Metodo por Diferencias Finitas

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CÁLCULO NUMÉRICO – ING EN INFORMÁTICA – LIC EN SISTEMAS – ING EN MINAS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
Universidad Nacional de Jujuy 
POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON 
 
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Polinomio de Interpolación de Newton por Diferencias Divididas Finitas 
Partiendo de la resolución que nos ofrece el método de diferencias divididas para interpolar 
mediante el polinomio de Newton podemos analizar el siguiente caso especial: ¿Qué sucede si 
los diversos puntos que poseemos están ordenados e igualmente espaciados? La respuesta es, 
podemos utilizar el método de las diferencias divididas finitas o más conocida simplemente como 
diferencias finitas. 
Sea que se poseen los siguientes puntos: ((𝑥0, 𝑓(𝑥0); (𝑥1, 𝑓(𝑥1), (𝑥2, 𝑓(𝑥2), … , (𝑥𝑛, 𝑓(𝑥𝑛)) están 
igualmente espaciados en 𝑥, es decir, existe ℎ > 0 tal que 
ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 , ∀ 𝑖 = 0,1,2,3,4, … , 𝑛 − 1 
Si además se cumple que 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 
Entonces 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 𝑥0 + ℎ + ℎ = 𝑥0 + 2ℎ 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ = 𝑥0 + 2ℎ + ℎ = 𝑥0 + 3ℎ 
… 
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 (1) 
 
Con estas informaciones cada una de las diferencias divididas puede volver a expresarse de la 
siguiente manera: 
Orden Diferencia Dividida Diferencia Finita 
0 𝑓[𝑥𝑖] = 𝑓(𝑥𝑖) ∆
0𝑓(𝑥𝑖) = ∆
0𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑓𝑖 
1 Si para la siguiente expresión 
𝑓[𝑥𝑠 , 𝑥𝑡] =
𝑓(𝑥𝑡) − 𝑓(𝑥𝑠)
𝑥𝑡 − 𝑥𝑠
 
s y t son expresados en términos de 𝑖 
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1] =
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
 
∆ 𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
=
∆ 𝑓𝑖
ℎ
=
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
= 
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖
ℎ
 
2 
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖+2] =
𝑓[𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖+2] − 𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1]
𝑥𝑖+2 − 𝑥𝑖
 
 
∆2𝑓(𝑥𝑖)
2ℎ2
=
∆2𝑓𝑖
2ℎ2
=
𝑓[𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖+2] − 𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1]
2ℎ2
 
n 𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖+2, … , 𝑥𝑛] 
 
∆𝑛𝑓(𝑥𝑖)
𝑛! ℎ𝑛
=
∆𝑛𝑓𝑖
𝑛! ℎ𝑛
 
Con estas relaciones podemos volver a expresar de otra forma el polinomio de interpolación de 
Newton por diferencias divididas 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
+ 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) + ⋯
+ 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
De la siguiente manera 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)
ℎ
∆𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
2! ℎ2
∆2𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
3! ℎ3
∆3𝑓(𝑥0)
+ ⋯ +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
𝑛! ℎ𝑛
∆𝑛𝑓(𝑥0) 
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Si además realizamos definimos que: 
𝑠 =
𝑥 − 𝑥0
ℎ
 
Entonces usando (1) 
𝑥 − 𝑥𝑖
ℎ
=
𝑥 − (𝑥0 + 𝑖ℎ)
ℎ
=
𝑥 − 𝑥0 − 𝑖ℎ
ℎ
=
𝑥 − 𝑥0
ℎ
−
𝑖ℎ
ℎ
= 𝑠 − 𝑖 
y sustituyendo en el polinomio obtendremos 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑠 ∆𝑓(𝑥0) +
𝑠(𝑠 − 1)
2!
∆2𝑓(𝑥0) +
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
3!
∆3𝑓(𝑥0) + ⋯
+
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 3) … (𝑠 − 𝑛 + 1)
𝑛!
∆𝑛𝑓(𝑥0) 
El cual se denomina Polinomio de Interpolación de Newton por Diferencias Finitas Progresivas 
(o Polinomio de Interpolación de Newton por Diferencias Divididas Finitas Progresivas). 
Muchos autores expresan el anterior polinomio de la siguiente manera 
𝑃𝑛(𝑥) = ∑
𝑠(𝑠 − 1) … (𝑠 − 𝑘 + 1)
𝑘!
𝑛
𝑘=0
∆𝑘𝑓(𝑥0) 
Otros autores también lo expresan considerando que 
𝑓(𝑥0) = ∆
0𝑓(𝑥0) 
𝑠 = (
𝑠
1
) 
𝑠(𝑠 − 1)
2!
= (
𝑠
2
) 
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
3!
= (
𝑠
3
) 
… 
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 3) … (𝑠 − 𝑛 + 1)
𝑛!
= (
𝑠
𝑛
) 
Por lo cual 
𝑃𝑛(𝑥) = ∑ (
𝑠
𝑘
)
𝑛
𝑘=0
∆𝑘𝑓(𝑥0) 
La Tabla de Diferencias Finitas nos permitirá obtener los coeficientes 
𝑥𝑖 ∆
0𝑓(𝑥𝑖) ∆ 𝑓(𝑥𝑖) ∆
2𝑓(𝑥𝑖) … ∆
𝑛𝑓(𝑥𝑖) 
𝑥0 𝑓(𝑥0) ∆𝑓(𝑥0) ∆
2𝑓(𝑥0) … ∆
𝑛𝑓(𝑥0) 
𝑥1 𝑓(𝑥1) ∆𝑓(𝑥1) ∆
2𝑓(𝑥1) … 
𝑥2 𝑓(𝑥2) ∆𝑓(𝑥2) ∆
2𝑓(𝑥2) … 
… … … … 
𝑥𝑛−1 𝑓(𝑥𝑛−1) ∆𝑓(𝑥𝑛−1) 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
Donde las diferencias finitas que se utilizarán para el desarrollo del polinomio son las de la 
primera fila. Observe que esta tabla es muy practica (al igual que la de diferencias divididas) 
debido a que permite aprovechar los cálculos de diferencias previas, lo cual permite experimentar 
con el desarrollo de polinomios de diferentes grados de polinomios. 
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Ejemplo práctico 
Suponga que posee los siguientes datos: 
𝑖 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 
0 -2 3 
1 0 -1 
2 2 3 
3 4 5 
 
a) Genere el polinomio de interpolación de Newton por Diferencias Finitas Progresivas que 
pase por todos esos puntos. 
b) Aproxime el valor de la función desconocida para 𝑥 = 1,5 usando el polinomio de 
interpolación. 
Respuesta: 
a) Se genera la tabla de diferencias finitas a partir de su esquema general. Así, el polinomio 
que pasa por todos los puntos de la tabla de datos es: 
𝑥𝑖 ∆
0𝑓(𝑥𝑖) ∆ 𝑓(𝑥𝑖) ∆
2𝑓(𝑥𝑖) ∆
3𝑓(𝑥𝑖) 
𝑥0=-2 3 -1-3=-4 4-(-4) =8 -10 
𝑥1=0 -1 3-(-1) =4 2-4=-2 
𝑥2=2 3 5-3=2 
𝑥3=4 5 
 
Además 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ ∀ 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 por lo cual obtenemos que 
ℎ =
𝑥𝑖 − 𝑥0
𝑖
 
Si por ejemplo tomamos i=3 tenemos 
ℎ =
4 − (−2)
3
= 2 
Por lo tanto, el polinomio interpolador de Newton 
𝑃3(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑠 ∆𝑓(𝑥0) +
𝑠(𝑠 − 1)
2!
∆2𝑓(𝑥0) +
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
3!
∆3𝑓(𝑥0) 
para este ejemplo es: 
𝑃3(𝑥) = 3 + 𝑠 (−4) +
𝑠(𝑠 − 1)
2!
(8) +
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
3!
(−10) 
con 
𝑠 =
𝑥 − 𝑥0
ℎ
=
𝑥 + 2
2
 
b) Para resolver este problema debemos calcular efectivamente el valor de s 
𝑠 =
𝑥 − 𝑥0
ℎ
=
1,5 + 2
2
= 1,75 
Entonces 
𝑃3(1,5) = 3 + 1,75 (−4) +
1,75(1,75 − 1)
2!
(8) +
1,75(1,75 − 1)(1,75 − 2)
3!
(−10) 
𝑃3(1,5) = 3 − 7 +
0,65625
2
(8) +
(−0,1640625)
6
(−10) 
𝑃3(1,5) = 3 − 7 + 5,25 + 0,546875 = 1,796875 
 
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Polinomio de Diferencias Finitas Regresivas 
Sea que se poseen los siguientes puntos: ((𝑥0, 𝑓(𝑥0); (𝑥1, 𝑓(𝑥1), (𝑥2, 𝑓(𝑥2), … , (𝑥𝑛, 𝑓(𝑥𝑛)) están 
igualmente espaciados en 𝑥, es decir, existe ℎ > 0 tal que 
ℎ = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, ∀ 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛 
Si además se cumple que 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 
Entonces 
𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 − ℎ 
𝑥𝑛−2 = 𝑥𝑛−1 − ℎ = 𝑥𝑛 − ℎ − ℎ = 𝑥𝑛 − 2ℎ 
𝑥𝑛−3 = 𝑥𝑛−2 − ℎ = 𝑥𝑛 − 2ℎ + ℎ = 𝑥𝑛 − 3ℎ 
… 
𝑥𝑛−𝑖 = 𝑥𝑛 − 𝑖ℎ, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2) 
 
Así, encontramos las siguientes relaciones 
Orden Diferencia Dividida Diferencia Finita 
0 𝑓[𝑥𝑖] = 𝑓(𝑥𝑖) ∇
0𝑓(𝑥𝑖) = ∇
0𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑓𝑖 
1 Si para la siguiente expresión 
𝑓[𝑥𝑠 , 𝑥𝑡] =
𝑓(𝑥𝑡) − 𝑓(𝑥𝑠)
𝑥𝑡 − 𝑥𝑠
 
s y t son expresados en términos de 𝑖 
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1] =
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
 
 
∇ 𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
=
∇ 𝑓𝑖
ℎ
=
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
ℎ
= 
𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1
ℎ
 
2 
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖−2] =
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1] − 𝑓[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖−2]
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−2
 
 
∇2𝑓(𝑥𝑖)
2ℎ2
=
∇2𝑓𝑖
2ℎ2
=
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1] − 𝑓[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖−2]
2ℎ2
 
N 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, … , 𝑥0] 
 
∇𝑛𝑓(𝑥𝑖)
𝑛! ℎ𝑛
=
∇𝑛𝑓𝑖
𝑛! ℎ𝑛
 
 
De esta manera el polinomio de Newton queda representado de la siguiente manera 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥𝑛] + 𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1](𝑥 − 𝑥𝑛) + 𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2](𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)
+ 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−3](𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛−2) + ⋯
+ 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, … , 𝑥0](𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛−2) … (𝑥 − 𝑥1) 
Entonces 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥𝑛)
ℎ
∇𝑓(𝑥𝑛) +
(𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)
2! ℎ2
∇2𝑓(𝑥𝑛)
+
(𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛−2)
3! ℎ3
∇3𝑓(𝑥𝑛) + ⋯
+
(𝑥 − 𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛−2) … (𝑥 − 𝑥1)
𝑛! ℎ𝑛
∇𝑛𝑓(𝑥𝑛)Si además realizamos definimos que: 
𝑡 =
𝑥 − 𝑥𝑛
ℎ
 
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Entonces usando (2) 
𝑥 − 𝑥𝑛−1
ℎ
=
𝑥 − (𝑥𝑛 − 𝑖ℎ)
ℎ
=
𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑖ℎ
ℎ
=
𝑥 − 𝑥𝑛
ℎ
+
𝑖ℎ
ℎ
= 𝑡 + 𝑖 
y sustituyendo en el polinomio obtendremos 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑡 ∇𝑓(𝑥𝑛) +
𝑡(𝑡 + 1)
2!
∇2𝑓(𝑥𝑛) +
𝑡(𝑡 + 1)(𝑡 + 2)
3!
∇3𝑓(𝑥𝑛) + ⋯
+
𝑡(𝑡 + 1)(𝑡 + 2)(𝑡 + 3) … (𝑡 + 𝑛 − 1)
𝑛!
∆𝑛𝑓(𝑥𝑛) 
El cual se denomina Polinomio de Interpolación de Newton por Diferencias Finitas Regresivas (o 
Polinomio de Interpolación de Newton por Diferencias Divididas Finitas Regresivas). 
La Tabla de Diferencias Finitas nos permitirá obtener los coeficientes 
𝑥𝑖 ∆
0𝑓(𝑥𝑖) ∆ 𝑓(𝑥𝑖) ∆
2𝑓(𝑥𝑖) … ∆
𝑛𝑓(𝑥𝑖) 
𝑥0 𝑓(𝑥0) ∆𝑓(𝑥0) ∆
2𝑓(𝑥0) … ∆
𝑛𝑓(𝑥0) 
𝑥1 𝑓(𝑥1) ∆𝑓(𝑥1) ∆
2𝑓(𝑥1) … 
𝑥2 𝑓(𝑥2) ∆𝑓(𝑥2) ∆
2𝑓(𝑥2) 
… … … … 
𝑥𝑛−1 𝑓(𝑥𝑛−1) ∆𝑓(𝑥𝑛−1) 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
Donde las diferencias finitas que se utilizarán para el desarrollo del polinomio son las de la última 
fila de cada columna. 
Ejemplo práctico 
Obtenga mediante un polinomio interpolador una fórmula que represente la suma de los 5 
primeros números naturales. 
La siguiente fórmula representa la suma de los n primeros números naturales 
∑ 𝑘
𝑛
𝑘=1
=
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
El objetivo es obtenerla mediante un polinomio de interpolación. Lo primero es determinar la 
tabla de valores 
n ∑ 
1 1 
2 1+2=3 
3 1+2+3=6 
4 1+2+3+4=10 
5 1+2+3+4+5=15 
Ahora con esta información generamos la tabla de diferencias finitas 
𝑥𝑖 ∆
0𝑓(𝑥𝑖) ∆ 𝑓(𝑥𝑖) ∆
2𝑓(𝑥𝑖) ∆
3𝑓(𝑥𝑖) ∆
4𝑓(𝑥𝑖) 
𝑥0=1 1 3-1=2 3-2=1 0 0 
𝑥1=2 3 6-3=3 4-3=1 0 
𝑥2=3 6 10-6=4 5-4=1 
𝑥3=4 10 15-10=5 
𝑥4=5 15 
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Al ser los números naturales es obvio que ℎ = 1 y por tanto 
𝑡 =
𝑥 − 5
1
= 𝑥 − 5 
Entonces en el polinomio interpolador reemplazamos 
𝑃4(𝑥) = 𝑓(𝑥4) + 𝑡 ∇𝑓(𝑥4) +
𝑡(𝑡 + 1)
2!
∇2𝑓(𝑥4) +
𝑡(𝑡 + 1)(𝑡 + 2)
3!
∇3𝑓(𝑥4) +
𝑡(𝑡 + 1)(𝑡 + 2)(𝑡 + 3)
4!
∆4𝑓(𝑥4) 
 
𝑃4(𝑥) = 15 + (𝑥 − 5) (5) +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5 + 1)
2!
(1) +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5 + 1)(𝑥 − 5 + 2)
3!
(0)
+
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5 + 1)(𝑥 − 5 + 2)(𝑥 − 5 + 3)
4!
(0) 
𝑃4(𝑥) = 15 + (𝑥 − 5) (5) +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)
2
(1) 
𝑃4(𝑥) = 15 + (𝑥 − 5) (5) +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)
2
(1) 
𝑃4(𝑥) = 15 + 5𝑥 − 25 +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)
2
 
𝑃4(𝑥) = 5𝑥 − 10 +
(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)
2
 
𝑃4(𝑥) =
10𝑥 − 20 + 𝑥2 − 4𝑥 − 5𝑥 + 20
2
 
𝑃4(𝑥) = 
𝑥2 + 𝑥
2
=
𝑥(𝑥 + 1)
2
 
 
Resuelva los siguientes ejercicios. ¡¡¡¡¡Le servirán 
muchísimo para resolver los problemas de los 
prácticos!!!!! 
 
 
Ejercicio 2: Utilice el polinomio de interpolación de Newton por Diferencias Finitas 
tanto de la forma regresiva como por la progresiva para todos los posibles 
polinomios que pueda conformar. 
 
Responda: 
a) Desarrolle la elaboración de scripts o funciones que le permitan armar un 
template que le permita realizar en este orden: 
1) Dibujar únicamente todos los puntos en color rojo 
2) Agregar el polinomio interpolante que pase por todos los puntos 
3) Agregar el punto aproximado en k=1,43 en color verde 
b) ¿Existirá alguna función en Scilab para leer archivos (como para que los 
datos sean leídos desde ese archivo)?