Resumen Limites y Continuidad

Vista previa del material en texto

LÍMITES Y CONTINUIDAD
 
Limites laterales:
Por derecha: 
Por izquierda: 
Existe limite (ꓱL) Ld=Li
No existe límite (ɆL):
- Si Ld ≠ Li
- Por oscilación de la función (ej sen(x))
- Por infinitud de la función
Indeterminaciones:
 0±∞ ∞±∞ 
Propiedades:
Propiedades de 
Asíntotas:
Asíntota vertical AV: 
Asíntota horizontal AH:
 
Asíntota oblicua AO, si se cumple 
Es de la forma y=mx+b
- Para hallar m se plantea: m=
- Luego se obtiene b mediante: b=
Si una función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas, es decir:
Si ꓱAH+ ɆAO+
Si ꓱAH- ɆAO-
Si ꓱAH+ puede existir AO-
Si ꓱAH- puede existir AO+
Es importante siempre analizar el dominio de la función y la paridad también ayuda a evaluar las posibles asíntotas. Si el dominio de la función se encuentra acotado por ejemplo Df=[a,b] no se pueden plantear las asíntotas horizontales y oblicuas ya que x no tenderá a ±infinito.
Continuidad:
Una función f(x) es continua en el punto x=a, cuando:
1) ꓱ f(a)
2) ꓱ 
3) 
Discontinuidades:
- No esencial (Evitable): no existe la imagen de la función o no coincide con el valor del límite L. Puede evitarse redefiniendo la función para convertirla en función continua. 
- Esencial (No Evitable/Inevitable): cuando no existe el límite de la función.
 - De Primera Especie (Salto Finito): Límites laterales finitos y distintos Li ≠ Ld ∆= |Ld – Li| (Salto).
 - De Segunda Especie: No existe alguno de los límites laterales por infinitud.
Derivabilidad:
Dos ecuaciones posibles según lo que convenga:
Tener en cuenta:
- Si una función f(x) es continua, puede o no ser derivable.
- Si una función f(x) no es continua en =a, no es derivable en dicho punto. (Una función no continua, tampoco es derivable).
- Si una función f(x) es derivable, es continua.
PUNTOS A TENER EN CUENTA:
Limites determinados: cuando al calcularlo se obtiene un resultado que tiene sentido en R.
 = (K>1)
 = 0 (0<K<1)
K× = 
K+ = 
Se hallan los límites laterales. Se calculan los límites laterales. El límite será    o , o no existirá porque sus límites laterales sean distintos.
 = 0
 = 
K = 
k = = 0
 = 0
Limites indeterminados: cuando al calcularlo no tiene sentido en R.
 Se factorizan numerador y denominador; también se puede utilizar el conjugado, sacar factor común, etc.
 Se dividen numerador y denominador entre la x de mayor grado (potencia). Si hay raíces en el denominador se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador.
 Se opera la expresión antes de calcular los límites, o bien, si hay raíces se multiplica y divide por la expresión conjugada.
0×± Se opera la expresión antes de calcular el límite. En muchos casos se convierten en las del tipo:     0/0   o en   ±∞/±∞
00 
 En estos casos se aplica logaritmo.
1± 
 Da lugar a potencias del número e.