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ECUACIONES DE RICATTI Y BERNOULLI
11 de octubre de 2022
Ecuaciones diferenciales
0.1. Introducción
El presente documento explica paso a paso los métodos de Ricatti y Ber-
noulli empleados para resolver un tipo de ecuación diferencial.
Jacopo Francesco Riccatti
(Venecia 1676-Treviso, 1754) Matemático italiano. Contribuyó notable-
mente a la difusión de las teoŕıas de Newton y llevó a cabo diversas investi-
gaciones sobre problemas de hidrodinámica. Sus estudios sobre las ecuaciones
diferenciales le llevaron a encontrar una solución particular para un determi-
nado tipo de ecuaciones, conocidas como ecuaciones de Ricatti.
Daniel Bernoulli
Matemático suizo nacido el 8 de Febrero de 1700 y finado el 17 de Marzo
de 1782. Miembro de la familia Bernoulli que dio al mundo once grandes
matemáticos, a lo largo de cuatro generaciones y quienes contribuyeron de
forma notable a la clasificación de las ecuaciones diferenciales y a su reduc-
ción a cuadraturas.
Daniel Bernoulli estudió medicina en Suiza y Alemania, obteniendo el
t́ıtulo en 1724. En el mismo año publica parte de sus investigaciones ma-
temáticas y un año después es nombrado profesor de matemáticas de la Uni-
versidad de San Petersburgo.
0.2. Ecuaciones diferenciales de Ricatti
Francesco Ricatti, diseñó y estudió la ecuación diferencial del tipo
dy
dx
= q1(x) + q2(x)y + q3(x)y
2 (1)
Euler propuso una solución a dicha ecuación hasta 1790. Veamos como ocu-
rrió. Suponga que se conoce una solución particular y1 de la ecuación (1).
Probemos que si se realiza la sustitución:
FCE 1 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
y = y1(x) +
1
v(x)
(2)
entonces la ecuación (1), se transforma en la ecuación diferencial lineal de
primer orden:
dv
dx
= −(q2 + 2q3y1)v − q3 (3)
Para verificar lo anterior debemos empezar suponiendo que y = y1(x) +
1
v(x)
es solución de la ecuación (1). Es necesario derivar y, para sustituir los datos
en (1).
y = y1 +
1
v
(4)
y′ = y′1 −
1
v2
v′ (5)
Es momento de realizar las sustituciones. En la expresión (1), coloquemos y
y y′:
y′1 −
1
v2
v′ = q1(x) + q2(x)
[
y1 +
1
v
]
+ q3(x)
[
y1 +
1
v
]2
(6)
y′1 −
1
v2
v′ = q1(x) + q2(x)y1 + q2(x)
1
v
+ q3(x)
(
y21 + 2y1
1
v
+
1
v2
)
(7)
y′1 −
1
v2
v′ = q1(x) + q2(x)y1 + q2(x)
1
v
+ q3(x)y
2
1 + q3(x)2y1
1
v
+ q3(x)
1
v2
(8)
Recuerde que y1 es solución de (1), entonces y
′
1 = q1(x) + q2(x)y1 + q3(x)y
2
1.
Cancelando dichos términos, en ambos lados de la ecuación (8), se obtiene:
− 1
v2
v′ = q2(x)
1
v
+ 2q3(x)y1
1
v
+ q3(x)
1
v2
(9)
Multiplicamos ambos lados por v2
−v′ = q2(x)v + 2q3(x)y1v + q3(x) (10)
FCE 2 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
No olvide que queremos llegar a la expresión (3). En primer lugar, factorice-
mos v:
−v′ = (q2(x) + 2q3(x)y1)v + q3(x) (11)
Ahora, multiplicamos por −1:
v′ = −(q2 + 2q3y1)v − q3 (12)
Queda demostrado que satisface la ecuación (3).
Es evidente que la ecuación resultante es lineal con respecto a v(x). Du-
rante el proceso de solución de la ecuación de Ricatti, se resolvera la ecuación
lineal (12), de manera que se obtendrá a v(x). Posteriormente y para finali-
zar, dicho valor será sustituido en la igualdad (2).
Ejemplo 0.2.1. Resuelve la ecuación de Ricatti
dy
dx
=
1
x2
− y
x
+ y2 (13)
conociendo la solución particular y1(x) =
1
x
SOLUCIÓN:
Sin duda, la ecuación planteada es de Ricatti, pues tiene la forma
dy
dx
= q1(x) + q2(x)y + q3(x)y
2 (14)
Para la solución, se empieza suponiendo que y = y1 +
1
v
es la solución de
(13). En este caso y =
1
x
+
1
v
. Calculemos su derivada:
y′ =
1
x2
− 1
v2
v′ (15)
Sustituimos lo anterior en (13):
FCE 3 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
dy
dx
= − 1
x2
− y
x
+ y2
− 1
x2
− 1
v2
v′ = − 1
x2
−
1
x
+ 1
v
x
+
(
1
x
+
1
v
)2
− 1
v2
v′ = −
v+x
vx
x
+
(
1
x
+
1
v
)2
− 1
v2
v′ = −v + x
vx2
+
(
1
x
+
1
v
)2
− 1
v2
v′ = − 1
x2
− 1
xv
+
1
x2
+
2
xv
+
1
v2
− 1
v2
v′ =
1
xv
+
1
v2
Si la ultima ecuación la multiplicamos por v2, se reduce a −v′ = v
x
+ 1, o
bien
v′ +
1
x
v = −1 (16)
Tenemos entonces una ecuación lineal de primer orden, cuya solución requie-
re de
µ = e
∫
1
xdx = eln(x) = x (17)
Si ahora multiplicamos la ecuación (16) por µ resulta:
xv′ + v = −x (18)
es decir,
(xv)′ = −x (19)
Hace falta integrar y despejar:
FCE 4 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
∫
(xv)′dx =
∫
(−x)dx
xv = −x
2
2
+ k
v = −x
2
+ kx−1
Finalmente, la solución es
y =
1
x
+
1
−x
2
+ kx−1
(20)
Problema 1. Resuelve el siguiente ejercicio
y
′
= 1 + x2 − 2xy + y2 , y1(x) = x
Solución: y = 1
c−x + x.
FCE 5 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
0.3. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
a0(x)y
′ + a1(x)y = f(x)y
r, r 6= 0, 1 (21)
se denomina ecuación Diferencial de Bernoulli.
Es claro que, si r = 0, 1, entonces tenemos una ecuación lineal de primer
orden, caso ya tratado.
Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli
La ecuación
a0(x)y
′ + a1(x)y = f(x)y
r, r 6= 0, 1 (22)
se puede convertir en una ecuación diferencial lineal. Veamos el proceso.
La mecánica de solución, sirve en cualquier ecuación del mismo tipo.
Aśı que puede repetir los pasos sin problemas.
En primer lugar, se multiplica la ecuación diferencial por y−r y se obtiene:
a0(x)y
−ry′ + a1(x)y
1−r = f(x) (23)
Ahora se propone un cambio de variable:
u = y1−r (24)
Es necesario derivar u con respecto a x.
u′ = (1− r)y−ry′ (25)
de donde se obtiene
1
1− r
u′ = y−ry′ (26)
El propósito ahora es sustituir las expresiones (26) y (24) en (23). Observe
la transformación:
FCE 6 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
a0(x)
1− r
u′ + a1(x)u = f(x) (27)
Ésta última expresión es una ecuación diferencial lineal para u en función de
x, cuya solución ya fue abordada. Una vez obtenida u, finalmente se sustituye
en el cambio original u = y1−r.
Nada como un ejemplo, para aclarar dudas.
Ejemplo 0.3.1. Resuelva la ecuación diferencial de Bernoulli.
y′ + y = xy2 (28)
Sin duda alguna se trata de una ecuación de Bernoulli, pues tiene la forma
de la ecuación (21), donde r = 2. Según lo descrito en la solución, se debe
multiplicar ambos lados de la ecuación por y−2
y−2(y′ + y) = (xy2)y−2 (29)
por ende
y−2y′ + y−1 = x (30)
En este punto se hace el cambio de variable
u = y1−r = y−1 (31)
Resulta importante derivar con respectoa x
u′ =
d
dx
y−1 = −y−2y′ ⇒ y−2y′ = −u′ (32)
Ahora realicemos las sustituciones u = y−1 y y−2y′ = −u′ en la ecuación (30)
y−2y′ + y−1 = x ⇒ −u′ + u = x ⇒ u′ − u = −x (33)
Como ya se mencionó, se llegó a una ecuación lineal de primer orden
u′ − u = −x (34)
Es bien sabido que para su solución es necesario encontrar un factor de
integración µ, cuya fórmula es:
FCE 7 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
µ(x) = e
∫
p(x)dx = e−
∫
dx = e−x (35)
Se multiplica la igualdad (34) por µ(x)
e−x[u′ − u] = −xe−x (36)
entonces
(e−xu)′ = −xe−x (37)
Integramos en ambos lados de la ecuación
e−xu = −
∫
xe−xdx+K (38)
La integral de la derecha, obvio es un integral por partes.
w = x, dt = e−x (39)
dw = dx, t = −e−x (40)
en consecuencia∫
xe−xdx = −xe−x +
∫
e−xdx+ k = −xe−x − e−x +K = (41)
De manera que la ecuación (38) se escribe como
e−xu = xe−x + e−x +K = e−x(x+ 1) +K (42)
Aśı pues u = x+ 1 +Kex. Finalmente, nos remitimos al cambio de variable
dado en la igualdad (31) u = y−1. Con ello obtenemos y−1 = x + 1 + Kex o
en su defecto
y =
1
x+ 1 +Kex
(43)
Problema 2. Resuelve la siguiente ecuación de Bernoulli (vea [3, pág. 58] )
x2y′ − xy = x−7y
1
2
Solución: y
1
2 = − 1
17
x−8 + cx
1
2
FCE 8 Otoño 2022
Ecuaciones diferenciales
Problema 3. Resuelva la ecuación de Bernoulli considerando (vea [3, págs.
53-57] ) a x como función de y:
y2dx+ (xy − x3)dy = 0
Solución: x2 =
3y
2 + cy3
FCE 9 Otoño 2022
Bibliograf́ıa
[1] Canek. Recuperado el 29 de Agosto de 2018, de http://canek.uam.mx/
[2] Ecuaciones diferenciales deBernoulli Recuperado el 29 de Agosto
de 2018, de http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/
ImpBernoulli.pdf
[3] Ernesto Espinosa H., Ignacio Canals N., et al. (2010). Ecuaciones dife-
renciales ordinarias. México: Reverté
[4] William E. Boyce, Richard C. Diprima. (2003). Ecuaciones diferenciales
y problemas con valores en la frontera(4a ed.). México: Limusa wiley.
[5] Canal de youtube del profesor Genaro Luna Carreto. Recuperado el 11 de
octubre de 2022, https://www.youtube.com/watch?v=-RswpJTaTmw
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