1383-Escuela-Superior-de-IngenierIa-MecAnica-y-ElEctrica--ESIME--Unidad-Culhuacntesis-Febrero-2010-1292564775

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y 
ELÉCTRICA 
 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E 
INVESTIGACIÓN 
 
UNIDAD CULHUACAN 
 
 
 
“ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE 
SEGUNDO ORDEN CON RETARDO: 
APLICACIÓN A SISTEMAS DE 
ALTO ORDEN” 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE 
INGENIERÍA EN MICROELECTRÓNICA 
 
 
 
PRESENTA: 
ING. OMAR ARID GONZÁLEZ NÁJERA 
 
 
DIRECTOR DE TESIS 
DR. BASILIO DEL MURO CUÉLLAR 
 
 
 
 MEXICO, D.F. JUNIO DEL 2009 
 
 
Agradecimientos 
 
 
 
A mis padres por el apoyo moral y económico brindado durante todo el 
tiempo que duraron mis estudios, en especial a mi maestra de toda la vida 
por darme todo su apoyo hasta el día de su muerte, gracias mamá!!! 
 
 
A mis hermanos por su confianza y por su interés. 
 
 
A mi esposa por su comprensión, cariño y apoyo. 
 
 
A mi asesor por su tiempo, sus consejos y por la oportunidad de realizar la 
Maestría. 
 
 
A CONACYT por el apoyo económico. 
 
 
A todos los profesores de la SEPI-UC por brindarme sus conocimientos. 
 
A todos mis compañeros. 
 
 
“La ignorancia es el peor de los males de una nación”. Raquel Nájera Segura 
(1950 -2008). 
 
“La Técnica al servicio de la Patria”. 
 
 
 
ii
Índice general
Resumen V
Abstract VII
Introducción IX
1. Estado del Arte 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Aproximaciones de Padé y Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Propuesta de Normey-Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Propuesta de Seshagiri et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. La solución de Pedro Albertos et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Preliminares 15
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Lugar Geométrico de las Raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Estabilización de sistemas de segundo orden 23
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Aproximando el retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4. Condiciones para la estabilidad sin aproximar el retardo. . . . . . . . 30
3.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii
iv ÍNDICE GENERAL
4. Reducción de sistemas de alto orden 39
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1. Aproximación del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2. Aproximación de las constantes de tiempo positivas
del numerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Estrategias de Control 47
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Esquema Predictor-Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4. Esquema Predictor-Observador Modi�cado . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. Conclusiones y Perspectivas 57
I Anexos 61
Resumen
Este trabajo de tesis se enfoca en la estabilización y el control de cierto tipo de
sistemas de segundo orden con retardo, los cuales tienen, además del término retardo,
un polo estable y un polo inestable. Se presenta un primer resultado aproximando el
retardo por la expansión en serie de Taylor. En un segundo resultado (el principal),
se presentan las condiciones necesarias y su�cientes para la estabilización de los sis-
temas aquí planteados mediante la retroalimentación estática de la variable de salida.
Una de las motivaciones para trabajar sistemas de segundo orden es que sistemas
de alto orden con un polo inestable pueden ser reducidos a los sistemas de segundo
orden abordados en este trabajo. Usando este hecho, se realiza la aplicación de los
resultados anteriores a sistemas de alto orden reduciendo su modelo. Para mejorar el
desempeño de los sistemas antes descritos se plantea el uso de un esquema Predictor-
Observador con la implementación de un controlador de tipo Proporcional-Integral
(PI). Se propone también una modi�cación al esquema Predictor de Smith de manera
tal que ciertos sistemas que no cumplen con la condición de estabilidad, puedan ser
llevados a condiciones que permitan la aplicación de las estratégias aquí propuestas.
v
vi RESUMEN
Abstract
The main objective of this work is the stabilization and control of some kind of
second-order systems with time delay. We present a �rst result by approximating the
delay by Taylor series expansion. As a main result, necessary and su¢ cient conditions
or given for the stabilization of the system by static output feedback. To improve
the performance of the stabilized systems described above, we propose the use of a
Predictor-Observer schema to implement a Proportional-Integral (PI) controller. It
is also proposed a modi�ed schema so that certain systems that do not meet the
condition of stability can be brought to conditions allowing the implementation of
the strategy proposed here. One motivation for working with systems of second order
plus delay is that high order systems with a unstable pole can be reduced to the
second order systems discussed in this work. Using this fact, the proposed strategy is
applied to high order systems by the way of reduced order model.
vii
viii ABSTRACT
Introducción
En la mayor parte de los procesos industriales se presentan de forma natural
los retardos. Los sistemas con retardos son también llamados sistemas con efecto
secundario o tiempo muerto. Los retardos, presentes frecuentemente en problemas de
control de procesos, pueden originarse por fenómenos como el transporte de material,
lazos de reciclo o bien por la aproximación de sistemas de alto orden mediante sistemas
de primer orden con retardo [1].
Algunos ejemplos donde se pueden encontrar retardos son; en las plantas indus-
triales químicas; como las ollas calorí�cas, tanques de almacenamiento de líquidos y
reactores químicos por etapas. Dispositivos electrónicos; como sistemas de medición,
donde el tiempo de medición no es despreciable en comparación a la constante de
tiempo. En sistemas de muestreo y retención, debido a que estos dispositivos tienen
elementos de almacenamiento, proceso que implica la retención de datos lo que im-
plícitamente induce un retardo.
Diversas soluciones han sido propuestas para tratar sistemas con retardos. Un
método para tratar sistemas lineales estables con retardo, es eliminar el efecto de la
señal de retardo mediante una adecuada retroalimentación. Este método fue presen-
tado por O. J. Smith[2] a �nales de la década de los 50�s. Esta metolología propor-
ciona una estimación "futura" de las salidas para ser incorporada como una función
de control y realimentación. La principal limitación de esta estrategia es que está
restringida a plantas estables.Para superar éste problema, en los últimos 25 años nu-
merosas extensiones y modi�caciones al Predictor de Smith se han propuesto con el
�n de permitir su uso en plantas inestables. Véase, por ejemplo, las obras presentadas
en la década de 1980 por autores como [3] y [4], así como los trabajos de [5], [6], [7],
[8] y [9].
Para analizar los sistemas con retardos se pueden realizar aproximaciones a los
retardos, entre las que destacan: la expansión en serie de Taylor o la aproximación de
Padé del operador de retraso [10]. La idea principal es reconocer que los problemas
analíticos son más complicados en sistemas continuos con retardo que para sistemas
libres de retardos. Si se deseara extender métodos que se aplican a sistemas continuos
libres de retardo a los casos continuos con retardo (donde estos problemas algebraicos
ocurren), otra opción es usar aproximaciones �nitas para el término exponencial e��s.
Otra forma alternativa de trabajar los sistemas con retardo sin la necesidad de
realizar aproximaciones al retardo, se da en el dominio de la frecuencia, gracias al
ix
x INTRODUCCIÓN
Criterio de Estabilidad de Nyquist, el cual mediante el diagrama de Nyquist representa
la evolución del sistema en coordenadas polares al variar la frecuencia desde valores
muy pequeños (cero) hasta 1:
Otra �losofía que se presenta para el análisis de los sistemas con retardo en el
lazo directo, es que se puede realizar una representación discreta del sistema [11], al
utilizar un retenedor ya sea de orden cero o superior, para poder muestrear la señal
en instantes de tiempo exactos. En ésta representación el retardo aparece como un
número n (número entero) de polos en el origen, lo cual nos permite, por ejemplo, re-
alizar el Lugar Geométrico de las Raíces [12] y determinar si el sistema es estabilizable
al realizar una retroalimentación estática de la variable de salida para el caso discre-
to. Si utilizamos un número n grande, el periodo de muestreo sería muy pequeño,
con lo cual, estaríamos analizando prácticamente al sistema en el caso continuo. Se
puede concluir, que si el sistema es estabilizable en el caso discreto (cuando n tiende
a in�nito), puede llegar a ser estable en el caso continuo (ver [11]).
En este trabajo de tesis se dan las condiciones necesarias y su�cientes para la
estabilización de sistemas lineales de segundo orden con retardo por una retroali-
mentación estática de la salida. En un resultado preliminar se realiza la aproximación
del retardo por Taylor y en el resultado principal se realiza el análisis del sistema sin
aproximar el retardo usando un análisis en el dominio de la frecuencia con la ayuda
del criterio de estabilidad de Nyquist.
Nótese que el Predictor de Smith no puede ser usado para esta clase de sis-
temas dado que la inestabilidad del proceso impide una cancelación estable del ope-
rador retardo. Entonces, para mejorar el desempeño obtenido con una simple retroal-
imentación estática de la salida, un esquema inspirado en el Predictor de Smith es
propuesto para estimar la información antes de ser retardada (predicción). Se dan
condiciones necesarias y su�cientes para la existencia de un esquema Predictor. Una
vez diseñado el Predictor, se propone una con�guración tipo Proporcional-Integral
(PI) (ver [13] y [14]). Una motivación adicional para tratar sistemas de segundo or-
den con retardo, es el hecho que sistemas de muy alto orden con un polo inestable
pueden ser reducidos a sistemas de segundo orden con retardo [1]. En este trabajo
de tesis se ilustra la aplicación de los resultados obtenidos para sistemas de segundo
orden con retardo al control de sistemas de alto orden con retardo y un polo inestable.
El trabajo está organizado como sigue. En el primer Capítulo se presentan breve-
mente distintos trabajos referentes al tema de esta tesis y que además sirvieron como
referencia y estudio inicial. En el segundo Capítulo se da una introducción a la teoría
básica necesaria para el mejor entendimiento del desarrollo de la tesis. En el tercer
Capítulo se dan los resultados principales de este trabajo de tesis: condiciones nece-
sarias y su�cientes para la estabilización por retroalimentación estática de la salida
de los sistemas bajo estudio. En el cuarto Capítulo se describe la metodología para
la reducción de sistemas de alto orden con retardo y un polo inestable para obtener
como sistema "equivalente" los sistemas estudiados en este trabajo. En el Capítulo 5
se dan las condiciones para la existencia del esquema predictor propuesto. Se ilustrará
xi
mediante ejemplos la implementación del esquema Predictor-observador con el cual
se mejorará el desempeño de los sistemas con el uso de controladores como el PI.
También se aplica la metodología a los sistemas de alto orden. Además, se mostrará
cómo ciertos sistemas que no cumplen con la condición de estabilidad y consecuente-
mente tampoco con la condición para la existencia del predictor, al aplicar un esquema
Predictor-observador modi�cado, el sistema puede ser llevado a una nueva condición
que garantiza la existencia del predictor. Por último se darán las conclusiones gene-
rales de la Tesis así como perspectivas para posibles trabajos sobre el tema.
xii INTRODUCCIÓN
Capítulo 1
Estado del Arte
1.1. Introducción
Los sistemas con retardo son también llamados sistemas con efecto secundario
o tiempo de retardo. Distintos sistemas o procesos inestables con retardo se encuen-
tran frecuentemente en procesos industriales, procesos químicos, sistemas electrónicos,
económicos, biológicos, etc.[10], provocados generalmente por fenómenos de trans-
porte de material, lazos de reciclo, etc.
Los sistemas con retardo también pueden originarse por la aproximación de un
sistema de alto orden por uno de primer orden con retardo [1].
La presencia de retardos en los lazos de control tiene dos importantes consecuen-
cias:
1. Se complica mucho el análisis y la estabilización de estos sistemas.
2. Es más difícil obtener un control que logre un desempeño satisfactorio.
Los sistemas a tratar en este trabajo de tesis son sistemas inestables de segundo
orden con retardo. En particular, se tratará sistemas con uno de sus dos polos en el
semiplano izquierdo del plano complejo s.
En lo que sigue se hace un breve recorrido por distintas �losofías usadas para
tratar sistemas estables o inestables con retardo.
1.2. El Predictor de Smith
A continuación se describe brevemente el trabajo dado a conocer por O. J. M.
Smith en 1957 [2], el cual fue una importante contribución y el primer intento por
diseñar una estrategia de control para compensar el retardo, lo que hoy en día se
conoce como el modelo de control predictivo. El principio básico de la idea que propone
Smith es relativamente simple como se verá a continuación.
1
2 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
Figura 1.1: Idea básica de Smith.
La Figura 1.1 muestra que el sistema se compone de una función de transferencia
G(s) y un retardo t0: Este elemento t0 es la fuente del problema y lo ideal sería que la
señal fuera medida antes de ser retardada. Sin embargo esto en general no es posible
ya que el retardo esta inmerso en el proceso. Para solucionar esto, Smith propuso un
esquema de predicción usando el modelo matemático del proceso (aquí ilustrado con
un primer orden) con retardo dado por:
G(s)e�t0s =
k
�s+ 1
e�t0s (1.1)
La ganancia y la constante de tiempo en (1.1) son parte de este modelo y pueden
utilizarse para predecir el efecto de la señal de salida del controlador. En condiciones
ideales esto bastaría para predecir la variable antes de que entre el retardo (ver Figura
1.1). Por lo tanto, distintas medidas de control podrían adoptarse sobre la base de
esta predicción. Sin embargo, a partir del esquema predictor en lazo abierto no existe
garantía para una buena predicción de la señal. Smith fue realista y propuso un
esquema de predicción en lazo cerrado (ver Figura 1.2).
Al analizar el esquema de Smith en la Figura 1.2, se observa que cada vez que el
controlador cambia susalida, en un esfuerzo para corregir el error, es inmediatamente
recibida una señal de retroalimentación.
La principal característica del Predictor de Smith es que el retardo se elimina de la
ecuación característica del sistema a lazo cerrado como se puede ver a continuación.
Del esquema que muestra la Figura 1.1 al simpli�car el esquema por álgebra de
bloques obtenemos el esquema mostrado en la Figura 1.3. Si determinamos la función
de transferencia R(s)
Q(s)
al cerrar el lazo A obtenemos:
R(s)
Q(s)
=
Gc
1 +GcG�(s)(1 + e
��s
1 )
(1.2)
1.3. APROXIMACIONES DE PADÉ Y TAYLOR 3
Figura 1.2: Esquema Predictor de la técnica propuesta por Smith.
Donde G�(s) es la representación de la planta en nuestro esquema predictor, Gc
es un controlador y e��s1 es la representación del retardo en el Esquema predictor.
Si ahora utilizamos (1.2) como un solo bloque como lo muestra la Figura 1.4. Al
determinar la función de transferencia de R(s)
Y (s)
al cerrar el lazo obtenemos:
R(s)
Y (s)
=
GcG(s)e��s
1+GcG�(s)(1+e
��s
1 )
1� GcG(s)e��s
1+GcG�(s)(1+e
��s
1 )
=
GcG(s)e
��s
1 +GcG�(s) +GcG�(s)e
��s
1 �GcG(s)e��s
Entonces en la ecuación característica se puede observar que el sistema Predictor-
Observador tiende a ser lo mas parecido a la planta original, el término retardo
desaparecerá de la ecuación característica obteniendo simplemente:
R(s)
Y (s)
=
GcG(s)e
��s
1 +GcG�(s)
Una de las limitaciones de la técnica del Predictor de Smith es que solo aplica para
sistemas que son estables (todos los polos del sistema deben estar en el semiplano
izquierdo del plano complejo "s").
1.3. Aproximaciones de Padé y Taylor
Otra forma para abordar el problema que presentan los retardos es reali-
zando una aproximación de Padé del retardo, esto es, una razón de polinomios N(s)
D(s)
;
cuyo orden depende de qué tanta precisión se desea en la aproxi-
4 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
Figura 1.3: Reducción del lazo A.
Figura 1.4: Reducción de bloques del esquema propuesto por Smith.
1.4. CASO DISCRETO 5
mación, ya que entre más grande sea el orden de esta función, mejor será la aproxi-
mación y se parecerá más al comportamiento dinámico del retardo. Esta es la repre-
sentación de Padé para un sistema de primer orden:
e��s � Nn(s)
Dn(s)
=
1� �
2
s
1 + �
2
s
Además de la aproximación de Padé existe también al menos otra aproximación
al retardo la cual es ocupada en este trabajo de tesis y es la aproximación en series
de Taylor. En esta aproximación se considera la expansión en serie de la función
exponencial, ya que el retardo se puede sustituir por la función exponencial , entonces
el retardo puede ser representado por:
e��s � 1
�s+ 1
Este método es utilizado en este trabajo de tesis y la aproximación en series de
Taylor es propuesta por Skogestad en [1], y se presenta en un Capítulo posterior.
En el siguiente ejemplo se ilustrará la aplicación de ambas técnicas.
Ejemplo. Sea el sistema estable con retardo dado por:
G(s) =
1
s+ 1
e�2s (1.3)
Al realizar la aproximación de Padé de primer orden al retardo, el sistema queda
de la siguiente forma:
G0(s) =
�
1
s+ 1
��
�s+ 1
s+ 1
�
=
�s+ 1
(s+ 1)2
(1.4)
La aproximación de Taylor aplicada al retardo queda de la siguiente manera:
G00(s) =
�
1
s+ 1
��
1
2s+ 1
�
=
1
2s2 + 2s+ 1
(1.5)
La Figura 1.5 muestra la comparación de nuestro sistema con retardo (1.3), el
sistema con aproximación de Padé (1.4) y el sistema con la aproximación de
Taylor (1.5).
1.4. Caso Discreto
Un enfoque que también es adecuado para tratar con este tipo de sistemas es
la representación discreta del proceso, técnica aplicable a sistemas continuos pero
controlados por computadora (ver [11]).
6 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
0 5 10 15
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo
Sistema con retardo
Sistema con aproximación de Taylor
Sistema con aproximación de Padé
Figura 1.5: Comparación entre ambas técnicas.
En esta representación se utiliza un retenedor, generalmente de orden cero, en el
proceso de muestreo. Así mismo se suele considerar un periodo de muestreo T = �=n;
donde � es la magnitud del tiempo de retardo y n un entero. Entonces, al tener una
representación discreta del sistema (función de transferencia en la variable compleja
z), el retardo de tiempo se transforma en n polos en el origen, lo que permite, por
ejemplo, trazar el Lugar Geométrico de las Raíces en el caso discreto.
Nótese que entre mayor sea el entero n; el sistema discreto (con retenedor de
orden cero) se parecerá más al sistema continuo original. Entonces, un análisis en el
sistema discreto con n "grande"permite sacar conclusiones sobre el comportamiento
del sistema discreto (ver [11]): En el siguiente ejemplo se ilustra esta propuesta al
estabilizar un sistema de primer orden con retardo por medio de una retroalimentación
estática de la salida.
Ejemplo. Sea el sistema inestable de primer orden con retardo dado por:
H(s) =
1
s� 0:5e
�1:5s (1.6)
Al discretizar el sistema (1.6) con un retenedor de orden cero y T = 1:5=20
obtenemos la siguiente expresión:
H(z) =
0:07642
z � 1:038z
�20 (1.7)
1.5. PROPUESTA DE NORMEY-RICO 7
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 1.6: Representación discreta del Lugar Geométrico de las Raíces.
Debido al retardo, el sistema muestreado (1.7) tendrá 20 polos en el origen,
entonces al realizar una Retroalimentación estática de la salida se tiene el Lugar
Geométrico de las Raíces como lo muestra la Figura 1.6. De este diagrama se
puede leer que el sistema será marginalmente estable con un valor de ganancia
k = 0:5 y al agregar un valor de " > 0; lo su�cientemente pequeño, existirá una
región de estabilidad dentro del circulo de radio unitario. En la Figura 1.7 se
muestra el sistema continuo que ha sido estabilizado con el valor de ganancia
adecuado, el valor de k = 0:516:
Una de las di�cultades de tratar sistemas con retardo en el enfoque discreto es
que sistemas de alto orden suelen ser difíciles de analizar.
Para el caso particular de la tesis, en el Capítulo 2 se verá un ejemplo, en el cual
se utilizó el enfoque discreto, con el objeto de ver que tan parecido es el valor de
ganancia al cual se llegó en este enfoque, en comparación con el valor de ganancia
determinado en el enfoque continuo.
1.5. Propuesta de Normey-Rico
Normey-Rico en su trabajo [15] presentan una solución sencilla y e�caz para el
control de procesos de primer orden inestables con retardo.
El controlador se basa en una simple modi�cación de la estructura del Predictor
de Smith, que permite hacerle frente a procesos inestables y ajustar el controlador
8 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
0 50 100 150 200
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo
Figura 1.7: Grá�ca del sistema estabilizado.
para un sólido comportamiento del sistema. Comparado con algunos resultados de
otros controladores presentados recientemente en la literatura muestra ventajas sobre
estas estrategias.
Procesos con importantes tiempos muertos o retardos son difíciles de controlar al
utilizar controladores de retroalimentación. Los retardos con compensadores incluyen
un modelo de proceso en la estructura del controlador, a �n de hacer frente al retardo.
El Predicor de Smith fue utilizado para sistemas estables con retardo. Sin embargo,
como se mencionó anteriormente, para sistemas inestables con retardo, el Predictor
de Smith no puede ser utilizado.
El controlador propuesto se muestra en la Figura 1.8. Como puede verse, corres-
ponde a la estructura base de un Predictor de Smith, adicionando un �ltro (Fr(s)).
El modelo nominal del proceso es Pn(s) = Gn(s)e�LnS. Para el modelo de primer
orden inestable con retardo Gn(s) = K=(T � 1); es el modelo libre del retardo. El
controlador principal C(s) es un controlador tradicional PI con un punto de referencia
de ponderación para mejorar el seguimiento y Fr(s) es un �ltro predictor utilizado
para mejorar las propiedades de predicción.
La idea de utilizar un �ltro de predicción[16], es para mejorar la robustez del
Predictor para un sistema estable con retardo. Esta idea se utiliza en los modelos
utilizados en otros controladores que tienen el mismo objetivo.
En primer lugar se considera el controlador PI C(s) = fKc(1 + sTi)g=fTisg sin
punto de referencia de ponderación. Así, el valor nominal de la función de transfe-
rencia en lazo cerrado es:
1.5. PROPUESTA DE NORMEY-RICO 9
Figura 1.8: Estructura de Normey-Rico.
Y (s)
R(s)
=
C(s)Gn(s)e
�Lns
1 + C(s)Gn(s)
=
KcK(1 + sTi)
(Ts� 1)Tis+KcK(1 + sTi)
e�Lns;
donde Ti = T1
�
2 + T1
T
�
y Kc = T1+2TKT1
La condición de estabilidad interna es obtenida si Ceq(s) no elimina el polo ines-
table en el modelo s = 1=T . Como Ceq(s) es:
Ceq(s) =
C(s)
1 + C(s)M(s)
M(s) = K
(1 + sTi)(1 + sT0)
2 � (1 + sT1)2(1 + as)e�Lns
(Ts� 1)(1 + sTi)(1 + sT0)2
con el �n de obtener un sistema estable internamente M(s) no puede tener un polo
en s = 1=T . Por lo tanto, tiene que veri�carse que:
a = T [(1 + T0=T )
2e�Ln=T � 1]
Como puede verse en las expresiones anteriores, el controlador se desacopla total-
mente del punto de referencia y de la respuesta de perturbación. La sintonización de
T0 de�ne la respuesta de rechazo de perturbaciones y T1 la respuesta del punto de
referencia.
10 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
1.6. Propuesta de Seshagiri et al
En su trabajo Seshagiri et al. [17] presentan una solución para el control de sis-
temas inestables de primer orden con retardo mediante dos controladores; tipo PD y
PI.
La estructura propuesta (Figura 1.9) es relativamente fácil de analizar y de sin-
tonizar, proporciona rechazo a perturbación y una respuesta a un punto de referencia.
Para mejorar las condiciones de lazo cerrado, Seshagiri propone una modi�cación
al esquema Predictor de Smith. El esquema está motivado por la modi�cación del
Predictor de Smith propuesto por [5] para la integración de procesos.
Del esquema de control mostrado en la Figura 1.9, donde Ĝp es la planta libre
del retardo, �p es el retardo del sistema y Ĝm y �m representan la parte del esquema
Predictor. GCS es el controlador de seguimiento de referencia, Gcd es el controlador
que estabiliza y contribuye al rechazo de perturbaciones. Seshagiri utiliza un �ltro de
primer orden (Gf ) como el sugerido por [15] en el lazo de retroalimentación para la
predicción de la perturbación y con esto mejorar la robustez del sistema.
En el caso de un modelo ideal de esquema Predictor se tendría que Ĝpe��ps =
Ĝme
�ms, entonces las respuestas para la señal de entrada y perturbación son:
y
yr
=
GcsĜme
��ms
1 +GcsĜm
y
yd
=
(1 +GcsĜm �GcsGfĜme��ms)Ĝme��ms
(1 +GcsĜm)(1 +GcdĜme��ms)
De las ecuaciones antes mostradas se observa que la perturbación es desacoplada
de la respuesta de seguimiento de referencia. A continuación se muestra el diseño de
los dos controladores antes mencionados (Gcs y Gcd). Si consideramos un sistema de
primer orden inestable con retardo:
Gp = Ĝpe
��ps =
kpe
��ps
�ps� 1
Siendo su equivalente en el esquema Predictor:
Gm = Ĝme
��ms =
kme
��ms
�ms� 1
Se considera Gcs como un controlador de tipo PI el cual se muestra a continuación:
Gcs = kc(1 +
1
�is
)
De donde los parámetros kc y �i son obtenidos de la siguiente manera:
kc =
�+ 2�m
km�
; �i =
�2 + 2�m
�m
1.7. LA SOLUCIÓN DE PEDRO ALBERTOS ET AL 11
Figura 1.9: Estructura de Seshagiri Rao y Chidambaram.
La variable � es un parámetro de sintonización para un comportamiento deseado
al cerrar el lazo. Se puede seleccionar el parametro �; teniendo en cuenta que si
seleccionamos un valor pequeño de � proporcionará una respuesta rápida y un valor
grande de � favorecerá la robustez del sistema. Gcd = kd(1 + �ds) es un controlador
tipo PD (Proporcional Derivativo).
Para diseñar el controlador proporcional-derivativo, cualquier método que pueda
estabilizar a la planta inestable de primer orden con retardo, puede ser usado. La
principal ventaja de este método es que no requiere de sintonización de parámetros
ya que están dados por:
kd =
1
km
�
0:533
�m=�m
+ 0:746
�
Para �m=�m � 0:7
kd =
1
km
�
0:49
�m=�m
+ 0:694
�
Para 0:7 < �m=�m � 1:5; donde �d = 0:7
�
�m
�m
�
:
La estabilidad del sistema en lazo cerrado depende totalmente del controlador de
rechazo de perturbación Gcd y los parámetros kd y �d.
1.7. La solución de Pedro Albertos et al
Inicialmente Pedro Albertos y Pedro García en su trabajo [18], proponen realizar
la representación en variables de estado discreta del sistema y así utilizar un estimador
12 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
a la salida, el cual no está diseñado para plantas de fase no mínima. El retardo de
salida de la planta se estima mediante la combinación de los resultados de un �ltro
de respuesta �nita al impulso (FIR) para la entrada del proceso y en la estabilidad
del �ltro para el proceso. Así, para una planta de fase no mínima, el problema de
control se resuelve en dos pasos; en primer lugar, el sistema se estabiliza y luego,
un esquema Predictor de Smith convencional se utiliza para el diseño del control en
general. La estructura propuesta se analiza a �n de demostrar la solidez y estabili-
dad para el control de plantas inestables con grandes retardos. Una muy importante
mejora con respecto a otros métodos es que, en cualquier caso, la sintonización de los
controladores se realiza considerando un modelo libre de retardo en la planta.
Consideremos la representación en variables de estado del siguiente sistema con
retardo a la entrada:
:
x(t) = Acx(t) + bcu(t� �)
y(t) = cx(t)
Donde los valores de las matrices son Ac 2 Rnxn; bc 2 Rnx1; c 2 R1xn, y � 2 R+
que es el retardo, los instantes de muestreo al discretizar nuestro sistema son dados
por: tk = kT ; k 2 L+:El periodo de muestreo es T = tk+1 � tk; además xk = x(kT ):
La representación discreta en variables de estado de la planta será:
xk+1 = Axk + buk�d; yk = cxk:
Donde A = eAcT , y b =
R T
0
eAc�d�bc:
Entonces la función de transferencia del sistema discretizado es:
y(z)
u(z)
= Gp(z) = G(z)z
�d = c(zI � A)�1bz�d = N(z)
D(z)
z�d
En esta estructura de control, como en el basado en el convencional Predictor
de Smith, el controlador K puede ser diseñado con independencia del retardo. Sin
embargo, esta nueva estructura tiene la ventaja de ser estable cuando el proceso de
control es estable o inestable.
La misma equivalencia puede ser mostrada por la simple estimación de la salida
ŷ donde es usada para el control en vez de
�
y . Sin embargo, este grado de libertad
nos permitirá mejorar la robustez y la estabilidad frente a las perturbaciones.
Ahora se propone el siguiente análisis de estabilidad y robustez en lazo cerrado de
las expresiones anteriormente obtenidas:
y =
KGz�d
1 +KG
r +
Gz�d
1 +KG
w +
(Kc�dG�Kc�dGz�d)z�d
1 +KG
w
� KGz
�d
1 +KG
n+
(KFGz�d �KFG)z�d
1 +KG
n
1.8. CONCLUSIONES 13
Figura 1.10: Estructura de Pedro Albertos
u =
K
1 +KG
r +
(KFGz�d �KFG�KG)z�d
1 +KG
w
+
(KFz�d �KF �K)z�d
1 +KG
n
El sistema en lazo cerrado será estable si se puede observar que el estado de
equilibro del error es similar al de un sistema sin retardo. Si observamos la relación
entre ambas podemos ver que la perturbación desaparece.
l��m
z!1
(Kc�dG�Kc�dGz�d) = 0
l��m
z!1
(KFGz�d �KFG) = 0
La condición de robustez y estabilidad es obtenida de la salida de sensibilidad
dada por la función: 



H1 KG1 +KGWm



1
< 1;
Donde H1 = (Fz�d � F � 1):
1.8. Conclusiones
En este Capítulo se mostraron algunos trabajos recientes, los cuales abordan el
problema de los retardos en sistemas estables o inestables. La mayor parte de autores
basan sus trabajos en sistemas de primer orden con retardo. Distintas estructuras
14 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
basadas en el Predictor de Smith fueron mostradas con la intención de estabilizar
el tipo de plantas mostradas y mejorar la robustez por medio de la sintonización de
distintos controladores. Otro enfoque aquí mostrado es representar la planta en su
versión discreta utilizando un retenedor de orden cero y encontrar así las condiciones
deestabilidad para un sistema inestable de primer orden.
Capítulo 2
Preliminares
2.1. Introducción
En el presente Capítulo se repasan bases de la teoría de control, mismas que
ayudarán al lector no especializado en el tema a comprender mejor lo expuesto en
este trabajo de tesis.
Un método que es muy útil para determinar la estabilidad de sistemas lineales
SISO (single-input single-output) es el criterio de Routh-Hurwitz, el cual nos permite
determinar el número de raíces en el semiplano derecho de una ecuación en la variable
compleja "s" como la que se muestra a continuación:
ans
n + an�1s
n�1 + an�2s
n�2 + :::+ a1s+ a0 = 0
De la ecuación anterior, si n = 2; basta que todos los coe�cientes de las raíces sean
positivos para que el sistema sea estable. Sin embargo el criterio de Routh-Hurwitz
representa un método que se puede usar en la situación en que n sea mayor, con el
inconveniente de que pueda llegar a complicarse.
Para sistemas los cuales presentan retardos, el criterio de Routh-Hurwitz no es
útil para determinar la estabilidad. Para estos casos se puede utilizar el análisis en el
dominio de la frecuencia: diagramas de Bode, criterio de estabilidad de Nyquist etc,
(ver por ejemplo [19]).
Si los sistemas no cuentan con retardo, podemos utilizar una técnica grá�ca para
visualizar la trayectoria de las raíces de la ecuación característica al cerrar el lazo con
un valor de ganancia y variar esta entre cero e in�nito. Dicha técnica es la denominada
Lugar Geométrico de las Raíces propuesta por W. R. Evans [12]. En esta tesis se
propone utilizar la técnica del Lugar Geométrico de las Raíces en sistemas donde se
aproxima el retardo por una función racional con polinomios en variable compleja
"s".
15
16 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES
2.2. Lugar Geométrico de las Raíces
Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función
de transferencia en lazo cerrado, determinan la estabilidad relativa y absoluta de
un sistema lineal y en parte su respuesta transitoria. Se debe tener en cuenta que
las propiedades transitorias del sistema también las dan los ceros de la función de
transferencia en lazo cerrado [20].
Se denomina Lugar Geométrico de las raíces al estudio de las trayectorias de las
raíces de la ecuación característica.
La técnica del lugar geométrico de las raíces no está con�nada al estudio de sis-
temas de control en general, el método se puede aplicar al estudio del comportamiento
de las raíces de cualquier ecuación algebraica con un parámetro variable.
Para la construcción del Lugar Geométrico de las Raíces, se deben de tener en
cuenta las siguientes consideraciones mostradas con el siguiente ejemplo:
Ejemplo. Sea el siguiente sistema representado como una función de transferencia:
Y (s)
U(s)
=
(s+ 5)(s+ 3)(s� 2)
(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s� 1)
Al cerrar el lazo con una retroalimentación estática de la salida k negativa
obtenemos la siguiente función de transferencia:
Y (s)
R(s)
=
(s+ 5)(s+ 3)(s� 2)
(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s� 1) + k(s+ 5)(s+ 3)(s� 2)
por lo tanto la ecuación característica que se desprende de la función de trans-
ferencia anterior es:
(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s� 1) + k(s+ 5)(s+ 3)(s� 2) = 0
Las raíces se van desplazando en el plano dependiendo del valor de ganancia que
se esté utilizando. Cuando k = 0, las raíces estarán en su posición original de
lazo abierto marcada en el diagrama de la Figura 2.1 por cruces. Al ir incremen-
tando el valor de la ganancia, las raíces se desplazan siguiendo las trayectorias
señaladas en la Figura 2.1, para terminar, cuando la ganancia tiende a in�ni-
to, ya sea en los ceros de lazo abierto (marcados en el diagrama por pequeños
círculos, o en in�nito. Como se puede observar, en este ejemplo no es posible
estabilizar al sistema con ningún valor de k, ya que una raíz de la ecuación
característica siempre permanece en el semiplano derecho.
En este trabajo de tesis se empleará esta técnica para mostrar algunos resultados.
Cabe mencionar que estas grá�cas pueden ser realizadas en forma automática usando
el paquete computacional Matlab.
2.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 17
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 2.1: Trayectoria de las raíces al cerrar el lazo.
2.3. Criterio de estabilidad de Nyquist
La respuesta en el tiempo de un sistema de control es normalmente difícil de
determinar analíticamente, especialmente para sistemas de orden superior y sistemas
que cuentan con retardo. Es importante darse cuenta de que hay una correlación entre
el desempeño en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de un sistema
lineal, del tal forma que las propiedades en el dominio del tiempo de un sistema se
pueden predecir con base en las características en el dominio de la frecuencia.
El dominio de la frecuencia es también conveniente para mediciones y análisis de la
sensibilidad al ruido del sistema así como en variaciones de los parámetros. El punto
de comienzo para el análisis en el dominio de la frecuencia de un sistema lineal es su
función de transferencia. Sabemos por la teoría de sistemas lineales, que cuando la
entrada de un sistema lineal e invariante con el tiempo es senoidal con cierta amplitud
y cierta frecuencia por ejemplo:
r(t) = Rsen!0t
La salida en estado estable o permanente del sistema, y(t), será sinusoidal con
la misma frecuencia !0, pero muy posiblemente con diferente amplitud y fase ([20]);
esto es:
y(t) = Y sen(!0t+ �)
18 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES
-20
-15
-10
-5
0
5
10
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-1080
-900
-720
-540
-360
-180
0
Ph
as
e 
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 2.2: Diagrama de Bode de un sistema de primer orden inestable.
En donde Y es la amplitud de la onda sinusoidal de salida y � es el desplazamiento
de fase en grados o radianes.
Un grá�co del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo,
mientras que un grá�co frecuencial muestra las componentes de amplitud y fase de
la señal según la frecuencia de operación dentro de un intervalo determinado ([19]).
Esto puede mostrarse en un diagrama de Bode o de Nyquist de la siguiente función
de transferencia Y (s)
U(s)
= 1
s�0:5e
�1:5s (ver Figura 2.2 y Figura 2.3 respectivamente).
El criterio de estabilidad de Nyquist es una herramienta muy útil cuando se es-
tán analizando sistemas que tienen retardos, ya que sería prácticamente imposible
analizarlos mediante el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.
El criterio de Nyquist es un método con base en la respuesta en frecuencia. Es
esencialmente un procedimiento semigrá�co para determinar la estabilidad de los
sistemas de control a lazo cerrado al investigar las propiedades de la traza en el
dominio de la frecuencia.
Especí�camente la traza de Nyquist de L(s) es una grá�ca de L(j!) en coorde-
nadas polares de Im[L(j!)] (la parte imaginaria), contra Re[L(j!)] (la parte real),
cuando ! varía desde �1 hasta 1 (ver Figura 2.3).
El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el funcionamiento de un
sistema de lazo cerrado observando su comportamiento de lazo abierto. El criterio de
estabilidad de Nyquist se puede utilizar para los propósitos de diseño independien-
temente de la estabilidad de lazo abierto. Este criterio debido a H. Nyquist es útil
en ingeniería de control porque permite determinar grá�camente, de las curvas de
2.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 19
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Nyquis t Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
Figura 2.3: Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden inestable.
respuesta de lazo abierto, la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado.
El criterio de Nyquist tiene las siguientes características que lo hacen un método
alternativo atractivo para el análisis y diseño de sistemas de control:
Además de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz,
el criterio de Nyquist también da informaciónsobre la estabilidad relativa de
un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema.
La traza de Nyquist de G(s)H(s) es muy fácil de obtener, especialmente con la
ayuda de una computadora.
La traza de Nyquist de G(s)H(s) da información sobre las características en el
dominio de la frecuencia, tales como el ancho de banda, frecuencia de resonancia
y pico de resonancia.
La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos puros que no se pueden
tratar con el criterio de Routh-Hurwitz, y que son difíciles de analizar con el
método del Lugar Geométrico de las Raíces.
El diagrama de Nyquist es básicamente un diagrama de G(jw) donde G(s) es la
función de lazo abierto de transferencia y w es un vector de frecuencias. En el diagrama
de Nyquist se consideran frecuencias positivas (de cero al in�nito). La operación básica
al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano s al plano F (s).
20 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES
Sea el sistema G(s)H(s) y su función transferencia de lazo cerrado:
Y (s)
R(s)
=
G(s)H(s)
1 +G(s)H(s)
Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica mostra-
da a continuación:
1 +G(s)H(s) = 0
Estén en el semiplano izquierdo del plano s. El criterio de estabilidad de Nyquist
relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto G(jw)H(jw) a la cantidad de
ceros y polos de 1 +G(s)H(s) que hay en el semiplano derecho del plano s.
Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no
pasa por ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F (s).
La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F (s) por
una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues más adelante se
ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.
Del análisis precedente, se puede ver que el sentido en el que se rodea el origen en
el plano F (s) depende de si el contorno en el plano s incluye un polo o un cero. Se
hace notar que la ubicación de un polo o cero en el plano s, sea en la mitad derecha
o izquierda del plano s, no produce ninguna diferencia, pero sí la produce el rodeo de
un polo o un cero. Si el contorno del plano s incluye k ceros y k polos (k = 0, 1, 2,
...), es decir igual cantidad de cada uno, la correspondiente curva cerrada en el plano
F (s) no encierra el origen del plano F (s). Lo dicho anteriormente es una explicación
grá�ca del teorema de representación, que es la base del criterio de estabilidad de
Nyquist.
Aplicación del teorema de la representación al análisis de estabilidad de
sistemas de lazo cerrado
Para analizar la estabilidad de sistemas de control lineal, se hace que el contorno
cerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho del plano s. El contorno consiste
en todo el eje w (desde w = �1 hasta w = +1) y un paso semicircular de radio
in�nito en el semiplano derecho de F (s) (ver Figura 2.4). Este contorno recibe el
nombre de recorrido de Nyquist. (El sentido del mismo es horario.)
El recorrido de Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s y contiene todos
los ceros y polos de 1 + G(s)H(s) con partes reales positivas. (Si no hay ceros de
1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de F (s), no hay polos de lazo cerrado en s y
el sistema es estable). Es necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquist
no pase por ningún polo o cero de 1 +G(s)H(s). Si G(s) tiene un polo o polos en el
origen del plano s, se hace indeterminada la representación del punto s = 0. En esos
casos se evita el origen efectuando un desvío alrededor de él.
2.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 21
Figura 2.4: Recorrido de Nyquist.
Circunscribir el origen por el grá�co 1 + G(jw)H(jw) equivale a hacerlo con el
punto (�1 + j0) por el lugar de G(jw)H(jw) (ver Figura 2.5). Entonces se puede
estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado analizando los rodeos del punto
(�1+ j0) por el lugar de G(jw)H(jw). Se puede determinar la cantidad de giros que
incluyen el punto (�1 + j0) trazando un vector desde el punto (�1 + 0j) hasta el
lugar de G(jw)H(jw), comenzando en (w = �1, pasando por w = 0, y llegando
hasta w = +1) mientras se cuenta la cantidad de rotaciones horarias del vector.
El trazado de G(jw)H(jw) para el recorrido de Nyquist es inmediato. La repre-
sentación del eje negativo jw es la imagen simétrica del eje positivo jw respecto al
eje real. Es decir, el diagrama de G(jw)H(jw) y el de G(jw)H(�jw) son simétricos
respecto al eje real. El semicírculo de radio in�nito se transforma en el origen del
plano GH o en un punto sobre el eje real del plano GH.
Recuérdese del criterio de Cauchy que el número de veces N que el grá�co de
G(s)H(s) rodea al punto �1 es igual al número Z de ceros de 1+G(s)H(s) rodeados
por el contorno de frecuencias menos el número P de polos de 1+G(s)H(s) rodeados
por el contorno de frecuencia (N = Z �P ). Tomando en cuenta esto, debería quedar
claro que:
Los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia de lazo
cerrado
Los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia de lazo
abierto
22 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES
Figura 2.5: Rodeo al punto (-1+j0).
Sea:
Z = P +N
Con:
P = número de polos de lazo abierto (inestables) de G(s)H(s)
N = número de veces que el diagrama de Nyquist rodea al punto (�1 + 0j)
(Los rodeos en sentido horario son positivos, rodeos antihorarios son considerados
negativos.)
Z = número de polos en el semiplano derecho del sistema de lazo cerrado
El criterio de estabilidad de Nyquist establece que para que un sistema sea estable
Z = 0:
2.4. Conclusiones
En este Capítulo se mostraron bases teóricas del control que ayudarán al lector a
comprender mejor el trabajo realizado en este trabajo de tesis. Mediante un ejemplo se
ilustrá la realización del Lugar Geométrico de las Raíces para sistemas que no cuentan
con retardo. Para sistemas que cuentan con retardo, se hace un repaso del análisis
de estabilidad en el dominio de la frecuencia mediante el Criterio de Estabilidad de
Nyquist, mismos que serán utilizados en el siguiente Capítulo.
Capítulo 3
Estabilización de sistemas de
segundo orden
3.1. Introducción
En este Capítulo se plantean dos formas para analizar los sistemas con retardo;
una es realizando una aproximación al retardo y la otra es tomando directamente la
función exponencial como una representación exacta del retardo.
Sabemos que existen distintas aproximaciones para tiempos de retardo, entre las
más conocidas están la aproximación de Padé y la aproximación por series de Tay-
lor. La aproximación de Padé utiliza una razón de polinomios de cierto orden para
aproximar el retardo mientras que la aproximación por Taylor utiliza la expansión
en serie de la función exponencial. Es evidente que entre mayor sea el orden en las
aproximaciones mejor será la aproximación.
Pero aproximaciones de elevado orden dan lugar a sistemas de alto orden, lo que
podría llegar a complicar el análisis del sistema al realizar una retroalimentación
estática de la salida.
Cuando se trabaja con el modelo de retardo en su forma exponencial en el dominio
de Laplace, una forma de analizar los sistemas es mediante un análisis en el dominio de
la frecuencia, con la ayuda del criterio de estabilidad de Nyquist, ya que nos permite
mediante su diagrama, visualizar si el sistema con retardo (sin aproximación), es
estabilizable con una retroalimentación estática de la salida.
En la primera parte del Capítulo se realiza el reemplazo del retardo de tiempo por
una aproximación de Taylor para sistemas de segundo orden. Dicha aproximación está
dada como un polo más del sistema, lo que implica tener sistemas de tercer orden.
Al realizar el Lugar Geométrico de las Raíces para dichos sistemas, se plantea buscar
que exista una región de estabilidad al realizar una retroalimentación estática de la
salida. Entonces, se dan las condiciones para la estabilización de sistemas de tercer
orden por retroalimentación estática de la salida.
En la segunda parte del Capítulose aplica el criterio de estabilidad de Nyquist a
23
24 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Figura 3.1: Esquema del planteamiento del problema
los sistemas de segundo orden con retardo, pero a diferencia de la primera parte, el
retardo no es aproximado. Entonces, se dan las condiciones necesarias y su�cientes
para la estabilidad por retroalimentación estática de la salida.
Por último se darán ejemplos por sección que ilustran los resultados obtenidos por
ambos métodos.
3.2. Planteamiento del problema
Considere la siguiente clase de sistemas lineales una entrada - una salida (SISO)
con retardo:
Y (s)
U(s)
= G(s)e��s =
�
(s� a)(s+ b)e
��s (3.1)
donde U(s) y Y (s) son las señales de entrada y salida respectivamente, � � 0
corresponde al tiempo de retardo y G(s) es una función racional en la variable com-
pleja "s" y considerando a; b > 0.
Considérese una estrategia de control:
U(s) = R(s)� kY (s); (3.2)
Este sistema es el que se muestra en la Figura 3.1, donde k es la acción de control
y produce el sistema en lazo cerrado siguiente:
Y (s)
R(s)
=
G(s)e��s
1 + kG(s)e��s
: (3.3)
El término exponencial e��s en esta expresión complica cualquier análisis al tratarse
ahora de una función trascendente. En este Capítulo se propone una estrategia para
tratar con una clase particular de sistemas inestables de tercer orden (obtenidos al
aproximar el retardo) y otra estrategia para tratar sistemas inestables de segundo
orden con tiempo de retardo.
3.3. APROXIMANDO EL RETARDO 25
3.3. Aproximando el retardo
Como un resultado preliminar, se dan las condiciones para la estabilización de un
sistema de primer orden con retardo mediante una retroalimentación estática de la
salida del tipo:
U(s) = R(s)� kY (s): (3.4)
Considérese el sistema inestable de primer orden con retardo con a > 0,
Y (s)
U(s)
= G(s)e��s =
�
s� ae
��s (3.5)
El resultado esta reportado en [11]. Su demostración es sencilla usando un enfoque
frecuencial o un enfoque discreto como en [11].
Lema 1 [11]Sea el sistema (3.5) y el control proporcional (3.4). Existe una ganancia
k tal que el sistema en lazo cerrado,
Y (s)
R(s)
=
�e��s
s� a+ k�e��s (3.6)
es BIBO (de las siglas en ingles "Bounded Input-Bounded Output"que signi�ca
Entrada acotada-Salida acotada) estable si y sólo si � < 1
a
.
El siguiente resultado es una clase particular de sistemas inestables de tercer orden.
Se propone aproximar el retardo para considerarlo como una función racional.
Considérese el sistema dado por (3.1) y que se reescribe a continuación, donde el
retardo fue sustituido por su aproximación de Taylor, utilizada por S. Skogestad [1],
esto es:
e��s �
1
�
s+ 1
�
=
c
s+ c
(3.7)
Y (s)
U(s)
=
�c
(s� a)(s+ b)(s+ c) (3.8)
donde a; b > 0 y además 1
�
= c:
El nuevo sistema que resulta, es el que se muestra en la Figura 3.2
A continuación se dan las condiciones para la estabilidad del sistema (3.8) al
aplicar una retroalimentación estática de la salida.
Lema 2 Sea el sistema
G(s) =
�c
(s� a)(s+ b)(s+ c) (3.9)
con a; b y c > 0: Existe una ganancia k tal que el sistema (3.9) en lazo cerrado,
26 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Figura 3.2: Esquema con la aproximación de Taylor.
-8 -6 -4 -2 0 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
c b a
Región de estabilidad
Figura 3.3: Lugar Geométrico de las Raíces
Y (s)
R(s)
=
�c
(s� a)(s+ b)(s+ c) + k�c (3.10)
es BIBO, estable si y solamente si 1
c
< 1
a
� 1
b
.
Demostración. Considere el sistema (3.10), cuya ecuación característica del sistema
es (s � a)(s + b)(s + c) + k�c = 0. Un análisis en el Lugar Geométrico de las
Raíces [12] (ver Figura 3.3), nos indica que existe una ganancia que estabiliza al
sistema si y sólo si, existe un punto de ruptura sobre el eje real en el semiplano
izquierdo. Al despejar la ganancia nos queda:
k = �[ (s� a)(s+ b)(s+ c)
�c
] (3.11)
3.3. APROXIMANDO EL RETARDO 27
Obtenemos djkj
ds
para determinar la ubicación del punto de ruptura en el lugar
geométrico de las raíces. Al derivar el valor de k se obtiene:
(3s2 + 2s(�a+ b+ c)� ab+ bc� ac) = 0; (3.12)
de la cual, las raíces están dadas por:
s1; s2 =
�� �
p
�2 � 4�
2�
(3.13)
Sustituimos los coe�cientes de la ecuación (3.12) en (3.13) obtenemos:
=
�(�2a+ 2b+ 2c)�
p
(�2a+ 2b+ 2c)2 � 4(3)(�ab+ bc� ac)
2(3)
De aquí se desprenden dos raíces, el resultado que nos interesa es el valor positivo
del radical de la ecuación, ya que es de interés el punto mas cercano al origen
(punto de ruptura, ver Figura 3.4). Además, éste resultado debe ser menor que
cero, de esta manera se garantiza que el sistema sea estable, esto es:
�(�2a+ 2b+ 2c) +
p
(�2a+ 2b+ 2c)2 � 4(3)(�ab+ bc� ac)
2(3)
< 0
Desarrollando, elevando al cuadrado y cancelando los términos correspondientes
se obtiene:
�ab+ bc� ac > 0
Factorizando:
�ab > c(a� b)
Como a� b < 0, obtenemos:
c >
�ab
a� b
De donde resulta que 1
c
< �a+b
ab
, es decir,
1
c
<
1
a
� 1
b
Nota: Para realizar el cálculo de la ganancia k, se proponen sustituir s = 0 en la
ecuación (3.11). Si el sistema es estabilizable, se obtiene el valor que hace
al proceso marginalmente estable. Al agregar un valor " lo su�cientemente
pequeño a esta ganancia obtenemos un valor de k estabilizante.
28 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
-8 -6 -4 -2 0 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
Punto de ruptura en la
región de estabilidad
c b a
Figura 3.4: Punto de ruptura en el semiplano izquierdo.
3.3.1. Ejemplos
Ejemplo 1: Considere el sistema dado por:
Y (s)
U(s)
=
0:1428
(s+ 0:1428)(s� 0:08)e
�5s (3.14)
Al hacer la aproximación de Taylor, del retardo obtenemos :
Y (s)
U(s)
=
0:1428(0:2)
(s+ 0:1428)(s+ 0:2)(s� 0:08) (3.15)
Al realizar la retroalimentación estática de la salida tenemos:
(s+ 0:1428)(s+ 0:2)(s� 0:08) + k(0:0285) = 0 (3.16)
Si aplicamos el Lema 2 al sistema (3.15), tenemos que 1
0:2
< 1
0:08
� 1
0:1428
!
5 < 5:5. Es claro que el sistema (3.15) cumple con las condiciones del Lema 2,
por lo tanto existe una k que estabilice a dicho sistema. El valor de k podemos
obtenerlo fácilmente de la ecuación (3.16), despejamos a k como en (3.11) de-
spués hacemos s = 0 lo que resulta k = � (0:1428)(0:2)(�0:08)
(0:1428)(0:2)
= 0:08, a este valor
agregamos un " > 0 pero lo su�cientemente pequeño, en este caso " = 0:0001,
para garantizar la estabilidad del sistema (3.15). Este valor de ganancia se probó
3.3. APROXIMANDO EL RETARDO 29
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Tiempo
Sistema con retardo
Sistema aproximado
Figura 3.5: Grá�ca de salida de los sistemas del Ejemplo 1 estabilizados.
en el sistema sin aproximación (3.14), con el �n de saber si el mismo valor de
ganancia es capaz de poder estabilizar al sistema sin aproximación y como se
aprecia en la Figura 3.5 el valor de ganancia estabilizó ambos sistemas.
Hasta este punto no se puede garantizar que esta metodología funcione para un
sistema con retardo (como en el ejemplo anterior), sólo se puede asegurar que para
nuestro sistema aproximado o de tercer orden, existe una k que estabilice al sistema
en lazo cerrado, si y sólo si cumple la condición 1
c
< 1
a
� 1
b
:
Ejemplo 2: Sea el sistema dado por:
Y (s)
U(s)
=
1
(s+ 3:5)(s� 2)e
�0:2s (3.17)
Al aproximar el retardo obtenemos un sistema de tercer orden:
Y (s)
U(s)
=
5
(s+ 3:5)(s+ 5)(s� 2) (3.18)
Como podemos observar el sistema (3.18) cumple con el Lema 2, ya que 0:2 <
1
2
� 1
3:5
! 0:2 < 0:21428: Esta diferencia nos garantiza que exista una ganancia
que estabilice al sistema (3.18), la cual podemos calcular como se hizo en el
ejemplo anterior, se despeja de la ecuación característica a k , se sustituye
30 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo
Sistema con retardo
Sistema aproximado
Figura 3.6: Grá�ca de salida de los sistemas del Ejemplo 2 estabilizados.s = 0, lo que resulta que k = � (3:5)(5)(�2)
(5)
= 7. Considerando un " > 0, en este
caso " = 0:02 para garantizar la estabilidad del sistema (3.18). De la misma
forma que en el ejemplo anterior se probo la ganancia para el sistema original
(3.17) y como lo muestra la Figura 3.6 también se logro estabilizar con el mismo
valor de ganancia.
3.4. Condiciones para la estabilidad sin aproximar
el retardo.
Como se menciono en el Capítulo 2, el criterio de estabilidad de Nyquist permite
estudiar tanto la estabilidad absoluta como la relativa de sistemas lineales de lazo
cerrado con el conocimiento de las características de respuesta de frecuencia de lazo
abierto. A diferencia del método del lugar geométrico de las raíces, el criterio de
Nyquist no da la localización exacta de las raíces de la ecuación característica, además
de que el retardo es trabajado directamente sin aproximaciones.
La traza de Nyquist es útil para sistemas con la representación exponencial exacta
como retardo, los cuales no se pueden analizar con el criterio de Routh-Hurwitz y que
son difíciles de representar con el método del Lugar Geométrico de las Raíces [12].
A continuación se dan las condiciones necesarias y su�cientes para la existencia
de un control estabilizante por retroalimentación estática de la salida para sistemas
3.4. CONDICIONES PARALAESTABILIDAD SINAPROXIMARELRETARDO.31
de segundo orden inestables con retardo. El resultado fue reportado en el Congreso
Latinoamericano de Control 2008 [21]. La demostración esta hecha con base en el
enfoque frecuencial.
Lema 3. Sea el sistema:
G(s) =
�
(s� a)(s+ b)e
��s (3.19)
con a; b > 0: Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado
Y (s)
R(s)
=
�e��s
(s� a)(s+ b) + k�e��s (3.20)
es BIBO estable si y solamente si
� <
1
a
� 1
b
(3.21)
Demostración. Considere el Lema 1: existe una ganancia k tal que el sistema
�
s�ae
��s es estable en lazo cerrado si, y sólo si, � < 1
a
. Un análisis en el do-
minio de la frecuencia nos puede con�rmar este resultado. En la Figura 3.7 se
aprecia el diagrama de Nyquist para un sistema que satisface � < 1
a
. El criterio
de estabilidad de Nyquist establece que al cerrar el lazo ; el sistema será estable
si Z = 0, o lo que es lo mismo que el sistema no tenga ceros en la ecuación
característica o polos de lazo cerrado, 0 = N +P , con P el número de polos de
G(s) en el semiplano derecho de lazo abierto y N el número de rodeos al punto
(�1; j0) en sentido horario (N negativa en el otro sentido) en el diagrama de
Nyquist. En este caso, existe una ganancia que estabiliza al sistema dado que
hay un rodeo al punto (�1; j0): Cuando no se cumple la condición � < 1
a
, no
existen rodeos en sentido antihorario como se ilustra en la Figura 3.8. El ángulo
en función de la frecuencia ! esta dado por:
\G(j!) = �(180� tg�1!a)� tg�1(!�):
Puede decirse entonces que la condición � < 1
a
es equivalente a pedir que el
ángulo tenga (para alguna frecuencia) un valor superior a �180o; es decir,
\G(j!) > �180o: Si consideramos ahora el sistema que nos ocupa dado por
(3.19), es evidente que si se cumple la condición � < 1
a
� 1
b
y el parámetro b
es lo su�cientemente grande existe una k que estabiliza al sistema, dado que
la condición de Nyquist sigue siendo la misma, (un rodeo antihorario al punto
(�1; j0)). Tenemos ahora que:
\G(j!) = �(180� tg�1!a)� (tg�1!b)� tg�1(!�)
Al ir decreciendo el valor del parámetro b, el lazo que forma el rodeo antihorario
va disminuyendo hasta extinguirse, es decir, el sistema se vuelve inestable (ver
Figura 3.9) . Considerando que para frecuencias pequeñas tg�1!' = !' no es
difícil partir de \G(j!) > �180o y concluir la equivalencia con � < 1
a
� 1
b
:
32 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.7: Diagrama de Nyquist cuando � < 1
a
:
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.8: Diagrama de Nyquist cuando no se cumple que � < 1
a
:
3.4. CONDICIONES PARALAESTABILIDAD SINAPROXIMARELRETARDO.33
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.9: Diagrama de Nyquist al ir disminuyendo el valor de b:
Nota: Para determinar la ganancia k que estabiliza a los sistemas que cumplen con
la condición de estabilidad, se necesita el valor del margen de ganancia (este
puede ser consultado en un diagrama de Nyquist del sistema), el cual puede
ser realizado en el software Mathlab, para después sustituirlo en la formula
M(dB) = 20 log k y despejar a k.
3.4.1. Ejemplos
Ejemplo 1: Sea el sistema mostrado en la sección anterior, ahora con el retardo:
Y (s)
U(s)
=
1
(s+ 3:5)(s� 2)e
�0:2s
Del Lema 3 podemos ver que el sistema cumple con la condición de estabilidad
ya que 0:2 < 1
2
� 1
3:5
! 0:2 < 0:21428; por lo tanto, existe una ganancia k
tal que el sistema en lazo cerrado será estable. En el diagrama de Nyquist el
sistema tendrá un rodeo en el sentido antihorario, como lo muestra la Figura
3.10. Para que este rodeo sea al punto (�1; 0), se requiere el valor de ganancia
adecuada, tomando el valor del margen de ganancia en decibeles se aplica a la
formulaM(dB) = 20 log k, despejamos a k y resulta que el valor coincide con el
resultado de la sección anterior k = 7:0. Este valor de ganacia proporciona un
resultado marginalmente estable, de la misma forma que en ejemplos anteriores
se agrega un valor de " = 0:1 y así este valor de ganancia asegura que el lazo
34 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.10: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 1 sin estabilizar.
hará el rodeo al punto (�1; 0) como se ilustra en la Figura 3.11, con este valor
el sistema es estabilizado como lo muestra la Figura 3.12.
Ejemplo 2: Sea el sistema dado por la siguiente expresión:
Y (s)
U(s)
=
1
(s+ 1)(s� 0:5)e
�0:7s
Dicho sistema esta dentro de la condición del Lema 2, ya que 0:7 < 1
0:5
� 1 !
0:7 < 1, por lo tanto, para este sistema existe una ganancia k tal que el sistema
en lazo cerrado sea estable. Esto lo podemos corroborar en la Figura 3.13, donde
se aprecia que el lazo que debe rodear al punto (�1; 0) existe y lo único que
hace falta es determinar la ganancia que haga que el lazo haga el rodeo al punto
(�1; 0). En la Figura 3.14 podemos apreciar que con una adecuada ganancia
el lazo hará el rodeo al punto (�1; 0) en el sentido antihorario, dicho valor de
ganancia es calculado como en el ejemplo anterior y resulta ser k = 0:52, con
este valor el sistema se estabiliza como lo muestra la Figura 3.15.
3.5. Conclusiones.
3.4. CONDICIONES PARALAESTABILIDAD SINAPROXIMARELRETARDO.35
-1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.11: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 1 estabilizado.
0 50 100 150 200
0
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo
Figura 3.12: Grá�ca de la salida estabilizada del Ejemplo 1.
36 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.13: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 2 sin la k adecuada.
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Figura 3.14: Diagrama de Nyquist para el Ejemplo 2 con el valor de k que hace estable
al sistema.
3.5. CONCLUSIONES. 37
0 50 100 150 200
0
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo
Figura 3.15: Grá�ca del Ejemplo 2 estabilizado.
En este Capítulo se dieron dos resultados sobre la estabilización por retroali-
mentación estática dela salida de una clase particular de sistemas lineales inestables
de segundo orden con retardo, mediante dos diferentes métodos; uno de ellos aproxi-
mando el retardo por Taylor, el cual se demostró al utilizar el Lugar Geométrico de
las Raíces y el otro haciendo un análisis en el dominio de la frecuencia aplicando el
criterio de estabilidad de Nyquist a sistemas con la representación exponencial exacta
del retardo.
Es importante mencionar que en la segunda sección del Capítulo se llegó a la misma
conclusión que en la primera sección, esto es, que el mismo valor de ganancia que
estabiliza a sistemas con aproximación del retardo también estabiliza a sistemas con
la representación exponencial del retardo exacta. Haciendo un análisis en el dominio
de la frecuencia sin aproximar el retardo se concluye que � < 1
a
� 1
b
y si aproximamos
el retardo sabemos que para que el sistema sea estable debe de cumplir que 1
c
< 1
a
� 1
b
,
siendo 1
c
= � , por lo tanto es la misma condición para ambos métodos.
38 CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Capítulo 4
Reducción de sistemas de alto
orden
4.1. Introducción
Existen sistemas con dinámicas muy complicadas, esto es, sistemas cuyo modelo
requiere de un número muy grande de polos y ceros. Si a esto le sumamos el hecho de
que se trate de un sistema inestable, resultan sistemas muy difíciles de analizar. Una
propuesta para tratar con este tipo de sistemas es sintetizar lo más representativo de
sus dinámicas en un modelo reducido consistente en un primer orden con un tiempo
de retardo.
En este Capítulo se repasa la metodología dada por Skogestad [1] para la reducción
de sistemas estables de alto orden por un modelo reducido consistente simplemente en
un polo y un retardo. La idea principal de usar en este trabajo este tipo de reducciones,
es aplicar los resultados obtenidos en el Capítulo anterior a sistemas de alto orden,
trabajo que se hará en el siguiente Capítulo.
4.2. Metodología
La metodología empleada por Sigurd Skogestad para la aproximación de sistemas
de alto orden, por sistemas de primer orden con retardo en el lazo directo presenta
dos limitantes, una es que el sistema debe ser estable y la otra es que el polinomio
debe ser estrictamente propio. Esta metodología se propone a partir de la serie de
Taylor para una función exponencial.
De esta forma, la serie de Taylor para f(x) alrededor del punto x = a está de�nida
por la siguiente ecuación:
f(x) = f(a) +
f 0(a)(x� a)
1!
+ f 00(a)
(x� a)2
2!
+ :::+ fn(a)
(x� a)n
n!
39
40 CAPÍTULO 4. REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE ALTO ORDEN
Tomando la expansión de la serie de Taylor para una función exponencial (ex) y
evaluándola en a = 0 tenemos:
f(x) = f(0) +
f 0(0)(x� 0)
1!
+ f 00(0)
(x� 0)2
2!
+ :::fn(0)
(x� 0)n
n!
Como para todas las derivadas f (n)(x) jx=0= 1;resulta:
f(x) = 1 + x+
x2
2!
+ :::+
xn
n!
Esto para una función exponencial positiva, pero lo que tenemos es un retardo lo
que resulta tener una función exponencial negativa e�xpor lo tanto si aplicamos la
expansión de Taylor al retardo e��s tenemos:
f(s) = 1� �s+ �s
2
2!
� �s
3
3!
:::
De aquí tomamos los dos primeros valores de la expansión ya que estos son los de
mayor ponderación, 1� �s . Tenemos entonces que
e(��)s � 1 + (��)s
e(��)s =
1
e�s
� 1
1 + �s
El primer paso en el procedimiento de diseño es obtener un modelo como el que
propone S. Skogestad [1], esto es una aproximación de primer orden con retardo de
la forma:
G(s) =
ke��s
�1s+ 1
De donde � es el retardo del sistema reducido, k es la ganancia y �1 es la
constante de tiempo del denominador.
Para poder determinar el retardo es necesario utilizar las siguientes aproxima-
ciones.
4.2.1. Aproximación del retardo
Para calcular estas aproximaciones, considere la siguiente aproximación de Taylor
de un retardo:
e��s =
1
e�s
� 1
1 + �s
(4.1)
De (4.1) se observa que una �respuesta inversa de la constante de tiempo"�T inv0
(constante de tiempo negativa del numerador) puede ser aproximada por un retardo
de la siguiente manera:
4.2. METODOLOGÍA 41
e�T0s � �T inv0 s+ 1 (4.2)
Así mismo de (4.1), una pequeña constante de tiempo �0 puede ser aproximada
como un retardo de la siguiente manera:
1
�0s+ 1
� e��0s (4.3)
A demás, se tiene que el retardo puede ser calculado como la suma del retardo
original �0, y la contribución de la aproximación de las constantes de tiempo del
numerador.
�T0s+ 1
�0s+ 1
e��0s � e��0s � e�T0s � e��0s = e�(�0+T0+�0)s = e��s
Half rule La constante de tiempo mas grande (en el denominador) es dejada tal cual
y la constante de tiempo siguiente (en magnitud) es dividida entre dos.
Para poder determinar la constante de tiempo del modelo propuesto por S. Sko-
gestad [1], se requiere que la constante de tiempo mas grande del denominador no
sea alterada, es decir, sea conservada y para la constante de tiempo pequeña se re-
comienda usar la "Half Rule".
En resumen el modelo original debe ser de la forma:Y
j
(�T invj0 s+ 1)Y
i
(�i0s+ 1)
e��0s (4.4)
Donde las constantes de tiempo son ordenados de acuerdo a su magnitud, de
mayor a menor, y �T invj0 > 0 denota la respuesta inversa de la constante de tiempo
del numerador (numerador negativo), término que puede ser pasado al denominador
con signo opuesto.
Entonces, de acuerdo a la "Half Rule", para obtener un modelo de primer or-
den con retardo como se muestra en (4.5), se debe proceder de la siguiente forma
recordando la ecuación (4.4):
ke��s
(�1s+ 1)
(4.5)
�1 = �10 +
�20
2
y � = �0 + �202 +
P
i�3 �i0 +
P
j T
inv
j0 +
h
2
Donde h es el periodo de muestreo (para casos con implementación digital).
42 CAPÍTULO 4. REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE ALTO ORDEN
4.2.2. Aproximación de las constantes de tiempo positivas
del numerador
Después consideramos como conseguir un modelo en la forma 4.4, si tenemos la
constante de tiempo T0 del numerador positiva en el modelo original G(s). Se propone
cancelar el término del numerador (T0s + 1) contra un término del denominador
�próximo� (�0s + 1), esto es, un valor lo más cercano posible (donde ambos T0 y �0
son positivos reales) usando las siguientes aproximaciones:
T0s+1
�0s+1
=
8>>>><>>>>:
T0=�0:::para:::T0 � �0 � �::T1
T0=�:::para:::T0 � � � �0::T1a
1:::::para:::� � T0 � �0::T1b
T0=�0:::para:::�0 � T0 � 5�::T2
(e�0=�0)
(e�0=�0)s+1 :::para:::e�0 =def m��n(�0; 5�) � T0::T3
9>>>>=>>>>;
Para los casos de las aproximaciones T1, T1a y T1b donde el coe�ciente del nu-
merador es mayor al denominador T0 > �0, tomamos dos miembros del denominador
contra uno del numerador para poder de�nir mas exacta la aproximación, esto es;
al mas grande lo nombramos �0a y al de menor valor lo nombramos �0b, entonces
seleccionamos a �0b como �0 de entre los dos si: T0=�0b < �0a=T0 y T0=�0b < 1:6 ,
ambas condiciones deben ser satisfechas, la derivación de esta regla es mostrada en
la siguiente sección.
En el caso de que el numerador sea menor al denominador seleccionamos las reglas
T2 o T3.
Las derivaciones de estas reglas son presentadas a continuación.
Variación de las aproximaciones de las constantes de tiempo positivas del
numerador
Aproximaci�on 1 : (T0s+1)
(�0s+1)
� T0
�0
� 1
Aproximaci�on 2 : (T0s+1)
(�0s+1)
� T0
�0
� 1
Aproximaci�on 3 : (T0s+1)
(�0s+1)
� 1
(�0�T0)s+1
Aproximaci�on 4 : (T0s+1)
(�0as+1)(�0bs+1)
� 1
(
�0a�0b
T0
)s+1
Para objetivos del control tenemos que:
Las aproximaciones que dan una alta ganancia son �seguras� (ya que estos
incrementarán el resultado de margen de ganancia).
Las aproximaciones que dan fase negativa son �seguras�(ya que estos aumen-
tarán el resultado de margen de fase).
1. La Aproximaci�on 1 (con T0 � �0) es siempre buena (ambos en ganancia y fase).
4.3. EJEMPLOS 43
2. La Aproximaci�on 2 (con T0 � �0 ) nunca es buena (ni en ganancia ni en fase).
3. La Aproximaci�on 3 es buena (y es segura).
Si T0 es mas grande que todas las constantes de tiempo del denominador (�0 )
usamos la Aproximaci�on 1 (esta es la única aproximación que se aplica en este caso
y es siempre buena).
Si �0 � T0 � 5�usamos la Aproximaci�on 2. (La Aproximaci�on 2 �no es muy
buena�)
Si el resultado de � = �0 � T0 es mas pequeño que � usamos la Aproximaci�on 3.
Las tres primeras aproximaciones son la base para determinar las reglas T1 � T3
correspondientes dadas en este documento.
Si el resultado de � es mas grande que � utilizamos la Aproximaci�on 4.
�Bueno�, para este caso, signi�ca que el resultado de los ajustes del controlador
nos da un aceptable funcionamiento y robustez. Note que las Aproximaci�ones 1 y
2 son correctas (y mejores) a altas frecuencias, mientras que la Aproximaci�on 3
es asintóticamente correcta (y mejor) a bajas frecuencias. La Aproximaci�on 4 es
asintóticamente correcta en ambas frecuencias.
4.3. Ejemplos
Los siguientes ejemplos fueron tomados del articulo de S. Skogestad
Ejemplo 1: Sea el sistema de alto orden:
Y (s)
U(s)
=
1
(s+ 1)4
Siguiendo la metodología que propone S. Skogestad debemos obtener �1 y �,
entonces sabemos que: �1 = �10+ �202 y � = �0+
�20
2
+
P
i�3 �i0+
P
j T
inv
j0 +
h
2
;
por lo tanto si lo aplicamos a nuestro ejemplo resulta tener: �1 = 1 + 12 = 1:5 y
� = 0 + 1
2
+ 1 + 1 + 0 = 2:5 aquí h = 0 ya que es para sistemas discretos, de
esta manera el sistema reducido es:
Y 0(s)
U 0(s)
=
1
1:5s+ 1
e�2:5s
Podemos corroborar este resultado comparando las grá�cas de salida de ambos
sistemas en la siguiente Figura 4.1.
Ejemplo 2: Sea el sistema de alto orden:
Y (s)
U(s)
=
(�0:3s+ 1)(0:08s+ 1)
(2s+ 1)(s+ 1)(0:4s+ 1)(0:2s+ 1)(0:05s+ 1)3
(4.6)
44 CAPÍTULO 4. REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE ALTO ORDEN
0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiem po
Sistem a original
Sistem a con aprox imac ión de Skoges tad
Figura 4.1: Grá�ca de comparación del sistema de alto orden con el sistema reducido.
Si se sigue la metodología propuesta por S. Skogestad se debe tener en cuenta, si
el numerador es mayor que el denominador o viceversa y aplicando laHalf Rule
para este caso en particular se puede observar que el denominador (0:2s+1) es
mayor que el numerador (0:08s+1) por lo tanto aplicaría la regla T2 o T3, pero
la regla de la Aproximacion 3 dice que sí � = �0 � T0 es mas pequeño que � es
utilizada la aproximación de la regla T3, ya que � evidentemente va a ser mas
grande: Al aplicar la Aproximacion 3 queda (0:08s+1)
(0:2s+1)
� 1
0:12s+1
, este resultado
es sustituido en el sistema (4.6) resultando:
Y (s)
U(s)
=
1
(2s+ 1)(s+ 1)(0:4s+ 1)(0:3s+ 1)(0:12s+ 1)(0:05s+ 1)3
Se puede apreciar que la constante de tiempo del numerador (�0:3s+1) es pasa-
da en forma positiva al denominador (esto se explico al principio del Capítulo),
ahora solo nos queda determinar �1 y � como se hizo en el ejemplo anterior:
�1 = �10 +
�20
2
y � = �0 + �202 +
P
i�3 �i0 +
P
j T
inv
j0 +
h
2
por lo tanto:
�1 = 2 +
1
2
= 2:5 y � = 0 + 1
2
+ 0:4 + 0:3 + 0:12 + 0:05 + 0:05 + 0:05 = 1:47. De
esta forma el sistema reducido queda de la siguiente manera:
Y 0(s)
U 0(s)
=
1
2:5s+ 1
e�1:47s
Al comparar ambas señales, tanto del sistema de alto orden como del reducido
en la Figura (4.2) se observa que ambas señales son muy parecidas.
4.4. CONCLUSIONES 45
0 10 20 30 40 50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiem po
Señal del s istem a original
Señal con aproxim ac ión de Sk oges tad
Figura 4.2: Grá�ca de comparación del Ejemplo 2 del sistema de alto orden y el
sistema reducido.
4.4. Conclusiones
En este Capítulo se presentó la metodología dada por S. Skogestad para la reduc-
ción de sistemas de alto orden estables con o sin retardo a sistemas de primer orden
con retardo (ver [1]). Se ilustró con ejemplos que esta metodología es aceptable ya
que aproxima bastante el sistema reducido al sistema de alto orden.
Esta metodología antes mencionada solo es aplicable a sistemas estables y además
deben ser estrictamente propios, esto es, que tiene más polos que ceros nunca el mismo
número. Dicha metodología se usará en el siguiente Capítulo.
46 CAPÍTULO 4. REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE ALTO ORDEN
Capítulo 5
Estrategias de Control
5.1. Introducción
En este Capítulo se darán las condiciones necesarias y su�cientes para la existencia
de un esquema Predictor. Por otra parte se presenta la implementación del esquema
Predictor-Observador, con el cual, se pretende mejorar el desempeño en sistemas
similares a los que han sido estabilizados por retroalimentación estática de la salida,
mostrados en el Capítulo 2.
Se dan ejemplos de alto orden, los cuales, son estabilizados con un esquema
Predictor-Observador utilizando la reducción del sistema descrita en el Capítulo an-
terior. En un ejemplo se determinará el valor de la ganancia discretizando al sistema
utilizando un retenedor de orden cero. Además se propone un controlador tipo PI
modi�cado, con la �nalidad de que el sistema siga referencias de tipo escalón y re-
ducir el sobreimpulso.
Se mostrará también un esquema de Predicción modi�cado que permite relajar
un poco las condiciones para la predicción.
5.2. Esquema Predictor-Observador
Los esquemas Predictor-Observador en general permiten estimar las variables in-
ternas no accesibles del sistema. En el caso particular de los sistemas con retardo,
estos esquemas permiten estimar (predecir) la señal intermedia (W (s)) entre la planta
G(s) y el retardo e��s como lo muestra la Figura 5.1.
Gracias al esquema Predictor-Observador, podemos medir la señal cW (s), que es
la predicción de la señal de salida antes de ser retardada, con esto podemos no solo
estabilizar algunos sistemas con una simple ganancia, sino que podemos realizar una
retroalimentación estática de estados, podemos agregar un control de tipo PI o PID
con el objeto de que nuestro sistema siga referencias de tipo escalón ó disminuir
sobre-impulsos.
47
48 CAPÍTULO 5. ESTRATEGIAS DE CONTROL
Figura 5.1: Esquema Predictor-Observador.
Lema: Considere el esquema predictivo mostrado en la Figura 5.1, con Y (s)
W (s)
= G(s) =
�
(s�a)(s+b) . Existe una ganancia k tal que l��mt!1
[ŵ (t)� w (t)] = 0 si y sólo si
� < 1
a
� 1
b
.
Demostración: Por claridad la demostración se realiza en variables de estado. La
prueba puede desprenderse fácilmente del Lema 2. Considere el sistema Y (s)
U(s)
=
G(s) = �
(s�a)(s+b)e
��s y una realización en espacio de estado (controlable y
observable):
�
x(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t+ �) = Cx(t)
Del esquema mostrado en la Figura 5.1, las dinámicas del sistema de predicción
pueden reescribirse como," �
x(t)
�bx(t)
#
=
�
A 0
0 A
� �
x(t)bx(t)
�
+
�
0 0
Bk �Bk
� �
y(t)by(t)
�
+
�
B
B
�
u (t)�
y(t+ �)by(t+ �)
�
=
�
C 0
0 C
� �
x(t)bx(t)
�
De�nase el error de predicción como ex(t) = x̂(t)� x(t). La dinámica del error
es entonces:
_ex(t) = Aex(t)� kBex(t� �)
5.3. EJEMPLOS 49
0 50 100 150 200
0
10
20
30
40
50
60
T iempo
Sis tema es tabilizado con gananc ia
Sis tema con PI
Figura 5.2: Comparación entre ambos sistemas.
Obsérvese que es la misma dinámica del sistema original Y (s)
U(s)
= G(s) retroali-
mentado con k , por lo tanto, usando el Lema 2 es claro que l��m
t!1
[ŵ (t)� w (t)] =
0 si y sólo si � < 1
a
� 1
b
.
5.3. Ejemplos
Ejemplo 1: Sea el Ejemplo 2 del Capítulo 3 reescrito a continuación:
Y (s)
U(s)
= G(s)e�0:7s =
1
(s+ 1)(s� 0:5)e
�0:7s
Como se vio en el Capítulo 3 el sistema se estabiliza con una ganancia k1 = 0:52.
Utilizaremos éste sistema como un esquema Predictor-Observador del tipo (5.3)
con la �nalidad de mejorar el desempeño del mismo sistema al agregar un con-
trolador de tipo PI modi�cado (ver [22] y [23]) y compararlo con el resultado del
Capítulo 3. Para el sistema con PI modi�cado se utilizó una ganancia k = 1:19,
(el valor de ganancia es tomado del Lugar Geométrico de las Raíces que forman;
el esquema PI modi�cado junto con el polo inestable al cerrar el lazo) �i = 10
(es el valor de la posición del cero libre del esquema PI modi�cado) y � = 0:4
(este valor se considera entre 0.1 y 0.9, para reducir el sobreimpulso). En la
Figura 5.2 se muestra la salida del sistema con esquema Predictor-Observador
controlado y estabilizado