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Benemérita Universidad Autónoma de
Puebla
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Posgrado en Ciencias Matemáticas
La descomposición de Jordan para funciones de
variación acotada con valores en espacios vectoriales
TESIS
Que para obtener el grado de:
Doctor en Ciencias (Matemáticas)
Presenta:
Daniela Rodríguez Tzompantzi
Directores de Tesis:
Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna
Dr. Francisco Javier Mendoza Torres
Puebla, Pue. Agosto 2018
A mi esposo e hijos.
Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecer a mis padres Hortensia y Daniel, quie-
nes me han brindado su apoyo incondicional a lo largo de mi carrera.
A mi esposo Jorge Salazar, por su amor y amistad. A mis hijos Jeshua
Yahir y Jafet que son mi fuerza, a ustedes les dedico este logro.
A mis hermanos y hermanas, y de manera especial a mi hermano Gumaro.
A mis asesores Dr. Juan Alberto Escamilla y el Dr Francisco Javier Men-
doza. Muchas gracias por su paciencia y tiempo.
A los miembros del jurado: Dr. Slavisa Djorjevic, Dra. Lidia Aurora Her-
nández, Dr. José Jacobo Oliveros, Dr. Victor Manuel Méndez, Dr Gabriel
Kantún por sus valiosas observaciones para mejorar el trabajo de tesis.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por haberme
otorgado una beca para realizar mis estudios de Doctorado, sin su apoyo me
habría sido imposible lograr este objetivo.
2
Índice general
Introducción II
1. Preliminares 1
1.1. Espacios normados ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Funciones de variación acotada con valores reales . . . . . . . 8
2. La descomposición de Jordan para funciones de variación
acotada valuadas en espacios vectoriales 11
2.1. Conceptos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. En espacios de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. En espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. En espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Conclusiones 29
Bibliografía 30
I
Introducción
Jordan en sus estudios sobre series de Fourier, en 1881, introdujo el con-
cepto de función de variación acotada para funciones con valores reales de-
�nidas sobre un intervalo cerrado I ⊂ R. Entre otros resultados, demostró
que : una función f : [a, b] → R es de variación acotada si y sólo si es ex-
presada como la diferencia de dos funciones crecientes [9]. Este resultado es
conocido como el Teorema de descomposición de Jordan.
El concepto de función de variación acotada admite varias generalizacio-
nes. Vitali, Hardy, Arzela, Pierpont, Frechet y Tonelli extendieron de manera
diferente el concepto de función de variación acotada para funciones reales
de dos variables. Adams [1, 2] estudió la relación que existe entre estos con-
ceptos.
Chistyakov en [4, 5, 6, 7] estudió un concepto de función de variación
acotada, para funciones f : [a, b] → X, donde X es un espacio normado
o métrico. En el marco de este tipo de funciones no se puede plantear que
una función de variación acotada es la diferencia de dos funciones crecientes,
ya que en un espacio métrico no necesariamente se tiene un orden (≤) que
permita introducir el concepto de función creciente. Sin embargo, Chistyakov
demostró algunos teoremas alternativos de descomposición de Jordan.
En este trabajo de tesis estudiamos algunas extensiones del concepto de
variación acotada para funciones f : [a, b]→ X, donde X es un espacio nor-
mado o un espacio vectorial. Entre otros, estudiamos el concepto de variación
acotada débil, variación acotada fuerte, de variación acotada y de variación
acotada respecto al orden. Nuestro principal interés es obtener teoremas tipo
descomposición de Jordan para estas funciones.
Sabemos que los multiplicadores en la integral de Henstock-Kurzweil son
funciones de variación acotada. Así, el empleo de la descomposición de Jor-
dan, en muchas ocasiones facilita la evaluación de la integral del producto de
una función de variación acotada y una función Henstock-Kurzweil integra-
ble. Por otro lado, resultados en la teoría de la integral de Henstock-Kurzweil
y la de Riemann (Lebesgue, Henstock)-Stieltjes, por ejemplo, son demostra-
dos a partir de esta descomposición.
II
Bianchini y Tonon [3] estudian un caso alternativo de la descomposición
de Jordan para funciones de Rm a R y comentan que el caso Rn a Rm,
con n ≥ 2, requieren mayor estudio salvo el caso n = 1. Nuestro trabajo
agrega algunos resultados a las observaciones de Chistyakov y Bianchini-
Tonon cuando el codominio de la función es un espacio normado o de Hilbert.
La tesis está dividida en dos capítulos.
Capítulo 1 Está dedicado a exponer una serie de preliminares, que incluyen
conceptos de la teoría de los espacios normados ordenados, y de la teoría
de función de variación acotada para funciones con dominio un intervalo
cerrado y codominio R. Además, algunas de sus propiedades que son
de utilidad para el desarrollo del capítulo 2.
Capítulo 2 Este capítulo está enfocado al desarrollo de los resultados ori-
ginales del trabajo de tesis.
Entre otros mencionamos los siguientes resultados: En el caso real es
conocido que toda función monótona es de variación acotada. Este re-
sultado no se cumple para funciones con valores en espacios normados.
En los teoremas 2.1.6 y 2.1.7 damos condiciones para que toda función
monótona con valores en un espacio normado sea de variación acotada
fuerte o de variación acotada débil. El Teorema 2.3.3 demuestra que
la descomposición de Jordan para funciones fuertemente de variación
acotada con valores en un espacio de Hilbert se satisface bajo una re-
lación de equivalencia. Cuando se consideran funciones fuertemente de
variación acotada con valores en el espacio dual se demuestra la des-
composición de Jordan, Teorema 2.4.4. Si las funciones fuertemente de
variación acotada tienen valores en el espacio de las funciones conti-
nuas, se obtiene la descomposición de Jordan, Teorema 2.4.3. Haciendo
uso de la relación de orden del espacio, se de�ne el concepto de fun-
ción de variación acotada respecto al orden, mostramos algunas de sus
propiedades y además se obtiene el teorema del tipo descomposición de
Jordan, Teorema 2.2.7.
Los teoremas 2.1.7, 2.3.3, 2.2.7 y algunos resultados más que se encuen-
tran en las secciones 2.2 y 2.3 fueron publicados en el artículo: "The
Jordan decomposition of bounded variation functions valued in vector
spaces" [10]. Los teoremas de la sección 2.4 son resultados originales
pero no han sido publicados.
III
Capítulo 1
Preliminares
Como mencionamos en la introducción en este capítulo se revisan algunos
conceptos básicos de la teoría de espacios normados ordenados y de las fun-
ciones de variación acotada reales de�nidas en un intervalo compacto. Ningún
resultado es original.
1.1. Espacios normados ordenados
Comenzamos con la de�nición de relación de orden parcial en un conjunto.
De�nición 1.1.1. Sea X un conjunto no vacío. La relación ≤ en X es
llamada orden parcial si
x ≤ x para cada x ∈ X (≤ es re�exiva);
x ≤ y y y ≤ x implica x = y (≤ es antisimétrica);
x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z (≤ es transitiva).
El par (X,≤) es llamado un conjunto parcialmente ordenado.
De�nición 1.1.2. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos
que X es una lattice, si cada subconjunto K de X que consta de dos puntos
tiene un supremo y un ín�mo.
Existen otros tipos de clasi�cación de conjuntos parcialmente ordenados,
por ejemplo, los conjuntos orden completo, Dedekind completo, Dedekind
σ-completo, los cuales no son mencionados debido a que no se requieren en
este trabajo, el lector interesado puede consultar [13].
1
De�nición 1.1.3. Sea X un espacio vectorial sobre el campo de los números
reales y sea ≤ un orden parcial en X. El par (X,≤) es llamado espacio
vectorial ordenado, si X es parcialmente ordenado respecto al orden parcial
≤ y para x, y, z ∈ X y λ ≥ 0:
x ≤ y implica x+ z ≤ y + z;
x ≤ y implica λx ≤ λy.
Si X es un lattice con respecto al orden parcial, entonces X es llamado
un espacio de Riesz o unalattice vectorial.
Recordemos que dados los subconjuntos A y B del espacio vectorial X,
se de�ne
A±B = {x± y | x ∈ A y y ∈ B},
λA = {λx | λ ∈ R y x ∈ A}.
De�nición 1.1.4. Sea X un espacio vectorial real. Un subconjunto de X,
denotado por X+, le llamaremos cono si X+ tiene las siguientes propiedades:
i) X+ +X+ ⊂ X+;
ii) X+
⋂
{−X+} = {θ};
iii) cX+ ⊂ X+, para c ≥ 0.
En algunos artículos el subconjunto X+ es llamado cono de orden o cono
positivo.
Observación 1.1.5. Si (X,≤) es un espacio vectorial ordenado, es fácil
probar que el subconjunto X+ = {x | θ ≤ x ∈ X} es un cono.
De�nición 1.1.6. Sea X+ un cono de un espacio vectorial X. De�nimos
una relación de orden en X, denotada por ≤X+, como:
x ≤X+ y, si y − x ∈ X+.(1.1)
para x, y ∈ X.
Proposición 1.1.7. Sean X un espacio vectorial, X+ un cono de X y ≤X+
la relación de orden de�nida en (1.1) El par (X,≤X+) es un espacio vectorial
ordenado.
Demostración. Primero probaremos que es un orden parcial. Sean x, y, z ∈
X,
2
x ≤X+ x, ya que x− x = θ ∈ X+;
x ≤X+ y y y ≤X+ x, entonces x− y = −(y− x) ∈ X+. Por inciso ii) de
de�nición 1.1.7, x = y;
x ≤X+ y y y ≤X+ z, entonces y − x+ z − y = z − x ∈ X+ y x ≤X+ z.
Ahora sean x, y, z ∈ X y λ ≥ 0, con x ≤X+ y:
x+ z ≤X+ y + z, ya que y − x = y + z − (x+ z) ∈ X+ ;
λx ≤X+ λy, ya que λ(y − x) ∈ X+.
Además, si X es un espacio normado, a la de�nición 1.1.4 de cono se le
agrega la condición que X+ sea un subconjunto cerrado. Dado un cono X+
de X, cuando consideremos a X como espacio vectorial ordenado o espacio
normado ordenado, será con el orden de�nido en (1.1).
Observación 1.1.8. Como consecuencia de la Proposición 1.1.7, dado un
cono se de�ne un orden parcial; más aún, el recíproco también se cumple,
es decir, si ≤ es un orden parcial sobre el espacio X, entonces el conjunto
X+ = {x ∈ X | 0 ≤ x} es un cono.
A continuación se muestran algunos ejemplos de conos de espacios nor-
mados dados.
Ejemplos 1.1.9. En los siguientes ejemplos X denota el espacio normado,
X+ un cono en el espacio y ‖ · ‖X la norma del espacio X.
1. Sea X = R con la norma ‖x‖X = |x| y X+ = R+ ∪ {0}.
2. Sea X = R2 con la norma ‖(x1, x2)‖X =
√
x21 + x
2
2 y X+ = {(x1, x2) |
x1 ≥ 0 y x2 ≤ 0}.
3. Sea X = Rn con la norma ‖x̄‖X =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n y X+ = {x̄ =
(x1, . . . , xn) ∈ X | xi ≥ 0, i = 1, . . . , n}.
4. Sea X = B(A,R), el espacio de las funciones reales acotadas con
la norma ‖f‖X = supx∈A |f(x)| y X+ = {f ∈ B(A,R) | f(x) ≥
0, para todo x ∈ A}.
5. Sea X = C([a, b],R), el espacio de las funciones continuas con la
norma ‖f‖X = máxx∈[a,b] |f(x)|, y sea X+ = {f ∈ X | f(x) ≥
0, para todo x ∈ [a, b]}.
3
6. Sea (Ω,M, µ) un espacio de medida. Se de�ne X = Lp(Ω) el espacio de
las funciones p-integrables, donde la norma está de�nida de la forma
usual:
‖f‖p =
(∫
X
|f |pdµ
) 1
p
,
y
X+ = {f ∈ X | f(x) ≥ 0, a. e. t ∈ X}.
7. Sea X = `2, con la norma ‖x‖X = (
∑∞
i=1 x
2
i )
1
2 para cualquier x =
(x1, x2, . . . , xi, . . . ) ∈ `2 y X+ = {x = (x1, x2, . . . , xi, . . . ) ∈ `2 | x1 ≥
0 y xi ≤ x1, para i = 2, 3, . . . }.
Los conceptos de sucesión y función monótona en un espacio normado
ordenado se de�nen como sigue.
De�nición 1.1.10. Sean X un espacio normado ordenado por un cono X+
y (xn)n∈N una sucesión en X. Diremos que (xn)n∈N es:
creciente si xn ≤ xn+1, para todo n ∈ N;
decreciente si xn+1 ≤ xn, para todo n ∈ N;
monótona si es creciente o decreciente.
Sea f : [a, b]→ X una función. Diremos que f es:
creciente si dados t1, t2 ∈ [a, b] tales que t1 ≤ t2, entonces f(t1) ≤
f(t2);
decreciente si dados t1, t2 ∈ [a, b] tales que t1 ≤ t2, entonces f(t2) ≤
f(t1);
monótona si es creciente o decreciente.
Al igual que en el caso real podemos hablar de intervalo en un espacio
normado ordenado.
De�nición 1.1.11. Si y, z ∈ X, denotamos como [y, z] al intervalo orde-
nado. Si se satisface que y ≤ z entonces el intervalo ordenado es el conjunto
de�nido por [y, z] = {x ∈ X | y ≤ x ≤ z}.
De manera similar se puede de�nir un intervalo abierto.
Observación 1.1.12. Si no se cumple y ≤ z, entonces [y, z] = ∅ y (y, z) = ∅.
Y si y < z, entonces [y, z] 6= ∅ y (y, z) 6= ∅.
4
A través de la relación de orden se de�ne el concepto de conjunto acotado:
sean X un espacio de normado ordenado y A ⊂ X.
A es acotado superiormente si existe z ∈ X tal que, x ≤ z, para
todo x ∈ A.
A es acotado inferiormente si existe y ∈ X tal que, y ≤ x, para todo
x ∈ A.
Diremos que A es acotado en orden si A es acotado superiormente e infe-
riormente, es decir si existe un intervalo [y, z] tal que
A ⊂ [y, z].
Existen varios tipos de conos, por ejemplo podemos mencionar los con-
ceptos de cono sólido, cono regular, cono completamente regular, etc. En este
trabajo mencionamos los conos que serán de utilidad, y son los que enuncia-
mos a continuación, al lector interesado lo referimos a [8].
De�nición 1.1.13. Sea X+ un cono de un espacio de normado X. Diremos
que X+ es:
normal si existe una constante γ ≥ 1 tal que para cada x, y ∈ X,
si θ ≤ x ≤ y, entonces ‖x‖ ≤ γ‖y‖.
extendible si existe un cono X1 en X y b > 0 tal que, para cada
x ∈ X+\{θ}, B(x, b‖x‖) ⊂ X1, donde B(x, b‖x‖) = {y ∈ X | ‖y−x‖ ≤
b‖x‖};
generador si X = X+ −X+.
Una caracterización de los conos extendibles está dada en términos de un
elemento del dual, y es la siguiente.
Teorema 1.1.14. (Guo, [8]) Supongamos que X+ es un cono ordenado en
X. Entonces X+ es extendible si y sólo si existe una función f ∈ X∗ y una
constante α > 0 tal que f(x) ≥ α · ‖x‖ para todo x ∈ X+.
Recordemos que el espacio dual de un espacio normado X es
X∗ = {φ : X → K | φ es lineal y continua},
el cual también es un espacio normado con la norma
‖φ‖ = sup{|φ(x)| | ‖x‖ ≤ 1}.
Los siguientes ejemplos muestran espacios cuyo cono es normal, extendi-
ble. También se dan ejemplos de espacios en los cuales el cono no es normal,
extendible y generador.
5
Ejemplos 1.1.15. Sea X = Rn con la norma
‖x‖ =
n∑
j=1
|xj|, donde x = (x1, x2, . . . , xn),
y sea
X+ = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n}.
X+ es un cono normal, notemos que θ ≤ x ≤ y si y sólo si 0 ≤ xi ≤ yi
para i = 1, 2, . . . , n, entonces ‖x‖ ≤ ‖y‖.
Sea X = C1[0, 2π] el espacio de todas las funciones con primera de-
rivada continua de�nidas sobre [0, 2π], donde la norma está de�nida
como
‖f‖ = máx
0≤x≤2π
|f(x)|+ máx
0≤x≤2π
|f ′(x)|,
y sea
X+ = {f ∈ X | f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [0, 2π]},
el cono del espacio. Veamos que X+ no es normal. Si X+ es normal,
existe una constante N > 0 tal que, si 0 ≤ f ≤ g entonces ‖f‖ ≤ N‖g‖.
Sea fn(x) = 1− cosnx y gn(x) = 2 para todo n = 1, 2, . . . . Claramente
se tiene que
0 ≤ fn ≤ gn, ‖fn‖ = 2 + n, ‖gn‖ = 2.
Entonces se tiene que 2 + n ≤ 2N para n = 1, 2, . . . , lo cual es una
contradicción. Por lo tanto, X+ no es un cono normal.
Sea X = Lp(Ω) el espacio de las funciones p-integrables, donde la nor-
ma está de�nida de la forma usual:
‖f‖p =
(∫
X
|f |pdµ
) 1
p
,
y sea
X+ = {f ∈ X | f(t) ≥ 0, a. e. t ∈ Ω},
el cono del espacio.
a) Si p = 1, entonces X+ es un cono extendible.
El funcional
g(f) =
∫
X
fdµ, f ∈ L(Ω),
es tal que g(f) = ‖f‖, para todo f ∈ X+. Por el Teorema 1.1.14,
se sigue que X+ es extendible.
6
b) Si p > 1, el cono X+ no es extendible. Si suponemos que X+ es
extendible, entonces por Teorema 1.1.14 existe x∗ ∈ X∗ y α > 0
tal que x∗(f) ≥ α · ‖f‖ para toda f ∈ X+.
Para cualquier entero positivo m, dividimos al conjunto Ω en m
conjuntos disjuntos medibles Ωi (i = 1, 2, . . . ,m) con la misma
medida y de�namos la función fi(t) como
fi(t) =
 m
1
p , si t ∈ Ωi,
0, si t ∈ Ω \ Ωi.
Claramente fi ∈ X+ y ‖fi‖ = (µ(Ω))
1
p para i = 1, 2, . . . ,m.
Por lo tanto, tenemos
x∗(fi) ≥ α · ‖xi‖ = α · (µ(Ω))
1
p .
Por otro lado, si consideramos f(t) ≡ 1, entonces f ∈ X+ y
f(t) = m−
1
p
m∑
i=1
fi(t), t ∈ Ω.
Por lo tanto, se tiene que
x∗(f) = x∗(m−
1
p
m∑
i=1
fi(t)) = m
− 1
p
m∑
i=1
fi(t) ≥ α ·m1−
1
p
m∑
i=1
fi(t),
se cumple para cualquier entero positivo m, lo cual es una contra-
dicción ya que x∗(f) es �nito.
Sea X = C([a, b],R) el espaciode las funciones continuas, y sea
X+ = {f ∈ X | f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b]}.
X+ es un cono generador ya que, para cualquier f ∈ X existen funcio-
nes g, h ∈ X+ tales que f = g − h, donde
g(t) =

f(t), si f(t) > 0,
0, si f(t) < 0.
h(t) =

0, si f(t) > 0,
−f(t), si f(t) < 0.
Observemos que g, h ∈ C([a, b],R).
Sea X = Lp(Ω) el espacio de las funciones p-integrables y X+ es un
cono generador dado que para cada f ∈ Lp(µ) existen funciones g, h ∈
Lp(µ) tal que, f = g − h, donde g y h están de�nidas de la misma
forma que para el caso de las funciones continuas.
7
Sea X un espacio de Riesz, entonces, para cualquier x ∈ X, se de�ne
x+ = sup{x, 0}, x− = sup{−x, 0} y |x| = sup{x, (−x)}, que son la parte
positiva, la parte negativa y el valor absoluto de x, respectivamente.
La parte positiva, la parte negativa y el valor absoluto tienen propieda-
des análogas a las consideradas en el caso real, tales como la desigualdad
triangular, las cuales son mencionadas a continuación.
Teorema 1.1.16. (Zaanen, [13])
(i) x+ y x− pertenecen a X+; (−x)+ = x−, y (−x)− = x+. Más aún |−x| =
|x|.
(ii) x = x+−x−, ı́nf{x+, x−} = 0 y |x| = x+ +x−. Se observa que |x| ∈ X+.
(iii) 0 ≤ x+ ≤ |x| y 0 ≤ x− ≤ |x|. Más aún −x− ≤ x ≤ x+. Además, |x| = 0
si, y sólo si x = 0.
(iv) x ≤ y si y sólo si x+ ≤ y+ y y− ≤ x−.
Teorema 1.1.17. (Zaanen, [13]) (Desigualdad triangular). Para x y y en
X tenemos
(x+ y)+ ≤ x+ + y+, (x+ y)− ≤ x− + y−,
||x| − |y|| ≤ |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Cabe destacar que la parte positiva, la parte negativa y el valor absoluto
de�nidos son elementos del espacio de Riesz.
1.2. Funciones de variación acotada con valores
reales
Recordemos algunos resultados conocidos de las funciones reales de va-
riación acotada de�nidas sobre intervalos compactos.
De�nición 1.2.1. Una partición P = {t0, t1, . . . , tn} de un intervalo cerrado
[a, b] es un subconjunto �nito de puntos, de tal manera que
a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b.
Observación 1.2.2. La partición de�ne n subintervalos cerrados no trans-
lapados [ti−1, ti], i = 1, 2, . . . , n tales que [a, b] =
⋃n
i=1[ti−1, ti].
La familia de todas las particiones del intervalo [a, b] la denotaremos por
P [a, b].
8
De�nición 1.2.3. Sea f : [a, b] → R una función y sea P = {t0, t1, . . . , tn}
una partición de [a, b]. La variación V ba (f,R) de f sobre [a, b] está de�nida
como:
V ba (f,R) = sup
{
n∑
i=1
|f(ti)− f(ti−1)| : P ∈ P [a, b]
}
.
Si V ba (f,R) es �nita, es decir si existe una constante M ∈ R tal que,
V ba (f,R) ≤M , entonces diremos que f es una función de variación acota-
da sobre [a, b] y V ba (f,R) es la variación total de f sobre [a, b]. El conjun-
to de todas las funciones de variación acotada sobre [a, b] es denotado por
BV ([a, b]).
Algunas propiedades de las funciones de variación acotada son las siguien-
tes.
Teorema 1.2.4. Si f : [a, b] → R es de variación acotada, entonces f es
acotada.
Es conocido que el recíproco no es cierto.
Teorema 1.2.5. Sean f, g : [a, b] → R funciones de variación acotada so-
bre [a, b]. Entonces también la suma, diferencia y producto son de variación
acotada y, además,
V ba (f ± g,R) ≤ V ba (f,R) +V ba (f,R) y V ba (fg,R) ≤ α ·V ba (f,R) + β ·V ba (g,R),
donde
α = sup
t∈[a,b]
|f(t)| y β = sup
t∈[a,b]
|g(t)|.
Es decir el espacio BV ([a, b]) es un espacio vectorial con respecto a las
operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación de una función
por un escalar.
Teorema 1.2.6. Sea f : [a, b] → R una función de variación acotada en
[a, b], y supongamos que c ∈ (a, b). Entonces f es de variación acotada en
[a, c] y en [c, b]. En este caso, se tiene
V ba (f,R) = V ca (f,R) + V bc (f,R).
Corolario 1.2.7. Toda función monótona sobre [a, b] es una función de va-
riación acotada sobre [a, b].
Teorema 1.2.8. Sea f una función de variación acotada sobre [a, b]. Sea V
de�nida sobre [a, b] como sigue: V (x) = V xa (f,R) si a < x ≤ b, V (a) = 0.
Entonces:
9
i) V es una función creciente sobre [a, b].
ii) V − f es una función creciente sobre [a, b].
Teorema 1.2.9. Sea f de�nida sobre [a, b]. Entonces f es de variación aco-
tada en [a, b] si y sólo si, f es expresada como la diferencia de dos funciones
crecientes.
El Teorema 1.2.9, como lo mencionamos en la introducción, se conoce
como Teorema de descomposición de Jordan.
Existen más propiedades de las funciones de variación acotada, en este
trabajo únicamente mencionamos algunos, sin embargo, al lector le interesado
sugerimos ver [11].
10
Capítulo 2
La descomposición de Jordan
para funciones de variación
acotada valuadas en espacios
vectoriales
2.1. Conceptos y propiedades
Como se mencionó en la introducción, el concepto de función de variación
acotada para funciones f : [a, b] → X, donde X es un espacio normado,
admite varias generalizaciones, dentro de las cuales podemos mencionar las
siguientes.
De�nición 2.1.1. Sea f : [a, b]→ X.
(a) f es débilmente de variación acotada (wBV) sobre [a, b], si para
cada x∗ ∈ X∗ la función x∗(f) : X → R es de variación acotada (BV)
sobre [a, b].
(b) f es de variación acotada (*BV) sobre [a, b], si
sup
∥∥∥∑(f(ti)− f(ti−1))∥∥∥
X
es �nito, donde el supremo es tomado sobre todas las particiones de
[a, b].
(c) f es fuertemente de variación acotada (BV) sobre [a, b], si
sup
{∑
‖f(ti)− f(ti−1)‖X
}
11
es �nito, donde el supremo es tomado sobre todas las particiones de
[a, b].
Las relaciones entre función débilmente de variación acotada, variación
acotada y fuertemente de variación acotada son las siguientes.
Observación 2.1.2. Directamente de la de�nición podemos notar que
BV⇒ *BV⇒ wBV.
Si una función f : [a, b]→ X es wBV, BV o *BV, entonces la función es
acotada.
La relación entre *BV y wBV se da en el siguiente lema.
Lema 2.1.3. (Schwabik, [12]). Una función f : [a, b] → X es de variación
acotada sobre [a, b] si y sólo si es débilmente de variación acotada sobre [a, b].
Denotaremos por V ba (f,X) a la variación fuerte de la función f y al espacio
de las funciones fuertemente de variación acotada como BV ([a, b], X).
Observación 2.1.4. Si f(t) = (f1 (t) , f2 (t) , ..., fm (t)) , donde cada fj ∈
BV ([a, b]), entonces f ∈ BV ([a, b],Rm) y la siguiente desigualdad se satisface
(2.1)
√√√√ m∑
j=1
V ba (fj,R)2 ≤ V ba (f,Rm) ≤
m∑
j=1
V ba (fj,R).
Veamos por ejemplo, el caso m = 2. Sea f(t) = (f1 (t) , f2 (t)) y P = {a =
t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn = b} cualquier partición de [a, b] . Por la desigualdad√
α1 + α2 ≤
√
α1 +
√
α2, donde α1, α2 ≥ 0; tenemos
n∑
i=1
‖f(ti)− f(ti−1)‖ =
n∑
i=1
√
(f1 (ti)− f1 (ti−1))2 + (f2 (ti)− f2 (ti−1))2
≤
n∑
i=1
|f1 (ti)− f1 (ti−1)|+
n∑
i=1
|f2 (ti)− f2 (ti−1)|
≤ V ba (f1,R) + V ba (f2,R).
Así, f ∈ BV ([a, b],R2) y
V ba (f,R2) ≤ V ba (f1,R) + V ba (f2,R).
Por la desigualdad
12
√√√√( n∑
i=1
α1i
)2
+
(
n∑
i=1
α2i
)2
≤
n∑
i=1
√
α21i + α
2
2i,
donde αji ≥ 0 para i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2; y tomando αji = |fj (ti)− fj (ti−1)|,
tenemos
√√√√( n∑
i=1
|f1 (ti)− f1 (ti−1)|
)2
+
(
n∑
i=1
|f2 (ti)− f2 (ti−1)|
)2
≤
n∑
i=1
‖f(ti)− f(ti−1)‖
≤ V ba (f,R2).
Evaluando el supremo sobre todas las particiones de [a, b] , obtenemos la
desigualdad de la izquierda de (2.1). Está desigualdad puede ser estricta. Por
ejemplo, sea f (t) = (f1 (t) , f2 (t)) = (t
2, t) , t ∈ [−1, 1] . Tenemos que
V 1−1(f1,R) = 2
∫ 1
−1
|t| dt = 2, V 1−1(f2,R) = 2
y √
V 1−1(f1,R)2 + V 1−1(f2,R)2 = 2
√
2.
La a�rmación es probada observando que para la partición
P0 =
{
−1, 0, 1
2
, 1
}
:
3∑
i=1
√
(f1 (ti)− f1 (ti−1))2 + (f2 (ti)− f2 (ti−1))2 =
√
2 +
√
5 +
√
13
4
> 2
√
2.
Dado que V ba (f,Rm) es un escalar, entonces se podría pensar que sea igual a∥∥(V ba (f1,R), V ba (f2,R), ..., V ba (fm−1,R), V ba (fm,R))∥∥ .
El ejemplo para el caso m = 2 muestra que este hecho puede no ser cierto.
13
En el caso real tenemos que una función monótona es de variación acota-
da, para el caso de funciones con valores en un espacio de normado ordenado,
este resultado no necesariamente es verdadero.
Antes de dar el ejemplo de una función monótona que no es fuerte-mente de variación acotada, recordemos que L∞[0, 1] = {f : [0, 1] → K |
f es medible y ‖f‖∞ < ∞} el espacio de las funciones esencialmente aco-
tadas es un espacio normado con la norma ‖f‖∞ = ı́nf{M | |f(t)| ≤
M para casi todo t ∈ [0, 1]}. L∞[0, 1] tiene un orden en el siguiente senti-
do, si h1, h2 ∈ L∞[0, 1], entonces h1 ≤ h2 si y sólo si h1(x) ≤ h2(x) a. e. sobre
[0, 1].
Ejemplos 2.1.5. De�namos F : [0, 1]→ L∞[0, 1] como sigue:
Sea x ∈ [0, 1) tal que, F (x) = χ[0,x], donde
χ[0,x](t) =

1, si 0 ≤ t ≤ x,
0, si x < t ≤ 1.
Entonces F es una función creciente pero no es fuertemente de variación
acotada sobre [0, 1].
Primero notemos que ésta función es creciente, supongamos que 0 ≤ x1 ≤
x2 ≤ 1, si t ∈ [0, x1], entonces F (x1)(t) = F (x2)(t) = 1, ahora si t ∈ (x1, x2),
entonces dado que χ[0,x1] ≤ χ[0,x2], se sigue que F (x1)(t) ≤ F (x2)(t). En el
caso t ∈ [x2, 1] es obvio.
Ahora para cualquier colección �nita de intervalos disjuntos (tk−1, tk),
k = 1, 2, . . . , n de P ∈ P [a, b], tenemos ‖F (tk)−F (tk−1)‖L∞[0,1] = 1. Entonces
n∑
k=1
‖F (tk)− F (tk−1)‖L∞[0,1] = n.(2.2)
Concluimos que F es una función creciente, de (2.2) se sigue que F no es
fuertemente de variación acotada.
Por otro lado, notemos que
‖
n∑
k=1
F (tk)− F (tk−1)‖L∞[0,1] ≤ ‖F (1)‖L∞[0,1] = 1.
F es una función débilmente de variación acotada pero no fuertemente de
variación acotada.
Sin embargo obtenemos los dos resultados siguientes.
14
Teorema 2.1.6. Sea (X,X+) un espacio normado ordenado, donde X+ es
un cono normal. Toda función f : [a, b] → X monótona es de variación
acotada.
Demostración. Probaremos el caso cuando f es una función creciente, la
demostración para funciones decrecientes es similar. Sea {[ci, di]}ni=1 una su-
cesión de intervalos no translapados de [a, b] y {[ui, vi]}mi=1 los intervalos nece-
sarios para que {[ci, di]}ni=1∪{[ui, vi]}mi=1 sea una partición de [a, b]. Entonces
tenemos que
0 ≤
∑
i
f(di)− f(ci) ≤
∑
i
f(di)− f(ci) +
∑
i
f(vi)− f(ui),
como el cono X+ de X es normal entonces
‖
∑
i
f(di)− f(ci)‖ ≤ M‖
∑
i
f(di)− f(ci) +
∑
i
f(vi)− f(ui)‖
= M‖f(b)− f(a)‖.
Por lo tanto f es una función de variación acotada. Para el caso de función
decreciente se hace de manera similar
Teorema 2.1.7. Sea (X,X+) un espacio normado ordenado, donde X+ es
un cono extendible. Toda función f : [a, b]→ X monótona es fuertemente de
variación acotada.
Demostración. Probaremos el caso cuando f es una función creciente, la
demostración para funciones decrecientes es similar. Sea {[tk−1, tk] : k =
1, . . . , n} una partición de [a, b]. Dado queX+ es un cono extendible, entonces
por Teorema 1.1.14 existe g ∈ X∗ y una constante α > 0 tal que, ‖f(tk) −
f(tk−1)‖ ≤ αg(f(tk)− f(tk−1)), k = 1, . . . , n. Entonces
n∑
i=1
‖f(ti)− f(ti−1)‖ ≤ α ·
n∑
i=1
g(f(ti)− f(ti−1))
= α · g(
n∑
i=1
(f(ti)− f(ti−1)))
= α · g(f(b)− f(a)) ≤ α · ‖g‖‖f(b)− f(a)‖.
Los siguientes resultados son análogos al caso X = R.
15
Teorema 2.1.8. Sean f, g : [a, b] → X funciones fuertemente de variación
acotada sobre [a, b]. Entonces también la suma y diferencia. Además,
V ba (f ± g,X) ≤ V ba (f,X) + V ba (g,X).
Es decir el espacioBV ([a, b], X) es un espacio vectorial con las operaciones
usuales de suma de funciones y multiplicación de una función por un escalar.
Con el objetivo de simpli�car notación denotamos
∑
(P ) como la suma∑
‖∆fk‖ correspondiente a la partición P ∈ P [a, b], donde ‖∆fk‖ = ‖f(tk)−
f(tk−1)‖.
Teorema 2.1.9. Sea f : [a, b] → X una función fuertemente de variación
acotada en [a, b], y supongamos que c ∈ (a, b). Entonces f es fuertemente de
variación acotada en [a, c] y en [c, b] y se tiene
V ba (f,X) = V
c
a (f,X) + V
b
c (f,X).
Demostración. Probaremos en primer lugar que f es fuertemente de variación
acotada en [a, c] y en [c, b]. Sean P1 una partición de [a, c] y P2 una partición
de [c, b]. Entonces P = P1
⋃
P2 es una partición de [a, b]. Podemos escribir∑
(P1) +
∑
(P2) =
∑
‖∆fk‖ ≤ V ba (f,X).
Esta desigualdad muestra que el conjunto
∑
(P1) y
∑
(P2) está acotada por
V ba (f,X) lo cual signi�ca que f es fuertemente de variación acotada en [a, c]
y en [c, b]. Entonces se obtiene la desigualdad
V ca (f,X) + V
b
c (f,X) ≤ V ba (f,X).
Para obtener la desigualdad en el otro sentido. Sean P = {t0, t1, . . . , tn} ∈
P [a, b] y P0 = P ∪ {c} la partición obtenida al añadir el punto c.
Si c ∈ [tk−1, tk], entonces tenemos
‖f(tk)− f(tk−1)‖ ≤ ‖f(tk)− f(c)‖+ ‖f(c)− f(tk−1)‖,
por lo tanto∑
(P ) ≤
∑
(P0) =
∑
(P1) +
∑
(P2) ≤ V ca (f,X) + V bc (f,X).
Así V ca (f,X) + V
b
c (f,X) es una cota superior para el conjunto de todas las
sumas
∑
(P ). Entonces
V ba (f,X) ≤ V ca (f,X) + V bc (f,X).
16
2.2. En espacios de Riesz
Los conceptos de función débilmente de variación acotada, de variación
acotada y fuertemente de variación acotada están dados en términos de la
norma del espacio. Sin embargo cuando consideramos funciones con valores
en un espacios de Riesz, se de�ne el concepto de función de variación acotada
con respecto al orden.
De�nición 2.2.1. Sea (X,≤) un espacio de Riesz. Una función f : [a, b]→
X es de variación acotada respecto al orden, si existe un M ∈ X tal
que,
V of [a, b] = sup
P∈P[a,b]
n∑
i=1
|f(ti)− f(ti−1)| ≤M.
Para las funciones de variación acotada respecto al orden se obtienen
resultados análogos al caso real, tales como los teoremas 1.2.4, 1.2.5 y 1.2.6.
Teorema 2.2.2. Si f : [a, b] → X es monótona en [a, b], entonces f es de
variación acotada respecto al orden en [a, b]
Demostración. Probaremos el caso cuando f es una función creciente, la de-
mostración para funciones decrecientes es similar. Sea f una función crecien-
te. Entonces para cada partición de [a, b] tenemos que f(ti) − f(ti−1) ∈ X+
y por lo tanto
n∑
i=1
|f(ti)− f(ti−1)| =
n∑
i=1
f(ti)− f(ti−1) = f(b)− f(a).
Teorema 2.2.3. Si f : [a, b]→ X es de variación acotada respecto al orden
en [a, b], entonces f es acotada superiormente en [a, b].
Demostración. Sean t ∈ (a, b) y P = {a, t, b} la partición de [a, b].
|f(t)− f(a)|+ |f(b)− f(t)| ≤ V of [a, b],
entonces
2|f(t)| ≤ V of [a, b] + |f(a)|+ |f(b)|,
por lo tanto
|f(t)| ≤
V of [a, b] + |f(a)|+ |f(b)|
2
.
De manera similar se prueba si t = a o t = b.
17
Teorema 2.2.4. Supongamos que f, g : [a, b] → X son dos funciones de
variación acotada respecto al orden en [a, b]. Entonces la suma y la diferencia
son de variación acotada respecto al orden. Además se tiene
V of±g[a, b] ≤ V of [a, c] + V og [c, b].
Demostración.
V of±g[a, b] = sup
P∈P
n∑
i=1
|(f ± g)(ti)− (f ± g)(ti−1)|
= sup
P∈P
n∑
i=1
|(f(ti)− f(ti−1))± (g(ti)− g(ti−1))|
≤ sup
P∈P
n∑
i=1
|(f(ti)− f(ti−1))| ± sup
P∈P
n∑
i=1
|(g(ti)− g(ti−1))|
= V of [a, b]± V og [a, b]
≤ V of [a, b] + V og [a, b]
Teorema 2.2.5. Sea f : [a, b]→ X una función de variación acotada respec-
to al orden en [a, b], y supongamos que c ∈ (a, b). Entonces f es de variación
acotada respecto al orden en [a, c] y en [c, b] y se tiene
V of [a, b] = V
o
f [a, c] + V
o
f [c, b].
Demostración. Probaremos en primer lugar que f es de variación acotada
respecto al orden en [a, c] y en [c, b]. Sea P1 una partición de [a, c] y sea
P2 una partición de [c, b]. Entonces P = P1
⋃
P2 es una partición de [a, b].
Podemos escribir∑
(P1) +
∑
(P2) =
∑
|∆fk| ≤ V of [a, b].
Esta desigualdad muestra que cada suma
∑
(P1) y
∑
(P2) es menor V
o
f [a, b]
lo cual signi�ca que f es de variación acotada respecto al orden en [a, c] y en
[c, b]. Entonces se tiene la desigualdad
V of [a, c] + V
o
f [c, b] ≤ V of [a, b].
Para obtener la desigualdad en el otro sentido, sea P = {t0, t1, . . . , tn} ∈
P [a, b] y sea P0 = P ∪ {c} la partición obtenida al añadir el punto c.
Si c ∈ [tk−1, tk] entonces tenemos
|f(tk)− f(tk−1)| ≤ |f(tk)− f(c)|+ |f(c)− f(tk−1)|,
18
por lo tanto∑
(P ) ≤
∑
(P0) =
∑
(P1) +
∑
(P2) ≤ V of [a, c] + Vf [c, b].
Así V of [a, c]+V
o
f [c, b] es una cota superior para el conjunto de todas las sumas∑
(P ). Entonces
V of [a, b] ≤ V of [a, c] + V of [c, b].
Teorema 2.2.6. Sea f una función de variación acotada respectoal orden
en [a, b]. Sea V o de�nida en [a, b] como sigue: V o(t) = V of [a, t] si a < t ≤ b,
V o(a) = 0. Entonces:
i) V o es una función creciente en [a, b].
ii) V o − f es una función creciente en [a, b].
Demostración. i) Si a < t1 < t2 ≤ b, podemos escribir
V of [a, t2] = V
o
f [a, t1] + V
o
f [t1, t2].
Esto implica que V o(t2)− V o(t1) = V of [t1, t2] ≥ 0. Luego V o(t1) ≤ V o(t2). ii)
sea D(t) = V o(t)− f(t) si t ∈ [a, b]. Entonces, si a ≤ t1 < t2 ≤ b, tenemos
D(t2)−D(t1) = V o(t2)− f(t2)− (V o(t1)− f(t1))
= V o(t2)− V o(t1)− [f(t2)− f(t1)]
= V o[t1, t2]− [f(t2)− f(t1)].
Por de�nición de V of [t1, t2], se sigue que
f(t2)− f(t1) ≤ V of [t1, t2].
Entonces D(t2)−D(t1) ≥ 0.
Teorema 2.2.7. Sea f : [a, b] → X. Entonces f es de variación acotada
respecto al orden en [a, b] si y sólo si f se expresa como la diferencia de dos
funciones crecientes.
Demostración. Si f es de variación acotada respecto al orden en [a, b], pode-
mos escribir f = V o −D, en donde V o es la función del teorema anterior y
D = V o − f . Tanto V o como D son funciones crecientes.
El recíproco se deduce inmediatamente de los Teoremas 2.2.2 y 2.2.4.
En el siguiente ejemplo se calcula la variación respecto al orden de una
función con valores en un espacio de Riesz.
19
Ejemplos 2.2.8. Sea f : [−π
2
, π
2
] → R2 dada por f(t) = (cos t, t), donde R2
es considerado un espacio de Riesz con el orden (x1, x2) ≤ (y1, y2), siempre
que x1 ≤ y1 y x2 ≤ y2. Sea P ∈ P [a, b].
Si 0 ∈ P , entonces
|(cos ti − cos ti−1, ti − ti−1)|o = sup {(cos ti − cos ti−1, ti − ti−1), (0, 0)}
+ sup {(cos ti−1 − cos ti, ti−1 − ti), (0, 0)}
= (g (i, t) , ti − ti−1)
= (| cos ti − cos ti−1|, ti − ti−1) ,
donde
g (i, t) =

cos ti − cos ti−1 si −π2 ≤ t ≤ 0
cos ti−1 − cos ti si 0 < t ≤ π2
.
Supongamos que existe ti−1, ti ∈ P tal que, 0 ∈ (ti−1, ti). Entonces
|(cos ti − cos ti−1, ti − ti−1)|o = sup {(cos ti − cos ti−1, ti − ti−1), (0, 0)}
+ sup {(cos ti−1 − cos ti, ti−1 − ti), (0, 0)}
= (h (i, t) , ti − ti−1)
= (| cos ti − cos ti−1|, ti − ti−1) ,
donde
h (i, t) =

cos ti − cos ti−1 si ti < |ti−1|
cos ti−1 − cos ti si ti ≥ |ti−1|
.
Así,
sup
P∈P[a,b]
n∑
i=1
|f(ti)− f(ti−1)|o = sup
P∈P[a,b]
n∑
i=1
(| cos ti − cos ti−1|, ti − ti−1)
= sup
P∈P[a,b]
(
n∑
i=1
| cos ti − cos ti−1|, π
)
=
(
V
π
2
−π
2
(cos t,R), π
)
.
Por lo tanto, f es de variación acotada con respecto al orden y
V of
[
−π
2
,
π
2
]
=
(
V
π
2
−π
2
(cos t,R), π
)
.
20
2.3. En espacios de Hilbert
En está subsección analizaremos la descomposición de Jordan para fun-
ciones fuertemente de variación acotada con valores en un espacio de Hilbert.
De�nición 2.3.1. Sea H un espacio de Hilbert ordenado sobre R y sea x0
�jo en H. Diremos que x, y ∈ H están relacionados con respecto a x0, y
emplearemos la notación
x ∼x0 y,
si 〈x− y, x0〉 = 0.
Se observa que la relación anterior es de equivalencia, por lo que, para
cada x0 ∈ H, podemos dividir H en clases disjuntas.
Si x0 es 0, se tiene que si cualesquiera dos elementos x, y ∈ H están
relacionados con respecto a 0, entonces la única clase de equivalencia es H.
Para cada x0 6= 0 en H y α ∈ (0, ‖x0‖) denotemos
(2.3) Hx0+ = {x ∈ H : 〈x, x0〉 ≥ α ‖x‖} .
Proposición 2.3.2. Hx0+ es un cono extendible distinto del trivial de H.
Demostración. Sa h0 ∈ X∗ de�nida como
(2.4) h0(x) = 〈x, x0〉 ,
Ya que x0 6= 0, y el funcional h0 no es idénticamente cero. Veamos que
Hx0+ es un cono: es cerrado ya que si x ∈ Hx0+, entonces existe x0 ∈ Hx0+
tal que si xn → x y 〈xn, x0〉 ≥ α‖x0‖ para todo n ∈ N, por la continuidad
del producto interior se tiene que 〈x, x0〉 ≥ α‖x‖. Si x y y ∈ Hx0+, se tiene
h0(x+ y) = h0(x) + h0(y) ≥ α‖x‖+ α‖y‖ = α(‖x‖+ ‖y‖) ≥ α‖x+ y‖,
entonces x+ y ∈ Hx0+. Si x y −x ∈ Hx0+, entonces
α ‖x‖ ≤ 〈−x, x0〉 ≤ −α ‖x‖ ,
por lo tanto x = 0. También, si λ ≥ 0 y x ∈ Hx0+, tenemos que 〈λx, x0〉 ≥
α ‖λx‖ . Por el Teorema 1.1.14, es claro que Hx0+ es un cono extendible.
Se dice que f ∼x0 [fx01 − fx02] si para cada t ∈ [a, b] se tiene
〈f(t)− [fx01(t)− fx02(t)] , x0〉 = 0.
21
Teorema 2.3.3. Sea H un espacio de Hilbert sobre R, para cada x0 6= 0 en
H, consideremos el cono extendible Hx0+. Si f : [a, b] → H es una función
fuertemente de variación acotada, entonces, existen fx01, fx02 : [a, b] → H
funciones crecientes tales que f ∼x0 [fx01 − fx02] .
Demostración. Tomamos h0 ∈ H∗ de�nido en (2.4). Por el Lema 2.1.3 h0◦f :
[a, b] → R es de variación acotada. Por lo tanto, existen g1, g2 : [a, b] → R
crecientes tales que
(2.5) h0 ◦ f = g1 − g2.
De�namos fx01 (t) =
g1(t)x0
‖x0‖2 y fx02 (t) =
g2(t)x0
‖x0‖2 para cada t ∈ [a, b]. Sean
t1, t2 ∈ [a, b] tales que t1 ≤ t2, como g1 es creciente se tiene 0 ≤ g1 (t2)−g1 (t1),
entonces tenemos que
fx01 (t2)− fx01 (t1) =
[g1 (t2)− g1 (t1)]x0
‖x0‖2
∈ Hx0+.
Entonces fx01 es una función creciente, de manera similar se demuestra que
fx02 es creciente.
Por otro lado, considerando que h0 ◦ f = g1 − g2 :
Sea t ∈ [a, b] entonces (h0 ◦ f) (t) = 〈f (t) , x0〉
= [g1 (t)− g2 (t)]
1
‖x0‖2
〈x0, x0〉
=
〈[
g1 (t)
‖x0‖2
− g2 (t)
‖x0‖2
]
x0, x0
〉
= 〈fx01 (t)− fx02 (t) , x0〉 .
Entonces, obtenemos
f ∼x0 [fx01 − fx02] .
Por el Lema de Riesz y tomando x0 ∈ H asociado con el funcional h0,
tenemos el siguiente corolario.
Corolario 2.3.4. Sea H un espacio de Hilbert y sea h0 ∈ H∗, existe un cono
extendible Hh0+, en H tal que si f : [a, b]→ H es una función fuertemente de
variación acotada, entonces fh01, fh02 : [a, b] → H son funciones crecientes
tal que, f ∼x0 [fh01 − fh02] .
22
Observación 2.3.5. Ya que g1 y g2 pueden ser V
t
a (h0◦f,R) y V ta (h0◦f,R)−
h0 ◦ f (t) , respectivamente, entonces tenemos
(2.6) fh01 (t) = V
t
a (h0 ◦ f,R)x0
y
fh02 (t) = (−h0 ◦ f) (t) + V ta (h0 ◦ f,R)x0.
Esto abre la posibilidad de de�nir a (2.6) como la función variación de f con
respecto a x0.
El Teorema 2.3.3 es una generalización del Teorema de descomposición
de Jordan, ya que:
Observación 2.3.6. El caso H =R. El cono Hx0+ asociado a cada x0 ∈ R,
x0 > 0, tiene la forma
[0,∞) = Hx0+ = {x ∈ R : xx0 ≥ α |x|} .
Así f ∼x0 [fx01 − fx02] ya que para cada t ∈ [a, b] se tiene
(f(t)− [fx01(t)− fx02(t)])x0 = 0, entonces f(t) = fx01(t)− fx02(t).
Ejemplos 2.3.7. Sea [a, b] = [−π
2
, π
2
],H =R2, x0 = (1, 1), y α = 1 ∈(
0,
√
2
)
. Se sigue que el cono asociado a x0 es
Hx0+ =
{
(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 ≥
√
x21 + x
2
2
}
=
{
(x1, x2) ∈ R2 : x1, x2 ≥ 0
}
= R2+.
Por la observación 2.1.4, la función f : [−π
2
, π
2
] → R2 dada por f(t) =
(cos t, t) es de variación acotada de [−π
2
, π
2
] a H, por lo tanto la función
(h0 ◦ f) (t) = 〈f (t) , x0〉
= cos t+ t,
es de variación acotada de [−π
2
, π
2
] a R. Ya que
V t−π
2
(h ◦ f ;R) =
∫ t
−π
2
|1− sinu|du
= t+ cos t+
π
2
,
23
entonces g1 (t) = t+ cos t+
π
2
y g2 (t) =
π
2
. Por lo tanto
f1 (t) =
1
2
(
t+ cos t+
π
2
, t+ cos t+
π
2
)
y
f2 (t) =
1
2
(π
2
,
π
2
)
,
las cuales son funciones crecientes con respecto a Hx0+. Observamos que
efectivamente:
〈f(t)− [f1(t)− f2(t)], (1, 1)〉 = 〈(−
t
2
+
cos t
2
,
t
2
− cos t
2
), (1, 1)〉 = 0,
por lo cual
(cos t, t) ∼(1,1) [f1 (t)− f2 (t)] .
Si tomamos en cuenta el cono H+ = {(x1, x2) ∈ R : x1, x2 ≤ 0}, es fácil ver
que f1 no es creciente con respecto a este cono.
Lema 2.3.8. Sea (H,Hx0+) un espacio de Hilbert ordenado con un cono
Hx0+ de�nido en (2.3), con x0 6= 0, y sea h0 (x) = 〈x, x0〉. Si f es una
función creciente, entonces h0 ◦ f : [a, b] → R es creciente y satisface que
f ∼x0 (h0 ◦ f) (t)x0.
Demostración. Ya que f es creciente, por el Teorema 2.1.7, f es fuertemente
de variación acotada y por el Teorema 2.3.3 existen fx01 y fx02 crecientes tal
que, f ∼x0 [fx01 − fx02] . Ya que podemos elegir
fx01 (t) = V
t
a (h0 ◦ f,R)x0
y
fx02 (t) =
[
V ta (h0 ◦ f,R)− h0 ◦ f (t)
]
x0,
tenemos
f ∼x0 (h0 ◦ f) (t)x0.
Si t1 < t2, entonces:
(h0 ◦ f) (t2)− (h0 ◦ f) (t1) = 〈f(t2)− f(t1), x0〉 ≥ α ‖f(t2)− f(t1)‖ ≥ 0,
por lo tanto h0 ◦ f es creciente.
24
Proposición 2.3.9. Sea H un espacio de Hilbert, sea Hx0+, con x0 6= 0, el
cono extendible de�nido en (2.3). Existe f : I → H fuertementede variación
acotada tal que, la única posibilidad de satisfacer f ∼x0 (f1 − f2), donde f1
y f2 son crecientes, es que f1 ∼x0 f2.
Demostración. Sea x1 ∈ H con x1 6= 0 tal que 〈x1, x0〉 = 0. Sea λ : [a, b]→ R
una función creciente y f(t) = λ(t)x1. Entonces f es una función fuerte-
mente de variación acotada en H. Supongamos que existen f1, f2 funciones
crecientes tal que f ∼x0 [f1 − f2]. Por Lema 2.3.8, tenemos
(2.7) f1(t) ∼x0 (h0 ◦ f1) (t)x0 y f2(t) ∼x0 (h0 ◦ f2) (t)x0,
la cual es equivalente a
〈fi(t), x0〉 = (h0 ◦ fi) (t)‖x0‖2, i = 1, 2.
Así:
0 = 〈f(t)− (f1(t)− f2(t)), x0〉
= 〈λ(t)x1 − [(h0 ◦ f1) (t)− (h0 ◦ f2) (t)]x0, x0〉
= [(h0 ◦ f1) (t)− (h0 ◦ f2) (t)] ‖x0‖2.
Por lo tanto: (h0 ◦ f1) (t) = (h0 ◦ f2) (t), para todo t ∈ [a, b]. Por (2.7), con-
cluimos que
f1 ∼x0 f2.
2.4. En espacios normados
En la sección 2.3 se demuestra que las funciones fuertemente de variación
acotada con valores en un espacio de Hilbert se puede descomponer como
la diferencia de dos funciones crecientes. Pero ¾qué ocurre en general en
cualquier espacio normado?, a continuación damos algunos resultados sobre
espacios normados particulares.
Proposición 2.4.1. Si (X,X+) es un espacio normado ordenado, donde
X+ es un cono extendible, pero no generador, entonces existe al menos una
función fuertemente de variación acotada f : [a, b] → X la cual no es la
diferencia de dos funciones crecientes.
25
Demostración. Sea x0 ∈ X tal que no pertenece a X+ − X+. De�namos
f : [a, b]→ X como
f(x) =

2x0, si x = b,
x0, si x = a,
0, si x ∈ (a, b).
Es claro que f es fuertemente de variación acotada. Supongamos que
existen g, h : [a, b]→ X funciones crecientes tales que
f = g − h.
Notemos que
x0 = f(b)− f(a) = (g(b)− g(a))− (h(b)− h(a)).
Esto es una contradicción, ya que el término de la derecha pertenece a X+−
X+ y por hipótesis x0 no pertenece.
El siguiente ejemplo muestra un espacio normado cuyo cono es extendible,
pero no generador.
Ejemplos 2.4.2.
Sean X = R2 y X+ = {(x, 0) : x ≥ 0}. X+ es un cono extendible en R2 y no
es generador.
En algunos casos podemos obtener la descomposición de Jordan de fun-
ciones fuertemente de variación acotada.
Teorema 2.4.3. Sea X = C([c, d],R) con la norma uniforme, y X+ = {f ∈
C([c, d],R) : f(s) ≥ 0, para cada s ∈ [c, d]} un cono. Si T : [a, b] →
C([c, d],R) es fuertemente de variación acotada, entonces existen dos fun-
ciones crecientes G,H : [a, b]→ C([c, d],R) tales que T = G−H.
Demostración. Sean T : [a, b]→ C([c, d],R) fuertemente de variación acotada
y f0 : [c, d]→ R continua tal que ‖f0‖ ≥ 1.
De�namos G y H como
G(t) = V ta (T,X)f0 y H(t) = G(t)− T (t),
por lo que T = G−H. Si a ≤ t1 < t2 ≤ b, podemos escribir
G(t2) = V
t2
a (T,X)f0
= V t1a (T,X)f0 + V
t2
t1 (T,X)f0
= G(t1) + V
t2
t1 (T,X)f0.
26
Esto implica que
G(t2)−G(t1) = V t2t1 (T,X)f0 ∈ X+.
Por lo tanto G es creciente.
Resta probar que H es creciente. Sean a ≤ t1 < t2 ≤ b.
H(t2)−H(t1) = (G(t2)−G(t1))− (T (t2)− T (t1)).
Sea s ∈ [c, d]. Entonces
(T (t2)− T (t1))(s) ≤ ||(T (t2)− T (t1))||∞
≤ V t2t1 (T,X)
≤ (V t2t1 (T,X)f0)(s).
Por lo tanto
H(t2)−H(t1) ∈ X+.
Teorema 2.4.4. Sea (X,X+) un espacio normado ordenado, donde X+ es
extendible y sea X∗+ = {s ∈ X∗ | s(x) ≥ 0, para todo x ∈ X+}. Si f : [a, b]→
X∗ es fuertemente de variación acotada, entonces existen g, h : [a, b] → X∗
crecientes tales que f = g − h.
Demostración. Por hipótesis existe x∗0 ∈ X∗ y c > 0 tal que, para cada
x ∈ X+,
||x|| ≤ cx∗0(x).
De�namos g, h : [a, b]→ X∗ como
g(t) = V ta (f,X
∗)cx∗0 y h(t) = g(t)− f(t),
por lo que f = g − h. Si a ≤ t1 < t2 ≤ b, podemos escribir
g(t2) = V
t2
a (f,X
∗)cx∗0 = V
t1
a (f,X
∗)cx∗0 + V
t2
t1 (f,X
∗)cx∗0
= g(t1) + V
t2
t1 (f,X
∗)cx∗0.
Esto implica que
g(t2)− g(t1) = V t2t1 (f,X
∗)cx∗0.(2.8)
Como
V t2t1 (f,X
∗)cx∗0(x) ≥ 0,
27
para todo x ∈ X+, entonces, por (2.8) se tiene que g(t2) − g(t1) ∈ X∗+, es
decir g es creciente.
Resta probar que h es creciente. Sean a ≤ t1 < t2 ≤ b. Entonces
h(t2)− h(t1) = V t2t1 (f,X
∗)x∗0 − (f(t2)− f(t1)).
Sea x ∈ X+, entonces
(f(t2)− f(t1))(x) ≤ ||f(t2)− f(t1)||X∗ ||x|| ≤ ||f(t2)− f(t1)||X∗cx∗0(x).
Así
(f(t2)− f(t1))(x) ≤ (V t2t1 (f,X
∗)cx∗0)(x).
Por lo tanto
h(t2)− h(t1) ∈ X∗+.
Así f = g − h.
28
Conclusiones
Los resultados principales de la tesis son los siguientes:
Toda función fuertemente de variación acotada con valores en un es-
pacio de Hilbert se representa como la diferencia de dos funciones cre-
cientes bajo una relación de equivalencia (Teorema 2.3.3).
Se demuestra que dado un espacio normado donde X+ no es un cono
generador, la descomposición de Jordan para funciones fuertemente de
variación acotada no se satisface (Proposición 2.4.1).
La descomposición de Jordan de funciones fuertemente de variación
acotada con valores en el espacio de las funciones continuas (Teorema
2.4.3).
La descomposición de Jordan de funciones fuertemente de variación
acotada con valores en el espacio dual (Teorema 2.4.4).
Además, en la sección 2.2 se de�ne el concepto de variación acotada res-
pecto al orden para funciones con valores en un espacio de Riesz y se demues-
tra que cualquier función de variación acotada respecto al orden se escribe
como la diferencia de dos funciones crecientes (Teorema 2.2.7).
Teniendo como base los resultados de este trabajo de tesis, algunos tra-
bajos futuros son:
Estudio entre las teorías modernas de integración y los resultados de la
tesis.
Extender algunos teoremas clásicos del análisis funcional con respecto
a la descomposición de Jordan para funciones valuadas en espacios
normados, entre estos estudiar los teoremas de Helly.
29
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