20-Oct TP9 PERT-CPM

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CLASE PRACTICA: Investigación Operativa
Trabajo Practico Nº 9 PERT - CPM
Profesores: JTP. Ing. Néstor O. Cruz
AY1. Ing. Mariela E. Rodríguez
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy
Planificación, Programación y Control de Proyectos
❑ Determinación de los Márgenes / Holgura.
❑ Resolución ej. 30 del TP. Pert/CPM. 
❑ Reducción del proyecto.
❑ Diagrama Calendario de fecha temprana.
❑ Grafica de costos acumulados.
❑ Método Pert. Resolución Ej. 31 del TP. Pert/CPM
Determinación de Márgenes
Fti FTi
1
Ftj FTj
2
dij
• Margen Total: MT= FTj – Fti – dij
• Margen Libre: ML= Ftj – Fti – dij
• Margen Indep.: MI = Ftj – FTi – dij
Ejercicio 30:
Para realizar un proyecto necesitamos ejecutar las siguientes actividades: A, B, C, D, E, F y G,
con las siguientes relaciones entre ellas: A precede a C. B precede a D, C y D preceden a E; E y
F preceden a G. Con los costos directos normales y máximos correspondientes a las duraciones
normales y mínimas que se suministran. Los costos indirectos vienen dados en función de su
duración por la expresión: CI = 1250 + 2 * TE.
TE: Tiempo esperado de duración del proyecto.
Actividades normal Minima Normal Maximo
A 15 10 1400 2800
B 25 18 1300 2550
C 12 10 1100 1540
D 30 26 2200 2890
E 15 13 1220 1895
F 23 20 1950 2453
G 10 9 2150 2500
Duraciones Costos Reglas de Precedencia 
A precede a C
B precede a D
C precede a E
D precede a E
E precede a G
F precede a G
Ejemplo – Armado de la Red
Determinación de la Ruta Critica:
A = 15 
0 
1
15 
2
55
4
25
3
70
5
C = 12 
B = 25 
D = 30 
E = 15
80
6
G = 10
F = 23 
8070
55
25
43
43
28
0
47
0
• Margen Total: MT= FTj – Fti – dij
• Margen Libre: ML= Ftj – Fti – dij
• Margen Indep. MI = Ftj – FTi – dij
Reducción del proyecto
A = 15 
0 
1
15 
2
55
4
25
3
70
5
C = 12 
B = 25 
D = 30 
E = 15
80
6
G = 10
F = 23 
8070
55
25
43
43
28
0
47
0
Costo Directo: CD= 11320
Costo Indirecto: CI= 1250 + 2 * TE
CI= 1250+ 2 * 80
CI= 1250 + 160
CI= 1410
Costo Total: CT= CD + CI
CT= 11320 + 1410
CT= 12730
TE= 80
Costo de Reducción: Costo máximo menos costo normal (Costo Max – Costo normal)
Duración: Duración normal menos duración mínima (Normal – Mínima)
Costo de reducción por día o unitario:
Costo unitario= Costo de reducción
Duración
Reducción del proyecto
A = 15 
0 
1
15 
2
51
4
25
3
66
5
C = 12 
B = 25 
D = 30-4=26
E = 15
76
6
G = 10
F = 23 
7666
51
25
43
43
28
0
47
0
1º Reducción: Actividad D → Reduce 4 días
R1= 4 * $173 = $692 
Duraciones Costos Costo de Costo
Actividades Normal Minima Duracion Normal Maximo Reduccion Unitario
A 15 10 5 1400 2800 1400 $ 280 
B 25 18 7 1300 2550 1250 $ 179 
C 12 10 2 1100 1540 440 $ 220 
D 30 26 4 2200 2890 690 $ 173 1º reduccion
E 15 13 2 1220 1895 675 $ 338 
F 23 20 3 1950 2453 503 $ 168 
G 10 9 1 2150 2500 350 $ 350 
CD= 11320 + 692 = 12012
CI= 1250 + 2 * 76 = 1250 + 152 = 1402
CT= CD + CI = 12012 + 1402 = 13414
Reducción del proyecto
A = 15 
0 
1
15 
2
44
4
18
3
59
5
C = 12 
B = 25-7=18
D = 30-4=26
E = 15
69
6
G = 10
F = 23 
6959
44
18
43
43
28
0
47
0
2º Reducción: Actividad B → Reduce 7 días
R2= 7 * $179 = $1253 
Duraciones Costos Costo de Costo
Actividades Normal Minima Duracion Normal Maximo Reduccion Unitario
A 15 10 5 1400 2800 1400 $ 280 
B 25 18 7-7=0 1300 2550 1250 $ 179 2º reduccion
C 12 10 2 1100 1540 440 $ 220 
D 30 26 4-4=0 2200 2890 690 $ 173 1º reduccion
E 15 13 2 1220 1895 675 $ 338 
F 23 20 3 1950 2453 503 $ 168 
G 10 9 1 2150 2500 350 $ 350 
CD= 12012 + 1253 = 13265
CI= 1250 + 2 * 69 = 1250 + 138 = 1388
CT= CD + CI = 13265 + 1388 = 14653
Reducción del proyecto
A = 15 
0 
1
15 
2
44
4
18
3
57
5
C = 12 
B = 25-7=18
D = 30-4=26
E = 15-2=13
67
6
G = 10
F = 23 
6757
44
18
43
32
28
0
47
0
3º Reducción: Actividad E → Reduce 2 días
R3= 2 * $338 = $676
Duraciones Costos Costo de Costo
Actividades Normal Minima Duracion Normal Maximo Reduccion Unitario
A 15 10 5 1400 2800 1400 $ 280 
B 25 18 7-7=0 1300 2550 1250 $ 179 2º reducción
C 12 10 2 1100 1540 440 $ 220 
D 30 26 4-4=0 2200 2890 690 $ 173 1º reduccion
E 15 13 2 1220 1895 675 $ 338 3º reducción
F 23 20 3 1950 2453 503 $ 168 
G 10 9 1 2150 2500 350 $ 350 
CD= 13265 + 676 = 13941
CI= 1250 + 2 * 67 = 1250 + 134 = 1384
CT= CD + CI = 13941 + 1384 = 15325
Reducción del proyecto
A = 15 
0 
1
15 
2
44
4
18
3
57
5
C = 12 
B = 25-7=18
D = 30-4=26
E = 15-2=13
66
6
G = 10-1=9
F = 23 
6657
44
18
43
32
28
0
47
0
4º Reducción: Actividad G → Reduce 1 día
R1= 1 * $350 = $350
CD= 13941 + 350 = 14291
CI= 1250 + 2 * 66 = 1250 + 132 = 1382
CT= CD + CI = 14291 + 1382 = 15673
Duraciones Costos Costo de Costo
Actividades Normal Minima Duracion Normal Maximo Reduccion Unitario
A 15 10 5 1400 2800 1400 $ 280 
B 25 18 0 1300 2550 1250 $ 179 2º reduccion
C 12 10 2 1100 1540 440 $ 220 
D 30 26 0 2200 2890 690 $ 173 1º reduccion
E 15 13 0 1220 1895 675 $ 338 3º reduccion
F 23 20 3 1950 2453 503 $ 168 
G 10 9 1-1=0 2150 2500 350 $ 350 4º reducción
Diagrama Calendario de fecha temprana
A = 15 
0 
1
15 
2
55
4
25
3
70
5
C = 12 
B = 25 
D = 30 
E = 15
80
6
G = 10
8070
55
25
43
43
28
00
F = 23 
0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 A=15 2 C=12 4
1 B=25 3 D=30 4 E=15 5 G=10 6
1 F=23 5
Tabla de fechas tempranas 
0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 A=15 2 C=12 4
1 B=25 3 D=30 4 E=15 5 G=10 6
1 F=23 5
Costo
Actividades Normal Minima Diferencia Normal Costos unit
A 15 10 5 1400 93,33
B 25 18 7 1300 52,00
C 12 10 2 1100 91,67
D 30 26 4 2200 73,33
E 15 13 2 1220 81,33
F 23 20 3 1950 84,78
G 10 9 1 2150 215,00
11320
Duraciones
Tabla de fechas tempranas 
0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 A=15 2 C=12 4
1 B=25 3 D=30 4 E=15 5 G=10 6
1 F=23 5
Preguntas
Método Pert
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
Siendo sus precedencias-.
A PRECEDE A B, E
B PRECEDE A C, F
C PRECEDE A G, J, M
D PRECEDE A H, K
H PRECEDE A I,L
I PRECEDE A J, M
J PRECEDE A N
31) Dado el cuadro siguiente, con las actividades, con sus tiempos optimista, medio y pesimista, así como las reducciones
posibles de cada actividad y los costes unitarios de los acortamientos:
se pide:
a. Construir el Grafo PERT / CPM normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e independiente.
b. Duración media del Proyecto.
c. Variancia.
d. Tiempo mínimo que se necesita para que sea factible el proyecto (probabilidad 25%)
e. Número de días necesarios para tener la certeza estadística de terminarlo (probabilidad 95 %).
f. Qué costaría reducirlo al tiempo mínimo necesario para hacerlo (probabilidad 25 %).
g. Probabilidad que el proyecto se haga en 19 días.
h. Calcular las reducciones posibles y la curva del coste directo del proyecto, indicando su variación día a día desde la duración
normal hasta la conseguida en el menor tiempo y coste posibles
i. Dibujar el grafo reducido
a. Construir el Grafo PERT normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e independiente.
Formula de Tiempo Esperado (Te)
Te = 
𝑻𝒐+𝟒 𝑻𝒎+𝑻𝒑
𝟔
To: Tiempo Optimista
Tm: Tiempo medio
Tp: Tiempo Pesimista
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
te 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 45
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
Para el ejercicio se redondeo los números al entero próximo.
Método PERT
Método PERT
Calculamos Fechas Tempranas (ft) y Tardías (FT)
A = 4 
0 
1
4 
2
14
6
10
3
16
4
D = 8 
C = 6 B = 6 
E = 4 
F = 5
27
9
I = 4
G = 3 
27
18
14
126
0
8
5
8 18
7
18 22
8
22H = 6 J = 4
N = 5
K = 7
L = 4
M = 4
f = 0 
a. Construir el Grafo PERT normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e 
independiente.
Siendo sus precedencias.
A PRECEDE A B, E
B PRECEDE A C, F
C PRECEDE A G, J, M
D PRECEDE A H, K
H PRECEDE A I,L
I PRECEDE A J, M
J PRECEDE A N
Método PERT
a. Construir el Grafo PERT normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e 
independiente.
Las Formulas son las siguientes:
Calculamos Margen Total, Libre e Independiente
• Margen Total: MT= FTj – Fti – dij
• Margen Libre: ML= Ftj – Fti – dij
• Margen Indep. MT= Ftj – FTi – dij
Método PERTMétodo PERT
Calculamos Margen Total, Libre e Independiente
a. Construir el Grafo PERT normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e 
independiente.
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
te 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
HT 2 2 2 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HL 0 0 0 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HI 0 0 0 0 17 10 6 0 0 0 12 9 5 0
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
Método PERTMétodo PERT
Determinar Camino Critico 
a. Construir el Grafo PERT normal determinando su camino critico y las holguras total, libre e 
independiente.
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
HT 2 2 2 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
A = 4 
0 
1
4 
2
14
6
10
3
16
4
D = 8 
C = 6 B = 6 
E = 4 
F = 5
27
9
I = 4
G = 3 
27
18
14
126
0
8
5
8 18
7
18 22
8
22H = 6 J = 4
N = 5
K = 7
L = 4
M = 4
f = 0 
Método PERTMétodo PERT
La duración media del Proyecto es la resultante de los cálculos de fechas realizados:
Duración Media del Proyecto (te) = 27
b. Duración media del Proyecto.
A = 4 
0 
1
4 
2
14
6
10
3
16
4
D = 8 
C = 6 B = 6 
E = 4 
F = 5
27
9
I = 4
G = 3 
27
18
14
126
0
8
5
8 18
7
18 22
8
22H = 6 J = 4
N = 5
K = 7
L = 4
M = 4
f = 0 
Método PERTMétodo PERT
- La formula para obtener la variancia de cada actividad es:
c. Variancia.
𝜎2 = (
𝑡𝑝 − 𝑡𝑜
6
)2
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
te 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
HT 2 2 2 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HL 0 0 0 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HI 0 0 0 0 17 10 6 0 0 0 12 9 5 0
𝝈𝟐 0.44 1 1 0.44 0.44 0.44 0.44 1 0.25 0.11 0.25 0.44 0.44 1
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
- La variancia del proyecto es la 
sumatoria de las varianzas del 
camino crítico:
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜
2 = ෍𝜎2
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜
2 = 2.8
𝜎 = 1.67
- Desviación Estándar
Método PERTMétodo PERT
Z: valor de distribución normal
𝜎: desviación estándar
ti: tiempo a calcular
te: tiempo esperado
d. Tiempo mínimo que se necesita para que sea factible el proyecto (probabilidad 25%)
𝑍 =
𝑡𝑖 − 𝑡𝑒
𝜎
- Para sacar la probabilidad de que el proyecto sea factible trabajaremos con la teoría de distribución 
normal que nos da la siguiente formula:
Z = - 0.67
𝜎 = 1.67
te = 27 
ti = 25.88
Por lo tanto, se puede decir que se necesitan 26 días para que se factible el proyecto, con una 
probabilidad del 25%.
El valor de Z lo encontramos en la tabla de distribución normal
Método PERTMétodo PERT
e. Número de días necesarios para tener la certeza estadística de terminarlo (probabilidad 95 %)
𝑍 =
𝑡𝑖 − 𝑡𝑒
𝜎
ti = 29.75
Por lo tanto, se puede decir que el tiempo necesario para tener la certeza de terminar el proyecto es 
30 días.
1.65 =
𝑡𝑖 − 27
1.67
Método PERT – Reducción del proyecto
f. Qué costaría reducirlo al tiempo mínimo necesario para hacerlo (probabilidad 25 %).
En principio calcularemos el costo total del proyecto. La formula es:
Se debe sumar a todas las
actividades del proyecto.
CT = σ te ∗ CU
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
te 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
HT 2 2 2 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HL 0 0 0 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HI 0 0 0 0 17 10 6 0 0 0 12 9 5 0
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
CT = 176
Método PERT – Reducción del proyecto
f. Qué costaría reducirlo al tiempo mínimo necesario para hacerlo (probabilidad 25 %).
La probabilidad del 25% en que se haga el proyecto es 26 días. (Se calculo en ítem d).
El tiempo esperado que se tiene del proyecto es 27 días, entonces debemos reducir un día para obtener la 
probabilidad de 25 %.
Para reducir el proyecto nos enfocaremos en las actividades críticas. Entre las actividades críticas elegimos la 
de menor costo.
ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N
t0 2 3 3 6 2 3 1 3 3 3 5 2 2 2
tm 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
tp 6 9 9 10 6 7 5 9 6 5 8 6 6 8
te 4 6 6 8 4 5 3 6 4 4 7 4 4 5
HT 2 2 2 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HL 0 0 0 0 19 12 8 0 0 0 12 9 5 0
HI 0 0 0 0 17 10 6 0 0 0 12 9 5 0
Reducción posible 1 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1
Coste unitario 5 1 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 1 5
En la tabla podemos ver que
existen dos actividades con
costos mínimos: D y J.
Ambas actividades tienen
días de reducción posible.
Elegimos D y calculamos las
nuevas fechas.
Método PERT – Reducción del proyecto
f. Qué costaría reducirlo al tiempo mínimo necesario para hacerlo (probabilidad 25 %).
A = 4 
0 
1
4 
2
13
6
10
3
16
4
D = 8 7 
C = 6 B = 6 
E = 4 
F = 5
26
9
I = 4
G = 3 
26
17
13
115
0
7
5
7 17
7
17 21
8
21H = 6 J = 4
N = 5
K = 7
L = 4
M = 4
f = 0 
-Calculamos las nuevas
fechas tempranas y tardías.
-Obtenemos la nueva
duración del proyecto de 26
días.
-Calculamos el nuevo costo
total.
CT =CT + d * CU
Nuevo Costo Total
CT = 176 + 1 * 1 = 177
CT : Costo Total
d: Días de reducción
CU: Costo Unitario
Método PERTMétodo PERT
g. Probabilidad que el proyecto se haga en 19 días
𝑍 =
𝑡𝑖 − 𝑡𝑒
𝜎
Z = -4.79
La probabilidad de que el proyecto se realice en 19 días es nula.
Z =
19 − 27
1.67
Prob = 0
Método PERT – Reducción del proyecto
h. Calcular las reducciones posibles y la curva del coste directo del proyecto, indicando su
variación día a día desde la duración normal hasta la conseguida en el menor tiempo y coste
posibles
A = 4 
0 
1
4 
2
13
6
10
3
16
4
D = 8 7 
C = 6 B = 6 
E = 4 
F = 5
26
9
I = 4
G = 3 
26
17
13
115
0
7
5
7 17
7
17 21
8
21H = 6 J = 4
N = 5
K = 7
L = 4
M = 4
f = 0 
-Calculamos las nuevas
fechas tempranas y tardías.
-Obtenemos la nueva
duración del proyecto de 26
días.
Preguntas