Analisis-numerico-de-la-propagacion-de-las-grietas-en-masa-de-rueda-portadora-de-los-vagones-del-metro

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingenieŕıa Mecánica y Eléctrica
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
Análisis numérico de la propagación de las grietas en la
maza de rueda portadora de los vagones del metro
aplicando el método del elemento finito
T E S I S
que para obtener el grado de
Maestro en Ciencias en Ingenieŕıa Mecánica
Presenta:
Ing. Carlos Alberto Ricardo Mendoza
Directora:
Dra. Rita Aguilar Osorio
México, D.F. 2013
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO 
CARTA CESIÓN DE DERECHOS 
En la Ciudad de México, D.F. el día 13 del mes Junio del año 2013, el que 
suscribe: 
lng. Carlos Alberto Ricardo Mendoza alumno del Programa de 
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica opción Diseño 
Con número de registro A110583 adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado 
e Investigación, manifiesta que es autor intelectual del presente trabajo de 
Tesis bajo la dirección de la Dra. Rita Aguilar Osorio y cede los derechos del 
trabajo intitulado: 
ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROPAGACIÓN DE LAS GRIETAS EN LA 
MAZA DE RUEDA PORTADORA DE LOS VAGONES DEL METRO 
APLICANDO EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 
Al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de 
investigación 
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, 
gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del 
trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a las siguientes direcciones: 
cricardom1100@alumno.ipn.mx 
raguilaro@ipn.mx 
Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento 
correspondiente y citar la fuente del mismo. 
Ing. Carlos Alberto Ricardo Mendoza 
viii
Dedicatorias
Este trabajo lo dedico con mucho cariño, admiración y respeto a mis familiares, en
especial a mis Padres, Lydia y Bartolomé, que siempre han luchado para mantener
una familia unida.
A mis hermanos: “Mi Julio”, siempre un gran apoyo, a mi hermana Lily, que ahora
nos ha dado una sonrisa más para todos, Crisol, una motivación más para superarnos.
A mis abuelos Alberta y Amado, Saturnina y Rosaĺıo. En especial a mi “Pa
Rosa”, con sus consejos, experiencia y sobre todo con su carácter, es un gran ejemplo
a seguir.
A la familia Garćıa Delgado, que me ha aceptado como uno más de los suyos, con
un mayor énfasis a la mujer de mi vida, Rosina Garćıa Delgado.
Para las personas de mi querido Rı́o Grande que siempre me apoyaron, los amigos
de la Preparatoria, Angélica, Brenda, Nayeli, Ofelia, Sarita, David, Daniel,
Tony, Humberto, Yair. A mis amigos de ENCINALES, gracias por el apoyo
para comenzar este reto.
Finalmente, pero no menos importantes a mis amigos y compañeros de la
maestŕıa, Miguel, Victor, Sara, Vanya, Axel, Salvador, Obed, Paco, Daniel, Eliat,
Adrian; en especial a mis compañeros de cub́ıculo, Felipe, Uriel, Marcia, Salvador,
Fernanda, Omar, Samuel, Pedro, Yamil, Abraham, sin olvidar a los nuevos Vanessa,
Daniel y Javad.
A todos, este trabajo se los dedico con mucho cariño.
x
Agradecimientos
Gracias a Dios por permitirme estar viviendo esta gran dicha acompañado por los que
más quiero.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnoloǵıa, y al Programa Institucional de Formación
de Investigadores por apoyarme económicamente durante la realización de este trabajo.
Al Instituto Politécnico Nacional, esta gran escuela a la que sirvo como uno de sus
estudiantes y ahora egresado. Al Programa de Formación de Investigadores (PIFI), por
el apoyo económico recibido.
A la Universidad Autónoma de Zacatecas, mi alma mater, soy hijo de la UAZ, orgu-
llosamente, nada somos si olvidamos nuestros oŕıgenes.
A mi Familia, son y serán las personas que admire, respete y sobre todo que apoyaré,
gracias por todo el apoyo durante esta etapa. En especial para mis padres y hermanos,
son una gran motivación, no tengo palabras para agradecer todo lo que he recibido de
ustedes, muchas gracias.
A mi amada Rosina Garćıa Delgado, en los momentos de claudicación, siempre estabas
ah́ı con las palabras justas y necesarias para alentarme a seguir adelante.
A todos mis profesores que tuve durante la maestŕıa, en especial a mi directora de
tesis, Dra. Rita Aguilar Osorio, por mostrarme que el esfuerzo debe ser acompañado
con orden y disciplina para alcanzar y superar objetivos, que la capacidad de trabajo
en equipo es un atributo esencial en los profesionistas, gracias por sus comentarios y
sugerencias durante el desarrollo de esta tesis.
xii AGRADECIMIENTOS
A personas muy especiales, quienes me brindaron su compañ́ıa y confianza durante
el transcurso de esta etapa, la familia Reséndiz Nuñez, la familia de Yamil, Salvador,
Gustavo “El Gordo”Mata y Abraham.
Al Personal del Sistema de Transporte Colectivo Metro, en especial al acaecido Ing.
Antonio Tapia, aśı como también a los ingenieros Alejandro Olvera de la Rosa y José Cas-
tillo Flores, quienes con su apoyo y confianza nos han compartido información y brindado
acceso a sus instalaciones.
Al personal que labora en ESIME Ticomán, Ing. Gerardo López Ramı́rez, Marcelino
Soto, René, Ing. Alejandro, Ing. Sauce, Ing. Onorio, Ing. Isáı, Ing. David, Ing. Fragoso.
muchas gracias por el tiempo, apoyo técnico y esfuerzo invertidos.
Al comité revisor de esta tesis, grandes personalidades Dr. Samuel Alcantara Montes,
Dr. Eduardo Oliva López, Dra. Rita Aguilar Osorio, Dr. Jesus Meda Campaña, M. en
C. Feĺıpe Reséndiz Núñez, y al Dr. Franciso Manuel Sánchez Arévalo, por la revisión y
comentarios realizados en este trabajo.
A mis amigos de la maestŕıa, muchas gracias por su compañ́ıa y hacer de este tiempo
uno de los memorables en mi vida.
Gracias a todos.
RESUMEN xiii
RESUMEN
En esta tesis se presenta el análisis numérico, de la propagación de las grietas en la
maza de rueda portadora, con la finalidad de determinar la longitud cŕıtica de grietas bajo
las condiciones actuales de operación de los trenes del Sistema de Transporte Colectivo
Metro (STCM). Los análisis se realizaron aplicando el método del elemento finito para
determinar los esfuerzos y desplazamientos en el modelo numérico de la maza; aśı como el
método de extrapolación de desplazamientos para determinar el factor de intensidad de
esfuerzos (FIE) durante los subsecuentes avances de las grietas. La tenacidad a la fractura
del material ARR-201-Grado C, con el cual se fabrican las mazas, se determinó utilizando
el método de correlación, a partir de la enerǵıa al impacto Charpy y su resistencia a la
cedencia. Los primeros análisis fueron realizados en la maza sin la presencia de grietas,
para lo cual se elaboró un modelo numérico utilizando elementos hexaédricos en el que
se aplicaron dos casos de cargas. En el primer caso, se aplicaron las cargas ocasionadas
durante el impacto por cambio de v́ıa y en el segundo las fuerzas originadas durante el
frenado de un vagón del STCM, en ambos casos se aplicaron las cargas por el peso del
vagón y los usuarios. De estos análisis se observó que la región de mayor concentración
de esfuerzos se localizó en la base de la brida mayor y fue ocasionada por la carga de
impacto durante los cambios de v́ıa; estos resultados fueron la base para determinar la
orientación de la propagación de las grietas que junto con la consideración los registros
de mediciones de grietas en mazas de rueda portadora se estableció el posicionamiento
de las grietas iniciales. También se mostró que las fuerzas del frenado de los vagones no
afectan de forma considerable a la maza de rueda portadora, y que las cargas por el peso
del vagón y los usuarios afectan solamente en regiones cercanas a la brida menor. De los
resultados obtenidos en el análisis de la propagación de las grietas se observó como el FIE
fue incrementando conforme la grieta avanzaba hasta llegar al punto en que alcanzó el
valor de la tenacidad a la fractura del material, manteniendo siempre las condiciones
linealelásticas exhibiendo una diminuta zona plástica en algunas regiones del frente de
las grietas. La longitud cŕıtica de las grietas en la maza fue de 15.5 mm de profundidad,
en otras palabras, se alcanzara una propagación inestable de las grietas en la maza,
cuando la profundidad de las grietas iguale o rebase los 15.5 mm y se encuentre expuesta
a cargas similares a las ocasionadas por el cambio de v́ıa empleadas en este estudio.
xiv ABSTRACT
ABSTRACT
This work presents the numerical study of the crack growth analysis in a railway wheel
hub focused to assess the critical crack length, under current conditions of the Mexico city
subway (STCM). To resolve stress and displacement fields in the hub, the Finite Element
Method was used. In addition, the Displacement Extrapolation Method was combined
to calculate the Stress Intensity Factor (SIF) during the crack advance. Using some
data properties like tensile yield strenght and the Charpy impact energy, the correlation
method was applied to compute the fracture toughness of the hub material ARR-201-
Grade C. Preliminary analyses were performed on the uncracked hub model, which was
constructed using regular hexahedra elements. In this model were applied two boundary
conditions cases, the first one taking account for the impact load during the changing
track, the second one to represent the breaking forces. In both cases were applied the
weight of the wagon and its passengers. The results shown the highest stressed region
in the base of the hub major flange, which was produced by the impact load. These
results were essentials to determine crack propagation direction besides the STCM crack
measurements report, cracks positions were established. In addition, it was shown that
breaking loads did not impose a considerable damage to the hub, moreover, weight forces
form the wagon and passengers only affect the minor hub flange and closed regions. From
the crack growth studies, it was shown that the SIF increasing while cracks advanced until
to reach the material fracture toughness value, maintaining the linear elastic conditions
showing small plastic zone in some regions in the crack front. The critical length in the
hub was 15.5 mm of depth. In other words, crack propagations will turn into instable
when some crack depth reaches or overpass 15.5 mm while the hub loads service stay in
the level accounted in this work.
SIMBOLOGÍA xv
SIMBOLOGÍA
Śımbolo Definición
a Longitud de la grieta
B Espesor de las probetas estandarizadas
C Complianza
CTODIC Desplazamiento de la apertura de la grieta cŕıtico
CV N Enerǵıa de impacto Charpy V
∆a Incremento de la longitud de la grieta
∆K Rango del factor de intensidad de esfuerzos
∆Keff Rango del factor de intensidad de esfuerzos efectivo
DTPG dirección trayectoria de la propagación de la grieta
E Módulo de elasticidad
EA Elementos ampliados
ED Elementos anulables
EIA Elementos inter-agrietados
EM Elementos modificados
ES Elemento singular
ηi Coordenada nodal ordenada
εx Deformación normal en la dirección x
ε1, ε2, ε3 Deformaciones normales principales
GI Índice de liberación de enerǵıa
Ffz Fuerzas de fricción por cada zapata
FIE Factor de intensidad esfuerzos
FI Carga de impacto aplicada en la ceja de la rueda de seguridad
FIMi Fuerzas del sistema equivalente al momento producido por la carga de
impacto en la maza de rueda portadora
FIi Sistema de fuerzas que representa la carga de impacto en la maza de
rueda portadora
Fr Fuerza volumétrica en la dirección radial
xvi SIMBOLOGÍA
FRS Fuerza es la que aplica el sistema de frenado, es decir la que aplican
sobre la rodadura de la rueda de seguridad un par de zapatas,
FTF Fuerza total requerida para detener un vagón motriz con pasajeros
Fθ Fuerza volumétrica en la dirección tangencial
FT i Sistema de fuerzas que representa el par de torsión aplicado en la maza
de rueda portadora durante el frenado
G Módulo de rigidez al corte
Γ0 Trayectoria en la que se define la integral J
J Integral J
JIC Integral J cŕıtica
K Factor de intensidad de esfuerzos
Kcl Factor de intensidad de esfuerzos durante el cierre de grietas
Keq Factor de intensidad de esfuerzos equivalente
KI Factor de intensidad de esfuerzos en modo I de fractura
KII Factor de intensidad de esfuerzos en modo II de fractura
KIII Factor de intensidad de esfuerzos en modo III de fractura
KIC Factor de intensidad de esfuerzo cŕıtico, tenacidad a la fractura
Kmı́n Factor de intensidad de esfuerzos mı́nimo bajo cargas ćıclicas
Kmáx Factor de intensidad de esfuerzos máximo bajo cargas ćıclicas
L Longitud del arista del elemento isoparamétrico singular
LCG Longitud cŕıtica de la grieta
MCVG Método del cierre virtual de grietas
MED Método de extrapolación de desplazamiento
MEF Método del elemento finito
MEFEA MEF utilizando elementos ampliados
MI Momento producido por la carga de impacto en la maza de rueda por-
tadora
MTF Par de torsión aplicado en la maza de rueda portadora durante el frenado
MTF El par de torsión aplicado durante el frenado en una rueda de seguridad
µkS Coeficiente de rozamiento cinético entre la rodadura de la rueda y la
zapata
ν Relación de Poisson
N
(e)
i Función de forma del nodo i en el elemento e
φ Función compleja de Westergaard
Probeta del
tipo DECT
del inglés double edge cracked tension specimen
SIMBOLOGÍA xvii
R Relación de cargas variables
ρ Densidad
+↗
∑
Fr Sumatoria de fuerzas en la dirección radial
+↖
∑
Fθ Sumatoria de fuerzas en la dirección tangencial
σr Esfuerzo normal en la dirección radial
σθ Esfuerzo normal en la dirección tangencial
τrθ Esfuerzo cortante en el plano radial tangencial
σ1, σ2, σ3 Esfuerzos normales principales
σ̄ Esfuerzo promedio de los esfuerzos principales
σx Esfuerzo normal en la dirección x
r Distancia medida desde la punta de la grieta
σY P Resistencia a la cedencia
σY S Resistencia a la tensión
Ti Fuerzas que actúan en la trayectoria de la integral J
u Enerǵıa por unidad de volumen que se suministra al elemento en una
carga de tenisón.
ui Desplazamientos que actúan en la trayectoria de la integral J
u
(e)
i Desplazamiento nodal del elemento e , en el nodo i
ul Desplazamientos de los nodos las superficies superiores en la dirección x
ul∗ Desplazamientos de los nodos las inferiores superiores en la dirección x
uD Enerǵıa de distorsión
uT Enerǵıa total de deformación por unidad de volumen
VREM Vida remanente
VPG Velocidad de la propagación de las grietas
W Ancho de las probetas estandarizadas
Xi Fuerzas en los nodos en la dirección x
XFEM Método del elemento finito ampliado (extended finite element method)
ξi Coordenada nodal abcisa
wl Desplazamientos de los nodos las superficies superiores en la dirección z
wl∗ Desplazamientos de los nodos las inferiores superiores en la dirección z
Wij Densidad de enerǵıa de deformación almacenada dentro del área que se
encuentra definida la integral J
Zi Fuerzas en los nodos en las dirección z
xviii SIMBOLOGÍA
Índice general
DEDICATORIAS IX
AGRADECIMIENTOS XI
RESUMEN XIII
ABSTRACT XIV
SIMBOLOGÍA XV
ÍNDICE DE FIGURAS XXVII
ÍNDICE DE TABLAS XXIX
1. INTRODUCCIÓN 1
1.1. La mecánica de la fractura. Antecedentes y la importancia de su aplicación
en la industria mexicana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Metodoloǵıa General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO 13
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Métodos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Complianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14
xx ÍNDICE GENERAL
2.2.2. Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3. Diferencia de potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4. Extensometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5. Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.6. Emisiones acústicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Método del elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Métodos numéricos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos . 22
2.4.1. El método de extrapolación de desplazamientos . . . . . . . . . . 23
2.4.2. El método de la integral J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3. El método del cierre virtual de grietas . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. Métodos y pruebas para obtener la tenacidad a la fractura . . . . . . . . 26
2.6. Publicaciones relevantes analizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1. Determinación la longitud cŕıtica de grietas . . . . . . . . . . . . 31
2.6.2. Análisis de la velocidad de la propagación de las grieta y la vida
remanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.3. Análisis del efecto de cambios abruptos en el estado de esfuerzos . 42
2.6.4. Determinación de la dirección de la trayectoria de la propagación
de la grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7. Recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA EL ANÁLISIS NUMÉRI-
CO 57
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. Las ecuaciones de los esfuerzos normales y cortantes de la maza . . . . . 57
3.3. Formulación del crietrio de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Formulación del factor de intensidad de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . 62
3.5. Formulación de las ecuaciones que describen el campo de esfuerzos y des-
plazamientos alrededor de la punta de la grieta . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6. Formulación matemática del elemento isoparamétrico cuadrático singular 71
3.7. El método de extrapolación de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . 77
3.8. La integral J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. ANÁLISIS NUMÉRICO 87
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2. Metodoloǵıa para el análisis numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ÍNDICE GENERAL xxi
4.2.1. Formulación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.2. Condiciones de operación para los análisis numéricos . . . . . . . 89
4.2.3. Selección del elemento para la discretización del modelo de la maza 98
4.2.4. Selección del método numérico para determinar el factor de inten-
sidad de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.5. Dimensiones y posicionamiento de las grietas en la maza . . . . . 102
4.3. Análisis numérico en la maza sin grietas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1. Pre-proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2. Post-proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4. Análisis numérico en la maza con grietas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.1. Pre-proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.2. Post-proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 119
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Tenacidad a la fractura del material AAR-201-M Grado C . . . . . . . . 119
5.3. Resultados del análisis en la maza sin grietas . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1. Resultados del caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.2. Resultados del caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3. Comparación de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4. Resultados del análisis en la maza con grietas . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.1. Esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.2. Tamaño de la zona plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.3. Resultados del factor de intensidad de esfuerzos en función de la
longitud de las grietas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.4. Longitud cŕıtica de las grietas y el criterio de retiro de la maza . . 154
CONCLUSIONES 157
TRABAJOS FUTUROS 159
BIBLIOGRAFÍA 168
APENDICES 169
xxii ÍNDICE GENERAL
A. Códigos utilizados en las simulaciones 171
A.1. Código para modelar la maza de rueda portadora . . . . . . . . . . . . . 172
A.2. Código para modelar la maza de rueda poradora incluyendo las grietas en
la base de la brida mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.3. Código para aplicar las condiciones de frontera del caso 1 de cargas e
iniciar la solución de los análisis en la maza de rueda portadora . . . . . 183
A.4. Código para aplicar las condiciones de frontera del caso 2 de cargas e
iniciar la solución de los análisis en la maza de rueda portadora . . . . . 184
B. Información de la maza de rueda portadora 187
B.1. Mediciones de grietas en mazas de rueda portadora . . . . . . . . . . . . 187
B.2. Geometŕıa y dimensiones de la maza de rueda portadora . . . . . . . . . 189
C. Reconocimiento de participación en congreso 191
Índice de figuras
1.1. Diagrama que indica el posicionamiento y dirección de las grietas consi-
deradas en el trabajo de F. J. Reséndiz Núñez. . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Fotograf́ıa y diagrama de la maza de rueda portadora indicando la no-
menclatura de sus principales zonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Metodoloǵıa utilizada para el análisis numérico de la propagación de grie-
tas en la maza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Diagramas esquemático de los desplazamientos utilizados en el MCVG. . 25
3.1. Representación esquemática de la separación de los esfuerzos que causan
enerǵıa de deformación volumétrica ,b; y los que causan enerǵıa de distor-
sión, c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2. Sistema coordenado con origen en la punta de la grieta . . . . . . . . . . 63
3.3. a: Sistema coordenado con origen en la punta de la grieta. b: Sistemas
coordenados polar y cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4. Geometŕıa de un elemento singular en su forma base y global. . . . . . . 72
3.5. Geometŕıa de un elemento isoparamétrico cuadrático en su forma base y
global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6. Esquema de un sistema coordenado local para determinar el SIF mediante
el método de extrapolación de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7. Muestra la región cercana a la punta de la greita de un cuerpo sometido
a cargas y desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8. Ubicación y orientación del nuevo sistema coordenado X1, X2. . . . . . . 82
4.1. Diagramas de los modos de aplicación de las cargas en los dos casos con-
siderados. a: cambios de v́ıa, b: frenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
xxiv ÍNDICE DE FIGURAS
4.2. Diagrama de cuerpo libre utilizado para determinar el sistema de cargas
equivalente a la carga producida durante un cambio de v́ıa. . . . . . . . . 91
4.3. Diagramas de cuerpo libre para determinar las cargas equivalentes gene-
radas durante la carga de frenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4. Fotograf́ıa que muestra una grieta en la base de la brida mayor de la maza
de rueda portadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5. Geometŕıa de la maza de rueda portadora y la cantidad de las entidades
requeridas para su representación geométrica y matemática. . . . . . . . 107
4.6. Diagramas de las cargas y restricciones aplicadas en las simulaciones del
caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7. Diagramas de las cargas y restricciones aplicadas en las simulaciones del
caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8. Diagrama de las secciones de la maza para ubicar las grietas y sus dimen-
siones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.9. Modelo de la maza discretizado considerando la presencia de las grietas. . 115
5.1. Valores de la tenacidad a la fractura obtenidos con el método de correlación.120
5.2. Desplazamientos máximos generados por las cargas de impacto, el peso
del vagón y usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3. Esfuerzos en las direcciones x producidos por las cargas de impacto, el
peso del vagón y usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4. Esfuerzos en las dirección y producidos por las cargas de impacto, el peso
del vagón y usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5. Esfuerzos en las direcciones z producidos por las cargas de impacto, el
peso del vagón y usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6. Esfuerzos cortantes τxy generados por las cargas de impacto, peso del
vagón y los usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7. Esfuerzos cortantes τxz generados por las cargas de impacto, peso del
vagón y los usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.8. Esfuerzos cortantes τyz generados por las cargas de impacto, peso del vagón
y los usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.9. Esfuerzos principales σ1, obtenidos en las simulaciones del caso 1. . . . . 127
5.10. Esfuerzos principales σ2, obtenidos en las simulaciones del caso 1. . . . . 128
5.11. Esfuerzos principales σ3, obtenidos en las simulaciones del caso 1. . . . . 128
ÍNDICE DE FIGURAS xxv
5.12. Esfuerzos de von Mises obtenidos en las simulaciones del caso 1. . . . . . 129
5.13. Vista del plano que contiene el nodo con mayor esfuerzo de von Mises. . . 130
5.14. Desplazamientos obtenidos en las simulaciones de la maza considerando
las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.15. Esfuerzos normales en la dirección x, obtenidos en las simulaciones de la
maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.16. Esfuerzos normales en la dirección y, obtenidos en las simulaciones de la
maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.17. Esfuerzos normales en la dirección z, obtenidos en las simulaciones de la
maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.18. Esfuerzos cortantes, obtenidos en las simulaciones de la maza considerando
las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.19. Esfuerzos principales en la dirección 1, obtenidos en las simulaciones de
la maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.20. Esfuerzos principales en la dirección 2, obtenidos en las simulaciones de
la maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.21. Esfuerzos principales en la dirección 3, obtenidos en las simulaciones de
la maza considerando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.22. Esfuerzos de von Mises, obtenidos en las simulaciones de la maza consi-
derando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.23. Esfuerzos máximos obtenidos durante la propagación de las grietas en la
maza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.24. Distribución de los esfuerzos σv obtenidos en la simulación numero 18. . . 142
5.25. Distribución de los esfuerzos σv obtenidos en la simulación numero 19. . . 142
5.26. Nodos utilizados para determinar el tamaño la zona plástica en las simu-
laciones 18 y 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.27. Vista en sección de las grietas en la simulación 19. . . . . . . . . . . . . . 145
5.28. Factores de intensidad de esfuerzos obtenidos en la simulación número 1. 146
5.29. Factor de intensidad de esfuerzos en sus tres modos obtenido en la simu-
lación número 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.30. Factores de intensidad de esfuerzos obtenidos en la simulación Número 13. 149
5.31. Factor de intensidad de esfuerzos obtenidos en la simulación Número 18. 150
5.32. KI,II,III,eq obtenidos en la grieta de longitud circunferencial en la simula-
ción 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
xxvi ÍNDICE DE FIGURAS
5.33. Keq máximos obtenidos en las grietas de las secciones e y g en las simula-
ciones 1 a 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
B.1. Diagrama de las secciones de la maza para ubicar las grietas y sus longitudes.187
B.2. Vista con sección parcial de la maza de rueda portadora. . . . . . . . . . 189
B.3. Vista con sección parcial de la maza de rueda portadora. . . . . . . . . . 190
Índice de tablas
3.1. Funciones de forma y coordenadas nodales del elemento isoparamétrico
cuadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1. Cargas aplicadas en la brida mayor que producen el momento equivalente. 93
4.2. Sistema de cargas que producen la acción de la carga de impacto sobre la
maza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3. Sistema de fuerzas tangenciales equivalentes al par de torsión durante el
frenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4. Propiedades mecanicas del acero AAR-201-M Grado C normalizado. . . . 96
4.5. Composición qúımica del acero AAR-201-M Grado C normalizado. . . . . 96
4.6. Ecuaciones que relacionan la tenacidad a la fractura, la enerǵıa de impacto
Charpy y la resistencia a la cedencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7. Nomenclatura de los elementos para modelar sólidos en dos dimensiones
de la libreŕıa de ANSYS 13, clasificados por el fenómeno f́ısico que pueden
analizar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.8. Nomenclatura de los elementos para modelar sólidos en tres dimensiones
de la libreŕıa de ANSYS 13, clasificados por el fenómeno f́ısico que pueden
analizar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9. Geometŕıa, posición y número de nodos de los elementos que pueden re-
presentar solidos bajo fenómenos estructurales. . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10. Orden de las funciones de forma de los elementos analizados en función
de su geometŕıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.11. Ventajas y desventajas de los métodos numéricos para determinar el FIE. 102
4.12. Expresiones para determinar el tamaño mı́nimo considerable de grietas. . 104
xxviii ÍNDICE DE TABLAS
4.13. Propiedades mecánicas aplicadas al modelo de la maza en el programa
ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.14. Sistema de fuerzas equivalentes a la carga de impacto durante un cambio
de v́ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.15. Fuerzas producidas durante el frenado, peso del vagón y usuarios en la
maza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.16. Dimensiones a y c de las grietas en las cuales se determinó el FIE en sus
tres modos. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1. Esfuerzos normales máximos y mı́nimos obtenidos aplicando las cargas del
caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2. Esfuerzos cortantes máximos y mı́nimos obtenidos en la maza consideran-
do las cargas del caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3. Esfuerzos principales máximos y mı́nimos obtenidos aplicando las cargas
del caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4. Esfuerzos de von Mises máximos y mı́nimos obtenidos en la maza consi-
derando las cargas del caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5. Esfuerzos normales máximos y mı́nimos obtenidos aplicando las cargas del
caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6. Esfuerzos cortantes máximos y mı́nimos obtenidos en la maza consideran-
do las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.7. Esfuerzos principales máximos y mı́nimos obtenidos en la maza conside-
rando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.8. Esfuerzos de von Mises máximos y mı́nimos obtenidos en la maza consi-
derando las cargas del caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.9. Esfuerzos máximos obtenidos en la base de la brida mayor para los dos
casos de cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.10. Esfuerzos de von mises máximos obtenidos en la publicación de F. J.
Reséndiz [12] y el actual estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.11. Radio de la zona plástica cercana a los nodos con mayor esfuerzo σv en
las simulaciones 18 y 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.12. Factores de intensidad de esfuerzos equivalentes, Keq, máximos durante la
propagación de las grietas para los casos representativos. . . . . . . . . . 145
ÍNDICE DE TABLAS xxix
5.13. FIE en la maza aplicando el caso 2 de cargas con una grieta en toda su
circunferencia y profundiad de 15.5 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.14. Factor de intensidad de esfuerzos equivalente, Keq bajo los casos de carga
1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.15. Longitud cŕıtica de grieta determinada en el trabajo de F. J. Reséndiz ¡y
el actual estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.1. Mediciones de la longitud de las grietas mazas de rueda portadora. . . . . 188
xxx ÍNDICE DE TABLAS
ÍNDICE DE TABLAS xxxi
xxxii ÍNDICE DE TABLAS
Caṕıtulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1. La mecánica de la fractura. Antecedentes y la
importancia de su aplicación en la industria me-
xicana
El análisis de la integridad estructural de componentes mecánicos es hoy en d́ıa un
tópico de suma importancia para la industria en general. Sin embargo, la idea de que un
componente pod́ıa seguir siendo útil aún con la presencia de fallas era algo reconocido
pero sin explicación cient́ıfica antes de la década de los años 50’s del siglo pasado, antes
de que se estableciera formalmente la disciplina de la mecánica de la fractura, en gran
medida, gracias a los trabajos de George Irwin [1] y Egon Orowan [2] quienes extendieron
la aplicación para materiales dúctiles del criterio de fractura propuesto por Alan Arnold
Griffith [3] en 1921.
Los principales incentivos para el desarrollo y la aplicación práctica de la mecánica de
la fractura, fueron algunos sucesos trascendentes pero trágicos a la vez, tales como las
fracturas en los cascos de los buques Liberty [4–6], la cáıda del avión F-111 de General
Dynamics [7], la explosión del avión a reacción Havilland Comet en 1955 [8] y a la falla de
grandes generadores eléctricos en la década de los 50’s [8]. Estas catástrofes estuvieron
relacionadas con el empleo de nuevos procesos de manufactura o bien al empleo de
materiales de alta resistencia.
2 INTRODUCCIÓN
En respuesta a estos hechos, para los años de 1970 en la industria aeronáutica de los
Estados Unidos se hab́ıa implantado el sistema de mantenimiento preventivo, sin embargo
todav́ıa se presentaban grandes dificultades para identificar los defectos en los materiales
y el reemplazo en tiempo adecuados de los componentes con defectos no aceptables. En
este mismo páıs pero en 1983 el departamento de comercio de la Agencia Nacional de
Normas (NBS) [9] cuantificó que los costos incurridos en la reparación, mantenimiento
y prevención de fallas por fracturas fue de 119 billones de dólares en ese año. Además,
reconocieron y enfatizaron que aplicar las técnicas y métodos más modernos para el
análisis de componentes conduciŕıa a un ahorro significativo de costos en este rubro.
En México, las primeras industrias que reconocieron la importancia del análisis de la
integridad estructural, fueron las industrias relacionadas con la generación de enerǵıa
y producción de hidrocarburos. En particular la paraestatal Petróleos Mexicanos (PE-
MEX) [7] en la década de los 90’s incorporó el código ANSI B31G a su norma PEMEX
07.3.13 iniciando formalmente los estudios para el análisis de la integridad estructural
en su infraestructura. En esa misma década, PEMEX realizó convenios con el Instituto
Politécnico Nacional (IPN) para el estudio en conjunto de la integridad estructural en
oleoductos, gasoductos y posteriormente en las instalaciones de sus plataformas.
En México, el fenómeno de la fractura no está limitado a los casos de infraestructura
petrolera. Debido al tipo de suelo, en particular el de la ciudad de México, la aparición
de grietas en extensas zonas de la ciudad, por ejemplo, la Delegación Iztapalapa ha sido
punto de atención para diversos organismos académicos, como el Centro de Geociencias
de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) [10], que desde hace años
estudia el comportamiento de las grietas en el suelo en esta región de la ciudad. También
en la UNAM en el Instituto de Investigación de Materiales (IIM), se realizan estudios
relacionados con la propagación de grietas en termoplásticos [11].
Un caso donde se involucraron la industria del transporte y el sector académico fue
el trabajo desarrollado por F. J. Reséndiz Núñez [12], en el cual se realizó el análisis
numérico para determinar la longitud cŕıtica de las grietas en la maza de rueda portadora
de los vagones de los trenes del Sistema de Transporte Colectivo Metro de la Ciudad
de México. En el análisis bibliográfico mostrado en la publicación [12] se observa que
en algunos de los estudios analizados se aplicaron cargas estáticas a pesar de que el
1.1 La mecánica de la fractura. Antecedentes y la importancia de su aplicación en
la industria mexicana 3
comportamiento de los componentes estudiados es dinámico, por lo que los resultados
de estos estudios carecen de confiabilidad. Por esta razón tanto en el trabajo de F. J.
Reséndiz Núñez [12] y la presente investigación se aplicaron en condiciones dinámicas
las cargas (impacto, frenado, peso del vagón y los usuarios) a las que está sujeta la maza
de rueda portadora. La publicación [12] es un antecedente a la presente investigación y
se describirá con mayor detalle en la siguiente sección.
La participación de industrias privadas dedicadas al estudio de la integridad estruc-
tural de componentes mecánicos, está dominada por empresas transnacionales como la
mundialmente conocida SGS, una empresa que ha destacado por su calidad a nivel inter-
nacional en la realización de pruebas, inspecciones e incluso en la construcción de plantas
qúımicas y petroleras entre otras. Esto es una muestra de la dependencia tecnológica que
presenta nuestro páıs.
Tal vez esto se debe, al alto costo que conlleva realizar análisis de la integridad estruc-
tural y que sólo algunas grandes empresas pueden costearlos. Sinembargo, gran parte de
este problema es ocasionado por la falta de conciencia para proponer soluciones internas
a nuestros propios problemas; lo que también ha generado la dependencia del extranjero
en sectores primarios y secundarios. Por ejemplo, en la industria minera, energética y los
servicios de transporte, entre otros. En estos sectores la dependencia se enfatiza, debido
a que se adquieren equipos fabricados con tecnoloǵıa extranjera y más aún, se contrata
a compañ́ıas extranjeras para que analicen las fallas operativas y del equipo utilizado en
nuestro páıs.
Una manera para reducir la dependencia tecnológica del extranjero, es pugnar por la
realización y cumplimiento de proyectos que involucren a los centros educativos, con las
problemáticas que tiene el páıs en sus instituciones públicas y en la industria privada.
Una de las industrias mexicanas más grandes es el Sistema de Transporte Colectivo
Metro, STCM, el cual fue construido con tecnoloǵıa extranjera. Aun aśı, se deben remar-
car las labores realizadas en las áreas de ingenieŕıa y mantenimiento del STCM, debido a
que no se han tenido contingencias mayores causadas por la falla súbita de algún elemen-
to mecánico. Sin embargo, no se debe esperar a que sucedan para luego tomar acciones
correctivas más costosas.
4 INTRODUCCIÓN
De acuerdo a la estad́ıstica mostrada en el sitio oficial de internet del STCM, la ten-
dencia indica un aumento de los usuarios a través de los años de servicio. Lo que ha
provocado una mayor frecuencia de los recorridos de los trenes; lo que ocasiona el au-
mento de las sobrecargas, el número de cambios de v́ıa, los frenados súbitos durante
los recorridos. Ocasionando la reducción del periodo de vida útil de los componentes
mecánicos de los trenes.
A pesar de esto, no se han realizado análisis aplicando la mecánica de la fractura para
establecer los criterios de retiro adecuados de estos componentes. Por ejemplo, las mazas
de rueda portadora (mazas), que son los elementos que ensamblan las ruedas neumáticas
y de seguridad para transmitir el peso de los vagones, de los usuarios y además de los
esfuerzos de tracción a las v́ıas. En estas mazas se inician grietas, y son retiradas del
servicio cuando han cumplido 8 años de servicio aproximadamente, tiempo menor al
especificado en su diseño original. Dichas mazas, actualmente no cuentan con un estudio
detallado en el que se determine su periodo óptimo de servicio, las mazas son retiradas
de acuerdo a un criterio emṕırico, cuando la suma de las grietas en la base de la brida
alcanza una longitud de 300 mm.
Con la realización de esta investigación se ofrecen soluciones a la industria vinculando
a las instituciones de educación superior y de posgrado, se generan recursos humanos
capaces de encarar y solucionar problemas reales, favoreciendo aśı al desarrollo cient́ıfico
y tecnológico del páıs. Lo que repercutirá en la disminución de la dependencia de em-
presas extranjeras para realizar análisis relacionados con la integridad de componentes
mecánicos.
Aunado a esto, se tendrán beneficios directos, debido a que las mazas se utilizarán
eficientemente sin exponer la seguridad de los usuarios. Además, se visualizarán y se
fomentarán las aplicaciones para otros componentes que hasta ahora no se han analizado,
como por ejemplo las ruedas de seguridad.
Bajo este orden de ideas, en esta tesis se propone analizar numéricamente el compor-
tamiento de la propagación de las grietas en la base de la brida mayor de la maza de
rueda portadora de los vagones del STCM, tomando en cuenta las cargas de impacto
originadas por los cambios de v́ıas, el frenado aśı como el peso del vagón y los usuarios
1.2 Antecedentes 5
durante el servicio de los trenes del STCM. Aportando un soporte cient́ıfico para el retiro
óptimo de las mazas.
1.2. Antecedentes
El antecedente más cercano a esta tesis es el trabajo presentado en el 2012 por F.
J. Reséndiz Núñez [12], en el cual se determinó el tamaño cŕıtico de las grietas en la
mazas de rueda portadora, realizando análisis modales y dinámicos aplicando el método
del elemento finito, MEF, en un modelo numérico discretizado con elementos h́ıbridos.
En este trabajo se determinó el factor de intensidad de esfuerzos, FIE, utilizando una
ecuación particularizada a la geometŕıa de la maza contemplando las grietas ubicadas en
la brida mayor, con la dirección de propagación radial y longitudinalmente en el sentido
del espesor de la brida, como se muestra en la figura extráıda del trabajo de F. J. Reséndiz
Núñez [12].
Figura 1.1: Diagrama que indica el posicionamiento y dirección de las grietas consideradas en el trabajo
de F. J. Reséndiz Núñez.
En la presente tesis se da cumplimiento con algunos de los puntos marcados como
trabajos futuros en el trabajo de F.J. Reséndiz Núñez [12], tal es el caso de realizar un
modelo numérico de la maza utilizando una discretización con elementos hexaédricos.
También se identificó la orientación y posicionamiento de las grietas en la maza de rueda
6 INTRODUCCIÓN
portadora utilizando el método de evaluación no destructiva de part́ıculas magnéticas.
Las grietas en la maza se ubicaron en la base de la brida mayor en la dirección circunfe-
rencial.
Aśı mismo, se utilizaron algunos de los modelos matemáticos propuestos en la publi-
cación de F. J. Reséndiz Núñez [12] para describir el campo de esfuerzos y deformaciones
de la maza de rueda portadora bajo la acción de cargas dinámicas.
Otros datos importantes para este trabjo son los presentados en las publicaciones
internas del STCM [13–15] de los cuales se obtuvo y analizo la información con más
relevancia respecto a la amaza de rueda portadora y su problemática como se muestra a
continuación.
La mayoŕıa de los trenes utilizados en el STCM están equipados con rodadura neumáti-
ca para circular en operación normal durante el traslado de los usuarios. En este tipo
de trenes se instalan mazas de rueda portadora, ocho por cada vagón. Las mazas de
rueda portadora son el componente mecánico que ensambla las ruedas neumática y de
seguridad con el eje del motor, y transmiten el peso del vagón, los usuarios, aśı como
las fuerzas de tracción a las pistas por las que circulan los trenes del sistema. Las mazas
también soportan los esfuerzos generados durante el guiado de los trenes durante los
cambios de v́ıa.
Por estas razones la maza es nombrada como un componente de seguridad, debido a
que si ocurriera una falla durante su operación, el servicio del tren se veŕıa comprometido
y afectaŕıa en forma directa la subsecuente operación de los otros trenes en la ĺınea.
F́ısicamente la maza está diseñada con una geometŕıa compleja y robusta, la cual se
muestra en la figura 1.2a. En la figura 1.2b, se observan las principales zonas de la maza
con la nomenclatura utilizada en este documento. Algunas de las dimensiones principales
de la maza se obtuvieron del plano del STCM [15], y se muestran en el Apéndice B.
Debido a las cargas aplicadas en la maza durante su operación se originan grietas,
predominantemente, en la base de la brida mayor, por lo cual el Departamento de Man-
tenimiento de Material Rodante del STCM inició un programa de inspección utilizando
1.2 Antecedentes 7
a b
Figura 1.2: Fotograf́ıa y diagrama de la maza de rueda portadora indicando la nomenclatura de sus
principales zonas.
la técnica de evaluación no destructiva de ĺıquidos penetrantes para evaluar la longitud
de las grietas en la maza de rueda portadora. Para después comparar los resultados de
esas mediciones con su criterio de retiro, el cual establece que si una maza posee grietas
que suman una longitud total mayor a 300 mm, la maza es retirada del servicio. Este
criterio no esta respaldado cient́ıficamente, ha sido desarrollado a base de práctica.
En el año de 1994, se comenzó a utilizar la técnica de part́ıculas magnéticas para
la inspección de las mazas,posteriormente se empleó el método de ultrasonido para el
mismo fin. Actualmente dentro del STCM existen brigadas compuestas por especialis-
tas encargados de inspeccionar el material rodante, utilizando principalmente equipos
portátiles para la evaluación por ultrasonido y part́ıculas magnéticas.
Con esta información, es posible identificar la necesidad de analizar la propagación
de las grietas en la maza de rueda portadora para comparar el criterio de retiro hasta
ahora empleado y verificar la longitud cŕıtica de las grietas bajo las cargas actuales de
operación. A continuación se muestran los alcances de la presente investigación.
8 INTRODUCCIÓN
1.3. Alcances
El alcance de este trabajo, es el análisis del comportamiento de la propagación de
las grietas en la maza de rueda portadora de los trenes del STCM. Realizando análisis
numéricos usando el método del elemento finito, para determinar la longitud cŕıtica de
las grietas en las mazas de rueda portadora bajo las cargas actuales de operación.
1.4. Objetivos
El objetivo general de esta investigación, es determinar la longitud cŕıtica de las grietas
en la maza de rueda portadora con los requerimientos actuales de operación; realizando
análisis numéricos aplicando el método del elemento finito y los principios de la mecánica
de la fractura.
Los objetivos particulares son:
Realizar un análisis bibliográfico.
Determinar el tipo, la magnitud y la forma de aplicación de las cargas a las que la
maza está sujeta en la actualidad.
Proponer un procedimiento para el análisis numérico de la propagación de grietas
en la maza. Modelar matemática y numéricamente la maza.
Aplicar el método del elemento finito para determinar los esfuerzos en la maza.
Aplicar el método del elemento finito para analizar la propagación de las grietas
en la maza.
Determinar el factor de intensidad de esfuerzos durante la propagación de grietas
en la maza.
Calcular el tamaño de la zona plástica.
Calcular la longitud cŕıtica de las grietas.
Analizar los resultados obtenidos.
1.5 Aportaciones 9
1.5. Aportaciones
En esta tesis, se realizaron las siguientes aportaciones:
Determinación de la longitud critica de las grietas en la maza de rueda portadora,
a partir de los valores del factor de intensidad de esfuerzos y su comparación con
la tenacidad a la fractura.
Se identificaron las regiones de mayor concentración de esfuerzos en la maza de
rueda portadora realizando análisis numéricos utilizando el método del elemento
finito, aplicando las cargas de impacto por cambio de v́ıa, frenado, peso del vagón
y los usuarios.
Se desarrolló una metodoloǵıa para el análisis numérico de las grietas en la maza
de rueda portadora en la que se incluyen los cálculos realizados para determinar
las condiciones de frontera, códigos detallados para la modelación de la maza in-
cluyendo las grietas y la aplicación de las cargas. Estos aspectos no se mencionan
en las publicaciones revisadas en el análisis bibliográfico.
1.6. Metodoloǵıa General
La metodoloǵıa seguida en este trabajo muestra las diferentes etapas para cumplir
con el objetivo de esta investigación: “determinar la longitud cŕıtica de las grietas en la
maza de rueda portadora bajo las condiciones actuales de operación ”. Para lograr esto
se deben conocer dos parámetros para su mutua comparación, la tenacidad a la fractura
(KIC) del material con el que se fabrican las mazas y los valores del factor de intensidad
de esfuerzos (FIE) de las grietas durante su propagación.
Es necesario calcular el FIE en las grietas de la maza con longitud y profundidad
conocidas; si el valor determinado del FIE en alguna de las grietas iguala o rebasa el
valor de KIC , entonces se habrá determinado la longitud cŕıtica de las grietas en la maza
de rueda portadora. Siendo este valor las dimensiones de longitud y profundidad de la
grieta en el cual se cumple la condición FIE ≥ KIC .
10 INTRODUCCIÓN
Considerando lo anterior, la metodoloǵıa seguida en este trabajo fue:
Realizar un análisis bibliográfico para lograr una familiarización con estudios re-
lacionados con la propagación de grietas en componentes mecánicos, identificar y
estudiar los métodos para el análisis numérico de la propagación de las grietas
aśı como para determinar el FIE.
A partir del análisis bibliográfico, se seleccionaron los métodos de correlación y el
MEF para la evaluación y análisis de la tenacidad a la fractura y la propagación
de las grietas respectivamente. Para determinar el FIE, se utilizó el método de
extrapolación de desplazamientos.
Obtener las cargas que se aplican en la maza durante su operación. Estas cargas
fueron obtenidas a partir de memorias de cálculos del STCM [13,16].
Después de haber seleccionado los métodos que se utilizaron en este trabajo y
las cargas que recaen en la maza en condiciones de operación; se procedió a su
aplicación. Se determinó la tenacidad a la fractura; se realizaron análisis numéricos
aplicando el MEF para determinar los esfuerzos y deformaciones en el modelo de
la maza sin contemplar las grietas.
Conocidas las regiones con mayores esfuerzos y considerando los registros de medi-
ciones de grietas en maza realizados en el STCM [17], se modeló la maza contem-
plando las grietas. En dicho modelo se realizaron análisis numéricos para determinar
el FIE en las grietas.
El valor del FIE obtenido en estas simulaciones fue comparado con el valor de la
tenacidad a la fractura, Si FIE < KIC , la longitud y profundidad de las grietas
en la maza, fueron incrementadas realizando subsecuentes análisis numéricos hasta
que se logró la condición FIE ≥ KIC , al llegar a esta condición, se determinó la
longitud cŕıtica de las grietas en la maza.
La metodoloǵıa expuesta, se ilustra gráficamente mediante el diagrama de flujo de la
figura 1.3. En este diagrama se delimitan las etapas realizadas por áreas sombreadas
indicando la sección de la tesis a la que pertenecen.
1.6 Metodoloǵıa General 11
Figura 1.3: Metodoloǵıa utilizada para el análisis numérico de la propagación de grietas en la maza.
12 INTRODUCCIÓN
Caṕıtulo 2
ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
2.1. Introducción
En este caṕıtulo se presenta el análisis bibliográfico relacionado con los estudios de la
propagación de grietas en componentes mecánicos, incluyendo los principales métodos
empleados para el análisis de la propagación de grietas por fatiga, como lo son: Métodos
experimentales y numéricos, los cuales se presentan en la primera parte de este caṕıtulo,
para luego continuar con la presentación del método del elemento finito y algunos méto-
dos numéricos para la determinación del factor de intensidad de esfuerzos. También se
muestran algunos de los métodos para determinar la tenacidad a la fractura de materiales
metálicos.
Además, se presenta el análisis de algunas publicaciones en las que se describen estudios
realizados sobre la propagación de grietas aplicando los métodos antes mencionados.
2.2. Métodos experimentales
Los métodos experimentales más utilizados para el análisis de la propagación de grie-
tas por fatiga en componentes mecánicos son: el método de complianza, diferencia de
14 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
potencial eléctrico, óptico, extensometŕıa, ultrasonido, y de emisiones acústicas. A con-
tinuación se dará una breve descripción de estos métodos.
2.2.1. Complianza
El método de complianza [18–25] es un método experimental indirecto para medir la
longitud de la grieta durante ensayos de propagación de grietas por fatiga, para aplicar
este método se requiere de una máquina universal para ejercer y controlar la magnitud y
la frecuencia de cargas ćıclicas en probetas diseñadas y fabricadas bajo la norma ASTM
E647 [20].
En cada ciclo de aplicación de las cargas se mide el desplazamiento de la apertura de
las superficies de la grieta, utilizando: galgas extensométricas, extensómetros de clipy/o
ópticos. Con los datos obtenidos de cada medición del desplazamiento de la abertura de
la grieta y las cargas aplicadas, se obtiene el diagrama carga-desplazamiento.
El inverso de la pendiente del diagrama carga-desplazamiento se conoce como com-
plianza, C; C = p
ν
. Con el valor de la complianza y el módulo de elasticidad, E; el
espesor, B, y el ancho de la probeta ,W ; se puede calcular la longitud de la grieta, a;
con la siguiente expresión:
ECB = f
(
a
W
)
(2.1)
Este método tiene la ventaja de que se pueden observar y cuantificar los efectos del
cierre de grietas, cuando la pendiente del diagrama carga-desplazamiento muestra una
inconsistencia.
2.2.2. Óptico
El método óptico [18, 20, 21] es un método experimental directo para la medición de
la longitud de la grieta en pruebas de propagación de grietas por fatiga. Este método
consiste en la observación de la propagación de la grieta a través de un microscopio móvil
graduado durante el tiempo del ensayo, registrando mediciones de la longitud de grieta
en intervalos que permitan describir la gráfica de la longitud de la grieta en función de
2.2 Métodos experimentales 15
los ciclos de carga aplicados. La extensión de grieta mı́nima entre intervalos de medición
es de 0.25 mm.
El microscopio utilizado suele poseer un aumento entre 20 a 50X. La distancia de
separación entre el espécimen y el microscopio es mayor a 381 mm. Además, cuando la
relación geométrica del espesor y ancho de la probeta: B
W
> 0.15 se cumple, debe ser
medida la propagación de la grieta en ambas superficies de la probeta.
Para una mejor visualización se debe pulir la probeta y adecuar la luz incidente en la
misma. Si es necesario se utilizan lámparas estroboscópicas cuidadosamente calibradas
a la frecuencia de las cargas aplicadas, para lograr una visualización de movimiento
continuo.
2.2.3. Diferencia de potencial eléctrico
El método de diferencia de potencial eléctrico [18–23,26,27] es un método experimental
para la medición indirecta de la longitud de la grieta en pruebas de propagación de
grietas por fatiga. En este método se utilizan fuentes de enerǵıa eléctrica para generar y
transmitir corriente eléctrica desde regiones cercanas a los puntos de aplicación de cargas
a través de la probeta. La longitud de la grieta se determina relacionando los incrementos
en la longitud de grieta con el aumento del potencial eléctrico medido en las cercańıas
de las superficies de la grieta, este aumento es ocasionado por la modificación del campo
eléctrico y las trayectorias de las ĺıneas de corriente a través del plano de la grieta.
Este método puede ser empleado en probetas fabricadas con materiales conductores de
electricidad. Para su aplicación en materiales no conductores se requiere de la preparación
de las superficies de las probetas con recubrimientos a base de materiales conductores,
siempre y cuando no se alteren las propiedades de la propagación de grietas.
El método de diferencia de potencial eléctrico tiene dos variantes principales, las cuales
difieren entre śı por el tipo de corriente eléctrica empleada: corriente directa y corriente
alterna. La técnica más común emplea corriente directa, en la cual se transmite una
corriente eléctrica que produce un campo eléctrico bidimensional constante en todo el
espesor de la probeta.
16 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
Por otro lado, cuando se emplea corriente alterna se transmite una corriente con am-
plitud constante de forma sinusoidal. Cuando su frecuencia es menor a 100 Hz se genera
un campo eléctrico bidimensional casi uniforme, pero a frecuencias mayores tiene lugar
un fenómeno conocido como efecto de superficie. Al generarse el efecto de superficie, la
mayor parte de la corriente eléctrica se conduce en una región cercana a las superficies
de la probeta.
Al emplear corriente alterna e induciendo el efecto de superficie se obtienen mediciones
de grieta más precisas. Debido a que no tienen influencia los efectos termoeléctricos,
causados por la generación de corriente eléctrica dentro de la probeta. Sin embargo, en
general este método tiende a mostrar valores menores de la longitud de grieta cuando se
presenta el cierre de grietas durante su propagación.
2.2.4. Extensometŕıa
El método de extensometŕıa [21,27–30] es un método experimental para determinar las
deformaciones en componentes mecánicos sometidos a cargas. En este método se utilizan
galgas extensométricas (GEs) que son transductores en los que se mide la variación de la
resistencia eléctrica durante su deformación, producida por la acción de cargas aplicadas
en los componentes mecánicos que se encuentran instaladas.
El método de extensometŕıa también puede aplicarse en la medición de la propagación
de grietas, tanto en probetas estandarizadas como en elementos de máquinas, siempre y
cuando se tenga acceso adecuado para la limpieza y preparación de la superficie donde
se instalarán las GEs.
Para determinar la posición y la velocidad de la propagación de las grietas con este
método, es necesaria la aplicación de GEs con rejilla en forma trapezoidal instaladas
de tal forma que la orientación de los alambres de las GEs quede perpendicular a la
dirección de la trayectoria de la propagación de la grieta. Subsecuentemente conforme
la punta de la grieta avanza, los alambres de la GE se rompen, causando la apertura
del circuito de cada alambre. Lo que resulta en un incremento en la resistencia eléctrica
total de las GEs.
2.2 Métodos experimentales 17
Para medir los cambios en la resistencia de las GEs, se utilizan óhmetros con una
sensibilidad de un mili-ohm. Para la recopilación de las lecturas de la resistencia durante
el proceso se interconectan equipos de cómputo.
2.2.5. Ultrasonido
El método de ultrasonido [18, 22, 27, 30–32] es un método de evaluación no destruc-
tiva para la detección y medición de discontinuidades que se encuentran en el interior
de elementos de máquinas y estructuras. En este método se emplean transductores fa-
bricados de material piezoeléctrico que funcionan como emisores y receptores de ondas
ultrasónicas.
Con la aplicación de una diferencia de potencial eléctrico en los transductor. Las ondas
que son difractadas por las inclusiones, poros, grietas y/o fronteras del material son
captadas por el transductor; el cual las convierte en enerǵıa eléctrica nuevamente. Estos
pulsos de enerǵıa eléctrica generan una señal, en la cual su amplitud es proporcional al
área de la imperfección detectada. La señal se visualiza en osciloscopios y se almacena
en equipos de cómputo interconectados para su posterior análisis.
Para la identificación del posicionamiento, orientación y tamaño de las grietas con este
método, se requieren múltiples evaluaciones en varias direcciones del elemento mecánico,
una adecuada calibración del equipo empleado, además de una gran habilidad y expe-
riencia para interpretar los resultados obtenidos. Debido a que el equipo y el método no
hacen distinción entre las clases de imperfecciones detectadas y las fronteras del material.
Entre las ventajas este método están las siguientes: puede ser aplicado a elementos
de máquinas fabricados con cualquier material, pero su empleo en elementos metálicos
es relativamente más sencillo debido a la poca atenuación de las ondas ultrasónicas que
ofrecen los metales. Puede detectar imperfecciones en espesores de hasta 10 m y no
necesita consumibles.
2.2.6. Emisiones acústicas
El método de emisiones acústicas [18,22,27,30–32] es un método de evaluación no des-
tructiva para la detección y medición de discontinuidades en el interior de materiales. En
18 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
este método se emplean sensores fabricados a partir de material piezoeléctrico instalados
en un elemento mecánico para captar las ondas elásticas transitorias producidas dentro
del material cuando experimenta deformaciones o procesos de fracturacon la aplicación
de cargas o est́ımulos externos. Estas ondas son conocidas como emisiones acústicas.
Las emisiones acústicas son transformadas por los sensores piezoeléctricos en señales
eléctricas que son visualizadas en osciloscopios y almacenadas en equipos de cómputo
por medio de programas para su análisis posterior.
Las fuentes principales de emisiones acústicas dentro de un material son, la creación y
el movimiento de dislocaciones, el maclaje, cambios de fase, recristalización, la nucleación,
crecimiento y ramificación de grietas. Durante el agrietamiento de un material se produce
una forma caracteŕıstica de emisiones acústicas identificada por una emisión de gran
amplitud que es fácilmente detectable en el espectro de la señal.
La aplicación de esta técnica no está restringida a algún tipo de material en espećıfico.
Pero los metales ofrecen una menor dificultad para su aplicación, debido a que no amor-
tiguan demasiado las ondas de las emisiones. Este método es utilizado comúnmente en
el monitoreo de estructuras. Debido a que la instalación de los sensores piezoeléctricos,
que es una de las mayores dificultades de este método, se puede realizar una sola vez.
Otra dificultad para la aplicación de este método es la alta sensibilidad de los sensores
piezoeléctricos. Debido a que son muy susceptibles a est́ımulos ajenos, como lo son el
ruido y cambios de temperatura.
2.3. Método del elemento finito
Muchos de los problemas de ingenieŕıa han sido modelados matemáticamente em-
pleando ecuaciones diferenciales. Para su solución pueden emplearse métodos anaĺıticos
cuando las condiciones de operación y la geometŕıa de los cuerpos analizados son sim-
ples. Sin embargo, debido a las cada vez más demandantes condiciones de operación y
geometŕıa de los componentes mecánicos actuales, la aplicación de métodos anaĺıticos no
es factible, por lo cual, la aplicación métodos numéricos es una alternativa para obtener
muy buenas aproximaciones de las soluciones para estos problemas.
2.3 Método del elemento finito 19
La aplicación de los métodos numéricos tiene algunas otras ventajas con respecto a los
métodos experimentales, por ejemplo el ahorro en el tiempo de preparación y realización
de pruebas, las condiciones de operación, materiales y/o geometŕıas empleadas en los
análisis pueden ser modificadas fácilmente. Además, no se requieren consumibles ni la
renta o adquisición de equipos especializados.
Uno de los métodos numéricos más ampliamente utilizados en la ingenieŕıa es el Méto-
do del elemento finito (MEF). Inicialmente desarrollado exclusivamente para análisis
estructurales en componentes de aeronaves, su campo de acción ha sido ampliado a otras
disciplinas. Por ejemplo, la mecánica de la fractura. Con las primeras aplicaciones del
MEF para determinar el campo de esfuerzos alrededor de grietas en la década de los 60’s
del siglo pasado.
En seguida se presenta una breve descripción del MEF y algunas aplicaciones en pro-
blemas relacionados con el análisis de la propagación de grietas por fatiga.
El método del elemento finito [18, 22, 29, 33–39] es un método numérico en el cual el
cuerpo o región analizada se discretiza en un número finito de elementos, donde en cada
uno de éstos las ecuaciones diferenciales que gobiernan un fenómeno f́ısico en particular se
resuelven de forma numérica. De esta manera, los fenómenos f́ısicos de comportamiento
no lineal son linealizados, y al ensamblar todas las soluciones encontradas en cada uno
de los elementos se describe el comportamiento del fenómeno en la totalidad de la región
analizada.
En la solución de problemas prácticos de la mecánica de la fractura como lo son: la
determinación del factor de intensidad de esfuerzos y el análisis de la propagación de
grietas por fatiga, el MEF ha sido uno de los métodos numéricos más empleados. Sin
embargo, desde las primeras aplicaciones se ha tenido la dificultad en la modelación
de la singularidad que se presenta en la punta de la grieta. Inicialmente se requeŕıan
de mallados muy finos en esta zona debido a los elementos con funciones de forma e
interpolación de bajo orden que eran utilizados.
Dentro del MEF se han empleado varios tipos de elementos y formulaciones para
representar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta, aśı como para
20 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
simular la propagación de la grieta, entre las principales se encuentran:
Modelo local de fractura
Elemento discreto inter-agrietado
Modelo de grieta asignado
Elemento discreto agrietado
Elemento singular
Elemento modificado
Método del elemento finito extendido
La primera formulación del elemento finito empleada para la simulación de elementos
fracturados, fue la conocida como modelo local de fractura [37–39], desarrollado en 1963
por McCkintock. En esta formulación se compara el estado de esfuerzo en los puntos
nodales de integración con el criterio de esfuerzo del material asignado, modificando
la rigidez y resistencia de los elementos que poseen valores de esfuerzo superior a los
indicados por el criterio para simular la trayectoria de la grieta.
Esta formulación mostró ser dependiente del tipo y tamaño de elementos empleados,
por lo que se desarrollaron los modelos no locales. En éstos, los criterios de esfuerzo se
evalúan en los puntos de integración de elementos contiguos a la punta de la grieta para
determinar la trayectoria de la grieta.
Otra variante del MEF conocida como elemento discreto inter-agrietado (discrete inter
element crack) [39, 40] fue desarrollada independientemente en 1967 Ngo y Scordelis y
en 1981 por Blaauwendraad y Grootenbuer.
Esta variante del MEF simula la trayectoria de las grietas a lo largo de las aristas
de los elementos separándolos entre śı. Sin embargo, no puede representar el campo de
esfuerzos en la vecindad de la grieta a menos que se empleen elementos especiales, además
presenta dependencia de la configuración de la malla en la simulación de la trayectoria de
la grieta. Por el contrario, el modelo de grieta asignado desarrollado por Rashid en 1968
modela la grieta sin necesidad de separar los elementos. Únicamente disminuye la rigidez
y resistencia de los elementos en los que se encuentra la trayectoria de la grieta, una de
2.3 Método del elemento finito 21
sus ventajas es que no requiere discretizaciones locales o globales durante el proceso de
propagación de la grieta.
Un mejoramiento al modelo del elemento discreto inter-agrietado [39,41] fue el desarro-
llado por Hillerborg y colaboradores en 1976, conocido como elemento discreto agrietado.
En el que se simula la trayectoria de una grieta dentro de los elementos dividiendo y crean-
do nuevos elementos aplicando técnicas locales y adaptativas de discretización. Este tipo
de método es comúnmente aplicado a la simulación de fenómenos de fractura ocasiona-
dos por cargas de impacto grandes y cargas explosivas, tiene la desventaja que necesita
mucho tiempo para el cálculo de los algoritmos del agrietamiento y la discretización del
elemento durante la propagación de las grietas.
Los mejores resultados en la determinación del factor de intensidad de esfuerzo fueron
obtenidos con la aplicación de elementos que modelaran directamente la singularidad
en la punta de la grieta, el primero de estos elementos fue el elemento QQPE, por sus
siglas en inglés “Quadrilateral Quarter Point Element” también conocido como elemento
singular [37–40] , desarrollado independientemente por Hensell y Shaw en 1975 y Barsoum
en 1977.A pesar de su ventaja inherente, este elemento, no tiene la capacidad de simular
la trayectoria de la propagación de las grietas. Por lo que usualmente se combina con
algunas de las técnicas anteriores.
En 1974 Benzley y 1978 Gifford y Hilton independientemente desarrollaron los conoci-
dos como elementos modificados [38,39, 42], (del inglés enriched elements). En este tipo
de elementosse incluyen funciones que permiten una mejor aproximación del campo de
desplazamientos. Estas funciones llamadas de discontinuidad poseen criterios de fractura
que, cuando se cumplen, determinan la trayectoria de la grieta y automáticamente se
asignan nuevas funciones a elementos adyacentes a la punta de la grieta. La principal
ventaja que ofrece el empleo de estos elementos es que no requieren de una subsecuente
discretización del modelo conforme la propagación de la grieta.
De una forma similar es el desempeño que tiene el MEF ampliado (XFEM) [38,39,42]
desarrollado por Melenk y Babuska en 1996 y Belytscho y Black en 1999, en el que
se aplican los fundamentos matemáticos del MEF de partición de unidad propuesto por
Duarte y Oden en 1996. El XFEM permitió la simulación de la propagación e intersección
22 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
de grietas de forma independiente de la malla, incluso en tres dimensiones y asignar las
funciones modificadas a los elementos adyacentes a la dirección de la trayectoria de la
propagación de la grieta de forma automática.
Hoy en d́ıa el XFEM es uno de los métodos más empleados para la simulación de la
propagación de grietas en problemas con cargas de impacto y explosivos. Debido a que
los códigos necesarios para su aplicación se encuentran adicionados en algunos programas
comerciales para simulación aplicando el MEF, por ejemplo ABAQUS y FASTRAN.
2.4. Métodos numéricos para determinar el factor
de intensidad de esfuerzos
El factor de intensidad de esfuerzos [19,22,24,38],(FIE), es un parámetro esencial en
la mecánica de la fractura lineal elástica, debido a que permite cuantificar la intensidad
del campo de esfuerzo en la región cercana a la punta de una grieta en un componente
sometido a cargas. Este parámetro posibilita el análisis de la propagación de las grietas
para establecer criterios de retiro de una manera adecuada y óptima, con la finalidad de
evitar fallas catastróficas utilizando apropiadamente los componentes mecánicos durante
su periodo de servicio.
Existen numerosos métodos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos. Di-
chos Métodos se pueden dividir en:
Métodos anaĺıticos
Métodos numéricos
Métodos experimentales
Los métodos anaĺıticos poseen la ventaja de que se pueden aplicar para un amplio rango
de geometŕıa de las grietas y componentes. Sin embargo, su aplicación presenta grandes
dificultades debido a las condiciones de frontera y geometŕıa complejas que poseen los
componentes mecánicos utilizados y fabricados hoy en d́ıa.
2.4 Métodos numéricos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos 23
En contraparte, los métodos numéricos, gracias al avance en el campo de la compu-
tación, permite la aplicación de técnicas numéricas complejas y obtener soluciones en un
lapso de tiempo relativamente corto. Por este motivo hoy en d́ıa, los métodos numéri-
cos son los métodos más utilizados para determinar el FIE en componentes mecánicos
agrietados. Los métodos experimentales no serán considerados en esta investigación.
Los métodos numéricos para determinar el factor de intensidad de esfuerzo utilizan
procedimientos de post-procesamiento para calcular el FIE, es decir, realizan operaciones
sobre los datos de esfuerzos y desplazamientos cercanos a la punta de la o las grietas
obtenidos mediante algún otro método numérico, por ejemplo, el método del elemento
finito. Los métodos numéricos más importantes para calcular el FIE son:
Método de extrapolación de desplazamiento (MED)
Método de la integral J (MIJ)
Método del cierre virtual de grietas (MCVG)
En seguida se describen brevemente los métodos antes mencionados.
2.4.1. El método de extrapolación de desplazamientos
El método de extrapolación de desplazamientos [19, 38, 39] (DET). Este método fue
desarrollado en 1970 por Chan y colaboradores. El DET calcula el FIE a partir de la
dirección y la magnitud de los desplazamientos nodos de las superficies de la grieta
cercanos a la punta de la grieta.
El FIE se calcula utilizando relaciones de desplazamiento anaĺıticas para un cuerpo
agrietado, individualmente para cada modo de fractura, conociendo los desplazamientos
de los nodos cercanos a la punta de la grieta. Estos desplazamientos, son extrapolados
hasta un valor de r = 0, donde r es la distancia desde el desplazamiento medido a la
punta de la grieta modelada geométricamente.
Para utilizar este método se requiere aplicar elementos singulares, en los cuales la
posición de los nodos centrales está modificada a una distancia de 1/4 de la longitud del
elemento para representar el campo de desplazamientos cercano a la punta de la grieta.
Este método es muy utilizado debido a su alta precisión y facilidad de aplicación, además
de que los modos del FIE son fáciles de obtener de forma independiente.
24 ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO
2.4.2. El método de la integral J
El método de la integral J [19, 38, 39]. En este método el factor de intensidad de
esfuerzo es calculado a partir de la integral J, calculada alrededor de las cercańıas de la
punta de la grieta. La integral J es una integral de ĺınea definida a lo largo de varias
trayectorias que contienen la punta de la grieta y las superficies de la misma, la ecuación
que define la integral J se muestra a continuación:
J =
∫
Γo
(
Wijdx2 − Ti
∂ui
∂x1
)
ds (2.2)
Siendo Wij la densidad de enerǵıa de deformación almacenada dentro del área que se
encuentra delimitada por la trayectoria Γ0. En esta trayectoria, actúan las fuerzas Ti y
los desplazamientos ui. En el caṕıtulo 3, se muestra la formulación matemática de la
integral J con detalle.
Con la integral J se calcula la diferencia entre el trabajo efectuado por las fuerzas y
los desplazamientos en el contorno en el que se define y densidad de enerǵıa de distor-
sión acumulada dentro de su dominio. Para su determinación se requiere de un proceso
adicional durante los análisis numéricos para evaluar las cantidades antes mencionadas.
A pesar de requerir otras operaciones para su cálculo, evaluar el FIE a través de la
integral J muestra ser factible, debido a que algunos programas comerciales que aplican
el MEF, contienen comandos establecidos para el cálculo de la Integral J o el FIE a partir
de la integral J.
2.4.3. El método del cierre virtual de grietas
El método del cierre virtual de grietas (MCVG) [19,38,39,43], es un método numérico
ampliamente utilizado para calcular el factor de intensidad de esfuerzos a partir del ı́ndice
de liberación de enerǵıa, G; basado en los resultados obtenidos de análisis realizados
aplicando el MEF. Este métodos es muy empleado debido a que el cálculo del FIE en sus
tres modos, se realiza de forma expĺıcita, es decir cada modo por separado y no requiere
de operaciones adicionales para separar los distintos modos del FIE.
2.4 Métodos numéricos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos 25
Figura 2.1: Diagramas esquemático de los desplazamientos utilizados en el MCVG.
En este método el FIE se calcula a partir de G, en la región cercana a la punta de la
grieta considerando las fuerzas, los desplazamientos y el área del incremento virtual de
la grieta a una dimensión conocida; es decir, utilizando los desplazamientos obtenidos
del análisis realizado con el MEF, y conociendo la geometŕıa y posición de la grieta,
aśı como las fuerzas en los nodos adyacentes a la punta de la misma. El calculo de la
enerǵıa por unidad de superficie se realiza suponiendo un incremento en la longitud de
la grieta utilizando la siguiente ecuación:
GI = 1∆aZi (wi − wi∗)
GII = 1∆aXi (ui − ui∗)
(2.3)
En la ecuación anterior, ∆a representa el incremento de la grieta; Zi y Xi las fuerzas
en los nodos en las direcciones z y x respectivamente; wi y ui los desplazamientos de los
nodos en las direcciones z y x respectivamente de las superficies superiores, mientras que
para los nodos de las superficies inferiores wi∗ y ui∗, como