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MATEMÁTICAS 
 
 
 
202 0
 
 
INSTITUTO TECNOLÓGIC O DE SAN LUIS POTOSÍ 
DEPARTAMENTO DE CIEN CIAS BÁSICAS 
PRIMER PARCIAL 
Contenido 
 
1. Aritmética ................................................................................................................................................................. 1 
1.1 Operaciones aritméticas ..................................................................................................................................... 2 
1.2 Operaciones con fracciones ................................................................................................................................ 5 
1.3 Jerarquía de las operaciones ............................................................................................................................. 10 
1.4 Potencias ........................................................................................................................................................... 12 
1.5 Radicales ............................................................................................................................................................ 16 
 ACTIVIDADES 
 
2. Trigonometría ......................................................................................................................................................... 45 
2.1 Teorema de Pitágoras ....................................................................................................................................... 46 
2.2 Unidades de medida de los ángulos .................................................................................................................. 48 
2.3 Círculo Unitario.................................................................................................................................................. 51 
2.4 Razones trigonométricas ................................................................................................................................... 54 
 ACTIVIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA 
 
 
 
 
2 CAPÍTULO 1. Aritmética 
1.1 Operaciones aritméticas 
La aritmética es una rama de las matemáticas encargada del estudio de las operaciones con números. Existen 
cuatro operaciones fundamentales: 
1. Suma o adición → + 3. Multiplicación o producto → {
×
 ∙
( )
∗
 
2. Resta o sustracción → − 4. División o cociente → {
÷
/ 
 
Para realizar estas operaciones, es muy importante distinguir y no confundir las reglas que se tienen que aplicar a 
los números con signo, debe separar en dos grupos las operaciones: el primero para sumas o restas y el segundo 
para multiplicaciones y divisiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGLA DE SIGNOS 
SUMAS O RESTAS 
 
MULTIPLICACIONES O 
DIVISIONES 
SIGNOS IGUALES 
"Se suman y se conserva 
el signo del número 
mayor" 
 
EJEMPLOS: 
a) −5 − 7 
Solución: 
Como los dos números 
tienen el mismo signo 
entonces sólo sumamos 5 y 
7. 
 
El número mayor es el 7 y 
éste tiene signo negativo, 
por tanto la respuesta 
tendrá signo negativo. 
 
Entonces, 
−5 − 7 = −12  
 
 
b) 3 + 8 
Solución: 
El 3 y el 8 tienen el mismo 
signo, por lo tanto sólo se 
suman. 
 
Como el número mayor es 
el 8 y su signo es positivo, 
entonces la respuesta 
tendrá signo positivo. 
 
Entonces, 
3 + 8 = +11  
 
SIGNOS DIFERENTES 
"Se resta el número menor 
del mayor y la respuesta 
tendrá el signo del número 
mayor" 
 
EJEMPLOS: 
a) −2 + 8 
Solución: 
Son de diferente signo, 
entonces identificamos el 
número mayor que es 8, 
mientras que el menor es 2. 
Entonces restamos 8 − 2. 
 
Como el número mayor es el 
8 y éste tiene signo positivo, 
la respuesta tendrá signo 
positivo. 
 
Entonces, 
−2 + 8 = +6  
 
 
b) −40 + 10 
Solución: 
Tienen diferente signo, 
restamos 40 − 10 debido a 
que 40 es el número mayor. 
 
La respuesta tendrá signo 
negativo, debido que el 
número mayor que es 40 
tiene signo negativo. 
Entonces, 
−40 + 10 = −30  
 
SIGNOS IGUALES 
(+)(+) = + 
(−)(−) = + 
 
EJEMPLOS: 
a) (5)(9) 
Solución: 
Tienen signos iguales, por 
lo tanto el resultado es 
positivo. Entonces, 
 
(5)(9) = +45  
 
 
b) (−2)(−3) 
Solución: 
Ambos factores tienen 
signos iguales. Entonces, 
(−2)(−3) = +6  
 
 
c) 
−10
−2
 
Solución: 
La respuesta será positiva 
porque los dos números 
son positivos, 
−10
−2
= +5  
 
SIGNOS DIFERENTES 
(+)(−) = − 
(−)(+) = − 
 
EJEMPLOS: 
a) (−3)(4) 
Solución: 
Los dos factores tienen 
diferentes signos, por tanto 
la respuesta es negativa. 
(−3)(4) = −12  
 
 
b) 
12
−2
 
Solución: 
El cociente será negativo 
debido a que tienen 
diferente signo. 
12
−2
= −6  
 
 
3 CAPÍTULO 1. Aritmética 
EJEMPLOS: Resuelve las siguientes operaciones 
 
 
 
 
 
 
 
d) Dividir 15 y −3 
 
Solución: 
Es incorrecto escribir: 
 15 ÷ −3 = 
 
 
 
Es correcto escribir: 
 15 ÷ (−3) = 
 
O bien, se puede expresar: 
15
−3
= 
El resultado tendrá signo negativo ya que son signos 
diferentes en una división, entonces: 
15 ÷ (−3) = −5  
 
 Dos símbolos como estos no 
deben escribirse consecutivos. 
a) Sumar 5 y −6 
 
Solución: 
Es incorrecto escribir: 
5 + −6 = 
 
 
Es correcto escribir: 
5 + (−6) = 
Un signo de suma o resta antes de un paréntesis 
indica que se debe aplicar la regla de los signos de la 
multiplicación, entonces: 
5 − 6 = 
Ahora, la operación resultante es una resta con 
signos diferentes. El resultado se obtiene restando el 
número mayor menos el menor, o sea, 6 − 5 y 
tendrá signo negativo porque el número 6 es el 
mayor y es negativo. 
5 − 6 = −1  
 
  Dos signos de suma o 
resta no deben ir juntos. 
b) Restar −3 de −7 
 
Solución: 
−7− (−3) = 
Como se mencionó en el inciso a), un signo 
negativo antes de un paréntesis indica que se 
aplicará la regla de los signos para la multiplicación, 
quedando: 
−7 + 3 = 
 
Ahora, la operación resultante es una suma con 
signos diferentes. Entonces, restando el número 
mayor menos el menor, o sea, 7 − 3 y 
considerando que la respuesta tendrá signo 
negativo, se obtiene: 
−7 + 3 = −4  
 
 
c) Multiplicar −8 y −2 
 
Solución: 
Es correcto escribir: 
(−8)(−2) = 
 
También es correcto escribir: 
 −8(−2) = 
 
 
Ahora, son signos iguales en una multiplicación, 
entonces el resultado es positivo. 
−8(−2) = 16  
 
 
Omitir el paréntesis sólo 
del primero número es 
válido. 
 
4 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES: 
a) −2 − 3 = 
b) −5 − 10 = 
c) 10 − 30 = 
d) −6 + 9 = 
e) −8 + 2 = 
f) (−5)(−4) = 
g) (2)(−3) = 
h) −7(9) = 
i) −6(−1) = 
j) −5 ÷ 5 = 
k) 8 − (−5) = 
l) 7 + (−2) = 
m) −10 ÷ (−2) = 
n) −3 + (−5) = 
o) 24 ÷ (−6) = 
p) (−1)(−1)(1)(−1)(−1)(−1)(1)(1)(1)(−1) = 
(−1)(−1)(1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(1)(−1)(−1) = 
q) 
4−18
3−(−4)
= 
r) 
−2(−5)
25−(+15)
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Investiga si hay una regla que te 
ayude a multiplicar los signos más 
fácilmente cuando hay más de varios 
factores. 
 
 
5 CAPÍTULO 1. Aritmética 
1.2 Operaciones con fracciones 
 
 
 
 
SUMAS Y RESTAS 
CASO I. Mismo denominador 
Obtener la solución de sumas y restas de fracciones con el mismo denominador es extremadamente simple. Observe 
los ejemplos. 
EJEMPLOS: 
a) 
2
5
+
1
5
 
 
Solución: 
 
2
5
+
1
5
=
3
5
 
 
 
 
 
 
b) −
1
7
+
9
7
 
 
Solución: 
Nuevamente, sólo basta aplicar la operación entre 
los numeradores y conservar el denominador. 
 
−1
7
+
9
7
=
8
7
  
c) −
7
16
+
5
16
 
 
Solución: 
 
−
7
16
+
5
16
=
−2
16
 
 
 = −
1
8
  
 
d) 
1
6
−
7
6
−
10
6
= 
 
Solución: 
Sin importar cuantasfracciones se estén sumando o 
restando, mientras el denominador sea el mismo la 
operación únicamente se realiza con los 
numeradores. 
 
1
6
−
7
6
−
10
6
= −
16
6
 
 
 = −
8
3
  
 
 
 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO. 
a) 
5
3
−
7
3
= 
 
c) 
3
4
+
10
4
= 
 
e) 
2
9
+
11
9
−
2
9
= 
b) −
2
9
−
8
9
= d) −
9
7
−
8
7
+
4
7
= f) 
1
3
+
8
3
−
2
3
= 
Numerador 
Denominador 
Partes de una fracción 
𝟐
𝟑
 
El denominador de la solución será el mismo 
denominador de sumandos. 
El numerador de la solución se obtuvo 
sumando los numeradores. 
Este resultado aún puede simplificarse. 
Tanto numerador como denominador son 
divisibles entre 2. 
Cuando el numerador es mayor al 
denominador, como en este caso, la 
fracción se denomina impropia. 
 
6 CAPÍTULO 1. Aritmética 
CASO II. Distinto denominador 
Cuando los denominadores son distintos es incorrecto realizar la suma o resta directa de numeradores, en su lugar 
debe buscar fracciones equivalentes con denominadores iguales. En este manual se muestran dos técnicas para 
encontrar el denominador de la solución. 
PRIMERA TÉCNICA: Emplear el común denominador 
 
a) 
2
5
+
7
15
 
 
Solución: 
PASO 1. Los denominadores se multiplican para 
obtener el denominador de la solución: 
 
2
5
+
7
15
=
 + 
75
 
 
PASO 2. El nuevo denominador será dividido por el 
primer denominador y el resultado será multiplicado 
por el primer denominador, observe: 
 
2
5
+
7
15
=
 30 + 
75
 
 
 
Este paso se repite en todas las fracciones. 
 
PASO 3. Se suma o resta según sea el caso y se simplifica 
si es necesario. 
2
5
+
7
15
=
 30 + 35 
75
 
 
 =
65
75
 
 
 =
13
15
  
 
Inconveniente de esta técnica: 
En ocasiones, al multiplicar los denominadores para 
obtener el nuevo denominador puede llegar a 
encontrar un número muy elevado e incómodo de 
manipular, pero mientras no pase esto, la técnica es 
muy práctica. 
SEGUNDA TÉCNICA: Emplear el mínimo común 
denominador, llamado mínimo común múltiplo 
𝑚. 𝑐.𝑚. 
 
a) 
2
5
+
7
15
 
 
Solución: 
PASO 1. Se obtiene el mínimo común denominador 
 
5 15 
 
 
 
5 15 3 
 
 
 
 
5 15 3 
5 5 
 
 
 
5 15 3 
5 5 5 
1 1 
 
5 15 3 
5 5 5 
1 1 
 
PASO 2. El igual que en el ejemplo anterior el nuevo 
denominador será dividido individualmente a los 
denominadores y el resultado se multiplicará por cada 
numerador. 
2
5
+
7
15
=
 6 + 7 
15
 
 
 
PASO 3. Se suma o resta según sea el caso. 
2
5
+
7
15
=
 6 + 7 
15
 
 =
13
15
  
 
× 
÷ 
Este es el común 
denominador. 
Se anotan en la 1era fila los denominadores. 
En la columna derecha se escriben en orden 
creciente los números primos que sean 
divisores de algún o algunos 
denominadores. En este caso el 3 sólo es 
divisor del 15. 
Si los denominadores son divisibles se 
escribe la respuesta de la división en la 
siguiente fila, sino sólo se transcribe el 
número. 
El procedimiento de buscar divisores se 
repite hasta que la última fila sea de puros 
unos. 
El mínimo común denominador se obtiene 
multiplicando todos los divisores: 
𝑚. 𝑐.𝑚 = 3 × 5 
 = 15  
× 
÷ 
 
7 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Observe que los ejemplos anteriores difieren únicamente en la forma de buscar el denominador de la solución, 
llegando finalmente al mismo resultado. 
Ahora, aunque el procedimiento de buscar el 𝑚. 𝑐.𝑚. pareciera verse más largo, en realidad representa ser un 
método fácil, rápido y más conveniente; pero usted tiene la decisión de aplicar la técnica que más le convenga. 
 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO. 
a) −
5
9
−
8
3
= 
 
d) 
1
2
+
5
4
−
8
3
= g) 
5
2
−
2
5
−
3
2
= 
b) 
3
8
−
5
4
= 
 
e) −
2
7
−
3
4
+
1
6
= h) 
1
4
−
9
4
+
1
3
= 
c) −
7
6
+
10
4
= 
 
f) 
3
8
+
2
5
+
2
6
= i) 
6
3
+
8
4
−
10
5
= 
 
CASO III. Enteros y fracciones 
Frecuentemente necesitará realizar sumas y restas de enteros con fracciones, aquí se presenta una forma de 
hacerlo. 
EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones, simplificando el resultado. 
a) 
8
5
− 3 
 
Solución: 
Para realizar la operación con un número entero debe 
convertirse en fracción, puede hacerlo de la siguiente 
manera: 
 
8
5
− 3 =
8
5
−
3
1
 
 
 
 =
8 − 15
5
 
 
 =
−7
5
  
 
b) −7+
2
9
= 
 
Solución: 
 
−7 +
2
9
= −
7
1
+
2
9
 
 
 =
−63 + 2
9
 
 
 = −
61
9
  
 
 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO. 
a) 
2
9
− 2 = 
 
c) −8 +
4
7
= e) 9 −
2
4
+ 4 = 
b) 
5
3
+ 6 = d) −3−
4
9
= f) 3 − 2 −
5
7
= 
 
Agregue un denominador igual a 1, debajo 
del entero para que automáticamente el 
entero pueda verse como una fracción. 
Luego, simplemente obtenga el común 
denominador y resuelva como en el caso II. 
 
 
8 CAPÍTULO 1. Aritmética 
MULTIPLICACIONES 
Realizar multiplicación de fracciones es extremadamente simple, basta multiplicar numerador con numerador y 
denominador con denominador. 
EJEMPLOS: Realice las siguientes multiplicaciones, simplifique el resultado. 
a) 
5
4
(
3
7
) = 
 
Solución: 
5
4
(
3
7
) =
15
28
  
 
c) 8 (
5
3
) = 
 
Solución: 
 8 (
5
3
) =
8
1
(
5
3
) 
 
 =
40
3
  
 
b) −
3
2
(
2
4
) (
7
5
) = 
 
Solución: 
−
3
2
(
2
4
) (
7
5
) = −
42
40
 
 
 = −
21
20
  
 
d) −
7
4
(
4
5
) = 
 
Solución: 
−
7
4
(
4
5
) = −
28
20
 
 
 = −
14
10
 
 
 = −
7
5
  
 
 
 
 PRACTICA REALIZANDO LOS SIGUIENTES PRODUCTOS, SIMPLIFICA EL RESULTADO. 
a) −
7
4
(−
3
9
) = 
 
c) 2 (−
7
9
) = e) 
4
11
(
11
3
) = 
 
b) (
2
5
) (−
2
6
) (
4
3
) = d) −5(
2
4
) = f) −
6
7
(
7
6
) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que para multiplicar fracciones, no 
importa si los denominadores son distintos. 
Observe que al número entero se le agregó 
el 1 en el denominador. 
NOTA: Este producto tiene la característica 
de que el numerador de una fracción es 
igual al denominador de la otra fracción, 
entonces puede seguir la siguiente 
estrategia: 
−
7
4
(
4
5
) = −
7
4
(
4
5
) 
 = −
7
5
  
Y llega al resultado más rápidamente. 
 
9 CAPÍTULO 1. Aritmética 
DIVISIONES 
Resolver una división de fracciones implica realizar productos de numeradores con denominadores, el orden es el 
siguiente: 
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
 
 
EJEMPLOS: Realice las siguientes divisiones, simplifique el resultado. 
a) 
3
4
÷
7
5
= 
 
Solución: 
 
3
4
÷
7
5
=
15
28
  
 
 
 
 
 
 
b) 
 
8
5
−
2
3
= 
 
Solución: 
 
8
5
−
2
3
 = −
24
10
 
 
 = −
12
5
  
c) 
6
7
÷ (−5) = 
 
Solución: 
6
7
÷ (−5) =
6
7
÷ (−
5
1
) 
 = −
6
35
  
 
 
 
d) 
 5 
2
3
= 
 
Solución: 
 5 
2
3
=
 
5
1
 
2
3
 
 
 =
 15 
2
  
 
 
 
 
 PRACTICA REALIZANDO DIVISIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO. 
a) −
6
9
÷
7
4
= 
 
d) 7 ÷
2
5
= g) 
 −
2
9
 
−
10
3
 
b) −
7
5
÷ (−
3
2
) = 
 
e) 9 ÷ (−
2
3
) = h) 
 −4 
 
5
3
 
c) −
8
3
÷ 5 = f) 
 
3
7
 
3
4
= i) 
 7 
6
2
 
 
 
Se realiza el producto cruzado: 
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 × 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑑𝑜𝑟 
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 × 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
1. El producto de los extremos será el nuevo 
numerador. 
2. El producto de medios será el 
denominador de la respuesta. 
Cuando hay un entero es 
conveniente agregarle un 1 en el 
denominador y continuar con el 
producto cruzado. 
 
Para realizar los productos de extremos y 
medios esnecesario que al número entero 
se le agregue un 1 en el denominador. 
 
10 CAPÍTULO 1. Aritmética 
1.3 Jerarquía de operaciones 
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 
 
 
Jerarquía de operaciones: 
1. Potencias y raíces. 
2. Multiplicaciones y divisiones. 
3. Sumas y restas. 
IMPORTANTE: Este orden se sigue a menos que existan signos de agrupación que indiquen otra secuencia. Lo 
que encierren los signos de agrupación se realiza primero. Estos signos son: ( ), [ ] y { }. 
Ahora, sabiendo el orden en que se deben realizar las operaciones, ¿cuál es la respuesta de la operación anterior?* 
 
EJEMPLOS: Analizar las siguientes operaciones aritméticas de números naturales y resolver. 
a) 3 + 15 ÷ 3 = 
 
Solución: 
3 + 15 ÷ 3 = 3 + 5 
 
 = 8  
 
d) 20 ÷ 4 + 2 × (−5) = 
 
Solución: 
20 ÷ 4 + 2 × (−5) = 5 + (−10) 
 
 
 = 5 − 10 
 
 = −5  
b) 2 + 1 × 9 = 
 
Solución: 
 2 + 1 × 9 = 2 + 9 
 
 
 = 11  
e) 4 × 10 ÷ 5 = 
 
Solución: 
Cuando dos operaciones con el mismo grado de 
jerarquía se encuentran una después de la otra, se 
efectúa la operación de izquierda a derecha. 
 
4 × 10 ÷ 5 = 40 ÷ 5 
 
 = 8  
c) 6 − 10 ÷ 2 + 5 × 4 = 
 
Solución: 
6 − 10 ÷ 2 + 5 × 4 = 6 − 5 + 20 
 
 
 = 21  
 
 
 
f) 20 ÷ 5 × 4 = 
 
Solución: 
Al igual que inciso anterior se realiza de izquierda a 
derecha. 
 
20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 
 
 = 16  
3 + 4 × 2 − 10 ÷ 2 =? 
 
5 
9 
5 20 
5 -10 
40 
4 
*6 
 
11 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES. 
a) 2 − 10 ÷ 5 − 3 = 
 
c) 6 + 4 ÷ 4 − 5 × 8 = e) 60 ÷ 3 × 2 + 6 = 
b) −3+ 2 − 7 × 4 = 
 
d) −3 × (−5) + 10 − 20 ÷ (−4) = f) 18 ÷ 6 × (−8) − 5 = 
 
SIGNOS DE AGRUPACIÓN 
Los signos de agrupación en una operación indican que se debe resolver primero lo que esté dentro. En caso de que 
un signo de agrupación esté dentro de otro, entonces comenzará a resolverse desde el signo de agrupación más 
interno, todo esto respetando la jerarquía de operaciones. 
EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones. 
a) −4 − 3(2 − 5 × 4) ÷ 6 = 
 
Solución: 
−4 − 3(2 − 5 × 4) ÷ 6 = −4 − 3(−18) ÷ 6 
 = −4 + 54 ÷ 6 
 = −4 + 9 
 = 5  
b) −(3 − 10 ÷ 2) + 4 ÷ (−5 + 1) = 
 
Solución: 
−(3 − 10 ÷ 2) + 4 ÷ (−5 + 1) = −(−2) + 4 ÷ (−4) 
 = 2 + (−1) 
 = 2 − 1 
 = 1  
c) −2{4 + 5[−2 − 2(5 − 1)]} + 10 = 
 
Solución: 
El orden será realizar primero la operación del 
paréntesis debido a que es el signo de agrupación más 
interno. 
−2{4 + 5[−2 − 2(5 − 1)]} + 10 
Luego, los corchetes. 
= −2{4 + 5[−2 − 2(4)]} + 10 
 
Finalmente, las llaves. 
= −2{4 + 5(−10)} + 10 
 
 
 
 
= −2(−46) + 10 
= 92 + 10 
= 102  
d) 2[(−5 − 7) ÷ 2] + 4[2 − (−6 − 2 + 3)] = 
 
Solución: 
En este ejercicio se pueden resolver las operaciones 
que están dentro de los 2 corchetes simultáneamente. 
Primero, los paréntesis. 
 
2[(−5 − 7) ÷ 2] + 4[2 − (−6 − 2 + 3)] 
 
 
 
Luego, los corchetes. 
= 2[−12 ÷ 2] + 4[2 − (−5)] 
 
 
 
= 2(−6) + 4(7) 
 
= −12 + 28 
 
= 16  
 
2 − 20 
-18 
3 − 5 
-2 
-4 
4 
-10 
−2 − 8 
-46 
4 − 50 
-12 -5 
-6 7 
 
12 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES. 
a) 10 ÷ (20 − 10) + 4 = 
 
d) −3[4 + 5(−3 + 4)] + 2[6 − 4(6 − 2)] = 
b) −5(−9 + 3 × 4) − 6 = 
 
e) 2 + 5{4 − [5 + (1 + 2 ÷ 2)]} = 
c) −(3 − 4 ÷ 4) + 3(2 − 6) = f) −{−3 + [−7(6 − 5) + 2 × 3]} − [−6(2 − 3)] = 
 
 
1.4 Potencias 
 
 𝟓𝟐 
 
 
 
En una potencia el exponente indica que la base se multiplicará consigo misma tantas veces indique el exponente. 
EJEMPLOS: Determine las siguientes potencias. 
a) 52 
 
Solución: 
52 = (5)(5) 
 = 25  
 
d) −24 
 
Solución: 
−24 = −(2)(2)(2)(2) 
 = −16  
b) 43 
 
Solución: 
43 = (4)(4)(4) 
 = 64  
 
e) 50 
 
Solución: 
50 = 1 
c) (−2)4 
 
Solución: 
(−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2) 
 = 16  
 
f) −50 
 
Solución: 
−50 = −1 
 
 PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES POTENCIAS. 
a) 34 = 
 
d) 70 = g) 2352 = j) (−1)2 = 
b) (−3)4 = 
 
e) −150 = h) −(−4)232 = k) (−1)25 = 
c) −34 = f) (−2)0 = i) 8030 = l) (−1)30 = 
Exponente 
Base 
 Partes de una potencia 
NOTA: A diferencia del inciso c, la base es sólo 2, por tal 
motivo, el 2 se multiplica consigo mismo 4 veces y el 
signo negativo antecede tal producto. 
NOTA: Cualquier número elevado a la 0 es igual a 1, excepto 00. 
Esto se generaliza con: 
𝑎0 = 1 siempre y cuando 𝑎 ≠ 0 
 
NOTA: Observe que el 5 es lo único que tiene el exponente 0, por 
tal motivo, el signo queda por fuera de la potencia. Sería muy 
diferente (−5)0, así la respuesta sería 1 positivo. 
 
13 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Una de las conclusiones importantes de los ejercicios anteriores es que al resolver una potencia previamente se 
debe considerar el signo de la respuesta, esto se puede resumir de la manera siguiente: 
Si la base es positiva la potencia será positiva. 
 
Si la base es negativa 
 
 
Ahora, también los exponentes negativos tienen significado, veamos cómo se resuelve una potencia con exponente 
negativo. 
EJEMPLOS: Resuelva las siguientes potencias. 
a) 3−2 
 
Solución: 
3−2 =
1
32
 
 
 =
1
(3)(3)
 
 
 =
1
9
  
 
c) 237−2 
 
Solución: 
237−2 =
23
72
 
 
 =
(2)(2)(2)
(7)(7)
 
 
 =
8
49
  
 
b) (−5)−3 
 
Solución: 
(−5)−3 =
1
(−5)3
 
 
 =
1
(−5)(−5)(−5)
 
 
 = −
1
125
  
 
d) 304−1 
 
Solución: 
 
304−1 =
30
4
 
 
 =
1
4
  
 
 
 
 PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES POTENCIAS. 
a) 2−4 = 
 
d) 7−1 = g) −2432 = 
b) −5−2 = 
 
e) 338−2 = h) 10−2 = 
c) (−4)−2 = 
 
f) 9272 = i) 10−3 = 
NOTA: Puede evaluar una potencia con 
exponente negativo, con tal sólo seguir la 
regla: 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
Cuando el exponente es 1, no es necesario 
indicarlo. 
la potencia será positiva si el exponente es par. 
la potencia será negativa si el exponente es impar. 
 
14 CAPÍTULO 1. Aritmética 
También se puede encontrar una potencia dentro de otra potencia, en los ejemplos siguientes se verá qué hacer 
con los exponentes. 
EJEMPLOS: Simplifique los exponentes. 
a) (52)7 
 
Solución: 
(52)7 = 52×7 
 
 = 514  
c) (7−2)9 
 
Solución: 
(7−2)9 = 7−2×9 
 
 = 7−18 
 
 =
1
718
  
b) (35)9 
 
Solución: 
(35)9 = 35×9 
 
 = 345  
d) (6−2)−10 
 
Solución: 
(6−2)−10 = 6(−2)(−10) 
 
 = 620 
 
 
 PRACTICA SIMPLIFICANDO LOS EXPONENTES, DEJAR LOS RESULTADOS CON EXPONENTES POSITIVOS. 
a) (86)3 
 
c) (3−1)−1 e) (7−3)−7 g) (−37)5 
b) (54)4 d) (2−9)6 f) (65)−8 h) (−34)2 
 
 
Ahora, si desea multiplicar o dividir potencias existe una regla para poder efectuar la operación bajo la restricción 
de que sólo se realiza cuando las bases son iguales. A continuación se muestra el método. 
EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones. 
a) 3233 
 
Solución: 
3233 = 32+3 
 
 = 35 
 
 = 243  
 
c) 
57
54
 
 
Solución: 
57
54
= 57−4 
 
 = 53 
 
 = 125  
NOTA: Cuando tiene una potencia dentro 
de otra potencia siga la regla: 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑥𝑛×𝑚 
sólo multiplique los exponentes para tener 
el nuevo exponente. 
 Normalmente, los resultados suelen 
expresarse con exponentes positivos. 
NOTA: En un producto de potencias, si las 
bases son iguales, puede seguir la siguiente 
regla: 
𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 
 
NOTA: En una divisiónde potencias, si las 
bases son iguales, puede seguir la siguiente 
regla: 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚 
 
 
15 CAPÍTULO 1. Aritmética 
b) 222−352 
 
Solución: 
222−352 = 22+(−3)52 
 
 = 2−152 
 
 =
25
2
  
d) 
2−3
2
 
 
Solución: 
2−3
2
= 2−3−1 
 
 = 2−4 
 
 =
1
24
 
 
 =
1
16
  
 
 
 
 PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES POTENCIAS. 
a) 525 = 
 
d) 62646−9 = g) 
3−9
3−12
= 
b) 242−629 = 
 
e) (105)210−12 = h) 
(−7)8
(−7)6
= 
c) 76747−8 = f) 
64
63
= i) 
535−5
52
= 
 
 
La propiedad distributiva en potencias sirve para simplificar y manipular términos en una multiplicación y división, 
sin embargo, no puede aplicarse a sumas y restas. En los ejemplos encontrarás la regla empleada. 
EJEMPLOS: Resuelva las siguientes operaciones. 
a) (
3
7
)
2
 
 
Solución: 
(
3
7
)
2
=
32
72
 
 
 =
9
49
  
c) (42 × 3−1)2 
 
Solución: 
(42 × 3−1)2 = (42)2(3−1)2 
 
 = 443−2 
 
 =
44
32
 
 
 =
256
9
  
 
 
 
 
Observe que 52 no tiene la misma 
base y por lo tanto, no se aplica la 
suma de su exponente. 
 
NOTA: La propiedad distributiva de potencias 
aplicada a un cociente es: 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
Lo que indica esta propiedad es que el exponente 
se distribuirá íntegramente a cada uno de los 
componentes de la división. 
NOTA: La propiedad distributiva 
para el producto es: 
(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 
 
 
16 CAPÍTULO 1. Aritmética 
b) (
−5
4
)
3
 
 
Solución: 
(
−5
4
)
3
=
(−5)3
43
 
 
 = −
125
64
  
 
 
c) (
2×32
5
)
3
 
 
Solución: 
(
2 × 32
5
)
3
=
(2 × 32)3
53
 
 
 =
2336
53
 
 
 =
8(729)
125
 
 
 =
5832
125
  
 
 
 
 PRACTICA LAS PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS PARA ENCONTRAR EL RESULTADO DE LOS EJERCICIOS. 
a) (
4
9
)
2
 
 
c) (
22
3
)
−3
 
e) (6−1 × 3)−2 
b) (
−2
3
)
4
 d) (
−32
5−1
)
3
 
f) (5−1 × 22)−1 
 
 
 
 
 
 
1.5 Radicales 
 
 
Características de los índices de una raíz: 
1. Sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a 2. 
2. Cualquier índice debe indicarse en el radical excepto el 2. 
 
¿Qué significa obtener la raíz de un número? 
Significa descubrir el número que elevado al índice de la raíz sea igual al radicando. 
 
Partes de un radical 8 
3
 Radicando 
Índice 
 
17 CAPÍTULO 1. Aritmética 
EJEMPLOS: Encontrar la raíz cúbica de a) 8 y b) -8. 
Solución a: 
 8 
3
= ______ , entonces ?3= 8 
 
¿Qué número elevado al cubo da como resultado 8? 
Respuesta: 2 
 
Dado que 23 = (2)(2)(2) 
 = 8 
 
Entonces, 
 8 
 3
= 2  
 
 
Solución b: 
 −8 
3
= ______ , entonces ?3= −8 
 
 
¿Qué número elevado al cubo da como resultado -8? 
Respuesta: -2 
 
Dado que 23 = (−2)(−2)(−2) 
 = −8 
 
Entonces, 
 − 8 
 3
= −2  
 
 
EJEMPLOS: Encontrar la raíz cuadrada de a) 25 y b) -25. 
Solución a: 
 25 = ______ , entonces ?2= 25 
 
La respuesta tiene 2 soluciones: 
 25 = 5 
 25 = −5 
 
 Solución b: 
 −25 = ______ , entonces ?2= −25 
 
Si usted trata de encontrar un número que multiplicado 
por sí mismo 2 veces sea −25, en los números reales 
no encontrará la respuesta. 
 
Por lo tanto, 
 −25 = no tiene solución. 
 
De los ejemplos observe que un radicando con índice de raíz impar, puede ser negativo o positivo. Mientras que si 
la raíz tiene índice par, el radicando sólo puede ser positivo para que el radical tenga solución real. 
 
 
 PRACTICA RESOLVIENDO LOS SIGUIENTES RADICALES. 
a) 9 = 
 
c) 16
4
= e) −1
7
 g) 64
3
 
b) −27
3
= d) 1
5
= f) 125
3
 h) −64
6
 
 
 
 
 
 
 
Observe como las 2 soluciones 
satisfacen 25: 
 
52 = (5)(5) = 25 
(−5)2 = (−5)(−5) = 25 
 
 25 = ±5  
 
 
18 CAPÍTULO 1. Aritmética 
FACTORES EN UN RADICAL 
En ocasiones, se obtienen resultados 
 
 
 
 
EJEMPLOS: Simplifique los siguientes radicales. 
a) 25 × 3 
 
Solución: 
 25 × 3 = 25 × 3 
 = 5 × 3 
 = 5 3  
 
c) √
2
27
3
 
 
Solución: 
√
2
27
3
=
 2
3
 27
3 
 
 =
 2
3
3
  
 
b) 60 
 
Solución: 
 60 = 4 × 15 
 = 4 15 
 = 2 15  
d) √
63
4
 
 
Solución: 
√
63
4
=
 63
 4
 
 
 =
 9 × 7
2
 
 
 =
3 7
2
  
 
 PRACTICA SIMPLIFICANDO LOS SIGUIENTES RADICALES. 
a) 49 × 2 c) 18 
e) √
5
64
3
 g) √
32
9
 
b) 12 d) 108 
f) √
7
81
 h) √
20
121
 
 
 
 
 
Se puede descomponer en el producto de 
los radicales, siempre y cuando conserve el 
índice de la raíz. 
 𝑎 × 𝑏
𝑛
= 𝑎
𝑛
× 𝑏
𝑛
 
 
 
Si el radicando es un producto 
Como 25 tiene una solución 
exacta, se resuelve. 
Esta es la forma apropiada de 
escribirlo. 
En un cociente se aplica un criterio similar 
al del producto: 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
 𝑎
𝑛
 𝑏
𝑛 
¡Cuidado! Nunca será válido para sumas y 
restas. 
 
19 CAPÍTULO 1. Aritmética 
El procedimiento anterior consistió en extraer factores de un radical, ahora será el caso contrario: introducir 
factores a un radical. 
EJEMPLOS: Introducir los factores al radical 
a) 3 7 
 
Solución: 
3 7 = 9 × 7 
 = 63  
 
b) 10 5
3
 
 
Solución: 
10 5
3
= 1000 × 5
3
 
 = 5000
3
  
 
 PRACTICA INTRODUCIENDO LOS FACTORES AL RADICAL. 
a) 8 2 
 
c) −5 4 e) 2 5
3
 
b) 4 3 d) −2 10 f) −3 2
3
 
 
 
REPRESENTACIÓN EN FORMA DE EXPONENTE 
Anteriormente, se estudiaron potencias con exponentes positivos y negativos, pero ¿qué pasa si el exponente fuera 
una fracción? Resulta que un exponente en forma de fracción está relacionado con los radicales de la siguiente 
manera. 
 𝑥𝑚
𝑛
= 𝑥𝑚 𝑛⁄ 
 
EJEMPLOS: Cambiar los radicales a forma de potencia y viceversa, según sea el caso. 
a) 24
3
 
 
Solución: 
√24
3
= 24 3⁄  
 
c) 62/5 
 
Solución: 
62/5 = √62
5
  
b) 7 
 
Solución: 
 7 = 71 2⁄  
d) 4−5/7 
 
Solución: 
4−5/7 =
1
45/7
 
 
 =
1
 45
7  
 
 PRACTICA CAMBIANDO LOS RADICALES A POTENCIAS Y VICEVERSA, SEGÚN SEA EL CASO. 
a) 23
8
 c) 47 e) 82/3 g) 6−1/3 
b) 65
3
 d) 2
3
 f) 41/2 h) 2−4/9 
Para introducir factores a un radical, tiene 
que elevar los factores al índice de la radical. 
En este caso 3 se elevó al cuadrado. 
El 10 se elevó al cubo para poder 
introducirse a la raíz cúbica. 
De la fórmula 𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , puede asociarse que: 
𝑚 = 4 
𝑛 = 3 
 
 
De la fórmula 𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , recuerde si el 
exponente de x no está escrito es porque su valor 
es 1, al igual que si el índice de la raíz es 2. 
𝑚 = 1 
𝑛 = 2 
 
 
Relacionando el exponente 2/5 con la fórmula 
 𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , se tiene: 
𝑚 = 2 
𝑛 = 5 
 
 
1. El exponente al ser negativo sigue la regla 
vista anteriormente: 𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
2. Se asocia los valores 𝑚 = 5 y 𝑛 = 7. 
 
 
20 CAPÍTULO 1. Aritmética 
SUMAS Y RESTAS DE RADICALES 
Para realizar la suma o resta los términos deben ser semejantes, es decir: 
1. Deben tener el mismo índice del radical. 
2. Deben ser iguales los radicandos. 
De lo contrario, la suma o resta sólo quedará expresada y no logrará simplificar más la operación. 
 
EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones. 
a) 5 3 + 7 3 
 
Solución: 
Observe que ambas son raíces cuadradas y que ambos 
radicales son 3, por lo tanto puede realizarse la suma: 
 
5 3 + 7 3 = 12 3  
 
 
b) 8 2
3
− 3 2
3
+ 2 
 
Solución: 
Observe que sólo los dos primeros términos pueden 
simplificarse entre sí, ya que el último término aunque 
tiene el mismo radicando no comparte el mismo índice 
de la raíz, por tanto: 
 
8 2
3
− 3 2
3
+ 2 = 5 2
3
+ 2  
c) 8 + 3 98 − 72 
 
Solución: 
Observe que a pesar de que todos los términos tienen el mismo índice no tienen el mismo radicando, esto 
provocaría que en un principio,la expresión no pudiera simplificarse más. Sin embargo, los radicandos tienen 
factores que podrían extraerse de las raíces. Entonces: 
 
 8 + 3 98 − 72 = 4 × 2 + 3 49 × 2 − 36 × 2 
 
 = 2 2 + 21 2 − 6 2 
 
 = 17 2  
 
 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES. 
a) 3 6
3
+ 8 6
3
− 6
3
 
 
c) 4 5 + 3 5
5
+ 6 5 = e) 27 − 12 + 75 = 
b) −4 11 − 2 11 + 3 11 = d) 7 − 2 7 + 2 = f) 2 75 − 4 20 + 3 45 − 3 = 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: La solución tendrá 
el mismo índice y radicando que 
los términos originales. 
 
21 CAPÍTULO 1. Aritmética 
RACIONALIZACIÓN 
Al resolver una operación con radicales, muchas veces el radical quedará en el denominador de una fracción. Suelen 
reescribirse esos resultados usando una técnica de racionalización, que consiste en multiplicar por un 1 que puede 
tomar cualquier forma como: 
1 =
2
2
=
−5
−5
=
 3
 3
= ⋯ 
EJEMPLOS: Racionalice las siguientes expresiones. 
a) 
1
 2
 
 
Solución: 
1
 2
=
1
 2
(
 2
 2
) 
 
 =
1
 2
(
 2
 2
) 
 
 =
 2
2
  
b) 
4
 3
 
 
Solución: 
4
 3
=
4
 3
(
 2
 2
) 
 
 =
4
 3
(
 3
 3
) 
 
 =
4 3
3
  
 
 PRACTICA RACIONALIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. 
a) 
1
 5
 
 
c) 
7
 2
 e) 
−5
 11
 
b) 
1
 6
 
 
d) 
8
 5
 f) 
2
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tiene que multiplicar por un 1, pero éste 
debe estar relacionado con el radical, 
entonces se elige que: 
1 =
 2
 2
 
El 1 que está relacionado con el radical es: 
1 =
 3
 3
 
Esta representación es la que se utilizará 
para racionalizar este ejemplo. 
 
22 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Cuando el denominador de una fracción involucra una suma o una resta donde al menos uno de los elementos es 
una raíz, el proceso de simplificación se hace por racionalización. En el ejemplo siguiente se mostrará el método. 
EJEMPLOS: Simplifique racionalizando la siguiente expresión. 
a) 
6
4+ 13
 
 
Solución: 
6
4 + 13
=
6
4 + 13
(
4 − 5
4 − 5
) 
 
 
 =
6
4 + 13
(
4 − 13
4 − 13
) 
 
 =
24 − 6 13
42 − ( 13)
2 
 
 
 =
24 − 6 13
16 − 13
 
 
 =
24 − 6 13
3
 
 
 = 8 − 2 13  
 
 
 PRACTICA RACIONALIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. 
a) 
4
2− 2
= 
 
c) 
7
3+ 2
 
b) 
−3
 5−2
= 
 
d) 
10
 35−5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El denominador por el cual se racionalizará la expresión es 4 + 13 , por lo tanto, el 1 por el cual 
se va a multiplicar será un cociente que difiera de 4 + 13 en sólo el signo intermedio, a éste se 
le llama conjugado. Entonces: 
1 =
4 − 13
4 − 13
 
La finalidad de multiplicar por el conjugado del denominador es quitar el radical, utilizando la 
fórmula: 
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
(4 + 13)(4 − 13) = 42 − ( 13)
2
 
 
 
23 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 1. Operaciones aritméticas. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Halle el valor de las siguientes expresiones, no use calculadora. 
𝟏. 5 + 3 − 9 − 2 − (−1) + 4 − (−3) = 𝟐. 7 − 4 − 9 + 3 + 2 + 1 − 5 − 3 = 
𝟑. (−6) + (−2) = 𝟒. − (−15) − (−9) = 
𝟓. 15 + (−8) = 𝟔. (−4) − (+3) + (−2) − (−1) + (+5) = 
𝟕. (6) − (7) + (−7) − (−6) − (2) = 𝟖. (+7) − (+5) + (−11) − (−9) + (+4) = 
𝟗. (−8) − (−4) + (−6) − (+2) − (−9) = 
 
 
 
 
 
 
𝟏𝟎. 5 − (−3) + (−4) + 11 = 
 
 
 
24 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟏𝟏. − 6 − (−5) = 𝟏𝟐. (−9) + (−1) − (−10) = 
𝟏𝟑. (11) − (13) + (−16) 𝟏𝟒. − (−24) + (−13) − (9) = 
𝟏𝟓. − (7) + (−3) − (−16) = 𝟏𝟔. 9 − (−6) + (−12) = 
𝟏𝟕. (3) − (6) + (−5) − (−8) = 𝟏𝟖. − (−8) − 5 + (−25) + (−11) − (+12) − 11 = 
𝟏𝟗. 9 − (5) + (−3) − (11) = 𝟐𝟎. 12 − (6) − (−4) + (−8) − (+15) + (−12) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 2. Operaciones con fracciones 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones sin usar calculadora. Simplifique las respuestas. 
𝟏. 
7
9
−
11
9
+
15
9
−
6
9
−
1
9
= 
 
𝟐. 
2
3
+
5
6
= 
𝟑. 
7
24
+
11
30
= 𝟒. 
5
3
+
4
9
+
7
18
= 
𝟓. 
7
5
+
8
35
−
9
21
= 𝟔. 
3
4
+
5
6
−
1
10
= 
𝟕. 
3
4
+
2
5
−
3
20
= 𝟖. 3 +
1
2
−
3
4
= 
 
 
 
26 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟗. 
1
4
−
1
16
−
1
2
= 𝟏𝟎. 
5
8
+
3
4
−
1
6
−
2
3
= 
𝟏𝟏. 3 +
2
5
−
1
4
+
7
2
= 
 
𝟏𝟐. 
5
3
−
1
5
− 2 +
4
2
= 
𝟏𝟑. 3
2
7
+ 1
3
7
− 4
3
7
= 𝟏𝟒. 4
1
2
− 6 = 
𝟏𝟓. 1
1
6
−
2
3
−
1
2
= 𝟏𝟔. 
5
4
×
2
7
= 
 
 
27 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 
𝟏𝟕. 
2
3
×
3
4
×
5
6
= 𝟏𝟖. 
7
9
×
8
5
×
3
14
× 15 = 
𝟏𝟗. 
13
9
÷
4
3
= 𝟐𝟎. 
7
3
÷
4
5
= 
𝟐𝟏. 
11
9
÷ 3
2
3
= 𝟐𝟐. 
3
4
(
1
12
+
1
6
+
1
4
+
1
2
) = 
𝟐𝟑. 
1 −
3
4
1 +
1
8
= 𝟐𝟒. 
4
3
−
2
9
(
4
3) (
2
9)
= 
 
 
28 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 
𝟐𝟓. 
17
22
+ 1
2 −
9
11
= 𝟐𝟔. 
1 −
1
2
3
4
−
5
8
= 
𝟐𝟕. (1 −
3
4
) ÷ (3 − 2
1
2
) = 
 
𝟐𝟖. 
2
5
−
3
4
7
10
+ 1 = 
𝟐𝟗. (
3
5
+
1
2
+
7
10
) ÷
3
4
= 
 
𝟑𝟎. (
1
4
+
3
2
) ÷
1
3
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 3. Jerarquía de operaciones. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Seleccione la respuesta que consideres correcta, realiza las operaciones en los espacios en blanco. 
1. El valor de 150 − 40 + 90 es: 
a) 110 b) 280 c) 20 d) 200 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule (13 + 22) × (6 − 4) + 10. 
a) 80 b) 67 c) 216 d) 156 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determina el valor de 5 − 6 + 9 + 2 − 11 + 3 − 5. 
a) 3 b) -3 c) -9 d) 9 
 
 
 
 
 
 
 
4. El resultado de la operación 3 − (3 − 8) + (18 − 3) es: 
a) 14 b) -15 c) 23 
 
 
d) -159 
 
5. Encuentra el resultado de la siguiente expresión: 12 − 3 ∙ (5 ∙ 2 − 8) + 20 ÷ 4. 
a) 17 b) 23 c) -73 d) 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 CAPÍTULO 1. Aritmética 
6. El valor de [5 + 9 ÷ (10 − 7)] ∙ (12 − 7) − (3 + 1) ÷ 4 es: 
a) 39 b) 88 c) -40 d) 32 
 
 
 
 
 
 
 
7. Calcula el resultado de (
5
3
−
1
5
) − 2 +
3
2
. 
a) 83/30 b) 29/30 c) -5/3 d) 89/30 
 
 
 
 
 
 
 
8. Determine el valor de 
4
5
(
1
4
+
3
2
) −
1
3
. 
a) 41/30 b) 16/15 c) 89/60 d) 4/15 
 
 
 
 
 
 
 
9. Determine el valor de −
3
4
− (2 −
5
2
−
3
8
). 
a) 1/8 b) -21/32 c) 21/32 d) -13/8 
 
 
 
 
 
 
 
10. Determine el resultado de 2 (
2
5
−
3
4
) ÷
7
10
+ 1 
a) 0 b) 3/4 c) -3/4 d) -1 
 
 
 
31 CAPÍTULO 1. Aritmética 
11. Calcule el valor de 2 −
1
3
(5 −
10
3
). 
a) -3 b) 3 c) 23/9 d) 13/9 
 
 
 
 
 
 
 
12. Encuentre el resultado de (
4
3
−
2
9
) ÷ (1 +
4
3
×
2
9
). 
a) 20/21 b) 6/7 c) 7/6 d) 10/9 
 
13. Calcule el valor de 800 + {20 − 3 × 4 + 5[18 − (6 − 1) × 3 + (5 − 2) × 4]}. 
a) 1117 b) 883 c) 1033 d) 803 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 4. Manipulación de exponentes. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Simplifique las siguientes expresiones. Dé el resultado en exponentes positivos. 
𝟏. 3−5 ∙ 32 = 
𝟐. 
58
510
= 
𝟑. (27 ∙ 3−4)(2−5 ∙ 34) = 𝟒. (43/2 ∙ 31/3)(2−1 ∙ 3−7/3) = 
𝟓. 
35 ∙ 4−6
37 ∙ 4−8
= 𝟔. 
2−4 ∙ 3−5 ∙ 5−6
2−6∙ 3−3 ∙ 5−6
= 
 
 
 
33 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟕. (
2−1 ∙ 31/4
2−3 ∙ 31/2
)
−2
= 𝟖. (
3−4 ∙ 5−1
32 ∙ 5−3
)
−1/2
(
34 ∙ 53
32 ∙ 54
)
−1
= 
𝟗. 
123 ∙ 33
63 ∙ 22
= 𝟏𝟎. [(
1
4
)
2
]
4
= 
𝟏𝟏. [(−5)2]3 = 𝟏𝟐. (−52)3 
𝟏𝟑. (
3
5⁄
6
5⁄
)
2
= 
𝟏𝟒. (2−3 ∙ 32)2 
 
 
34 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟏𝟓. (−
1
3−3
)
−2
 
𝟏𝟔. (24 ∙ 3−6 ∙ 52)−1/2 
𝟏𝟕. (
1
2−3
−
1
2−1
)
−3
 
𝟏𝟖. (3−2 ∙ 52)3(33 ∙ 5−3 ∙ 7)2 
𝟏𝟗. (
7−1
2−1 + 3−1 + 6−1
)
−2
= 
𝟐𝟎. (5−1/5)
−10
 
 
 
 
35 CAPÍTULO 1. Aritmética 
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Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 5. Jerarquía de operaciones con potencias y radicales. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones. 
𝟏. 122 ÷ √16 + √81 + 52 × 6 ÷ 3 = 
𝟐. √2 × 36 + 576 ÷ 8 + {(√9 − √4)
2
− [7 + (8 − 2) − (5 − 4)] + 6} = 
𝟑. 3 × {√(5 − 2) × (7 − 4) − (5 − 3) + (8 − 3) − [6 − (7 − 2) + 8] − 6} = 
 
 
36 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟒. √
9
4
× (
1
3
)
2
+ √
1
8
3
− [
52 − 42
9
−
3
4
] = 
𝟓. √(
1
3
)
2
− (
1
5
)
2
×
3
2
÷
2
5
− (
3
4
)
2
×
4
3
÷
3
4
= 
 
 
𝟔. (
1
√2
)
2
− 12 {(
2
3
−
1
2
) ÷ 6 +
3
8
(
5
2
−
2
3
) −
25
36
} = 
 
 
 
 
 
37 CAPÍTULO 1. Aritmética 
𝟕. (√
25
36
− √
1
36
)
2
÷
1
3
− 2 (
5
4
−
1
2
)
2
= 
𝟖. √
2
3
÷ (
17
27
−
1
3
) +
1
2
÷ (
1
6
−
1
24
) −
3
5
× (
7
8
+
13
8
) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 CAPÍTULO 1. Aritmética 
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Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 6. Operaciones con radicales. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Simplifique las siguientes expresiones. 
𝟏. √52 ∙ 62 ∙ 34 = 𝟐. √84 ∙ 43
3
= 
𝟑. (
27
125
) (
9
25
)
1/3
= 𝟒. (√5 ∙ √25
4
)
2
= 
𝟓. 
117 ∙ √6
115 ∙ 63/2
= 𝟔. √√93
3
= 
𝟕. √
23 ∙ 55
2−1 ∙ 53
∙ (
24 ∙ 5−1
25 ∙ 5−1
) = 
𝟖.
√3
4
4
∙ √6
√ 1
27
12
= 
 
 
39 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 
𝟗. √
√10
3
2−5/3 ∙ 5−1/3
= 𝟏𝟎. (
√5 ∙ √5
3
52
)
−1
√
5−1 ∙ √5
√5
4 = 
𝟏𝟏. √
3−1 + 6−1
8−1
= 𝟏𝟐. √
1
3−2
+
1
2−4
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 CAPÍTULO 1. Aritmética 
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Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 7. Suma y resta de radicales. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones. Dé el resultado en forma exacta. 
𝟏. √3 + 2√3 + 4√3 = 𝟐. 
2
5
√6 + 3√6 −
7
4
√6 = 
𝟑. 2√5 + √80 = 𝟒. √27 + √48 − √75 = 
𝟓. 3√12 − 2√5 − 7√3 + √125 = 6. 4√75 + 6√18 − √128 − √245 − √98 − 3√125 = 
 
 
 
41 CAPÍTULO 1. Aritmética 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
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Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 8. Racionalización. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Racionalice las siguientes denominadores. 
𝟏. 
12
√6
= 𝟐. 
√3
√20
= 𝟑. 
5
√3
= 
𝟒. 
√20 − √30
√5
= 𝟓. 
8
3 + √7
= 
𝟔. 
2 + √3
1 − √3
= 𝟕. 
4
√6 + 2
= 
 
 
 
42 CAPÍTULO 1. Aritmética 
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Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 9. Problemas de razonamiento. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. 
1. Con el dinero que tengo puedo comprar 6 periódicos y me sobran 5 pesos, pero si quisiera comprar 13 
periódicos me faltarían 30 pesos. ¿Cuánto vale cada periódico? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
2. Un gerente ofrece a un obrero calificado un sueldo anual de $190 000 y un carro. Al cabo de 8 meses el obrero 
es despedido, recibiendo $110 000 y el carro. ¿Cuál era el valor del carro? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
 
 
43 CAPÍTULO 1. Aritmética 
3. Cuando un vaso que está a la mitad se le agregan 40 ml de agua se completa a 2/3 partes de su capacidad. 
¿De cuántos mililitros es el vaso? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
4. Antonio compró una parcela por $25 000 y la vendió por $29 998, luego repartió lo que ganó entre sus tres 
hijos. ¿Cuánto le tocó a cada uno? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
 
 
 
 
 
44 CAPÍTULO 1. Aritmética 
 
5. Se desea realizar un viaje a Huatulco, 4 días y 3 noches todo incluido y se tienen contempladas 232 personas, 
el costo por persona es de $780 en habitación doble y $865 en habitación individual. Si sólo 15 personas no 
realizan el viaje y se sabe que se alquilaron 75 habitaciones dobles, ¿Cuántas habitaciones individuales se 
alquilaron y cuál fue el monto total del viaje? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
6. Miguel perdió 1/3 de su dinero y prestó 1/4. ¿Qué parte de su dinero le queda? 
Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son los datos y la incógnita? 
 
 
 
 
 
Plantea el problema matemáticamente y resuelve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿La respuesta es lógica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
46 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
2.1 Teorema de Pitágoras 
 
 
 
 
 
 
 
Este teorema es válido sólo para triángulos rectángulos, sus lados se definen de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
3. Los lados restantes se denominan catetos y puede asignarle indistintamente las variables 𝑎 y 𝑏. 
 
EJEMPLOS: 
a) Obtenga el valor del lado faltante del siguiente triángulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Un triángulo rectángulo se caracteriza 
por tener un ángulo de 90° (ángulo recto) 
y suele señalarse con un pequeño 
cuadro. 
2. El lado contrario al ángulo recto es la 
hipotenusa y se denota por la letra 𝑐. 
𝑎 = cateto 
𝑏
 =
 c
at
et
o
 
Teorema de Pitágoras 
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a 
la suma de los cuadrados de los catetos. 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
4 
5 
Solución: 
La ubicación del ángulo recto es muy relevante porque determina la ubicación 
de la hipotenusa y por consecuencia de los catetos. Por lo tanto, 
𝑐 = 5 → Valor de la hipotenusa. 
𝑎 = 4 → Valor de una de los catetos. 
𝑏 = ? → Cateto desconocido. 
 
Entonces, de la fórmula 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, se despeja 𝑏. 
𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 → 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 
 Sustituyendo, 
 𝑏 = √52 − 42 
 𝑏 = √25 − 16 
 𝑏 = √9 
 𝑏 = 3  
 
 
 
 
47 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
b) Obtenga la medida de los lados de un cuadrado, si la diagonal que lo cruza es de 4 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Obtenga el área de un triángulo con base de 30 cm e hipotenusa de50 cm. 
Solución: 
 
 
 PRACTICA ENCONTRANDO LAS MEDIDAS DE LOS LADOS FALTANTES DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS 
a) b) c) 
 
 
Para poder obtener el área de un triángulo se necesita 
el valor de base y la altura. Con los datos 
proporcionados, la altura se puede obtener con el 
teorema de Pitágoras. 
 
hipotenusa2 = base2 + altura2 
altura2 = hipotenusa2 − base2 
 
altura2 = (50 cm)2 − (30 cm)2 
altura = √1600 cm2 
altura = 40 cm 
 
Ahora, sólo se aplica la fórmula del área 𝐴 de un 
rectángulo 𝐴 = 1
2
(base × altura). 
 
𝐴 =
1
2
(30 cm × 40 cm) 
 
 𝐴 = 600 cm2  
4 
Solución: 
La diagonal secciona el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa 
es 𝑐 = 4. 
Como se trata de un cuadrado todos los lados miden lo mismo y por tanto los 
catetos del triángulo son iguales 𝑎 = 𝑏. 
Entonces, de la fórmula 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑎2 , → 𝑐2 = 2𝑎2 → 𝑎 = √
𝑐2
2
 
 Sustituyendo, 𝑎 = √
42
2
 
 𝑎 = √8 
 𝑎 = 2√2  
 
 
 
 
 
 
base 
al
tu
ra
 
6 m 
4
 m
 
1
 c
m
 
4 m 
 
48 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
2.2 Unidades de medida de los ángulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los grados y los radianes pueden relacionarse mediante la siguiente conversión: 180° = 𝜋 rad. Esto quiere decir, 
que en media circunferencia (180°), la longitud de arco es aproximadamente 3.1416 veces el radio. Hay ángulos 
denominados ángulos exactos que al igual que sus múltiplos se deben manipular y visualizar rápidamente sin una 
laboriosa conversión, por lo cual es importante que encuentre un patrón eficaz para convertir estos ángulos. Se 
presentan a continuación: 
180° = 𝜋 rad 
90° = 
𝜋 
2
rad 
45° = 
𝜋
4
 rad 
30° = 
𝜋
6
 rad 
60° = 
𝜋
3
 rad 
 
 
 
 
  PRACTICA CON EL PATRÓN HALLADO LA CONVERSIÓN DE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS. 
a) 360° = 
b) 135° = 
c) 120° = 
d) 150° = 
e) 210° = 
f) 240° = 
g) 270° = 
Grados 
Un grado ( ° ) es el ángulo definido al dividir 
la circunferencia en 360 partes iguales. 
 
Radianes 
Un radián (rad) es el ángulo obtenido 
cuando la longitud de arco mide 
exactamente el radio de la circunferencia. 
30° 
Si se mide la longitud 
de esta sección de la 
circunferencia 
medirá lo mismo que 
el radio 𝑟. 𝑟 
1 rad 
Puede expresar los ángulos de 2 formas*: 
¿Qué patrón puede encontrar para 
realizar la conversión de estos 
ángulos rápidamente? 
 
49 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Ahora, a veces las conversiones grados-radianes no son tan directas y es necesario recurrir a otros métodos, a 
continuación se muestran los siguientes ejemplos. 
EJEMPLO: Convertir 35 grados a radianes. 
Solución: 
Puede ordenar la proporción, de tal manera que la cantidad que desea convertir y la incógnita aparezcan en la 
parte del numerador de las razones. En los denominadores escribir la equivalencia conocida. 
35°
180°
=
𝑥
𝜋 rad
 
Despejar su incógnita es sencillo, 
(
35°
180°
) (𝜋 rad) = 𝑥 
El resultado será: 
𝑥 ≈ 0.61 rad  
 
NOTA: Observe que es análogo a la conocida regla de tres. Puede emplearla teniendo en cuenta los siguientes 3 
puntos: 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO: Convertir 2 radianes a grados. 
 
Solución: 
𝑥
180°
=
2
𝜋 rad
 
 
 𝑥 = (
2
𝜋 rad
 ) (180°) 
 
𝑥 ≈ 114.59°  
 
EJEMPLO: Convertir 1 radián a grados. 
 
Solución: 
𝑥
180°
=
1
𝜋 rad
 
 
 𝑥 = (
1
𝜋 rad
 ) (180°) 
 
𝑥 ≈ 57.29°  
 
  PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES CONVERSIONES: 
a) 15 grados a radianes. d) 3.1416 radianes a grados. 
b) 277 grados a radianes. e) 0.5 radianes a grados. 
c) 125 grados radianes. f) 𝜋 5⁄ radianes a grados. 
 
180° = 𝜋 rad 
35° = 𝒙 
 
1. Se escribe la equivalencia 
conocida. 
2. Cuidar que los grados 
estén alineados uno debajo 
del otro. 
3. Indicar la incógnita. 
 
50 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
¿Por qué es importante el uso de los radianes? 
 
En áreas de materiales, física, mecánica puede encontrar frecuentemente cantidades expresadas en radianes y su 
importancia radica en que son las unidades que pueden multiplicarse, dividirse o manipularse con otras cantidades. 
 
EJEMPLO: La velocidad angular 𝜔 que experimenta un engrane de radio 𝑟 de 0.2 m es 1
revolución
s
 . Esta velocidad 
puede ser representada por: 
2π rad
s
 
 
Aunque expresar esta velocidad angular como 
360°
s
 significa lo mismo, ésta última no puede manipularse con otras 
cantidades. Es decir, si se requiere obtener la velocidad lineal dada por la fórmula 𝑣 = 𝜔𝑟 y se calcula en grados por 
segundo, obtendrá un resultado que carece de interpretación física. Entonces lo correcto es: 
𝑣 = 𝜔𝑟 → 𝑣 = (
2π rad
s
) (0.2 m) 
 𝑣 ≈ 1.25 m/s 
Observe que en la respuesta la palabra “rad” no aparece en el resultado, esto es porque los radianes son unidades 
virtuales que sirven para especificar y enfatizar que son cantidades angulares. 
 
 PRACTICA ENCONTRANDO LA VELOCIDAD LINEAL EN LA PERIFERIA DE UNAS ASPAS DE 0.5 m DE LONGITUD QUE 
GIRAN A 720°/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
2.3 Círculo unitario 
Se le llama círculo unitario o trigonométrico a un círculo con radio 𝑟 = 1. Este círculo permite: 
1. Recordar los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante. 
2. Recordar los valores de las funciones trigonométricas en un cuadrante y sus múltiplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
A 
C 
B D 
𝑟
=
1
 
𝜃 
En el círculo unitario se han trazado 6 segmentos para formar dos triángulos, 
la característica de estos triángulos es que uno de sus lados es el radio de la 
circunferencia. Con ellos, podremos obtener el significado de seno, coseno y 
tangente de la siguiente manera. 
 
Observe que los segmentos OA̅̅ ̅̅ 
y OD̅̅ ̅̅ coinciden con el radio de 
la circunferencia, por lo tanto 
OA̅̅ ̅̅ = OD̅̅ ̅̅ = 1. 
Triángulo formado por los segmentos OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ y AB̅̅ ̅̅ . 
sen 𝜃 =
cateto opuesto al ángulo θ
hipotenusa
 ∴ sen 𝜃 =
AB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
 
Como OA̅̅ ̅̅ = 1, entonces: 
sen 𝜃 =
AB̅̅ ̅̅
1
 → sen 𝜃 = AB̅̅ ̅̅  
Por lo tanto, seno es el segmento perpendicular al eje 𝑥, trazado 
verticalmente desde el punto de la circunferencia por el cual está definido el 
ángulo. 
De este mismo triángulo, 
cos 𝜃 =
cateto adyacente al ángulo θ
hipotenusa
 ∴ cos 𝜃 =
OB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
 
Como OA̅̅ ̅̅ = 1, entonces: 
cos 𝜃 =
OB̅̅ ̅̅
1
 → cos 𝜃 = OB̅̅ ̅̅  
Por lo tanto, coseno es el segmento en el eje 𝑥, trazado desde el origen O 
hasta el pie de seno. 
 
Con el triángulo formado por los segmentos OC̅̅̅̅ , OD̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅ , 
tan 𝜃 =
cateto opuesto al ángulo θ
cateto adyacente al ángulo θ
 ∴ tan 𝜃 =
CD̅̅ ̅̅
OD̅̅ ̅̅
 
Como OD̅̅ ̅̅ = 1, entonces: 
tan 𝜃 =
CD̅̅̅̅
1
 → tan 𝜃 = CD̅̅̅̅  
Por lo tanto, tangente es el segmento perpendicular al eje 𝑥, trazado desde 
la intersección del eje 𝑥 positivo y la circunferencia hasta la abertura que 
comprende el ángulo. 
NOTA: El segmento 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ siempre se trazará tangente a la circunferencia en 
0°, por lo tanto, este segmento sólo puede estar en el primer o cuarto 
cuadrante. 
PREGUNTA: Si seno y coseno se obtuvieron del mismo triángulo, ¿por qué se tuvo que recurrir 
a otro triángulo para obtener tangente? 
O 
A 
B 
𝜃 
¡Entonces 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es un 
segmento rectilíneo! 
O 
C 
D 
𝜃 
𝑟 
 
52 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
 
En resumen, como: 
 
 
 De esta manera, sabrá que los signos de sen 𝜃, cos 𝜃 y tan 𝜃 dependen del cuadrante, entonces: 
 
Segundo cuadrante Tercercuadrante Cuarto cuadrante 
De 90° a 180° De 180° a 270° De 270° a 360° 
 
 
sen 𝜃 → + 
cos 𝜃 → − 
tan 𝜃 → − 
 
 
 
sen 𝜃 → − 
cos 𝜃 → − 
tan 𝜃 → + 
 
 
 
sen 𝜃 → − 
cos 𝜃 → + 
tan 𝜃 → − 
 
Recuerde que el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ siempre es tangente a la circunferencia en 0°. 
 
 PRACTICA ESCRIBIENDO LOS SIGNOS QUE CORRESPONDEN A LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
 Signo Signo 
a) 𝑦 = sen 30° f) 𝑦 = cos 5𝜋
3
 
b) 𝑦 = cos 135° g) 𝑦 = tan 2𝜋
3
 
c) 𝑦 = tan 120° h) 𝑦 = sen 
7𝜋
6
 
d) 𝑦 = sen 300° i) 𝑦 = cos 𝜋 
e) 𝑦 = tan 210° j) 𝑦 = sen 
𝜋
2
 
 
Ahora, del primer círculo unitario dibujado en esta página 
imagine que el ángulo decrece hasta volverse cero, entonces 
¿podría predecir el valor de las funciones trigonométricas? 
Completemos la siguiente tabla añadiendo las funciones 
trigonométricas de 90°, 180°, 270° y 360°. Estos son algunos 
de los ángulos conocidos como ángulos exactos. 
 Ángulos exactos 
0° 90° 180° 270° 360° 
sen 𝜃 0 
cos 𝜃 1 
tan 𝜃 0 ±∞ 
O 
A
 
C 
B D 
𝜃 
 AB̅̅ ̅̅ = sen 𝜃 
 OB̅̅ ̅̅ = cos 𝜃 
 CD̅̅̅̅ = tan 𝜃 
 
 
se
n
 𝜃
 
cos 𝜃 
ta
n
 𝜃
 
Entonces 
Como en el primer cuadrante los 
segmentos son positivos, 
de 0° a 90°: 
sen 𝜃 → + 
cos 𝜃 → + 
tan 𝜃 → + 
 
 
O 
A
 
C 
B 
D 
𝜃 
cos 𝜃 s
en
 𝜃
 
ta
n
 𝜃
 O 
A
 
C 
B D 
𝜃 
O 
A
 
C 
B D 
𝜃 
se
n
 𝜃
 cos 𝜃 
ta
n
 𝜃
 
cos 𝜃 
se
n
 𝜃
 
ta
n
 𝜃
 
NOTA: Se escribió ±∞ para indicar que para valores menores y 
próximos a 90°, la función tangente crece sin límite y para 
valores mayores y próximos de 90° decrece infinitamente. 
 
53 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
El comportamiento gráfico de una función trigonométrica puede estudiarse por medio del círculo unitario. 
Para ello, se dibuja el círculo unitario y se divide arbitrariamente según el número de puntos que desee tener en la 
curva. El eje horizontal del círculo debe coincidir con el eje del gráfico, así como el número de divisiones. 
 
EJEMPLO: Grafique la función: 
𝑦 = sen 𝜃 
 
Solución: 
El círculo unitario y el eje horizontal se dividieron por comodidad cada 30° es decir cada 𝜋 6⁄ . Ahora, recuerde que 
en el círculo unitario, seno es el segmento vertical trazado desde un punto de la circunferencia al eje horizontal. Por 
ejemplo, la recta que une el centro del círculo y el punto B forma un ángulo de 𝜋 6⁄ con respecto a la horizontal, 
entonces lo que mide el segmento vertical desde B hasta el eje horizontal es el valor de la función trigonométrica, 
en este caso tenemos que: sen 𝜋
6
= 0.5. 
Si este proceso se repite para el resto de los puntos obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora, observe en el círculo unitario que el punto B situado a 30° y el punto F en 150°, tienen el mismo valor, es 
decir sen 30° = sen 150° y también sen 210° = sen 330° correspondientes a los puntos H y L, difiriendo la función 
trigonométrica estos dos últimos a los dos primeros sólo en el signo. Esto no es una coincidencia, sucede que los 
ángulos 150°, 210°, 330° son múltiplos del ángulo de 30°, lo que significa que están localizados por encima o debajo 
del eje 𝑥 a la misma abertura. Lo mismo pasa entre los puntos C, E, I y K. 
 PRACTICA GRAFICANDO CON AYUDA DEL CÍRCULO UNITARIO LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 𝑦 = tan 𝜃 
 𝜃 y = sen 𝜃 
A 0 0 
B 𝜋 6⁄ 0.5 
C 𝜋 3⁄ √3 2⁄ 
D 𝜋 2⁄ 1 
E 2𝜋 3⁄ √3 2⁄ 
F 5𝜋 6⁄ 0.5 
G 𝜋 0 
H 7𝜋 6⁄ −√3 2⁄ 
I 4𝜋 3⁄ -0.5 
J 3𝜋 2⁄ -1 
K 5𝜋 3⁄ −√3 2⁄ 
L 11𝜋 6⁄ -0.5 
M 2𝜋 0 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
J 
K 
L 
M 
B(𝜋
6
, 0.5) 
El punto B se señala en el círculo unitario, además de señalarse en el 
gráfico. 
Si todos los puntos se ubican en el gráfico y son unidos por una curva 
suave generan el gráfico de la función trigonométrica 
𝑦 = sen 𝜃. 
Al dar la vuelta completa al círculo se obtuvo un ciclo completo de la 
función 𝑦 = sen 𝜃, el cual cada 2𝜋 vuelve a repetirse. De aquí se 
concluye que el periodo de la función es 2𝜋. 
 
 
 
54 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
2.4 Razones trigonométricas 
Las razones trigonométricas se definen como la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
Las razones trigonométricas son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS EXACTOS 
A partir de un triángulo equilátero de lados igual a 2 se pueden definir las razones trigonométricas de 30° y 60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cateto Adyacente 
C
at
et
o
 O
p
u
es
to
 
𝜃 
sen θ =
Cateto Opuesto
Hipotenusa
 
cos θ =
Cateto Adyacente
Hipotenusa
 
tan θ =
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
 
cot θ =
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
 
sec θ =
Hipotenusa
Cateto Adyacente
 
csc θ =
Hipotenusa
Cateto Opuesto
 
O
b
se
rv
e 
q
u
e 
ca
d
a 
ra
zó
n
 t
ri
go
n
o
m
ét
ri
ca
 t
ie
n
e 
su
 r
ec
íp
ro
co
. 
Que sean recíprocas significa que existe la siguiente relación: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
1
csc 𝜃
, cos 𝜃 =
1
sec 𝜃
, tan 𝜃 =
1
cot 𝜃
 
2
1 
2 
2 
60° 60° 
60° 
1. Por ser un triángulo equilátero, 
todos los ángulos internos miden 60°. 
Recuerde que para cualquier triángulo, 
la suma interna de los 3 ángulos 
siempre es 180°. 
2. El triángulo rectángulo se obtiene 
seccionando el triángulo equilátero 
por la mitad. 
2 2 
2 
60° 60° 
60° 
60° 
3. Las nuevas medidas de los lados y los 
ángulos se calculan. Este es el 
triángulo que se utilizará para 30° y 
60°. 
30° 
2 
1 
√3 
El cateto opuesto y el adyacente se determinan a partir de la elección de uno de 
los ángulos del triángulo. Para definir las razones trigonométricas se ubicó el 
ángulo 𝜃 en la posición indicada en el triángulo de la figura. 
 
 
55 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Para el ángulo de 30°: Para el ángulo de 60°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de un cuadrado de lados igual a 1 se pueden definir las razones trigonométricas de 45°. 
 
 
 
 
 
 
 
 PRACTICA ENCONTRANDO LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA 45°, RECUERDA RACIONALIZAR EL 
RESULTADO CUANDO SEA NECESARIO. 
 
 
 
 
 
 
 
Con estas razones trigonométricas de ángulos exactos observe que: 
sen 30° = cos 60° 
cos 30° = sen 60° 
sen 45° = cos 45° 
sen 30° =
1
2
 
cos 30° =
√3
2
 
tan 30° =
1
√3
=
√3
3
 
cot 30° = √
3
1
 = √3 
sec 30° =
2
√3
=
2√3
3
 
csc 30° =
2
1
 = 2 
30° 
2 
1 
√3 
60° 
 
2 
1 
√3 
sen 60° =
√3
2
 
cos 60° =
1
2
 
tan 60° =
√3
1
 = √3 
cot 60° =
1
√3
 = 
√3
3
 
sec 60° =
2
1
 = 2 
csc 60° =
2
√3
 =
2√3
3
 
2. El triángulo rectángulo se obtiene 
seccionando el cuadrado con una 
diagonal. 
3. Las nuevas medidas de los lados y los 
ángulos se determinan. Este es el 
triángulo que se utilizará 45°. 
1. Por ser un cuadrado, todos los 
ángulos internos miden 90°. 
1 1 
1 
1 
1 1 
1 
1 
1
 
1 
√2 
45° 
45° 
1
 
1 
√2 
45° 
sen 45° = 
cos 45° = 
tan 45° = 
cot 45° = 
sec 45° = 
csc 45° = 
Entonces, mientras los ángulos sean complementarios, es decir, sumen 90°, las razones 
seno y coseno son iguales. Por ejemplo sen 80° = cos 10°, etcétera. 
 
 
56 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Anteriormente con el círculo unitario se observó que bastaba saber el valor de las funciones trigonométricas de 
algunos ángulos exactos para derivar los valores de sus múltiplos de acuerdo al cuadrante en que se medía el ángulo, 
en base a ello complete la siguiente tabla: 
 
 Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV 
30° 45° 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330° 
sen 𝜃 √2
2
⁄ √2 2
⁄ −√2 2
⁄ −√2 2
⁄ 
cos 𝜃 √3
2
⁄ −√3 2
⁄ −√3 2
⁄ √3 2
⁄ 
tan 𝜃 √3 −√3 √3 −√3 
 
 
EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones: 
 
a) 8 sen45° 
Solución: 
8 sen 45° = 8 (
√2
2
) 
 = 4√2  
 
Si usted considera pertinente o necesita una 
aproximación en decimales, basta recordar el valor 
√2 ≈ 1.41, de esta manera se continuaría así: 
 
8 sen 45° ≈ 2(1.41) 
 = 4.82  
 
b) 10 cos 210° 
Solución: 
 
10 cos 210° = 10 (−
√3
2
) 
 = −5√3  
El valor de √3 es aproximadamente 1.73, entonces si 
necesita una aproximación de la operación, tendría que 
calcular: 
 
10 cos 210° ≈ −5(1.73) 
 = −8.65  
 
 PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES 
a) 12 tan 30° d) 12 cos 300° 
b) 3 cos 60° e) √3 tan 240° 
c) 6 sen 225° f) −5 tan 𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
 
57 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
En diversas ocasiones los ángulos podrían ser incógnitas de algún problema, el despeje de ángulos requiere de 
funciones inversas, como se muestra en los siguientes ejemplos. 
 
EJEMPLOS: 
a) Encontrar el ángulo agudo 𝜃, sabiendo que: 
sen 𝜃 = 
√3
2
 
Solución: 
Es incorrecto tratar de despejar así: 
sen 𝜃 = √3
2
 → 𝜃 =
√3
sen 2
  
 
 
 
 
 
Lo correcto es aplicar una función inversa, de la 
siguiente manera: 
sen 𝜃 = 
√3
2
 → 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
√3
 2
) 
 𝜃 = 60°  
De no haber señalado que se refería a un ángulo 
agudo, pudo haberse asignado otra respuesta 
como 150°. Entonces, la respuesta también 
dependerá del contexto del problema. En este 
manual, mientras no se indique lo contrario los 
ángulos buscados serán agudos. 
 
 b) Encontrar el ángulo 𝜃, sabiendo que: 
 2 cos 𝜃 = √2. 
 
Solución: 
A diferencia del inciso anterior, lo primero que hay 
que hacer es despejar cos 𝜃, para después aplicar 
la función inversa. 
 
2 cos 𝜃 = √2 → cos 𝜃 =
√2
2
 
 𝜃 = cos−1 (
√2
2
) 
 
 𝜃 = 45°  
 
c) Encontrar el ángulo 𝜃 formado en el siguiente triángulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√3 
𝜃 
1 
Se trata de un triángulo rectángulo, del cual no dan valor para la hipotenusa. 
Al observar el ángulo 𝜃, se deduce que: 
Cateto adyacente = √3 
Cateto opuesto = 1 
Las razones trigonométricas que mezclan ambos catetos son tangente y 
cotangente, las cuales son igualmente válidas para usar, sólo que el empleo 
de tangente es más frecuente y simple. Por lo tanto, 
 tan 𝜃 =
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
 → tan 𝜃 =
1
√3
 
 tan 𝜃 =
√3
3
 
𝜃 = tan−1 (
√3
3
 ) 
 𝜃 = 30°  
 
 
Este error normalmente 
se comete porque se 
piensa que “sen” 
multiplica a 𝜃, ¡cuidado! 
esto es completamente 
falso. 
 
58 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
 PRACTICA ENCONTRANDO EL VALOR DEL ÁNGULO 𝜃, NO EMPLEE CALCULADORA. 
a) sen 𝜃 = √2
2
 
b) cos 𝜃 = 1
2
 
c) tan 𝜃 = √3 
d) sen 𝜃 = 0 
e) cos 𝜃 = 1 
f) cos 𝜃 = −1 
g) tan 𝜃 = 1 
h) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −√2
2
 
 
i) 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
k) 
 
 
 
 
 
 
 
𝜃 
4 
2 
3
5
 
3√2
5
 
𝜃 
𝜃 
√3
4
 
 
0.5 
 
 
59 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 1. Teorema de Pitágoras 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, realice un dibujo que bosqueje la información. 
1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 cm y 4 cm. 
2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 cm y uno de sus lados mide 1 cm, ¿cuánto mide el otro lado? 
3. Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales miden 16 cm y 12 cm. 
16 cm 
12 cm 
 
 
60 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
4. La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. 
Una pulgada equivale a 2.54 centímetros: Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 
96×79 cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor? 
5. Un clavadista está entrenando en una piscina con plataforma. Cuando realiza un salto, cae a una distancia de 1 
metro de la plataforma sumergiéndose 2.4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final 
de la piscina siguiendo una línea transversal de 8.8 metros de longitud. Si la longitud desde la parte superior de 
la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11.2 m. ¿Cuáles la altura de la plataforma (desde el nivel 
del agua)? 
6. Un estacionamiento en forma rectangular de dimensiones 35×98 cm es controlado por 4 cámaras de vigilancia. 
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4. Calcular 
el porcentaje del área del estacionamiento que no está vigilada por ninguna cámara. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
Cám. A 
Cám. B 
Cám. D Cám. C 
35 m 
90 m 
 
 
61 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 2. Unidades de medición de ángulos. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Convierta de radianes a grados y viceversa, según sea el caso. 
𝟏. 
𝜋
5
 rad 𝟐. 
3𝜋
7
 rad 
𝟑. 
2𝜋
7
 rad 
𝟒. 0.5 rad 
𝟓. 3 rad 𝟔. 20° 
𝟕. 140° 𝟖. 215° 
 
𝟗. 0° 𝟏𝟎. 350° 
 
 
 
62 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 3. Razones trigonométricas de ángulos exactos. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Determine de forma exacta, sin calculadora. Realice un dibujo que bosqueje la información. 
1. Determine el cateto opuesto a un ángulo de 30° si la hipotenusa tiene valor de 25. 
2. Determine el cateto adyacente a un ángulo de 45° si el cateto opuesto es 12. 
3. Determine el cateto adyacente a un ángulo de 60° si la hipotenusa es igual a 10. 
4. Un círculo con radio igual a 20 cm está inscrito en un hexágono regular. Determine el perímetro del hexágono. 
 
 
 
63 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
5. Calcula la altura de una torre, sabiendo que el ángulo de elevación desde un punto A y la horizontal es de 45°, 
que desde un punto B a 25 m del punto A y más cerca de la torre el ángulo de elevación es de 60°. 
6. Sea un triángulo rectángulo cuyos lados; hipotenusa igual a 5 cm, cateto igual a 3 cm y el ángulo formado 
entre ellos de 60°. ¿Cuál es su área? y ¿cuál su perímetro? 
7. Obtenga el ángulo que un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante de 15 m que va desde la punta del 
primero hasta el piso. Dé su respuesta en grados y radianes. 
 
 
 
64 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí 
Departamento de Ciencias Básicas 
Curso de nivelación 2018 
Matemáticas 
PRIMER PARCIAL 
TRABAJO 4. Razones trigonométricas para cualquier ángulo. 
Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. 
 
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, emplee calculadora. Realice un dibujo que bosqueje la información. 
1. Se recorren 150 m en una carretera librando un desnivel de 10 m. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la 
carretera? 
2. Un piloto de avión que vuela a una altitud de 300 m señala que su ángulo de depresión a la torre de control es 
de 18°. Si el avión sigue volando a esta altitud hacia la torre de control, ¿cuántos metros tiene que recorrer 
para llegar a la torre? 
3. La cuerda de un cometa forma un ángulo de 42° con el suelo, cuando la longitud de la cuerda mide 740 m. 
¿Cuál es la altitud de la cometa, suponga que la cuerda forma una línea recta? 
 
 
 
65 CAPÍTULO 2. Trigonometría4. Un depósito de agua está a 325 m de un edificio (base a base). Desde una ventana del edificio se observa que 
el ángulo de elevación hasta la parte superior del depósito es de 39° y el ángulo de depresión a la parte inferior 
es de 25°. ¿Cuál es la altura del depósito? ¿A qué altura está la ventana? 
5. Un aeroplano vuela a una altura de 5150 pies directamente por encima de una carretera recta. Dos 
automovilistas están manejando automóviles sobre la carretera en lados opuestos del aeroplano, si el ángulo 
de depresión de un automóvil es de 35° y de 52° el del otro, ¿a qué distancia están los automóviles entre sí? 
6. Un globo de aire caliente flota por encima de una carretera recta. Para calcular su altura sobre el nivel del 
piso, los aeronautas miden simultáneamente el ángulo de depresión a 2 postes consecutivos de marcaje de 
kilómetros sobre la carretera del mismo lado del globo. Los ángulos de depresión encontrados son de 20° y 
22°. ¿A qué altura está el globo? 
 
 
 
66 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
7. Una torre de telefonía celular que tiene una altura de 46 metros, está colocada en la cima de una montaña a 
366 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuál es el ángulo de depresión desde la parte superior de la torre hasta 
un usuario con teléfono celular que está horizontalmente a 8 kilómetros y a 122 metros sobre el nivel del 
mar? 
8. Durante el despegue el ángulo de ascenso de un avión es de 18° y su velocidad es de 84 metros por segundo. 
a) Determine la altura del avión después de 1 minuto. 
b) ¿Cuánto tiempo le tomará al avión ascender a una altitud de 3048 metros? 
9. Una norma de seguridad establece que el ángulo de elevación máximo para una escalera de rescate es 72°. 
La escalera más larga del departamento de bomberos es de 30.5 m. ¿Cuál es la altura máxima de rescate 
segura? 
 
 
67 CAPÍTULO 2. Trigonometría 
10. Un asta de 12 pies está colocada en forma vertical en la orilla del techo de un edificio. El ángulo de elevación 
a la parte superior del asta desde un punto en el suelo que se encuentra a 64 pies del edificio que mide 79°. 
Determine la altura del edificio. 
 
SEGUNDO PARCIAL 
Contenido 
 
3. Álgebra .................................................................................................................................................................... 68 
3.1 Operaciones algebraicas ................................................................................................................................... 69 
3.2 Productos notables ............................................................................................................................................ 75 
3.3 Factorización ..................................................................................................................................................... 76 
3.4 Fracciones algebraicas ....................................................................................................................................... 81 
 ACTIVIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
69 CAPÍTULO 3. Álgebra 
3.1 Operaciones algebraicas 
A diferencia de la aritmética que estudia los números y sus operaciones, el álgebra elemental es la rama de las 
matemáticas cuyas operaciones son expresadas por medio de símbolos, números y letras. 
Básicamente, la representación más compacta de una expresión algebraica se denomina término algebraico, sus 
partes son: 
 
 
 
El exponente y coeficiente pueden ser cualquier número real. La base es representada por letras del alfabeto, 
aunque frecuentemente se emplean 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑥, 𝑦, 𝑧, y dependiendo del contexto del problema se le llama variable 
o incógnita. 
En una expresión algebraica puede encontrar varios términos y se logran identificar uno del otro porque se separan 
por signos +, −. Por ejemplo, 
Expresión algebraica Número de términos 
−3𝑥 1 
4𝑥7 + 5𝑥 2 
8𝑥5 + 9𝑥−2 − 4 3 
 
Si la expresión algebraica está compuesta por términos cuyos exponentes son todos positivos y enteros, entonces 
la expresión se denomina polinomio, y dependiendo del número de términos recibe el nombre de monomio, 
binomio o trinomio. 
Ahora, considerando la expresión 
 
 
 
 
 
Para llevar a cabo las operaciones, es necesario que recuerde lo aprendido en aritmética. En álgebra siguen siendo 
válidas: 
1. Las reglas de los signos en sumas o restas y multiplicaciones o divisiones. 
2. Las reglas de exponentes. 
3. Jerarquía de operaciones. 
4. Operaciones con fracciones. 
 
 
 
 
 
Coeficiente 
Base 
Exponente 5 𝑥2 
+3𝑥6 + 1𝑥4 + 3𝑥1 − 2𝑥0 
3𝑥6 + 𝑥4 + 3𝑥 − 2  
Si en la expresión encuentra: 
 Signo + en el primer término 
 Coeficientes con valor de 1 
 Exponente con valor de 1 
 Términos con 𝑥0. Recuerde que 𝑥0 = 1. 
 
“PUEDE OMITIRLOS EN LA EXPRESIÓN” 
 
 
 
70 CAPÍTULO 3. Álgebra 
SUMA O RESTA 
 
1. Identificar términos semejantes. 
2. Sólo se suman o restan los coeficientes, la base con su exponente quedan igual. 
 
 
EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. 
 
a) 5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 
 
Solución: 
Los términos semejantes son aquellos que tienen la 
misma base y exponente, sin importar que el coeficiente 
sea distinto. Aplique la regla de los signos para la suma o 
resta a estos términos. 
 
 
5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 3𝑥2 + 11𝑥3 
 
 
 = 11𝑥3 + 3𝑥2  
 
Los términos deben quedar ordenados de exponente 
menor a mayor o viceversa. 
b) −4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = 
 
Solución: 
Observe que el último término no tiene semejante, 
entonces ese término simplemente se transcribe en la 
solución. 
 
 
−4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = 
 
 
−14𝑥9 − 2𝑥8 + 5𝑥  
 
 
 
 
d) 8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 = 
 
Solución: 
 
 
8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 = 
 
 
3𝑥5 + 2𝑥3 + 2𝑥−3 = 
 
3𝑥5 + 2𝑥3 +
2
𝑥3
  
 
Así como es conveniente ordenar los términos por su 
exponente, también debe cuidar que el resultado final 
siempre tenga exponentes positivos. 
 
e) 2𝑥2𝑦3 + 4𝑥2𝑦3𝑧 − 3𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 2𝑥5𝑦 = 
 
Solución: 
Observe que hay más de una variable en la expresión, 
recuerde que sólo puede simplificar aquellos términos 
que sean semejantes, para ello todo el término debe 
tener bases y exponentes iguales. 
 
 
2𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 3𝑥2𝑦3 − 2𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧 = 
 
 
−𝑥2𝑦3 − 3𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧  
 
 
 
 
 
 PRACTICA SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, MUESTRE SIN EXPONENTES NEGATIVOS. 
a) 3𝑥2 − 2𝑥2 + 8𝑥3 − 10𝑥3 
 
d) 𝑎𝑐3 − 4𝑎𝑐 − 2𝑎3𝑐 − 3𝑎𝑐 + 𝑏 g) 
4
3
𝑥2 − 5𝑥2 +
1
3
𝑥 −
2
4
𝑥 
b) 2𝑥6 − 𝑥−2 + 3𝑥−2 − 2𝑥6 
 
e) 3𝑥𝑦2 − 5𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 +
1
4
𝑥2𝑦 h) 
3𝑥2−5
3
+
𝑥2−2
7
 
c) −𝑎7 − 𝑎−7 + 8𝑎 + 10𝑎−7 − 𝑎 f) 5𝑥9 − 2𝑥9𝑦 − 15𝑦 + 13𝑦 − 5𝑥9 i) 𝑥−3𝑦−2 + 4
𝑥
𝑦
− 5𝑥𝑦−1 +
7
𝑥3𝑦3
 
Recuerde que 𝑥−𝑛 = 1 𝑥𝑛⁄ 
 
 
71 CAPÍTULO 3. Álgebra 
Cuando hay signos de agrupación se trabaja de la misma manera que en aritmética, dando prioridad a realizar las 
operaciones indicadas por el signo de agrupación más interno al más externo. 
 
EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. 
a) −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} 
 
 
Solución: 
Al igual que en aritmética, se empezará a resolver a partir 
del paréntesis, que es el signo de agrupación más interno. 
 
Para poder quitar el paréntesis, se aplica la regla de los 
signos para la multiplicación. 
 
 −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} 
 
 
Ahora, el signo menos antes del corchete multiplicará a 
todos los términos contenidos dentro del corchete. 
= −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 − 2𝑥]} 
 
 
 
= −5𝑥 + {𝑥 − 2𝑥2 − 4 + 2𝑥} 
 
Puede ir simplificando los términos semejantes. 
 
= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4} 
 
Luego, el signo multiplica el signo de cada término dentro 
de las llaves. 
= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4} 
 
 
 
 
= −5𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 4 
 
Finalmente, simplifique y ordene. 
= −2𝑥2 − 2𝑥