Clase Masa Activa - EII-FAU-UNNE - 2017

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ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 
 
Ejemplo de 
sistemas 
estructurales con 
“CONTINUIDAD 
ESTRUCTURAL” 
 
SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS 
Sistema estructural “TRILÍTICO”: “PIES DE SOPORTE” (columnas, estribos, muros, etc.) y “TRAVESAÑO” 
(elemento horizontal apoyado sobre los soportes) 
Un conjunto de elementos estructurales es susceptible de variaciones de su estado de equilibrio según una 
ACCIÓN EXTERNA, según su CONFORMACIÓN GEOMÉTRICA, según el tipo de VÍNCULOS EN SUS APOYOS y 
según el tipo de ESFUERZOS INTERNOS a que es apto al material adoptado como elemento estructural. 
La COMBINACIÓN ADECUADA de dichos factores o “VARIABLES DE DISEÑO” hacen que un elemento 
estructural sea “OPTIMO” (económico, seguro, resistente, eficiente, etc.), por esto, SE DEBE CONSIDERAR A LA 
ESTRUCTURA COMO UN SISTEMA INTEGRAL QUE INTERACTÚA ENTRE SÍ Y COLABORA EN CONJUNTO EN 
EL EQUILIBRIO DEL OBJETO ARQUITECTÓNICO y NO como un agrupamiento de elementos individuales. 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 
 
 
 
CONTINUIDAD ESTRUCTURAL 
La “continuidad estructural” es una propiedad intrínseca cualitativa de las construcciones con determinados materiales con 
capacidad de transmitir los esfuerzos internos entre los diferentes elementos que la constituyen, por ejemplo, el “Hº Aº” (también 
puede ser materializada con otros materiales, pero el Hº Aº es el mejor ejemplo para su conceptualización). 
La continuidad estructural brinda ventajas en el diseño: 
 
ECONOMÍA, FUNCIONAMIENTO DE CONJUNTO Y RIGIDEZ 
 
La comprensión del fenómeno físico de la “CONTINUIDAD ESTRUCTURAL” se realiza por medio: 
 
Estudio de la “DEFORMADA” de la pieza: “ANÁLISIS CUALITATIVO” 
 
θa ⇒ giro positivo de la sección en “A” 
θb ⇒ giro negativo de la sección en “B” 
La sección “C” permanece vertical (no 
gira), solo se traslada de “C” a “C’”: se 
produce una flecha (f). 
La perpendicular a la sección “C” es 
horizontal y tangente a la 
deformada. 
Las secciones transversales planas en los 
apoyos giran. 
El elemento estructural permanece 
en equilibrio pero “deformado” o 
“con su forma de equilibrio estable”. 
A B
C’
Giro de la sección 
transversal en “A”: θa 
Giro de la sección 
transversal en “B”: θb
Flecha (f)
 
q 
Luz (L)
Tangente de la deformada en 
el apoyo “A” 
Tangente de la deformada en 
el apoyo “B” 
 Tangente de la 
deformada en el 
punto “C’” 
CANÁLISIS DE LA 
DEFORMADA 
A
ab 
B
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 3 
 
 
ANÁLISIS ESTRUCTURAL según 
“deformada” y “esfuerzos internos” 
1º CASO: 
Viga simplemente apoyada con una carga uniformemente 
distribuida. Análisis de los esfuerzos internos: 
 Momento flector: tracción en las fibras inferiores y máximo esfuerzo en 
el centro (L / 2). 
 Esfuerzo de corte: máximos esfuerzos en los apoyos y nulo en el 
centro. 
Propuestas de diseño estructural según los esfuerzos internos: 
1º “A” ⇒ viga de altura y de ancho constante con placa de compresión 
superior (losa que colabora); 
1º “B” ⇒ viga de altura variable (máxima en el tramo interior de máximo 
momento flector) y ancho constante (sin colaboración de la 
losa). 
1º “C” ⇒ viga de altura constante y ancho variable (máximo en los 
apoyos de máximo esfuerzo de corte) con placa de compresión 
superior (losa que colabora). 
Es posible desarrollar propuestas de diseño estructural de un 
elemento SIN REALIZAR OPERACIONES DE CÁLCULO. 
Solo analizando el COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL de la 
pieza, es posible obtener alternativas de diseño válidas de ser 
profundizadas. 
(3,76 M)
M = 
(q * L2) / 8
Momento Flector 
(M)
1º “C”
planta
1º “b”
1º “a”
A B 
C
θa θb
(f)
q
(L) 
C
(L / 4)
(L / 4)RA 
RB
Esfuerzo de 
Corte (Q) 
1º Caso
vista
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 4 
 
 
2º CASO: 
Viga simplemente apoyada con una carga concentrada en un 
extremo del voladizo: 
Análisis de los esfuerzos internos: 
 Momento flector: tracción en las fibras superiores y máximo 
esfuerzo en el apoyo “B”. 
 Esfuerzo de corte: máximo esfuerzo en apoyo “B” y en el voladizo. 
Propuestas de soluciones según los esfuerzos internos a partir del 
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL VÍNCULO. Se procede a 
su eliminación y luego razonar ¿cómo se recompone el equilibrio?: 
⇒ Se elimina el vínculo en “A”, la posición de la pieza se ubica 
según un giro positivo por efecto de la carga “P”. 
⇒ Para evitar el volcamiento se debe materializar la “Ra”. 
Propuestas alternativas de soluciones de diseño estructural: 
2º “A” ⇒ viga de altura y ancho constante con placa de compresión 
inferior (losa que colabora). 
2º “B” ⇒ viga variable (máxima en el apoyo “B”) y ancho constante 
(sin colaboración de la losa). 
Estrecha relación entre: deformada, forma geométrica del 
elemento, esfuerzos internos. 
θA: giro negativo en “A”, 50% menor que el giro positivo en “B”. 
Sección en “C” de “máximo levantamiento”, cercano al apoyo 
“B” con tangente horizontal. 
Momento Flector (M)
M = (p * lv)
2º “B”
2º “A”
A B
C’
θA= 0,50 θB
θB 
fTRAMO
P 
LTRAMO
C
LVOLADIZO
A B 
P 
RA
RA
RB
Comportamiento 
del vínculo 
Esfuerzo de Corte (Q)
2º Caso fVOLADIZO
D 
D’
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 5 
 
 
Variables que intervienen en el GIRO y del CORRIMIENTO de de las secciones: 
En los casos anteriores analizados, tiene incidencia en la deformación del elemento estructural: 
El material constitutivo de la pieza, la luz estructural, la forma de la pieza, el estado de carga, tipo de vínculos. 
Todos estos factores son VARIABLES DE DISEÑO, pues pueden ser modificadas por el diseñador. 
Si se estudia la Magnitud de la Flecha y el Giro de la Sección según el Material empleado: 
Flecha = β * ((α * M * (L)2) / (E * J)) 
E = módulo de elasticidad; 
β = Coeficiente ambiental (clima, edad del Hº y relación Fe’/Fe) 
α = Coeficiente tipo de apoyo y de carga. 
M = Momento flector máximo. 
L = Luz estructural 
J = Momento de inercia. 
La flecha es inversamente proporcional al valor del módulo de elasticidad del material, por esto: cuanto mayor “E” menor “F”. 
Situación similar para el giro de la sección: al aumentar la luz estructural aumenta exponencialmente la flecha: MAYOR ES 
EL GIRO DE LA SECCIÓN. 
Cuando se acciona sobre algunas variables de diseño, por ejemplo: 
• si varía la SECCIÓN DE LA PIEZA: 
_ Reduciendo la ALTURA: LA FLECHA AUMENTA MUCHO MÁS DEL DOBLE (hasta ocho veces). 
_ Reduciendo su ANCHO a la mitad: LA FLECHA AUMENTA EL DOBLE. 
• si varía el ESTADO DE CARGA: 
_ Cambiando una carga uniformemente distribuida por una carga concentrada, LA FLECHA AUMENTA. 
Todas las variables de diseño (luz estructural, material, forma geométrica, dimensiones de la pieza, cargas), deben 
conjugar en un “DISEÑO ESTRUCTURAL INTEGRAL ÓPTIMO”. 
La estructura diseñada debe cumplimentar con las siguientes premisas: Economía (de ejecución, de mantenimiento), 
Resistencia, Durabilidad (tiempo de vida) y Belleza Estética. 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 6 
 
 
3º CASO: 
Viga simplemente apoyada con dos voladizos simétricos 
(LV = 50% LT) y carga uniformemente distribuida. 
Análisis del esfuerzo interno: 
 Momento flector: Para poder realizar el análisis del 
comportamiento estructural se aplicará el axioma “el todo es 
igual a la suma de las partes” (válido para análisis 
estructural): 
La suma de los tramos “a” (voladizo izquierdo), “b” 
(tramo central) y “c” (voladizo derecho) es igual a la viga 
completa de dos voladizos. 
SE PUEDE ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE MANERA 
PARCIAL EN CADA PARTE DEL ELEMENTO 
¿qué valor deberá tener la luz de los voladizos para que el 
Momento Flector en el punto “C” paraque sea igual a “0”? 
∑M = 0 ⇒ -(q * LV2 / 2) + (q * LT2 / 8) = 0 
⇒ LV = √(((q * LT2 / 8) * 2) / q) ⇒ LVOLADIZO = (LTRAMO / 2) 
Mc = 0 ⇒ MB = MA = MÁXIMOS 
Comportamiento: 
θa ⇒ giro negativo en “A”; 
θb ⇒ giro positivo en “B” 
θa = θb; 
Sin giro en “C” (tangente horizontal). 
Momento Flector (M)
MA = 
(q * (lv)2) / 2 
MB = 
(q * (lv)2) / 2
A B
C
θA = θb θb = θA
f
LTRAMO
C
LVOLADIZO = 
50% LTRAMO 
LVOLADIZO = 
50% LTRAMO 
q
BA
A B
LTRAMO
q
MA MB
b
ALVOLADIZO = 
50% LTRAMO 
q MA
a
B LVOLADIZO = 
50% LTRAMO 
MB
c
+
3º Caso
Análisis de la 
deformada 
+
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 7 
 
 
4º CASO: 
Viga simplemente 
apoyada con dos 
voladizos simétricos (LV 
= 25% LT), carga 
uniformemente 
distribuida. 
Análisis de Esfuerzo 
interno: 
 puntos de momento 
nulo: (inflexión) Debido 
a que al disminuir la luz 
del voladizo el Momento 
Flector en el sector 
central del tramo es 
importante. 
⇒ Mayor valor de 
Momento Máximo 
en el tramo que en 
los voladizos. 
Comportamiento: 
θA= Giro positivo en “A”; 
θB= Giro negativo en “B”; ⇒ θA = θB; 
Sin giro en “C” (tangente horizontal). 
A B 
 
LTRAMO 
 
 
LVOLADIZO = 25% 
LTRAMO 
 
 
LVOLADIZO = 25% 
LTRAMO 
q
 
Momento Flector (M) 
MB 
C 
θa = θb 
fT
BA
FV 
PI
FV
PI
MPI = 0 MPI = 0 
MA 
4º Caso 
 
Análisis de la 
deformada 
θa = θb 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 8 
 
 
5º CASO: 
Viga simplemente apoyada con 
dos voladizos simétricos (LV = 
40,8%LT), carga uniformemente 
distribuida 
Análisis de Esfuerzo interno: 
 Dos puntos de momento nulo 
(puntos de inflexión). 
 Al aumentar la luz del voladizo el 
Momento Flector en el tramo es 
menor (MTRAMO = 0,25% MTOTAL) 
que si estuviera el tramo sin 
voladizos (MTOTAL = (q * L2/8)) 
 Aumenta los momentos flectores 
en los apoyos (MAPOYOS = 0,75% 
MTOTAL) 
 mayores valores de Momentos 
Máximos en los apoyos que en el 
tramo. 
Comportamiento: 
θA ⇒ giro nulo en “A” (tangente horizontal); 
θA ⇒ giro nulo en “B” (tangente horizontal); 
Sin giro en “C” (tangente horizontal). 
 
 
La continuidad estructural permite la reducción de los momentos flectores donde sea necesario 
 
Momento Flector (M)
MB = (q * LV2) / 2
C
MPI = 0MPI = 0 
MA = (q * LV2) / 2
A B
LTRAMO
LVOLADIZO = 40.8% 
LTRAMO 
LVOLADIZO = 40,8% 
LTRAMO 
q
 
5º Caso 
fT B
fV PI
θa = 0 θb = 0 
A
PI
MTRAMO = (MO - MB-A)
MO = (q * L2) / 8
Análisis de la 
deformada 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 9 
 
 
6º CASO: 
Viga de dos tramos de igual luces y dos cargas concentradas simétricas. 
θA ⇒ giro positivo en “A”; 
θC ⇒ giro negativo en “C” ⇒ θA = θC; 
⇒ SIN GIRO en “B” (Tangente horizontal) 
⇒ Descenso máximo de las secciones en puntos 
cercanos a las cargas concentradas (0,447 * L) 
Se debe estudiar la “RB” (incógnita cualitativa): 
 La deformada en “A” y en “C, giran las tangentes ⇒ no se verifican 
empotramientos ⇒ no hay momentos flectores en los apoyos extremos. 
 En “B” no gira la tangente de la deformada, permanece horizontal ⇒ hay 
momento flector en el apoyo “B”, 
Consecuencia de la continuidad estructural: 
Aliviana las “RA” y “RC” (apoyos extremos) 
Recarga la “RB” (apoyo central) 
Análisis por tramo (la suma de las partes es igual al todo) para determinar la 
“INCÓGNITA CUALITATIVA” (RB): 
⇒ RA = RC = ((P / 2) - (MB / L)) 
⇒ RBI = RBD = ((P/ 2) + (MB / L)) 
⇒ RB = (RBI + RBD) = 2 * ((P / 2) + (MB / L)) 
⇒ RB = P + (2 * MB / L) 
PROPUESTA 
DE DISEÑO ⇒ 
b0 b1 b0
PIPIVISTA
PLANTA
A Pr
op
(L / 2)
C
Bd
(L / 2)
P
P
A Bi
(L / 2)
P
C
Bd
(L / 2)
P
+MB
-MB (momento 
equilibrante) 
RA
+MB (momento 
equilibrante) 
(MB / L)
(P / 2)
-MB
(P / 2) RC
(MB / L) (MB / L) 
(MB / L)
(P / 
2)
(P / 2)
RBi
RBd
Estado de carga 
por tramo 
Reacciones por 
tramo 
B
A
C
RA
RBi
RBd
RC 
P P 
Esfuerzo de Corte (Q) 
Momento Flector (M) 
MC = 0 
MPI = 0MPI = 0
MA = 0
MB
MTRAMO MTRAMO
B CA
B
θa θb = 0 
A
PI
θc 
C
6º Caso
fT
A BLTRAMO
P P
C LTRAMO
50%LTRAMO 50%LTRAMO
Análisis de la deformada 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 0 
 
 
7º CASO: 
Viga de dos tramos de igual luces y dos cargas concentradas 
diferentes (P1 > P2). 
θA ⇒ giro positivo en “A”; 
θB ⇒ giro negativo en “C”; 
θA > θB ⇒ giro en “B” (tangente inclinada hacia el tramo 1). 
La sección de DESCENSO MÁXIMO se produce en el 1º tramo. 
En secciones “PI”: Momento flector nulo (punto de inflexión). 
Análisis “CUALITATIVO”: 
⇒ Sumatoria Reacciones de apoyo: + (RA + RB + RC) - (P1 +P2) = 0 
⇒ Momento en “B”, pero con “empotramiento imperfecto”: GIRO 
Efecto de la continuidad estructural con empotramiento imperfecto en “B”: 
ALIVIANA: “RA” y “RC”; 
RECARGA: “RB”. 
⇒ RA < RB < P1 ⇒ RB > P2 > RC ⇒ RA > RC 
Reacciones de Apoyo: 
 ⇒ RA = ((P1 / 2) – (MB / L)) 
 ⇒ RBi = ((P1 / 2) + (MB / L)) 
 ⇒ RBd = ((P1 / 2) + (MB / L) 
 ⇒ RC= ((P2 / 2) - (MB / L)) 
 ⇒ RB= (RBi + RBd) 
 ⇒ RB= (P1 / 2) + (P2 / 2) + (2 * MB / L) 
 
MC = 0 
MPI = 0MPI = 0
MA = 0
MB
MTRAMO 2
B CA 
(P2 * L2 /4)(P1 * L1 /4)
C Bd
(L2 / 2)
P2 
+MB (momento 
equilibrante) -MB
(P2 / 2) RC
(MB / L2) (MB / L2) 
(P2 / 2) RBd
A Bi
(L1 / 2)
+MB-MB (momento 
equilibrante) 
RA 
(MB / L1)
(P1 / 2) 
(MB / L1)
(P1 / 2)RBi
Bd
P1
A Bi
(L1 / 2)
C
(L2 / 2)
P1
P2
Estado de 
carga por 
tramo 
Reacciones por 
tramo 
Momento 
Flector (M)
MTRAMO 1
MTRAMO 1 > MB > MTRAMO 2
A B
LTRAMO 1
P1 P2
C 
LTRAMO 2
50%LTRAMO 50%LTRAMO
7º Caso
BA 
C
RA RB
RC 
P1
P2
Esfuerzo de 
Corte (Q) 
B fT2 
PI
θa θbA
PI
θc
C
fT1
∆f 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 1 
 
7º CASO: como dos vigas “simplemente apoyadas”. 
MT1= (P1 * L1 / 4) 
MT2 = (P2 * L2 /4) 
Si no existiese continuidad estructural, no se presentaría el Momento 
de Apoyo en “B”: las secciones girarían libremente 
θbi > θbd ⇒ P1 > P2 
Las “flechas” (deformaciones) en cada tramo serán mayores 
Es necesaria la presencia del “Momento Flector” 
(empotramiento) en el Apoyo “B”: LOS “GIROS” DE LAS 
SECCIONES SEAN SIMILARES: 
 
La presencia de “MB” provee de continuidad estructural 
 
 
 PROPUESTA DE DISEÑO: una viga de dimensiones constantes, la 
losa colabora como placa. Se ubica en el canto superior de la viga entre 
el apoyo “A” y un poco antes de “PI” del 1º tramo, efectuando luego una 
suave transición a la posición inferior, prolongándose así hasta un poco 
antes del punto “PI” del 2º tramo, en donde hace nuevamente una 
transición hacia el canto superior de la viga, prolongándose en dicha 
posición hasta el apoyo “C”. 
 CONCEPTO DE EMPOTRAMIENTO: en la deformada del 7º CASO, 
en el apoyo “B”, tangente tiene una pendiente de derecha a 
izquierda: gira más la sección en el apoyo “Bi”. Implica que el 1º tramo 
tiene menor grado de empotramiento que lo que necesita; En cambio, el 
2º tramo tiene mayor grado de empotramiento que lo que necesita (gira 
menos la sección en el apoyo “Bd”), esto es así porque: MBi < MBd 
B
Bi
θBi θBd 
∆f 
Bd
θa 
A
fT1
fT2 
θC 
C
A B
LTRAMO 1
P1 P2
C 
LTRAMO 2
50%LTRAMO 50%LTRAMO
7º Caso: simplemente 
d
vista
B1 B2
B
CA
MC = 0 
MPI = 0MPI = 0
MA = 0
MB
MTRAMO 2
B C
A
(P2 * L2 /4)(P1 * L1 /4)
MTRAMO 1 > MB > MTRAMO 2
A B
LTRAMO 1
P1 P2
C 
LTRAMO 2
50%LTRAMO 50%LTRAMO
7º Caso
BA
C
RA RB
RC 
P1
P2
 
B fT2 
PI
θa θbA 
PI
θc
C
fT1 
∆f 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 2 
 
 
8º CASO: 
Viga continua de dos tramos iguales 
con apoyo central y con carga 
uniformemente distribuida. 
Giro positivo en “A” ⇒ θA; 
Giro negativo en “C” ⇒ θC; 
Sin giro en “B” (tangente 
horizontal). 
La tangente gira en “A” y en “C”; 
La tangente no gira en“B” ⇒ hay 
momento de apoyo en “B” 
(continuidad estructural) 
Efectos: 
ALIVIANA: RA y RC 
RECARGA: RB. 
Los valores de las reacciones son: 
⇒ RA = RC = ((q * L / 2) - (MB /L)) 
⇒ RBi = RBd = ((q * L / 2) + (MB / L)) 
⇒ RB = (RBi + RBd) 
⇒ RB = 2* ((q * L / 2) + (MB / L)) 
⇒ RB = (q * L ) + (2 * MB / L) 
 
8ºCaso
A B
LTRAMO
q 
C 
LTRAMO
B
A
C
RA
RB
RC
Esfuerzo de 
Corte (Q) 
Momento 
Flector (M) 
MC = 0MPI = 0MPI = 0MA = 0
MB
MTRAMO MTRAMO
B
CA
(q * L2 / 8)(q * L2 / 8)
B
fT 
PI
θa 
θb = 0 A
PI
θc 
C
Análisis de la deformada
Análisis de 
solicitaciones en 
el tramo izquierdo 
A
Bi
+MB-MB (momento 
equilibrante)
(MB / L) (MB / L)
A Bi
q
(q * L / 2)(q * L / 2)
C 
Bd
(q * L / 2) (q * L / 2)
C 
Bd +MB (momento equilibrante) 
-MB
(MB / L) (MB / L) 
Análisis de 
solicitaciones en el 
tramo derecho
q
Bd
A
Bi
C
Estado de carga 
por tramo 
q
q 
Solicitaciones 
y Esfuerzos 
por tramo 
A
Bi
q
+MB -MB (momento 
equilibrante) 
RA
(MB / L)
(q * L / 2)
(MB / L)
RBi (q * L / 2)
C
Bd +MB (momento equilibrante) 
-MB
(q * L / 2)
RC
(MB / L) (MB / L)
RBd
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 3 
 
 
9º CASO 
Viga continua de 
múltiples tramos 
intermedios, con 
apoyos intermedios, 
voladizos en ambos 
extremos y carga 
uniformemente 
distribuida. 
Obra: 
FADU-UNBA 
(Buenos Aires). 
9º Caso 
Obra: FAU-UBA 
RAi
RAd
RBi 
RBd RCd
RCi
fT1 > fT2
q
L2 L3L1LV A B C
fT1 fT2PI1d
PI1i
PI2i
PI2d PI3i
MT2 
MA
MB 
(q * L12 / 8)
MC
MT1
(q * L22 / 8)
MT1 > MT2 
9º Caso
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 4 
 
q
Esfuerzos internos debido a las 
solicitaciones externas y la 
situación de vínculo 
MB 
M 
M 
M 
M 
Q
Q
Q
Q
C
C
T T
 
Vigas tipo “VIERENDEL”: los esfuerzos internos se canalizan por “determinados sectores” de la viga, de manera 
que todos los esfuerzos internos son absorbidos con una bajo consumo de material, lo que beneficia en los costos finales. 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 5 
 
 
“ANÁLISIS CUANTITATIVO” de la continuidad estructural 
Viga simplemente apoyada solicitada por un 
momento flector en “A” ⇒ ROTACIONES 
en ambos apoyos, valores de giros: 
⇒ “A”: θA = (M * L) / (3 * E * J) 
⇒ “B”: θB = (θA / 2) 
Las rotaciones son: 
 Directamente proporcional al “Momento 
Flector” y a la “Luz estructural”. 
 Inversamente proporcional al “Módulo de 
Elasticidad” del material y al “Momento de 
Inercia” de la forma de la pieza 
Relación “Causa-Efecto” ⇒ Acción y Reacción: 
 La CAUSA de la rotación es el Momento Flector solicitante 
 El EFECTO es el Giro (θA) de la sección en cada apoyo. 
Si se relaciona la “Causa” con el “Efecto”: 
⇒ (M / θA) = (M / (M * L / (3 * E * J))) = ((3 * E * J) / L) ⇒ RIGIDEZ FLEXIONAL (RF) 
 
Si en esta VIGA SIMPLEMENTE APOYADA se trabaja con: un mismo material y se mantiene la sección constante: 
 
Articulada-Articulada ⇒ RF= (3 / L) (kgm / radianes) 
 
A B
Giro “θA” (efecto)
Giro “θB” = (θA / 2) (efecto) 
articulada-articulada ⇒ RF= (3 / L) 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 6 
 
 
En una viga empotrada-articulada solicitada: 
Solicitación: Momento flector en el apoyo “A”, 
Rotación en “A”: Giro de valor “θA” 
Rotación nula en “B”: Sin giro “θB” = 0. 
Se estudia la situación según los diferente ESTADOS DE CARGA 
(la suma de las partes es igual al todo): 
Estado “1”: debido a “M” ⇒ rotación en “A” = θA ⇒ también 
rotación en “B”, con un valor: 
 
θB = (θA / 2) 
 
Estado “2”: se aplica un “Momento Equilibrante” (ME) para 
mantener sin giro la sección en “B” cuyo valor es: 
 
ME = (M / 2) 
 
Debido al “ME” inicial aplicado en “B” aparece otro giro en “A”: 
 
(θB / 2) = (θA / 4) 
 
Es por esto que el giro total en “A” será: 
 
θA-TOTAL= ((θA) – (θA / 4)) = ((3 /4) * θA) 
 
El “EMPOTRAMIENTO” en “B” colabora para que el 
“GIRO” en “A” sea menor. 
La Rigidez Flexional para una viga “empotrada-articulada”: 
 
⇒ RF = (M / (0,75 * θA)) = (4 * M) / ((3 * M * L) / ( 3 * E * J )) = ((4 * E * J) / L) 
 
Para un mismo material y se mantiene la sección constante: 
 
Empotrada-Articulada ⇒ RF = (4 / L) (kgm / radianes) 
 
(“simplemente apoyado” / “empotrada-articulada”) ⇒ RF = (3 / L) / (4 / L) = (3 / 4) = “0,75” 
(“empotrada-empotrada” / “empotrada-empotrada”) ⇒ RF = (4 / L) / (4 / L) = (1 / 1) = “1,00” 
A B 
θA 
M 
(L /3)(L /3)(L /3)
PI
MA MB = (MA / 2) 
“Articulada-Empotrada” 
A B 
θA1 θB1 = (θA / 2)
M1 
Estado 1 
⇓ 
+ 
A B 
θA2 
θB2 = (θA1 / 2)
Estado 2 
(M1 / 2) 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 7 
 
Ejemplos de diferentes 
tipos de Estructuras 
continuas hiperestáticas. 
“MÉTODO DE CROSS” o de las “APROXIMACIONES SUCESIVAS” 
Para la resolución de estructuras hiperestáticas: El cálculo numérico de estas se puede 
efectuar planteando un sistema general de ecuaciones. En “ESTRUCTURAS 
RETICULARES” (esqueleto o trilítico) con nudos rígidos: el método conduce a un elevado 
número de ecuaciones e incógnitas, actualmente con herramientas informáticas. 
En 1930, el profesor HARDY CROSS expuso en su libro “Analysis of 
continuous frames” (Análisis de Marcos Rígidos Continuos) el “MÉTODO DE 
APROXIMACIONES SUCESIVAS”: procedimiento elemental para resolver 
manualmente el problema de las estructuras continuas. 
El cálculo es SENCILLO, sin desarrollo integraciones complejas, ni complicados 
sistemas de ecuaciones complicados 
El mecanismo comprende OPERACIONES MATEMÁTICAS SIMPLES: 
SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES. Además, NO EXIGE 
RECORDAR NADA DE MEMORIA. 
El “Método de Cross” es un “método de aproximaciones sucesivas”, que no significa que sea 
aproximado. El grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. 
El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la 
estructura, dando un sentido físico claro a las operaciones matemáticas que se realizan. 
 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 8 
 
 
Cuantificación de las magnitudes de los esfuerzos (Análisis Cuantitativo): 
“MÉTODO DE CROSS” o de las “APROXIMACIONES SUCESIVAS” 
Los “sistemas estructurales continuos” presentan más vínculos que lo necesario: 
SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para resolverlos. Para encontrar la 
solución de equilibro se debe aplicar el concepto de “RIGIDEZ FLEXIONAL”. 
El MÉTODO DE CROSS es un procedimiento de “APROXIMACIONES SUCESIVAS” que permite determinar los 
“MOMENTOS REALES DE EQUILIBRIO” o “MOMENTOS FINALES” en los apoyos a partir de los “Momentos de 
Empotramientos Perfectos de los elementos individuales” considerados (tramos). 
EJEMPLO: viga continua Hº Aº, tres tramos, dos luces desiguales, carga constante uniformemente distribuida, sección constante: 
1º ANÁLISIS CUALITATIVO: 
 Giros de las tangentes de las secciones de 
la deformada en los apoyos intermedios “B” 
y “C”: no hay empotramiento perfecto 
pero si momentos flectores en los 
apoyos centrales. 
 Giros máximos en las tangentes de las 
secciones de los apoyos extremos: no hay 
empotramientos, ni momentos 
flexores. 
 En todos los tramos se verifican 
descensos de las secciones cercanas al 
50% de la luz de cada tramo. 
q= 720 kg/m 
L1 = 3,00 m L3 = 3,00 mL2 = 4,00 m
A D 
B C
A B C D 
PI
PI
PI
PI
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 1 9 
 
q 
A B
PI 
+ ME- Bi- MEP-Bi 
q
B C
q
C C
+ MEP-Cd- 
PI PI
PI
- ME-Ci 
- MEP-Ci 
+ ME-Cd
+ MEP-Bd
- ME-Bi 
MEq-C = +150 kgm 
 
MDes-C = -150 kgm 
MEq-C = +150 kgm 
 
MDes-C = -150 kgm 
 
2º ANÁLISIS CUANTITATIVO: 
Se analiza soloel apoyo intermedio “B”, por razones de simetría, pero en cada lado del mismo nudo (“B”). 
“Momento de Empotramiento Perfecto” (MEP) = “Momentos Equilibrantes” (ME) 
MBi= + (q * L2 / 8) = (720 kg/m * (3,00 m) 2 ) / 8) = +810 kgm 
MBd = - (q * L2 / 12) = (720 kg/m * (3,00 m) 2 ) / 12) = -960 kgm 
Se verifica un “DESEQUILIBRIO” de los Momentos de Empotramiento Perfecto del nudo “B”, debido a la 
asimetría de luces confluyentes al mismo: 
MDESEQUILIBRIO (MD) = (+ 810 kgm - 960 kgm) = -150 kgm ⇒ MEQUILIBRIO = +150 kgm 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 0 
 
 
Se considera actuando al apoyo “B” como 
“simplemente apoyado”: 
MTRAMO 1 = (a * 150 kgm) 
MTRAMO 2 = (b * 150 kgm) 
“a” y “b”: “Coeficientes de Distribución” 
para obtener el MOMENTO EQUILIBRANTE en “B”: 
Giros ⇒ θBi = θBd ⇒ RF = (M / θ) ⇒ θB = (M / RF) 
Giro en “Bi” (izquierdo): 
θBi = (MT1 * L1) / (3 * E * J) ⇒ θBi = ((a * 150) * 3,00) / (3 * E * J) 
Giro en “Bd” (derecho): 
θBd = (MT2 * L2) / (4 * E * J) ⇒ θBd = ((b * 150) * 4,00) / (4 * E * J) 
(θBi = θBd) ⇒ (((a * 150) * 3,00) / (3 * E *J)) = (((b * 150) * 4,00) / (4 * E * J)) ⇒ 
(θBi = θBd) ⇒ (a / b) = ((3 / 4) * (L2 / L1))) 
1º ecuación: (RF1 / RF2) = (a / b) ⇒ (3/ L1) / (L2 / 4) = (a / b) ⇒ si se despeja “a” 
⇒ a = (b * (RF1 / RF2)) 
2º ecuación: (a * 150) + (b * 150) = 150 ⇒ (a + b) = 1 ⇒ reemplazando “a” ⇒ ((b * (RF1 / RF2) + b) = 1 ⇒ 
 
“a” = “b” = (RF1/ (RF1+RF2)) = “K” 
 
El “COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN” (“K”) representa: la participación del 1º tramo en la 
corrección del momento desequilibrante: directamente proporcional a la Rigidez Flexional del 1º tramo, e 
inversamente proporcional a la suma de las Rigideces de los tramos concurrentes al nudo. 
PI 
θBi = θBd 
+¿? km +¿? km 
θBi = θBd 
q
A Bi
+810 kgm q
CBd
-960 kgm
+
(810 kgm - 960 kgm): -150 kgm 
(MDes. = MEqui.) ⇒ ¿COMO SE 
DISTRIBUYE?, para que los giros 
sean iguales!! 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 1 
 
 
Desarrollo del cálculo del “MÉTODO DE CROSS” 
Cuando se aplica un Momento Flector a un apoyo simple, aparece 
en el extremo opuesto empotrado otro Momento Flector del 
mismo signo, pero de la mitad de su valor, que se designa como 
Momento transmitido. 
Se desequilibra el otro nudo opuesto, por esto, SE DEBE 
REPETIR EL PROCESO DE EQUILIBRIO. 
TODO EL PROCESO SE LIMITA A “EQUILIBRAR” Y 
“TRANSMITIR” SUCESIVAMENTE EL “MOMENTO INICIAL 
DESEQUILIBRANTE” EN EL NUDO HASTA QUE SU VALOR 
FINAL NO SUPERE EL 5% DEL VALOR INICIAL. 
1. Determinación de las “RIGIDECES FLEXIONALES” (RF) de los tramos: 
Tramo 1 ⇒ RF1 = (0,75 / L1) = (0,75 / 3,00 mts) = 0,25 (articulado-empotrado); 
Tramo 2 ⇒ RF2 = (1,00 / L2) = (1,00 / 4,00 mts) = 0,25 (empotrado-empotrado); 
Tramo 3 ⇒ RF3 = (0,75 / L3) = (0,75 / 3,00 mts) = 0,25 (articulado-empotrado); 
2. Determinación de los “COEFICIENTES DE DISTRIBUCIÓN” (K): 
K = (RFn / ΣRFtramos) 
K1 = K3 = (0,25 / (0,25 + 0,25)) = 0,50; 
K2 = (0,25 / (0,25+0,25)) = 0,50 
3. Verificación: 
(K1 + K2) = (0,50+0,50) = 1,00 ⇒ 100% ⇒ B. C.; (K2 + K3) = (0,50 + 0,50) = 1,00 ⇒ 100% ⇒ B.C. 
+75 km (-75 /2) = 
-37,5 km 
B CPI
PI 
+75 km 
(+75 /2) = 
+37,5 km 
B C
Momento transmitido 
 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 2 
 
4. Planilla para la resolución del Método de CROSS: 
 
 
 
“RIGIDEZ FLEXIONAL”: RF (0,75 / 3,00 mts) = 0,25 (1 / 4,00 mts) = 0,25 (0,75 / 3,00 mts) = 0,25 
“SUMATORIA RIGIDECES” QUE 
CONFLUYEN SOBRE EL NUDO: ΣRF (0,25 + 0,25) = 0,50 (0,25 + 0,25) = 0,50 
KN = (RFn / ΣRFtramos) (0,25 / (0,25 + 0,25)) (0,25 / (0,25 + 0,25)) 
“COEFICIENTE DISTRIBUCIÓN” DE 
TRAMOS EN CADA NUDO: KN 0,50 0,50 0,50 0,50 
+810,00 -960,00 +960,00 -810,00 “MOMENTO EMPOTRAMIENTO 
PERFECTO”: MEP (kgm) 
“MOMENTO DESEQUILIBRANTE” 
0,00 
 
MDes.: -150,00 
 
MDes.: +150,00 
 
0,00 
EQUILIBRIO Y DISTRIBUCIÓN +75,00 +75,00 -75,00 -75,00 
 
TRANSMISIÓN (50%) 0,00 -37,50 +37,50 0,00 
EQUILIBRIO Y DISTRIBUCIÓN +18,80 +18,80 -18,80 -18,80 
 
TRANSMISIÓN (50%) 0,00 -9,40 +9,40 0,00 
EQUILIBRIO Y DISTRIBUCIÓN (3,11%) +4,70 +4,70 (3,11%) -4,70 -4,70 (3,11%) 
SUMATORIA DE MOMENTOS 
EQUILIBRADOS ΣME ΣME ΣME ΣME ΣME ΣME 
MOMENTO FINAL DE EQUILIBRIO 0,00 +908,50 -908,40 +908,40 -908,50 0,00 
 
A B C D 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 3 
 
 
Conclusiones de la planilla: 
1º Cuando se equilibra provisoriamente un nudo, se traza una raya 
corta, como regla mnemotécnica que hace recordar que efectivamente, 
dicho nudo está en equilibrio. 
2º Las flechas indican las transmisiones de un apoyo al extremo 
opuesto, y que para el caso que este sea articulado, no transmite 
momento alguno, pues el apoyo no lo permite. 
3º El proceso iterativo de distribuciones y transmisiones alternadas 
se repite hasta que el desequilibrio sea pequeño, lo que se 
reconoce cuando el desequilibrio de la nueva etapa es inferior al 
5% del desequilibrio inicial. 
4º La convención de signos, corresponden a los momentos que obran por 
fuera del tramo considerado. 
5º El Momento de apoyo final será la sumatoria de todas las sucesivas 
distribuciones y transmisiones, y como prueba que el proceso a sido 
correcto, la suma de los Momentos que obran a la izquierda y 
derecha de cada apoyo, debe ser nula, como evidencia que sea ha 
logrado el equilibrio y se ha respetado la continuidad. 
6º En los casos de simetría, como el analizado, es suficiente resolver 
la mitad de la estructura, con la sola condición de recordar que se 
deben anotar las transmisiones, de la mitad suprimida. 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 4 
 
 
5. CÁLCULO DE LAS SOLICITACIONES REALES 
Análisis de los momentos flexores actuantes en cada nudo. 
 
º
RAV = (q * L1 / 2) 
RAV = +1.080,00 
+908,50 
Reacciones debido a “q” 
(vertical) 
Reacciones debido al 
“MOMENTO 
EQUILIBRANTE” en 
los nudos 
L1 = 3,00 m 
Bi A 
q = 720 kg/m 
+908,50
Tramo 1 = 3 
⇓ 
Bi A 
q = 720 kg/m 
 RBiV = (q * L1 / 2) 
 RBiV = +1.080,00 + 
+908,50Bi A 
RAM = (908,5 / 3,00) 
RAM = -302,8 
RBiM = (908,5 / 3,00) 
RBiM = +302,8
L2 = 4,00 m
Ci
q = 720 kg/m
-908,50 
Tramo 2
CiBd
q = 720 kg/m
CiBd
+908,50-908,50
RBd = (q * L2 / 2) 
RBd = +1.440,00 RCi = (q * L2 / 2) 
RCi = +1.440,00 
RBd = RCi = (-MBd + Mci) = 0,00
 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 5 
 
Cuando el “esfuerzo de corte” es “NULO” en el tramo, el “Momento flector” es “MÁXIMO” ⇒ se debe calcular 
la distancia “X”: (RA- (q * x)) = 0 ⇒ X1 = X2 = (RA / q) ⇒ X2 = (L2 / 2) (por simetría) 
PASO CALCULO DE LAS SOLICITACIONES EN CADA LADO DE LOS NUDOS 
1º Tramo: 1º 2º 3º 
2º Apoyo: A BIZQUIERDA BDERECHA CIZQUIERDA CDERECHA D 
3º RVERTICAL (q * LTRAMO / 2) +1.080,00 +1.080,00 +1.440,00 +1.440,00 +1.080,00 +1.080,00 
4º Reacción MOMENTO EQUILIBRANTE 
(MEQUILIBRANTE / LTRAMO) 
-302,80 +302,80 0,00 0,00 +302,80 -302,80 
5º Reacción TOTAL-VIGA(RT) 
(ESFUERZO DE CORTE) +777,20 +1.382,80 +1.440,00 +1.440,00 +1382,80 +777,20 
6º 
Reacción TOTAL-COLUMNA (RTC) 
+777,20 
(adoptado para 
dimensionar) 
+2.822,80 
(adoptado para dimensionar) 
+2.822,80 
(adoptado para dimensionar) 
+777,20 
(adoptado para 
dimensionar) 
7º Distancia “X” (RT / q) 1,079 1,921 2,00 2,00 1,921 1,079 
8º MMAX.TRAMO (según “X”) 419,40 531,60 (adoptado para dimensionar) 419,40 
9º MMAX.TRAMO 
(según Empotramiento Perfecto) 
456,30 
(adoptado para dimensionar) 480,00 
456,30 
(adoptado para dimensionar) 
10º MomentoMÁX-APOYO (CROSS) 0,00 908,50 (adoptado para dimensionar) 
908,50 
(adoptado para dimensionar) 0,00 
 
 
Momentos en tramos debido a 
“EMPOTRAMIENTO PERFECTO”: 
MTRAMO-EXTREMO= ((q * L2) / 14,22) 
MTRAMO-CENTRAL = ((q * L2) / 24) 
MT1
MB MC
MT2 MT3
X1
 
X2 
X3 
 
X4 
X5
 
X6 
RA
RBi
RBd RCd
 RCi RD 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 6 
 
 
Ejemplo de 
análisis de los 
estados de 
cargas (CUALI-
CUANTITATIVO) 
de un elemento 
estructural 
continuo. 
 ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: SISTEMAS ESTRUCTURALES CONTINUOS. Vigas continuas. Método de Cross 2 7 
 
 
Ejemplo de las 
ENVOLVENTES FINALES 
DE SOLICITACIONES 
según los estados de 
cargas analizados de un 
elemento estructural 
continuo.