LÍMITES AL INFINITO(6)

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LÍMITES AL INFINITO 
Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, 
es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge o se 
aproxima al infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un 
número finito, como tender al infinito 
Veamos por ejemplo un límite infinito en la siguiente función: 
 
Su límite cuando la variable tiende a 2 es: 
 
Se puede comprobar si damos valores a la variable x cada vez más cercanos a 2, tanto 
acercándonos por su izquierda como por su derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite 
tiende a +∞: 
 
Gráficamente, se tiene: 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/variable-independiente/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
Algunas funciones con un límite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la 
variable x se acerca al valor del límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su 
rapidez en acercarse a él. 
Comparando las órdenes de infinito en infinitos fundamentales, ordenados de mayor a menor. Se 
pueden apreciar en la siguiente gráfica: 
 
Sus órdenes de infinito, de mayor a menor: 
 
Así podemos escribir las funciones correspondientes de mayor a menor. 
Potencial exponencial > exponencial > potencial > logarítmica. 
que es lo mismo: 
 
 
 
 
Se pueden presentar los siguientes tipos: 
1. Límite = +∞ cuando x → a 
Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se 
cumple que f(x) > f(a). Como se ve en la figura: 
 
 
2. Límite = -∞ cuando x → a 
Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se 
cumple que f(x) < f(a). Como se ve en la figura: 
 
 
3. Límite = +∞ cuando x → +∞ 
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre 
encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a). 
 a b 
4. Límite = +∞ cuando x → -∞ 
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre 
encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a). 
 
 
5. Límite = -∞ cuando x → +∞ 
Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, 
(siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a). 
 
 
 
6. Límite = -∞ cuando x → -∞ 
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor 
absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a) 
 
a b 
 
 
PROPIEDADES: 
Sea: f(x) = 
𝒌
𝒙𝒏
 una función real con n∈ ℤ+, y k ∈ ℝ se tiene: 
1. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(
𝒌
𝒙𝒏
) = 𝟎 
2. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
(
𝒌
𝒙𝒏
) = 𝟎 
3. Se utilizan todas las propiedades estudiadas en la definición de límites 
NOTA: 
Una forma práctica de calcular los límites cuando x → +∞ ó x→ −∞, es dividiendo tanto el 
numerador como el denominador entre la variable afectada de su mayor exponente que 
aparece en la expresión, de tal manera que no se altere la función dada; luego se aplica las 
propiedades correspondientes. 
Ejemplo: Determinar los siguientes límites: 
1. lim
𝑥→+∞
(
5𝑥2−6𝑥+2
2𝑥2+2𝑥−3
) =
∞
∞
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(
𝒌
𝒙𝒏
) = 𝟎 
= lim
𝑥→+∞
(
5𝑥2−6𝑥+2
𝑥2
2𝑥2+2𝑥−3
𝑥2
) = lim
𝑥→+∞
(
5𝑥2
𝑥2
−
6𝑥
𝑥2
+
2
𝑥2
2𝑥2
𝑥2
+
2𝑥
𝑥2
−
3
𝑥2
) = lim
𝑥→+∞
(
5−
6
𝑥
+
2
𝑥2
2+
2
𝑥
−
3
𝑥2
) 
= 
lim
𝑥→+∞
(5−
6
𝑥
+
2
𝑥2
)
lim
𝑥→+∞
(2+
2
𝑥
−
3
𝑥2
)
= 
lim
𝑥→+∞
(5)− lim
𝑥→+∞
(
6
𝑥
)+ lim
𝑥→+∞
(
2
𝑥2
)
lim
𝑥→+∞
(2)+ lim
𝑥→+∞
(
2
𝑥
)− lim
𝑥→+∞
(
3
𝑥2
)
= 
5−0+0
2+0−0
= 
5
2
 
 
 
b a 
 
4. lim
𝑥→+∞
(
√𝑥2+8
𝑥+5
) = 
∞
∞
 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡. lim
𝑥→+∞
(
𝑘
𝑥𝑛
) = 0 
= lim
𝑥→+∞
(
√𝑥2+8
𝑥
𝑥+5
𝑥
) = lim
𝑥→+∞
[
√𝑥
2+8
𝑥2
𝑥
𝑥 
 + 
5
𝑥
] = lim
𝑥→+∞
[
√𝑥
2
𝑥2
+
8
𝑥2
𝑥
𝑥 
 + 
5
𝑥
] = lim
𝑥→+∞
[
√1+
8
𝑥2
1+
5
𝑥
] 
= 
lim
𝑥→+∞
√1+
8
𝑥2
lim
𝑥→+∞
(1+
5
𝑥
)
= 
√ lim
𝑥→+∞
(1+
8
𝑥2
)
lim
𝑥→+∞
(1)+ lim
𝑥→+∞
(
5
𝑥
)
= 
√ lim
𝑥→+∞
(1)+ lim
𝑥→+∞
(
8
𝑥2
)
lim
𝑥→+∞
(1)+ lim
𝑥→+∞
(
5
𝑥
)
=
√1+0
1+0
= 
1
1
= 1 
 
5. lim
𝑥→+∞
[
(𝑥+3)(𝑥−2)(𝑥+7)(𝑥−4)(𝑥+5)
(5𝑥+1)5
] = 
∞
∞
 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
= lim
𝑥→+∞
[
(𝑥+3)(𝑥−2)(𝑥+7)(𝑥−4)(𝑥+5)
(5𝑥+1)(5𝑥+1)(5𝑥+1)(5𝑥+1)(5𝑥+1)
] 
= lim
𝑥→+∞
[(
𝑥+3
5𝑥+1
) (
𝑥−2
5𝑥+1
) (
𝑥+7
5𝑥+1
) (
𝑥−4
5𝑥+1
) (
𝑥+5
5𝑥+1
)] 
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥+3
5𝑥+1
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥−2
5𝑥+1
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥+7
5𝑥+1
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥−4
5𝑥+1
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥+5
5𝑥+1
) 
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥+3
𝑥
5𝑥+1
𝑥
) lim
𝑥→+∞
(
𝑥−2
𝑥
5𝑥+1
𝑥
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥+7
𝑥
5𝑥+1
𝑥
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥−4
𝑥
5𝑥+1
𝑥
) . lim
𝑥→+∞
(
𝑥+5
𝑥
5𝑥+1
𝑥
) 
= lim
𝑥→+∞
(
1+
3
𝑥
5+
1
𝑥
) lim
𝑥→+∞
(
1−
2
𝑥
5+
1
𝑥
) lim
𝑥→+∞
(
1+
7
𝑥
5+
1
𝑥
) lim
𝑥→+∞
(
1−
4
𝑥
5+
1
𝑥
) lim
𝑥→+∞
(
1+
5
𝑥
5+
1
𝑥
) 
= (
1+0
5+0
) (
1−0
5+0
) (
1+0
5+0
) (
1−0
5+0
) (
1+0
5+0
) lim
𝑥→+∞
(
𝑘
𝑥𝑛
) = 0 
= (
1
5
) (
1
5
) (
1
5
) (
1
5
) (
1
5
) = (
1
5
)
5
= 
1
3125
 
EJERCICIOS DE LIMITES AL INFINITO 
2. lim
𝑥→−∞
[
9𝑥3+ 4𝑥2−3
3𝑥3−𝑥−3
] 
lim
𝑥→−∞
[
9𝑥3 + 4𝑥2 − 3
𝑥3
3𝑥3 − 𝑥 − 3
𝑥3
] = lim
𝑥→−∞
[
9 +
4
𝑥
−
3
𝑥3
3 −
1
𝑥2
−
3
𝑥3
] = 
9 + 0 − 0
3 − 0 − 0
=
9
3
= 3 
 
 
3. lim
𝑥→−∞
[
3𝑥2−5𝑥+4
√𝑥4+1
] 
lim
𝑥→−∞
[
3𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑥2
√𝑥4 + 1
𝑥2
] = lim
𝑥→−∞
[
 
 
 3𝑥
2 − 5𝑥 + 4
𝑥2
√𝑥
4 + 1
𝑥4 ]
 
 
 
= 
= lim
𝑥→−∞
[
 
 
 3 −
5
𝑥 +
4
𝑥2
√1 +
1
𝑥4 ]
 
 
 
= 
3 − 0 + 0
√1 + 0
= 
3
1
= 3 
4. lim
𝑥→+∞
(
2𝑥+7
𝑥+ √𝑥
3 ) 
5. lim
𝑥→+∞
(
13𝑥2−3𝑥+11
4𝑥2+ √9𝑥4−1
) 
6. Lim
𝑥→−∞
(
3𝑥2−2
2𝑥+1
𝑥2−4𝑥
𝑥−3
)