Electromagnetismo__Cap_tulo_1__Tarea_2_parte_2_resnick

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23. En la figura 21-32, las partículas 1 y 2 de carga q1 = q2 = +3.20×
10−19 C están en el eje y a una distancia d = 0.17 m del origen. La
partícula 3 de carga q3 = +6.40× 10−19 C se mueve gradualmente a
lo largo del eje x desde x = 0 m hasta x = +5.0 m. ¿En qué valores
de x la magnitud de la fuerza electrostática sobre la tercera partícula
debida a las otras dos partículas será (a) mínima y (b) máxima?
¿Cuáles son los valores (c) mínimo y (d) máximo de las magnitudes
de la fuerza electrostática?
SOLUCIÓN.
Obtengamos la magnitud de la fuerza electrostática neta sobre la partícula 3 debido a las partículas 1
y 2 en función de su posición variable en el eje x, en m, y su posición constante en el eje y. Para esto,
notemos que los vectores de posición de las tres partículas de acuerdo a nuestro sistema de referencia
son:
~r1 = 0mx̂− d ŷ
~r2 = 0mx̂+ d ŷ
~r3 = x x̂+ 0mŷ
Donde x representa la magnitud del vector de posición de la partícula 3 a lo largo del eje x. Esta
cantidad varía en un intervalo cerrado [0m, 5m]. También debemos resaltar que:
~r3 − ~r1 = x x̂− d ŷ ⇒ |~r3 − ~r1| =
√
(x x̂− d ŷ) · (x x̂− d ŷ) =
√
x2 + d 2
~r3 − ~r2 = x x̂+ d ŷ ⇒ |~r3 − ~r2| =
√
(x x̂+ d ŷ) · (x x̂+ d ŷ) =
√
x2 + d 2
Por el principio de superposición, sabemos que ~F3neta=~F31 + ~F32. Entonces calculemos ~F31 y ~F32 por
separado utilizando la ley de Coulomb.
~F31 =
1
4πε0
q3q1(~r3 − ~r1)
|~r3 − ~r1|3
=
1
4πε0
q3q1
x2 + d2
x x̂− d ŷ√
x2 + d2
~F32 =
1
4πε0
q3q2(~r3 − ~r2)
|~r3 − ~r2|3
=
1
4πε0
q3q2
x2 + d2
x x̂+ d ŷ√
x2 + d2
De acuerdo con los dos vectores anteriores, podemos concluir que
~F3neta =
1
4πε0
q3q1
x2 + d2
x x̂− d ŷ√
x2 + d2
+
1
4πε0
q3q2
x2 + d2
x x̂+ d ŷ√
x2 + d2
=
q3
4πε0(x2 + d2)
3
2
[x(q1+q2)x̂+d(q2−q1)ŷ]
Como q2 = q1
~F3neta =
q3(q1 + q2)x
4πε0(x2 + d2)
3
2
x̂
Por tanto
|~F3neta| =
√(
q3(q1 + q2)x
4πε0(x2 + d2)
3
2
x̂
)
·
(
q3(q1 + q2)x
4πε0(x2 + d2)
3
2
x̂
)
=
q3(q1 + q2)|x|
4πε0(x2 + d2)
3
2
=
q3(q1 + q2)
4πε0
x
(x2 + d2)
3
2
porque x ≥ 0m ⇒ |x| = x. Para encontrar un máximo o un mínimo en la función que describe la
magnitud de la fuerza electrostática neta sobre la partícula 3, tenemos que derivar |~F3neta| con respecto
de x (pues el valor absoluto de la fuerza electrostática neta sobre la partícula 3 es una función de x)
y encontrar los valores de x que hacen que la derivada sea igual a cero.
d|~F3neta|
dx
=
q3(q1 + q2)
4πε0
d
dx
(
x
(x2 + d2)
3
2
)
=
q3(q1 + q2)
4πε0
(
(x2 + d2)
3
2 − 3x2(x2 + d2) 12
(x2 + d2)3
)
= 0
⇒ (x2 + d2) 32 − 3x2(x2 + d2) 12 = 0⇒ (x2 + d2) 32 = 3x2(x2 + d2) 12 ⇒ x2 + d2 = 3x2
⇒ 2x2 = d2 ⇒ x = ± d√
2
Pues d > 0m ⇒ |d| = d. Veamos el cambio de signo en la derivada de |~F3neta| al evaluarla en un
punto antes y después de su punto crítico. Por simplicidad, escogeremos los puntos x = 0m y x = d.
d|~F3neta|
dx
∣∣∣∣∣
x=0m
=
q3(q1 + q2)
4πε0
d3
d6
=
q3(q1 + q2)
4πε0
1
d3
> 0N/m
d|~F3neta|
dx
∣∣∣∣∣
x=d
=
q3(q1 + q2)
4πε0
d3(2− 3
√
2)
(2d)6
=
q3(q1 + q2)
4πε0
2− 3
√
2
26d3
< 0N/m
Como 0m < d√
2
< d, entonces podemos concluir en que d√
2
es un máximo para |~F3neta|. Como la
partícula 3 no se mueve en el lado negativo del sistema coordenado xy, no tiene sentido preguntarnos
en un mínimo cuando x < 0m. Al evaluar la derivada, se vio que la magnitud de la fuerza neta sobre
la partícula 3 crece hasta que la partícula llega a x = d√
2
, por tanto, el mínimo en |~F3neta| debe estar
justo en donde la partícula 3 comenzó su movimiento. Calculemos |~F3neta| en x = 0m y x = .12m.
|~F3neta|
∣∣∣
x=0m
=
q3(q1 + q2)
4πε0
0m
(d2)
3
2
= 0N
|~F3neta|
∣∣∣
x=0.12m
=
(6.4× 10−19 C)2
4π 8.85× 10−12 C2N ·m2
.12m
((.12m)2 + (.17m)2)
3
2
= 4.90× 10−26N
38. En la figura 21-37 hay cuatro esferas conductoras idénticas que están separadas unas de otras. La
esfera W (con carga inicial 0e) es tocada por la esfera A, y después separada, luego, la esfera W es
tocada por la esfera B (con carga inicial -32e) y después separada, finalmente es tocada por la esfera
C (con carga inicial +48e) y son separadas, la carga final en la esfera W es de +18e, ¿cual era la carga
inicial en la esfera A?
SOLUCIÓN: sabemos que la carga inicial de la esfera W antes de ser tocada es 0e, de igual forma
su carga final es de +18 e, es decir:
Q0W = 0e
QfW = +18e
Igualmente sabemos que cuando tenemos 2 esferas A y B conductoras de radios iguales la carga en
ellas después de que se tocan será distribuida de la siguiente forma, :
Q2A = Q2B =
Q1A +Q1B
2
Esto de forma resumida es debido a que la carga eléctrica de un sistema se conserva y que las esferas
conductoras distribuyen su carga entre ellas mismos al estar en contacto, es decir la suma total de la
carga de las 2 esferas. Debido a que la carga se distribuye uniformemente, cuando se les separa, cada
una lleva consigo misma la mitad de la carga total. Teniendo esto en cuenta, si calculamos la carga
de la esfera W después de haber tocado a la esfera A tenemos lo siguiente, (donde Q1A es la carga
inicial de la esfera A): PASO 1: A toca W
Q1W =
Q1A +Q0W
2
=
Q1A
2
Esto significa que la carga de A ahora es de
Q1A
2
.
PASO 2: B toca W
después W es tocada por la esfera B con carga inicial -32 e, por lo que aplicando la misma propiedad
tenemos que:
Q2W =
Q1B +Q1W
2
=
(−32e) + Q1A2
2
=
Q1A − 64e
4
PASO 3: C toca W
De la misma forma tendríamos que calcular la carga después de haber tocado la esfera C de carga
+48 con lo que nos queda:
Q3W =
Q1C +Q2W
2
=
(48e) + Q1A−64e4
2
=
Q1A − 64e+ 192e
8
=
Q1A + 128e
8
Sin embargo sabemos que la carga final de la esfera W es de +18 e por lo que tenemos que:
Q3W = QfW = +18e
Q1A + 128e
8
= 18e
Q1A + 128e = 144e
Q1A = 16e
Por lo que concluimos que la carga inicial de la esfera A es:
Q1A = 16e