Resumen Fis120 CGlobal - Franco Espinoza (2016-2)

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Franco Espinoza Cartagena 
 
Puedo haberme equivocado en algún concepto, pero la forma en que está escrito el documento, 
fue como lo entendí en su momento. 
Resumen Fis 120 Global (2016-2) 
I. Introducción 
1) Campo Homogéneo 
Se dice que un campo es homogéneo en alguna región, si su magnitud es constante en todo 
punto de la región definida. Un ejemplo sería la aceleración de gravedad en un espacio 
cercano a la superficie de la Tierra, su magnitud es constante y aproximadamente igual a 
9,8[𝑚/𝑠2]. 
2) Principio de Superposición 
Sea �⃑� = ∑ 𝐹𝑖⃑⃑⃑ un campo vectorial. Entonces, el principio de superposición, en adelante PSP, 
permite separar operaciones lineales de un campo neto, como la suma de esa operación 
sobre diferentes campos: 
𝐿[�⃑�] = ∑ 𝐿[𝐹𝑖⃑⃑⃑] 
Este principio se usará en adelante para fuerzas, campos eléctricos y magnéticos, 
potenciales eléctricos, entre otros. 
3) Vector 
Un vector está definido por magnitud como por dirección. Si llamamos 𝒗 al vector, podemos 
describir la dirección de éste, mediante un vector unitario (Vector dividido por la norma del 
vector): 
�⃑� = |�⃑�| ∙ 𝑣 = |�⃑�| ∙
�⃑�
|�⃑�|
 
II. Electrostática 
1) A Saber: 
Se usarán las siguientes notaciones: 
Vectores: 𝑭, �⃑� (A veces se abusará de la notación para eliminar toda ambigüedad, por 
ejemplo en �⃑⃑⃑�) 
Vector unitario: �̂�, �̂� 
Magnitudes de vectores: 𝐹, |�⃑�| 
Vectores posición: 
𝒓𝒄 punto de campo, 
𝒓𝒇 punto de fuente, 
𝒓𝒄 − 𝒓𝒇 = 𝒓 línea de acción del punto de campo, respecto a la fuente. 
Respecto a ecuaciones vectoriales para distribuciones continuas, se usarán tanto formas 
diferenciales, como integrales: 
𝑑𝑦 = 𝑔𝑑𝑥 ≡ 𝑦 = ∫ 𝑔𝑑𝑥 
2) Carga eléctrica, distribuciones discretas y continuas 
Se denota carga eléctrica con la letra 𝑞 𝑦 𝑄. En un sistema aislado, la carga total permanece 
constante en el tiempo, esto se conoce como principio de conservación de la carga 
eléctrica. Por otro lado, las cargas opuestas se atraen y las cargas iguales se repelen. 
Se habla de distribución de cargas discreta cuando se tiene un conjunto contable de cargas 
puntuales. Por otro lado, se dice que un sistema tiene una distribución de cargas continua, 
si el conjunto corresponde a la suma infinita de pequeñas cargas (En definitiva una suma de 
Riemann y con ello una integral). 
Se define la densidad de carga lineal 𝜆, superficial 𝜎 y volumétrica 𝜌, como la cantidad de 
carga que hay en un espacio n dimensional, con 𝑛 = 1,2 𝑦 3, respectivamente. De este 
modo se puede calcular la carga total de una distribución continua de la siguiente manera: 
𝑄 = ∫ 𝜆 𝑑𝑙 
𝑄 = ∬ 𝜎 𝑑𝐴 
𝑄 = ∭ 𝜌 𝑑𝑉 
Debe utilizarse el sistema de coordenadas apropiado: cartesianas, polares, esféricas o 
cilíndricas. Para un sistema lineal, el diferencial se puede ver como un elemento de radio 
(Como se verá en la definición de potencial eléctrico): 
𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟 
En un sistema bidimensional de superficies, el diferencial puede verse en coordenadas 
cartesianas o bien en polares: 
𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
En particular, cuando se tiene una superficie hueca, como una esfera hueca, el diferencial 
queda: 
𝑟𝑑𝜃 
Para un sistema tridimensional de volumen, el diferencial puede verse en coordenadas 
cartesianas, cilíndricas o bien esféricas: 
𝑑𝑉 = 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑟𝑑(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟2𝑆𝑒𝑛(𝜙)𝑑(𝑟, 𝜃, 𝜙) 
3) Ley de Coulomb 
La ley de Coulomb establece que la magnitud de la fuerza eléctrica que actúa sobre una 
partícula es directamente proporcional al producto entre las cargas que interactúan e 
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa: 
𝐹 ∝ |𝑞1 ∙ 𝑞2| ∪ 𝐹 ∝ 𝑟
−2 → 𝐹 = 𝑘
|𝑞1 ∙ 𝑞2|
𝑟2
 
Donde k, es la constante de proporcionalidad que también se define como: 
𝑘 =
1
4𝜋𝜀0
 
Luego, la fuerza es un campo vectorial, cuya línea de acción es a través de la recta que une 
ambas partículas. Entonces, 𝐹 debe multiplicarse por un vector unitario en la dirección 
descrita. Sean 𝑟𝑓⃑⃑⃑ ⃑ la posición de la partícula que efectúa la fuerza o fuente de fuerza y 𝑟𝑐⃑⃑⃑ la 
que recibe la fuerza o campo de la fuerza, entonces la fuerza queda descrita por: 
�⃑� = 𝑘
|𝑞1 ∙ 𝑞2|
|𝑟𝑐⃑⃑⃑ − 𝑟𝑓⃑⃑⃑ ⃑|
2 ∙
𝑟𝑐⃑⃑⃑ − 𝑟𝑓⃑⃑⃑ ⃑
|𝑟𝑐⃑⃑⃑ − 𝑟𝑓⃑⃑⃑ ⃑|
 
La forma en la que está escrita la ecuación se ve un tanto difusa y densa, de modo que si 
definimos el vector de distancia, como 𝒓 = 𝒓𝒄 − 𝒓𝒇, entonces la ecuación queda expresada 
como: 
𝑭 = 𝑘
𝑞1 ∙ 𝑞2
|𝒓|2
∙ �̂� = 𝑘
𝑞1 ∙ 𝑞2
|𝒓|3
∙ 𝒓 
Si se tiene un conjunto de cargas 𝑞𝑖, y se quiere calcular la fuerza que ejercen sobre una 
partícula 𝑞0, por PSP, la fuerza neta sobre 𝑞0 es: 
𝑭𝒏𝒆𝒕𝒂 = ∑ 𝑘
𝑞í ∙ 𝑞0
|𝒓|3
∙ 𝒓 (𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑆𝑃, 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠) 
Para distribución de cargas continuas, si se asume que ambas cargas son cuerpos cargados, 
entonces 𝑞1 = 𝑑𝑞1 y 𝑞2 = 𝑑𝑞2, y se integra sobre las respectivas cargas si uno de los dos es 
una carga puntual, entonces se elimina el diferencial: 
𝑭 = ∬ 𝑘
𝑑𝑞1 ∙ 𝑑𝑞2
𝑟3
∙ 𝒓 
𝑭 = ∫ 𝑘
𝑞1 ∙ 𝑑𝑞2
𝑟3
∙ 𝒓 
𝑭 = ∑ ∬ 𝑘
𝑑𝑞1 ∙ 𝑑𝑞2
𝑟3
∙ 𝒓 (𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑆𝑃, 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠) 
Considerar que todas las expresiones son la misma, solo debe comprenderse el concepto 
básico para tratar distribuciones continuas y discretas. 
4) Campo eléctrico 
El campo eléctrico es un campo vectorial, que corresponde a la fuerza eléctrica que ejerce 
una carga en una región del espacio. De otro modo, se puede decir que la fuerza eléctrica 
es efecto del campo de todas las cargas. La fuerza eléctrica puede definirse en función del 
campo eléctrico como sigue: 
𝐹 = 𝑞𝐸 
Pero, como la fuerza es un vector, entonces el campo eléctrico también es un vector: 
𝑭 = 𝑞𝑬 
Existe la siguiente convención para las líneas de campo eléctrico: 
- Para cargas positivas, el cuerpo es una fuente (repulsor) de campo, es decir, las 
líneas apuntan hacia afuera. 
- Para cargas negativas, el cuerpo es un sumidero (atractor) de campo, es decir, las 
líneas apuntan hacia la carga. 
Ahora, la ecuación de campo eléctrico para cargas puntuales en un punto es 
�⃑⃑� = 𝑘
𝑞
𝑟3
∙ 𝑟 
𝑬 = 𝑘 ∑
𝑞𝑖
|𝒓𝒊|3
𝒓𝒊 (𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑆𝑃, 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠) 
Entonces, para distribuciones continuas se tiene que: 
𝑬 = 𝑘 ∫
𝑑𝑞
𝑟2
�̂� = 𝑘 ∫
𝑑𝑞
𝑟3
𝑟 
Para la resolución de ejercicios de cálculo de campo eléctrico y fuerza eléctrica del curso, 
SIEMPRE es posible y conveniente utilizar el principio de superposición de campos 
vectoriales (PSP) para simplificar los cálculos, y se puede omitir las interacciones entre los 
distintos campos, viendo cada carga como un sistema aislado. En síntesis, lo que se quiere 
decir es lo siguiente: 
𝑬 = ∑ (𝑘
𝑞𝑖
𝑟𝑖
3 ∙ 𝒓𝒊 + 𝑘 ∫
𝑑𝑞𝑖
𝑟𝑖
3 ∙ 𝒓𝒊) 
5) Flujo eléctrico y Ley de Gauss 
Se define el flujo eléctrico mediante la integral de superficie sobre campos vectoriales 
eléctricos: 
Φ𝑒 = ∬ 𝑬𝒅𝑺 
Haciendo uso del cálculo vectorial, se llega a la ley de Gauss para campos eléctricos, que 
establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada (Imaginaria o gaussiana) 
es igual a la carga encerrada por la superficie sobre la permeabilidad eléctrica del vacío. 
“Flujo eléctrico es igual a carga encerrada sobre épsilon cero”: 
Φ𝑒 = ∯ 𝑬𝒅𝑺 =
𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜀0
 
La forma de usar la ley es la siguiente: 
- Se debe escoger una superficie altamente simétrica (Esferas, cilindros), cuya 
frontera atraviese la región donde se quiere calcular el campo eléctrico. Además, el 
vector de área debe ser paralelo al campo eléctrico: 
∯ 𝑬𝒅𝑺 = ∯ 𝐸𝑑𝑆 ∙ 𝐶𝑜𝑠(0) = ∯ 𝐸𝑑𝑆 
- Puesto que el campo eléctrico es constante y homogéneo en toda la frontera se llega 
a que: 
∯ 𝐸𝑑𝑆 = 𝐸 ∯ 𝑑𝑆 = 𝐸 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆) 
- Luego, usando la ley se tiene que: 
𝐸 =𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜀0 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆)
 
6) Potencial eléctrico y Tensión 
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar una carga desde 𝑎 hasta 𝑏 está 
definido por la integral de línea sobre una trayectoria vectorial, además como la fuerza 
eléctrica es conservativa, el trabajo es igual al negativo de la variación de energía potencial 
eléctrica: 
𝑊 = −ΔU = ∫ 𝑭𝒆 ∙ 𝒅𝒍
𝑏
𝑎
 
Luego, la diferencia de potencial eléctrico 𝚫𝑽 (También llamado voltaje y tensión) es un 
campo escalar y se define como la variación de energía eléctrica por unidad de carga, o bien 
como el trabajo que debe realizar un campo eléctrico para desplazar una carga: 
Δ𝑈 = − ∫ 𝑭𝒆 ∙ 𝒅𝒍
𝑏
𝑎
 
Δ𝑉 =
Δ𝑈
𝑞
= −
1
𝑞
∫ 𝑭𝒆𝒅𝒍 
Pero se sabe que 𝑭𝒆 = 𝑞𝑬 de modo que la diferencia de potencial queda como: 
Δ𝑉 = − ∫ 𝑬 ∙ 𝒅𝒍
𝑏
𝑎
= − ∫ |�⃑⃑�|𝐶𝑜𝑠(𝜃) ∙ |𝑑𝑙⃑⃑⃑⃑ |
𝑏
𝑎
= ∫ |�⃑⃑�|𝐶𝑜𝑠(𝜃) ∙ |𝑑𝑙⃑⃑⃑⃑ |
𝑎
𝑏
 
Al igual que para la energía potencial gravitatoria, podemos designar un punto 𝑃 
conveniente donde el potencial sea nulo, de esta forma se puede definir el potencial 
eléctrico 𝑽 como: 
𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉(𝑃) = − ∫ 𝑬𝒅𝒍
𝑏
𝑃
= ∫ 𝑬𝒅𝒍
𝑝
𝑏
 
Considere que la integral con el signo menos, lleva la carga desde un punto conveniente al 
punto donde se quiere calcular el potencial, mientras que la integral de la derecha lleva la 
carga desde donde se quiere calcular el potencial hasta un punto conveniente, es decir, use 
la que más le acomode. 
Tanto el potencial eléctrico como la diferencia de potencial se miden en “volts”. 
Muchas veces se suele utilizar el punto P en el infinito ∞, de modo que el potencial sea 𝑉 =
𝑉 − 𝑉(∞), sin embargo, existen ciertas distribuciones de carga, en las cuales la integral 
diverge y el potencial se va a infinito. Para corregir este hecho, simplemente se escoge un 
punto 𝑎 y se asume que el potencial en 𝑎 es nulo, de modo que 𝑉 = 𝑉 − 𝑉(𝑎) y se evalúa 
la integral en [𝑎, 𝑙]. 
Si el campo eléctrico es radial y simétrico, entonces el campo eléctrico puede ser paralelo 
o antiparalelo, según sean el tipo de carga y la dirección de la integral (límites de 
integración), entonces el potencial se transforma en: 
𝑉 = ∫ 𝑬𝒅𝒓
𝑃
𝑏
= ∫ 𝐸𝑑𝑟𝐶𝑜𝑠(𝑘𝜋)
𝑃
𝑏
 𝑘 𝜖 {1,2} 
7) Gradiente de potencial 
El potencial eléctrico puede escribirse de la siguiente forma: 
𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉(𝑃) = ∫ 𝑑𝑉
𝑏
𝑃
= − ∫ 𝑑𝑉
𝑃
𝑏
 
Si lo igualamos a la definición, se tendrá la igualdad: 
− ∫ 𝑑𝑉
𝑃
𝑏
= ∫ 𝑬𝒅𝒍
𝑃
𝑏
 
Como la integral es un operador lineal, se tiene que lo anterior ocurre si y solo si los 
integrandos son iguales: 
−𝑑𝑉 = 𝑬𝒅𝒍 
Luego, el diferencial se puede escribir como 𝒅𝒍 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) y el campo como 𝑬 =
(𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧) y la ecuación se transforma en: 
−𝑑𝑉 = 𝐸𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝑦𝑑𝑦 + 𝐸𝑧𝑑𝑧 
El cálculo diferencial dice que un diferencial tiene la forma 𝑑𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝑑𝑧 y si 
lo comparamos con la ecuación anterior podemos deducir que: 
𝐸𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 𝐸𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
Las ecuaciones se pueden unir y escribir de una nueva manera: 
𝑬 = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑥
,
𝜕𝑉
𝜕𝑦
,
𝜕𝑉
𝜕𝑧
) 
El campo eléctrico se puede definir entonces como el negativo del gradiente del potencial 
eléctrico (No es la divergencia del potencial, pues el potencial eléctrico no es un vector, es 
un campo escalar): 
�⃑⃑⃑� = −�⃑⃑⃑� ∙ 𝑉 
�⃑⃑⃑� ∙ 𝑉 = −�⃑⃑⃑� 
Lo anterior es posible gracias al hecho de que el campo eléctrico es un campo conservativo, 
de modo que es irrotacional: 
�⃑⃑⃑� × �⃑⃑� = �⃑⃑⃑� 
Si el campo eléctrico es radial (Es decir, es simétrico y solo varía con el radio), entonces la 
ecuación se transforma en: 
𝐸(𝑟) = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
De las ecuaciones anteriores se aprecia que: 
- si el campo eléctrico es constante, entonces el potencial varía de forma lineal. Decae si 
𝐸 > 0 y aumenta si 𝐸 < 0. 
- si el campo eléctrico es nulo, entonces el potencial se mantiene constante. 
- la variación del potencial es mayor en la dirección de las líneas de campo eléctrico. 
8) Potencial eléctrico (Ecuación alternativa) 
Supongamos que tenemos una carga puntual situada en el origen de un sistema de 
referencia, entonces su campo eléctrico es simétrico y radial: 
𝑬 = 𝑘
𝑞
𝑟3
∙ 𝒓 
Si se quiere mover una carga desde el infinito hasta un punto 𝑟, el campo eléctrico es 
antiparalelo a la línea de acción (radio) por la cual se quiere mover la carga, y el potencial 
en 𝑟 será: 
𝑉 = − ∫ 𝑘
𝑞
𝑟3
𝑟
∞
𝒓𝒅𝒓 = − ∫ 𝑘
𝑞
𝑟2
𝑟𝑑𝑟
𝑟
∞
∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = ∫ 𝑘
𝑞
𝑟2
𝑑𝑟
𝑟
∞
 
𝑉 = [𝑘
𝑞
𝑟
]
∞
𝑟
= 𝑘
𝑞
𝑟
 
Ahora, si asumimos un sistema de infinitas cargas infinitesimales, entonces se tendrá un 
diferencial de voltaje igual a: 
𝑑𝑉 = 𝑘
𝑑𝑞
𝑟
 
𝑉 = 𝑘 ∫
𝑑𝑞
𝑟
 
Poner énfasis en la comprensión de la dependencia entre la dirección y el sentido de 
movimiento de la carga a través de un campo eléctrico y el potencial eléctrico. Considerar 
además que generalmente la carga externa se mueve hacia la fuente: 
- Si la carga es positiva 𝑉 aumenta al acercarnos a la carga y disminuye al alejarnos. 
- Si la carga es negativa, 𝑉 disminuye al acercarnos y aumenta al alejarnos. 
9) Conductores eléctricos y superficies equipotenciales 
La característica que hace a los conductores eléctricos relevantes para el curso, es que 
pueden distribuir la carga en su superficie, de modo que el campo eléctrico en su interior 
es nulo 𝐸 = 0 (Causa de que la carga sea superficial). Por lo anterior, se concluye entonces 
que el interior del conductor es una superficie equipotencial: 
𝛁 ∙ 𝑉 = 0 → 𝑉 = 𝑘 , 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
10) Capacitores 
Se llama capacitor o condensador a un dispositivo capaz de almacenar energía eléctrica, 
éste está compuesto por dos elementos conductores separados por un espacio vacío o por 
un aislante. 
Al cargarse el condensador, ambos conductores adquieren cargas de igual magnitud, pero 
de signo contrario, con lo que el condensador tiene carga neta cero. La carga del 
condensador, corresponde a la carga del conductor con mayor potencial eléctrico, e 
inicialmente puede estar cargado o descargado (𝑄 = 0). 
Cuando el condensador se carga, el campo eléctrico será proporcional a la carga 𝑄 en cada 
conductor, por lo tanto el voltaje Δ𝑉 será también proporcional a 𝑄. La razón entre la carga 
y la tensión se mantiene constante para toda carga, este cociente recibe el nombre de 
capacitancia: 
𝐶 = |
𝑄
Δ𝑉
| 
Como se puede ver, la capacitancia es siempre positiva e indica la cantidad de carga (Energía 
eléctrica) que puede almacenar un capacitor, por unidad de voltaje. Tenga presente que a 
veces puede obtener un voltaje negativo al momento de calcular el voltaje del capacitor, 
pero eso es producto de la dirección de la integral de línea y del conductor elegido para 
calcular el potencial, en definitiva, solo use el valor absoluto. 
La unidad de medida de la capacitancia es el farad: 
[𝐶] = 𝐹 
Supongamos la construcción de un condensador de dos placas paralelas con vacío, usando 
la definición de capacitancia, se llega a la siguiente expresión y se concluye que esta 
magnitud depende únicamente de la geometría del capacitor, esto es distancia que separa 
los conductores y el área de los conductores: 
𝐶 = 𝜀0
𝐴
𝑑
 
La expresión anterior, si bien no es necesario aprendérsela de memoria, posteriormente 
será posible usarla cuando se tenga un aislante entre los conductores. 
11) Capacitancia equivalente 
Si reemplazamos un conjunto de capacitores por un único capacitor que tenga la misma 
capacidad de almacenar carga que el conjunto original, se le denomina a esta capacidad 
como capacitancia equivalente. 
12) Capacitores en serie 
Si en un circuito capacitivo, los capacitores se encuentran dispuestos en serie, entonces 
circula la misma corriente 𝐼 por cada uno de ellos, por locual cada capacitor adquiere la 
misma carga 𝑄. Los voltajes serán iguales solo si sus capacitancias son iguales (Obviamente, 
es por la definición de capacitancia). Luego, la capacitancia equivalente para condensadores 
en serie es: 
𝐶𝑒𝑞 = (∑
1
𝐶𝑖
)
−1
 
13) Capacitores en paralelo 
Si en un circuito capacitivo, los capacitores se encuentran en paralelo, entonces cada 
capacitor tiene el mismo voltaje 𝑉. Las cargas serán iguales solo si sus capacitancias son 
iguales. Luego la capacitancia equivalente para condensadores en paralelo es: 
𝐶𝑒𝑞 = ∑ 𝐶𝑖 
14) Energía almacenada 
Suponga que el condensador posee un voltaje muy pequeño 𝑑𝑉, el cual por definición 
general se puede escribir como: 
𝑑𝑉 =
𝑑𝑈
𝑞
 
En particular, el voltaje para un condensador es 𝑞/𝐶, pero como el voltaje es infinitesimal, 
entonces tenemos que: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑞/𝐶 
Uniendo las ecuaciones: 
𝑑𝑈 = 𝑞𝑑𝑞/𝐶 
∫ 𝑑𝑈
𝑈
0
=
1
𝐶
∫ 𝑞𝑑𝑞
𝑄
0
 
Finalmente, la energía almacenada en el capacitor es: 
𝑈 =
𝑄2
2𝐶
=
𝑄𝑉
2
=
𝐶𝑉2
2
 
Considere que es más fácil demostrar la expresión que aprendérsela de memoria. 
III. Electrodinámica 
1) Corriente eléctrica 
Se define la corriente eléctrica como la tasa de cambio de las cargas que atraviesan un área 
transversal por unidad de tiempo: 
𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
2) Densidad de corriente 
 La corriente que cruza un área transversal se denomina densidad de corriente, y se puede 
escribir como: 
𝑱 =
𝐼
𝐴
= 𝑛𝑞𝒗 
De modo que la corriente en términos de densidad queda como: 
𝐼 = ∫ 𝑱𝒅𝑨 
Se debe comprender que la corriente es un escalar, por ende no posee dirección ni sentido 
(A pesar de que se utilice siempre la expresión “La corriente va en este sentido/ va hacia la 
izquierda/ gira en sentido antihorario”). Mientras que la densidad de corriente es un vector, 
y es la que determina la dirección de la corriente. 
3) Resistividad y resistencia 
La resistividad 𝜌 de un material es la razón entre la magnitud de campo eléctrico y la 
densidad de corriente: 
𝜌 =
𝐸
𝐽
 
Mientras tanto, el recíproco de la resistividad se denomina conductividad: 
𝜎 =
𝐽
𝐸
 
La ley de Ohm establece lo siguiente: 
𝐸 = 𝜌𝐽 
Ahora, si el campo y la densidad son magnitudes constantes (Situación válida para el curso), 
podemos escribirlas en función del potencial eléctrico y la corriente, respectivamente: 
𝑉
𝐿
= 𝜌
𝐼
𝐴
 
La razón entre el voltaje y la corriente se denomina resistencia R, y a nivel macromolecular, 
la ley de Ohm establece lo siguiente: 
𝑅 =
𝑉
𝐼
=
𝜌𝐿
𝐴
 
La expresión anterior es una ecuación general, pero al momento de calcular la resistencia 
de algún cuerpo, por ejemplo un cilindro, se debe usar la forma diferencial: 
𝑑𝑅 =
𝜌𝑑𝐿
𝐴
 
La expresión anterior sugiere que la resistencia aumenta si: 
- el área transversal disminuye. 
- la longitud del resistor aumenta. 
- su resistividad aumenta. 
4) Ley de Ohm Macromolecular 
Como las magnitudes micromoleculares son difíciles de medir y visualizar, se opta por 
utilizar la ley de Ohm a nivel macro, para medir magnitudes en circuitos. Es decir, la ley de 
Ohm es: 
𝑉 = 𝐼𝑅 
De la expresión anterior, se puede apreciar que la corriente es inversamente proporcional 
a la corriente, de modo que circulará mayor corriente por donde haya menor resistencia. 
5) Circuito y fuerza electromotriz 
Este capítulo es solo para comprensión, no se usa en los ejercicios. 
Un circuito es un esquema representativo de un sistema electromagnético. La fuerza 
electromotriz o fem 𝜀, es la energía necesaria para producir una reacción en las cargas para 
que fluyan y se genere una corriente eléctrica. 
Como el circuito es una trayectoria cerrada, el cambio neto de energía potencial y por tanto 
de potencial eléctrico alrededor del circuito debe ser cero, pues el campo eléctrico es un 
campo conservativo: 
𝑉 = ∮ 𝑬𝒅𝒍 = 0 
Una fem representa una ganancia de voltaje (Energía) como lo son baterías, fuentes de 
alimentación, reacciones químicas REDOX, mientras que un resistor, un capacitor y un 
inductor generan pérdidas. Por ejemplo, en un circuito cerrado con una resistencia y un 
capacitor, el voltaje total es cero: 
𝜀 − 𝐼𝑅 −
𝑄
𝐶
= 0 
6) Resistencia Equivalente 
Cuando en un circuito resistivo se reemplazan los resistores por un único elemento que 
posea la misma resistencia que el conjunto original, la oposición que genera a la corriente 
es único resistor se denomina resistencia equivalente. 
7) Resistencias en serie 
Para un circuito de resistores en serie, la corriente que circula por cada elemento es la 
misma. Mientras que el voltaje en ellos será el mismo, sólo si las resistencias son iguales. 
Luego, la resistencia equivalente será: 
𝑅𝑒𝑞 = ∑ 𝑅𝑖 
8) Resistencias en paralelo 
Para un circuito en paralelo, el voltaje es el mismo en cada resistor. Mientras que la 
corriente será la misma en cada uno, sólo si sus resistencias son iguales. Cabe decir, que la 
corriente será mayor, donde la resistencia sea menor. 
la resistencia equivalente será: 
𝑅𝑒𝑞 = (∑ 1/𝑅𝑖)
−1
 
9) Potencia 
La tasa de cambio de la energía en el tiempo se conoce como potencia. Usando la forma 
diferencial, es más fácil calcular la potencia y energía de los elementos circuitales. 
Resistencia: si tomamos como referencia una cantidad infinitesimal de energía, se sabe que 
es igual al voltaje por una carga muy pequeña 𝑑𝑈 = 𝑉𝑑𝑞. Al derivarlo respecto al tiempo, 
se concluye que la potencia es: 
𝑃 = 𝑉𝐼 
10) Leyes y reglas de Kirchhoff 
-Ley de corrientes: en un nodo, la corriente que entra, es igual a la corriente que sale. 
-Ley de voltajes: la suma de las tensiones para cada espira o malla es igual a cero. 
11) Circuito RC 
Se advierte que no es necesario aprenderse las ecuaciones deducidas a continuación, sino 
que debe saber resolverse el circuito. Un circuito RC es aquel que presenta una fem 𝑉, una 
resistencia 𝑅 y una capacitancia 𝐶. Puesto que la carga del capacitor es gradual, su carga 
variará en el tiempo. 
Por ley de voltajes: 
𝑉 = 𝐼𝑅 +
𝑞
𝐶
 
Como la corriente, es la tasa de cambio de la carga respecto al tiempo 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡, se tiene 
que: 
𝑉 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
𝑞
𝐶
 /∙
1
𝑅
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
𝑞
𝑅𝐶
=
𝑉
𝑅
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑅
−
𝑞
𝑅𝐶
= −
1
𝑅𝐶
(𝑞 − 𝐶𝑉) /∙
𝑑𝑡
(𝑞 − 𝐶𝑉)
 
Asumiendo, que el capacitor está descargado en un principio 𝑞(0) = 0 (Puede que en algún 
problema el capacitor tenga una carga inicial 𝑞(0) = 𝑄): 
∫
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝑉
𝑞
0
= − ∫
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡
𝑡
0
 
ln (
𝑞 − 𝐶𝑉
𝐶𝑉
 ) = −
𝑡
𝑅𝐶
 
Finalmente, la carga final del capacitor será 𝑄𝑓 = 𝐶𝑉 y el tiempo característico es 𝜏 = 𝑅𝐶: 
𝑞(𝑡) = 𝐶𝑉(1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶) 
Mientras que la corriente de carga será: 
𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑅
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 
𝑖(𝑡) =
𝑉
𝑅
1
𝑒𝑡/𝑅𝐶
 
𝑖(𝑡) = 𝐼0
1
𝑒𝑡/𝑅𝐶
 
Para la descarga del capacitor, se elimina la fem y se asume que el capacitor está 
inicialmente cargado, tal que 𝑞(0) = 𝑄 y 𝑞(𝑡) = 𝑞, entonces: 
𝑞
𝐶
= 𝐼𝑅 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
∫
𝑑𝑞
𝑞
𝑞
𝑄
= − ∫
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡
𝑡
0
 
ln (
𝑄
𝑞
) = −𝑡/𝑅𝐶 
Finalmente, la descarga del capacitor tiene la forma: 
𝑞(𝑡) = 𝑄𝑒−𝑡/𝑅𝐶 
Del análisis de las expresiones, se puede concluir lo siguiente: 
- Tanto 𝑅, como 𝐶 corresponden a los valores equivalentes: 𝑅 = 𝑅𝑒𝑞 y 𝐶 = 𝐶𝑒𝑞. 
- La carga máxima del capacitor será 𝑄 = 𝐶𝑉. 
- De la expresión de carga y descarga se ve que cuando la resistencia es nula, el condensador 
se carga y descarga instantáneamente. 
- De la expresión de corriente, se ve que inicialmente el capacitor se comporta como un 
conductor ideal (Por el circula la corriente total 𝐼 = 𝑉/𝑅). 
- También se aprecia que cuando el tiempo tiende a infinito (lleva mucho tiempo 
cargándose), el capacitor se comporta como un cable cortado, es decir, no circula corriente 
por él. 
IV. Magnetostática1) A saber: 
Regla de la mano derecha: Desde este punto se hace necesario saber aplicar la regla de la 
mano derecha, en adelante RMD, pues hay una gran cantidad de productos vectoriales, y 
esta regla puede llegar a simplificar muchos de estos problemas. Sobre todo para 
determinar direcciones de campos generados por producto de magnitudes 
perpendiculares. 
Dirección de campos: Se utiliza la comparación con una flecha con plumas en la parte 
posterior, de modo que los campos entrantes a una región son representados por la cruz o 
cola de la flecha (×) y para los campos salientes se usa el punto o cabeza de la flecha (∙). 
2) Fuerza magnética I 
Se dice que la fuerza magnética actúa solo sobre cuerpos que presentan carga y que además 
están en movimiento. Experimentalmente se demuestra que la Fuerza magnética para 
cargas en movimiento tiene la siguiente forma: 
𝐹𝑚⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 𝑞�⃑� × �⃑⃑� 
La magnitud de la fuerza, queda descrita por: 
|𝐹𝑚⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ | = 𝐹𝑚 = 𝑞𝑣𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 
Si se cumple que 𝒗 y 𝑩 son perpendiculares, entonces por RMD, la fuerza tendrá solo la 
componente restante. 
Ejemplo: Una partícula se mueve con velocidad 𝒗 = 𝑣0�̂� y se expone a un campo magnético 
𝑩 = 𝐵0 𝒋.̂ Determina la magnitud y dirección de la fuerza magnética. 
Solución: La magnitud de la fuerza será 𝐹 = 𝑣𝐵, y la dirección será en el eje z, es decir, la 
fuerza es 𝑭 = 𝑣0𝐵0�̂� 
3) Fuerza de Lorentz 
Cuando una partícula con carga atraviesa una región donde está presente, tanto un campo 
magnético, como un campo eléctrico, la fuerza neta que actúa sobre tal, será la suma 
vectorial de ambas fuerzas, lo cual se conoce como fuerza de Lorentz: 
𝑭 = 𝑞(𝑬 + 𝒗 × 𝑩) 
4) Líneas de Campo y Flujo magnético 
No se ha descubierto, hasta el momento, la existencia de un monopolo magnético (Análogo 
a la carga puntual en electrostática), es decir, la partícula elemental del magnetismo es un 
dipolo que está siempre polarizado, presentando un polo sur y un polo norte. 
Las líneas de campo magnético nunca se cruzan entre sí, y donde hay mayor densidad de 
líneas, es donde el campo tiene mayor magnitud. Las líneas van de norte a sur y estas líneas 
no indican la dirección de la fuerza magnética. 
El flujo magnético a través de una superficie, se define por la integral de superficie sobre el 
campo vectorial magnético. Considere que siempre es conveniente utilizar superficies 
adecuadas donde el campo es homogéneo se y aprovechar los ángulos: 
ΦB = ∬ 𝑩𝒅𝑺 = ∬ 𝐵𝑑𝑆 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝐵 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎 (𝑆) ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 
La inexistencia de un monopolo magnético implica que en una superficie cerrada el campo 
magnético saliente es igual al campo que ingresa, concluyéndose que el flujo neto es cero: 
Φ𝐵 = 0 
5) Movimiento de cargas en campos magnéticos I 
Supongamos que una partícula se mueve con rapidez constante 𝑣 = 𝑣0 en un campo 
magnético uniforme de magnitud 𝐵 = 𝐵𝑜, donde 𝒗 y 𝑩 son perpendiculares. A causa de 
esto, la fuerza magnética será perpendicular a ambos vectores, produciendo una 
aceleración normal. Recuerde que la aceleración normal o centrípeta, es propia de 
movimientos circulares, la cual cambia la dirección de la velocidad, mas no la rapidez o 
magnitud de la velocidad. Luego, se expresa la fuerza normal usando la segunda ley de 
Newton: 
𝐹𝑚 = 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎 , 𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎 = 𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
 
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑟
 
De la expresión anterior, se observa que el radio de giro de la partícula es: 
𝑟 =
𝑚𝑣
|𝑞|𝐵
 
De la expresión se aprecia que el radio de giro: 
- crece si aumenta la masa de la partícula. 
- aumenta al aumentar la rapidez de la partícula. 
- disminuye si aumenta la carga. 
- disminuye si aumenta la intensidad del campo magnético. 
Usando fundamentos de dinámica rotacional, se sabe que 𝜔 = 𝑣/𝑟, y al reemplazarlo en la 
ecuación de radio de giro: 
𝜔 =
𝑞𝐵
𝑚
 
La rapidez angular o frecuencia de giro, no depende de la velocidad lineal de la partícula. 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
→ 𝜔 = 2𝜋𝑓 
6) Movimiento de cargas en campos magnéticos 
Ya se vio que si la velocidad de una partícula es perpendicular al campo magnético, entonces 
la carga describirá un movimiento circunferencial, sin embargo, puede ocurrir que la 
partícula no se mueva perpendicular al campo magnético, sino que tengan algún ángulo 𝜃 
de diferencia. Lo único diferente en este caso, es que la partícula seguirá una trayectoria 
helicoidal. La componente de la velocidad que es paralela al campo, será constante pues no 
hay fuerza que la cambie, pero la componente perpendicular seguirá una trayectoria 
circular: 
𝐹𝑚 = 𝑞𝐵(𝑣 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)) = 𝑚
𝑣2
𝑟
 
𝑟 =
𝑚𝑣
|𝑞|𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)
 
𝜔 =
𝑞𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)
𝑚
 
Tenga en mente que siempre aparece algún ejercicio de este tipo en el certamen 2, donde 
se coloca una carga en reposo en una región de campo eléctrico, generando que la partícula 
se mueva hasta una región donde está presente un campo magnético. Luego debe 
determinar la posición donde sale la partícula, donde la partícula toca algún punto, la 
velocidad de la partícula o alguna cantidad cinemática 
7) Fuerza magnética II 
Supongamos que se tiene un cable conductor de longitud 𝑙, área transversal 𝐴 y densidad 
volumétrica de cargas 𝑛, al aplicarle un cierto voltaje, se producirá una velocidad de deriva 
de cargas. Se supone que el cable atraviesa un campo magnético 𝐵, entonces la fuerza 
magnética que sentirán todas las cargas será: 
𝐹𝑚 = 𝑛𝑙𝐴 ∙ 𝑞𝑣𝐵 = 𝑛𝑞𝑣𝐴 ∙ 𝑙𝐵 
De electrodinámica se sabe que el factor 𝑛𝑞𝑣𝐴, corresponde a la corriente que circula por 
el cable, por lo que la fuerza tendrá una magnitud de: 
𝐹𝑚 = 𝐼𝑙𝐵 
Esto en su forma vectorial y diferencial será: 
𝒅𝑭 = 𝐼𝒅𝒍 × 𝑩 ≡ 𝑭 = 𝐼 ∫ 𝒅𝒍 × 𝑩 
Se recomienda especial atención en este tema, sobre todo al hecho de cómo resolver la 
integral de línea de la forma más simple posible, buscando simetrías, usando RMD y 
aprovechando ángulos. 
8) Torque magnético, energía potencial 
Se tiene una espira cerrada de área 𝐴, la cual puede rotar y está inmersa en un campo 
magnético. Se aprecia que dos de los cables pueden quedar perpendiculares al campo 
magnético, ellos sentirán fuerzas opuestas, por ende se anulan𝑭𝒂 = −𝑭𝒄. Las fuerzas de las 
espiras paralelas al campo, también se cancelan 𝑭𝒃 = −𝑭𝒅. Se concluye que la fuerza neta 
sobre la espira es nula: 
∑ 𝑭𝒊⃑⃑ ⃑⃑
𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
= �⃑⃑⃑� 
Al analizar el torque que realizan las fuerzas magnéticas sobre la espira, se llega a que el 
torque total es: 
𝜏 = 𝐴𝐼𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 
El producto 𝐼𝐴, se conoce como momento dipolar magnético o momento magnético y se 
denota por la letra griega mu: 
𝜇 = 𝐼𝐴 
El torque en función del momento dipolar es: 
𝜏 = 𝜇𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛 (𝜃) 
Ahora, el torque vectorial será: 
𝝉 = 𝝁 × 𝑩 
Sin importar la demostración, pues realmente es irrelevante, la energía potencial de un 
dipolo es: 
𝑈 = −𝝁 ∙ 𝑩 
9) Campos magnéticos de cargas - Ley de Biot –Savart I 
Al igual que para el campo eléctrico, se ha demostrado que la magnitud del campo 
magnético es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto de 
fuente y el punto de campo, y es directamente proporcional a la carga. Si además la 
partícula de carga 𝑞 se mueve con velocidad constante 𝑣, entonces el campo magnético se 
puede definir como: 
𝐵 =
𝜇0
4𝜋
|𝑞|𝑣 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)
𝑟2
 
La constante de proporcionalidad se conoce como constante de permeabilidad del vacío. 
Como el campo es una cantidad vectorial, se tiene que: 
𝑩 =
𝜇0
4𝜋
𝑞�⃑⃑⃑� × �̂�
𝑟2
 
La expresión anterior se conoce como ley de Biot-Savart. 
La unidad de medida del campo magnético en el SI, es el Tesla: 
[𝐵] = 𝑇 
Existe un análisis matemático y uno cualitativo para describir la forma del campo magnético, 
es preferible la forma cualitativa. Por RMD, se ve que el alrededor de la carga, el campo 
magnético irá describiendo una circunferencia.Además, el campo es nulo en cualquier 
punto situado en la recta que pasa por la carga y es paralela a la velocidad de la partícula 
(𝑆𝑒𝑛(0) = 0) 
10) Campos magnéticos de corrientes - Ley de Biot –Savart II 
Por PSP, el campo neto de un conjunto de cargas, puede describirse como la suma vectorial 
de todos los campos inducidos por un elemento de carga. 
Suponga entonces que se tiene un conductor de largo infinitesimal 𝑑𝑙 por el cual circula 
corriente, la carga que pasa por ese elemento de longitud es 𝑑𝑞 = 𝑛𝑞𝐴𝑑𝑙. Estas cargas 
llevan cierta velocidad 𝑣, de modo que producen un elemento de campo magnético igual a: 
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑛𝑞𝑣𝐴𝑑𝑙 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)
𝑟2
 
De la expresión se reconoce la corriente, de modo que el campo será: 
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝐼𝑑𝑙 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜃)
𝑟2
 
La ley de Biot-Savart para corrientes es la siguiente: 
𝒅𝑩 =
𝜇0
4𝜋
𝐼𝒅𝒍 × �̂�
𝑟2
≡ 𝑩 =
𝜇0
4𝜋
∫
𝐼𝒅𝒍 × �̂�
𝑟2
 
Nuevamente, se recomienda especial énfasis en la resolución de esta integral, siempre 
buscando la forma más simple de resolverla. Es conveniente calcular el campo de espiras 
básicas como cuadradas y circulares. 
11) Ley de Ampère 
Tal como la ley de Gauss se usa para el cálculo de campos eléctricos, la ley de Ampère, es 
una herramienta útil para el cálculo de campos magnéticos. Esta ley establece que la 
integral de línea sobre el campo magnético vectorial en una trayectoria cerrada, es igual al 
producto entre la corriente encerrada y la permeabilidad del vacío. “El flujo magnético en 
una trayectoria cerrada es igual a la corriente encerrada por mu cero”. 
∮ 𝑩𝒅𝒍 = 𝜇0 ∙ 𝐼𝑒𝑛𝑐 
Para usar la ley se debe hacer lo siguiente: 
- Lo principal es que la trayectoria debe pasar por el punto donde se quiere calcular el campo 
magnético. Luego, la integral al ser una integral de línea se puede separar en distintas 
trayectorias: 
∮ 𝑩𝒅𝒍 = ∑ ∫ 𝑩𝒅𝒍𝒊 
- Las trayectorias individuales deben tener la orientación adecuada para aprovechar los 
ángulos: 
∑ ∫ 𝑩𝒅𝒍𝒊 = ∑ ∫ 𝐵𝑑𝑙𝑖 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃𝑖) 
- Se anularán las integrales donde el campo sea perpendicular a la trayectoria 
(𝐶𝑜𝑠((2𝑛 − 1)90°)) y donde la trayectoria esté muy alejada del punto de fuente, de modo 
que 𝐵 → 0. Lo ideal es llegar a: 
∫ 𝐵𝑑𝑙 = 𝐵 ∙ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑙) 
𝐵 =
𝜇0 ∙ 𝐼𝑒𝑛𝑐
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑙)
 
- Luego, la corriente encerrada viene definida por: 
𝐼𝑒𝑛𝑐 = ∫ 𝑱𝒅𝑺 
V. Inducción magnética 
1) A saber: 
En este capítulo se analizan las fem o voltajes producidos a partir de la inducción 
electromagnética. 
Números complejos: para el número imaginario no se utilizará el símbolo 𝑖, para no 
confundirlo con la corriente, en vez de ello, se usará el símbolo 𝑗. De modo que un complejo 
está descrito por 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑗. Siendo 𝑎 la parte real y 𝑏 la parte imaginaria. 
Módulo y argumento de complejos: Se recuerda que el módulo del complejo corresponde 
al valor |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2. Su argumento o ángulo de fase es 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑏
𝑎
). 
Para los circuitos que se verán más adelante, se calcularán cargas y corrientes que varían 
en el tiempo, para lo cual se utilizarán letras minúsculas. Además sea consciente de que 
esas variables que calcule, serán válidas para todos los elementos del circuito. 
Ejemplo: se posee un circuito con un inductor y un capacitor en serie, del cual se determina 
que la carga en el capacitor está descrita por la función 𝑞(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡), entonces la 
corriente será 𝑖(𝑡) = −𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜋/2). Además se sabe que el voltaje en el 
inductor está dado por 𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
, y como los elementos están en serie, entonces la misma 
corriente circula por ambos, de modo que el voltaje del inductor será: 
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑 𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐿 ∙ 𝐶𝑜𝑠(ωt + 𝜙) 
2) Inducción y Ley de Faraday 
Experimentalmente, se ha comprobado que cuando se varía el campo magnético sobre una 
espira o bien se varía el área de la espira expuesta a un campo magnético, entonces se 
genera una corriente. Este hecho es fundamental y la base de lo que se conoce como ley de 
Faraday, la cual establece que en una espira cerrada (circuito completo) se induce un 
voltaje o fem que es igual al negativo de la variación del flujo magnético: 
|𝜀𝑖𝑛𝑑| = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
= −
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑩𝒅𝑺 
La existencia de un flujo magnético no implica una fem inducida, sino que debe existir una 
tasa de cambio de este. Las formas de inducir una fem serán: 
- Variar la corriente en un conductor aledaño al circuito en cuestión, pues 𝐵 depende de 𝐼. 
- Variar el área que atraviesa el flujo magnético, pues es notablemente directo el cambio de 
flujo. 
- Cambiar la posición de la fuente del campo, para cambiar la magnitud de este campo 
magnético. Ejemplo: Acercar y alejar un imán. 
3) Ley de Lenz 
La ley de Lenz, postula que la dirección de la fem y la corriente inducida es tal que disminuya 
el efecto de la causa que lo produce. Esto implica disminuir el cambio de flujo magnético, 
muchas veces producir un campo magnético inducido que se oponga al campo magnético 
inductor. 
4) Problemas de inducción 
Para los problemas de inducción, existe un método clásico de resolución el cual se intenta 
plasmar a continuación: 
- Se tiene una espira expuesta a un campo magnético homogéneo 𝑩 (si es desconocido, 
utilizar Ampère y las suposiciones correctas para calcularlo). En la espira, existe algún 
conductor que puede desplazarse adquiriendo velocidad 𝒗 (Si está quieto, usar leyes de 
mecánica clásica para descubrir su velocidad inicial, la cual es generalmente constante). 
- Con lo anterior, polarizar el conductor desplazable, la dirección de la fuerza es la dirección 
que seguirán las cargas positivas, de modo que será la trayectoria que seguirá la corriente 
inducida 
𝐹𝑚 = 𝑞𝒗 × 𝑩 
- Para descubrir cual es la fem que genera esta corriente, se utiliza la ley de Faraday, la cual 
generalmente queda en función del coseno, el campo 𝑩 y el área de la espira (El vector de 
área es arbitrario y se escoge a comodidad, pero debe seguirse esta convención hasta el 
final): 
|𝜀𝑖𝑛𝑑| = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
= −
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑩𝒅𝑺 = −
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝐴 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 
 Excepcionalmente, si el conductor es móvil se puede usar una forma alternativa a la 
ley de Faraday original, sin embargo, si el campo es variable se debe utilizar la forma 
anteriormente descrita: 
|𝜀𝑖𝑛𝑑| = ∮(𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒅𝒍 
- De la ecuación, el área queda generalmente en función del largo del conductor desplazable 
y la posición del conductor (se usará el vector 𝑥(𝑡) en este caso) 𝐴 = 𝐿𝑥(𝑡), y como solo el 
desplazamiento depende del tiempo, entonces se tiene la velocidad: 
|𝜀𝑖𝑛𝑑| = −
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑥(𝑡)𝐿 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃) = −𝐵𝐿 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝐵𝐿𝑣(𝑡) ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 
- Como se conoce la fem inducida, es necesario utilizar la ley de voltajes en la espira y 
calcular lo que se pide. 
5) Inductor e inductancia 
Un inductor, bobina o solenoide es en general un alambre enrollado, el cual produce un 
campo magnético altamente uniforme y homogéneo en su centro. Si se tienen dos bobinas 
de 𝑁1 y 𝑁2 vueltas, y se le aplica una corriente variable 𝑖 a una de ellas, ésta inducirá una 
corriente en la otra bobina, la cual es directamente proporcional a la tasa de cambio de la 
corriente en el tiempo. La constante de proporcionalidad se conoce como inductancia 
mutua. La fem y la inductancia mutua 𝑀, tienen la forma: 
|𝜀| = −𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 , 𝑀 =
𝑁𝑖Φ𝐵,𝑖
𝑖
 
La unidad de medida de la inductancia mutua es el Henry: 
[𝑀] = 𝐻 
Si la corriente es variable en un circuito aislado, se produce una fem autoinducida que se 
opone a la variación de la corriente (Ley de Lenz), esta fem autodinducida puede darse en 
cualquier circuito, pero se ve amplificada en gran cantidad al presentarse un bobina, de 
modo que el flujo magnético a través de una bobina de 𝑁 vueltas producto de una corriente 
𝑖, recibe el nombre de autoinductanciay también se mide en Henry: 
𝐿 =
𝑁Φ𝐵
𝑖
 
Más aún, reordenando la ecuación y derivándola respecto al tiempo se llega a la siguiente 
expresión: 
𝐿𝑖 = 𝑁Φ𝐵 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑁
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 
Es inmediata la relación con Faraday, y la fem autoinducida es: 
|𝜀𝑖𝑛𝑑| = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Pero la fem inducida es: 
𝑉 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Cuando la corriente comienza a circular por las bobinas se comportan como un cable 
cortado, es decir, no conducen, mientras que al cargarse completamente se comportan 
como un cable ideal con resistencia nula 
6) Circuitos RC en serie 
Un circuito RC es tal que contiene una fem 𝑉, una resistencia R y una inductancia 𝐿. Por ley 
de voltajes: 
𝑉 = 𝑖𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑉
𝐿
−
𝑖𝑅
𝐿
= −
𝑅
𝐿
(𝑖 −
𝑉
𝑅
) 
Asumiendo que la corriente inicial es nula: 
∫
𝑑𝑖
𝑖 −
𝑉
𝑅
𝑖
0
= ∫ −
𝑅
𝐿
𝑡
0
 
ln (
𝑖 −
𝑉
𝑅
−
𝑉
𝑅
) = −
𝑅
𝐿
𝑡 
La corriente en un tiempo 𝑡 será: 
𝑖 =
𝑉
𝑅
(1 − 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡) 
En estos circuitos, inicialmente la corriente es nula y cuando 𝑡 → ∞ la corriente es la 
corriente total del circuito 𝐼 = 𝑉/𝑅. 
7) Circuito LC 
El circuito LC, es aquel que posee una inductancia 𝐿 y un capacitor cargado de capacitancia 
𝐶. Es circuito se denomina oscilante, pues si se considera un inductor y un capacitor ideal 
(Sin resistencias), el circuito no tendrá pérdidas de energía y la corriente oscilará entre los 
dos conductores del capacitor. Luego, por ley de voltajes se tiene que: 
𝑞
𝐶
= 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Luego, la carga irá disminuyendo, de modo que su variación, es decir, la corriente, será 
negativa: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −𝑖 , 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑖 = −
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
Entonces, la ley de voltajes queda: 
𝑞
𝐶
= −𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
 
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+
𝑞
𝐿𝐶
= 0 
Otra forma de llegar a la EDO es asumiendo que el voltaje del capacitor es una ganancia, 
mientras que el voltaje inducido en el inductor será tal que se opondrá a su causa (Ley de 
Lenz): 
𝑞
𝐶
= −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Luego, por definición de corriente se llega a: 
𝑞
𝐶
= −𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
 
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+
𝑞
𝐿𝐶
= 0 
Para resolverlo, vemos por operadores diferenciales que: 
(𝐷2 +
1
𝐿𝐶
) = 0 
𝐷 = ±√−
1
𝐿𝐶
 
Y como el producto 𝐿𝐶 < 0, el operador será de la forma: 
𝐷 = ±√
1
𝐿𝐶
𝑗 
Entonces las soluciones de la EDO serán de la forma: 
𝑞(𝑡) = 𝐴𝐶𝑜𝑠 (√
1
𝐿𝐶
∙ 𝑡) + 𝐵𝑆𝑒𝑛 (√
1
𝐿𝐶
∙ 𝑡) 
Luego, se asume que en un tiempo inicial la carga del capacitor es 𝑞(0) = 𝑄0 y la corriente 
es nula 𝐼(0) = 0. Tras haciendo los cálculos correspondientes, se tiene que la carga tiene la 
forma: 
𝑞(𝑡) = 𝑄0 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (√
1
𝐿𝐶
∙ 𝑡) 
En estos tipos de circuitos, se pide generalmente saber calcular la inductancia y capacitancia 
de primeros principios, y luego resolver el circuito y calcular la frecuencia de oscilación (De 
la forma más conveniente, no necesariamente como aquí se resuelve la EDO) 
8) Circuito RLC en serie 
Tenga presente desde ya, que este circuito representa un alto grado de análisis y la relación 
con los conceptos de electrodinámica y el comportamiento de los elementos pasivos 
(resistor, capacitor e inductor). 
El circuito RLC en serie es aquel que está compuesto por una resistencia 𝑅, una inductancia 
𝐿 y una capacitancia 𝐶. Se pueden considerar tres situaciones iniciales: 
i) La primera, es disponer de una fem en el circuito, que cargue el capacitor hasta 
una carga final 𝑄 = 𝐶𝑉. Una vez cargado el condensador, se desconecta la fem 
y se cierra el circuito, dejando en serie los tres elementos claves. 
ii) La otra opción es considerar que el capacitor cuenta inicialmente con una carga 
𝑄 = 𝐶𝑉. 
iii) La última, es adicionar una fem al circuito, de modo que el análisis comienza 
cuando el condensador está descargado (𝑄 = 0). 
Las primeras dos situaciones convergen al mismo resultado: la descarga del capacitor. Por 
otra parte, la tercera opción, corresponde a la carga del capacitor y conduce a una EDO de 
segundo orden no homogénea, la cual se utiliza en el laboratorio. Aquí, se verá la descarga, 
tal que al igual que en el circuito LC, el condensador funciona como una fuente de voltaje 
al establecer una corriente de descarga e ir disminuyendo su carga. 
Ahora, usando ley de voltajes de Kirchhoff, se establece la siguiente ecuación (Recuerde 
que las letras minúsculas representan magnitudes que varían en el tiempo): 
𝑣𝑐 = 𝑣𝐿 + 𝑣𝑅 
𝑞
𝐶
= 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑖𝑅 
Como el capacitor está “perdiendo carga”, la carga va disminuyendo en el tiempo, de modo 
que la corriente es negativa 𝑖 = −𝑑𝑞/𝑑𝑡, de este modo, la ecuación se modela de la 
siguiente manera: 
𝑞
𝐶
= −𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
− 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
Normalizando y reordenando la ecuación, llegamos a la EDO lineal de segundo orden, 
característica del circuito RLC: 
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
𝑞
𝐿𝐶
= 0 
De aquí en adelante se utiliza el método que se estime más conveniente para la resolución 
de la ecuación. Sin embargo, para el curso no es necesaria la resolución de la ecuación, pues 
al resolverla se debe entrar en un análisis de los valores 𝑅, 𝐿 𝑦 𝐶, los cuáles aquí serán solo 
variables, pero se sugiere tácitamente: comparar con ecuación de movimiento oscilatorio 
amortiguado y resolver la ecuación y analizar los tres casos. 
i) Al comparar con el movimiento amortiguado, se puede ver que el factor que 
acompaña a la derivada de la carga 
𝑅
𝐿
 es análogo al 2𝛾 de la ecuación de 
movimiento, de modo que este factor denota la resistencia o “roce” que ejerce 
el sistema al paso de carga. 
ii) Ahora, usando operadores diferenciales, se resuelve la ecuación: 
(𝐷2 +
𝑅
𝐿
𝐷 +
1
𝐿𝐶
) 𝑞 = 0 → 𝐷 =
−
𝑅
𝐿 ±
√𝑅
2
𝐿2
−
4
𝐿𝐶
2
 
𝐷 =
−
𝑅
𝐿 ±
√𝑅
2
𝐿2
−
4
𝐿𝐶
2
 
La carga tendrá diferentes soluciones dependientes del tiempo, donde las constantes que 
aparezcan, se determinan en función de las condiciones iniciales del sistema (𝑞(0) = 𝑄 =
𝐶𝑉 y 𝑖(0) = 0). Las tres soluciones del sistema serán de acuerdo al discriminante de 𝐷: 
i) (𝑅/𝐿)2 = 4/𝐿𝐶 
Sistema críticamente amortiguado, en este caso, la carga varía de la forma: 
𝑞(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑒−
𝑅
2𝐿
𝑡 + 𝐵 ∙ 𝑡𝑒−
𝑅
2𝐿
𝑡 , 𝐴, 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
ii) (𝑅/𝐿)2 > 4/𝐿𝐶 → 𝐷 =
−
𝑅
𝐿
±√
𝑅2
𝐿2
−
4
𝐿𝐶
2
 
Sistema sobreamortiguado, en este caso, la carga varía de la forma: 
𝑞(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑒𝐷1𝑡 + 𝐵 ∙ 𝑒𝐷2𝑡 
iii) (𝑅/𝐿)2 <
4
𝐿𝐶
 → 𝐷 =
1
2
(−
𝑅
𝐿
± √
4
𝐿𝐶
−
𝑅2
𝐿2
𝑗) 
Solo se considerará la solución particular de este caso, un sistema subamortiguado, donde 
la carga varía de forma sinusoidal: 
𝑞(𝑡) = 𝑒−
𝑅
2𝐿 ∙ (𝐴 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
𝑡) + 𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛 (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
𝑡)) 
Usando las condiciones iniciales de más arriba, la solución queda así: 
𝑞(𝑡) = 𝑄 ∙ 𝑒−
𝑅
2𝐿
𝑡 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
𝑡) 
𝑖(𝑡) = 𝑞′(𝑡) = −𝑄 ∙ 𝑒−
𝑅
2𝐿
𝑡 ∙ √
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
∙ 𝑆𝑒𝑛 (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
𝑡) 
De la solución se aprecia cual es la frecuencia con la que oscila la carga y de su derivada se 
observa la frecuencia de oscilación de la corriente. Como se conocen dichas variables, se 
está en condiciones de conocer el voltaje de cada elemento del circuito. 
VI. Corriente alterna 
1) Corriente alterna 
Se entiende y conoce como corriente alterna (CA o AC), a la corriente eléctrica que varía de 
forma periódica, en particular para el curso, se hace alusión a la corriente que varía de 
forma sinusoidal. 
2) Fuente de CA 
Las fuentes de corriente directa se diferencian de las fuentes de corriente alterna, en que 
las primeras se caracterizan por mantener una polaridad constante, mientras que las 
segundas alternan su polaridad. Esto provoca que el voltaje (y la corriente) presente dos 
semiciclos (uno positivo y uno negativo), en el semiciclo positivo, la corriente fluye desde 
un polo de la fuente, mientas que enel semiciclo negativo, la corriente comienza a circular 
por el otro polo de la fuente. 
3) Voltaje y corriente 
Puesto que la fem es de tipo sinusoidal, el voltaje se describe por: 
𝑣 = 𝑣(𝑡) = 𝑉 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
Donde 𝑉 corresponde a la amplitud de voltaje o voltaje máximo y 𝜔 es la frecuencia 
angular, sabiendo entonces que la frecuencia y el periodo son: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
 
 Ahora, como la corriente presenta la misma forma de la causa que la provoca, ésta queda 
descrita por: 
𝑖 = 𝑖(𝑡) = 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
4) Fasores 
Los fasores tienen la función de expresar una cantidad escalar, como una cantidad vectorial. 
De la figura de la izquierda se ve que la amplitud 
de voltaje o voltaje máximo 𝑉 representa un 
vector, entonces la proyección de este sobre el 
eje horizontal (en un plano cartesiano), 
corresponde al voltaje instantáneo 𝑣. 
 
 
 
 
 
5) Fórmula de Euler 
Se pueden expresar las formas sinusoidales de voltaje y corriente, como funciones 
exponenciales gracias a la Fórmula de Euler, siendo las magnitudes instantáneas la parte 
real de la exponencial: 
𝐴 ∙ 𝑒𝜔𝑡𝑗 = 𝐴 ∙ (𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝑗 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡)) 
De modo que el voltaje instantáneo quedaría expresado por: 
𝑣 = 𝑉 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑉 (
𝑒𝜔𝑡𝑗 − 𝑒−𝜔𝑡𝑗
2
) 
6) Valor cuadrático medio o valor eficaz y potencia 
Se define el Valor cuadrático medio (RMS) o valor eficaz de voltaje o corriente, como el 
valor máximo sobre la raíz de 2 (El fundamento de esto, es que el promedio de la función 
sinusoidal es nulo y se quiere encontrar una forma de calcular la potencia, la demostración 
de esto es un cálculo meramente estadístico que no sirve para nada): 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉
√2
 𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝐼
√2
 
De lo anterior, se desprende que la potencia cuadrática media, se define por: 
𝑃𝑟𝑚𝑠 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
7) Reactancia 𝝌 
La reactancia se define para los circuitos de CA, como la oposición al paso de la corriente 
que ejercen capacitores e inductores. Éste es el concepto análogo a la resistencia en circuito 
de CD (Corriente directa). Este valor corresponde a la razón entre el voltaje máximo y la 
corriente máxima: 
𝜒 =
𝑉
𝐼
 
8) Impedancia y ley de ohm en alterna 
La Impedancia corresponde a la oposición neta del paso de corriente en circuitos de CA. La 
impedancia es un número complejo, cuya parte real es la resistencia y la parte imaginaria 
es la reactancia total: 
𝑍 = 𝑅 + 𝜒 𝑗 
Luego, la ley de ohm en sistemas de CA, establece que el voltaje es: 
𝑉 = 𝐼|𝑍| 
Siendo |𝑍| el módulo de la impedancia, definido por: 
|𝑍| = √𝑅2 + 𝜒2 
Luego, el argumento de la impedancia se conoce como fase y se verá que es el desfase entre 
el voltaje aplicado y la corriente que circula por el sistema: 
arg(𝑍) = 𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝜒
𝑅
) 
9) Capacitores y reactancia capacitiva 
Los capacitores tienen como características, el comportarse como un cortocircuito (Cable 
sin resistencia) cuando están descargados y como un circuito abierto (cable cortado o cable 
de resistencia infinita) cuando están cargados. 
Ahora, se asume que el capacitor recibe una corriente instantánea 𝑖 = 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡). Por 
definición el voltaje del capacitor es: 
𝑣𝑐 =
𝑞
𝐶
 
Pero la carga puede ser expresada como la integral de la corriente, y la corriente es 
conocida: 
𝑞 = ∫ 𝑖𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝑡
0
 
Quedando el voltaje como: 
𝑣𝑐 =
1
𝐶
∫ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝑡
0
=
𝐼
𝐶
∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Ahora, usando la igualdad 𝑆𝑒𝑛(𝑎) = 𝐶𝑜𝑠(𝑎 − 𝜋/2), se tiene: 
𝑣𝑐 =
𝐼
𝜔𝐶
∙ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −
𝜋
2
) 
De la expresión anterior, se puede ver que la 
fase entre el voltaje y la corriente es de -
𝜋/2. Luego, se dice que el voltaje está 
retrasado en 𝜋/2 o que la corriente está 
adelantada en 𝜋/2. 
Analíticamente, el capacitor expuesto a CA 
de cuenta de lo siguiente: 
- Al enfrentarse a bajas frecuencias, tiende a 
permanecer cargado y su reactancia es 
mayor (Pues al cargarse se comporta como 
cable cortado, es decir, resistencia infinita). 
- Al enfrentarse a altas frecuencias, tiende a 
descargarse constantemente, 
permaneciendo preferentemente 
descargado, por lo tanto se comporta como 
un cable sin resistencia, es decir, su reactancia es baja. 
Se concluye que la reactancia capacitiva es inversamente proporcional a la frecuencia: 
𝜒 ∝ 𝜔−1 → 𝜒 =
1
𝜔𝐶
 
Note que pudo haberse obtenido esta expresión al usar la definición de reactancia. 
La impedancia en un circuito capacitivo de CA será: 
𝑍 = −
1
𝜔𝐶
𝑗 
Es fácil ver que el argumento de 𝑍, indica la fase: 
𝐼 
arg(𝑍) = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−
1
𝜔𝐶 
0
) = −
𝜋
2
 
10) Inductores y reactancia inductiva 
Se sabe que los inductores al comenzar a recibir corriente, no conducen, mientras que al 
momento de recibir el máximo de corriente, se comportan como un cable ideal de 
resistencia nula. 
Si se tiene un circuito inductivo y se le aplica una corriente sinusoidal 𝑖 = 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡), se 
inducirá un voltaje en el inductor de la forma: 
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑 (𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡))
𝑑𝑡
= −𝐿𝐼𝜔 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Ahora, usando la igualdad −𝑆𝑒𝑛(𝑎) = 𝐶𝑜𝑠(𝑎 + 𝜋/2), el voltaje será: 
𝑣𝐿 = 𝐿𝐼𝜔 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔𝑡 +
𝜋
2
) 
 
Al igual que para el capacitor, la fase entre 
𝑣 y 𝑖 es de 𝜋/2, sin embargo, aquí es el 
voltaje que se adelanta en 𝜋/2 o la 
corriente se retrasa en 𝜋/2. 
Dependiendo de la frecuencia de la 
corriente, el comportamiento del inductor 
será: 
- Para bajas frecuencias, el inductor 
permanece mayoritariamente “cargado” 
(cable ideal) y la oposición a la corriente 
(reactancia) es baja. 
- Para altas frecuencias, el inductor tiende 
a estar descargado y la reactancia es alta, por comportarse como cable cortado. 
Así, la reactancia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia: 
𝜒 ∝ 𝜔 → 𝜒 = 𝜔𝐿 
La impedancia en un circuito inductivo tendrá solo parte imaginaria: 
𝑍 = 𝜔𝐿𝑗 
Se puede calcular también el argumento y comprobar que corresponde al ángulo de fase: 
arg(𝑍) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝜔𝐿
0
) =
𝜋
2
 
11) Resistores y Resistencia 
Al aplicar una corriente alterna 𝑖 = 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) al resistor, se cumple por Ley de Ohm, que 
su voltaje es: 
𝑣𝑅 = 𝑅𝑖 = 𝑅𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo anterior, se concluye que en una 
resistencia, la corriente está en fase con el 
voltaje. Además, la impedancia quedaría: 
𝑍 = 𝑅 , 𝑅 = 𝑟𝑒𝑎𝑙 
De modo que el argumento de 𝑍 es nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Todo lo anterior, se lleva a la práctica en circuitos RC, RL o RLC en corriente alterna. 
Ejemplo: 
 
a) Determine la corriente que circula en el cable 
bd del circuito para todo tiempo posterior al cierre 
del interruptor. 
b) Determine la corriente inducida sobre la espira. 
c) Determine la impedancia de la espira pequeña. 
 
Solución: 
a) Primero que todo, se puede ver que el circuito 
1, es un circuito LC en serie, de modo que la corriente 
será la misma en cada punto e irá oscilando de forma cosenoidal (Si no recuerda 
esto, ahora se comprobará). Por ley de mallas o voltajes: 
𝑞
𝐶
= 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 , 𝑖 = −
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+
1
𝐿𝐶
𝑞 = 0 → (𝛿2 +
1
𝐿𝐶
) 𝑞 = 0 → 𝛿2 +
1
𝐿𝐶
= 0 → 𝛿 =
1
√𝐿𝐶
𝑗 
𝑞(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) + 𝐵 ∙ 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
Ahora, asumiendo las condiciones iniciales 𝑞(0) = 𝑄 y que 𝑖(0) = 0, entonces la 
carga tiene la forma 
𝑞 = 𝑄 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
Como queremos saber la corriente que circula por el circuito, entonces derivamos 
respecto al tiempo: 
 𝑖 = −
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑄
√𝐿𝐶
∙ 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
b) Aquí se utiliza la ley de Faraday-Lenz, la cual establece que 𝑉𝑖𝑛𝑑 = −𝑑Φ/𝑑𝑡. 
Entonces, se procede calculando primero el campo magnético que genera la 
corriente de la espira 1 en la espira 2, para luego calcular el flujo y posteriormente 
el voltajeinducido. 
Puesto que la distancia entre ambas espiras es muy pequeña 𝑟 → 0 y el largo de ab 
es grande, se puede usar Ampère. Se puede utilizar una trayectoria circular que 
envuelva el cable bd y pase por el centro de la espira 2: 
∫ 𝑩𝒅𝒍 = 𝜇0𝐼𝑒𝑛𝑐 
𝐵2𝜋 = 𝜇0 𝑖 =
𝜇0𝑄
√𝐿𝐶
 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
𝐵 =
𝜇0𝑄
2𝜋√𝐿𝐶
 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
Ahora, para calcular el flujo magnético, se asume que el vector de área está en la misma 
dirección del campo magnético, de forma que: 
Φ = ∫ 𝑩𝒅𝑨 = ∫ 𝐵𝑑𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎 (2) =
𝜇0𝑄 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(2)
2𝜋√𝐿𝐶
 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
Donde el 𝐴𝑟𝑒𝑎 (2) es el área de la segunda espira. Finalmente, el voltaje inducido será: 
−
𝑑Φ
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜇0𝑄 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(2)
2𝜋√𝐿𝐶
 𝑆𝑒𝑛 (
1
√𝐿𝐶
𝑡)) 
|𝑉𝑖𝑛𝑑| =
𝜇0𝑄 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(2)
2𝜋𝐿𝐶
𝐶𝑜𝑠 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
Ahora, como el circuito es de CA, entonces se cumple 𝑉 = 𝐼|𝑍|. Como hay una resistencia 
y un inductor, la impedancia es: 
𝑍 = 𝑅 +
𝐿
√𝐿𝐶
𝑗 
|𝑍| = √𝑅2 + (
𝐿
𝐶
) 
Como se quiere conocer la corriente, se tiene que: 
 
𝑖 =
𝜇0𝑄 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎(2)
2𝜋𝐿𝐶√𝑅2 + (
𝐿
𝐶)
𝐶𝑜𝑠 (
1
√𝐿𝐶
𝑡) 
c) Se calculó en el inciso b).