tarea1_fe_solucion_ec_laplace_coordenadas_esfericas_obladas

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Benemérita Universidad Autónoma de
Puebla
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Tarea 1: Coordenadas esferoidales
obladas y la ecuación de Laplace
Dr. Gerardo Torres del Castillo
Funciones especiales
Díaz Lievano Lázaro Raúl
Las coordenadas esferoidales obladas (α, β, ϕ), se relacionan con las cartesianas me-
diante
x = c coshα sinβ cosϕ,
y = c coshα sinβ sinϕ,
z = c sinhα cosβ
donde c es una constante. ¿Es un sistema ortogonal? En caso de que lo sea, halle los
factores de escala y la ´expresión para el laplaciano. (Nota: Existen otras definiciones
similares en la literatura.) Averigüe si la ecuación de Laplace admite soluciones por
separación de variables en estas coordenadas (en el caso de que así sea, no es necesario
resolver las ecuaciones separadas).
¿Es un sistema ortogonal?
La idea para demostrar que las coordenadas esferoidales obladas son un sistema ortogonal es que al
calcular el elemento de linea nos encontremos que cada diferencial es independiente y no hallemos
términos proporcionales a dαdβ, dαdϕ, dβdϕ.
El elemento de linea en E3 por definición es
ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
Hallaremos cada diferencial de acuerdo a nuestro sistema de coordenadas
dx
dx =
∂x
∂qi
dqi =
∂x
∂α
dα+
∂x
∂β
dβ +
∂x
∂ϕ
dϕ
dx = c [sinhα sinβ cosϕdα+ coshα cosβ cosϕdβ − coshα sinβ sinϕdϕ]
dx2
c2
= sinh2 α sin2 β cos2 ϕdα2 + cosh2 α cos2 β cos2 ϕdβ2 + cosh2 α sin2 β sin2 ϕdϕ2
+2(sinhα sinβ cosϕdα)(coshα cosβ cosϕdβ)− 2(sinhα sinβ cosϕdα)(coshα sinβ sinϕdϕ)
−2(coshα cosβ cosϕdβ)(coshα sinβ sinϕdϕ)
dy
dy =
∂y
∂qi
dqi =
∂y
∂α
dα+
∂y
∂β
dβ +
∂y
∂ϕ
dϕ
dy = c [sinhα sinβ sinϕdα+ coshα cosβ sinϕdβ + coshα sinβ cosϕdϕ]
dy2
c2
= sinh2 α sin2 β sin2 ϕdα2 + cosh2 α cos2 β sin2 ϕdβ2 + cosh2 α sin2 β cos2 ϕdϕ2
+2(sinhα sinβ sinϕdα)(coshα cosβ sinϕdβ) + 2(sinhα sinβ sinϕdα)(coshα sinβ cosϕdϕ)
+2(coshα cosβ sinϕdβ)(coshα sinβ cosϕdϕ)
dz
dz =
∂z
∂qi
dqi =
∂z
∂α
dα+
∂z
∂β
dβ
dz = c [coshα cosβdα− sinhα sinβdβ]
dz2
c2
= cosh2 α cos2 βdα2 + sinh2 α sin2 βdβ2 + 2(coshα cosβdα)(sinhα sinβdβ)
Entonces,
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
ds2
c2
= (sinh2 α sin2 β(cos2 ϕ+ sin2 ϕ) + cosh2 α cos2 β)dα2+
(cosh2 α cos2 β(cos2 ϕ+ sin2 ϕ) + sinh2 α sin2 β)dβ2+
(cosh2 α sin2 β sin2 ϕ+ cosh2 α sin2 β cos2 ϕ)dϕ2+
(2 sinhα coshα sinβ cosβ(cos2 ϕ+ sin2 ϕ)− 2 sinhα coshα sinβ cosβ)dαdβ+
(−2 sinhα coshα sin2 β sinϕ cosϕ+ 2 sinhα coshα sin2 β sinϕ cosϕ)dαdϕ+
(−2 cosh2 α sinβ cosβ sinϕ cosϕ+ 2 cosh2 α sinβ cosβ sinϕ cosϕ)dβdϕ
De donde se obtiene finalmente
ds2 = c2[sinh2 α sin2 β + cosh2 α cos2 β]dα2+
c2[sinh2 α sin2 β + cosh2 α cos2 β]dβ2+
c2[cosh2 α sin2 β]dϕ2
Usamos la identidad trigonométrica hiperbólica y circular: cosh2 x−sinh2 x = 1, cos2 x+sin2 x = 1
para simplificar los factores de escala
sinh2 α sin2 β+cosh2 α cos2 β = (cosh2 α−1)(1−cos2 β)+cosh2 α cos2 β = cosh2 α−1+cos2 β = sinh2 α+cos2 β
Por lo que obtenemos que el elemento de linea es
ds2 = c2
[
(sinh2 α+ cos2 β)dα+ (sinh2 α+ cos2 β)dβ + (cosh2 α sin2 β)dϕ
]
(1)
n
Dado que los términos proporcionales a dαdβ, dαdϕ, dβdϕ se cancelaron, entonces (α, β, ϕ) es
un sistema ortogonal.
Factores de escala
De la expresión anterior encontrada para el elemento de linea es fácil identificar los factores de
escala, siendo sus valores los siguientes:
h21 = h
2
2 = c
2[sinh2 α+ cos2 β]
h23 = c
2[cosh2 α sin2 β]
Por lo cual,
h1 = h2 = c
√
sinh2 α+ cos2 β (2)
h3 = c coshα sinβ (3)
Vector unidad
Podemos definir un vector r que contenga las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las
esféricas obladas como
r⃗ = xî+ yĵ + zk̂ = c coshα sinβ cosϕî+ c coshα sinβ sinϕĵ + c sinhα cosβk̂
Y para obtener los vectores unidad usaremos
êi =
1
hi
∂r⃗
∂qi
Donde
∂r⃗
∂α
= c sinhα sinβ cosϕî+ c sinhα sinβ sinϕĵ + c coshα cosβk̂
∂r⃗
∂β
= c coshα cosβ cosϕî+ c coshα cosβ sinϕĵ − c sinhα sinβk̂
∂r⃗
∂ϕ
= −c coshα sinβ sinϕî+ c coshα sinβ cosϕĵ
êα =
1
h1
∂r⃗
∂α
=
1√
sinh2 α+ cos2 β
(
sinhα sinβ cosϕî+ sinhα sinβ sinϕĵ + coshα cosβk̂
)
êβ =
1
h2
∂r⃗
∂β
=
1
c
√
sinh2 α+ cos2 β
(
coshα cosβ cosϕî+ coshα cosβ sinϕĵ − sinhα sinβk̂
)
êϕ =
1
h3
∂r⃗
∂ϕ
=
1
coshα sinβ
(
− coshα sinβ sinϕî+ coshα sinβ cosϕĵ
)
= − sinϕî+ cosϕĵ
Laplaciano
El laplaciano se define como
∇2Ψ = 1
h1h2h3
[
∂
∂q1
(
h2h3
h1
∂Ψ
∂q1
)
+
∂
∂q2
(
h3h1
h2
∂Ψ
∂q2
)
+
∂
∂q3
(
h1h2
h3
∂Ψ
∂q3
)]
Entonces, sustituyendo los factores de escala nos queda
∇2Ψ = 1
c2(sinh2 α+ cos2 β)(coshα sinβ)
[
∂
∂α
(
coshα sinβ
∂Ψ
∂α
)
+
∂
∂β
(
coshα sinβ
∂Ψ
∂β
)
+
∂Ψ
∂ϕ
(
sinh2 α+ cos2 β
coshα sinβ
∂Ψ
∂ϕ
)
introducimos el cociente 1coshα sin β dentro de los corchetes y cancelamos con los términos que
respecto a la derivada parcial son constantes.
∇2Ψ = 1
c2(sinh2 α+ cos2 β)
[
1
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂Ψ
∂α
)
+
1
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
sinh2 α+ cos2 β
cosh2 α sin2 β
)
∂2Ψ
∂ϕ2
]
∇2Ψ = 1
c2(sinh2 α+ cos2 β)
[
1
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂Ψ
∂α
)
+
1
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sin2 β
− 1
cosh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
]
(4)
Ecuacion de Laplace
La ecuacion de Laplace es
∇2Ψ = 0
1
c2(sinh2 α+ cos2 β)
[
1
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂Ψ
∂α
)
+
1
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sin2 β
− 1
cosh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
]
= 0
1
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂Ψ
∂α
)
+
1
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sin2 β
− 1
cosh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
= 0 (5)
Validez del método de separación de variables como solución a la ecuación de
Laplace en coordenadas esféricas obladas.
Si La ecuación de Laplace acepta soluciones en variables separadas entonces debe haber una función
Ψ de la forma
Ψ = R(α)P (β)Q(ϕ)
que cumpla la ecuación en derivadas parciales de segundo orden.
0 =
1
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂(RPQ)
∂α
)
+
1
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂(RPQ))
∂β
)
+
(
1
sin2 β
− 1
cosh2 α
)
∂2(RPQ)
∂ϕ2
0 =
PQ
coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
RQ
sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂P
∂β
)
+RP
(
1
sin2 β
− 1
cosh2 α
)
∂2Q
∂ϕ2[
1
R coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
1
P sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂P
∂β
)]
=
(
1
cosh2 α
− 1
sin2 β
)
1
Q
∂2Q
∂ϕ2(
cosh2 α sin2 β
sin2 β − cosh2 α
)[
1
R coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
1
P sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂P
∂β
)]
=
1
Q
∂2Q
∂ϕ2
Dado que el lado izquierdo de la ecuación no depende de ϕ, entonces el lado derecho debe ser
igual a una constante
1
Q
d2Q
dϕ2
= k2 = cte.
d2Q
dϕ2
= k2Q (6)
Sustituyendo esto, nuestra ecuación en derivadas parciales se reduce a
1
R coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
(
1
cosh2 α
− 1
sin2 β
)
k2 = − 1
P sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂P
∂β
)
1
R coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
k2
cosh2 α
= − 1
P sinβ
∂
∂β
(
sinβ
∂P
∂β
)
+
k2
sin2 β
Dado que el lado izquierdo de la ecuación no depende de β, entonces creo que se puede separar
otra variable
1
P sinβ
d
dβ
(
sinβ
dP
dβ
)
− k
2
sin2 β
= −m2 = cte
multiplicando ambos lados por P sin2 β tenemos
sinβ
d
dβ
(
sinβ
dP
dβ
)
+ (m2 sin2 β − k2)P = 0 (7)
Lo cual tiene la forma de una ecuación de Bessel.
Y por ultimo, sustituyendo por m2 el lado derecho de la EDP
1
R coshα
∂
∂α
(
coshα
∂R
∂α
)
+
k2
cosh2 α
= m2
multiplicando por R cosh2 α
coshα
d
dα
(
coshα
dR
dα
)
+ (k2 −m2 cosh2 α)R = 0 (8)
Por lo tanto, la ecuación de Laplace en coordenadas esfericas obladas admite soluciones por sepa-
ración de variables.
El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias formado es
d2Q
dϕ2 = k
2Q
sinβ ddβ
(
sinβ dPdβ
)
+ (m2 sin2 β − k2)P = 0
coshα ddα
(
coshαdRdα
)
+ (k2 −m2 cosh2 α)R = 0