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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA “Análisis y Diseño de un Software para la Solución de Problemas de Esfuerzos y/o Deformaciones Planos y de Fractura Lineal” T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A: Ing. Omar Alejandro González Rodríguez DIRIGIDA POR: DR. JOSÉ ÁNGEL L. ORTEGA HERRERA MÉXICO D.F. 2015 ii iii iv Tabla de contenido TABLA DE IMÁGENES ................................................................................................................................. VII RESUMEN .................................................................................................................................................... X ABSTRACT ................................................................................................................................................... XI INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... XII OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................................ XII OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................................... XII JUSTIFICACIÓN. .................................................................................................................................................. XII CAPÍTULO 1: ESTADO DEL ARTE DE GENERADORES DE REDES EN 1, 2, 3, D. ................................................. 1 1.1 HISTORIA DE LOS GENERADORES DE REDES .......................................................................................................... 1 1.2 TIPOS DE REDES............................................................................................................................................. 2 1.2.1 Redes estructuradas ......................................................................................................................... 2 1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques ................................................................................................................ 4 1.2.2 Redes no estructuradas .................................................................................................................... 5 1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay ...................................................................................................................... 6 1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas .......................................................................................................... 9 1.2.2.2.1 El método “octree” ............................................................................................................................. 9 1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d ........................................................................................................... 10 1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance ................................................................................................................. 13 1.2.3 Redes desbordadas ........................................................................................................................ 14 1.2.4 Redes híbridas ................................................................................................................................ 15 CAPÍTULO 2: PROBLEMAS DE LA INGENIERÍA: FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS, ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS. TRANSFERENCIA DE CALOR ESTACIONARIO ..................... 17 2.1 FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS ................................................................................................ 17 2.1.1 Introducción .................................................................................................................................... 17 2.1.2 Flujos estacionarios y no estacionarios ........................................................................................... 19 2.1.3 Ecuaciones gobernantes en fluidos. ................................................................................................ 20 2.1.3.1 Conservación de la masa .......................................................................................................................... 20 2.1.3.2 Origen de las fuerzas en fluidos ................................................................................................................ 23 2.1.3.3 Esfuerzos en un punto .............................................................................................................................. 25 2.1.3.4 Conservación del momento ...................................................................................................................... 27 2.1.3.5 Ecuación constitutiva para un fluido newtoniano .................................................................................... 28 2.1.3.6 Ecuación de Navier-Stokes ........................................................................................................................ 32 2.1 4 Flujos de potencial no viscosos ....................................................................................................... 34 2.1.4.1 Flujo rotacional e irrotacional. .................................................................................................................. 35 2.1.4.2 Función de corriente ................................................................................................................................. 35 2.1.4.3 Formulación matricial ............................................................................................................................... 38 2.1.4.4 Ejemplo: La Ecuación Rayleigh-Plesset ..................................................................................................... 44 2.2 TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO ......................................................................................... 48 2.2.1 Introducción .................................................................................................................................... 48 2.2.2 Leyes de transferencia de calor....................................................................................................... 49 2.2.3 Problemas en una dimensión en estado estacionario. ................................................................... 51 2.2.3.1 Paredes planas .......................................................................................................................................... 51 2.2.3.1.1 Pared Homogénea ............................................................................................................................ 51 2.2.3.1.2 Pared Compuesta .............................................................................................................................. 52 2.2.3.1.3 Discretización por elemento finito .................................................................................................... 54 v 2.2.3.2 Flujo de calor radial en un cilindro. .......................................................................................................... 57 2.2.3.3 Sistemas Conducción – Convección. ......................................................................................................... 59 2.2.4 Problemas en varias dimensiones en estado estacionario. ............................................................ 61 2.2.4.1 Problemas planos en dos dimensiones .....................................................................................................62 2.2.4.1.1Elementos triangulares ...................................................................................................................... 62 2.2.4.1.2 Elementos Rectangulares.................................................................................................................. 64 2.2.4.2 Problemas en tres dimensiones ................................................................................................................ 66 2.3 ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS ....................................................................................... 69 2.3.1Esfuerzo plano ................................................................................................................................. 69 2.3.1.1 Esfuerzos sobre secciones inclinadas ....................................................................................................... 70 2.3.1.2 Casos especiales de esfuerzo plano .......................................................................................................... 72 2.3.2 Esfuerzos principales y cortantes máximos..................................................................................... 74 2.3.2.1 Esfuerzos principales ................................................................................................................................ 74 2.3.2.1.1 Ángulos principales ........................................................................................................................... 76 2.3.2.1.2 Esfuerzos cortantes máximos ........................................................................................................... 77 2.3.3 Ley de Hooke para el esfuerzo plano. ............................................................................................. 79 2.3.3.1 Casos especiales de la ley de Hooke ......................................................................................................... 82 2.3.3.1.1 Cambio de volumen .......................................................................................................................... 82 2.3.4 Deformación unitaria plana ............................................................................................................ 85 2.3.4.1 Deformación unitaria plana contra esfuerzo plano .................................................................................. 85 2.3.4.2 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ............................................................. 86 2.3.4.2.1 Deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 .................................................................................................... 86 2.3.4.2.2 Deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 ........................................................................................... 88 2.3.4.2.3 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ..................................................... 90 2.3.4.3 deformaciones unitarias principales ......................................................................................................... 91 CAPÍTULO 3: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS ............................................................................... 92 3.1 ECUACIONES PARA TEORÍA DE ELASTICIDAD ....................................................................................................... 92 3.1.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio ............................................................................................ 92 3.1.2 Relación deformación-desplazamiento ........................................................................................... 94 3.1.3 Relación esfuerzo-deformación. ..................................................................................................... 97 3.2 ECUACIONES PARA EL ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA ........................................................................... 99 3.2.1 Conceptos de deformación plana y esfuerzo plano. ..................................................................... 100 3.2.1.1 Estado bidimensional del esfuerzo y la deformación plana .................................................................... 101 3.2.2 Derivación de la matriz de rigidez del elemento triangular de deformación constante y sus ecuaciones. ............................................................................................................................................ 105 3.2.3 Fuerzas superficiales y de cuerpo .................................................................................................. 118 3.2.4 Ejemplo: solución a un problema de esfuerzo plano por el método del elemento finito. ............. 124 CAPÍTULO 4.- ANÁLISIS LINEAL DE LA FRACTURA. .................................................................................... 134 4.1 PROBLEMAS DE FRACTURA BIDIMENSIONAL. ................................................................................................... 134 4.1.1 Fractura bajo carga Modo I .......................................................................................................... 134 4.1.2 Fractura bajo carga Modo II ......................................................................................................... 138 4.1.3 Fractura bajo carga Modo III ........................................................................................................ 139 4.2 EIGENFUNCIONES DE LOS PROBLEMAS DE FRACTURA. ........................................................................................ 141 4.4 FACTORES DE INTENSIDAD DE ESFUERZO: K ..................................................................................................... 146 4.5 BALANCE DE ENERGÍA DURANTE LA PROPAGACIÓN DE LA FRACTURA ..................................................................... 148 4.5.1 Tasa global de liberación de energía ............................................................................................ 148 4.5.2 Tasa local de liberación de energía ............................................................................................... 152 4.5.3 Integral de aproximación a la fractura ......................................................................................... 154 4.5.4 Estabilidad de la propagación de la fractura ................................................................................ 157 vi 4.6 LA INTEGRAL J ........................................................................................................................................... 158 4.6.1 Derivación de la integral J ............................................................................................................. 159 4.7 EJEMPLO: FRACTURA EN PLACAS Y CARCAZAS .................................................................................................. 160 CAPÍTULO 5.- EL MEF Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FRACTURA LINEAL. .............................................. 164 5.1 INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN NUMÉRICA EN LA PUNTA DE LA GRIETA ............................................................. 164 5.2 ELEMENTOS FINITOS ESPECIALES EN LA PUNTA DE LA FRACTURA .......................................................................... 167 5.2.1 Elementos isoparimétricos de desplazamiento modificados ........................................................ 167 5.2.1.1 Elementos de un cuarto de punto en una dimensión. ............................................................................ 167 5.2.1.2 Elementos de un cuarto de punto en dos dimensiones, cuadriláteros y triangulares. ........................... 169 5.2.1.3 Elementos cuadriláteros colapsados. ..................................................................................................... 170 5.2.1.4 Elementos de un cuarto de punto en tres dimensiones ......................................................................... 173 5.2.2 Cálculo de los factoresde intensidad de los elementos de un cuarto de punto. .......................... 176 5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto planos ........................................................................ 176 5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto tridimensionales. ...................................................... 177 5.3 MÉTODO DE LA TASA DE LIBERACIÓN DE ENERGÍA GLOBAL. ................................................................................ 179 5.3.1 Realización con elemento finito .................................................................................................... 179 5.3.2 Método de la extensión de la fractura virtual............................................................................... 180 5.4 MÉTODO DE LA INTEGRAL DE APROXIMACIÓN. ................................................................................................ 182 5.4.1 Ecuaciones básicas del método de energía local .......................................................................... 182 5.4.2 Implementación numérica en elemento finito en 2D .................................................................... 183 5.4.2.1 Integral de aproximación de fractura simple .......................................................................................... 183 5.4.2.2 Integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) ...................................................................... 184 5.4.2.3 Combinación de la integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) y elementos de cuarto de punto. ................................................................................................................................................................. 186 CAPÍTULO 6: RESULTADOS COMPUTACIONALES ...................................................................................... 188 6.1 TDHEAT (TRANSFERENCIA DE CALOR) ............................................................................................................. 188 6.2 Tubo con temperatura interior y convección en el exterior ............................................................. 188 6.2 TORSION (TORSIÓN PURA) ........................................................................................................................... 192 6.2 Viga prismática sometida a torsión pura ......................................................................................... 192 6.3 STRESS (ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA) ................................................................................................. 196 6.3 Placa delgada con cambio de sección sometida a tensión .............................................................. 196 CONCLUSIONES ........................................................................................................................................ 201 TRABAJOS FUTUROS ......................................................................................................................................... 201 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 202 ANEXOS ................................................................................................................................................... 204 A.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE LAS SUBRUTINAS UTILIZADAS ..................................................................................... 204 A.1.1 Rutina BDYBAL .............................................................................................................................. 204 A.1.2 Rutina DCMPBD ............................................................................................................................ 207 A.1.3 Rutina SLVBD ................................................................................................................................ 208 A.2 PROGRAMA GRID..................................................................................................................................... 210 A.3 PROGRAMA TDHEAT ................................................................................................................................ 215 A.4 PROGRAMA TORSION .............................................................................................................................. 218 vii Tabla de Imágenes Ilustración 1 Triangulación de Delaunay ............................................................................ 7 Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales ........... 8 Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay ...................................... 8 Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree" ...................................................... 10 Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres ...................................... 11 Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay. ...................... 12 Ilustración 7 malla creada por el enfoque frente de avance. ............................................ 14 Ilustración 8 fragmento de una malla desbordada ............................................................ 14 Ilustración 9 Fragmento de una malla hibrida .................................................................. 15 Ilustración 10 placa separada por un fluido de una superficie fija.................................... 17 Ilustración 11 velocidad a través del espesor del fluido .................................................... 18 Ilustración 12 (a) transitorio y luego estacionario, (b) inestable pero estacionario, (c) inestable .......................................................................................................................... 19 Ilustración 13 Conservación de la masa de un volumen fijo en el espacio ....................... 20 Ilustración 14 Fuerzas normales y cortantes en un área .................................................. 24 Ilustración 15 Esfuerzos en un punto ............................................................................... 25 Ilustración 16 esfuerzos cortantes.................................................................................... 26 Ilustración 17 Esfuerzos superficiales en un elemento movido por un fluido (en dirección X) ..................................................................................................................................... 27 Ilustración 18 fluido en un elemento (a) flujo rotacional y (b) flujo irrotacional .................. 35 Ilustración 19 las líneas de ϕ y ψ son ortogonales ........................................................... 37 Ilustración 20 (a) fluido uniforme en un canal convergente. (b) modelo simétrico mostrando las velocidades y los valores a la frontera, (c) modelo de elemento finito grueso usando triangulación de tres nodos .............................................................................................. 40 Ilustración 21 Crecimiento de una burbuja ....................................................................... 44 Ilustración 22 transferencia de calor a través de una pared homogénea.......................... 51 Ilustración 23 transferencia de calor en una pared compuesta ........................................ 53 Ilustración 24 placa típica homogénea ............................................................................. 54 Ilustración 25 pared compuesta ensamblada para su discretización ................................ 56 Ilustración 26 tubería con condiciones de frontera uniformes ........................................... 57 Ilustración 27 tipos de aletas ............................................................................................ 59 Ilustración 28 aleta cónica ............................................................................................... 60 Ilustración 29puntos i y j en aleta cónica ......................................................................... 60 Ilustración 30 Elemento triangular con transferencia de calor .......................................... 63 Ilustración 31 elemento tetraédrico lineal ......................................................................... 66 Ilustración 32 ejemplo en tres dimensiones ..................................................................... 68 Ilustración 33 (a) malla en tercera dimensión, (b) solución en tercera dimensión ............. 68 Ilustración 34 ................................................................................................................... 69 Ilustración 35 elemento de esfuerzo con forma de cuña .................................................. 71 Ilustración 36 elemento en cortante puro ......................................................................... 72 Ilustración 37 Elemento en esfuerzo biaxial ..................................................................... 73 Ilustración 38 variación de esfuerzos conforme se giran los ejes ..................................... 74 Ilustración 39 ................................................................................................................... 75 Ilustración 40 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 80 viii Ilustración 41 elemento de material en esfuerzo plano .................................................... 80 Ilustración 42 Deformación unitaria por cortante .............................................................. 81 Ilustración 43 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 83 Ilustración 44 componentes de la deformación unitaria .................................................... 85 Ilustración 45 ejes y1 y x1 girados a partir de x y y .......................................................... 86 Ilustración 46deformaciones de un elemento en deformación debido a (a) deformación unitaria normal en x, (b) deformación unitaria normal en y y (c) deformación unitaria por cortante............................................................................................................................ 87 Ilustración 47 Deformación unitaria por cortante asociada con los ejes x1y1 ................... 89 Ilustración 48 elemento plano sujeto a esfuerzos ............................................................. 93 Ilustración 49 estado tridimensional de esfuerzos ............................................................ 94 Ilustración 50 (a) elemento en esfuerzo uniaxial, (b) deformación axial resultante, (c) elemento sujeto a cortante, (d) deformación a causa del cortante ................................... 95 Ilustración 51 a8placa con barreno, (b) placa con cambio de área................................. 100 Ilustración 52(a) presa sometida a carga horizontal, (b) tubería con carga vertical ........ 101 Ilustración 53 Estado bidimensional de esfuerzos .......................................................... 101 Ilustración 54 Esfuerzos principales y sus direcciones ................................................... 102 Ilustración 55 Desplazamientos y rotaciones de un elemento en el plano x-y ................ 103 Ilustración 56 (a) placa en tensión,(b) discretizacion de la placa en elementos triangulares ...................................................................................................................................... 105 Ilustración 57 Elemento triangular básico y sus grados de libertad ................................ 105 Ilustración 58 Variación de N sobre la superficie x-y de un elemento típico ................... 110 Ilustración 59 elemento con ejes coordinados en el centroide ....................................... 119 Ilustración 60 (a) elementos con traccion superficial uniforme en un borde, (b) elemento uno con traccion superficial 1 a lo largo del borde 1-3 ................................................... 120 Ilustración 61 elemento sujeto a tracción "p" en un borde .............................................. 122 Ilustración 62 Fuerzas nodales equivalentes de la tracción superficial ........................... 124 Ilustración 63 Placa delgada sujeta a esfuerzo de tensión ............................................. 124 Ilustración 64 Discretización de la placa ........................................................................ 125 Ilustración 65 Elemento 1 de la placa discreteada ......................................................... 126 Ilustración 66 Elemento dos de la placa discretizada ..................................................... 128 Ilustración 67 fractura en una hoja infinita ...................................................................... 134 Ilustración 68 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 138 Ilustración 69 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 139 Ilustración 70 Análisis del campo cercano a la punta de la grieta................................... 141 Ilustración 71 Balance de energía durante la propagación de la grieta .......................... 148 Ilustración 72 Correlación entre la curva esfuerzo-deformación y la tasa de liberación de energía .......................................................................................................................... 151 Ilustración 73 Trabajo realizado durante la propagación de la fractura .......................... 154 Ilustración 74 Estabilidad de la propagación de la fractura ............................................ 157 Ilustración 75 Definición de J como la línea integral alrededor de la punta de la grieta .. 159 Ilustración 76 Tipos de apertura de grieta en hojas planas debido a esfuerzos, pandeos y momentos torsionales .................................................................................................... 161 Ilustración 77 elemento de cuarto de punto unidimensional:(a) coordenadas naturales; (b) coordenadas cartesianas locales ................................................................................... 167 Ilustración 78 (a) elemento cuadrilátero isoperamétrico de 8 nodos nodalmente distorsionado,(b) elemento triangular de 6 nodos .......................................................... 169 ix Ilustración 79 Elemento cuadrilátero de 8 nodos colapsado........................................... 170 Ilustración 80 Arreglo de cuarto de punto de diferentes elementos con fractura ............ 173 Ilustración 81 (a) elemento pentaedrico, (b) elemento hexaédrico colapsado ................ 174 Ilustración 82 determinación del espesor L’ en el caso de elementos curvilíneos .......... 179 Ilustración 83 método de energía local en la forma de la integral de aproximación ........ 182 Ilustración 84 integral simple de aproximación en MEF: (a) fuerzas antes y (b) desplazamientos después de la extensión de la grieta .................................................. 184 Ilustración 85 Integral de aproximación modificada para (a) lineales, (b) cuadráticas, funciones de desplazamiento ......................................................................................... 185 Ilustración 86 integral de aproximación para elementos de cuarto de punto en 2D ........ 187 Ilustración 87 Tubo con temperatura interior .................................................................. 188 Ilustración 88 Número de elementos dado por la malla generada e el programa GRID . 190 Ilustración 89 Numero de nodos de la malla del tubo generada por el programa GRID . 190 Ilustración 90 Solución dada por el programa TDHEAT ................................................. 191 Ilustración 91 Solución dada por el software comercial .................................................. 191 Ilustración 92 Sección transversal ..................................................................................192 Ilustración 93 Mala generada por el programa GRID y número de elementos ............... 192 Ilustración 94 Numero de nodos en la malla generada por el programa GRID ............... 193 Ilustración 95 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa TORSION .................... 193 Ilustración 96 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 194 Ilustración 97Esfuerzo cortante ZY generada por el programa TORSION .................... 194 Ilustración 98 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 195 Ilustración 99 Malla de la placa generada por el programa GRID .................................. 196 Ilustración 100 Malla de la placa generada por el programa GRID y número de nodos 197 Ilustración 101 Esfuerzo principal 1 en la placa ............................................................. 197 Ilustración 102 Esfuerzo principal 1 generado por el programa comercial ...................... 198 Ilustración 103 Esfuerzo principal 2 generado por el programa STRESS ....................... 198 Ilustración 104 Esfuerzo principal 2 generado por el programa comercial ...................... 199 Ilustración 105 Desplazamientos en U dados por el programa STRESS ....................... 199 Ilustración 106 Desplazamientos en U dados por el programa comercial ...................... 200 Ilustración 107 Desplazamientos en V dados por el programa STRESS........................ 200 Ilustración 108 Desplazamientos en V dados por el software comercial ........................ 200 x Resumen En este trabajo se desarrolló un software computacional basado en la implementación del método del elemento finito enfatizados en los capítulos desarrollados en esta tesis. El software desarrollado puede ser usado con fines académicos y para tener una idea más clara de las aplicaciones del método del elemento finito. Los programas presentados son programas no altamente sofisticados que sin embargo pueden resolver una amplia gama de problemas y son aplicables a nivel académico compitiendo con otros softwares comerciales. Dichos software consiste de 4 programas, que, como se mencionó anteriormente están basados en los capítulos de esta tesis; el primero es el programa GRID que es el encargado de generar la malla en dos dimensiones usando como base un grupo de ocho nodos, los siguientes tres programas son: TDHEAT, TORSION y STRESS. Los cuales resuelven la distribución de temperatura en cuerpos bidimensionales sujetos a temperaturas en la frontera y/o convección en la superficie, esfuerzos cortantes en un eje no circular y el análisis de cuerpos delgados sometidos a fuerzas externas y/o desplazamientos en la frontera; respectivamente. Es decir, resuelven problemas que están gobernados bajo las ecuaciones de Laplace y Poisson. Como punto a destacar, estos programas son capaces de generar un ploteo de la discretización de la figura con los valores ya sea por elemento o por nodo y así poder interpretar o más bien de ver de manera más clara los resultados. El presente escrito consta de seis capítulos en los cuales los primeros cinco son destinados a la teoría en la que se basan los programas; empezando sobre teoría básica de generadores de malla, pasando por teoría del elemento finito en transferencia de calor, fluidos estacionarios, esfuerzo y deformaciones planas y por ultimo bases del elemento finito en fractura. El último capítulo está destinado a mostrar algunos problemas resueltos con los programas desarrollados con la finalidad de comprobar su funcionamiento. xi Abstract In this work a computational software implementation based on the finite element emphasized in Chapters method developed in this thesis is developed. The developed software can be used for academic purposes and to have a clearer idea of the applications of the finite element method. The programs presented are not highly sophisticated programs that nevertheless can solve a wide range of problems and apply academically competing with other commercial software. Such software consists of four programs, which as mentioned above are based on the chapters of this thesis; the first is the GRID program that is responsible for generating the mesh in two dimensions using as a basis a group of eight nodes, the following three programs are: TDHEAT, torsion and stress. Which solved the two-dimensional temperature distribution in bodies subject to temperatures at the border and / or convection on the Surface, shear stresses in a shaft non-circular and analysis of thin bodies subject to external and / or displacement forces at the border; respectively. That is, solve problems are governed under the Laplace and Poisson equations. As a highlight, these programs are able to generate a plot of the discretization of the figure with the values either element or node so we can interpret or rather more clearly see the results. The present document consists of six chapters in which the first five are intended for the theory in which the programs are based; beginning on basic theory of mesh generators, through finite element theory of heat transfer fluids stationary, plane stress and strain and finally basics of the finite element in fracture. The last chapter is intended to show some problems solved with programs developed in order to test it. xii Introducción El método del elemento finito es una herramienta muy poderosa para la solución matemática de problemas de ingeniería y física. Su aplicación abarca desde el análisis del chasis de un auto o una nave espacial hasta sistemas térmicos complejos tales como plantas nucleares. Otras áreas de aplicación son, gases compresibles, electroestática, y problemas de lubricación. La implementación del elemento finito es un área muy amplia sobre la que se puede trabajar de manera efectiva, ya que debido al avance de los computadores y la capacidad de las mismas de procesar la información, se ha vuelto una de las formas más versátiles del análisis de problemas de ingeniería. Los programas realizados en este trabajo, están enfatizados en los capítulos siguientes de esta tesis y pueden ser aplicables con fines académicos y algunos aún más complejos, ya que permiten la solución de una amplia gama de problemas Además son programas no altamente sofisticados que sin embargo pueden resolver una amplia gama de problemas y son aplicables a nivel académico compitiendo con otros softwares comerciales. Objetivo General Desarrollar un software para la solución de problemas de ingeniería, basado en el método del elemento finito y programado en lenguaje Fortran. Objetivos Específicos • Desarrollo de un programa que genere una malla en 2D que sea compatible con los programas de solución • Desarrollo de un programa destinada a la solución de problemas en ingeniería tales como: Transferencia de Calor, Torsión y Esfuerzo Plano. Justificación. Para obtener una solución por elemento finito existen diversos softwares comerciales con procedimientos ya definidos y algoritmos diseñados para optimizar una solución. Sin embargo en estos softwares no se puede apreciar de manera clara el cómo se genera dicha solución, así que para esto se propone el desarrollo de un software en lenguaje FORTRAN basado en la implementación del elemento finito para la solución de algunos problemas de ingeniería, en el cual se pueda apreciar el cómo afectan los parámetros modificados y establecer de manera más clara las condiciones iniciales y a su vez dicho software sea capaz de entregar soluciones muy próximas a las reales. 1 Capítulo 1: Estado del arte de generadores de redes en 1, 2, 3, d. 1.1 Historia de los generadores de redes Se puede afirmar que el método de elementos finitos (FEM) fue iniciado por los ingenieros y profesionales en los años cincuenta;Zienkiewicz (1977), por ejemplo. Luego, durante los años sesenta, los matemáticos establecieron los fundamentos teóricos y matemáticos de este método; Ciarlet (1991) o Hughes (1998), entre muchas otras referencias. El FEM entonces fue ampliamente utilizado por las diversas categorías de personas implicadas en la ingeniería. Un número de aplicaciones en diferentes campos de la ingeniería motivó el desarrollo de métodos de generación de malla. Excepto cuando se considera una región cuadrada o geometrías de formas simples, donde la generación de mallas es de aplicación sencilla y concreta en dominios arbitrarios que requieren de diseño y aplicación de los métodos de generación de malla automáticos. Un trabajo pionero de George (1971), a principios de los años setenta, demostró un método para dos geometrías tridimensionales. La generación numérica de redes tiene la doble distinción de ser la ciencia más joven en el área de simulación numérica y uno de los campos más interesantes de la investigación numérica. Aunque se utilizaron aplicaciones similares en la industria aeroespacial para superficies de sustentación, una metodología general para redes 2D irregulares se presentó por primera vez en la obra de A. Winslow “Numerical Solutions of the quasi-linear Poisson Equation in a Nonuniform Triangular Mesh”. En 1974, un documento titulado "generación numérica automática de cuerpo montado de sistemas de coordenadas curvilíneas para campos que contienen cualquier número de cuerpos bidimensionales arbitrarios" apareció en el J. of Computational Physics, escrito por Thompson, Thames, y Mastin. Este documento puede ser considerado un documento histórico, que origina el campo de la frontera en homogeneizadas rejillas, y haciendo posible el uso de las eficientes técnicas de diferencias finitas y volúmenes finitos para geometrías complejas. Los métodos de generación de malla en base cuaternaria fueron iniciados por Yerry y Shephard (1983), pocos años después. Los métodos de generación de malla basados en métodos de Delaunay fueron introducidos por diversos autores, (Hermeline, 1980; Watson, 1981). En cuanto a tres dimensiones, las instalaciones disponibles de los años ochenta (incluyendo la capacidad de memoria y la eficiencia de la CPU) de computadoras, junto con la necesidad de simulaciones más realistas, desencadenaron la investigación de métodos de generación de malla capaces de construir mallas tridimensionales. En este sentido, el avance frontal, de base octal y métodos de tipo Delaunay se extendió a este caso, mientras que la superficie de los engranes recibió una atención particular. Las primeras referencias incluyen Hermeline (1980); Watson (1981); Yerry y Shephard (1984); Lohner y Parikh (1988); Joe (1991); Weatherill y Hassan (1994) y Marcum y Weatherill (1995). 2 1.2 Tipos de redes Hay dos clases fundamentales de redes populares en la solución numérica de problemas de contorno en las regiones multidimensionales: estructurados y no estructurados. Estas clases se diferencian en la forma en que los puntos de la malla se organizan a nivel local. En el sentido más general, esto significa que si la organización local de los puntos de la rejilla y la forma de las celdas de la cuadrícula no dependen de su posición, pero se definen por una regla general, la malla se considera como estructurada. Cuando la conexión de los nodos de la red vecinas varía de un punto a otro, la malla se llama no estructurado. Como resultado, en el caso estructurado la conectividad de la red se toma en cuenta implícitamente, mientras que la conectividad de mallas no estructuradas debe ser descrita de manera explícita mediante un procedimiento de estructura de datos apropiada. Las dos clases fundamentales de malla dan lugar a tres subdivisiones adicionales de tipos de red: estructurado en bloques, desbordado, e híbridos. Estos tipos de malla poseen en cierta medida las características de ambas redes estructuradas y no estructuradas, ocupando así una posición intermedia entre las redes puramente estructuradas y no estructuradas. En general, las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y el acceso de datos fácil, mientras que las mallas no estructuradas ofrecen más adaptabilidad de malla a dominios complicados. Las mallas híbridas de alta calidad disfrutan de las ventajas de ambos enfoques, pero el mallado híbrido aún no es totalmente automático. Las divisiones entre estructuradas y no estructuradas generalmente se extiende a la forma de los elementos: las mallas estructuradas bidimensionales utilizan típicamente cuadriláteros, mientras las mallas no estructuradas utilizan triángulos. En tres dimensiones las formas de elementos análogos son hexaedro y tetraedros. Sin embargo, no hay razón esencial para que las mallas estructuradas y no estructuradas utilicen diferentes formas de elementos. De hecho, es posible subdividir los elementos con el fin de convertir entre triángulos y cuadriláteros y entre tetraedros y hexaedros. 1.2.1 Redes estructuradas Una malla estructurada se caracteriza por la conectividad regular que puede ser expresado como una matriz de dos o tres dimensiones. Esto limita las opciones de los elementos a los cuadriláteros en 2D o hexaedros en 3D. Las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y eficiencia. Una malla estructurada requiere significativamente menos memoria que una malla no estructurada con el mismo número de elementos, porque el almacenamiento conjunto puede definir la conectividad vecina implícitamente. Una malla estructurada también puede ahorrar tiempo: para tener acceso a las células vecinas cuando se calcula una plantilla de diferencias finitas, el software simplemente incrementa o disminuye los índices de matriz. Los compiladores producen un código eficiente para estas operaciones; en particular, pueden optimizar el código para máquinas de vectores. 3 Por otro lado, puede ser difícil o imposible calcular una malla estructurada para un dominio geométrico complicado. Además, una malla estructurada puede requerir muchos más elementos que una malla no estructurada para el mismo problema, porque los elementos de una malla estructurada no tienen la calidad de tamaño. Estas dos dificultades se pueden resolver por el método híbrido estructurado de aproximación/no estructurada, que se descompone en un complicado dominio en bloques soportando redes estructuradas. El enfoque híbrido, sin embargo, aún no está totalmente automático, se requiere la orientación del usuario en la etapa de descomposición. Una malla híbrida tridimensional complicada puede llevar semanas o incluso meses de trabajo; por lo tanto, los enfoques híbridos se utilizan normalmente sólo en fases tardías en el ciclo de diseño. El enfoque de diferencias finitas, utilizando los puntos discretos, está asociado históricamente con rejillas cartesianas rectangulares, ya que una estructura de red regular proporciona una fácil identificación de puntos vecinos para ser utilizado en la representación de los derivados, mientras que el enfoque de los elementos finitos ha sido siempre, por la naturaleza de su construcción, en las celdas diferenciadas de forma general, considerado muy adecuado para regiones irregulares, ya que una red de tales celdas se puede hacer para llenar cualquier región de forma arbitraria y cada celda es una entidad en sí misma, la representación debe estar en una celda, no través de las celdas. La generación de redes estructuradas tiene sus raíces en los EE.UU. en la obra de Winslow y Crowley en el “Lawrence Livermore National Lab” a finales de 1960, y en Rusia desde Godunov y Prokopov casi al mismo tiempo. Otro componente muy fundamental fue el trabajo de Bill Gordon en Drexel en la interpolación transfinita para la industria automotriz, una presentación a la comunidad generación cuadrícula emergente en la conferenciade rejilla en Nashville en 1982. El uso de las redes en materiales compuestos ha sido la clave para el tratamiento de configuraciones 3D generales con redes estructuradas. Aquí, en general, de material compuesto se refiere al hecho de que la región física se divide en subregiones, dentro de cada uno de los cuales se genera una cuadrícula estructurada. Estos subcuadrículas pueden ser parchadas juntas en interfaces comunes, pueden ser superpuestas, o pueden estar conectadas por una red no estructurada. Considerable confusión ha surgido en cuanto a la terminología para redes de compuestas, por lo que es difícil clasificar de inmediato trabajos sobre el tema. Las rejillas compuestas en las que los subcuadrículas comparten interfaces comunes se conocen como bloque, parcheado, incrustado, o redes zonales en la literatura. El uso de los dos primeros de estos términos es bastante consistente con este tipo de rejilla (parcheado proviene de las interfaces comunes, bloques de la estructura lógica rectangular), pero los dos últimos son a veces también se aplica a las redes superpuestas. Cuadrículas superpuestas (desbordadas) a menudo se llaman las redes quimera tras el monstruo compuesto de la mitología griega. Desafortunadamente, las rejillas de interfaz común también se puede decir que se desbordan, ya que normalmente al rodear utilizan capas de puntos para lograr la continuidad. El uso de la zonal proviene principalmente de las aplicaciones CFD donde la sugerencia de la aplicación de diferentes ecuaciones de solución en diferentes regiones de flujo. Quizás bloques o parcheados sería mejor para las rejillas de interfaz comunes, quimera para las redes superpuestas, e híbridas para las combinaciones estructuradas - no estructuradas. 4 Con esta terminología adoptada, las redes en bloque (o parcheadas) pueden ser completamente continuas en las interfaces, tienen pendiente o continuidad de línea, o son discontinuas (compartir una interfaz común, pero no son comunes los puntos de la misma). La continuidad completa se logra a través de una capa circundante de (imagen, phantom) puntos en los que los valores se mantienen iguales a los correspondientes a los puntos del objeto dentro de un bloque adyacente. Esto requiere un procedimiento de indexación de datos para enlazar los bloques a través de las interfaces. Con la continuidad completa, la interfaz no es fija (ni siquiera en forma), sino que se determina en el curso de la solución. Este tipo de interfaz necesita de un sistema de generación elíptica. La continuidad pendiente requiere que el procedimiento de generación de rejilla incorporar algún control sobre el ángulo de intersección en los límites (por lo general, pero no necesariamente, ortogonalidad), una exploración se realiza a través de la interpolación de Hermite en los sistemas de generación algebraicas o a través del ajuste iterativo de las funciones de control en los sistemas elípticos. En este caso los puntos de la interfaz son fijos, y las subcuadrículas se generan de forma independiente, excepto por el uso de los puntos de interfaz común y un ángulo común (presumiblemente ortogonal) de intersección con la interfaz. La construcción de codificación PDE se simplifica en gran medida, ya sea con continuidad completa o pendiente, desde entonces, las modificaciones en el algoritmo no son necesarias en las interfaces. 1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques En la técnica aplicada de bloques, la región se divide sin agujeros o se superpone en unos pocos subdominios contiguos, que pueden ser considerados como las celdas de un grueso, generalmente rejillas no estructuradas. Y entonces una rejilla estructurada se genera en cada bloque. La unión de estas redes locales constituye una malla que se refiere como una cuadrícula de bloques estructurados o multi-bloque. Las rejillas de este tipo por lo tanto pueden ser consideradas como estructurado localmente en el nivel de un bloque individual, pero no estructurada cuando se ve como una colección de bloques. Así, una idea común en la técnica de la rejilla de bloques estructurados es el uso de diferentes redes estructuradas, o sistemas de coordenadas, en las diferentes regiones, lo que permite la configuración de cuadrícula más adecuada para ser utilizado en cada región. Las redes estructuradas en bloquea son considerablemente más flexible en el manejo de geometrías complejas que las redes estructuradas. Desde estas rejillas se retiene el patrón regular de conectividad simple de una malla estructurada a nivel local, estas rejillas de bloques estructurados mantienen, en casi la misma manera que las redes estructuradas, la compatibilidad con los algoritmos de diferencias finitas o volumen finito eficientes utilizados para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la generación de redes de bloque estructurado puede tener una buena cantidad de interacción con el usuario y, por lo tanto, requiere la aplicación de una técnica de automatización para diseñar la topología de bloque. Las principales razones para el uso de las redes multi-bloque en lugar de las redes de bloque único son que (1) la geometría de la región es complicada, que tiene una frontera con conexiones múltiples, cortes, protuberancias estrechas, cavidades, etc.; 5 (2) el problema físico es heterogéneo con respecto a algunas de las magnitudes físicas, de modo que se requieren diferentes modelos matemáticos en diferentes zonas del dominio para describir adecuadamente los fenómenos físicos; (3) la solución del problema se comporta de manera no uniforme: pueden existir zonas de variación suave y rápida de diferentes escalas. Los bloques de redes estructuradas localmente en una región tridimensional son comúnmente homeomorfas a un cubo tridimensional, por lo tanto tener la forma de un hexaedro curvilíneo. Sin embargo, algunos dominios se pueden dividir de manera más eficaces con el uso de bloques cilíndricos. Los bloques cilíndricos se aplican comúnmente para la solución numérica de problemas en regiones con agujeros y para el cálculo de los flujos de aeronaves o sus componentes (alas, fuselajes, etc.). Para muchos problemas es más fácil tener en cuenta la geometría de la región y la estructura de la solución mediante el uso de bloques cilíndricos. Además, el número total de bloques y secciones puede ser menor que cuando se utilizan sólo bloques homeomorfos a un cubo. Los solucionadores de bloques estructurados usualmente requieren la menor cantidad de memoria para un tamaño de malla determinado y se ejecutan más rápidamente, ya que están optimizados para la disposición estructurada de la cuadrícula. Por último, el procesamiento posterior de los resultados en una cuadrícula bloque estructurado es una tarea mucho más fácil porque los planos de la cuadrícula lógica son excelentes puntos de referencia para examinar el campo de flujo y el trazado de los resultados. El principal inconveniente de las redes de bloques estructurados es el tiempo y la experiencia necesaria para diseñar una estructura de bloque óptimo para un modelo completo. A menudo, esto se reduce a la experiencia del usuario más allá de la fuerza bruta y la colocación de puntos de control y los bordes. Algunas geometrías, por ejemplo: conos de poca profundidad y las cuñas, no se prestan a las topologías de bloques estructurados. En estas zonas, el usuario se ve obligado a estirar o torcer los elementos en un grado que afecta drásticamente la precisión y el rendimiento solucionador haciendo que los tiempos de generación de cuadrícula generalmente se midan en días. 1.2.2 Redes no estructuradas Muchos de los problemas de campo de interés implican geometrías muy complejas que no son fácilmente susceptibles al marco del concepto red estructurada pura. Las redes estructuradas pueden carecer de la necesaria flexibilidad y robustezpara el manejo de dominios con fronteras complicadas, o las celdas de la cuadrícula pueden llegar a ser demasiado sesgadas y retorcidas, prohibiendo así una solución numérica eficiente. Un concepto de red no estructurada se considera como una de las soluciones adecuadas para el problema de la producción de rejillas en regiones con formas complejas. Las mallas no estructuradas han distribuido irregularmente nodos y sus celdas no están obligados a tener una sola forma estándar. Además de esto, la conectividad de las celdas de la cuadrícula vecina no está sujeta a ninguna restricción; en particular, las celdas pueden solaparse o encerrar entre sí. Por lo tanto, las mallas no estructuradas proporcionan la herramienta más flexible para la descripción discreta de una geometría. 6 Estas mallas son adecuadas para la discretización de dominios con una forma complicada, como las regiones alrededor de superficies de una aeronave. También permiten aplicar un enfoque natural para la adaptación local, ya sea por la inserción o eliminación de nodos. El refinamiento de la celda en un sistema no estructurado puede llevarse a cabo localmente dividiendo las celdas en las zonas apropiadas en unas pocas celdas más pequeñas. Las mallas no estructuradas también permiten la resolución excesiva al eliminar celdas de la cuadrícula local en regiones en las que la solución no varía apreciablemente. En la práctica, el tiempo total requerido para generar mallas no estructuradas en geometrías complejas es mucho más corto que para las redes estructuradas y estructuradas en bloque. Sin embargo, el uso de redes no estructuradas complica el algoritmo numérico debido al problema de la gestión de datos inherente, lo que exige un programa especial para el número y el orden de los nodos, bordes, caras, y las células de la red, y se requiere más memoria para almacenar información acerca de las conexiones entre las células de la malla. Una desventaja adicional de mallas no estructuradas que causa excesivo trabajo computacional se asocia con el aumento del número de celdas, las caras y los bordes de celdas, en comparación con los de mallas hexaédricas. Por ejemplo, una malla tetraédrica de N puntos tiene aproximadamente las 6 N celdas, 12N caras y 7N bordes, mientras que una malla de hexaedros tiene aproximadamente N celdas, 3N caras y 3N bordes. Por otra parte, mover fronteras o mover las superficies internas de los dominios físicos es difícil de manejar con mallas no estructuradas. Además de esto, los operadores del esquema de diferencia linealizado en mallas no estructuradas no suelen congregar matrices, lo que hace más difícil el uso de esquemas implícitos. Como resultado, los algoritmos numéricos basados en una topología de red de no estructurada son los más costosos en términos de operaciones por tiempo y de memoria por punto de la cuadrícula. Originalmente, se utilizaron mallas no estructuradas principalmente en la teoría de la elasticidad y plasticidad, y en los algoritmos numéricos basados en métodos de elementos finitos. Sin embargo, el ámbito de aplicación de mallas no estructuradas se ha ampliado considerablemente e incluye la dinámica de fluidos computacional. Otro inconveniente de los métodos es su dependencia de los buenos datos CAD. La mayoría de los fracasos de mallado son debido a algún error (posiblemente minúsculo) en el modelo CAD. Solucionadores de flujo no estructurados normalmente requieren más memoria y tienen tiempos de ejecución más largos que los solucionadores de cuadrícula estructurados sobre una malla similar. Publicar el procesamiento de la solución en una malla no estructurada requiere herramientas poderosas para la interpolación de los resultados en el plano y las superficies de rotación para facilitar la visualización. 1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay Con mucho, las más populares técnicas de generación de malla triangular se basan en el concepto de triangulación de Delaunay. El criterio de Delaunay, también conocido como la propiedad circulo vacio, establece que cualquier nodo no debe estar contenido dentro del círculo circunscrito de cualquier triángulo de la malla, como se muestra en la ilustración 1. Si bien el criterio Delaunay se conoce desde hace muchos años, no fue hasta que el trabajo de Lawson y Watson que el criterio fue explotado para el desarrollo de algoritmos para formar una triangulación convexa conexión de un conjunto determinado de puntos. Con el 7 rápido desarrollo de la FEM, el algoritmo de triangulación de Delaunay se amplió para generar mallas de elementos finitos válida para el análisis numérico de ingeniería, por Weatherill, Baker & Vassberg, George & Hermeline, y otros. Ilustración 1 Triangulación de Delaunay En el algoritmo incremental del Bowyer y Watson, los puntos se procesan de uno en uno. En un paso típico de inserción de punto, los triángulos cuyos circumcirculo contiene el punto de inserción son identificados y eliminados. Nuevos triángulos se construyen en la cavidad dejada por los triángulos eliminados. Por lo tanto, la eficiencia del algoritmo de triangulación depende de lo rápido que podemos identificar los triángulos para ser retirados y determinar correctamente la cavidad para la inserción, y la velocidad con la que se calculan el circuncentro, circunradio y la relación de adyacencia de los nuevos triángulos. El criterio de Delaunay en sí no es un algoritmo para la generación de la malla. Simplemente proporciona una regla para conectar un conjunto de puntos existentes en el espacio. Como resultado, es necesario diseñar un método para determinar el número y las ubicaciones de los puntos de nodo a ser insertados dentro del dominio de interés. Un enfoque típico es crear primero una malla triangular lo suficientemente grande como para contener todo el dominio. Los nodos de frontera son entonces insertados y conectados de acuerdo con el criterio de Delaunay, y esto constituye una triangulación de los nodos frontera. Más nodos se insertan de forma incremental en la malla gruesa límite, la redefiniendo los triángulos cada que se introduce cada nuevo nodo, hasta que se forman un número deseable de elementos en posiciones apropiadas. En las aplicaciones de elementos finitos, hay un requisito de que se mantenga una triangulación superficie existente, es decir, la integridad de la barrera de dominio. En la mayoría proceso de triangulación Delaunay, antes de que se insertan nodos interiores, se produce una teselación de los nodos en el límite del dominio. Sin embargo, en este proceso, no hay garantía de que los segmentos de contorno estarán presentes en la triangulación. En muchas implementaciones, el enfoque es teselar los nodos frontera utilizando un algoritmo de Delaunay estándar sin tener en cuenta la integridad del dominio frontera. Entonces se emplea un segundo paso a la fuerza o la recuperación de los segmentos de contorno. Por supuesto, al hacerlo, la triangulación, en general, no es estrictamente Delaunay, de ahí el término "triangulación de Delaunay frontera con limitaciones". En dos dimensiones, la recuperación de borde es relativamente sencillo. Weatherill describe cómo bordes de una triangulación pueden recuperarse simplemente intercambiando diagonales, como se muestra en la ilustración 2. 8 Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales Hay muchas maneras para la segunda fase de inserción del punto de acuerdo a la función de separación de nodo, que de hecho daría lugar a mallas de diferentes características. Hermeline propone un esquema en el que se insertan los puntos en el baricentro bajo ciertas condiciones. Algunos investigadores han propuesto insertar puntos en los circuncentro de los triángulos. George propuso la inserción de puntos a lo largo de los bordes de los triángulos. Otros hacen uso de un conjuntode puntos en posiciones predeterminadas con la ayuda de una rejilla regular, una red “quadtree” o algún tipo de métodos de descomposición espacial. Un esquema combinado con el enfoque frente de avance también se presentó, en el que se insertan los puntos en posiciones estratégicas como se determina en procesos frontales y las conexiones de elementos se modificarán de acuerdo con el criterio de Delaunay. Borouchaki hizo uso de los conceptos de espacio de control y criterio de longitud para la inserción de puntos para crear una malla adaptativa de elementos de tamaños variables. El mapa de tamaño del elemento puede ser dado explícitamente como una función continua sobre todo el dominio o implícitamente definido por medio de una malla de fondo. Los puntos se insertan basados en la subdivisión de los bordes de los elementos. Esta idea se extendió más tarde con la introducción de un tensor métrico general para la generación de mallas anisótropas en la que no sólo el tamaño del elemento puede variar, también los elementos se someten a diferentes requisitos de tamaño a lo largo de diferentes direcciones, como se muestra en la ilustración 3. Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay 9 1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas La generación de malla automática ha alcanzado una etapa tan madura que hay algoritmos eficientes que pueden generar redes de alta calidad que se adaptan en los dominios de dos dimensiones generales y sobre superficies curvas arbitrarias de una manera robusta. Sin embargo, cuando nos fijamos en la generación de mallas de objetos sólidos tridimensionales, inmediatamente nos damos cuenta de que el problema se vuelve mucho más complejo, y muchas habilidades que funcionan bastante bien en dos dimensiones, simplemente no se puede extender a una dimensión superior. En dos dimensiones, la generación de la malla de límite restringido es casi un proceso determinista para el que las soluciones siempre están garantizadas. En tres dimensiones, los algoritmos de generación de mallas son más de naturaleza iterativa. La diferencia fundamental entre generar un dominio bidimensional y un dominio tridimensional es que un límite de dos dimensiones siempre puede ser engranado sin la necesidad de nodos adicionales. Sin embargo, hay geometrías en tres dimensiones que no pueden ser discretizadas sin adición de puntos interiores, un pentaedro trenzado con la triangulación de la superficie es un ejemplo bien conocido. Puesto que no hay manera sistemática para decidir dónde se deben insertar puntos, las soluciones analíticas no están disponibles, lo que lleva al desarrollo de algoritmos iterativos de la naturaleza heurística para aplicaciones específicas. El problema se complica aún más cuando se requieren mallas de tamaño del elemento variable en un entorno de adaptación. Sin embargo, después de años de investigación dedicada, muchos algoritmos prácticos para engranar los objetos sólidos tridimensionales son bastante fiables de manera que la integridad de la barrera de dominio se puede mantener, a menos que se encuentran condiciones de contorno extremadamente pobres, que se caracteriza por la presencia de muchas facetas de superficie alargados con grandes relaciones de aspecto entre elementos adyacentes. Las tres técnicas populares, a saber, el método “octree”, la triangulación de Delaunay y el enfoque frente de avance, juegan un papel importante en la generación de la malla tridimensional. 1.2.2.2.1 El método “octree” La técnica octree es una forma de esquema de descomposición espacial en la que el objeto de interés está encerrado en una caja de celdas cúbicas regulares que se refinan progresivamente para capturar la frontera de dominio o para satisfacer ciertos requisitos de tamaño del elemento. La técnica octree representa un objeto tridimensional como una colección de cubos de tamaños variables, más o menos la misma que la técnica de quadtree presenta un dominio planar en términos de células cuadradas. Una de las deficiencias de la “quadtree” o descomposición “octree” es la orientación predefinida de la zona de generación, que no lo hace adecuadamente tomando cuenta la dirección preferencial dictada por partes de límites externos e internos. Para reducir el número de elementos necesarios para representar límites curvos, en la descomposición- octree modificado, se introduce el concepto de un 'octante corte ". Para mantener el almacenamiento de árbol de número entero y para limitar el número de casos de corte octante a un nivel manejable, sólo los cuartos y medios puntos de un octante se utilizan en el proceso de corte. Este es un proceso bastante complicado y tiene que ser tomado en una base de caso por caso; el número de casos especiales que se requieren en una 10 situación de dos dimensiones es de 16, en tanto que la misma situación,en tridimensional incrementa a 4,096 casos. Otras características asociadas con el método de octree modificado es que una regla de transición de un nivel tiene que ser forzada para asegurar un cambio suave de tamaño del elemento y los elementos de transición son para ser utilizado en otras situaciones. Como las superficies de contacto de las partes adyacentes creadas por el método de octree modificado no son en general compatibles, la generación de malla para los dominios complejos a través de la descomposición subdominio no es sencillo, ya que hay dificultad en la búsqueda de los límites de un subdominio con otro. También se han propuesto variaciones de la técnica octree modificado combinado con otros esquemas tales como la triangulación de Delaunay y un proceso frontal. Sin embargo, la ventaja de la técnica octree es que permite una rápida descomposición del objeto en elementos, y hay flexibilidad en el grado de resolución en la representación de características geométricas de contorno. Este método puede ser más adecuado para problemas en los que la solución física no es sensible a los detalles geométricos de contorno. La ilustración 4 muestra una malla tetraédrica creado por el método modificado- octree. Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree" 1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d En tres dimensiones, el algoritmo de Watson comienza con un tetraedro que contiene todos los puntos que se inserta, y el nuevo tetraedro es formado como los puntos se introducen de uno en uno. En una etapa típica del proceso, un nuevo punto se prueba para determinar qué circumesferas de los tetraedros existentes contienen el punto. Los tetraedros asociados se retiran, dejando un poliedro de inserción que contiene el punto. Se crean bordes que conectan el nuevo punto a todas las facetas triangulares en la superficie del poliedro de inserción, definiendo tetraedros que llenan la cavidad. La combinación de estas con los tetraedros fuera del poliedro inserción produce una nueva triangulación Delaunay que contiene el punto que acaba de agregar. La triangulación es completa cuando se insertan y se procesan de forma secuencial todos los puntos. 11 En muchas aplicaciones, se requiere que se mantengan las facetas triangulares en la superficie límite. Sin embargo, la triangulación Delaunay de los puntos de los límites no siempre contiene todas las aristas y facetas triangulares en la superficie límite. Mientras que en dos dimensiones, la recuperación de los bordes de contorno se garantizará mediante el canje de las diagonales, hay casos en tres dimensiones donde la triangulación frontera no se puede definir sin insertar primero nodos adicionales. Este fenómeno aumenta la complejidad del procedimiento de recuperación límite en tres dimensiones. Dos métodos diferentes han sido propuestos por George et al. y Weatherill y Hassan, respectivamente, para tratar con el problema de la recuperación de la superficie. En el primer enfoque sugeridopor George e implementado en software GSH3D de INRIA, un borde que une dos nodos se recupera mediante la realización de una serie de transformaciones tetraédricas intercambiando dos tetraedros adyacentes por tres, como se muestra en la ilustración 5. El proceso de intercambio 2-3 reduce eficazmente el número de intersecciones de la segmento de línea que debe recuperarse con las caras triangulares de la malla en uno por cada intercambio. Cuando no hay más intersección con la malla, se recupera el segmento de línea propuesto. A veces hay que un canje 2-3 no válido se puede definir para resolver una intersección, y los nodos adicionales debe ser introducido para facilitar más cambios de elemento hasta que se eliminen todas las intersecciones. Después se recuperan todos los bordes de la frontera, algunas facetas triangulares de frontera aún pueden faltar. A fin de recuperar las caras triangulares, se llevan a cabo transformaciones de elementos, principalmente caracterizados por el intercambio de tres tetraedros adyacentes en un borde para dos. Transformaciones más complejas o nodos adicionales pueden ser necesarios en la fase de recuperación de cara si las transformaciones simples por sí solas no puedan resolver la situación. Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres El segundo método propuesto por Weatherill también implica una fase de recuperación del borde y una fase de recuperación de cara. La principal diferencia con el enfoque de George es que, en lugar de intentar transformaciones de elementos para recuperar los bordes y caras, los nodos se insertan directamente en la triangulación en las posiciones donde se cruza la superficie límite. Este proceso introduce temporalmente nodos adicionales a la superficie límite. Una vez que se forman las facetas de la superficie, se eliminan los nodos que se insertaron para facilitar la recuperación de límites. 12 Un punto fuerte de la triangulación de Delaunay es que la generación de mallas se basa en un fondo teórico sólido a partir del cual algoritmos eficientes y fiables se pueden formular. El desarrollo en la técnica de recuperación límite mejora aún más el alcance de las aplicaciones de este método. Sin embargo, mientras que el criterio Delaunay proporciona una regla para la conexión de un conjunto dado de puntos, no sugiere posiciones estratégicas para la inserción de un nodo, excepto, por supuesto, aquellos nodos esencialmente en el límite. Aunque esto parece ser una deficiencia del método, permite una gran libertad en la definición de estrategias de inserción de nodo para generar mallas de diferentes características, incluyendo los utilizados en el análisis de adaptación. La triangulación mínima con integridad límite proporciona la base para la inserción de un nodo para crear todo tipo de mallas para diversos fines. En el generador de mallas GSH3D desarrollada por INRIA, los nodos interiores se insertan en las posiciones a lo largo de los bordes de los elementos. Una lista de nodos candidatos se genera al marchar a lo largo de los bordes internos existentes de la malla a una distancia especificada. Los nodos son considerados uno por uno, descartando los nodos que esten demasiado cerca de un nodo existente. Este proceso se puede hacer de una manera recursiva hasta que se satisface una función de tamaño del fondo. Otro esquema de inserción nodo sugerido por Marcum y Weathers y Frey se basa en el enfoque frente de avance. Cada cara triangular generada en la parte frontal se examina para determinar la ubicación ideal para un nuevo cuarto nodo en el interior de la malla Delaunay existente. Si se acepta un nodo, la conexión de este nodo a los elementos existentes se realiza por un núcleo punto de inserción estándar kernel, y el frente se actualiza en consecuencia. Este método tiende a generar elementos en buena alineación con el límite del dominio, y por lo general son de mejor calidad en comparación con otros esquemas de inserción punto. Como la triangulación de Delaunay puede dar lugar a elementos degenerados muy delgados, conocidos como astillas, que pueden no ser adecuados para el análisis numérico, una optimización basada en una medida de elemento de forma apropiada tiene que ser aplicada para mejorar la calidad global de la malla. La ilustración 6 muestra las mallas adaptativas generadas por el método de triangulación Delaunay. Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay. 13 Una extensión para la generación de redes gobernada por una métrica anisotrópica en general también es posible. Aquí, tenemos que prestar atención a los dos aspectos importantes en un proceso de triangulación de Delaunay. En primer lugar, en la creación de puntos interiores, sus posiciones estratégicas tienen que ser determinada por un cálculo de la longitud sobre la base de la métrica en general, para producir elementos con características anisotrópicas. En segundo lugar, el criterio de vacío-esfera utilizado en la triangulación de Delaunay tiene que ser revisado también. Para cada tetraedro, tenemos que encontrar un punto central dentro del tetraedro que es de la misma distancia de los cuatro vértices, medida por la métrica determinada. El criterio de Delaunay se espera Si cualquier punto está a una distancia desde el centro mayor que la distancia entre el centro y cualquiera de los cuatro vértices. 1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance Principalmente aplicado a dominios planas y superficies curvas, el enfoque frente de avance es igualmente eficaz para la generación de mallas tetraédricas en tres dimensiones. En tres dimensiones, la generación frontal es de una o más superficies cerradas de facetas triangulares, y toda la superficie límite puede tomarse como la parte frontal inicial cuando se se empieza la red. Dada una faceta triangular en la parte delantera, se determina un lugar ideal para un nuevo cuarto nodo.. Al igual que en el caso bidimensional, una medida de la forma conveniente para tetraedros, el coeficiente γ, se puede definir de la siguiente manera: El algoritmo selecciona el nuevo cuarto nodo o un nodo existente para formar el mejor tetraedro con un valor máximo γ, y los avances frontales con la formación del nuevo elemento. Se requieren comprobaciones de intersección para asegurarse de que el tetraedro no penetra en el frente durante la generación de elemento de construcción. El mallado se completa cuando el frente generación se reduce a cero, es decir, no quedan más facetas triangulares. Algunas mallas adaptativas también pueden ser generadas con este método mediante la definición de una función de separación de nodo para controlar el tamaño de los elementos en cuanto son creados los elementos. En este caso, tanto la colocación de los nodos y la forma de medida elemento tienen que ser modificados para tener en cuenta el cambio continuo de tamaño del elemento. Lohner y Oñate propusieron usar una gruesa malla Delaunay en los nodos frontera seleccionados, sobre las que la función de tamaño se puede interpolar fácilmente. El principal problema con el enfoque frente de avance es que la convergencia no siempre está garantizada para dominios tridimensionales complejos generales. Sin embargo, la convergencia de los dominios tridimensionales de geometría arbitraria por lo general se pueden lograr con una estrategia de colocación nodo de sonido. Si no hay convergencia, el volumen tiene que ser dividido en partes más simples antes de la generación de malla, y el método frente de avance es sólo una herramienta adecuada para manejar el mallado de subvolúmenes que comparten una frontera común. La estabilidad y la eficiencia del método se pueden mejorar cuando se combina con la triangulación de Delaunay, sobre todo cuando se utiliza para la generación de mallas de adaptación. La ilustración 7 muestra una malla
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