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AnAílisis-y-DiseAo-de-un-Software-para-la-SoluciAn-de-Problemas

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E 
INVESTIGACIÓN 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
 
“Análisis y Diseño de un Software para la Solución de 
Problemas de Esfuerzos y/o Deformaciones Planos y de 
Fractura Lineal” 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
 
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA 
 
P R E S E N T A: 
Ing. Omar Alejandro González Rodríguez 
 
DIRIGIDA POR: DR. JOSÉ ÁNGEL L. ORTEGA HERRERA 
 
MÉXICO D.F. 2015 
 
 
ii 
 
 
 
 
iii 
 
 
 
 
iv 
 
Tabla de contenido 
TABLA DE IMÁGENES ................................................................................................................................. VII 
RESUMEN .................................................................................................................................................... X 
ABSTRACT ................................................................................................................................................... XI 
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... XII 
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................................ XII 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................................... XII 
JUSTIFICACIÓN. .................................................................................................................................................. XII 
CAPÍTULO 1: ESTADO DEL ARTE DE GENERADORES DE REDES EN 1, 2, 3, D. ................................................. 1 
1.1 HISTORIA DE LOS GENERADORES DE REDES .......................................................................................................... 1 
1.2 TIPOS DE REDES............................................................................................................................................. 2 
1.2.1 Redes estructuradas ......................................................................................................................... 2 
1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques ................................................................................................................ 4 
1.2.2 Redes no estructuradas .................................................................................................................... 5 
1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay ...................................................................................................................... 6 
1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas .......................................................................................................... 9 
1.2.2.2.1 El método “octree” ............................................................................................................................. 9 
1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d ........................................................................................................... 10 
1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance ................................................................................................................. 13 
1.2.3 Redes desbordadas ........................................................................................................................ 14 
1.2.4 Redes híbridas ................................................................................................................................ 15 
CAPÍTULO 2: PROBLEMAS DE LA INGENIERÍA: FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS, ANÁLISIS 
DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS. TRANSFERENCIA DE CALOR ESTACIONARIO ..................... 17 
2.1 FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS ................................................................................................ 17 
2.1.1 Introducción .................................................................................................................................... 17 
2.1.2 Flujos estacionarios y no estacionarios ........................................................................................... 19 
2.1.3 Ecuaciones gobernantes en fluidos. ................................................................................................ 20 
2.1.3.1 Conservación de la masa .......................................................................................................................... 20 
2.1.3.2 Origen de las fuerzas en fluidos ................................................................................................................ 23 
2.1.3.3 Esfuerzos en un punto .............................................................................................................................. 25 
2.1.3.4 Conservación del momento ...................................................................................................................... 27 
2.1.3.5 Ecuación constitutiva para un fluido newtoniano .................................................................................... 28 
2.1.3.6 Ecuación de Navier-Stokes ........................................................................................................................ 32 
2.1 4 Flujos de potencial no viscosos ....................................................................................................... 34 
2.1.4.1 Flujo rotacional e irrotacional. .................................................................................................................. 35 
2.1.4.2 Función de corriente ................................................................................................................................. 35 
2.1.4.3 Formulación matricial ............................................................................................................................... 38 
2.1.4.4 Ejemplo: La Ecuación Rayleigh-Plesset ..................................................................................................... 44 
2.2 TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO ......................................................................................... 48 
2.2.1 Introducción .................................................................................................................................... 48 
2.2.2 Leyes de transferencia de calor....................................................................................................... 49 
2.2.3 Problemas en una dimensión en estado estacionario. ................................................................... 51 
2.2.3.1 Paredes planas .......................................................................................................................................... 51 
2.2.3.1.1 Pared Homogénea ............................................................................................................................ 51 
2.2.3.1.2 Pared Compuesta .............................................................................................................................. 52 
2.2.3.1.3 Discretización por elemento finito .................................................................................................... 54 
 
v 
 
2.2.3.2 Flujo de calor radial en un cilindro. .......................................................................................................... 57 
2.2.3.3 Sistemas Conducción – Convección. ......................................................................................................... 59 
2.2.4 Problemas en varias dimensiones en estado estacionario. ............................................................ 61 
2.2.4.1 Problemas planos en dos dimensiones .....................................................................................................62 
2.2.4.1.1Elementos triangulares ...................................................................................................................... 62 
2.2.4.1.2 Elementos Rectangulares.................................................................................................................. 64 
2.2.4.2 Problemas en tres dimensiones ................................................................................................................ 66 
2.3 ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS ....................................................................................... 69 
2.3.1Esfuerzo plano ................................................................................................................................. 69 
2.3.1.1 Esfuerzos sobre secciones inclinadas ....................................................................................................... 70 
2.3.1.2 Casos especiales de esfuerzo plano .......................................................................................................... 72 
2.3.2 Esfuerzos principales y cortantes máximos..................................................................................... 74 
2.3.2.1 Esfuerzos principales ................................................................................................................................ 74 
2.3.2.1.1 Ángulos principales ........................................................................................................................... 76 
2.3.2.1.2 Esfuerzos cortantes máximos ........................................................................................................... 77 
2.3.3 Ley de Hooke para el esfuerzo plano. ............................................................................................. 79 
2.3.3.1 Casos especiales de la ley de Hooke ......................................................................................................... 82 
2.3.3.1.1 Cambio de volumen .......................................................................................................................... 82 
2.3.4 Deformación unitaria plana ............................................................................................................ 85 
2.3.4.1 Deformación unitaria plana contra esfuerzo plano .................................................................................. 85 
2.3.4.2 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ............................................................. 86 
2.3.4.2.1 Deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 .................................................................................................... 86 
2.3.4.2.2 Deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 ........................................................................................... 88 
2.3.4.2.3 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ..................................................... 90 
2.3.4.3 deformaciones unitarias principales ......................................................................................................... 91 
CAPÍTULO 3: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS ............................................................................... 92 
3.1 ECUACIONES PARA TEORÍA DE ELASTICIDAD ....................................................................................................... 92 
3.1.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio ............................................................................................ 92 
3.1.2 Relación deformación-desplazamiento ........................................................................................... 94 
3.1.3 Relación esfuerzo-deformación. ..................................................................................................... 97 
3.2 ECUACIONES PARA EL ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA ........................................................................... 99 
3.2.1 Conceptos de deformación plana y esfuerzo plano. ..................................................................... 100 
3.2.1.1 Estado bidimensional del esfuerzo y la deformación plana .................................................................... 101 
3.2.2 Derivación de la matriz de rigidez del elemento triangular de deformación constante y sus 
ecuaciones. ............................................................................................................................................ 105 
3.2.3 Fuerzas superficiales y de cuerpo .................................................................................................. 118 
3.2.4 Ejemplo: solución a un problema de esfuerzo plano por el método del elemento finito. ............. 124 
CAPÍTULO 4.- ANÁLISIS LINEAL DE LA FRACTURA. .................................................................................... 134 
4.1 PROBLEMAS DE FRACTURA BIDIMENSIONAL. ................................................................................................... 134 
4.1.1 Fractura bajo carga Modo I .......................................................................................................... 134 
4.1.2 Fractura bajo carga Modo II ......................................................................................................... 138 
4.1.3 Fractura bajo carga Modo III ........................................................................................................ 139 
4.2 EIGENFUNCIONES DE LOS PROBLEMAS DE FRACTURA. ........................................................................................ 141 
4.4 FACTORES DE INTENSIDAD DE ESFUERZO: K ..................................................................................................... 146 
4.5 BALANCE DE ENERGÍA DURANTE LA PROPAGACIÓN DE LA FRACTURA ..................................................................... 148 
4.5.1 Tasa global de liberación de energía ............................................................................................ 148 
4.5.2 Tasa local de liberación de energía ............................................................................................... 152 
4.5.3 Integral de aproximación a la fractura ......................................................................................... 154 
4.5.4 Estabilidad de la propagación de la fractura ................................................................................ 157 
 
vi 
 
4.6 LA INTEGRAL J ........................................................................................................................................... 158 
4.6.1 Derivación de la integral J ............................................................................................................. 159 
4.7 EJEMPLO: FRACTURA EN PLACAS Y CARCAZAS .................................................................................................. 160 
CAPÍTULO 5.- EL MEF Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FRACTURA LINEAL. .............................................. 164 
5.1 INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN NUMÉRICA EN LA PUNTA DE LA GRIETA ............................................................. 164 
5.2 ELEMENTOS FINITOS ESPECIALES EN LA PUNTA DE LA FRACTURA .......................................................................... 167 
5.2.1 Elementos isoparimétricos de desplazamiento modificados ........................................................ 167 
5.2.1.1 Elementos de un cuarto de punto en una dimensión. ............................................................................ 167 
5.2.1.2 Elementos de un cuarto de punto en dos dimensiones, cuadriláteros y triangulares. ........................... 169 
5.2.1.3 Elementos cuadriláteros colapsados. ..................................................................................................... 170 
5.2.1.4 Elementos de un cuarto de punto en tres dimensiones ......................................................................... 173 
5.2.2 Cálculo de los factoresde intensidad de los elementos de un cuarto de punto. .......................... 176 
5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto planos ........................................................................ 176 
5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto tridimensionales. ...................................................... 177 
5.3 MÉTODO DE LA TASA DE LIBERACIÓN DE ENERGÍA GLOBAL. ................................................................................ 179 
5.3.1 Realización con elemento finito .................................................................................................... 179 
5.3.2 Método de la extensión de la fractura virtual............................................................................... 180 
5.4 MÉTODO DE LA INTEGRAL DE APROXIMACIÓN. ................................................................................................ 182 
5.4.1 Ecuaciones básicas del método de energía local .......................................................................... 182 
5.4.2 Implementación numérica en elemento finito en 2D .................................................................... 183 
5.4.2.1 Integral de aproximación de fractura simple .......................................................................................... 183 
5.4.2.2 Integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) ...................................................................... 184 
5.4.2.3 Combinación de la integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) y elementos de cuarto de 
punto. ................................................................................................................................................................. 186 
CAPÍTULO 6: RESULTADOS COMPUTACIONALES ...................................................................................... 188 
6.1 TDHEAT (TRANSFERENCIA DE CALOR) ............................................................................................................. 188 
6.2 Tubo con temperatura interior y convección en el exterior ............................................................. 188 
6.2 TORSION (TORSIÓN PURA) ........................................................................................................................... 192 
6.2 Viga prismática sometida a torsión pura ......................................................................................... 192 
6.3 STRESS (ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA) ................................................................................................. 196 
6.3 Placa delgada con cambio de sección sometida a tensión .............................................................. 196 
CONCLUSIONES ........................................................................................................................................ 201 
TRABAJOS FUTUROS ......................................................................................................................................... 201 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 202 
ANEXOS ................................................................................................................................................... 204 
A.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE LAS SUBRUTINAS UTILIZADAS ..................................................................................... 204 
A.1.1 Rutina BDYBAL .............................................................................................................................. 204 
A.1.2 Rutina DCMPBD ............................................................................................................................ 207 
A.1.3 Rutina SLVBD ................................................................................................................................ 208 
A.2 PROGRAMA GRID..................................................................................................................................... 210 
A.3 PROGRAMA TDHEAT ................................................................................................................................ 215 
A.4 PROGRAMA TORSION .............................................................................................................................. 218 
 
 
 
 
vii 
 
Tabla de Imágenes 
 
Ilustración 1 Triangulación de Delaunay ............................................................................ 7 
Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales ........... 8 
Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay ...................................... 8 
Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree" ...................................................... 10 
Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres ...................................... 11 
Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay. ...................... 12 
Ilustración 7 malla creada por el enfoque frente de avance. ............................................ 14 
Ilustración 8 fragmento de una malla desbordada ............................................................ 14 
Ilustración 9 Fragmento de una malla hibrida .................................................................. 15 
Ilustración 10 placa separada por un fluido de una superficie fija.................................... 17 
Ilustración 11 velocidad a través del espesor del fluido .................................................... 18 
Ilustración 12 (a) transitorio y luego estacionario, (b) inestable pero estacionario, (c) 
inestable .......................................................................................................................... 19 
Ilustración 13 Conservación de la masa de un volumen fijo en el espacio ....................... 20 
Ilustración 14 Fuerzas normales y cortantes en un área .................................................. 24 
Ilustración 15 Esfuerzos en un punto ............................................................................... 25 
Ilustración 16 esfuerzos cortantes.................................................................................... 26 
Ilustración 17 Esfuerzos superficiales en un elemento movido por un fluido (en dirección 
X) ..................................................................................................................................... 27 
Ilustración 18 fluido en un elemento (a) flujo rotacional y (b) flujo irrotacional .................. 35 
Ilustración 19 las líneas de ϕ y ψ son ortogonales ........................................................... 37 
Ilustración 20 (a) fluido uniforme en un canal convergente. (b) modelo simétrico mostrando 
las velocidades y los valores a la frontera, (c) modelo de elemento finito grueso usando 
triangulación de tres nodos .............................................................................................. 40 
Ilustración 21 Crecimiento de una burbuja ....................................................................... 44 
Ilustración 22 transferencia de calor a través de una pared homogénea.......................... 51 
Ilustración 23 transferencia de calor en una pared compuesta ........................................ 53 
Ilustración 24 placa típica homogénea ............................................................................. 54 
Ilustración 25 pared compuesta ensamblada para su discretización ................................ 56 
Ilustración 26 tubería con condiciones de frontera uniformes ........................................... 57 
Ilustración 27 tipos de aletas ............................................................................................ 59 
Ilustración 28 aleta cónica ............................................................................................... 60 
Ilustración 29puntos i y j en aleta cónica ......................................................................... 60 
Ilustración 30 Elemento triangular con transferencia de calor .......................................... 63 
Ilustración 31 elemento tetraédrico lineal ......................................................................... 66 
Ilustración 32 ejemplo en tres dimensiones ..................................................................... 68 
Ilustración 33 (a) malla en tercera dimensión, (b) solución en tercera dimensión ............. 68 
Ilustración 34 ................................................................................................................... 69 
Ilustración 35 elemento de esfuerzo con forma de cuña .................................................. 71 
Ilustración 36 elemento en cortante puro ......................................................................... 72 
Ilustración 37 Elemento en esfuerzo biaxial ..................................................................... 73 
Ilustración 38 variación de esfuerzos conforme se giran los ejes ..................................... 74 
Ilustración 39 ................................................................................................................... 75 
Ilustración 40 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 80 
 
viii 
 
Ilustración 41 elemento de material en esfuerzo plano .................................................... 80 
Ilustración 42 Deformación unitaria por cortante .............................................................. 81 
Ilustración 43 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 83 
Ilustración 44 componentes de la deformación unitaria .................................................... 85 
Ilustración 45 ejes y1 y x1 girados a partir de x y y .......................................................... 86 
Ilustración 46deformaciones de un elemento en deformación debido a (a) deformación 
unitaria normal en x, (b) deformación unitaria normal en y y (c) deformación unitaria por 
cortante............................................................................................................................ 87 
Ilustración 47 Deformación unitaria por cortante asociada con los ejes x1y1 ................... 89 
Ilustración 48 elemento plano sujeto a esfuerzos ............................................................. 93 
Ilustración 49 estado tridimensional de esfuerzos ............................................................ 94 
Ilustración 50 (a) elemento en esfuerzo uniaxial, (b) deformación axial resultante, (c) 
elemento sujeto a cortante, (d) deformación a causa del cortante ................................... 95 
Ilustración 51 a8placa con barreno, (b) placa con cambio de área................................. 100 
Ilustración 52(a) presa sometida a carga horizontal, (b) tubería con carga vertical ........ 101 
Ilustración 53 Estado bidimensional de esfuerzos .......................................................... 101 
Ilustración 54 Esfuerzos principales y sus direcciones ................................................... 102 
Ilustración 55 Desplazamientos y rotaciones de un elemento en el plano x-y ................ 103 
Ilustración 56 (a) placa en tensión,(b) discretizacion de la placa en elementos triangulares
 ...................................................................................................................................... 105 
Ilustración 57 Elemento triangular básico y sus grados de libertad ................................ 105 
Ilustración 58 Variación de N sobre la superficie x-y de un elemento típico ................... 110 
Ilustración 59 elemento con ejes coordinados en el centroide ....................................... 119 
Ilustración 60 (a) elementos con traccion superficial uniforme en un borde, (b) elemento 
uno con traccion superficial 1 a lo largo del borde 1-3 ................................................... 120 
Ilustración 61 elemento sujeto a tracción "p" en un borde .............................................. 122 
Ilustración 62 Fuerzas nodales equivalentes de la tracción superficial ........................... 124 
Ilustración 63 Placa delgada sujeta a esfuerzo de tensión ............................................. 124 
Ilustración 64 Discretización de la placa ........................................................................ 125 
Ilustración 65 Elemento 1 de la placa discreteada ......................................................... 126 
Ilustración 66 Elemento dos de la placa discretizada ..................................................... 128 
Ilustración 67 fractura en una hoja infinita ...................................................................... 134 
Ilustración 68 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 138 
Ilustración 69 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 139 
Ilustración 70 Análisis del campo cercano a la punta de la grieta................................... 141 
Ilustración 71 Balance de energía durante la propagación de la grieta .......................... 148 
Ilustración 72 Correlación entre la curva esfuerzo-deformación y la tasa de liberación de 
energía .......................................................................................................................... 151 
Ilustración 73 Trabajo realizado durante la propagación de la fractura .......................... 154 
Ilustración 74 Estabilidad de la propagación de la fractura ............................................ 157 
Ilustración 75 Definición de J como la línea integral alrededor de la punta de la grieta .. 159 
Ilustración 76 Tipos de apertura de grieta en hojas planas debido a esfuerzos, pandeos y 
momentos torsionales .................................................................................................... 161 
Ilustración 77 elemento de cuarto de punto unidimensional:(a) coordenadas naturales; (b) 
coordenadas cartesianas locales ................................................................................... 167 
Ilustración 78 (a) elemento cuadrilátero isoperamétrico de 8 nodos nodalmente 
distorsionado,(b) elemento triangular de 6 nodos .......................................................... 169 
 
ix 
 
Ilustración 79 Elemento cuadrilátero de 8 nodos colapsado........................................... 170 
Ilustración 80 Arreglo de cuarto de punto de diferentes elementos con fractura ............ 173 
Ilustración 81 (a) elemento pentaedrico, (b) elemento hexaédrico colapsado ................ 174 
Ilustración 82 determinación del espesor L’ en el caso de elementos curvilíneos .......... 179 
Ilustración 83 método de energía local en la forma de la integral de aproximación ........ 182 
Ilustración 84 integral simple de aproximación en MEF: (a) fuerzas antes y (b) 
desplazamientos después de la extensión de la grieta .................................................. 184 
Ilustración 85 Integral de aproximación modificada para (a) lineales, (b) cuadráticas, 
funciones de desplazamiento ......................................................................................... 185 
Ilustración 86 integral de aproximación para elementos de cuarto de punto en 2D ........ 187 
Ilustración 87 Tubo con temperatura interior .................................................................. 188 
Ilustración 88 Número de elementos dado por la malla generada e el programa GRID . 190 
Ilustración 89 Numero de nodos de la malla del tubo generada por el programa GRID . 190 
Ilustración 90 Solución dada por el programa TDHEAT ................................................. 191 
Ilustración 91 Solución dada por el software comercial .................................................. 191 
Ilustración 92 Sección transversal ..................................................................................192 
Ilustración 93 Mala generada por el programa GRID y número de elementos ............... 192 
Ilustración 94 Numero de nodos en la malla generada por el programa GRID ............... 193 
Ilustración 95 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa TORSION .................... 193 
Ilustración 96 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 194 
Ilustración 97Esfuerzo cortante ZY generada por el programa TORSION .................... 194 
Ilustración 98 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 195 
Ilustración 99 Malla de la placa generada por el programa GRID .................................. 196 
Ilustración 100 Malla de la placa generada por el programa GRID y número de nodos 197 
Ilustración 101 Esfuerzo principal 1 en la placa ............................................................. 197 
Ilustración 102 Esfuerzo principal 1 generado por el programa comercial ...................... 198 
Ilustración 103 Esfuerzo principal 2 generado por el programa STRESS ....................... 198 
Ilustración 104 Esfuerzo principal 2 generado por el programa comercial ...................... 199 
Ilustración 105 Desplazamientos en U dados por el programa STRESS ....................... 199 
Ilustración 106 Desplazamientos en U dados por el programa comercial ...................... 200 
Ilustración 107 Desplazamientos en V dados por el programa STRESS........................ 200 
Ilustración 108 Desplazamientos en V dados por el software comercial ........................ 200 
 
 
 
x 
 
 
Resumen 
 
En este trabajo se desarrolló un software computacional basado en la implementación del 
método del elemento finito enfatizados en los capítulos desarrollados en esta tesis. El 
software desarrollado puede ser usado con fines académicos y para tener una idea más 
clara de las aplicaciones del método del elemento finito. 
Los programas presentados son programas no altamente sofisticados que sin embargo 
pueden resolver una amplia gama de problemas y son aplicables a nivel académico 
compitiendo con otros softwares comerciales. 
Dichos software consiste de 4 programas, que, como se mencionó anteriormente están 
basados en los capítulos de esta tesis; el primero es el programa GRID que es el encargado 
de generar la malla en dos dimensiones usando como base un grupo de ocho nodos, los 
siguientes tres programas son: TDHEAT, TORSION y STRESS. Los cuales resuelven la 
distribución de temperatura en cuerpos bidimensionales sujetos a temperaturas en la 
frontera y/o convección en la superficie, esfuerzos cortantes en un eje no circular y el 
análisis de cuerpos delgados sometidos a fuerzas externas y/o desplazamientos en la 
frontera; respectivamente. Es decir, resuelven problemas que están gobernados bajo las 
ecuaciones de Laplace y Poisson. 
Como punto a destacar, estos programas son capaces de generar un ploteo de la 
discretización de la figura con los valores ya sea por elemento o por nodo y así poder 
interpretar o más bien de ver de manera más clara los resultados. 
El presente escrito consta de seis capítulos en los cuales los primeros cinco son destinados 
a la teoría en la que se basan los programas; empezando sobre teoría básica de 
generadores de malla, pasando por teoría del elemento finito en transferencia de calor, 
fluidos estacionarios, esfuerzo y deformaciones planas y por ultimo bases del elemento 
finito en fractura. 
El último capítulo está destinado a mostrar algunos problemas resueltos con los programas 
desarrollados con la finalidad de comprobar su funcionamiento. 
 
 
 
 
xi 
 
Abstract 
 
In this work a computational software implementation based on the finite element 
emphasized in Chapters method developed in this thesis is developed. The developed 
software can be used for academic purposes and to have a clearer idea of the applications 
of the finite element method. 
The programs presented are not highly sophisticated programs that nevertheless can solve 
a wide range of problems and apply academically competing with other commercial 
software. 
Such software consists of four programs, which as mentioned above are based on the 
chapters of this thesis; the first is the GRID program that is responsible for generating the 
mesh in two dimensions using as a basis a group of eight nodes, the following three 
programs are: TDHEAT, torsion and stress. Which solved the two-dimensional temperature 
distribution in bodies subject to temperatures at the border and / or convection on the 
Surface, shear stresses in a shaft non-circular and analysis of thin bodies subject to external 
and / or displacement forces at the border; respectively. That is, solve problems are 
governed under the Laplace and Poisson equations. 
As a highlight, these programs are able to generate a plot of the discretization of the figure 
with the values either element or node so we can interpret or rather more clearly see the 
results. 
The present document consists of six chapters in which the first five are intended for the 
theory in which the programs are based; beginning on basic theory of mesh generators, 
through finite element theory of heat transfer fluids stationary, plane stress and strain and 
finally basics of the finite element in fracture. 
The last chapter is intended to show some problems solved with programs developed in 
order to test it. 
 
 
xii 
 
Introducción 
 
El método del elemento finito es una herramienta muy poderosa para la solución 
matemática de problemas de ingeniería y física. Su aplicación abarca desde el análisis del 
chasis de un auto o una nave espacial hasta sistemas térmicos complejos tales como 
plantas nucleares. Otras áreas de aplicación son, gases compresibles, electroestática, y 
problemas de lubricación. 
La implementación del elemento finito es un área muy amplia sobre la que se puede trabajar 
de manera efectiva, ya que debido al avance de los computadores y la capacidad de las 
mismas de procesar la información, se ha vuelto una de las formas más versátiles del 
análisis de problemas de ingeniería. 
Los programas realizados en este trabajo, están enfatizados en los capítulos siguientes de 
esta tesis y pueden ser aplicables con fines académicos y algunos aún más complejos, ya 
que permiten la solución de una amplia gama de problemas Además son programas no 
altamente sofisticados que sin embargo pueden resolver una amplia gama de problemas y 
son aplicables a nivel académico compitiendo con otros softwares comerciales. 
 
Objetivo General 
 
Desarrollar un software para la solución de problemas de ingeniería, basado en el método 
del elemento finito y programado en lenguaje Fortran. 
Objetivos Específicos 
 
• Desarrollo de un programa que genere una malla en 2D que sea compatible con los 
programas de solución 
• Desarrollo de un programa destinada a la solución de problemas en ingeniería tales 
como: Transferencia de Calor, Torsión y Esfuerzo Plano. 
 
Justificación. 
 
Para obtener una solución por elemento finito existen diversos softwares comerciales con 
procedimientos ya definidos y algoritmos diseñados para optimizar una solución. Sin 
embargo en estos softwares no se puede apreciar de manera clara el cómo se genera 
dicha solución, así que para esto se propone el desarrollo de un software en lenguaje 
FORTRAN basado en la implementación del elemento finito para la solución de algunos 
problemas de ingeniería, en el cual se pueda apreciar el cómo afectan los parámetros 
modificados y establecer de manera más clara las condiciones iniciales y a su vez dicho 
software sea capaz de entregar soluciones muy próximas a las reales.
 
1 
 
Capítulo 1: Estado del arte de generadores de redes en 
1, 2, 3, d. 
 
1.1 Historia de los generadores de redes 
 
Se puede afirmar que el método de elementos finitos (FEM) fue iniciado por los ingenieros 
y profesionales en los años cincuenta;Zienkiewicz (1977), por ejemplo. Luego, durante los 
años sesenta, los matemáticos establecieron los fundamentos teóricos y matemáticos de 
este método; Ciarlet (1991) o Hughes (1998), entre muchas otras referencias. El FEM 
entonces fue ampliamente utilizado por las diversas categorías de personas implicadas en 
la ingeniería. Un número de aplicaciones en diferentes campos de la ingeniería motivó el 
desarrollo de métodos de generación de malla. Excepto cuando se considera una región 
cuadrada o geometrías de formas simples, donde la generación de mallas es de aplicación 
sencilla y concreta en dominios arbitrarios que requieren de diseño y aplicación de los 
métodos de generación de malla automáticos. Un trabajo pionero de George (1971), a 
principios de los años setenta, demostró un método para dos geometrías tridimensionales. 
La generación numérica de redes tiene la doble distinción de ser la ciencia más joven en el 
área de simulación numérica y uno de los campos más interesantes de la investigación 
numérica. Aunque se utilizaron aplicaciones similares en la industria aeroespacial para 
superficies de sustentación, una metodología general para redes 2D irregulares se presentó 
por primera vez en la obra de A. Winslow “Numerical Solutions of the quasi-linear Poisson 
Equation in a Nonuniform Triangular Mesh”. 
En 1974, un documento titulado "generación numérica automática de cuerpo montado de 
sistemas de coordenadas curvilíneas para campos que contienen cualquier número de 
cuerpos bidimensionales arbitrarios" apareció en el J. of Computational Physics, escrito por 
Thompson, Thames, y Mastin. Este documento puede ser considerado un documento 
histórico, que origina el campo de la frontera en homogeneizadas rejillas, y haciendo posible 
el uso de las eficientes técnicas de diferencias finitas y volúmenes finitos para geometrías 
complejas. 
Los métodos de generación de malla en base cuaternaria fueron iniciados por Yerry y 
Shephard (1983), pocos años después. Los métodos de generación de malla basados en 
métodos de Delaunay fueron introducidos por diversos autores, (Hermeline, 1980; Watson, 
1981). 
En cuanto a tres dimensiones, las instalaciones disponibles de los años ochenta (incluyendo 
la capacidad de memoria y la eficiencia de la CPU) de computadoras, junto con la necesidad 
de simulaciones más realistas, desencadenaron la investigación de métodos de generación 
de malla capaces de construir mallas tridimensionales. En este sentido, el avance frontal, 
de base octal y métodos de tipo Delaunay se extendió a este caso, mientras que la 
superficie de los engranes recibió una atención particular. Las primeras referencias incluyen 
Hermeline (1980); Watson (1981); Yerry y Shephard (1984); Lohner y Parikh (1988); Joe 
(1991); Weatherill y Hassan (1994) y Marcum y Weatherill (1995). 
 
2 
 
1.2 Tipos de redes 
 
Hay dos clases fundamentales de redes populares en la solución numérica de problemas 
de contorno en las regiones multidimensionales: estructurados y no estructurados. Estas 
clases se diferencian en la forma en que los puntos de la malla se organizan a nivel local. 
En el sentido más general, esto significa que si la organización local de los puntos de la 
rejilla y la forma de las celdas de la cuadrícula no dependen de su posición, pero se definen 
por una regla general, la malla se considera como estructurada. Cuando la conexión de los 
nodos de la red vecinas varía de un punto a otro, la malla se llama no estructurado. Como 
resultado, en el caso estructurado la conectividad de la red se toma en cuenta 
implícitamente, mientras que la conectividad de mallas no estructuradas debe ser descrita 
de manera explícita mediante un procedimiento de estructura de datos apropiada. 
Las dos clases fundamentales de malla dan lugar a tres subdivisiones adicionales de tipos 
de red: estructurado en bloques, desbordado, e híbridos. Estos tipos de malla poseen en 
cierta medida las características de ambas redes estructuradas y no estructuradas, 
ocupando así una posición intermedia entre las redes puramente estructuradas y no 
estructuradas. 
En general, las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y el acceso de datos fácil, mientras 
que las mallas no estructuradas ofrecen más adaptabilidad de malla a dominios 
complicados. Las mallas híbridas de alta calidad disfrutan de las ventajas de ambos 
enfoques, pero el mallado híbrido aún no es totalmente automático. 
Las divisiones entre estructuradas y no estructuradas generalmente se extiende a la forma 
de los elementos: las mallas estructuradas bidimensionales utilizan típicamente 
cuadriláteros, mientras las mallas no estructuradas utilizan triángulos. En tres dimensiones 
las formas de elementos análogos son hexaedro y tetraedros. Sin embargo, no hay razón 
esencial para que las mallas estructuradas y no estructuradas utilicen diferentes formas de 
elementos. De hecho, es posible subdividir los elementos con el fin de convertir entre 
triángulos y cuadriláteros y entre tetraedros y hexaedros. 
1.2.1 Redes estructuradas 
 
Una malla estructurada se caracteriza por la conectividad regular que puede ser expresado 
como una matriz de dos o tres dimensiones. Esto limita las opciones de los elementos a los 
cuadriláteros en 2D o hexaedros en 3D. 
Las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y eficiencia. Una malla estructurada requiere 
significativamente menos memoria que una malla no estructurada con el mismo número de 
elementos, porque el almacenamiento conjunto puede definir la conectividad vecina 
implícitamente. Una malla estructurada también puede ahorrar tiempo: para tener acceso a 
las células vecinas cuando se calcula una plantilla de diferencias finitas, el software 
simplemente incrementa o disminuye los índices de matriz. Los compiladores producen un 
código eficiente para estas operaciones; en particular, pueden optimizar el código para 
máquinas de vectores. 
 
3 
 
Por otro lado, puede ser difícil o imposible calcular una malla estructurada para un dominio 
geométrico complicado. Además, una malla estructurada puede requerir muchos más 
elementos que una malla no estructurada para el mismo problema, porque los elementos 
de una malla estructurada no tienen la calidad de tamaño. Estas dos dificultades se pueden 
resolver por el método híbrido estructurado de aproximación/no estructurada, que se 
descompone en un complicado dominio en bloques soportando redes estructuradas. El 
enfoque híbrido, sin embargo, aún no está totalmente automático, se requiere la orientación 
del usuario en la etapa de descomposición. Una malla híbrida tridimensional complicada 
puede llevar semanas o incluso meses de trabajo; por lo tanto, los enfoques híbridos se 
utilizan normalmente sólo en fases tardías en el ciclo de diseño. 
El enfoque de diferencias finitas, utilizando los puntos discretos, está asociado 
históricamente con rejillas cartesianas rectangulares, ya que una estructura de red regular 
proporciona una fácil identificación de puntos vecinos para ser utilizado en la representación 
de los derivados, mientras que el enfoque de los elementos finitos ha sido siempre, por la 
naturaleza de su construcción, en las celdas diferenciadas de forma general, considerado 
muy adecuado para regiones irregulares, ya que una red de tales celdas se puede hacer 
para llenar cualquier región de forma arbitraria y cada celda es una entidad en sí misma, la 
representación debe estar en una celda, no través de las celdas. 
La generación de redes estructuradas tiene sus raíces en los EE.UU. en la obra de Winslow 
y Crowley en el “Lawrence Livermore National Lab” a finales de 1960, y en Rusia desde 
Godunov y Prokopov casi al mismo tiempo. Otro componente muy fundamental fue el 
trabajo de Bill Gordon en Drexel en la interpolación transfinita para la industria automotriz, 
una presentación a la comunidad generación cuadrícula emergente en la conferenciade 
rejilla en Nashville en 1982. 
El uso de las redes en materiales compuestos ha sido la clave para el tratamiento de 
configuraciones 3D generales con redes estructuradas. Aquí, en general, de material 
compuesto se refiere al hecho de que la región física se divide en subregiones, dentro de 
cada uno de los cuales se genera una cuadrícula estructurada. Estos subcuadrículas 
pueden ser parchadas juntas en interfaces comunes, pueden ser superpuestas, o pueden 
estar conectadas por una red no estructurada. Considerable confusión ha surgido en cuanto 
a la terminología para redes de compuestas, por lo que es difícil clasificar de inmediato 
trabajos sobre el tema. 
Las rejillas compuestas en las que los subcuadrículas comparten interfaces comunes se 
conocen como bloque, parcheado, incrustado, o redes zonales en la literatura. El uso de 
los dos primeros de estos términos es bastante consistente con este tipo de rejilla 
(parcheado proviene de las interfaces comunes, bloques de la estructura lógica 
rectangular), pero los dos últimos son a veces también se aplica a las redes superpuestas. 
Cuadrículas superpuestas (desbordadas) a menudo se llaman las redes quimera tras el 
monstruo compuesto de la mitología griega. Desafortunadamente, las rejillas de interfaz 
común también se puede decir que se desbordan, ya que normalmente al rodear utilizan 
capas de puntos para lograr la continuidad. El uso de la zonal proviene principalmente de 
las aplicaciones CFD donde la sugerencia de la aplicación de diferentes ecuaciones de 
solución en diferentes regiones de flujo. Quizás bloques o parcheados sería mejor para las 
rejillas de interfaz comunes, quimera para las redes superpuestas, e híbridas para las 
combinaciones estructuradas - no estructuradas. 
 
4 
 
Con esta terminología adoptada, las redes en bloque (o parcheadas) pueden ser 
completamente continuas en las interfaces, tienen pendiente o continuidad de línea, o son 
discontinuas (compartir una interfaz común, pero no son comunes los puntos de la misma). 
La continuidad completa se logra a través de una capa circundante de (imagen, phantom) 
puntos en los que los valores se mantienen iguales a los correspondientes a los puntos del 
objeto dentro de un bloque adyacente. Esto requiere un procedimiento de indexación de 
datos para enlazar los bloques a través de las interfaces. Con la continuidad completa, la 
interfaz no es fija (ni siquiera en forma), sino que se determina en el curso de la solución. 
Este tipo de interfaz necesita de un sistema de generación elíptica. La continuidad 
pendiente requiere que el procedimiento de generación de rejilla incorporar algún control 
sobre el ángulo de intersección en los límites (por lo general, pero no necesariamente, 
ortogonalidad), una exploración se realiza a través de la interpolación de Hermite en los 
sistemas de generación algebraicas o a través del ajuste iterativo de las funciones de control 
en los sistemas elípticos. En este caso los puntos de la interfaz son fijos, y las 
subcuadrículas se generan de forma independiente, excepto por el uso de los puntos de 
interfaz común y un ángulo común (presumiblemente ortogonal) de intersección con la 
interfaz. La construcción de codificación PDE se simplifica en gran medida, ya sea con 
continuidad completa o pendiente, desde entonces, las modificaciones en el algoritmo no 
son necesarias en las interfaces. 
1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques 
 
En la técnica aplicada de bloques, la región se divide sin agujeros o se superpone en unos 
pocos subdominios contiguos, que pueden ser considerados como las celdas de un grueso, 
generalmente rejillas no estructuradas. Y entonces una rejilla estructurada se genera en 
cada bloque. La unión de estas redes locales constituye una malla que se refiere como una 
cuadrícula de bloques estructurados o multi-bloque. Las rejillas de este tipo por lo tanto 
pueden ser consideradas como estructurado localmente en el nivel de un bloque individual, 
pero no estructurada cuando se ve como una colección de bloques. Así, una idea común 
en la técnica de la rejilla de bloques estructurados es el uso de diferentes redes 
estructuradas, o sistemas de coordenadas, en las diferentes regiones, lo que permite la 
configuración de cuadrícula más adecuada para ser utilizado en cada región. 
Las redes estructuradas en bloquea son considerablemente más flexible en el manejo de 
geometrías complejas que las redes estructuradas. Desde estas rejillas se retiene el patrón 
regular de conectividad simple de una malla estructurada a nivel local, estas rejillas de 
bloques estructurados mantienen, en casi la misma manera que las redes estructuradas, la 
compatibilidad con los algoritmos de diferencias finitas o volumen finito eficientes utilizados 
para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la generación de redes de 
bloque estructurado puede tener una buena cantidad de interacción con el usuario y, por lo 
tanto, requiere la aplicación de una técnica de automatización para diseñar la topología de 
bloque. 
Las principales razones para el uso de las redes multi-bloque en lugar de las redes de 
bloque único son que 
(1) la geometría de la región es complicada, que tiene una frontera con conexiones 
múltiples, cortes, protuberancias estrechas, cavidades, etc.; 
 
5 
 
(2) el problema físico es heterogéneo con respecto a algunas de las magnitudes físicas, de 
modo que se requieren diferentes modelos matemáticos en diferentes zonas del dominio 
para describir adecuadamente los fenómenos físicos; 
(3) la solución del problema se comporta de manera no uniforme: pueden existir zonas de 
variación suave y rápida de diferentes escalas. 
Los bloques de redes estructuradas localmente en una región tridimensional son 
comúnmente homeomorfas a un cubo tridimensional, por lo tanto tener la forma de un 
hexaedro curvilíneo. Sin embargo, algunos dominios se pueden dividir de manera más 
eficaces con el uso de bloques cilíndricos. Los bloques cilíndricos se aplican comúnmente 
para la solución numérica de problemas en regiones con agujeros y para el cálculo de los 
flujos de aeronaves o sus componentes (alas, fuselajes, etc.). Para muchos problemas es 
más fácil tener en cuenta la geometría de la región y la estructura de la solución mediante 
el uso de bloques cilíndricos. Además, el número total de bloques y secciones puede ser 
menor que cuando se utilizan sólo bloques homeomorfos a un cubo. 
Los solucionadores de bloques estructurados usualmente requieren la menor cantidad de 
memoria para un tamaño de malla determinado y se ejecutan más rápidamente, ya que 
están optimizados para la disposición estructurada de la cuadrícula. Por último, el 
procesamiento posterior de los resultados en una cuadrícula bloque estructurado es una 
tarea mucho más fácil porque los planos de la cuadrícula lógica son excelentes puntos de 
referencia para examinar el campo de flujo y el trazado de los resultados. 
El principal inconveniente de las redes de bloques estructurados es el tiempo y la 
experiencia necesaria para diseñar una estructura de bloque óptimo para un modelo 
completo. A menudo, esto se reduce a la experiencia del usuario más allá de la fuerza bruta 
y la colocación de puntos de control y los bordes. Algunas geometrías, por ejemplo: conos 
de poca profundidad y las cuñas, no se prestan a las topologías de bloques estructurados. 
En estas zonas, el usuario se ve obligado a estirar o torcer los elementos en un grado que 
afecta drásticamente la precisión y el rendimiento solucionador haciendo que los tiempos 
de generación de cuadrícula generalmente se midan en días. 
1.2.2 Redes no estructuradas 
 
Muchos de los problemas de campo de interés implican geometrías muy complejas que no 
son fácilmente susceptibles al marco del concepto red estructurada pura. Las redes 
estructuradas pueden carecer de la necesaria flexibilidad y robustezpara el manejo de 
dominios con fronteras complicadas, o las celdas de la cuadrícula pueden llegar a ser 
demasiado sesgadas y retorcidas, prohibiendo así una solución numérica eficiente. Un 
concepto de red no estructurada se considera como una de las soluciones adecuadas para 
el problema de la producción de rejillas en regiones con formas complejas. 
Las mallas no estructuradas han distribuido irregularmente nodos y sus celdas no están 
obligados a tener una sola forma estándar. Además de esto, la conectividad de las celdas 
de la cuadrícula vecina no está sujeta a ninguna restricción; en particular, las celdas pueden 
solaparse o encerrar entre sí. Por lo tanto, las mallas no estructuradas proporcionan la 
herramienta más flexible para la descripción discreta de una geometría. 
 
6 
 
Estas mallas son adecuadas para la discretización de dominios con una forma complicada, 
como las regiones alrededor de superficies de una aeronave. También permiten aplicar un 
enfoque natural para la adaptación local, ya sea por la inserción o eliminación de nodos. El 
refinamiento de la celda en un sistema no estructurado puede llevarse a cabo localmente 
dividiendo las celdas en las zonas apropiadas en unas pocas celdas más pequeñas. Las 
mallas no estructuradas también permiten la resolución excesiva al eliminar celdas de la 
cuadrícula local en regiones en las que la solución no varía apreciablemente. En la práctica, 
el tiempo total requerido para generar mallas no estructuradas en geometrías complejas es 
mucho más corto que para las redes estructuradas y estructuradas en bloque. 
Sin embargo, el uso de redes no estructuradas complica el algoritmo numérico debido al 
problema de la gestión de datos inherente, lo que exige un programa especial para el 
número y el orden de los nodos, bordes, caras, y las células de la red, y se requiere más 
memoria para almacenar información acerca de las conexiones entre las células de la malla. 
Una desventaja adicional de mallas no estructuradas que causa excesivo trabajo 
computacional se asocia con el aumento del número de celdas, las caras y los bordes de 
celdas, en comparación con los de mallas hexaédricas. Por ejemplo, una malla tetraédrica 
de N puntos tiene aproximadamente las 6 N celdas, 12N caras y 7N bordes, mientras que 
una malla de hexaedros tiene aproximadamente N celdas, 3N caras y 3N bordes. Por otra 
parte, mover fronteras o mover las superficies internas de los dominios físicos es difícil de 
manejar con mallas no estructuradas. Además de esto, los operadores del esquema de 
diferencia linealizado en mallas no estructuradas no suelen congregar matrices, lo que hace 
más difícil el uso de esquemas implícitos. Como resultado, los algoritmos numéricos 
basados en una topología de red de no estructurada son los más costosos en términos de 
operaciones por tiempo y de memoria por punto de la cuadrícula. 
Originalmente, se utilizaron mallas no estructuradas principalmente en la teoría de la 
elasticidad y plasticidad, y en los algoritmos numéricos basados en métodos de elementos 
finitos. Sin embargo, el ámbito de aplicación de mallas no estructuradas se ha ampliado 
considerablemente e incluye la dinámica de fluidos computacional. 
Otro inconveniente de los métodos es su dependencia de los buenos datos CAD. La 
mayoría de los fracasos de mallado son debido a algún error (posiblemente minúsculo) en 
el modelo CAD. Solucionadores de flujo no estructurados normalmente requieren más 
memoria y tienen tiempos de ejecución más largos que los solucionadores de cuadrícula 
estructurados sobre una malla similar. Publicar el procesamiento de la solución en una 
malla no estructurada requiere herramientas poderosas para la interpolación de los 
resultados en el plano y las superficies de rotación para facilitar la visualización. 
1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay 
 
Con mucho, las más populares técnicas de generación de malla triangular se basan en el 
concepto de triangulación de Delaunay. El criterio de Delaunay, también conocido como la 
propiedad circulo vacio, establece que cualquier nodo no debe estar contenido dentro del 
círculo circunscrito de cualquier triángulo de la malla, como se muestra en la ilustración 1. 
Si bien el criterio Delaunay se conoce desde hace muchos años, no fue hasta que el trabajo 
de Lawson y Watson que el criterio fue explotado para el desarrollo de algoritmos para 
formar una triangulación convexa conexión de un conjunto determinado de puntos. Con el 
 
7 
 
rápido desarrollo de la FEM, el algoritmo de triangulación de Delaunay se amplió para 
generar mallas de elementos finitos válida para el análisis numérico de ingeniería, por 
Weatherill, Baker & Vassberg, George & Hermeline, y otros. 
 
Ilustración 1 Triangulación de Delaunay 
En el algoritmo incremental del Bowyer y Watson, los puntos se procesan de uno en uno. 
En un paso típico de inserción de punto, los triángulos cuyos circumcirculo contiene el punto 
de inserción son identificados y eliminados. Nuevos triángulos se construyen en la cavidad 
dejada por los triángulos eliminados. Por lo tanto, la eficiencia del algoritmo de triangulación 
depende de lo rápido que podemos identificar los triángulos para ser retirados y determinar 
correctamente la cavidad para la inserción, y la velocidad con la que se calculan el 
circuncentro, circunradio y la relación de adyacencia de los nuevos triángulos. 
El criterio de Delaunay en sí no es un algoritmo para la generación de la malla. Simplemente 
proporciona una regla para conectar un conjunto de puntos existentes en el espacio. Como 
resultado, es necesario diseñar un método para determinar el número y las ubicaciones de 
los puntos de nodo a ser insertados dentro del dominio de interés. Un enfoque típico es 
crear primero una malla triangular lo suficientemente grande como para contener todo el 
dominio. Los nodos de frontera son entonces insertados y conectados de acuerdo con el 
criterio de Delaunay, y esto constituye una triangulación de los nodos frontera. Más nodos 
se insertan de forma incremental en la malla gruesa límite, la redefiniendo los triángulos 
cada que se introduce cada nuevo nodo, hasta que se forman un número deseable de 
elementos en posiciones apropiadas. 
En las aplicaciones de elementos finitos, hay un requisito de que se mantenga una 
triangulación superficie existente, es decir, la integridad de la barrera de dominio. En la 
mayoría proceso de triangulación Delaunay, antes de que se insertan nodos interiores, se 
produce una teselación de los nodos en el límite del dominio. Sin embargo, en este proceso, 
no hay garantía de que los segmentos de contorno estarán presentes en la triangulación. 
En muchas implementaciones, el enfoque es teselar los nodos frontera utilizando un 
algoritmo de Delaunay estándar sin tener en cuenta la integridad del dominio frontera. 
Entonces se emplea un segundo paso a la fuerza o la recuperación de los segmentos de 
contorno. Por supuesto, al hacerlo, la triangulación, en general, no es estrictamente 
Delaunay, de ahí el término "triangulación de Delaunay frontera con limitaciones". En dos 
dimensiones, la recuperación de borde es relativamente sencillo. Weatherill describe cómo 
bordes de una triangulación pueden recuperarse simplemente intercambiando diagonales, 
como se muestra en la ilustración 2. 
 
8 
 
 
Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales 
Hay muchas maneras para la segunda fase de inserción del punto de acuerdo a la función 
de separación de nodo, que de hecho daría lugar a mallas de diferentes características. 
Hermeline propone un esquema en el que se insertan los puntos en el baricentro bajo 
ciertas condiciones. Algunos investigadores han propuesto insertar puntos en los 
circuncentro de los triángulos. George propuso la inserción de puntos a lo largo de los 
bordes de los triángulos. Otros hacen uso de un conjuntode puntos en posiciones 
predeterminadas con la ayuda de una rejilla regular, una red “quadtree” o algún tipo de 
métodos de descomposición espacial. Un esquema combinado con el enfoque frente de 
avance también se presentó, en el que se insertan los puntos en posiciones estratégicas 
como se determina en procesos frontales y las conexiones de elementos se modificarán de 
acuerdo con el criterio de Delaunay. 
Borouchaki hizo uso de los conceptos de espacio de control y criterio de longitud para la 
inserción de puntos para crear una malla adaptativa de elementos de tamaños variables. El 
mapa de tamaño del elemento puede ser dado explícitamente como una función continua 
sobre todo el dominio o implícitamente definido por medio de una malla de fondo. Los 
puntos se insertan basados en la subdivisión de los bordes de los elementos. Esta idea se 
extendió más tarde con la introducción de un tensor métrico general para la generación de 
mallas anisótropas en la que no sólo el tamaño del elemento puede variar, también los 
elementos se someten a diferentes requisitos de tamaño a lo largo de diferentes 
direcciones, como se muestra en la ilustración 3. 
 
Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay 
 
9 
 
1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas 
 
La generación de malla automática ha alcanzado una etapa tan madura que hay algoritmos 
eficientes que pueden generar redes de alta calidad que se adaptan en los dominios de dos 
dimensiones generales y sobre superficies curvas arbitrarias de una manera robusta. Sin 
embargo, cuando nos fijamos en la generación de mallas de objetos sólidos 
tridimensionales, inmediatamente nos damos cuenta de que el problema se vuelve mucho 
más complejo, y muchas habilidades que funcionan bastante bien en dos dimensiones, 
simplemente no se puede extender a una dimensión superior. En dos dimensiones, la 
generación de la malla de límite restringido es casi un proceso determinista para el que las 
soluciones siempre están garantizadas. En tres dimensiones, los algoritmos de generación 
de mallas son más de naturaleza iterativa. La diferencia fundamental entre generar un 
dominio bidimensional y un dominio tridimensional es que un límite de dos dimensiones 
siempre puede ser engranado sin la necesidad de nodos adicionales. Sin embargo, hay 
geometrías en tres dimensiones que no pueden ser discretizadas sin adición de puntos 
interiores, un pentaedro trenzado con la triangulación de la superficie es un ejemplo bien 
conocido. Puesto que no hay manera sistemática para decidir dónde se deben insertar 
puntos, las soluciones analíticas no están disponibles, lo que lleva al desarrollo de 
algoritmos iterativos de la naturaleza heurística para aplicaciones específicas. El problema 
se complica aún más cuando se requieren mallas de tamaño del elemento variable en un 
entorno de adaptación. Sin embargo, después de años de investigación dedicada, muchos 
algoritmos prácticos para engranar los objetos sólidos tridimensionales son bastante fiables 
de manera que la integridad de la barrera de dominio se puede mantener, a menos que se 
encuentran condiciones de contorno extremadamente pobres, que se caracteriza por la 
presencia de muchas facetas de superficie alargados con grandes relaciones de aspecto 
entre elementos adyacentes. Las tres técnicas populares, a saber, el método “octree”, la 
triangulación de Delaunay y el enfoque frente de avance, juegan un papel importante en la 
generación de la malla tridimensional. 
1.2.2.2.1 El método “octree” 
 
La técnica octree es una forma de esquema de descomposición espacial en la que el objeto 
de interés está encerrado en una caja de celdas cúbicas regulares que se refinan 
progresivamente para capturar la frontera de dominio o para satisfacer ciertos requisitos de 
tamaño del elemento. La técnica octree representa un objeto tridimensional como una 
colección de cubos de tamaños variables, más o menos la misma que la técnica de quadtree 
presenta un dominio planar en términos de células cuadradas. 
Una de las deficiencias de la “quadtree” o descomposición “octree” es la orientación 
predefinida de la zona de generación, que no lo hace adecuadamente tomando cuenta la 
dirección preferencial dictada por partes de límites externos e internos. Para reducir el 
número de elementos necesarios para representar límites curvos, en la descomposición-
octree modificado, se introduce el concepto de un 'octante corte ". Para mantener el 
almacenamiento de árbol de número entero y para limitar el número de casos de corte 
octante a un nivel manejable, sólo los cuartos y medios puntos de un octante se utilizan en 
el proceso de corte. Este es un proceso bastante complicado y tiene que ser tomado en 
una base de caso por caso; el número de casos especiales que se requieren en una 
 
10 
 
situación de dos dimensiones es de 16, en tanto que la misma situación,en tridimensional 
incrementa a 4,096 casos. Otras características asociadas con el método de octree 
modificado es que una regla de transición de un nivel tiene que ser forzada para asegurar 
un cambio suave de tamaño del elemento y los elementos de transición son para ser 
utilizado en otras situaciones. Como las superficies de contacto de las partes adyacentes 
creadas por el método de octree modificado no son en general compatibles, la generación 
de malla para los dominios complejos a través de la descomposición subdominio no es 
sencillo, ya que hay dificultad en la búsqueda de los límites de un subdominio con otro. 
También se han propuesto variaciones de la técnica octree modificado combinado con otros 
esquemas tales como la triangulación de Delaunay y un proceso frontal. Sin embargo, la 
ventaja de la técnica octree es que permite una rápida descomposición del objeto en 
elementos, y hay flexibilidad en el grado de resolución en la representación de 
características geométricas de contorno. Este método puede ser más adecuado para 
problemas en los que la solución física no es sensible a los detalles geométricos de 
contorno. La ilustración 4 muestra una malla tetraédrica creado por el método modificado-
octree. 
 
Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree" 
1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d 
 
En tres dimensiones, el algoritmo de Watson comienza con un tetraedro que contiene todos 
los puntos que se inserta, y el nuevo tetraedro es formado como los puntos se introducen 
de uno en uno. En una etapa típica del proceso, un nuevo punto se prueba para determinar 
qué circumesferas de los tetraedros existentes contienen el punto. Los tetraedros asociados 
se retiran, dejando un poliedro de inserción que contiene el punto. Se crean bordes que 
conectan el nuevo punto a todas las facetas triangulares en la superficie del poliedro de 
inserción, definiendo tetraedros que llenan la cavidad. La combinación de estas con los 
tetraedros fuera del poliedro inserción produce una nueva triangulación Delaunay que 
contiene el punto que acaba de agregar. La triangulación es completa cuando se insertan 
y se procesan de forma secuencial todos los puntos. 
 
 
11 
 
En muchas aplicaciones, se requiere que se mantengan las facetas triangulares en la 
superficie límite. Sin embargo, la triangulación Delaunay de los puntos de los límites no 
siempre contiene todas las aristas y facetas triangulares en la superficie límite. Mientras 
que en dos dimensiones, la recuperación de los bordes de contorno se garantizará 
mediante el canje de las diagonales, hay casos en tres dimensiones donde la triangulación 
frontera no se puede definir sin insertar primero nodos adicionales. Este fenómeno aumenta 
la complejidad del procedimiento de recuperación límite en tres dimensiones. Dos métodos 
diferentes han sido propuestos por George et al. y Weatherill y Hassan, respectivamente, 
para tratar con el problema de la recuperación de la superficie. En el primer enfoque 
sugeridopor George e implementado en software GSH3D de INRIA, un borde que une dos 
nodos se recupera mediante la realización de una serie de transformaciones tetraédricas 
intercambiando dos tetraedros adyacentes por tres, como se muestra en la ilustración 5. El 
proceso de intercambio 2-3 reduce eficazmente el número de intersecciones de la 
segmento de línea que debe recuperarse con las caras triangulares de la malla en uno por 
cada intercambio. Cuando no hay más intersección con la malla, se recupera el segmento 
de línea propuesto. A veces hay que un canje 2-3 no válido se puede definir para resolver 
una intersección, y los nodos adicionales debe ser introducido para facilitar más cambios 
de elemento hasta que se eliminen todas las intersecciones. Después se recuperan todos 
los bordes de la frontera, algunas facetas triangulares de frontera aún pueden faltar. A fin 
de recuperar las caras triangulares, se llevan a cabo transformaciones de elementos, 
principalmente caracterizados por el intercambio de tres tetraedros adyacentes en un borde 
para dos. Transformaciones más complejas o nodos adicionales pueden ser necesarios en 
la fase de recuperación de cara si las transformaciones simples por sí solas no puedan 
resolver la situación. 
 
Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres 
El segundo método propuesto por Weatherill también implica una fase de recuperación del 
borde y una fase de recuperación de cara. La principal diferencia con el enfoque de George 
es que, en lugar de intentar transformaciones de elementos para recuperar los bordes y 
caras, los nodos se insertan directamente en la triangulación en las posiciones donde se 
cruza la superficie límite. Este proceso introduce temporalmente nodos adicionales a la 
superficie límite. Una vez que se forman las facetas de la superficie, se eliminan los nodos 
que se insertaron para facilitar la recuperación de límites. 
 
 
12 
 
Un punto fuerte de la triangulación de Delaunay es que la generación de mallas se basa en 
un fondo teórico sólido a partir del cual algoritmos eficientes y fiables se pueden formular. 
El desarrollo en la técnica de recuperación límite mejora aún más el alcance de las 
aplicaciones de este método. Sin embargo, mientras que el criterio Delaunay proporciona 
una regla para la conexión de un conjunto dado de puntos, no sugiere posiciones 
estratégicas para la inserción de un nodo, excepto, por supuesto, aquellos nodos 
esencialmente en el límite. Aunque esto parece ser una deficiencia del método, permite una 
gran libertad en la definición de estrategias de inserción de nodo para generar mallas de 
diferentes características, incluyendo los utilizados en el análisis de adaptación. La 
triangulación mínima con integridad límite proporciona la base para la inserción de un nodo 
para crear todo tipo de mallas para diversos fines. 
En el generador de mallas GSH3D desarrollada por INRIA, los nodos interiores se insertan 
en las posiciones a lo largo de los bordes de los elementos. Una lista de nodos candidatos 
se genera al marchar a lo largo de los bordes internos existentes de la malla a una distancia 
especificada. Los nodos son considerados uno por uno, descartando los nodos que esten 
demasiado cerca de un nodo existente. Este proceso se puede hacer de una manera 
recursiva hasta que se satisface una función de tamaño del fondo. Otro esquema de 
inserción nodo sugerido por Marcum y Weathers y Frey se basa en el enfoque frente de 
avance. Cada cara triangular generada en la parte frontal se examina para determinar la 
ubicación ideal para un nuevo cuarto nodo en el interior de la malla Delaunay existente. Si 
se acepta un nodo, la conexión de este nodo a los elementos existentes se realiza por un 
núcleo punto de inserción estándar kernel, y el frente se actualiza en consecuencia. Este 
método tiende a generar elementos en buena alineación con el límite del dominio, y por lo 
general son de mejor calidad en comparación con otros esquemas de inserción punto. 
Como la triangulación de Delaunay puede dar lugar a elementos degenerados muy 
delgados, conocidos como astillas, que pueden no ser adecuados para el análisis numérico, 
una optimización basada en una medida de elemento de forma apropiada tiene que ser 
aplicada para mejorar la calidad global de la malla. La ilustración 6 muestra las mallas 
adaptativas generadas por el método de triangulación Delaunay. 
 
 
Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay. 
 
13 
 
Una extensión para la generación de redes gobernada por una métrica anisotrópica en 
general también es posible. Aquí, tenemos que prestar atención a los dos aspectos 
importantes en un proceso de triangulación de Delaunay. En primer lugar, en la creación de 
puntos interiores, sus posiciones estratégicas tienen que ser determinada por un cálculo de 
la longitud sobre la base de la métrica en general, para producir elementos con 
características anisotrópicas. En segundo lugar, el criterio de vacío-esfera utilizado en la 
triangulación de Delaunay tiene que ser revisado también. Para cada tetraedro, tenemos 
que encontrar un punto central dentro del tetraedro que es de la misma distancia de los 
cuatro vértices, medida por la métrica determinada. El criterio de Delaunay se espera Si 
cualquier punto está a una distancia desde el centro mayor que la distancia entre el centro 
y cualquiera de los cuatro vértices. 
1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance 
 
Principalmente aplicado a dominios planas y superficies curvas, el enfoque frente de avance 
es igualmente eficaz para la generación de mallas tetraédricas en tres dimensiones. En tres 
dimensiones, la generación frontal es de una o más superficies cerradas de facetas 
triangulares, y toda la superficie límite puede tomarse como la parte frontal inicial cuando 
se se empieza la red. Dada una faceta triangular en la parte delantera, se determina un 
lugar ideal para un nuevo cuarto nodo.. Al igual que en el caso bidimensional, una medida 
de la forma conveniente para tetraedros, el coeficiente γ, se puede definir de la siguiente 
manera: 
El algoritmo selecciona el nuevo cuarto nodo o un nodo existente para formar el mejor 
tetraedro con un valor máximo γ, y los avances frontales con la formación del nuevo 
elemento. Se requieren comprobaciones de intersección para asegurarse de que el 
tetraedro no penetra en el frente durante la generación de elemento de construcción. 
El mallado se completa cuando el frente generación se reduce a cero, es decir, no quedan 
más facetas triangulares. Algunas mallas adaptativas también pueden ser generadas con 
este método mediante la definición de una función de separación de nodo para controlar el 
tamaño de los elementos en cuanto son creados los elementos. En este caso, tanto la 
colocación de los nodos y la forma de medida elemento tienen que ser modificados para 
tener en cuenta el cambio continuo de tamaño del elemento. Lohner y Oñate propusieron 
usar una gruesa malla Delaunay en los nodos frontera seleccionados, sobre las que la 
función de tamaño se puede interpolar fácilmente. El principal problema con el enfoque 
frente de avance es que la convergencia no siempre está garantizada para dominios 
tridimensionales complejos generales. Sin embargo, la convergencia de los dominios 
tridimensionales de geometría arbitraria por lo general se pueden lograr con una estrategia 
de colocación nodo de sonido. Si no hay convergencia, el volumen tiene que ser dividido 
en partes más simples antes de la generación de malla, y el método frente de avance es 
sólo una herramienta adecuada para manejar el mallado de subvolúmenes que comparten 
una frontera común. La estabilidad y la eficiencia del método se pueden mejorar cuando se 
combina con la triangulación de Delaunay, sobre todo cuando se utiliza para la generación 
de mallas de adaptación. La ilustración 7 muestra una malla

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