Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 1 EXP.9: CIRCUITO RLC. Celeste Bugman 201551513-1 celeste.bugman@sansano.usm.cl Franco Espinoza 201551575-1 franco.espinoza@sanasano.usm.cl 1. Resumen La experiencia consistió en comprobar experimentalmente las diferentes resoluciones de un circuito conformado por una resistencia, un condensador y una bobina (circuito RLC). Esto mediante el uso de un osciloscopio y de un montaje adecuado, donde dichos elementos se encontraban conectados en serie. Se utilizaron 5 resistencias distintas, y para cada caso se obtuvo el gráfico correspondiente, de esta forma se estudió la relación voltaje – tiempo para un condensador en proceso de carga y se verificaron los comportamientos teóricos de dichas variables. 2. Introducción Como se mencionó en experiencias anteriores los condensadores y las bobinas son indispensables en nuestro día a día, ya que poseen utilidades muy específicas. Dichas utilidades se combinan en los circuitos RLC, es por ello que estos últimos constituyen la base para muchas aplicaciones eléctricas y electrónicas. En el campo de la medicina se utilizan los denominados “filtros de línea” (los cuales se componen por un circuito RLC) dichos filtros limpian el aire comprimido de bacterias y de impurezas que pueden afectar a la salud de las personas. Por otro lado los circuitos RLC son la base tanto para la construcción de osciladores, los cuales se utilizan para verificar el estado de cables telefónicos, como para la calibración de equipos de telecomunicaciones. También se utilizan como generadores de señales de audio, los cuales permiten detectar fallas en amplificadores. Como se observa los circuitos RLC, poseen muchas utilidades, es por ello que es necesario su estudio. En la experiencia realizada se estudió el comportamiento de 5 circuitos, cada uno con una resistencia distinta. 3. Objetivos 2.1 –Principal: Verificar experimentalmente el comportamiento teórico de las soluciones amortiguadas y sobreamortiguadas para un circuito RLC, en donde los elementos se encuentran en serie. 2.2 -Específicos: Utilizar un osciloscopio para obtener la relación voltaje - tiempo de 5 circuitos RLC, cada uno con una resistencia de 0, 5, 10, 100 y 1000[𝛺]. 4. Marco Teórico La ley de voltajes de Kirchhoff (LVK), plantea la conservación de la energía, e indica que en un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. O bien que la suma de las diferencias de potencial a lo largo de un camino cerrado (malla) es igual a cero. ∑ V = 0 (1) Aplicando dicha ley en un circuito RLC donde los elementos se encuentran conectados en serie, se obtiene: 𝑉 = 𝑅 ∙ 𝑖 + 𝐿 ∙ 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑉𝐶 (2) Considerando que la corriente circulante se relaciona con las variables del condensador según: 𝑖 = 𝐶 ∙ 𝑑𝑉𝐶 𝑑𝑡 (3) Remplazando la ecuación (3) en la ecuación (2), se obtiene la ecuación característica de un circuito RLC: mailto:celeste.bugman@sansano.usm.cl UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 2 𝑑2𝑉𝐶 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝐿 ∙ 𝑑𝑉𝐶 𝑑𝑡 + 𝑉𝐶 𝐿 ∙ 𝐶 = 𝑉 𝐿 ∙ 𝐶 (4) Por otro lado, las variables 𝛼 y 𝜔0 se definen como: 𝛼 = 𝑅 2 ∙ 𝐿 (5) 𝜔0 = 1 √𝐿𝐶 (6) La ecuación (4) tiene 3 posibles soluciones, éstas dependiendo de la relación entre 𝛼 y 𝜔0: i) Si 𝛼 = 𝜔0 la solución se llama críticamente amortiguada y se define: 𝑉𝐶(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒 −𝛼𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒 −𝛼𝑡 (7) ii) Si 𝛼 < 𝜔0 la solución se llama subamortiguada y se expresa según: 𝑉𝐶(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ∙ (𝐵1 ∙ cos(𝜔0𝑡) + 𝐵2 ∙ sin(𝜔0𝑡)) (8) iii) Si 𝛼 > 𝜔0 la solución se llama sobreamortiguada y se expresa como: 𝑉𝐶(𝑡) = 𝐶1 ∙ 𝑒 −𝑠1𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒 −𝑠2𝑡 (9) Donde 𝑠1 y 𝑠2 se expresan como: 𝑠1 = −𝛼 + √𝛼2 − 𝜔02 (10) 𝑠2 = −𝛼 − √𝛼 2 − 𝜔0 2 (11) 5. Desarrollo Experimental 5.1 -Materiales: 1. DC Power Supply. Marca Mastech. Modelo HY3003D-3. 2. R-Decada. Marca AEMC. 3. Tablero Protoboard. 4. Cables. 5. Osciloscopio.Modelo GA1062CAL. 6. Interruptor. Marca Gratten. 7. Condensador 47 [𝜇𝐹]. 40 [𝑉]max. 8. Bobina 9[𝑚𝐻]. 𝑁 =500. 𝑅 =2.5[𝛺]. 𝐼𝑚𝑎𝑥 =2.5[𝐴]. 5.2 -Montaje: Figura Nº1: Circuito RLC esquemático. El osciloscopio se encuentra en paralelo al condensador, para poder medir voltaje. El interruptor tiene la capacidad de abrir y cerrar el circuito para cargar/ descargar el capacitor. 5.3 -Método Experimental: Para el estudio de los circuitos RLC se utiliza el Circuito N°1 (Figura N°1). En él, se conectan en serie una fuente de alimentación de corriente directa, un interruptor, una resistencia variable, un inductor y un condensador, paralelo a éste último se conecta un osciloscopio que mida y grafique voltaje. Una vez realizadas las conexiones, se elige el valor de la resistencia, se enciende la fuente y se acciona el interruptor, permitiendo la carga del capacitor. Cuando el capacitor se encuentre cargado, se debe apagar la fuente, abrir el circuito con el interruptor y descargar el condensador. El procedimiento anterior se realiza para 5 resistencias distintas. 6. Datos Gráfico Nº1: Voltaje de un capacitor en proceso de carga, en un circuito con resistencia nula. -2 0 2 4 6 8 10 12 340 540V o lt aj e co n d en sa d o r[ V ] Tiempo 50[ms] UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 3 Gráfico Nº2: Curva de voltaje del condensador (𝑉𝐶) en función del tiempo. Para este caso, la resistencia utilizada corresponde a 5[Ω]. Gráfico Nº3: La curva muestra la rapidez con que el capacitor alcanza su voltaje de equilibrio. La resistencia utilizada corresponde a 10[Ω]. Gráfico Nº4: Se utiliza una resistencia de 100[Ω], que permite el desencadenamiento de un voltaje sobreamortiguado. Gráfico Nº5: Con una resistencia de 1000[Ω], se alcanza un estado en el cual el voltaje no oscila y se estabiliza rápidamente. 7. Análisis Usando el montaje descrito (Circuito N°1), se estudia el comportamiento de la tensión de un capacitor en un circuito RLC. La bobina utilizada posee una inductancia de 9[𝑚𝐻] y una resistencia asociada de 2,5 [Ω], el capacitor tiene una capacitancia de 47[μF] y las resistencias variables toman los siguientes valores: 𝑅 = {0, 5, 10, 100, 1000} [Ω]. Cuando la resistencia es nula (𝑅0 = 0[Ω]), la curva que describe la tensión del capacitor en función del tiempo, corresponde a la del Gráfico N°1 (También a la Figura N°2 de Anexos). De él, se aprecia que el voltaje describe una trayectoria subamortiguada. Para 𝑅2 = 5[Ω] (Gráfico N°2, Figura N°3), la curva de voltaje, posee también una trayectoria subamortiguada de menor amplitud inicial que la curva anterior. En el caso de 𝑅3 = 10[Ω], la curva del Gráfico N°3 o de la Figura N°4, representa también una situación de subamortiguamiento, con una amplitud de voltaje inicial mucho menor que en los casos anteriores, de modo que la tensión se estabiliza rápidamente. De los tres gráficos, se aprecia que el voltaje del capacitor oscila en torno al valor de la fem -2 0 2 4 6 8 10 340 440 540 640V o lt aj e c o n d e n sa d o r[ V ] Tiempo 50[ms] -2 0 2 4 6 8 10 340 440 540 640 V o lt aj e c o n d e n sa d o r[ V ] Tiempo 50[ms] -2 0 2 4 6 8 200 300 400 500 600 700V o lt aj e c o n d e n sa d o r[ V ] Tiempo 50[ms] -2 0 2 4 6 8 340 440 540 640V o lt aj e c o n d e n sa d o r[ V ] Tiempo 50[ms]UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 4 aplicada, hasta estabilizarse en dicho valor. Las amplitudes iniciales del voltaje y el número de oscilaciones, desciende a medida que aumenta la resistencia. La causa del tipo de gráfica que se obtiene radica en los valores de 𝛼 y 𝜔0 (Dirigirse a Anexos): {𝛼1, 𝛼2, 𝛼3} < ω0 Al utilizar las resistencias 𝑅4 = 100[Ω] y 𝑅5 = 1000[Ω], se aprecia del Gráfico N°4 (Figura N°5) y del Gráfico N°5 (Figura N°6), que las curvas de tensión para el capacitor son de carácter sobreamortiguado, donde se tiene que la pendiente es mucho más pronunciada para el segundo caso, de modo que se logra alcanzar con mayor rapidez la fem de la fuente. De los últimos dos casos, se desprende que: {𝛼4, 𝛼5} > 𝜔0 8. Discusión Como se aprecia en la sección Anexos los coeficientes 𝛼 y 𝜔0 asociados a las 3 primeras resistencias estudiadas (0, 5, 10 [𝛺]) cumplen con que 𝛼 < 𝜔0, por lo tanto la solución esperada es subamortiguada. Es por esto que se espera una relación cosenoidal con amplitud decreciente, como ilustra la ecuación (8). Experimentalmente las variables estudiadas efectivamente se comportan de dicha forma, lo cual queda demostrado por los 3 primeros gráficos. Por otro lado la solución esperada para las resistencias de 100[Ω] y de 1000[Ω] es sobreamortiguada ya que 𝛼 > 𝜔0. Para este tipo de soluciones se espera una relación exponencial, como muestra la ecuación (9). Las variables experimentales efectivamente se comportan de dicha forma, lo que se ilustra por el Gráfico Nº4 y Gráfico Nº5. Pese a que las variables se comportan de acuerdo a los márgenes esperados, en toda experimentación hay errores asociados, en este caso el error presente es instrumental, y al utilizar solo instrumentos digitales este no tiene una gran implicancia en los datos. Es importante mencionar que para que dicho error sea aún màs pequeño, habría que utilizar elementos de mayor calidad. 9. Conclusión En la experiencia se logra comprender como montar un circuito RLC. Además se aprendió a utilizar un interruptor, para permitir el paso de la corriente y provocar un cortocircuito en esta clase de sistemas. Según los gráficos obtenidos en la experimentación, se puede concluir que si 𝑅 2𝐿 < 1 √𝐿𝐶 , entonces se tiene un sistema subamortiguado, evidenciado de Gráfico N°1, Gráfico N°2 y Gráfico N°3. Luego, se concluye que si 𝑅 2𝐿 > 1 √𝐿𝐶 , entonces el sistema es sobreamortiguado, lo cual se aprecia de Gráfico N°4 y Gráfico N°5. En general, si en un circuito RLC, la inductancia y la capacitancia son constantes, entonces existe una resistencia sobre la cual el sistema será sobreamortiguado, y por debajo de ella, el sistema será subamortiguado. De la experimentación con el osciloscopio, se entiende que este aparato, es capaz de graficar la tensión de un elemento en tiempo real, para diferentes intervalos de tiempo, evidente de los Figura N°1-N°6. 10. Bibliografía 1. Sears, Zemansky, Young, Freedman. (1999). Fisica Universitaria con fisica moderna. Naucalpán de Juárez, Edo. de México: Pearson. 2. Tipler-Mosca. (2005). Física para la Ciencia y la Tecnología. México, D.F.: Reverté. 11. Anexos Cálculos de los coeficientes 𝛼 y 𝜔0 para los distintos casos estudiados: 𝑅1 = 0[𝛺]: UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 5 𝛼1 = 𝑅𝑒𝑞 2 ∙ 𝐿 = 0 + 2,5 2 ∙ 9 ∙ 10−3 𝛼1 ≈ 138 𝜔0 = 1 √𝐿 ∙ 𝐶 = 1 √9 ∙ 10−3 ∙ 47 ∙ 10−6 𝜔0 ≈ 1537 𝑅2 = 5[𝛺]: 𝛼2 = 𝑅𝑒𝑞 2 ∙ 𝐿 = 5 + 2,5 2 ∙ 9 ∙ 10−3 𝛼2 ≈ 416,6 𝜔0 = 1 √𝐿 ∙ 𝐶 = 1 √9 ∙ 10−3 ∙ 47 ∙ 10−6 𝜔0 ≈ 1537 𝑅 = 10[𝛺]: 𝛼3 = 𝑅𝑒𝑞 2 ∙ 𝐿 = 10 + 2,5 2 ∙ 9 ∙ 10−3 𝛼3 ≈ 694 𝜔0 = 1 √𝐿 ∙ 𝐶 = 1 √9 ∙ 10−3 ∙ 47 ∙ 10−6 𝜔0 ≈ 1537 𝑅4 = 100[𝛺]: 𝛼4 = 𝑅𝑒𝑞 2 ∙ 𝐿 = 100 + 2,5 2 ∙ 9 ∙ 10−3 𝛼4 ≈ 5694 𝜔0 = 1 √𝐿 ∙ 𝐶 = 1 √9 ∙ 10−3 ∙ 47 ∙ 10−6 𝜔0 ≈ 1537 𝑅5 = 1000[𝛺]: 𝛼5 = 𝑅𝑒𝑞 2 ∙ 𝐿 = 1000 + 2,5 2 ∙ 9 ∙ 10−3 𝛼5 ≈ 55694 𝜔0 = 1 √𝐿 ∙ 𝐶 = 1 √9 ∙ 10−3 ∙ 47 ∙ 10−6 𝜔0 ≈ 1537 Figura Nº2: Imagen ilustrada por el osciloscopio que muestra la relación de 𝑉𝐶 en el tiempo cuando se utiliza una resistencia nula. Figura Nº3: Voltaje en función del tiempo de un capacitor en circuito RLC, cuando se utiliza una resistencia de 5[𝛺]. Figura Nº4: voltaje subamortiguado, cuando se utiliza una resistencia de 10[𝛺]. UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FIS 120 SEGUNDO SEMESTRE 2016 6 Figura Nº5: Para una resistencia de 100[𝛺], la gráfica de voltaje adquiere un carácter sobreamortiguado, sin oscilaciones. Figura Nº6: Para una resistencia de 1000[𝛺], el voltaje presenta un comportamiento sobreamortiguado, el cual alcanza el voltaje de la fuente de alimentación rápidamente.
Compartir