Álgebra lineal Unidad 1 Números complejos Tema 5 Teorema de Moivre

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Instituto Tecnológico Superior de Irapuato 
ÁLGEBRA LINEAL 
 
TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO. 
 
La formula Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la 
potencia enésima de un numero complejo. 
Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un 
entero positivo, entonces se obtiene: 
 
Esta relación, que se conoce con el nombre de 
Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo 
bastante eficiente para hallar la potencia enésima de 
cualquier numero complejo en forma polar. 
 
Complementa la lección con el video anexo 
 
Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 
Calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir, Z5. 
 
 
 
 
 NÚMEROS COMPLEJOS 
 
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EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO. 
 Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 
 
 Donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de Z. 
Esto lo denotamos por: 
 
 
En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de 
orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se 
tiene la siguiente propiedad: 
 
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Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 
raíces cuartas, pues: 
 
Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 
A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z 
= |Z| (cos θ + i sen θ). 
 
 
 
 
Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una 
circunferencia con centro en el origen y radio 2. Además todas ellas están a la misma 
distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilátero, tal como puede 
verse en la figura siguiente: 
 
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Ejemplo. Hallar todas las raíces sextas de la unidad. 
Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 
(cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la 
obtención de las raíces de un número complejo: 
 
 con k = 0,1,2,3,4, y 5. 
 
Estos valores de k nos dan las seis raíces: 
W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0 
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1 
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2 
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3 
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4 
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5 
 
Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un 
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1. 
 
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EJERCICIOS 
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