3erLabDirigido_1_140043_

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3er Laboratorio Dirigido_1_Probabilidad y Estadística 
(140043) 
1. En una inspección de tránsito para explorar la posibilidad de conductores con documentos que no 
están regla, se sabe que por cada vehículo que se inspecciona, por término medio uno por cada diez 
vehículos intervenidos comete una infracción. 
1.1. Cuál es la probabilidad de que se encuentre un vehículo con infracción en …? 
BINOMIAL: […”en cinco vehículos inspeccionados”] 
Sea X: Número de vehículos con infracción en n=5 vehículos inspeccionados 
Es decir, la Distribución de probabilidad que se identifica es 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 5, 𝑝 = 0.1) 
Luego, nos piden calcular la 𝑃[𝑋 = 1] 
Usando el software R se tendría entonces que: 
 
> dbinom(1, 5, 0.1, log = FALSE) 
[1] 0.32805 
 
GEOMÉTRICA[…”en menos de cinco vehículos inspeccionados”] 
Sea X: Encontrar un vehículo con infracción en menos de n=5 vehículos inspeccionados 
Es decir, la Distribución de probabilidad que se identifica es 𝑋~𝐺𝑒(𝑝 = 0.1) 
Luego nos piden calcular 𝑃[𝑋 < 5] = 𝑃[𝑋 ≤ 4] = 𝐹(4) 
 
> pgeom(4,0.1) 
[1] 0.40951 
 
1.2. Si el objetivo es detener al mayor número de vehículos infractores en un fin de semana, ¿cuántas 
veces en promedio se tendrá que intervenir vehículos hasta conseguir 20 infractores? 
Sea X: Número de vehículos a intervenir hasta que se obtenga 20 vehículos infractores 
La Distribución de probabilidad que se identifica es una Binomial Negativa. Es decir, 
 𝑋~𝐵𝑁(𝑟 = 20, 𝑝 = 0.1) 
Nos piden calcular la 𝐸[𝑋] =
𝑟(1−𝑝)
𝑝
=
20×0.9
0.1
= 180 
 
2. En las oficinas del SAT llega un infractor cada tres minutos por término medio. 
2.1. Cuál es la probabilidad de que un periodo de cinco minutos lleguen más de cinco clientes? 
De acuerdo al enunciado, se define a X como la Variable Aleatoria que indica número de 
infractores que llegan a las oficinas del SAT, 𝑋~𝑃𝑜(𝜆 = 1) en un periodo de tres minutos. Sin 
embargo, para resolver este problema se debe modificar el periodo tres para cinco. Es decir, la 
nueva tasa 𝜆 = 1
𝑖𝑛𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
=
5
3
𝑖𝑛𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
 
Luego, 𝑋~𝑃𝑜 (𝜆 =
5
3
) y nos piden 𝑃[𝑋 > 5] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 5] 
 
2.2. Cuál es el número más probable de llegadas en media hora? 
 𝑋~𝑃𝑜(𝜆 = 10) 
𝑃[𝑋 = 0]; 𝑃[𝑋 = 1]; 𝑃[𝑋 = 2]; 𝑃[𝑋 = 3]; 𝑃[𝑋 = 4]; 
 
Media hora=30 minutos, 𝜆 = 1
𝑖𝑛𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
=
30
3
𝑖𝑛𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
= 10
𝑖𝑛𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
. Enseguida, 
evaluaremos la probabilidad puntual para algunos valores de X. 
 
 
 
 
 
 
3. Como parte de una actividad preventiva, se sabe que el número de vehículos de transporte escolar el 
50% de estos vehículos transportan alumnos menores a 9; el 30% entre 9 y 11 alumnos; y el 20% 
transportan un número mayor que 11. Se escogen al azar 20 vehículos y se pide 
3.1. La probabilidad de que al menos un vehículo transporte un número superior a 11. 
De acuerdo al enunciado se podría definir un vector Aleatorio que consiste de 3 Variables 
Aleatorias 𝑋𝑖 que indica el número de veces que ocurre el resultado i sobre n eventos. Sin 
embargo, para resolver esta pregunta se define 2 categorías únicamente, aquellos vehículos que 
trasportan un número de escolares menores o iguales a 11, y la otra categoría de vehículos que 
transportan un número de escolares mayores a 11. 
Sea Y el número de vehículos que transportan alumnos en número mayores a 11. Luego, 
𝑌~𝐵𝑖𝑛(20,0.20) 
Nos piden, 𝑃[𝑌 ≥ 1] = 1 − 𝑃[𝑌 < 1] = 1 − 𝑃[𝑌 = 0] 
 
 
 
3.2. El número esperado de vehículos que transporten entre 9 y 11 alumnos 
Se define la variable Aleatoria Z como el número de vehículos que transportan un número de 
escolares entre 9 y 11 alumnos. Luego 𝑍~𝐵𝑖𝑛(20,0.30) 
Nos piden, 𝐸[𝑍] = 𝑛𝑝 = 20 × 0.30 = 6 
 
4. Suponga que acaba de llegar un infractor, calcular la probabilidad de que trascurran más de 5 minutos 
hasta que aparezca el siguiente. 
Es posible demostrar que los tiempos entre cada llegada, denotado por Y, sigue una Distribución 
Exponencial. Es decir, 𝑌~𝐸𝑥𝑝(𝜆 = 1), y nos piden P[𝑌 ≥ 5] = 1 − 𝑃[𝑌 < 5] 
 
 
5. Por una estación pasa un tren de cercanías cada 10 minutos. Si una persona, que desconoce los 
horarios, llega a la estación para tomar dicho tren. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar 
menos de 2 minutos? 
De acuerdo al enunciado, si se define a X como el tiempo que espera una persona en la estación a que 
llegue el siguiente tren, entonces 𝑋~𝑈(0,10). Nos piden P[𝑋 < 2] 
 
 
6. En un estudio de preferencia declaradas, una variable a tomar en consideración son los tiempos de 
viaje desde un origen hacia un destino en particular—y posterior comparación entre el servicio actual 
versus un nuevo servicio. Se sabe que estas lecturas de tiempos de desplazamientos del servicio actual 
son descritas por una Distribución Normal con media 5, y una desviación estándar 𝜎. Si se sabe que la 
probabilidad de que dichos tiempos sean mayores a 5.6 es 0.12, calcular la probabilidad de que la 
lectura de tiempo de un vehículo elegido al azar esté comprendido entre 4.1 y 5.3 
Se define a X como la Variable Aleatoria tiempos de desplazamientos, que es descrita por una 
Distribución Normal con media 5 y varianza 𝜎2. Además, nos indican que la 𝑃[𝑋 > 5.6] = 0.12. Esto 
último es equivalente a 
 𝑃[𝑋 > 5.6] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 5.6] = 1 − 𝑃 [
𝑋−5
𝜎
≤
5.6−5
𝜎
] = 1 − Φ (
5.6−5
𝜎
) = 0.12 
 ↔ 1 − Φ (
5.6−5
𝜎
) = 0.12 
 ↔ 0.88 = Φ (
5.6−5
𝜎
) 
 
Es decir, 
 
5.6−5
𝜎
= 1.174987 
De donde 𝜎 = 0.5106439. 𝑋~𝑁(5,0.51) 
Finalmente, nos piden 𝑃[4.1 ≤ 𝑋 ≤ 5.3] = 𝐹(5.3) − 𝐹(4.1) 
 
 
7. El número de personas que llegan a un semáforo para cruzar la calle sigue una ley de Poisson. Se sabe 
que por término medio llegan 2 personas cada 5 minutos 
7.1. Calcule la probabilidad de que en 7 minutos lleguen 2 personas 
Se define a X como la Variable Aleatoria que indica el número de personas que llegan a un 
semáforo, 𝑋~𝑃𝑜(𝜆 = 2) en un periodo de 5 minutos. Sin embargo, para resolver este problema 
se debe modificar el periodo 5 para 7. Es decir, la nueva tasa 𝜆 = 2
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
=
2×7
5
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
7 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
 
Luego, 𝑋~𝑃𝑜 (𝜆 =
14
5
) y nos piden 𝑃[𝑋 = 2] 
 
 
7.2. Calcule la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos llegadas sea superior a 3 minutos 
Los tiempos entre llegadas de un Proceso de Poisson, son descritos por una Distribución 
Exponencial. Es decir, si Y es el tiempo transcurrido entre dos llegadas, 𝑌~𝐸𝑥𝑝(𝜆 = 2). 
Nos piden, 𝑃[𝑌 > 3] = 1 − 𝑃[𝑌 ≤ 3] 
 
 
8. Un policía de tránsito pasa regularmente cada 40 segundos por una intersección vial. Un conductor 
indocumentado organiza pasar por dicha intersección necesitando de 27 segundos para llegar a dicho 
lugar desde su partida. Si el conductor emprende el viaje eligiendo el momento de forma aleatoria. 
Cuál es la probabilidad de que no sea visto? 
Suponga que en el momento de iniciar el recorrido el conductor indocumentado, que además necesita 
de 27 segundos para llegar a la intersección, el policía ya ha recorrido x segundo desde su última visita 
a dicha intersección vial. Entonces, se define a X como el tiempo que transcurrió desde que el policía 
pasó por dicha intersección, 𝑋~𝑈(0,40) 
Nos piden, la probabilidad de que “no sea visto”≡ [40 − 𝑋 > 27] = [𝑋 < 13] 
 𝑃[𝑋 < 13] 
 
 
 
 
El Profesor 
LANH