Electromagnetismo__Cap_tulo_4__Tarea_3_resnick

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26. La figura 24-45 muestra una varilla delgada con densidad de carga uniforme de 2.00µ Cm .
Calcule el potencial eléctrico en el punto P si d = D = L4 . Asuma que el potencial es cero en el infinito.
SOLUCIÓN: Empezamos definiendo nuestros vectores considerando nuestro sistema de referencia, vea la
figura 24-45a.
~r = d ŷ =
L
4
ŷ
~r′ = x x̂
figura 24-45a. Sistema de referencia del problema 26.
En principio supondremos que se trata de una partícula puntual, para eso consideraremos un diferencial de
carga dq′ a la cual le corresponde una diferencial de potencial eléctrico, de modo que
V(~r) =
1
4π�0
q′
|~r − ~r′|
dV(~r) =
1
4π�0
dq′
|~r − ~r′|
Notemos que si denotamos con λ a la densidad de carga lineal uniforme λ = q
′
x entonces dq
′ = λ dx. Ahora,
calculemos |~r − ~r′|
~r − ~r′ = −x x̂ + d ŷ
|~r − ~r′| =
√
(−x x̂ + d ŷ) · (−x x̂ + d ŷ) =
√
x2 (x̂ · x̂) + d2 (ŷ · ŷ)
=
√
x2 + d2
Y sustituimos esta expresión
dV(~r) =
1
4π�0
dq′
|~r − ~r′|
=
1
4π�0
λ dx
√
x2 + d2∫
dV =
∫ L
L
4
1
4π�0
λ dx
√
x2 + d2
=
λ
4π�0
∫ L
L
4
dx
√
x2 + d2
V(~r) =
λ
4π�0
[
ln (x +
√
x2 + d2)
]L
L
4
=
λ
4π�0
ln L +
√
L2 +
L2
16
 − ln L4 +
√
L2
16
+
L2
16

V(~r) =
λ
4π�0
ln L +
√
L2 + L216
L
4 +
√
L2
16 +
L2
16
 = λ4π�0
ln 4 + √17
1 +
√
2

Entonces, el potencial eléctrico en el punto P esta dado por:
V(~r) =
λ
4π�0
ln 4 + √17
1 +
√
2

Finalmente, sustituimos los valores:
V(~r) =
2 × 10−6 Cm
4π · 8.85 × 10−12 C
2
N·m2
ln 4 + √17
1 +
√
2
 = 2.182 × 104 JC
29. En la figura 24-48, ¿cuál es el potencial eléctrico neto en el origen debido al arco circular de carga Q1 =
+7.21 pC y las otras dos partículas de cargas Q2 = 4.00Q1 y Q3 = −2.00Q1? El centro de la curvatura del arco
se encuentra en el origen, y su radio es R = 2.00 m. El ángulo indicado en la figura es de θ = 20.0°
SOLUCIÓN: Calcularemos la contribución de cada objeto al potencial eléctrico en el origen y luego usaremos
el principio de superposición para conocer el potencial eléctrico neto. Ya que el potencial eléctrico para una
partícula está dado por
V(~r) =
q′
4π�0
1
|~r − ~r ′|
(2)
Si tomamos un diferencial de carga en el arco, entonces el diferencial de potencial estará dado por
dV1(~r) =
dq′
4π�0
1
|~r − ~r1|
Definamos la densidad lineal del arco como
λ =
dq′
ds′
⇒ dq′ = λ ds′
En donde ds′ es un diferencial de longitud de arco, además se tiene que:
ds′ = R dθ
dV1(~r) =
λR dθ
4π�0
1
|~r − ~r1|
En donde dθ es un diferencial de ángulo y R es el radio del arco. Ya que se quiere calcular el potencial eléctrico
en el origen, el vector ~r = ~0⇒ |~r − ~r1| = |~r1| = R.
dV1(~r) =
λR dθ
4π�0
1
R
=
λ dθ
4π�0
(3)
Recordando que λ =
Q1
Rφ
, e integrando (2) entonces se tiene que:
V1(~r′) =
λ
4π�0
∫ φ
0
dθ =
λφ
4π�0
=
Q1
4Rπ�0
De la figura 24-48, la distancia del origen a la partícula 2 es igual a 2R (|~r2| = 2R). Similarmente, la distancia
del origen a la partícula 3 es igual a R (|~r3| = R).
De (1), calcularemos la contribución de Q2:
V2(~r) =
Q2
4π�0
1
|~r − ~r2|
=
Q2
4π�0
1
|~r2|
=
Q2
8Rπ�0
Análogamente, la contribución de Q3 es:
V3(~r) =
Q3
4π�0
1
|~r − ~r3|
=
Q3
4π�0
1
|~r3|
=
Q3
4Rπ�0
Por el principio de superposición, tenemos que:
V(~r) = V1(~r) + V2(~r) + V3(~r)
=
Q1
4Rπ�0
+
Q2
8Rπ�0
+
Q3
4Rπ�0
=
Q1
4Rπ�0
+
4Q1
8Rπ�0
−
2Q1
4Rπ�0
=
Q1
4Rπ�0
=
+7.21 × 10−12 C
4(2 m)π 8.85 × 10−12 C
2
N·m2
= 32.4 mV