ARITMÉTICA_S7_Conjuntos I

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ARITMÉTICA
11 ARITMÉTICAsAn MARCos sEMEsTRAL 2022 – III
ConjunTos I
ESQUEMA - FORMULARIO
NOTACIÓN
A = {3; 4; 5; 8}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
F = {a; b; 2; 7}
•	 a ∈ F •	 4 ∈ F
CARDINAL DE UN CONJUNTO
G = {2; 5; 7} ; H = {a; a; a; a}
n(G) = 3 n(H) = 1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN 
CONJUNTO
Diagrama de
Venn - Euler
Diagrama de
Lewis Carrol
A
C
E M
H
B B
Hombre que 
no bailan
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
•	 Por extensión: B = {a; e; i; o; u}
•	 Por comprensión: B = {x/x es una vocal}
CLASE DE CONJUNTOS
•	 Infinito
	 L = {x/x es una estrella}
•	 Finito
	 C = {x/x es una letra del alfabeto}
CONJUNTOS ESPECIALES
•	 Conjunto	nulo	o	vacío
	 φ = {x/x ≠ x}
•	 Conjunto	unitario
	 Llamado también singleton.
	 H = {x/x ∈ N ∧ 3 < x < 5}
	 n(H) = 1
•	 Conjunto	universal
	 Es un conjunto referencial que se elige 
para analizar a otros conjuntos.
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
•	 Inclusión
	 A ⊂ B ↔ x ∈ A → x ∈ B
	 Nota	1
	
A es subconjunto propio de
B ↔ A ⊂ B y A ≠ B
	
Nº Subconjuntos de A = 2n(A)
Nº Subconjuntos propios de A = 2n(A) – 1
	 Nota	2
	
Conjunto potencia de A es aquel cuyos 
elementos son todos los subconjuntos 
de A y se denota por P(A).
P(A) = {x/x ⊂ A}
n[P(A)] = 2n(A)
•	 Igualdad	de	conjuntos
	 A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
•	 Conjuntos	comparables
	 A y B son comparables ↔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A
•	 Conjuntos	disjuntos
	 Cuando no tienen elementos en común.
Conjuntos I
22ARITMÉTICA sAn MARCos seMesTRAl 2022 – III
NIvEL 1
1.	 Sean los conjuntos:
	 A = 
3x + 1
5
 / x ∈ N; x ≤ 3 
	 B = 
3x + 1
5
 ∈ N / x ∈ N; x ≤ 3 
	 Hallar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
•	 A = B
•	 n(A) = 3
•	 El conjunto B, determinado por exten-
sión es igual a B = {0; 1; 2}
•	 B ⊂ A
A) VVFF B) VFFV 
C) FFFV D) FFVF 
2.	 Dados los conjuntos:
	 A = x ∈ Z+ / 
20 + x
x
 ∈ Z+ 
	 B = 
3x – 1
2
 ∈ Z / 2 < x < 9 
	 Calcule n[P(B)] – n[P(A)].
A) 950 B) 960 
C) 980 D) 890
3.	 Sean los conjuntos:
	 M = {3n + 8 / n ∈ Z ∧ 2 < n < 8}
	 P = 
m + 3
2
 ∈ Z / m ∈ M
	 R = 
5x + 1
2
 / x ∈ P 
	 Calcule la suma de los elementos de R.
A) 183 B) 99 
C) 138 D) 165
4.	 Sean los conjuntos M = {x/x ∈ N ∧ 
0		<		x		≤		5},	L	=	{2x/x	∈ M}, P = {3x/x ∈ M} 
y F ≠ φ tal que F ⊂ M, F ⊄ L y F ⊄ P. 
	 ¿Cuántos conjuntos F existen?
A) 28 B) 27
C) 26 D) 25
NIvEL 2
5.	 Sean los conjuntos:
	 D = {y ∈ Z+	/	(y	–	7)(y	+	3)	≥	–	16}
	 En = {x ∈ Z
+	/	min	D	<	x	≤	n},	n	∈ Z+
	 Donde, En es no vacío y min D es el menor 
elemento de D.
	 Halle el número de subconjuntos no vacíos 
de En.
A) 2n–1 – 1 B) 2n–5 – 1
C) 2n–4 – 1 D) 2n–3 – 1
6.	 El profesor Rubén tiene a su cargo 11 estu-
diantes de Geometría y con ellos tiene que 
formar equipos de trabajo. Si cada equipo 
debe tener por lo menos 3 estudiantes, 
¿cuántos equipos diferentes podrá formar?
A) 1981 B) 1968 
C) 2023 D) 1990
7.	 Si el número de subconjuntos de un 
conjunto de (n + 3) elementos menos 
el doble del número de subconjuntos 
de un conjunto de (n – 1) elementos es 
igual a 224, halle el número de subcon-
juntos ternarios del conjunto de (n + 2) 
elementos.
A) 24 B) 32 
C) 35 D) 28
pRObLEMAS pROpUESTOS
Conjuntos I
33 ARITMÉTICAsAn MARCos seMesTRAl 2022 – III
8.	 Sea A = {x ∈ Z+ / x – 140 ≤ 700}. Calcule 
la suma de elementos del conjunto S; si
	 S = {y + 2 / y3 ∈ A ∧ y ∈ A}
A) 2040 B) 2000
C) 1980 D) 2043
9.	 Sean a, b y c enteros; M = a + b + c.
	 Dado los conjuntos iguales:
	 A = {a2 + 9; b – c – 5} y
	 B = {–1; – 6a; a2 + b2 – 7},
	 Halle la suma de todos los valores que 
tome M.
A) –15 B) –14 
C) –7 D) 1 
10.	Amelia le dice a Estela, me fui de vacacio-
nes. Si se sabe que:
	 F = 0 < n < 
23
3
 / 
7
n
 > 2 → (2n – 3 > 0)
	 y que el número de días que estuvo de 
vacaciones esta representado por la suma 
del mayor y menor valor entero de los 
elementos de F. ¿Cuántos días estuvo de 
vacaciones Amelia?
A) 8 B) 10 
C) 9 D) 12
NIvEL 3
11.	Dados los conjuntos:
	 M = {a; b; b + 8; 2a}
	 N = {a; 2ab + 1; a + b + c}
	 Se cumple que N ⊂ M, además, {a; b; c} 
⊂ Z+; c < a y n(M) = 4.
	 Calcule n(Q).
	 Q = 
2x + 3
a
 ∈ Z / ac ≤ x ≤ a2 + b2 + c2
A) 8 B) 7 
C) 5 D) 6 
12.	Sea:
	 L = (x2 – 12) ∈ Z+ ∩ [–1; 7] / 
x + 7
3
 + 
x + 11
7
 + 
x + 10
6
 + 
x + 12
8
 + 
x + 9
5
 < 5 
	 Calcule el número de subconjuntos propios 
de L. 
A) 3 B) 7 
C) 15 D) 31 
13.	Si F = {a3 + b2; a3 + 2b2 – 9; 17} es 
unitario, con b ∈ N, además se tiene los 
conjuntos:
	 M = {x ∈ N / (x < 2b – 1) ↔ (x ≥ a)}
	 L = 
1 – x
3
 / –9b – 8a ≤ x < 5a + 4b 
	 S = {x ∈ L / (x ≥ 2a – 1) → (x < 3b + 1)}
	 Calcule la diferencia de la suma de los 
elementos enteros de S con la suma de 
los elementos de M.
A) 12 
C) 13
C) 14 
D) 15