PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL RESUELTOS

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Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 1 
EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL 
 
1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un 
proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar 
dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para 
combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de 
gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias 
empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar 
como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de 
disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla. 
 
NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA 
 
Producto 
Materia Prima 
1 2 3 
Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 
Base disolvente 1/2 1/5 3/10 
 
Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente. 
 
La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia 
primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las 
cantidades siguientes de cada una de las materia primas 
 
 
Materia Prima 
Cantidades disponibles 
 para la producción 
Materia prima 1 20 toneladas 
Materia Prima 2 5 toneladas 
Materia prima 3 21 toneladas 
 
Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier 
materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe 
descartarse. 
 
El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, 
asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a 
precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por 
tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada 
tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de 
una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios 
establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda 
la base disolvente que se produzca. 
 
El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá 
producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a 
cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría? 
Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas 
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de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? 
Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1 
 
 
Solución: 
Diseño del modelo matemático: 
 
 Definición de variables 
X1 = número de toneladas de aditivo para combustible 
X2 = número de toneladas de base disolvente 
 
 Función objetivo: 
Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2 
 
 Restricciones 
Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20 
Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5 
Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Entrada de datos para Solver 
 
Salida de resultados 
 
 
1 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 220. 
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 3 
Informe del problema: 
 
Orden de producción: 
25 toneladas de aditivo 
20 toneladas de base disolvente 
con: 
20 toneladas de materia prima 1, 
4 toneladas de materia prima 2, y 
21 toneladas de materia prima 3 
 
2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La 
estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un 
cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en 
fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. 
Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de 
rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 
100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. 
 
El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre 
la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de 
medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones 
tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de 
mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más 
elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a 
inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se 
inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. 
¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el 
objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2 
 
Solución: 
Diseño del modelo matemático: 
 
 Definición de variables 
X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones 
X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de 
 dinero 
 
 Función objetivo: 
Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2 
 
 Restricciones 
Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000 
Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000 
Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000 
 
 
2 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 242. 
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 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Entrada de datos para Solver 
 
 
Datos de salida del Solver 
 
Informe de asesoría: 
 
Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares 
cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de 
dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año. 
 
3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor 
lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio 
medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio 
elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en 
el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el 
distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar 
en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de 
fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las 
necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de 
manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de 
contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. 
 
 
 
Tiempo de producción 
Utilidad por Corte y Costura Terminado Inspección 
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Producto teñido y empaque Bolsa 
Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10 
Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9 
 
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán 
disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de 
costura, 708 horas de tiempo determinado y 135 horas de tiempo de inspección 
y empaque para la producción de las bolsas de golf. 
 
a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a la 
utilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? 
b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades 
de producción? 
c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? 
d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar 
X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 
 
 Función Objetivo 
Z max = 10X1 + 9X2 
 
 Restricciones 
0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 
0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 
1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 
0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución gráfica: 
 
 
3 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 264. Problema 15. 
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Entrada de datos Solver: 
 
 
 
Solución Solver: 
 
 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 7 
a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de 
Lujo. 
b) Contribución total = $ 7.667,942 
c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura, 
708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. 
d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para 
Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no 
tienen holgura. 
 
4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor 
lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio 
medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio 
elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en 
el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el 
distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar 
en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de 
fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las 
necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de 
manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de 
contabilidad de la contribución a la unidad por bolsa. 
 
 
 
 
 
Producto 
Tiempo de producción 
Utilidad por 
Bolsa 
Corte y 
teñido 
Costura Terminado Inspección 
y empaque 
Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10 
Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9 
 
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán 
disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de 
costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección 
y empaque para la producción de las bolsas de golf. 
 
Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas: 
 
a) El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a 
la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa. 
b) Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa 
estándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puede 
incrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a la 
utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares) 
c) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará la 
capacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 + 
9X2 es la función objetivo apropiada) 
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Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería la 
solución óptima y la contribución total a la utilidad?4 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar 
X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 
 
 Función Objetivo 
Z max = 10X1 + 9X2 
 
 Restricciones 
0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 
0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 
1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 
0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
 
4 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 265. Problema 16. 
 
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200
0
35
70
105
140
175
210
245
280
315
350
385
420
455
490
525
560
595
630
665
700
X2
X1
: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000
: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000
: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000
: 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000
Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417
Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110)
: 0.7000X1 + 1.0000X2 <= 630.0000
: 0.5000X1 + 0.8334X2 <= 600.0000
: 1.0000X1 + 0.6667X2 <= 708.0000
: 0.1000X1 + 0.2500X2 <= 135.0000
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 9 
Entrada de datos Solver: 
 
 
 
Solución Solver: 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 10 
 
 
c) 
 
 
 
La solución óptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribución a 
la utilidad de las bolsas estándar a $20 y su contribución total es de $ 14.160 
fabricando sólo bolsas de golf estándar. 
 
5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno 
normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de 
tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas 
disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el 
departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de 
producción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es: 
 
 
 
Modelo 
Tiempo de producción(horas) 
Utilidad por 
Guante 
Corte y 
costura 
Terminado Empaque y 
embarque 
Normal 1 1/2 1/8 $5 
Catcher 3/2 1/3 1/4 $8 
 
Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de 
la utilidad. 
 
a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? 
b) Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá 
fabricar Kelson? 
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c) ¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con 
las cantidades de producción arriba citadas? 
d) ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada 
departamento? 
e) ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5 
 
 
Solución: 
 
a) Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normal 
X2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla 
 
 Función Objetivo 
Z max = 5X1 + 8X2 
 
 RestriccionesX1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura 
0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado 
0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
Solución GLP 
 
5 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 266. Problema 22. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 12 
 
Datos de entrada de Solver: 
 
 
 
Salida del Solver: 
 
 
 
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200
0
35
70
105
140
175
210
245
280
315
350
385
420
455
490
525
560
595
630
665
700
X2
X1
: 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0
: 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0
: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0
Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9
Optimal Decisions(X1,X2): (500.0, 150.0)
: 1.0X1 + 1.5X2 <= 900.0
: 0.5X1 + 0.3X2 <= 300.0
: 0.1X1 + 0.3X2 <= 100.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 13 
 
6. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar 
parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El 
fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un 
fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las 
inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. 
Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida 
comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad 
en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le 
permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%. 
 
a) Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para 
determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles 
alternativas de inversión. 
b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y 
por solver6 
 
 
Solución: 
 
 Definición de variables 
X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos 
X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 1X1 + 1X2 
 
 Restricciones 
X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos 
6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento total 
X1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Datos entrada Solver 
 
 
6 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 266. Problema 23. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 14 
 
 
Resultados del Solver: 
 
 
Solución gráfica: 
 
 
 
 
7. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor forma 
de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 15 
periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del 
presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el 
monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo 
menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha 
desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de 
publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice 
indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad 
en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo 
debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de 
maximizar el valor de exposición total en el auditorio? 
 
a) Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para 
determinar la manera en que la administración debe asignar el 
presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición 
total del auditorio. 
b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y 
por solver7 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos 
X2 = Cantidad de dólares asignados a radio 
 
 Función Objetivo 
Zmax= 50X1 + 80X2 
 
 Restricciones 
X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos 
X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio 
X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio 
X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
7 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 266. Problema 24. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 16 
 
 
8. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de 
valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una 
cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el 
cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes: 
 
Acción Precio por 
Acción 
Rendimiento anual 
estimado por acción 
Índice de riego 
U.S. OIL $25 $3 0.50 
Hub Properties $50 $5 0.25 
 
El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos 
alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la 
inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma 
de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones 
potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se 
ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las 
inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 
acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada 
uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento 
anual total?8 
 
Solución: 
 
8 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 267. Problema 25. 
 
0 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 660
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
X2
X1
: 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00
: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00
: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00
: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00
Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00
Optimal Decisions(X1,X2): (600.00, 200.00)
: 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00
: -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00
: 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00
: 1.00X1 + 2.00X2 <= 1000.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 17 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil 
X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties 
 
 Función Objetivo 
Z max = 3X1 + 5X2 
 
 Restricciones 
0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo 
X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL 
25X1 + 50X2 = 80.000 inversiónen acciones 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
Solucion GLP 
 
 
Datos de entrada SOLVER 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980
0
79
158
237
316
395
474
553
632
711
790
869
948
1027
1106
1185
1264
1343
1422
1501
1580
X2
X1
: 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00
: 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00
Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00
Optimal Decisions(X1,X2): (800.00, 1200.00)
: 0.50X1 + 0.25X2 <= 700.00
: 1.00X1 + 0.00X2 <= 1000.00
: 25.00X1 + 50.00X2 <= 80000.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 18 
 
PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS 
 
 Acciones U.S.Oil HUB 
 Cantidad 1 1 max 
 Contrib. Utilidad 3 5 8 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Riesgo 0,5 0,25 0,75 ≤ 700 699,25 
En U.S.Oil 1 1 ≤ 1000 999 
Inversión 25 50 75 ≤ 80000 79925 
Datos de salida SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS 
 
 Acciones U.S.Oil HUB 
 Cantidad 800 1200 max 
 Contrib. Utilidad 3 5 8400 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Riesgo 0,5 0,25 700 ≤ 700 -7,4E-10 
En U.S.Oil 1 800 ≤ 1000 200 
Inversión 25 50 80000 ≤ 80000 -7,3E-08 
 
9. Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western 
Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. 
Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa. 
Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa 
de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una 
consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates 
enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de 
salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s 
puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de 
tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes 
es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los 
demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra 
tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se 
estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con 
Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de 
Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. 
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s 
determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. 
b. Haga una gráfica de la región factible. 
c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar 
las coordenadas de cada punto extremo. 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 19 
d. Encuentre la solución óptima9 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods 
X2 = Cantidad de tarros de salsa México City 
 
 Función Objetivo 
Z max = 
(1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 + 
(1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2 
 
Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2 
 
Z max = 1X1 + 1.25X2 
 
 Restricciones 
5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 
3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 
2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
 Solución con GLP 
 
9 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 267. Problema 26. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 20 
 
 
 
Datos entrada SOLVER 
 
Planificación para Tom’s 
 
 
SALSA 
Western 
Foods 
México 
City 
 Cantidad de tarros 1 1 Max 
 Utilidad 1 1.25 2.25 
 
 Restricciones Utilizado Límite No utiliz 
tomates enteros 5 7 12 ≤ 4480 4468 
salsa de tomate 3 1 4 ≤ 2080 2076 
pasta de tomate 2 2 4 ≤ 1600 1596 
 
Salida de datos SOLVER 
Planificación para Tom’s 
 
 
SALSA 
Western 
Foods 
México 
City 
 Cantidad de tarros 560 240 Max 
 Utilidad 1 1.25 860 
 
 
 
 
 
1 50 99 148 197 246 295 344 393 442 491 540 589 638 687 736 785 834 883 932 981
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
X2
X1
: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00
: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00
: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00
Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00
Optimal Decisions(X1,X2): (560.00, 240.00)
: 5.00X1 + 7.00X2 <= 4480.00
: 3.00X1 + 1.00X2 <= 2080.00
: 2.00X1 + 2.00X2 <= 1600.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 21 
Restricciones Utilizado Límite No utiliz 
tomates enteros 5 7 4480 ≤ 4480 -6.2E-09 
salsa de tomate 3 1 1920 ≤ 2080 160 
pasta de tomate 2 2 1600 ≤ 1600 -3.7E-09 
 
 
10. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de 
manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay 
dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días 
disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito 
por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado 
un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) 
a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3 
dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se 
ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben 
ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más 
elevada posible?10 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan 
X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue 
 
 Función Objetivo 
Z max = 9X1 + 6X2 
 
 Restricciones 
3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto 
X1 + X2 = 1.800 número de páginas 
X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan 
X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 Solución GLP 
 
10 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 267. Problema 27. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 22 
 
 
 Datos de entrada SOLVER 
 
 
Páginas revisadas Ehran Sue 
 Cantidad 1 1 Max 
 Calidad 9 6 15 
 
 Restricciones Utilizado Limite No utiliz 
Presupuesto 3 2 5 ≤ 4800 4795 
Horas Ehran 1 1 ≤ 1000 999 
Horas Sue 1 1 ≤ 1800 1799 
Núm. Páginas 1 1 2 ≤ 1800 1798 
 
 Salida SOLVER 
 
 
PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN 
 
 Páginas revisadas Ehran Sue 
 Cantidad 1000 800 Max 
 Calidad 9 6 13800 
 
 Restricciones Utilizado Limite No utiliz 
Presupuesto 3 2 4600 ≤ 4800 200 
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720780 840 900 960 1020108011401200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
X2
X1
: 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0
Optimal Decisions(X1,X2): (1000.0, 800.0)
: 3.0X1 + 2.0X2 <= 4800.0
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 1000.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 23 
Horas Ehran 1 1000 ≤ 1000 -1,1E-10 
Horas Sue 1 800 ≤ 1800 1000 
Núm. Páginas 1 1 1800 ≤ 1800 -4,2E-09 
 
11. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registros 
muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de 
teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo 
Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de 
cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración 
exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el 
Y. 
a. Muestre la región factible 
b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada 
modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada 
modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante 
el período de 4 semanas? 
c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración 
agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos 
teléfonos Y como teléfonos X. 
d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción 
del inciso (c)?11 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X 
X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 40X1 + 50X2 
 
 Restricciones 
3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponibles 
X1 ≥ 25 meta mínima de venta 
X2 ≥ 25 meta mínima de venta 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
Solución GLP 
 
11 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 268. Problema 28. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 24 
 
Datos de entrada SOLVER 
PLANIFICACION DE CAR PHONES 
 
 
Teléfono 
Modelo 
X 
Modelo 
Y 
 Cantidad 1 1 Max 
 Utilidad 40 50 90 
 
 
Restricciones Utilizado Límite 
No 
Utiliz 
Horas disp. 3 5 8 ≤ 600 592 
Venta min X 1 1 ≥ 25 -24 
Venta min Y 1 1 ≥ 25 -24 
 
Datos de Salida SOLVER 
PLANIFICACION DE CAR PHONES 
 
 
Teléfono 
Modelo 
X 
Modelo 
Y 
 Cantidad 158,3333 25 Max 
 Utilidad 40 50 7583,333 
 
 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz 
Horas disp. 3 5 600 ≤ 600 -1,4E-09 
Venta min X 1 158,3333 ≥ 25 133,3333 
Venta min Y 1 25 ≥ 25 2,64E-12 
2
2
X2
X1
: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0
Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3
Optimal Decisions(X1,X2): (158.3, 25.0)
: 3.0X1 + 5.0X2 <= 600.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 25.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 25 
 
 
12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una 
característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las 
mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la 
perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de 
obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien 
balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: 
 
Comida Costo/onza Proteínas % Grasa % 
Bark Bits 0.06 30 15 
Canine Chow 0.05 20 30 
 
Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas 
de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de 
costo mínimo de los alimentos para perros?12 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits 
X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow 
 
 Función Objetivo 
Zmin = 0.06X1 + 0.05X2 
 
 Restricciones 
0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 
0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
12 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 269. Problema 34. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 26 
 
Entrada de datos SOLVER 
PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels 
 
 
Comida 
Bark 
Bits 
Canine 
Chow 
 Cantidad 1 1 Min 
 Calidad 0,06 0,05 0,11 
 
 
Restricciones Utilizado Limite 
No 
utiliz 
Proteinas 0,3 0,2 0,5 ≥ 5 4,5 
Grasas 0,15 0,3 0,45 ≥ 3 2,55 
 
Salida de datos SOLVER 
 
PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels 
 
 
Comida 
Bark 
Bits 
Canine 
Chow 
 Cantidad 15 2,5 Min 
 Calidad 0,06 0,05 1,025 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
X2
X1
: 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00
: 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00
Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02
Optimal Decisions(X1,X2): (15.00, 2.50)
: 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00
: 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 27 
Restricciones Utilizado Limite 
No 
utiliz 
Proteinas 0,3 0,2 5 ≥ 5 
-3,3E-
12 
Grasas 0,15 0,3 3 ≥ 3 
-2,2E-
12 
 
13. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos 
chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en 
recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el 
noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de 
extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de 
extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 
8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso 
chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos 
quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. 
Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende 
a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular 
y Zesty?13 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular 
X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty 
 
 Función Objetivo 
Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 + 
(2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2 
Zmax = 0.40X1 + 1.40X2 
 Restricciones 
0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 
0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP13 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 269. Problema 35. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 28 
 
 
Datos de entrada SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company 
 
 Recipientes queso Regular Zesty 
 Cantidad en miles 1 1 max 
 Utilidad 0,4 1,4 1,8 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Queso Ch. suave 0,8 0,6 1,4 ≤ 10,8 9,4 
Tiempo prod. min 0,2 0,4 0,6 ≤ 4 3,4 
 
Datos de salida SOLVER 
 
Recipientes queso Regular Zesty 
 Cantidad en miles 0 10 max 
 Utilidad 0,4 1,4 14 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Queso Ch. suave 0,8 0,6 6 ≤ 10,8 4,8 
Tiempo prod. min 0,2 0,4 4 ≤ 4 -5,5E-12 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X2
X1
: 0.8 X1 + 0.6 X2 = 10.8: 0.2 X1 + 0.4 X2 = 4.0
Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0
Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0)
: 0.8X1 + 0.6X2 <= 10.8
: 0.2X1 + 0.4X2 <= 4.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 29 
14. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un 
nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de 
cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y 
proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo 
de cereal. 
 
 
 
Cereal 
Fibra dietética 
(gramos) 
Grasas 
(gramos) 
Proteínas 
(gramos) 
A 2 2 4 
B 1.5 3 3 
 
Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que 
cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech 
fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de 
cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra 
dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del 
nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 
gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es 
de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea 
determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del 
nuevo producto al menor costo posible. 
 
a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación 
b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica 
c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente 
d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. 
¿Cuál sería el costo del paquete?14 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de onzas de cereal A 
X2 = Cantidad de onzas de cereal B 
 
 Función Objetivo 
Zmin = 0.02X1 + 0.025X2 
 
 Restricciones 
2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 
2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 
4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas 
X1 + X2 = 1 onzas 
 
14 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 269. Problema 36. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 30 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
Datos entrada SOLVER 
 
Planificacion de Healthtech Foods 
 
 Cereal A B 
 Cantidad en onzas 1 1 min 
 Costo 0,02 0,025 0,045 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
fibra dietética 2 1,5 3,5 ≥ 1,7 1,8 
por grasas 2 3 5 ≤ 2,8 -2,2 
por proteinas 4 3 7 ≤ 3,6 -3,4 
 
Datos salida SOLVER 
 
Planificacion de Healthtech Foods 
 
 Cereal A B 
 Cantidad en onzas 0,85 0 min 
 
0 1
0
1
X2
X1
: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700
: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800
: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600
Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017
Optimal Decisions(X1,X2): (0.850, 0.000)
: 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700
: 2.000X1 + 3.000X2 <= 2.800
: 4.000X1 + 3.000X2 <= 3.600
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 31 
Costo 0,02 0,025 0,017 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
fibra dietética 2 1,5 1,7 ≥ 1,7 
9,12E-
13 
por grasas 2 3 1,7 ≤ 2,8 1,1 
por proteinas 4 3 3,4 ≤ 3,6 0,2 
 
 
15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para 
empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros 
productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de 
inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administración 
de MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2 
combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir con 
un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El 
tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del 
producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 
600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del 
producto 1 y 3 dólares del producto 2. 
a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos 
especificados al costo mínimo. 
b. ¿Cuál es el costo total del producto? 
c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de galones del producto 1 
X2 = Cantidad de galones de producto 2 
 
 Función Objetivo 
Zmin = 2X1 + 3X2 
 
 Restricciones 
X1 + X2 ≥ 350 galones producidos 
X1 ≥ 125 pedido de un cliente 
2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
15 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 270. Problema 37. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 32 
 
 
Datos entrada SOLVER 
Planificacion de 55. M&D Chemical 
 
 Producto 1 2 
 Cantidad galones 1 1 min 
 Costo 2 3 5 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Galones 
producidos 1 1 2 ≥ 350 -348 
Pedido cliente 1 1 ≥ 125 124 
Horas proceso 2 1 3 ≤ 600 597 
 
Datos salida SOLVER 
 
Planificacion de M&D Chemical 
 
 Producto 1 2 
 Cantidad galones 250 100 min 
 Costo 2 3 800 
 
 
 
 
 
 
 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
0
22
44
66
88
110
132
154
176
198
220
242
264
286
308
330
352
374
396
418
440
X2
X1
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0
: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0
Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0
Optimal Decisions(X1,X2): (250.0, 100.0)
: 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0
: 2.0X1 + 1.0X2 <= 600.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 33 
Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Galones 
producidos 1 1 350 ≥ 3508,11E-10 
Pedido cliente 1 250 ≥ 125 -125 
Horas proceso 2 1 600 ≤ 600 -2,9E-10 
 
16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambos 
productos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base e 
una análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para el 
mes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durante 
las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto 
1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administración 
que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario 
existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción de 
ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de 
80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materia 
prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perder 
dentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de la 
administración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos 
semanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima 
perecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por 
galón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos de 
producción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción de 
costo mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima 
perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo 
menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1 
X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2 
 
 Función Objetivo 
Zmin = X1 + X2 
 
 Restricciones 
X1 ≥ 30 producción mínima de producto 1 
X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2 
X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
 
16 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 270. Problema 38. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 34 
 
Solucion GLP 
 
 
17. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una 
utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por 
cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de 
mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta 
y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de 
mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza 
de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de 
relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 
50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales 
y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? 
a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? 
b. Escriba este programa lineal en su forma estándar. 
c. Encuentre la solución óptima. 
d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y 
de excedente? 
e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 
17 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 270. Problema 39. 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
X2
X1
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0
: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0
Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0
Optimal Decisions(X1,X2): (40.0, 20.0)
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0
: 1.0X1 + 2.0X2 <= 80.0
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 35 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de Pizzas Normales 
X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 1X1 + 1.5X2 
 
 Restricciones 
X1 + X2 ≤ 150 pasta de harina 
0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno 
X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales 
X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
Solución GLP 
 
Datos de entrada SOLVER 
 
 
 
 
 
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA 
 
 Pizzas Normal Lujo 
 Cantidad 1 1 max 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
136
144
152
160
X2
X1
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00
: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00
Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00
Optimal Decisions(X1,X2): (100.00, 50.00)
: 1.00X1 + 1.00X2 <= 150.00
: 0.25X1 + 0.50X2 <= 50.00
: 1.00X1 + 0.00X2 >= 50.00
: 0.00X1 + 1.00X2 >= 25.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 36 
Utilidad 1 1,5 2,5 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Pasta harina 1 1 2 ≤ 150 148 
Relleno 0,25 0,5 0,75 ≤ 50 49,25 
Pizzas Normales 1 1 ≥ 50 -49 
Pizzas Lujo 1 1 ≥ 25 -24 
 
Datos de salida SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA 
 
 Pizzas Normal Lujo 
 Cantidad 100 50 max 
 Utilidad 1 1,5 175 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Pasta harina 1 1 150 ≤ 150 -3,4E-10 
Relleno 0,25 0,5 50 ≤ 50 -6E-11 
Pizzas Normales 1 100 ≥ 50 50 
Pizzas Lujo 1 50 ≥ 25 25 
 
18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo de 
utilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña de 
mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cinta 
que se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas 
EML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatro 
ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados 
objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los 
individuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón 
para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana. 
Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es 
decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el 
recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta 
para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente 
nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba 
la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los 
estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% 
para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. 
El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es 
de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4 
dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La 
administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a 
un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos. 
Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del 
Investigación Operativa IProgramación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 37 
nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientes 
nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de 
mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000 
dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientes 
para maximizar las ventas totales?18 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales 
X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2 
 
 Restricciones 
X1 ≥ 30.000 clientes actuales 
X2 ≥ 10.000 clientes nuevos 
0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción 
5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto 
 
 No negatividad 
Xi ≥ 0; i=1,2 
Solución GLP 
 
18 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 274. Problema 61. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 38 
 
Datos de entrada SOLVER 
PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD. 
 
 
Promociones 
Clientes 
Actuales 
Clientes 
Nuevos 
 Cantidad en 
miles 1 1 max 
 Ventas 0,6 0,8 1,4 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Clientes actuales 1 1 ≥ 30 29 
Clientes nuevos 1 1 ≥ 10 9 
Relacion clientes 0,25 -0,4 -0,15 ≥ 0 -0,15 
Presupuesto 5 4 9 ≤ 1200 -1191 
 
Datos salida SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD. 
 
 
Promociones 
Clientes 
Actuales 
Clientes 
Nuevos 
 Cantidad en 
miles 160 100 max 
 Ventas 0,6 0,8 176 
 
 
0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
0
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
143
156
169
182
195
208
221
234
247
260
273
X2
X1
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00
: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00
: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00
Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00
Optimal Decisions(X1,X2): (160.00, 100.00)
: 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00
: 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00
: 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00
: 5.00X1 + 4.00X2 <= 1200.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 39 
Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Clientes actuales 1 160 ≥ 30 -130 
Clientes nuevos 1 100 ≥ 10 -90 
Relacion clientes 0,25 -0,4 -1,1E-11 ≥ 0 -1,1E-11 
Presupuesto 5 4 1200 ≤ 1200 2,78E-09 
 
 
19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar y 
extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a 
uso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de la 
empresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación y 
cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período de 
producción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cada 
raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada 
raqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la 
utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cada 
raqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por 
semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la 
producción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetas 
de cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de 
maximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza 
única de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda 
producir.19 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar 
X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 10X1 + 15X2 
 
 Restricciones 
0.125X1 + 0.4X2 ≤ 80 kilos de aleación 
10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción 
X1 ≥ 0.20(X1 + X2) 
 
 No negatividad 
Xi ≥0; i=1,2 
Solución GLP 
 
19 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 274. Problema 62. 
 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 40 
 
Datos entrada SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs 
 
 Raquetas Estandar Extra G 
 Cantidad 1 1 max 
 Contrib. Utilidad 10 15 25 
 
 
Restricciones Utilizado 
 
Límite 
No 
Utiliz 
Kilos aleación 0,125 0,4 0,525 ≤ 80 79,475 
Tiempo prod. min 10 12 22 ≤ 2400 2378 
20% prod estand 0,8 -0,2 0,6 ≥ 0 0,6 
 
Datos salida SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs 
 
 Raquetas Estandar Extra G 
 Cantidad 41,37931 165,5172 max 
 Contrib. Utilidad 10 15 2896,552 
 
 Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Kilos aleación 0,125 0,4 71,37931 ≤ 80 8,62069 
Tiempo prod. min 10 12 2400 ≤ 2400 3,03E-10 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
X2
X1
: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000
: 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000
: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000
Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551
Optimal Decisions(X1,X2): (41.379, 165.517)
: 0.125X1 + 0.400X2 <= 80.000
: 10.000X1 + 12.000X2 <= 2400.000
: 0.800X1 - 0.200X2 >= 0.000
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 41 
20% prod estand 0,8 -0,2 9,03E-11 ≥ 0 9,03E-11 
 
20. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le 
ayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio por 
contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de 
dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A fin 
de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800 
dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempo 
de técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero para 
clientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque en 
muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables. 
Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnico 
utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del 
tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de 
ingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el 
tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el 
número total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Los 
técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente 
normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo. 
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar el 
tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos. 
b. Haga una gráfica de la región factible 
c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los 
valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible.d. Encuentre la solución óptima20 
 
REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para los 
Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normales 
X2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 60X1/50+ 60X2/60 número de clientes 
 
 Restricciones 
X1 + X2 ≤ 80 horas disponibles de técnico 
X2 ≥ 0.6X1 relación de tiempo de técnico 
25X1 + 8X2 ≥ 800 ingresos en dólares 
 
 No negatividad 
Xi ≥ 0; i=1,2 
 
20 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 274. Problema 63. 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 42 
 
Solución GLP 
 
Entrada de datos SOLVER 
PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service 
 
 
Horas de trabajo 
Clientes 
normales 
Clientes 
nuevos 
 Cantidad horas 1 1 max 
 Número clientes 1.2 1 2.2 
 
 Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Horas 
disponibles 1 1 2 ≤ 80 78 
Relación tiempo -0.6 1 0.4 ≥ 0 -0.4 
Ingresos 25 8 33 ≥ 800 -767 
 
Datos de salida SOLVER 
 
PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service 
 
 
Horas de trabajo 
Clientes 
normales 
Clientes 
nuevos 
 Cantidad horas 50 30 max 
 Número clientes 1.2 1 90 
 
 
0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
0
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
143
156
169
182
195
208
221
234
247
260
273
X2
X1
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00
: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00
: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00
Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00
Optimal Decisions(X1,X2): (50.00, 30.00)
: 1.00X1 + 1.00X2 <= 80.00
: -0.60X1 + 1.00X2 >= 0.00
: 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 43 
Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Horas 
disponibles 1 1 80 ≤ 80 -1.8E-10 
Relación tiempo -0.6 1 -2.2E-11 ≥ 0 2.18E-11 
Ingresos 25 8 1490 ≥ 800 690 
 
21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plástico 
que se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene un 
importante contrato con una empresa de computadoras que implica la 
producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa. 
Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección. 
La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora 
por hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas 
máquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas de 
impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza 
50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que 
produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha 
dicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo, 
la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para la 
mayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante este 
tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. 
Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponible 
durante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, en 
razón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, la 
administración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de 
estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. El 
proveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le ha 
informado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras de 
la materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de la 
materia prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima, 
Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200 
son de 50 y 75 dólares, respectivamente. 
a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para 
maximizar la contribución de la utilidad. 
b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100 
X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200 
 
 Función Objetivo 
Zmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2) 
 
21 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 275. Problema 64. 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 44 
Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2 
Zmax = 70X1 + 345X2 
 
 Restricciones 
X1 ≤ 15 horas máximas de trabajo M100 
X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200 
X1 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M100 
X2 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M200 
40X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles 
 
 No negatividad 
Xi ≥ 0; i=1,2 
 
Solución GLP 
 
Datos entrada SOLVER 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
126
132
X2
X1
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0
: 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0
: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0
Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0
Optimal Decisions(X1,X2): (12.5, 10.0)
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 15.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 10.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 5.0
: 0.0X1 + 2.0X2 >= 5.0
: 40.0X1 + 50.0X2 <= 1000.0
PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service 
 
 
Horas de trabajo 
Maquina 
M100 
Maquina 
M200 
 Cantidad horas 1 1 max 
 Contrib. utilidad 70 345 415 
 
 Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Horas max M100 1 0 1 ≤ 15 14 
Horas max M200 0 1 1 ≤ 10 9 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 45 
 
 
 
 
 Datos de salida SOLVER 
 
 
Horas de trabajo 
Maquina 
M100 
Maquina 
M200 
 Cantidad horas 12.5 10 max 
 Contrib. utilidad 70 345 4325 
 
 Restricciones Utilizado 
 
Límite No Utiliz 
Horas max M100 1 0 12.5 ≤ 15 2.5 
Horas max M200 0 1 10 ≤ 10 -9.9E-13 
Horas min M100 1 0 12.5 ≥ 5 7.5 
Horas min M200 0 1 10 ≥ 5 5 
Libras disponibles 40 50 1000 ≤ 1000 -1.5E-09 
 
 
22. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse en 
comunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene un 
rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales 
y personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son: 
 
1. distribuidores de equipo marino, 
2. distribuidores de equipo de oficina, 
3. cadenas nacionales de tiendas al menudeo, 
4. pedidos por correo. 
 
Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad del 
producto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad 
y el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo con 
los canales de distribución. La tabla siguiente resume la distribución de la 
utilidad,el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales 
correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a 
formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible un 
máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de 
ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al 
menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través de 
este canal de distribución. 
 
Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic 
 
Canal de 
distribución 
 
Utilidades por 
unidad vendida 
 
Costo de publicidad 
por unidad vendida 
Esfuerzo del 
personal de ventas 
por unidad vendida 
Distrib. Marinos $90 $10 2 horas 
Horas min M100 1 0 1 ≥ 5 -4 
Horas min M200 0 1 1 ≥ 5 -4 
Libras disponibles 40 50 90 ≤ 1000 910 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 46 
Distrib. de oficinas $84 $8 3 horas 
Tiendas nacionales $70 $9 3 horas 
Pedidos por correo $60 $15 Ninguna 
 
Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un 
estrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad general 
de la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación con 
cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de 
distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la 
fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.22 
 
 
Solución: 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipo marino 
X2 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipos de oficina 
X3 = Numero de radios asignados a cadenas nacionales de tiendas 
X4 = Numero de radios asignados a pedidos por correo 
 
 Función Objetivo 
Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4 
 
 Restricciones 
10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5.000 por presupuesto 
2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas 
X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales 
 
 No negatividad 
Xi ≥ 0; i=1,4 
 
Datos de entrada SOLVER 
ELECTRONIC COMUNICATION 
 
Radios asignados a 
Distribuidores Cadenas 
nacionales 
de tiendas 
pedidos 
por 
correo 
 Equipo 
Marino 
Equipos de 
Oficina 
 Número de Radios 1 1 1 1 Max 
 Utlidades 90 84 70 60 304 
 
 
RESTRICCIONES 
USO DE 
RECUROS Utilizado 
 
LIMITE No utiliz 
Presupuesto 10 8 9 15 42 ≤ 5000 4958.00 
Esfuerzo laboral 2 3 3 8 ≤ 1800 1792.00 
Contrato cadena nacion 1 1 ≥ 150 -149.00 
 
22 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 298. 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 47 
Datos de salida SOLVER 
ELECTRONIC COMUNICATION 
 
Radios asignados a 
Distribuidores Cadenas 
nacionales 
de tiendas 
pedidos 
por 
correo 
 Equipo 
Marino 
Equipos 
de Oficina 
 Número de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max 
 Utlidades 90 84 70 60 48664.29 
 
 
RESTRICCIONES 
USO DE 
RECUROS Utilizado 
 
LIMITE No utiliz 
Presupuesto 10 8 9 15 5000 ≤ 5000 0.00 
Esfuerzo laboral 2 3 3 1800 ≤ 1800 0.00 
Contrato cadena 
nacion 1 150 ≥ 150 0.00 
 
23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, 
bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por 
200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevas 
oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está 
considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los 
que siguen: 
 
 Acción 
Datos financieros A B C D 
Precio por acción ($) 100 50 80 40 
Tasa anual de rendimiento 0.12 0.08 0.06 0.10 
Medida de riego por dólar 0.10 0.07 0.05 0.08 
 
La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en 
función de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores 
más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas 
por el principal asesor financiero de la empresa. 
 
La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción 
para las inversiones: 
1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9% 
2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversión 
total en dólares. 
 
a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que 
minimice el riesgo. 
b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento 
sobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones? 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 48 
c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de los 
incisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en el 
inciso (a)23 
 
REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los 
Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. 
 
Solución a): 
 
Formulación del modelo: 
 Definición de variables 
X1 = Cantidad de acciones asignados a opción A 
X2 = Cantidad de acciones asignados a opción B 
X3 = Cantidad de acciones asignados a opción C 
X4 = Cantidad de acciones asignados a opción D 
 
 Función Objetivo 
Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4 
 
 Restricciones 
100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 ≤ 200.000 dólares disponibles 
12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento 
100X1 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X1 
50X2 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X2 
80X3 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X3 
40X4 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X4 
 
 No negatividad 
Xi ≥ 0; i=1,4 
Datos entrada SOLVER 
National Insurance Associates 
 
Accionea asignadas a 
Acciones 
 A B C D 
 Cantidad 1 1 1 1 Min 
 Riesgo 10 3.5 4 3.2 20.7 
 
 
RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado 
 
LIMITE No utiliz 
Dólares disponibles 100 50 80 40 270 ≤ 200000 199730.00 
Rendimiento annual 12 4 4.8 4 24.8 ≥ 18000 -17975.20 
Invesión máx en A 100 100 ≤ 100000 99900.00 
Invesión máx en B 50 50 ≤ 100000 99950.00 
Invesión máx en C 80 80 ≤ 100000 99920.00 
Invesión máx en D 40 40 ≤ 100000 99960.00 
 
 
23 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial 
Thomson. Página 316. Problema 16. 
Investigación Operativa I Programación Lineal 
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 49 
Resultados del SOLVER 
National Insurance Associates 
 
Accionea asignadas a 
Acciones 
 A B C D 
 Cantidad 333.3333 0 833.333333 2500 Min 
 Riesgo 10 3.5 4 3.2 14666.67 
 
 
RESTRICCIONES 
USO DE 
RECUROS Utilizado 
 
LIMITE No utiliz 
Dólares disponibles 100 50 80 40 200000 ≤ 200000 0.00 
Rendimiento annual 12 4 4.8 4 18000 ≥ 18000 0.00 
Invesión máx en A 100 33333.33 ≤ 100000 66666.67 
Invesión máx en B 50 0 ≤ 100000 100000.00 
Invesión máx en C 80 66666.67 ≤ 100000 33333.33 
Invesión máx en D 40 100000 ≤ 100000 0.00 
 
24. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el 
trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. 
Esta engrapadora