
las ecuaciones: 
 1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3 
−1𝑛
𝑖=1
=
𝑛
2
 
(1.33) 
 
𝜋(𝑥 − 𝜇)
𝜎 3
𝑛
𝑖=1
1 − 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
= 𝑛 
(1.34) 
Donde la media muestral y la desviación estándar son buenos estimadores para 𝜇 y 𝜎, esto 
para ser utilizados como valores iniciales de las ecuaciones para encontrar los estimadores 
𝜇 y 𝜎 . 
𝜇 =
1
𝑛
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
(1.35) 
𝜎 =
 3
𝑛
 
1
𝑛 − 1
 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑛
𝑖=1
 
(1.36) 
Propiedades. Krishnamoorthy 2006 destaca las siguientes propiedades de la distribución 
logística: 
1. Sea X v.a. con distribución logística 𝐿 𝛼,𝛽 entonces 
 𝑋−𝛼 
𝛽
 es una v.a. con 
distribución logística estándar 𝐿 0, 1 . 
2. Sea U v.a. con distribución uniforme 𝑈 0,1 entonces la v.a. 𝛼 + 𝛽 log 𝑈 −
log⁡(1 − 𝑈) tiene distribución logística 𝐿 𝛼,𝛽 . 
3. Sea Y v.a. exponencial 𝐸𝑥𝑝 𝜆 entonces la v.a. −𝑙𝑜𝑔 
𝑒−𝑌
1−𝑒−𝑌
 se distribuye como 
una logística estándar 𝐿 0, 1 . 
4. Sean 𝑌1 y 𝑌2 v.a. independientes e idénticamente distribuidas 𝐸𝑥𝑝 𝜆 entonces, la 
v.a. −𝑙𝑜𝑔 
𝑌1
𝑌2
 se distribuye 𝐿 0, 1 . 
 
1.3 Pruebas de Bondad de Ajuste 
El paso obligado para cualquier análisis estadístico formal es verificar que efectivamente la 
distribución que se supone tienen las observaciones muestrales es la postulada. Bajo esta 
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necesidad han ido surgiendo distintas técnicas para examinar que tan bien la información 
muestral bajo estudio ajusta a la distribución de probabilidad de la población. Dicho con 
otras palabras, la necesidad recae en conocer si los valores predichos por el modelo elegido 
proporcionan una representación certera de los valores observados. Estas técnicas son 
conocidas como Pruebas de Bondad de Ajuste y a través de éstas se busca determinar si las 
diferencias observadas son atribuibles a omisiones muestrales o a una pobre especificación 
del modelo. Para lograr esto se utilizan varias técnicas agrupadas en dos grandes enfoques: 
el informal o gráfico y el formal, también conocido como pruebas de hipótesis. 
D’Agostino y Stephens (1986) apuntan que, de manera formal, el problema de Bondad de 
Ajuste se aborda a partir de dos pasos principalmente: 
1. El cálculo de una medida de consistencia o discrepancia (estadística de 
prueba). 
2. La aplicación de una prueba de hipótesis. 
 
Aunque las Pruebas de Bondad de Ajuste son un caso particular de las Pruebas de Hipótesis 
merecen ser tomadas en un lugar aparte ya que son, sin duda, el primer paso para poder 
continuar con otros análisis ya con información sobre la naturaleza de la distribución a la 
cual “pertenecen” las observaciones. Esto es porque el punto más importante es la medida 
de concordancia de los datos con la hipótesis nula, pues la decisión deseable es aceptar que 
la variable aleatoria X sigue una cierta distribución 𝐹(𝑥). De acuerdo a D’Agostino y 
Stephens (1986) hay varias razones para esto: primero, la distribución de los datos 
muestrales puede arrojar luz sobre el proceso que los generó; en segundo término, si se 
conoce la distribución que tienen los datos entonces las pruebas estadísticas estándares y 
los procedimientos de estimación que se vayan a utilizar estarán guiados por este 
conocimiento. Por ejemplo, si los datos siguen una distribución normal, las inferencias 
concernientes a las medias y varianzas puede hacerse usando pruebas especificas para la 
distribución normal. En este caso se utilizarían como estadísticas de prueba una que tiene 
distribución t de Student, o una F de Fisher. También el cálculo de estimadores como 
intervalos de confianza, intervalos de tolerancia e intervalos de predicción, dependen 
frecuentemente de la distribución de la información muestral. 
Las técnicas de bondad de ajuste están construidas para medir la cercanía o conformidad 
de los datos muestrales o mejor dicho un conjunto de valores que toma la variable aleatoria 
X con la función de distribución postulada. O equivalentemente, para medir que tan 
distintas son. En el caso de las pruebas de hipótesis, se tratan de pruebas estadísticas 
formales y las medidas de consistencia o discrepancia son las estadísticas de prueba. 
Las hipótesis a probar, o 𝐻0 , en Bondad de Ajuste pueden ser tanto simples como 
compuestas. En cambio la hipótesis alternativa 𝐻1 la mayor parte de las veces es 
compuesta y no aporta ninguna información completa sobre la distribución. Por ejemplo, la 
hipótesis nula podría ser que la variable aleatoria X tiene sesgo positivo. Lo ideal es poder 
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contar en casos como este con una prueba de Bondad de Ajuste que sea sensible a la 
característica tanto de la hipótesis nula como de la alternativa. 
Por otra parte, aunque no son precisamente pruebas formales, el problema de Bondad de 
Ajuste se puede abordar desde el enfoque de las ya conocidas y utilizadas técnicas gráficas. 
Con una larga historia en el análisis estadístico, las gráficas buscan mostrar la cercanía o 
en su caso desviación que tiene la variable aleatoria bajo estudio y la distribución 
hipotética. La más conocida es la llamada gráfica de probabilidad donde se grafican las 
funciones de los rangos contra las observaciones ordenadas. Si los datos se van alineando 
en una recta esto está indicando que la distribución hipotética es un modelo razonable para 
los datos. 
1.4 Muestras Censuradas 
Dentro de los fenómenos mejor descritos por la distribución logística es común que no se 
cuente con toda la información de la muestra. Tomando esto en consideración y con el fin 
de explorar técnicas de bondad de ajuste en el más puro sentido del análisis de 
supervivencia (de manera que el aporte parcial de cada observación no sea ignorada y se 
cuente con toda la información disponible), se muestra una breve descripción de las formas 
en que se puede presentar la censura de las observaciones: 
 
Una muestra censurada se presenta cuando para 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑛 muestra aleatoria, alguna de 
las observaciones no está disponible o falta. La censura puede ser producto de muy diversas 
causas o circunstancias, ya sean premeditadas o incluso azarosas. Además la censura dentro 
de una muestra puede ocurrir para cualquier observación y en cualquier tiempo. 
Teniendo esto en mente, los tipos de censura se han clasificado como (D’Agostino y 
Massaro en Balakrishnan 1992): 
i. Censura por la izquierda, que ocurre cuando se tienen observaciones 
ordenas y faltan todas las observaciones menores a 𝑋𝑠:𝑛 . Esto es, solo la 
cola izquierda presenta censura. 
ii. Censura por la derecha, que ocurre cuando se tienen observaciones 
ordenadas faltan todas la observaciones mayores a 𝑋𝑟 :𝑛 , esto es, solo la cola 
derecha presenta censura. Una característica importante es que el tiempo de 
censura observado es siempre menor que el tiempo de falla. 
iii. Censura múltiple, cuando la censura se presenta en ambascolas pero 
también cuando se presenta en observaciones centrales o fuera de las colas. 
iv. Tipo I, cuando la censura ocurre para valores aleatorios de s (por la 
izquierda) o r (por la derecha). En este tipo de censura el investigador 
desconoce el número de valores aleatorios que serán censurados pero para 
ello tuvo que determinar un tiempo máximo de observación para que ocurra 
la falla. Las censura de este tipo también suele ser conocido como tiempo 
de falla. 
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v. Tipo II, cuando la censura ocurre para valores predefinidos de s o r. En este 
tipo de censura es el propio investigador el que decide prolongar el periodo 
de observación hasta tener los valores s o r deseados. 
vi. Censura aleatoria, cuando el valor de una observación no se conoce pero si 
sabe que todas las 𝑋𝑖 no censuradas cumplen con cierta función, por ejemplo 
que 𝑋𝑖 > 𝑇𝑖 , donde 𝑇𝑖 es también una muestra aleatoria. Aquí el 
investigador no tiene ningún control sobre la censura. 
La censura, o falta de observaciones disponibles, ocurre frecuentemente en las muestras 
relacionadas con la duración de vida. Puede ocurrir cuando, por ejemplo, las observaciones 
que interesan son las que ocurren antes de que una cierta magnitud predefinida se haya 
alcanzado. Es el caso de la medición de la vida de un foco donde se busca registrar la 
duración de vida de aquellos focos que fallen antes de cumplir tres meses. En este caso el 
número de observaciones obtenidas o censuradas, 𝑟, es una variable aleatoria por lo que es 
clasificada como censura individual tipo I o también conocida como tiempo de censura. 
Si la clasificación de la censura es con respecto a la “ubicación” que tienen las 
observaciones censuradas entonces este ejemplo de los focos es una muestra censurada por 
la derecha.En cambio, y como ejemplo de la censura individual tipo II o censura de falla, 
está el caso de la medición de los 15 días más calurosos del año. En este caso el número de 
observaciones ordenadas, 𝑠, está ya predefinido. Es decir , 𝑠 no es una variable aleatoria. 
Además, con respecto a la temperatura, el tipo de censura en la que se clasifican estas 
observaciones es la de censura por la izquierda. 
El tiempo de censura aleatorio ocurre cuando el tiempo en que ocurre la censura para cada 
sujeto es una variable independiente y además es independiente del valor que toma la 
medida. El ejemplo clásico de este tipo de censura es el caso de un experimento donde el 
tiempo de supervivencia de los individuos que han recibido cierto tratamiento es la variable 
de interés. Puede ocurrir que algunos sujetos abandonen el estudio antes de que el evento a 
medir ocurra o bien, que el tiempo del experimento termine antes que ocurra el evento. En 
la mayoría de los casos los valores más grandes que pueda tomar la variable de interés no 
serán observados, razón por la cual a este tipo de censura se le conoce también como 
censura arbitraria por la derecha. 
Cuando los distintos tiempos de censura para cada individuo son conocidos se trata de una 
censura progresiva de tipo I para muestras censuradas múltiples. Esto ocurre, por ejemplo 
cuando los sujetos empiezan una prueba de vida a diferentes tiempos, pero cada uno de 
ellos tiene un punto de término predefinido. Las muestras con censura progresiva de tipo 
II ocurren con menor frecuencia , aunque como en el caso de la censura progresiva tipo I, 
se presenta en el campo de las pruebas de supervivencia cuando por ejemplo los sujetos 
entran a la prueba al mismo tiempo para después seleccionar un número aleatorio de sujetos 
sin falla. Este número aleatorio de sujetos son removidos de la muestra inmediatamente 
después de que un número predeterminado de fallas ocurren. 
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CAPÍTULO II. Pruebas de Bondad de Ajuste para la Distribución 
Logística: Técnicas gráficas 
 
A la par del desarrollo de las técnicas formales de Bondad de Ajuste se han ido 
desarrollando técnicas gráficas, que no son sino herramientas sencillas que se pueden usar 
ya sea en papel probabilístico, como fue en un principio, o en programas de computadora 
sencillos tal como SPSS (Statistical Package for the Social Sciences), SAS (Statistical 
Analysis System) o incluso Excel. Estas técnicas resultan muy útiles para entender las 
relaciones que existen dentro de la información muestral bajo estudio. De hecho, para el 
problema de Bondad de Ajuste las técnicas gráficas se usan por lo menos de dos formas: 
a) Como una técnica exploratoria de los datos. En este caso el objetivo es 
identificar características que puedan dar luz sobre el tipo de propiedades 
matemáticas del fenómeno bajo estudio. Podría ser el caso de especificaciones 
como la simetría, la distribución subyacente o la presencia de colas pesadas. 
Otro tipo de características que se pueden conocer a partir de técnicas gráficas 
es el valor de la media y la varianza cuando se sabe hay existencia de 
normalidad. 
 
b) En conjunto con las técnicas formales de Bondad de Ajuste. En este caso el 
objetivo es que las hipótesis a probar bajo las técnicas formales estén influidas 
por la características que las técnicas gráficas estén sugiriendo. Frecuentemente 
son éstas las responsables del descubrimiento de detalles que no eran esperadas 
antes del análisis. Como las técnicas numéricas cuantifican la información y la 
evidencia de los datos, también pueden servir para verificar que las inferencias 
sugeridas por las técnicas gráficas se cumplen. 
Existe, sin embargo, un problema potencial detrás del uso exclusivo de técnicas gráficas 
como herramienta para la Bondad de Ajuste. Como estas técnicas no hacen distinción entre 
los datos estadísticamente significativos, resultan muy sensibles a variaciones aleatorias de 
los datos. Esto es, sin una verificación formal el uso exclusivo de técnicas gráficas puede 
llevar a conclusiones erróneas. Lo ideal es usar pruebas numéricas o formales una vez que 
se tiene un análisis gráfico de los datos. Con esto se asegura que las pruebas gráficas y las 
pruebas formales se complementen. 
Existen en la literatura muchas técnicas. Sin embargo, las expuestas en este capítulo 
cumplen con el cometido de ser útiles en la práctica, justamente por tener procedimientos 
sencillos y porque proporcionan información adicional que complementa a los métodos 
formales. 
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2. 1 Función de Distribución Empírica 
Definición: Sea 𝑥1,,𝑥2,… ,𝑥𝑛 una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 proveniente de la 
distribución logística y con función de distribución: 
𝐹(𝑥; 𝜇,𝜎) =
1
1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
 
(2.1) 
Como se sabe, la función de distribución empírica está definida por: 
𝑆𝑛(𝑥) =
#(𝑋𝑛 ≤ 𝑥)
𝑛
 
(2.2) 
Si se utilizan observaciones ordenadas esto es, estadísticas de órden, 𝑥1:𝑛 ≤ 𝑥2:𝑛 ≤ ⋯ ≤
𝑥𝑛 :𝑛 la función de distribución empírica se simplifica: 
𝑆𝑛 𝑥 =
𝑖
𝑛
 
 (2.3) 
donde 𝑖 = #(𝑋𝑗 :𝑛 ≤ 𝑥). 
La gráfica de la función de distribución empírica se obtiene de graficar 𝑥𝑖:𝑛 contra 
𝑆𝑛 𝑥 =
𝑖
𝑛
 . 
Fig. 2.1 Función de distribución empírica EDF de los datos NOR.
 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
70 80 90 100 110 120 130
Fn(x)
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La relación entre la función de distribución empírica y la función de distribución real está 
basada en resultados muy interesantes, tal es el caso del llamado Teorema Fundamental de 
la Estadística Matemática o Teorema de Glivenko-Cantelli. 
Este teorema resulta muy útil en el contexto de las pruebas de bondad de ajuste pues 
proporciona información sobre que tan cercanas o parecidas resultan la función de 
distribución empírica y la función de distribución real para todos los valores de x. 
Así, el teorema de Glivenko-Cantelli asegura que con probabilidad 1, la convergencia de 
𝑆𝑁(𝑥),función de distribución empírica, a 𝐹 𝑥 , función de distribución real, es uniforme 
en x para −∞ < 𝑥 < ∞ (Renyi 1970): 
𝑃 𝑠𝑢𝑝
𝑥
 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹(𝑥) 
𝑛 ∞
 0 = 1. 
(2.4) 
Al definir a la variable aleatoria 𝐷𝑛 = 𝑠𝑢𝑝 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹(𝑥) estamos indicando que ésta es 
la variable aleatoria que mide que tanto 𝑆𝑁(. ) se desvía de la distribución real 𝐹 . . 
La importancia de este teorema recae en el hecho de que establece que con muestras 
suficientemente grandes se puede tener información certera sobre la distribución de la 
población. 
Por otra parte, aunque el teorema de Glivenko-Cantelli dice que la diferencia entre la 
función de distribución empírica y la función de distribución real tiende a cero con 
probabilidad 1 mientras el tamaño de muestra tiende a infinito, no habla de la rapidez de 
esta convergencia. Esta información es obtenida a través del teorema de Smirnov-
Kolmogorov: 
Teorema de Smirnov-Kolmogorov. Sean 𝜉1 , 𝜉2 ,… , 𝜉𝑛 variables aleatorias independientes e 
idénticamente distribuidas con función de distribución 𝐹 𝑥 y donde la k-ésima estadística 
de órden se denota como 𝜉𝑘:𝑛 y la función de distribución empírica se define como: 
𝑆𝑛(𝑥) = 
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 𝜉1:𝑛 ,
𝑘
𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜉𝑘 :𝑛 < 𝑥 < 𝜉𝑘+1:𝑛 ,
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜉𝑘 :𝑛 < 𝑥
 
Entonces: 
a) Smirnov 
lim
𝑛 ∞
𝑃 𝑛 sup 𝑆𝑛 𝑥 − 𝐹 𝑥 < 𝑦 = 
1 − 𝑒−2𝑦
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 > 0,
 0 𝑒. 𝑜. 𝑐 
 
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(2.5) 
b) Kolmogorov 
lim
𝑛 ∞
𝑃 𝑛 sup 𝑆𝑛 𝑥 − 𝐹 𝑥 < 𝑦 = 
𝐾 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 > 0,
0 𝑒.𝑜. 𝑐.
 
(2.6) 
Donde : 
𝐾 𝑦 = (−1)𝑘
∞
𝑘=−∞
𝑒−2𝑘
2𝑦2 
(Renyi 1970). 
Es interesante notar que bajo estos teoremas la distribución límite no depende de 𝐹 𝑥 . Es 
suficiente con que 𝐹 𝑥 sea continua para garantizarlos y además no es necesaria alguna 
suposición adicional sobre su naturaleza, es decir, se trata de un problema de estimación no 
paramétrico. Esta prueba para probar la hipótesis de que cierta muestra fue tomada de una 
población con función de distribución continua 𝐹 𝑥 , se desarrolló a partir resultados muy 
interesantes sobre las característica de 𝑆𝑛 𝑥 . 
Los resultados anteriores permiten, cuando la función 𝐹 𝑥 es continua y conocida, 
calcular el valor de 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹𝑋(𝑥) para cualquier valor que tome x. En el caso de la 
distribución logística, como 𝐹 𝑥 es continua y no decreciente que cumple 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1, 
es posible saber cómo va cambiando 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹𝑋(𝑥) conforme x va tomando los valores 
del dominio de la función. 
Los teoremas de Glivenko-Cantelli y Kolmogorov-Smirnov proporcionan en conjunto una 
idea más clara de las características y las relaciones existentes entre la función de 
distribución empírica y la función de distribución real. En especial, resulta muy útil saber 
que se puede construir una banda de confianza para 𝐹 𝑥 en términos de 𝑆𝑁(𝑥). Esta banda 
se construye retomando el teorema de Glivenko-Cantelli en función de la variable aleatoria 
𝐷𝑛 = 𝑠𝑢𝑝 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹(𝑥) . De acuerdo a la desigualdad de Chebyshev se puede encontrar 
un valor 𝐷𝑛
𝛼 tal que: 
𝑃 𝐷𝑛 ≤ 𝐷𝑛
𝛼 = 1 − 𝛼 
(2.7) 
De la definición de 𝐷𝑛 , se sigue que: 
1 − 𝛼 = 𝑃 𝑠𝑢𝑝 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹(𝑥) ≤ 𝐷𝑛
𝛼 
 = 𝑃 𝑠𝑢𝑝 𝑆𝑁(𝑥) − 𝐹(𝑥) ≤ 𝐷𝑛
𝛼 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 
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 = 𝑃 −𝐷𝑛
𝛼 ≤ 𝑆𝑁 𝑥 − 𝐹 𝑥 ≤ 𝐷𝑛
𝛼 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 
 = 𝑃 𝑆𝑁 𝑥 −𝐷𝑛
𝛼 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 𝑆𝑁 𝑥 + 𝐷𝑛
𝛼 ,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 
(2.8) 
Esto es, con probabilidad 1 − 𝛼 la función de distribución desconocida 𝐹𝑋(𝑥) está dentro 
de la banda delimitada por 𝑆𝑁 𝑥 −𝐷𝑛
𝛼 y 𝑆𝑁 𝑥 +𝐷𝑛
𝛼 (Mood, Graybill y Boes 2001). 
Además, a partir de la amplitud de esta banda se tiene una medida de que tan preciso es 
𝑆𝑁 𝑥 como estimador de 𝐹𝑋 𝑥 . 
Como consecuencia de los resultados anteriores se puede decir que la gráfica de la 
distribución empírica da una buena imagen de la población o de la función de distribución 
real conforme 𝒏 crece y que a partir de sus propiedades también se puede obtener mayor 
información acerca de que tan desviada está de la distribución real, como en el caso de la 
banda de confianza. 
La función de distribución empírica es, de hecho, una función escalonada con escalones en 
los valores de la variable aleatoria. Otro efecto importante al aumentar el tamaño muestral 
es que los escalones van siendo suavizados a la par (ver figura 2.3). 
Función de supervivencia. La función de distribución empírica es un tipo de “puente” 
entre una muestra aleatoria 𝑥1,, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 y la función de distribución de la población 𝐹(𝑥), 
pues utiliza la frecuencia de las observaciones menores o iguales a cada valor de x para 
estimar 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹 𝑥 . Igual de útil resulta ser la función de supervivencia o 𝑆 𝑥 =
1 − 𝐹(𝑥), donde ahora la variable de interés es el tiempo de vida o supervivencia, ya sea de 
una persona , un animal o cualquier producto. El tiempo de supervivencia también 
encuentra como áreas de aplicación aquellos problemas donde se desea conocer el tiempo 
antes de que ocurra un cierto fenómeno como puede ser el descubrimiento de una cura o el 
tiempo previo a la llegada o salida de cierto objeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 2.2 Ejemplo de banda para la función de distribución real 𝐹(𝑥), delimitada por 𝑆𝑁 𝑥 −𝐷𝑛
𝛼 y 𝑆𝑁 𝑥 +𝐷𝑛
𝛼 . 
 
 
Fig. 2.3 Gráfica EDF escalonada de las primeras 10 observaciones no ordenadas de los datos LOG. 
 
 
2.2 Prueba gráfica de bondad de ajuste utilizando la gráfica de la 
función de distribución empírica. 
Un primer acercamiento sobre qué tan bien ajustan los datos muestrales a una distribución 
logística es sobreponer a la grafica de distribución empírica la gráfica de la función de 
distribución teórica de la distribución logística y evaluar qué tan bien se sobrepone una 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
70 80 90 100 110 120 130
F(X)
Sn(x)+Dn
Sn(x)-Dn
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Sn(x)
Neevia docConverter 5.1
gráfica a la otra. Es posible evaluar la cercanía entre los puntos de cada una de las gráficas 
y de manera informal decir qué tan bien ajustan los datos a una distribución logística. Los 
criterios para decidir qué tan cercana es una gráfica de otra son subjetivos y sólo “a ojo”. 
Lo ideal es que la EDF esté justo sobre la función de distribución real, sin embargo si la 
mayoría de los puntos de la EDF cumplen esto o no se encuentran “muy lejos” de la 
función de distribución real, resulta razonable pensar que los datos provienen de una 
distribución logística. El caso sencillo es cuando los valores de los parámetros μ y σ son 
conocidos y sólo es necesario utilizarlos en la función de distribución teórica. Sin embargo, 
lo más común es que tanto μ y σ sean desconocidos y deban ser estimados por el método de 
máxima verosimilitud. 
2.2.1 Ejemplos 
Para ejemplificar el uso de la gráfica de la función de distribución empírica como prueba 
informal de bondad de ajuste, se presentan los resultados para los siguientes conjuntos de 
datos: 
a) Datos LOG con 𝑛 = 100 observaciones generadas a partir de una 
distribución L(100, 18.14). 
b) Datos NOR con 𝑛 = 100 observaciones generadas a partir de una 
distribución N(100, 10). 
 
 Para los datos LOG 
Se supondrá no existe censura para las 𝑛 = 100 observaciones y que los parámetros 𝜇 y 𝜎 
son desconocidos, por lo que se utilizan los estimadores máximo verosímiles. Para verificar 
que esta información muestral tiene comportamiento de una distribución logística basta con 
graficar la función de distribuciónempírica (EDF) de estos datos y después sobreponer la 
gráfica teórica de una distribución logística (𝐹(𝑥; 𝜇,𝜎)) para el mismo dominio. 
𝐸𝐷𝐹: 𝑆𝑛 𝑥 =
𝑖
𝑛
 𝐹(𝑥;𝜇,𝜎) =
1
1 + 𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
 
 
En la figura 2.4 se presentan las gráficas correspondientes, donde es fácil notar la gran 
cercanía entre ambas. Bajo este criterio suena razonable decir que los datos LOG 
provienen de una distribución logística con 𝜇 = 100 y 𝜎 = 10. 
 
 
 
Neevia docConverter 5.1
Fig. 2.4 Gráfica EDF 𝑆𝑁 𝑥 de los datos LOG con la gráfica teórica de una distribución logística 
𝐹 𝑥 sobrepuesta. 
 
 Para los datos NOR 
Nuevamente se supondrá no existe censura para las 𝑛 = 100 observaciones y que los 
parámetros 𝜇 y 𝜎 son desconocidos, por lo que se utilizan los estimadores máximo 
verosímiles suponiendo distribución logística. El procedimiento se repite y en la a figura 
2.5 se presenta las gráfica EDF y la de distribución real. 
Fig. 2.5 Gráfica EDF 𝑆𝑁 𝑥 de los datos NOR con la gráfica teórica de una distribución logística 
𝐹 𝑥 sobrepuesta. 
 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Sn(x)
F(X)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
70 80 90 100 110 120 130
F(X)
Sn(x)
Neevia docConverter 5.1
De la figura 2.5 se observa la gran cercanía entre ambas gráficas, por lo que se podría 
decir, basándonos únicamente en la cercanía de las gráficas, que los datos NOR provienen 
de una distribución logística. 
2.2.2 Conclusiones y recomendaciones 
Es claro que utilizar esta técnica gráfica como única prueba de bondad de ajuste no asegura 
que el resultado obtenido sea confiable: por ser una técnica puramente descriptiva es muy 
sensible a los comportamientos aleatorios de una muestra. Sin embargo, se recomienda 
utilizarla siempre como primer diagnóstico de la información muestral pues a partir de ella 
es posible tener una representación exhaustiva de toda la información disponible. La 
función de distribución empírica (EDF) es lo suficientemente formal y a la vez lo 
suficientemente versátil para poder ser utilizada con cualquier tipo de datos, incluso con 
muestras censuradas. Basta recordar los resultados formales que sustentan el uso de estas 
gráficas, tal es el caso de la convergencia de 𝑆𝑛(𝑥) en 𝐹 𝑥 para todos los valores de 𝑥 que 
es, de hecho, una convergencia fuerte. 
 Esta versátil técnica no-parámetrica, ofrece las siguientes ventajas: 
1. Bajo transformaciones monótonas es invariante, aunque claro, la forma que tome la 
gráfica EDF puede cambiar como resultado de estas transformaciones. 
2. La complejidad en la construcción de la gráfica EDF no depende del número de 
observaciones. 
3. Proporciona, sin necesidad de cálculo alguno, información directa sobre la forma 
que tiene la función de distribución real de los datos a partir del conocimiento del 
grado de kurtosis o del sesgo (skewness), por ejemplo. 
4. A partir de la gráfica EDF es posible detectar patrones sobre la localización o 
dispersión de la información muestral. Incluso los outliers o puntos atípicos pueden 
ser detectados “a ojo”. 
5. Su uso se extiende de manera natural al caso de muestras censuradas, no importando 
el tipo de censura que presente. 
Es importante recalcar que como toda técnica estadística tiene limitaciones cuando el 
tamaño de muestra es pequeño por lo que las conclusiones o resultados que se desprendan 
del uso de esta técnica deben tomarse con cautela cuando se presenten estas condiciones. 
Cabe resaltar que, de los ejemplos mostrados es claro que bajo esta técnica no es fácil 
distinguir entre una distribución normal de una logística por lo que uno de los principales 
objetivos del trabajo no se cumple al utilizar esta técnica. 
 
 
 
Neevia docConverter 5.1
2.3 Gráfica de Probabilidad de la Función Logística 
2.3.1 Definición 
Una de las desventajas o dificultades de evaluar la cercanía de la función de distribución 
empírica con la función de distribución teórica es el determinar la magnitud de las 
desviaciones en curvas, es decir en graficas no lineales. Sin duda, es generalmente más 
fácil evaluar desviaciones de una línea recta. 
El elemento clave de la grafica de probabilidad de la función logística es que transforma la 
función de distribución empírica, salvo algunas fluctuaciones aleatorias, en una línea recta 
siempre y cuando la función intrínseca sea logística. El principio detrás de esta 
transformación es simple. Si la distribución real depende de dos parámetros: de ubicación 
𝜇 y de escala 𝜎 , donde 𝜇 𝑦 𝜎 no son necesariamente la media y la desviación estándar, 
para la función de distribución logística, 𝐹 𝑥; 𝜇, 𝜎 =
1
1+𝑒−𝜋 𝑥−𝜇 /𝜎 3
 , si es estandarizada 
por la transformación 𝑌 =
𝑋−𝜇
𝜎
 y usando 𝐺(𝑦) como la función de distribución teórica de 
la función logística estandarizada, la distribución puede ser escrita como: 
𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 = 𝐺(𝑦) 
(2.9) 
Al tomar la función inversa de 𝐺(. ) 
𝐺−1(𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 ) = 𝑦 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
(2.10) 
Entonces al despejar 𝑥: 
𝑥 = 𝜇 + 𝜎𝑦 = 𝜇 + 𝜎𝐺−1(𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 ) 
(2.11) 
Como 𝑦 y 𝑥 están linealmente relacionados, la grafica de 𝑥 en 𝑦 = 𝐺−1(𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 ) será 
una línea recta. 
En el caso de la distribución logística se tendría que : 
𝑦 = 𝐺−1 𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 =
 3
𝜋
log 
𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 
1 − 𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 
 
(2.12) 
Neevia docConverter 5.1
Para una muestra aleatoria se reemplaza la función de distribución teórica por la función de 
distribución empírica o 𝑆𝑛 𝑥 , donde para evitar tomar logaritmo de infinito se aplica la 
corrección por continuidad: 
𝑆𝑛 𝑥 =
𝑖 − 0.5
𝑛
, 
(2.13) 
Donde 𝑖 = #(𝑋𝑗 ≤ 𝑥). Así, la grafica de 𝑥 contra 𝑦 tendrá por función: 
𝑦 =
 3
𝜋
log 
𝑆𝑛 𝑥 
1 − 𝑆𝑛 𝑥 
 
(2.14) 
La gráfica resultante será la gráfica de probabilidad de la función logística. Si los datos 
provienen de una distribución logística la grafica será, salvo fluctuaciones aleatorias, una 
línea recta. 
2.3.2 Casos especiales 
Muestras pequeñas. D’Agostino en D’Agostino and Stephens (1986) destina un apartado 
especial para los casos en que la información muestral es limitada o pequeña. Él considera 
pequeña cualquier muestra con menos de 50 observaciones. En estos casos detectaron que 
cuando se grafica la gráfica de probabilidad con 𝑦 = 𝐺−1 𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 en el eje vertical 
contra los valores observados de la muestra, en 𝑥 (eje horizontal) ocurre que las “colas” 
de la gráfica tienden a curvarse, incluso si la distribución en la hipótesis es la correcta. Esto 
sin duda llevaría, si no se toma con cautela, a conclusiones erróneas o sin legitimidad. La 
recomendación que aporta D’Agostino es utilizar en vez de 𝑦 = 𝐺−1 𝐹 𝑥; 𝜇,𝜎 (en el eje 
vertical) los valores esperados de las estadísticas de órden de la forma estandarizada de la 
distribución bajo hipótesis. Sin embargo el mismo autor apunta que en el caso especial de 
la distribución logística sus estudios muestran que para muestras con 𝑛 ≥ 10 no es 
necesario utilizar a los valores esperados de las estadísticas de orden como percentiles de la 
distribución estandarizada. La siguiente tabla, compendio del trabajo de Gupta y Shah 
(1965) y Gupta, Qureishi y Shah (1967), contiene el análisis de los datos para construir la 
gráfica de probabilidad de las primeras 10 observaciones de los datos LOG provenientes de 
una distribución logística. Se incorporan los valores esperados de las estadísticas de orden 
en una columna y los valores de y calculada para la distribución logística en otra. Al 
comparar los valores que toman ambos para cada observación no se detectan variaciones 
que pudieran considerarse influyentes en la gráfica de probabilidad. La figura 2.6 muestra a 
la gráfica de probabilidad usando los valores de y. 
Neevia docConverter 5.1Cabe resaltar que en los cálculos de la tabla anterior se hicieron con la corrección por 
continuidad de 𝑆𝑛 𝑥 . Durante el desarrollo de este trabajo se utilizará esta corrección que 
autores como Barnett (1975) y posteriormente D’Agostino and Stephens han probado y 
con buenos resultados. En particular, Barnett (1975) estudió las implicaciones y alternativas 
de modificar la función de distribución empírica bajo la forma general: 
𝑆𝑛 𝑥 =
(𝑖 − 𝑐)
(𝑛 − 2𝑐 + 1)
, 
 (2.15) 
Donde 0 ≤ 𝑐 ≤ 1. 
Que cuando 𝑐 = 0.5 se reduce a la expresión: 
𝑆𝑛 𝑥 =
(1 − 0.5)
𝑛
 
(2.16) 
Presencia de empates. Aún en los casos continuos, como es el de la distribución logística, 
puede haber presencia de empates en la información muestral. Lo ideal es graficar 
únicamente un punto que será, en el caso de datos desagrupados, la media de los valores de 
y de cada observación repetida y en el caso de datos agrupados el valor más alto que tomen 
los datos del grupo. 
 
 
 
Neevia docConverter 5.1
Fig. 2.6 Gráfica de probabilidad para las primeras 10 observaciones de los datos LOG. Contraste entre los 
valore esperados de las estadísticas de órden y los valores de 𝑦 = 𝐺−1 𝐹 𝑥; 𝜇, 𝜎 . 
 
 
2.3.3 Gráficas de Bondad de ajuste y estimación de parámetros 
Para el caso del conjunto de datos LOG con n=100 observaciones, en la figura 2.7 se 
muestra la gráfica de probabilidad. En este caso los puntos de la gráfica de probabilidad 
están muy cercanos a una línea recta por lo que se puede decir que tiene por función de 
distribución a la distribución logística: 
Dada una grafica de probabilidad de la función logística de un conjunto de datos, existen 
varias maneras de obtener la línea recta a la cual se debería ajustar la información muestral. 
Se encontraron 4 posibles técnicas, aunque informales, para determinar cual tendría que ser 
esa línea recta: 
a) Trazado de una línea por simple observación. 
Lo más sencillo es simplemente trazar la línea recta por donde “ se ve” tiene esta 
conformación la gráfica de probabilidad. D’Agostino y Massaro en Balakrishnan 1992, 
encontraron útil tomar la línea recta que une a los puntos correspondientes a 𝑆𝑛 𝑥 = 0.10 
y 𝑆𝑛 𝑥 = 0.90. 
Después de trazar la línea “a ojo” también se puede obtener una estimación rápida sobre los 
parámetros de la distribución logística. Por ejemplo, para los datos LOG, en la gráfica 2.8 
es posible obtener estimadores para la media 𝜇 y desviación estándar 𝜎 ya que por 
contrucción 𝑦 = 0 corresponde a la media 𝜇 y que 𝑦 = 1, o el 86avo percentil, 
corresponde a 𝜇 + 𝜎. En la gráfica 2.8 se ve como las líneas que salen de 𝑦 = 0 y 𝑦 = 1 al 
-2
-1
0
1
2
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
y Valores esperados Estadísticas de órden
Neevia docConverter 5.1
tocar la línea recta trazada “a ojo” dan un estimador aproximado del valor que toma sobre 
el eje de las x los parámetros 𝜇 =99 y 𝜎 =117. 
b) Estimadores de regresión. 
La línea recta a la que se deben “parecer” los puntos de la gráfica de probabilidad de una 
distribución logística está determinada por la ecuación 𝑥 = 𝜇 + 𝜎𝑦, que es la ecuación con 
la que se construye la grafica de probabilidad con 𝑦 =
 3
𝜋
log 
𝐹𝑛 𝑥 
1−𝐹𝑛 𝑥 
 . 
Para trazar esta línea recta es necesario saber el valor de μ y σ. Una alternativa es utilizar 
los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios: 
𝜎 =
 𝑦 − 𝑦 𝑥
 (𝑦 − 𝑦 )2
, 𝜇 = 𝑥 − 𝜎 𝑦 , 
(2.17) 
Es importante recordar que cuando 𝑦 = 0 entonces 𝜇 = 𝑥 Además, como las 
observaciones están ordenadas no son independientes, por lo que es de esperarse un patrón 
no aleatorio de los puntos alrededor de la línea recta. Las desviaciones de la línea recta 
tienen que ser medidos por la distancia horizontal entre la línea recta y los puntos. Esto 
porque en el caso de la gráfica de probabilidad se está graficando 𝑦 en el eje vertical. 
 
Fig. 2.7 Gráfica de probabilidad para los datos LOG con línea trazada “a ojo”. 
 
 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
y
Neevia docConverter 5.1
Fig. 2.8 Gráfica de probabilidad para los datos LOG. 
 
c) Media y desviación muestral. 
Generalmente no existe gran diferencia entre los estimadores por regresión y la media 𝑋 y 
desviación 𝑆 muestrales. Sin duda, usar estos últimos resultan un método sencillo. 
d) Estimadores máximo verosímiles. 
No podía hacerse a un lado la opción de encontrar el valor de los parámetros por máxima 
verosimilitud.Es interesante notar que cuando el valor de los parámetros de la distribución 
es conocido , es decir, cuando la hipótesis nula es simple, se realiza la verificación al 
graficar 𝑋(𝑖) contra el valor de la media en la hipótesis. El paso siguiente será ver qué tan 
cercanos están los puntos graficados de este modo a una línea recta con intercepción 0 y 
pendiente de 1. 
2.3.4 Detección de desviaciones de linealidad en gráficas de probabilidad de la 
función logística 
Detección de observaciones atípicas. La gráfica de probabilidad de la función logística 
puede ayudar, además, a detectar observaciones atípicas. En este caso, conviene graficar 𝑦 
en el eje horizontal, de manera que los outliers u observaciones atípicas aparezcan como 
grandes desviaciones verticales de la línea recta y sean identificadas rápidamente bajo una 
inspección de la gráfica de probabilidad. 
Distribuciones unimodales. De acuerdo a D’Agostino and Stephens (1986) es posible 
distinguir una distribución normal o cualquier distribución unimodal no normal a partir de 
la medida de sesgo y de la medida del peso de las colas, o kurtosis. Estas medidas bien 
pueden ser útiles en la detección de desviaciones de una función logística. La medida de 
simetría o skewness está definida por: 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
y
Neevia docConverter 5.1
 𝛽1 =
𝐸(𝑥 − 𝜇)3
𝜎3
 
(2.18) 
Mientras que la medida del peso de las colas, o kurtosis, está definida como: 
𝛽2 =
𝐸(𝑥 − 𝜇)4
𝜎4
 
(2.19) 
Como la distribución logística es simétrica, esto significa que su medida de sesgo es 
 𝛽1 = 0, además de que el peso de las colas o kurtosis tiene una magnitud del orden de 
𝛽2 = 4.2 . 
Se puede saber si una distribución tiene sesgo positivo a partir de la proporción de la 
función de distribución empírica para valores de 𝑖 𝑛 lo más cercanos a 1, o dicho de otra 
manera mayores a 0.9. Si están concentrados en estos puntos, la gráfica se alarga y queda 
lo más cercana al eje horizontal. Similarmente, la función tendrá sesgo negativo si la 
proporción está cargada hacia los valores de 𝑖 𝑛 menores a 0.1. Las figuras 2.9, 2.10 y 
2.11 muestran las gráficas de probabilidad de la función logística para 3 distintos grupos de 
datos con distribución simétrica ( 𝛽1 = 0) y distintos grados de kurtosis. De estos tres 
ejemplos, los datos con un comportamiento más cercano al de una distribución logística son 
los NOR, como era de esperarse. 
Fig. 2.9 Gráfica de probabilidad n=100 de una distribución uniforme U(0,10). (𝛽2 = 1.8) 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
Neevia docConverter 5.1
Fig. 2.10 Gráfica de probabilidad n=100 de una distribución Laplace (0,2) con 𝛽2 = 6.0 
 
Los datos UNI fueron generados a partir de una distribución uniforme U(0,10) mientras que 
los LAP fueron generados de una distribución Laplace con parámetro de localización 0 y 
parámetro de escala. Los datos NOR provienen de una normal N(100, 10). 
 En general, las gráficas de probabilidad logística de datos cuya distribución es simétrica 
presentan la apariencia de la fig 2.13A en donde se puede apreciar cómo cambia el 
sentido de la curva dependiendo del grado de kurtosis: 𝛽2 > 4.2 𝑜 𝛽2 < 4.2. 
Fig. 2.11 Gráfica de probabilidad n=100 de una distribuciónNormal (100,10) con 𝛽2 = 3.0 
 
En cambio, las gráficas de probabilidad de la distribución logística presentan el tipo de 
comportamiento que ilustra la figura 2.13B cuando provienen de distribuciones no 
-15
-10
-5
0
5
10
15
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
x
70
80
90
100
110
120
130
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
Neevia docConverter 5.1
simétricas. A partir de estos patrones se descarta a primera vista que la distribución a 
prueba sea una logística, que es una distribución simétrica. Este tipo de comportamiento 
permite determinar incluso que tipo de sesgo presenta. 
Fig. 2.13 (A) Apariencia de las gráficas de probabilidad logística de distribuciones simétricas. (B) Apariencia 
de las gráficas de probabilidad logística de distribuciones con sesgo. 
 
 
D’Agostino y Massaro en Balakrishnan 1992. 
Neevia docConverter 5.1
2.3.5 Gráficas de probabilidad para muestras censuradas. 
 Muestras censuradas individuales. Frecuentemente no todas las observaciones de una 
muestra están disponibles, esto es, la muestra está censurada. (ver 1.4) 
En el caso de las gráficas de probabilidad para muestras censuradas individuales el 
procedimiento es el mismo que para muestras completas, teniendo siempre en cuenta que 
aunque sólo se graficarán las observaciones disponibles, 𝑟 ó 𝑠 según sea el caso, el 
denominador de 𝑆𝑛 𝑥 será 𝑛 y no sólo las observaciones sin censura 𝑛 − 𝑟 o 𝑛 − 𝑠. 
Ejemplo. Suponer que del conjunto de datos LOG con 𝑛 = 100 solo se cuenta con las 40 
observaciones menores. Esto significa que se trata de una muestra censurada por la derecha 
con con 𝑟 = 60. Para construir la gráfica de probabilidad de la distribución logística se 
siguen los mismos pasos que cuando se trataba de una muestra completa: primero ordenar 
las observaciones disponibles para después calcular tanto la función de distribución 
empírica 𝑆𝑛 𝑥 con 𝑦 =
 3
𝜋
log 
𝑆𝑛 𝑥 
1−𝑆𝑛 𝑥 
 considerando las 𝑛 = 100 o, dicho de otra 
manera, la muestra completa. 
Una vez que las observaciones disponibles son ordenas, 𝑆𝑛 𝑥 se calcula con 𝑛 = 100 y 𝑦 
también se calcula de la manera usual usando 𝑆𝑛 𝑥 . La grafica 2.14 muestra la grafica de 
probabilidad de estos datos con la gráfica teórica de y contra x donde los estimadores de 𝜇 
y 𝜎 se obtuvieron por mínimos cuadrados: 𝜇 = 101.32, 𝜎 = 10.32. Es importante hacer 
notar que al graficar no importa si la censura es tipo I o tipo II. 
 
Fig. 2.14 Gráfica de probabilidad de la distribución logística para los datos LOG con censura por la derecha 
con r=60. 
 
50
60
70
80
90
100
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
y
Neevia docConverter 5.1
Muestra con Censura Múltiple. Cuando la censura de una muestra no se limita a una de las 
colas se conoce como censura múltiple. Esta consiste en la censura en ambas colas 
simultáneamente pero también en la censura de observaciones centrales o fuera de las colas. 
La gráfica de probabilidad puede ser extendida para el caso de muestras censuradas 
múltiples. La interpretación de la gráfica de probabilidad para este caso y para muestras 
con censura simple será la misma que cuando la muestra está completa. Sin embargo, la 
generalización de esta técnica para muestras censuradas múltiples requiere redefinir la 
función de distribución empírica 𝑆𝑛 𝑥 . 
En busca de una explicación lo más clara y sencilla posible, se considera primero qué pasa 
cuando la muestra censurada es censura progresiva del tipo I, esto sin olvidar que para los 
otros tipos de censura múltiple se utiliza la misma metodología. Suponer se tienen n 
unidades bajo estudio y cada una de ellas tiene un tiempo de inicio distinto pero todos 
terminan el experimento al mismo tiempo t. Los tiempos de vida ordenados de las n 
unidades serán 𝑌(1),𝑌(2),… ,𝑌(𝑛). Algunos de ellos serán tiempos de falla y otros tiempos de 
censura. En caso de ocurrir r fallas todavía quedarían (𝑛 − 𝑟) en la prueba para el tiempo t. 
En este caso el tiempo de falla 𝑌(𝑖) no es necesariamente la 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 observación más 
grande la función de distribución sujeta prueba, razón por la cual 𝑌(𝑖) no puede ser un 
cuantil muestral de la muestra completa. La única manera en que ésto sería posible es si 
todos los 𝑌(1),𝑌(2),… ,𝑌(𝑛) son tiempos de falla. 
Aun con estas modificaciones, el objetivo sigue siendo graficar los r tiempos de falla 
contra los cuantiles teóricos de la función G. Para ello se hace necesario saber qué 
proporción de la población cae por debajo de 𝑌(𝑖), esto es, hace falta conocer cuál es el valor 
de 𝐹(𝑌 𝑖 𝜇,𝜎) . 
En este caso, la alternativa de uso más extendido es la estimación de Kaplan-Meier (1958) 
para la función de supervivencia 𝑆 𝑥 . Donde para conocer la estimación de la función de 
distribución empírica 𝑆𝑛(𝑥) se usa la relación 𝐹 𝑥 = 1 − 𝑆 𝑥 . 
 
Estimador Límite-Producto de Kaplan-Meier. El llamado Estimador Límite-Producto de 
Kaplan-Meier es una alternativa al clásico método de clasificar las observaciones de 
supervivencia en una tabla de mortalidad. Kaplan-Meier permite ir más allá y estima la 
función de supervivencia 𝑆 𝑥 directamente de la información de supervivencia en un 
tiempo continuo, pero también a partir de los tiempos de falla o no supervivencia. Este 
estimador encuentra amplias áreas de aplicación que van desde la investigación médica 
hasta la economía. En el caso de la investigación médica, donde surgió la motivación para 
el modelo, el estimador Kaplan-Meier se usa para medir la proporción de pacientes que 
Neevia docConverter 5.1
sobrevivirán tras cierto tratamiento. Un ingeniero, por su parte, estará interesado en 
conocer el tiempo de vida de alguna máquina o alguna de sus partes antes de fallar. 
La incorporación de los tiempos de falla para el cálculo de la función de supervivencia es 
consecuencia de que Kaplan y Meier (1958) notaron que el llamado tiempo de 
supervivencia o “tiempo previo a la muerte” en ocasiones no puede ser observado por la 
pérdida del objeto sobre el que se está experimentando. Las causas para esto pueden ser 
que: 
 los objetos o sujetos “salieron” del estudio 
 los objetos o sujetos entran desfasados al estudio 
 el experimento termina antes de que se presente el fallecimiento del 
paciente. 
El gran aporte de Kaplan y Meier fue la propuesta de un método para utilizar la 
información disponible aun considerando pérdidas. De hecho desde su primer artículo, 
Kaplan y Meier están abiertos a considerar al término “muerte” no solo de la manera 
coloquial sino que adoptan las demás interpretaciones, incluso metafóricas, que el término 
pueda sugerir en otras aplicaciones. Ellos aceptan que “muerte” puede representar a 
cualquier evento susceptible de muestreo aleatorio y van mas allá al sugerir que incluso los 
términos “muerte” o “pérdida aleatoria” pueden ser intercambiados haciendo posible un 
análisis adicional de la información muestral desde los distintos puntos de enfoque. Esta 
flexibilidad en la definición de los términos incluso permite estimar funciones de 
supervivencia 𝑆(𝑡) apropiadas para varias categorías de eventos en la ausencia de otros. 
Dentro de los supuestos mas importantes de su modelo se encuentra que la “muerte” de un 
objeto y la “pérdida” de ese o cualquier otro objeto nunca ocurren al mismo tiempo t, 
además de que nunca coincide con el año t en que otra función esté siendo evaluada. De 
manera práctica esto significa que las muertes ocurridas en el tiempo t serán consideradas 
como si hubieran ocurrido un poco antes que t y que las pérdidas ocurridas en el tiempo t 
serán tratadas como si hubieran ocurrido un poco después del tiempo t. Esta convención de 
que la muertes preceden a las pérdidas tiene que ver con que cuando se está analizando una 
muestra cualquiera, de manera natural se examina al grupo de objetos al tiempo 𝑡0, se 
anota