Control en el espacio de estado, 2da Edicion - Sergio Dominguez

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Sergio Domínguez 
Pascual Campoy 
José María Sebastián 
Agustín Jiménez 
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Control en el espacio de estado 
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CONSULTORES EDITORIALES 
Prof Dr PEDRO ALBERTO S PÉREZ 
Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca 
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA 
Prof Dr lA VIER ARACIL SANTONlA 
Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca 
UNIVERSIDAD DE SEVILLA 
Prof Dr SEBASTIÁN DORMIDO BENCOMO 
CatedrátIco de Ingemería de SIstemas y AutomátIca 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 
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Control en el espacio de estado 
Segunda edición 
Sergio Domínguez 
Pascual Campoy 
José María Sebastián 
Agustín Jiménez 
Departamento de Automática, Ingeniería Electrónica e Informática Industrial 
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales 
Universidad Politécnica de Madrid 
PEARSON 
, Prentice 
Hall 
Madrid e México e Santa Fe de Bogotá e Buenos Aires e Caracas e Lima e Montevideo 
San Juan e San José e Santiago e Sao Paulo e White Plains 
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datos de catalogación bibliográfica 
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO 
Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A. 
Pearson Educación S.A., Madrid, 2006 
ISBN 10: 84-8322-297-3 
ISBN 13: 978-84-8322-297-3 
Materia: Ingenieria de Control Automático, 681.5 
Formato: 170 x 240 mm. Páginas: 440 
Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, 
distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización 
los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser 
constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal). 
DERECHOS RE SERVADOS 
© 2006 por PEARSON EDUCACIÓN S.A.. 
Ribera del Loira, 28 
28042 Madrid 
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO 
Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A. 
ISBN 10: 84-8322-297-3 
ISBN 13: 978-84-8322-297-3 
Deposito Legal: M-24794-2006 
PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN S A 
Equipo editorial 
Editor: Miguel Martín-Romo 
Técnico editorial: MaÍta Caicoya 
Equipo de producción: 
Director: 'José A. Ciares 
Técnico: María Alvear 
Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A. 
Impreso por: Rigorma Grafic S.L. 
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN 
Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos 
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Indice de figuras 
Presentación 
Prefacio 
Prólogo 
Prólogo a la 2a edición 
1 Sistemas continuos 
1. Modelo de estado 
1 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1 . 2 . Concepto de estado . . . . . . . . . . . . . . . 
1 . 2 . 1 . Propiedades de las variables de estado 
1 .3 . Ecuaciones del modelo de estado . . . 
1 .3 . 1 . Sistemas dinámicos lineales . . 
1 .3 .2 . Sistemas dinámicos invariantes 
1 .4 . Transformaciones lineales . . . . . . . 
1 . 5 . Representación gráfica de sistemas lineales . 
1 .6 . Función de transferencia y modelo de estado . 
1 . 7. Métodos de obtención del modelo de estado . 
1 .7 . 1 . Variables de estado como magnitudes físicas . 
1 .7 .2 . Variables de estado como salida de los integradores . 
1 .7 .3 . Variables de estado de fase 
1 .7.4. Variables de Jordan . . 
1 .7 .5 . Estructuras compuestas 
1 .8 . Ejemplos adicionales 
1 .9 . Ejercicios resueltos . . . . . . . 
v 
XI 
XIII 
XV 
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VI ÍNDICE GENERAL 
1 . 10 . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. Solución de la ecuación de estado de sistemas lineales 
2 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2 .2 . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición . 
2 .2 . 1 . Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2 .2 .2 . Casos particulares de la matriz de transición 
2.3 . Propiedades de la matriz de transición 
2.4 . Solución de la ecuación completa . . 
2 .5 . Cálculo de la matriz de transición . . 
2 .5 . 1 . Método de Cayley-Hamilton . 
2 .5 .2 . Método de Jordan . . . . . . 
2 .5 .3 . Mediante la transformada inversa de Laplace 
2.6 . Ejemplos adicionales 
2 .7 . Ejercicios resueltos 
3. Controlabilidad 
3 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . 
3 .2 . Definiciones . . . . . . . . . . . . . . 
3.3 . Controlabilidad en sistemas lineales . 
3.3 . 1 . Cálculo de la entrada en sistemas lineales 
3.4. Controlabilidad en sistemas lineales invariantes . 
3.4. 1 . Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base 
3.5 . /:" Interpretación geométrica de la controlabilidad . 
3.6 . Subespacio controlable . . . . . . . . . 
3.6 . 1 . Base del subespacio controlable 
3.6 .2 . Estados alcanzables . . . . . . 
3 .7. Separación del subsistema controlable 
3.8 . Controlabilidad de la salida 
3.9 . Ejemplos adicionales 
3 .10 . Ejercicios resueltos . 
3. 1 1 . Ejercicios propuestos 
4. Observabilidad 
4. 1 . Introducción . 
4 .2 . Definiciones . . . . . . . . . . . . . 
4.3 . Observabilidad en sistemas lineales 
4.3 . 1 . Planteamiento . . . . . . . 
4 .3 .2 . Teorema . . . . . . . . . . . 
4.3 .3 . Determinación del estado inicial en sistemas observables 
4.3 .4 . Estados no-observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4.4 . Sistemas lineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4.4 . 1 . Invarianza de la observabilidad ante cambio de base 
61 
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ÍNDICE GENERAL 
4.5 . /::,. Interpretación geométrica de la observabilidad 
4.6. Subespacio no-observable . . . . . . . . . 
4.6 . 1 . Base del sub espacio no-observable . . . . 
4.7 . Separación del subsistema no-observable . . . . . 
4.8 . Separación de los subsistemas controlable y observable 
4.8 . 1 . Cálculo de la matriz de cambio de base . . . . 
VII 
188 
189 
190 
191 
194 
197 
4.9 . /::,. Reducción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 
4 .9 . 1 . Valores singulares de Hankel y realizaciones equilibradas . 199 
4 .9 .2 . Transformación a la realización internamente equilibrada 201 
4.9 .3 . Reducción del modelo 204 
4 .10 . Ejemplos adicionales 209 
4. 1 1 . Ejercicios resueltos . . . . . . 214 
5. Control por realimentación del estado 231 
5 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . 231 
5.2. Realimentación del estado . . . . . . . 233 
5.3 . Control de sistemas monovariables . . 234 
5.3 . 1 . Diseño del bucle de realimentación 234 
5.3 .2 . Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 238 
5.3 .3 . El problema de la ganancia . . 239 
5.3 .4 . Diseño de servosistemas . . . . . . 243 
5.4. /::,. Control de sistemas multivariables . . . 249 
5.4. 1 . Diseño del bucle de realimentación 249 
5.4 .2 . Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 253 
5 .5 . Ejemplos adicionales 255 
5.6. Ejercicios resueltos . 274 
5 .7. Ejercicios propuestos 284 
6. Observadores del estado 287 
6 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 
6 .2 . Definición de observadores . . . . . . . . . . . . . . 288 
6.3. Comportamiento del conjunto sistema-observador . 291 
6 .3 . 1 . Sin realimentación del estado . . . . . . . . 291 
6.3 .2 . Con realimentación del estado . . . . . . . . 293 
6.4. Cálculo del observador en sistemas monovariables . 295 
6.4. 1 . Cálculo de la matriz de transformación . . . 299 
6.5 . /::,. Cálculo del observador en sistemas multivariables 300 
6 .5 . 1 . Cálculo de la matriz de transformación . 305 
6.6. Observadores de orden reducido . 308 
6.7 . Ejemplos adicionales 312 
6 .8 . Ejercicios resueltos . 325 
6.9. Ejercicios propuestos 338 www.FreeLibros.org
VIII ÍNDICE GENERAL 
JI Sistemas discretos 
7.Modelo Discreto de Estado 
7. 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7.2 . Definición de estado para sistemas discretos 
7.3. Sistemas dinámicos discretos . . . . . . . . 
7.4. Obtención de modelos discretos de estado . 
7.4. 1 . Modelo de estado en variables de fase 
7.4.2 . Modelo de estado en variables de Jordan . 
7.4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . 
7. 5 . Obtención de la representación externa a partir del estado 
7.6. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . 
7.6. 1 . Sistema discreto invariante equivalente . 
7.6.2 . Sistemas variantes . . . . . . . . 
7.6.3. Sistemas híbridos . . . . . . . . . 
7.6.4. Sistemas híbridos realimentados . 
7.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . 
8. Solución de la ecuación discreta de estado 
8 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8 .2 . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición . 
8.3. Propiedades de la matriz de transición 
8.4. Cálculo de la matriz de transición . . . . . . . . . . . . 
8.4. 1 . Método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8 .4 .2 . Método de la matriz fundamental de soluciones 
8.4.3. Método de diagonalización de Jordan 
8.4.4. Método de Cayley-Hamilton . . 
8 .4 .5 . Método de la matriz resolvente 
8.5 . Solución de la ecuación completa 
8.6 . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . 
9. Control discreto por realimentación del estado 
9. 1 . Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.2 . Controlabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 
9.3. Controlabilidad en sistemas discretos lineales invariantes . 
9.4. Controlabilidad de la salida . . . . . . . . . . 
9 .5 . Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.6 . Observabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 
9.7 . Observabilidad en sistemas discretos lineales invariantes 
9.8 . Controlabilidad y observabilidad en sistemas muestreados 
9.9 . Control de sistemas discretos por realimentación del estado 
9 .10 . Sistemas muestreados de control 
9. 1 1 . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
341 
343 
343 
344 
344 
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ÍNDICE GENERAL 
III Apéndices 
A. Valores y vectores propios 
A.l. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
A.2 . Diagonalización de una matriz en cajas de Jordan . 
A.3. Cálculo del vector propio asociado a un valor propio 
Indice de materias 
Bibliografia 
IX 
403 
405 
405 
406 
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í n d ice de figu ras 
1 . 1 . Evolución temporal de las variables de estado . . . . . . . 
1 . 2 . Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. 
1 .3 . Transitividad de estado . . . . . . 
1 .4 . Bloque integrador. . . . . . . . . 
1 . 5 . Multiplicación por una matriz. 
1 .6 . Bloque sumador . . . . . . . . . 
1 .7. Representación gráfica del modelo de estado. 
1 .8 . Representación gráfica vectorial del modelo de estado. 
1 .9 . Sistemas en serie . . . . . . . . . . . . . 
1 . 10 . Sistemas en paralelo . . . . . . . . . . . 
1 . 1 1 . Realimentación constante de la salida. 
1 . 12 . Realimentación del estado . . 
8 
8 
9 
15 
16 
16 
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31 
31 
32 
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3 . 1 . Sistema no controlable. 1 10 
3.2 . Puntos alcanzables desde (0,0) . 1 10 
3 .3 . Transición del estado entre dos puntos, de forma directa (línea continua) 
y con un punto de paso intermedio (línea discontinua) . . . . . . . 1 18 
3.4. Superposición de la evolución libre con el subespacio controlable . 131 
3 .5 . Representación gráfica del subsistema controlable . 133 
4 . 1 . Concepto de observabilidad. . . . . . . . . . . . . . 175 
4.2 . Sistema lineal con el conjunto de entradas de test . 188 
4.3. Separación de la parte no-observable . . . . . . . . . 193 
4.4. Separación simultánea de los subsistemas controlable y observable. 196 
4.5. Separación detallada de los subsistemas controlable y observable. 197 
5. 1 . Sistema con realimentación de estado. . . . . . . . 
5 .2 . Transformación de la matriz de realimentación K. 
5.3 . Adición del parámetro Kü. . . . . . . . . . 
5.4 . Realimentación en sistema de tipo uno. . 
5 .5 . Control proporcional del sistema anterior. 
XI 
233 
240 
241 
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XII ÍNDICE DE FIGURAS 
5.6 . Conversión a sistema de tipo uno . . 246 
6 . 1 . Concepto de observador. . . . . . . 287 
6.2. Sistema con observador y realimentación. 288 
6.3. Esquema del sistema con observador. . . . 292 
6.4. Sistema con observador y realimentación del estado. 293 
6.5 . Esquema des sistema con observador en la forma canónica observable . 297 
6.6. Sistema con observador y matriz de transformación. . . . . . . . . . . 300 
6.7 . Esquema des sistema con observador y realimentación en espacio de estado 
transformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 
6.8 . Sistema con observador de orden reducido. . 310 
7. 1 . Sistema continuo multivariable . . . . . . . . 
7 .2 . Sistema discreto equivalente. . . . . . . . . 
7.3. Sistema con parte discreta y parte continua. . 
7.4. Sistema híbrido realimentado. 
9. 1 . Sistema muestreado . . . . . . 
9 .2 . Sistema discreto con realimentación del estado. 
9.3 . Sistema muestreado con realimentación del estado. 
9.4. Sistema muestreado con tiempo de cálculo nulo. . . 
9 .5 . Sistema muestreado con tiempo de cálculo no nulo. 
9.6 . Sistema con retardo no múltiplo entero del tiempo de muestreo . . 
352 
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395 
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Presen ta ción 
En apenas cincuenta años el Control Automático ha irrumpido como una disciplina 
pujante y de gran interés no sólo científico y tecnológico, sino también económico. Los 
sistemas de control automático, que tienen sus orígenes en la más remota antigüedad, han 
sustentado sus raíces en las matemáticas aplicadas y se están convirtiendo, de manera 
cada vez más creciente, en componentes esenciales y críticos de cualquier sistema dinámi­
co. El Control Automático es una de las pocas disciplinas que trasciende las fronteras de 
los campos tradicionales de la ingeniería (mecánica, eléctrica, química, nuclear, etc . ) . 
El Comité Español de Automática de IFAC (CEA-IFAC) , es una asociación sin ánimo 
de lucro que tiene como objetivo básico servir de foro y ofrecer un marco para el desarrollo 
en nuestro país de la Automática. Es, asimismo, el miembro nacional de la Federación 
Internacional de Control Automático (IFAC) y canaliza las relaciones internacionales de 
nuestros técnicos y científicos con esta prestigiosa asociación. 
Esta asociación está abierta a todas aquellas personas e instituciones interesadas en 
los temas teóricos y prácticos propios de la automatización, el control de procesos y todas 
las nuevas tecnologías que permiten la realización de los modernos sistemas de control 
automático. 
Los fines del CEA-IFAC son, entre otros : 
• promover el estudio, aplicación y mejora de las técnicas de la Automática; 
• promover la colaboración entre socios , entidades, universidades y empresas, y aso­
ciaciones internacionales , en el área de la Automática: 
• organizar y desarrollar cursos , conferencias , congresos, comisiones de trabajo y de 
elaboración de normas ; 
• editar y divulgar publicaciones , informes , normas y monografías en el campo de la 
Automática. 
De acuerdo con estos objetivos y en colaboración con el Grupo Pearson se ha iniciado 
una nueva serie de monografías sobre «Control Automático e Informática Industrial» cuya 
finalidad es doble: de una parte servir como textos de referencia para nuestros estudiantes , 
y, de otra, tratar de llenar un hueco, que creemos que existe, con una colección de libros 
XIII 
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en español dedicados también al profesional que trabaja en estatemática y que necesita 
de un reciclaje de conceptos , técnicas y procedimientos que demandasn las cada vez 
más exigentes especificaciones de la automatización de procesos . La colección de libros 
«Control Automático e Informática Industrial» se plantea, pues, como un vehículo de 
comunicación de doble sentido entre la comunidad académica y el mundo industrial que 
está trabajando en el área del Control Automático. 
Esta colección de libros se ha estructurado en tres direcciones que tratan de abor­
dar los diferentes aspectos que configuran, en un sentido amplio, la automatización de 
procesos . Estas tres series son: 
• Fundamentos 
• Instrumentación y 
• Robótica 
Este primer libro con el que se inicia la colección pertenece a la serie de ÍlFunda­
mentosz y trata sobre «Control en el Espacio de Estado». Está escrito por un grupo 
de profesores, con una amplia experiencia docente, de la Escuela Superior de Ingenieros 
Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid . En los meses sucesivos irán apare­
ciendo nuevos títulos que tratarán de ir perfilando el alcance y el sentido de esta colección, 
que inicia su andadura con el mejor de los deseos de ser útil al lector interesado por este 
apasionante mundo del Control Automático. 
Madrid, octubre de 2001 
Consultores editoriales 
Profesores Pedro Albertos 
Javier Aracil 
Sebastián Dormido 
XIV www.FreeLibros.org
Prefa cio 
A finales del siglo XIX H. Poincaré, con su trabajo pionero sobre los Nuevos Métodos 
de la Mecánica Celeste, intuyó la significación profunda de formular una teoría general 
de los sistemas dinámicos en función de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer 
orden, e introdujo la ahora familiar idea de considerar el conjunto relevante de variables 
del sistema como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional . 
El enfoque de Poincaré al estudio de problemas dinámicos rápidamente se popularizó 
y se vino a conocer como método del espacio de estado. Así, el concepto de estado se 
hace dominante en el estudio de los sistemas dinámicos . Lo que es fundamental es que 
su conducta actual está influenciada por su historia previa y que su comportamiento 
no puede por lo tanto especificarse simplemente como una relación ñinstantáneaZ entre 
conjuntos de variables de entrada y salida. Se necesita un conjunto extra de variables 
cuyo objetivo es tomar en cuenta la historia pasada del sistema; estas variables son las 
variables de estado. Las variables de estado representan pues la mínima cantidad de infor­
mación que nos resume todo el pasado dinámico del sistema y es todo lo que necesitamos 
conocer para poder predecir su evolución futura frente a cualquier señal de entrada que le 
apliquemos. La utilización del tratamiento del espacio de estados condujo rápidamente a 
una compensación más profunda de los problemas científicos y matemáticos del Control 
Automático y se puede considerar que su introducción marca la emergencia de éste como 
una disciplina científicamente madura. 
Hacia mediados de los años 50 los trabajos de Pontryagin y Bellman, entre otros , 
dejaron claro la gran utilidad del concepto de estado en la formulación y solución de 
muchos problemas de decisión y control . 
La importancia creciente de los métodos del espacio de estados lleva a R.E. Kalman 
a investigar la relación entre las representaciones en el espacio de estado (representación 
interna) y la función de transferencia (representación externa) lo que motivó la introduc­
ción de dos conceptos estructurales fundamentales para la compensación de los sistemas 
dinámicos: controlabilidad y observabilidad. La incorporación de todos estos métodos del 
dominio temporal tuvo un efecto profundo sobre el problema del control y dio lugar a 
contribuciones importantes para resolver los problemas de guiado del programa espacial 
que se había iniciado a comienzo de los años 60. 
xv 
www.FreeLibros.org
A partir de estas consideraciones el estudio de los sistemas lineales invariantes en el 
tiempo, tanto continuos como discretos , es sin lugar a dudas uno de los recursos que 
cualquier especialista en Control Automático debe estudiar y por supuesto conocer. Este 
libro con el que se inicia la serie «Fundamentos» de la colección «Control Automático e 
Informática Industrial» tendrá, estamos seguros, una muy buena acogida entre la amplia 
comunidad de personas que se dedica de una u otra forma a trabajar en este apasionante 
campo del Control Automático. 
El texto está escrito en un estilo muy directo cuya lectura resultará de indudable valor 
de una parte a nuestros estudiantes y de otra al profesional que se dedica al ejercicio 
práctico de la Automática para reforzar y mejorar su formación en toda esta temática. 
La significación real de la introducción de los métodos del espacio de estado supone el 
comienzo de un nuevo, más general , más riguroso y profundo enfoque de nuestro campo. 
Ahora estamos empezando a ver que el Control Automático es una disciplina muy vasta 
y que se requieren esfuerzos redoblados para ir enmarcando sus fundamentos técnicos . 
Madrid, octubre de 2001 
Consultores editoriales 
Profesores Pedro Albertos 
Javier Aracil 
Sebastián Dormido 
XVI 
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Prólogo 
Si «la información es poder» y nuestro objetivo es poder controlar el comportamiento 
de un sistema, ¿qué mejor que tener la máxima información posible sobre dicho sistema, 
para ser utilizada en su control? Esta es la idea básica del Control en el Espacio de 
Estado. Es decir , contar con la máxima información posible del sistema con 
objeto de utilizarla para controlarlo mejor. 
Con esta idea básica como objetivo principal , el libro se halla dividido en distintos 
capítulos que abordan las diferentes fases hasta la consecución del control de un sistema 
partiendo de la máxima información posible de éste, información que viene representada 
por el denominado "estado del sistema". Así cada capítulo aborda y resuelve cada una 
de las importantes cuestiones planteadas, que son: 
1 . ¿Cuál es la máxima información que determina e l comportamiento de 
un sistema? En el Capítulo 1 se explicita que dicha información esta formada por 
un conjunto mínimo de variables que constituyen el denominado estado del sistema 
que, junto con la evolución de las entradas al mismo, determinan el comportamiento 
de cualquiera de sus variables . La evolución temporal del estado obedece a unas 
ecuaciones que, junto con la relación entre sus variables y el resto del sistema, 
forman el denominado modelo de estado del sistema. 
2. ¿Cuál es la evolución temporal del sistema si conocemos las leyes de 
variación de las entradas y la información de su estado en el instante 
inicial? La resolución de esta pregunta, abordada en el Capítulo 2, es crucial para 
relacionar las entradas con la evolución del sistema y ésta con sus salidas medibles . 
Estos resultados son explotados en los dos capítulos posteriores para contestar a 
las preguntas fundamentales que a continuación se enumeran. 
3 . ¿Qué parte del sistema puede controlarse con las entradas disponibles? 
Esta pregunta se resuelve en el Capítulo 3, en el que se separan claramente las 
variables que pueden controlarse con las entradas del sistema, que constituyen el 
denominado subsistema controlable, de aquellas variables cuya evolución tempo­
ral es independiente de las entradas y está solamente relacionada con sus valores 
iniciales y la propia dinámica interna del sistema. 
XVII 
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4. Si las variables que constituyen el estado del sistema tienen toda la información 
necesaria de esté en un instante dado ¿cómo se puede conocer su valor? O dicho de 
forma más precisa, ¿cuáles son las variables que forman parte del estado 
del sistema, cuyo valor puede obtenerse a partir de las manifestaciones 
exteriores del comportamiento de éste (es decir, sus salidas y entradas)? 
Esta cuestión se resuelve en el Capítulo 4, en el que se especifica que dicho conjunto 
de variables de estadoconstituye el denominado subsistema observable, puesto que 
su valor puede calcularse a partir de las salidas y las entradas del sistema, si se 
lo separa del resto de las variables de estado, cuya evolución temporal no tiene 
ninguna repercusión sobre el comportamiento de las salidas del sistema. 
Llegado a este punto y al final de este capítulo, se obtiene un subsistema deno­
minado controlable y observable , constituido por un subconjunto de variables 
formadas por combinación lineal de las variables de estado del sistema original , tal 
que la información de su estado puede conocerse con mediciones externas de sus 
salidas y entradas y cuya evolución temporal puede controlarse con el conjunto de 
entradas disponibles . Éste es, por tanto, el subsistema que puede y va a ser utilizado 
en los capítulos subsiguientes para efectuar el denominado Control en el Espacio 
de Estado o control por realimentación del estado del sistema. 
5 . Si un sistema, o subsistema, puede ser controlado con sus entradas: ¿cómo deben 
calcularse estas entradas en función del estado del sistema, para modi­
ficar su dinámica? Esta cuestión es abordada y resuelta en el Capítulo 5, en 
el que se ve que en los sistemas controlables , no sólo puede fijarse su evolución 
temporal con una entrada adecuada, sino que su dinámica puede modificarse de 
forma sustancial (fijación de sus polos) mediante una realimentación del esta­
do del sistema. En este capítulo se aborda y resuelve igualmente el problema del 
servoposicionador, en el que se consigue controlar el valor en régimen permanente 
de la salida de un sistema, modificando adicionalmente su dinámica mediante la 
realimentación de sus estados . 
6. Si el capítulo anterior resuelve la modificación potestativa de la dinámica del sis­
tema a partir del conocimiento de su estado, surge de forma inmediata la importante 
cuestión: ¿cómo es posible conocer el estado del sistema a partir de sus 
manifestaciones exteriores (es decir, sus entradas y salidas) para que 
pueda ser utilizado en la modificación de la dinámica del sistema? Esta 
cuestión es resuelta en el Capítulo 6 para el subsistema observable, mediante el 
diseño de los sistemas denominados observadores del estado del sistema. La reali­
zación práctica de estos sistemas observadores impide que sus cálculos se efectúen 
mediante operaciones matemáticas derivativas , difícilmente realizables en la prác­
tica, obligando por tanto a que estos observadores constituyan un sistema con su 
propia dinámica intrínseca en el cálculo de su salida (es decir , variables de estado 
estimadas del sistema original) y en función de sus entradas (es decir , entradas y 
salidas del sistema original) . En este capítulo se resuelve el diseño de estos sistemas 
XVIII 
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observadores del estado, imponiéndoles consecuentemente una dinámica mucho más 
rápida que la de la evolución de las propias variables de estado que se estiman. 
Este capítulo supone la culminación de la estructura completa de Control por Reali­
mentación del Estado en sistemas continuos y como tal es abordada en los apartados 
correspondientes de dicho capítulo. 
7. Si el control del sistema se efectúa mediante un dispositivo digital , en el que la in­
teracción entre ambos se realiza en instantes de tiempo determinados y periódicos : 
¿cuál es el estado considerado éste desde el punto de vista del sistema 
digital de control? ¿Y cuál es el modelo que determina el comportamien­
to del sistema en los instantes de tiempo de interacción con él? Estas 
cuestiones son resueltas en el Capítulo 7 mediante la obtención de un modelo dis­
creto de comportamiento de los sistemas , tanto en el caso en el que vienen descritos 
por ecuaciones en diferencias , como en el caso de los sistemas muestreados , en los 
que se dispone inicialmente de unas ecuaciones diferenciales de su comportamiento, 
pero sobre los que se interacciona desde fuera sólo en instantes concretos de tiempo 
y de forma periódica. 
8 . Una vez obtenido el modelo del comportamiento dinámico de los sistemas discretos 
(al menos desde el punto de vista del sistema de control) ¿cuál es la evolución 
temporal del sistema a partir del instante en el que se conoce su estado 
y conocida la ley de variación de las entradas? Esta cuestión es resuelta en el 
Capítulo 8, obteniéndose unas ecuaciones de evolución del sistema completamente 
análogas a las obtenidas en el Capítulo 2 para modelos continuos , pero con un 
cálculo más sencillo a partir del modelo discreto, debido a la simplificación que 
introduce en su resolución la importante limitación temporal de interacción sobre 
el sistema. 
9 . Una vez vista la analogía entre las ecuaciones de los modelos discretos y continuos, 
surgen las mismas preguntas que las abordadas anteriormente para éstos últimos: 
¿es posible controlar el estado de un sistema?, ¿es posible calcular su 
estado a partir de la información de las entradas suministradas y de las 
salidas medidas? La respuesta a ambas preguntas lleva a los mismos conceptos 
de controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos , pero con la característica 
diferenciadora de que en los sistemas discretos es importante determinar el número 
de valores de entrada o de salida que son necesarios tanto para controlar el sis­
tema como para observarlo, hecho diferenciador debido claramente a la importante 
limitación temporal de interacción con ellos . 
La determinación de la controlabilidad y observabilidad del sistema lleva a la obten­
ción del subsistema que es simultáneamente controlable y observable, y por tanto 
adecuado para efectuar su control por realimentación del estado. Este control se 
realiza mediante una estructura análoga a la vista en sistemas continuos , que in­
cluye un sistema observador del estado y una realimentación hacia la entrada del 
XIX www.FreeLibros.org
estado calculado por el observador. 
Todas las cuestiones anteriormente planteadas y su resolución son abordadas de for­
ma progresiva en los distintos capítulos de este libro. Para ello, en cada uno se avanza 
en la resolución teórica de las interrogantes planteadas, intercalando ejemplos que ilus­
tran su aplicación en casos prácticos y de forma progresiva hasta cubrir los objetivos 
inicialmente planteados. Al final de cada capítulo se recogen una serie de problemas 
resueltos , que ilustran la aplicación de los nuevos avances expuestos, entremezclados con 
conocimientos adquiridos en capítulos anteriores y aumentando en consecuencia la co­
herencia del conjunto. Por último el alumno dispone en cada capítulo de una serie de 
problemas planteados y no resueltos , que pueden ser utilizados para la autoevaluación 
de sus conocimientos y su aplicación a la resolución de problemas prácticos. 
Madrid, octubre de 2001 
Los autores 
Profesores Sergio Domínguez 
Pascual Campoy 
José María Sebastián 
Agustín Jiménez 
xx 
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Prólogo a la 2a edición 
Han pasado cinco años desde la publicación de la primera edición de este libro, tiempo 
suficiente para que su utilización en clase haya puesto de manifiesto posibles vías para 
la actualización del texto. De entre todas ellas , finalmente se ha considerado atacar 
el problema de su mejora fundamentalmente a través de dos caminos: la revisión y la 
ampliación. 
El texto de la primera edición se ha revisado profundamente, dando lugar a la reorde­
nación de algunos conceptos para mejorar la claridad de la presentación y la comprensión 
global de la materia. A la vez, se han incluido también multitud de nuevos ejemplos cuya 
intención es ir más allá del uso de una determinada fórmula; en su mayoría, siguen una 
idea de profundización en los conceptos teóricos a través de su aplicación práctica. El 
resultado es una serie de casos en los que se hace uso extensivo de la teoría, revisando 
metódicamente sus posibilidades, peculiaridades y, sobre todo, los aspectos más rele­
vantes de su utilización en situaciones reales . Dada la considerable extensión de algunosde ellos , se ha considerado como mejor solución agruparlos en una sección aparte de cada 
capítulo, con la intención de mejorar la legibilidad de la parte teórica, evitando prolon­
gadas interrupciones . Así, bajo el nombre de Ejemplos adicionales, el lector encontrará 
estos casos de uso extendidos; a diferencia de los ejercicios , tanto resueltos como pro­
puestos, que se incluyen en cada capítulo y cuyo objetivo es facilitar la práctica de los 
conocimientos adquiridos , estos ejemplos se incorporan como una herramienta didáctica 
de apoyo a la explicación teórica mediante la aplicación y el análisis de los resultados 
obtenidos con las técnicas presentadas. 
El contenido del libro ha sido asimismo ampliado mediante la inclusión de nuevos 
conceptos teóricos; todos ellos se fundamentan en las técnicas presentes en la primera 
edición, pero representan una lectura avanzada. Estos nuevos contenidos atañen funda­
mentalmente a controlabilidad y observabilidad, profundizando en su estudio teórico y 
en los aspectos de su aplicación en la práctica, y llegando, como consecuencia, a plantear 
la reducción del modelo. En este sentido, el resultado de esta segunda edición es un texto 
que se puede entender como estructurado en dos niveles : uno básico y otro avanzado, 
como ya se ha dicho. El básico constituye el contenido apropiado para un curso de ini­
ciación a los conceptos y técnicas del control mediante variables de estado, mientras que 
el avanzado incluye los contenidos accesibles para lectores familiarizados con lo anterior . 
XXI 
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Como en el caso de los ejemplos extendidos , se ha intentado que la inclusión de estos 
nuevos contenidos no interfiera con la lectura por parte de quienes toman contacto con el 
control con variables de estado por primera vez, de forma que se ha optado por marcar 
estos conceptos avanzados con el signo 6, visible tanto en el cuerpo del texto como en el 
Índice general . De esta forma, al comenzar una sección cuya temática se considera fuera 
del temario básico, la presencia de este símbolo avisa al lector novel de que su contenido 
está orientado hacia personas con más experiencia. 
Los autores deseamos aprovechar la oportunidad que ahora se nos presenta para 
mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas que han hecho posible la apari­
ción de esta segunda edición; comenzando por todos aquellos que con sus comentarios y 
aportaciones han permitido la mejora del texto, siguiendo por los Consultores Editoriales 
de la colección de "Automática y Robótica" y terminando, no por ello con menor efusión, 
por el Equipo Editorial de Prentice-Hall . 
Madrid, mayo de 2006 
Los autores 
Profesores Sergio Domínguez 
Pascual Campoy 
José María Sebastián 
Agustín Jiménez 
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Parte 1 
Sistemas continuos 
1 
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1 Modelo de esta do 
1 . 1 . Introducción 
La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento 
interno de los sistemas , reflejado en las variables que influyen en su dinámica. Estas 
variables constituyen el concepto de estado del sistema, que será definido en este primer 
capítulo, y establecen la piedra angular de dicha teoría. El conocimiento de la evolución 
de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite efectuar un control 
más potente de ésta y abordar el control de sistemas más complejos. 
La teoría moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los problemas 
en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica, basada en el mode­
lado de la relación entre una entrada y una salida de los sistemas dinámicos lineales de 
parámetros constantes . Las ventajas de la teoría moderna de control , en contraposición 
a la teoría clásica, son fundamentalmente las siguientes: 
• Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de interac­
ción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de control entre 
una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma independiente 
según se aborda en la teoría clásica. 
• Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas 
en su dinámica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por un modelo 
lineal , dentro del rango de valores que van a tomar sus variables . 
• Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades com­
parables con la evolución de sus variables, para los que no se puede obtener, en 
consecuencia, un modelo de parámetros constantes válido en el rango temporal 
necesario para efectuar el control . 
3 
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4 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
• Es aplicable a sistemas complejos de control , con un gran número de variables 
internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la 
realimentación sólo de la salida, según el modelo clásico, empobrece la información 
disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a impedir un 
control de la salida del sistema con mejores prestaciones . 
• Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas , entendida ésta como 
la minimización de una función objetivo que describe un índice de costo que a su 
vez refleja la calidad en la consecución de los objetivos de control . 
Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas 
ramas del control , denominadas respectivamente: control multivariable, control no-lineal , 
control adaptativo, control por asignación de polos y control óptimo. Aunque cada una 
de estas ramas del control automático utiliza técnicas que le son propias, todas ellas 
confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de sistemas dinámicos que 
incluya la evolución de sus variables internas , que pueda aplicarse a sistemas multivaria­
bles y que pueda ser no-lineal y/o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema 
es el denominado modelo de estado del sistema, que se presenta y estudia en el presente 
libro. 
Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control presentan 
un comportamiento dinámico que puede aproximarse por modelos lineales de parámetros 
constantes, se simplifica mucho su análisis y el diseño de los reguladores multivariables . 
El estudio de estos sistemas lineales e invariantes es abordado en los apartados correspon­
dientes de cada uno de los capítulos de este libro, estudiándose en los últimos capítulos 
el diseño de reguladores para la asignación directa de los polos del sistema multivariable, 
que fijan su comportamiento dinámico en cadena cerrada. 
1 . 2 . Concepto de estado 
La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas 
dinámicos por medio del concepto de estado, en contraposición con la teoría clásica de 
control, que utiliza únicamente la relación entre su entrada y su salida. 
Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de información nece­
saria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se 
pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior. 
Es común emplear la nomenclatura de representación interna, cuando se utiliza el es­
tado para representar un sistema, y representación externa, cuando se emplea la relación 
entrada-salida. Se diferencia entre ambas nomenclaturas para recalcar los distintos enfo­
ques. El Ejemplo 1 . 1 que se describe a continuación pone de manifiesto las diferencias . 
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1 .2 . CONCEPTO DE ESTADO 
Ejemplo 1.1 
El depósito de la figu ra recibe u n ca uda l q(t) que mod ifica el vol umen de 
l íqu ido que contiene, según la expresión : 
q(t) = V(t) = Ah(t) 
h(t) 
Entrada Salida 
J SISTEMA L • -..... Ji Estado h�t� .� _1III1t:-
q(t) - h(t) 
Suponiendo constante la sección A del depósito, la evolución de la a ltura se 
puede ca lcu lar i ntegrando la a nterior expresión : 
¡t 1 h(t) = -00 ¡¡q(T)dT 
Para determinar la altura en cua lq uier instante de tiempo, es necesario cono­
cer la evolución del cauda l desde el comienzo de los tiempos, lo que evidente­
mente obl iga a u n conocim iento de las cond iciones q ue han actuado sobre el 
sistema , norma lmente fuera de a lca nce. En la teoría clásica de control se rea l iza-
5 
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6 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
ban a lgunas s imp l ificaciones, como considerar que las cond iciones i n ic ia les era n 
nu las. 
U na a lternativa a estos p lanteamientos , sobre la q ue se basa la teoría moderna 
de contro l , es considerar la información que resuma todo lo acontecido en el 
s istema hasta ese momento . Esta i nformación , q ue si es la mín ima se denomina 
estado, podría ser en el presente ejemplo la a ltura en u n determi nado instante 
to : h(to ) ; de esta forma la evol ución de la a ltura del depósito sería : 
l.t 1 h(to ) + A q(r)dr to 
h(t) lJ!(t , to , h(to ) , q(r) ) , t o < r ::; t 
Donde se aprecia que la a ltura en un determ i nado instante de tiempo sólo 
depende de los instantes i n ic ia l y f ina l , de la entrada ap l icada entre ambos y 
de la a ltura en el i nsta nte i n ic ia l (no i nfluye la evol ución hasta entonces , sólo el 
valor en ese instante) . La a ltura del depósito representa el estado en el ejemplo 
considerado y, debido a su senc i l lez, coi ncide con la sa l ida del s istema . Esta 
situación no es en absol uto genera l izable a otros sistemas, en los cua les la sa l ida 
y el estado no só lo no tienen por qué coi ncid i r , s ino que n i s iqu iera han de poseer 
la misma d imensión . 
La cantidad mínima de información que define el estado viene representada por un 
conjunto de variables Xi (t) cuyos valores dependen del instante t considerado, denomi­
nadas variables de estado del sistema. Este conjunto de variables, x(t) , recibe el nombre 
de vector de estado. En la gran mayoría de los sistemas físicos reales se podrá obtener un 
modelo suficientemente aproximado donde el vector de estado sea de dimensión finita, n, 
siendo éste el único caso estudiado a lo largo de todo este texto. 
Si además se representa el conjunto de variables de entrada mediante el vector u(t) , 
la anterior definición puede expresarse de forma matemática como: 
x(t) = lJ!(t, to , x(to ) , u(r) ) , to < r ::; t ( 1 . 1 ) 
Si bien el modelo de estado tal como se formula es válido para establecer la repre­
sentación de sistemas tanto lineales como no lineales, en el presente texto el estudio se 
va a centrar en los primeros, atendiendo, en primer lugar, a los sistemas lineales contin­
uos y, en la segunda parte del libro, a los discretos. El hecho de que no se profundice 
igualmente en el estudio de los sistemas no lineales viene dado por la falta de generalidad 
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1 .2 . CONCEPTO DE ESTADO 7 
en su tratamiento; no existe un procedimiento universal para la solución de ecuaciones 
diferenciales no lineales (y un modelo de estado de un sistema no lineal es precisamente 
eso) , por lo que no se puede establecer una metodología genérica para su análisis . En aras 
pues de avanzar en la introducción de los conceptos fundamentales de la teoría moderna 
de control , se orienta por tanto el estudio hacia los sistemas lineales . 
En principio, para la formulación del modelo de estado de la Ecuación 1 . 1 se van 
a establecer dos hipótesis ya conocidas, y que también aparecen en la teoría clásica de 
control ; en primer lugar, el estudio se centra en los sistemas físicos , sistemas que por 
propia naturaleza cumplen con el principio de causalidad, por lo que siempre se parte del 
supuesto de que se ha de cumplir con esta propiedad. Dentro de los sistemas causales, el 
análisis se centra en los sistemas deterministas, para los que dada una entrada se puede 
encontrar una salida de forma unívoca; en contraposición a los sistemas estocásticos, para 
los que la salida ante una determinada entrada se modeliza como una cierta función de 
densidad de probabilidad. 
El vector de estado se define sobre el denominado espacio de estado: 
Espacio de estado es el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma 
valores, teniendo por tanto la misma dimensión que el número de elementos de 
dicho vector. 
Al ser el espacio de estado un espacio vectorial , admite infinitas bases , relacionadas 
entre sí mediante transformaciones lineales . La representación del estado depende de la 
base elegida, por lo que también existen infinitas posibilidades, igualmente relacionadas 
entre sí por transformaciones lineales . Esta dependencia no afecta a cualquier variable 
externa, como las entradas y las salidas, que no modifican su expresión sea cual sea la 
representación del estado elegida. 
El valor del estado en distintos instantes varía en función de las condiciones iniciales 
con las que empieza a evolucionar el proceso y de la entrada que recibe el sistema, según 
se refleja en la Ecuación 1 . 1 . El comportamiento descrito por esta ecuación se traduce 
en que cada una de las variables de estado modifica su valor a lo largo del tiempo, tal 
como se observa en la Figura 1 . 1 para el caso de un modelo con tres variables de estado; 
la combinación de estas evoluciones , por eliminación del tiempo entre todas ellas , se 
concreta en una trayectoria que el vector de estado sigue dentro del espacio de estado, 
como puede verse en la Figura 1 .2 . 
1.2.1. Propiedades de las variables de estado 
Las trayectorias que describe el vector de estado de un sistema causal y determin­
ista dentro del espacio de estado están sujetas a las siguientes condiciones ligadas a la 
definición de estado del sistema: 
1. Unicidad 
't/t � to, Xo = x(to ) , U(T) to < T � t =} x(t) es única. 
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8 
X, 
1.5 
X, 
1 
X, 
0.5 
0.25 
-0.25 
-0.5 
-0.75 
-1 
CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADC 
Figura 1 . 1 : Evolución temporal de las variables de estado. 
¡- ----
/ \ ----/ ----
----
¡1 
/ I 
X3 / / I 
---- I 
/ ----
-1 I 
0.5 
o 
o 
I -0.5X, 
Xl 
-1 
2 
Figura 1 . 2: Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. www.FreeLibros.org
1.3 . ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO 
2. Continuidad 
Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas: 
lím x(t) = x(to ) 
t---+to 
3. Transitividad o propiedad de transición 
Vt, to 
9 
(1 . 2) 
Si se considera en una trayectoria en el espacio de estado tres tiempos, to , tl Y 
t2 , tal como se muestra en la Figura 1 .3 , el valor del estado en estos tiempos está 
relacionado por esta propiedad de transición: 
siendo: 
2 x(to) �/:, -'---........ JI." 
x(td 
Figura 1 .3: 'fransitividad de estado 
X(t2 ) = W(t2, to, x(to ), U(T) ) con to < T ::; t2 
X(t2 ) = W(t2, tl ,x(h), U(T) ) con h < T ::; t2 
x(td = w(tl , to, x(to ), U(T)) con to < T ::; h 
Esto significa que para conocer el estado en el instante t2 da lo mismo: 
• Conocer el estado en to Y la entrada entre to Y t2· 
• Conocer el estado en h y la entrada entre tl y t2· 
1 . 3 . Ecuaciones del modelo de estado 
Como se ha establecido con anterioridad, la teoría de estado representa un formalismo 
para el tratamiento y resolución de sistemas dinámicos deterministas . Una definición 
amplia de dichos sistemas es la siguiente: 
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10 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
Un modelo de sistema dinámico determinista es una relación matemática entre 
dos conjuntos de variables, las de entrada y las de salida: 
u(t) � y(t) 
donde u(t) es un vector de dimensión m e y(t) es un vector de dimensión p. 
En la teoría moderna se añade, como ya se ha explicado, otro conjunto de variables, 
a las que se llama estados. Entradas y estados se encuentran relacionados como ya se vio 
en la Ecuación 1 . 1 . De otra parte, como el estado recoge toda la información del sistema 
en un determinado instante, es posible definir una relación de la salida con éste y con la 
entrada. Dicha relación se establece mediante una ecuación de la forma: 
y(t) = r¡(t , x(t) , u(t) ) ( 1.3) 
donde se puede observar que la salida en el instante t sólo depende del tiempo, del estado 
y de la entrada en ese instante, no del estado y de la entrada en instantes anteriores . 
Esto se debe a que toda esta información, por propia definición, ya está recogida en el 
estado. 
Los sistemas dinámicos diferenciales se caracterizan porque pueden ser representados 
por una ecuación que incluya información del estado de la forma: 
x(t) = ¡(t, x(t) , u(t) ) 
y(t) = r¡(t, x(t) , u(t) ) 
( 1 .4) 
( 1 .5) 
donde a la Ecuación 1 .4 se le llama ecuación de estado, que representa la dinámica de la 
evolución del estado del sistema, y a la Ecuación 1 .5 se le llama ecuación de salida. La 
resolución de dicha Ecuación 1 .4 con unas determinadas condiciones iniciales da lugar a 
la Ecuación 1 . 1 , que describe la trayectoria seguida por el estado dentro del espacio de 
estado. 
A la representación de estado descrita en las Ecuaciones 1 .4 y 1 .5 se le llama realización 
en el espacio de estado del sistema. Asimismo, se llama orden del modelo al número de 
variables de estado con el que se construye. 
De estas ecuaciones se intuye la continuidad de las trayectorias descritas por las 
variables de estado, que la dimensión del vector de estado coincide con el número mínimo 
de condiciones iniciales necesarias para resolver la ecuación de estado y que pueden 
considerarse como variables de estado las salidas de los integradores . 
Como el estado es la representación suficiente del sistema, para determinar su dinámi­
ca también basta el conocimiento de las variables de estado y de la ecuación de estado. 
De esta forma, aspectos como la estabilidad del sistema y sus posibles estados de equi­
librio, entendiendo por tales valores del estado en los que el sistema funciona por tiempo 
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1 .3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO 1 1 
indefinido sin que se produzca variación alguna, se estudian a partir de la Ecuación 1 .4; 
el estudio de estabilidad requerirá de métodos específicos según la naturaleza lineal o no 
lineal de esta ecuación, mientras que la determinación de los estados de equilibrio se lleva 
a cabo encontrando las soluciones de la ecuación: 
J(t, x(t) , u(t) ) = O ( 1 .6) 
Ejemplo 1.2 
11 Obtener el modelo de estado que define la evolución del desplazamiento y (t) , 
de una masa M con constante elástica K y con coeficiente viscoso J, ante u na 
fuerza de desplazam iento F(t) : 
111 y(t) 
f 
F(t) = Ky(t) + Jdy(t) + Md
2y(t) 
dt dt2 
Al ser u n sistema de segundo orden , se necesitarán dos varia bles de estado. 
Se e l igen: 
Xl (t) = y (t) 
X2 (t) = y(t) 
Teniendo en cuenta que u(t) = F(t) , las ecuaciones del modelo de estado serán : 
:i;¡ (t) 
:h (t) 
y(t) = X2 (t) 
1 
jj(t) = M [u(t) - Ky(t) - Jy(t) ] = 
1 
M [u(t) - KX1 (t) - JX2 (t) ] 
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12 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
La ecuación de sa l ida será s imp lemente : 
y (t) = Xl (t) 
1.3.1. Sistemas dinámicos lineales 
En primer lugar, es necesario conocer si un sistema dinámico dado es o no lineal . Para 
ello se le aplica el test de superposición: 
Se tiene un sistema que partiendo de un estado inicial cualquiera Xl (to ) , con una 
entrada cualquiera Ul (r) , to < r ::; t, responde con una salida Yl (t) , y a partir de 
cualquier otro estado inicial X2 (tO ) con cualquier otra entrada u2 (r) , to < r :S t, 
responde con otra salida Y2 (t) . Se dice que dicho sistema es lineal si para todo a 
y b reales, partiendo del estado inicial X3 (tO ) = aXl (tO )+ bX2 (tO ) con una entrada 
u3 (r) = aUl (r) + bU2 (r) , to < r ::; t, la salida es Y3 (t) = aYl (t) + bY2 (t) . 
Esta propiedad de linealidad en sistemas diferenciales se traduce en que las funciones 
f y r¡ son lineales con respecto a x y a u: 
f (t , aXl (t) + ,BX2 (t) , aul (t) + ,Bu2 (t) ) = 
= af(t , xl (t) , Ul (t) ) + ,Bf(t , X2 (t) , U2 (t) ) 
r¡ (t , aXl (t) + ,BX2 (t) , aUl (t) + ,Bu2 (t) ) = 
= ar¡(t , xl (t) , Ul (t) ) + ,Br¡(t , X2 (t) , U2 (t) ) 
( 1 . 7) 
( 1 .8) 
donde f y r¡ son funciones vectoriales , por lo que la propiedad de linealidad se verifica 
si y sólo si las ecuaciones del modelo de estado se pueden expresar en forma matricial 
como: 
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) 
y (t) = C(t)x(t) + D (t)u(t) 
( 1 .9) 
( 1 . 10) 
Ésta es la forma en la que se representa el modelo de estado de un sistema dinámico 
lineal , donde: 
x(t) es el vector de estado, de dimensión n. 
u( t) es el vector de entradas, de dimensión m. 
y(t) es el vector de salida, de dimensión p. 
A(t) es la matriz del sistema, de dimensiones n x n. 
B(t) es la matriz de entradas, de dimensiones n x m. 
C(t) es la matriz de salida, de dimensiones p x n. 
D(t) tiene dimensiones p x n (en la mayoría de los sistemas es nula) . 
Las expresiones de las matrices A(t) , B (t) y C(t) dependen de la representación del 
estado elegida, como se detalla en la Sección 1 .4 . 
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11 .3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO 
Ejemplo 1.3 
Para la evol ución del desp lazam iento y (t) , el modelo de estado en forma 
matric ia l se ca lcu la a part i r de las ecuaciones dadas. 
Tomando: 
el modelo de estado queda como: 
f 
Xl (t) = y (t) 
X2 (t) = iJ(t) 
1 
_ 1-M 
.. y(t) 
y (t) [ 1 O ] [ �� ] + [O]u(t) 
1.3.2. Sistemas dinámicos invariantes 
1 ] u(t) 
Un sistema, con un estado inicial dado por Xo = x ( to ) , sometido a una entrada 
uI (r) , to < r � t, Y que produce como salida la señal YI (t) , se dice que es 
invariante si VT, partiendo del mismo estado Xo , pero en el instante to + T, 
excitado con una entrada u2 (r + T) = UI (T) , to < T � t, responde con una 
salida que es Y2 (t + T) = YI (t) . 
13 
Esta propiedad de invarianza significa que, en los sistemas lineales , las matrices A, 
B, e y D tienen sus elementos constantes , no son funciones del tiempo. 
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14 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO 
1 . 4 . Transformaciones lineales 
Se parte de una representación cualquiera de estado x(t) : 
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) 
y (t) = C(t)x(t) + D (t)u(t) 
y se define una Tnxn (t) con la particularidad de que no sea singular y de que exista la 
derivada de su inversa. Se define un nuevo vector de estado a partir de x(t) mediante la 
expresión: 
x(t) = T(t)5é(t) 
5é(t) = T-1 (t)x (t) 
derivando la expresión de 5é(t) se tiene: 
j¿(t) = (T�l ) (t)x(t) + T-1 (t)x(t) 
como se cumple que: 
{ x(t) = T(t)5é(t) 
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) 
entonces se puede sustituir, quedando: 
j¿(t) (T�l ) (t )T(t)5é (t) + T- 1 (t) [A(t)T(t)5é(t) + B (t)u(t) ] = [ (T�l ) (t )T(t) + T- 1 (t)A(t)T(t)] 5é(t) + T- 1 (t)B (t)u(t) 
que junto con la ecuación: 
y(t) = C(t)T(t)5é (t) + D (t)u(t) 
supone una nueva representación del estado, equivalente a la inicial . 
( 1 . 1 1) 
( 1 . 12) 
( 1 . 13) 
Esta nueva representación del estado, mediante el vector de estado 5é(t) y obtenida 
mediante una transformación lineal que en general depende de t , da lugar a nuevas 
matrices del modelo: 
A(t) = [ (T�l ) (t)T(t) + T- 1 (t)A(t)T(t)] 
B(t) = T- 1 (t)B (t) 
C (t) = C(t)T(t) 
D(t) = D(t) 
( 1 . 14) 
Partiendo de un modelo de estado cualquiera y conociendo la matriz de transfor­
mación T(t) , se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se 
denomina una transformación lineal en el espacio de estado. 
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(]H5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES 15 
Lo que se está haciendo es un cambio de base por lo que e l vector de estado x(t) viene 
definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transfor­
mación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas de los vectores que 
constituyen la nueva base expresados en la base antigua. 
La situación más común es que la matriz de transformación T sea invariante , es decir, 
que no dependa del tiempo, lo que simplifica la expresión de las matrices del modelo de 
estado en la nueva base: 
A(t) = T-l A(t)T 
B(t) = T- 1 B (t) 
C (t) = C(t)T 
D(t) = D(t) 
1 . 5 . Representación gráfica de sistemaslineales 
( 1 . 15) 
¡ i El modelo de estado de un sistema lineal admite una forma gráfica por bloques similar 
a la de los sistemas representados por su función de transferencia. Hay tres tipos básicos 
de elementos: 
1 . Bloque integrador, representado en l a Figura 1 .4 . 
Figura 1 .4 : Bloque integrador. 
y(t) = jt u(r)dr = y(to ) + (t u(r)dr 
-00 ita 
2. Multiplicación por una matriz , representada en la Figura 1 .5 . 
u(t) �y(t) 
.... · .. 0 · 
Figura 1 .5 : Multiplicación por una matriz . 
y(t) = R(t)u(t) 
( 1 . 16) 
( 1 . 1 7) www.FreeLibros.org
16 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
3. Bloque sumador 1 , representado en la Figura 1 .6 . 
u(t) y (t) 
v (t) 
Figura 1 .6 : Bloque sumador. 
y(t) = u(t) + v(t) 
Ejemplo 1.4 
Ha l la r la representación gráfica del sistema : 
jj(t) + aiJ(t) + by (t) = u(t) => jj(t) = -aiJ(t) - by (t) + u(t) 
( 1 . 18) 
El Ejemplo 1 .4 suministra un primer método para obtener el modelo de estado a 
partir de la representación gráfica: tomar como variables de estado las salidas de los 
integradores y considerar las condiciones iniciales en el instante to como estado inicial . 
Hay que recordar que un mismo sistema admite distintas representaciones de estado, lo 
que hará que el mismo sistema pueda estar representado por distintas matrices A, B , -C 
y D. Así para el siguiente sistema: 
( 1 . 19) 
1 En adelante, si no se indica lo contrario, se suponen siempre positivas las entradas a todos los bloques 
sumadores. 
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1 .6 . FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y MODELO DE ESTADO 1 7 
( 1 .20) 
La representación de este sistema con los anteriores tipos de bloque será la represen­
tada en la Figura 1 . 7 . 
Figura 1 .7: Representación gráfica del modelo de estado. 
En lugar de operar con escalares es más útil operar con vectores , como puede verse 
en la Figura 1 .8 . 
u(t) 
Figura 1 .8 : Representación gráfica vectorial del modelo de estado. 
1 . 6 . Función de transferencia y modelo de estado 
El problema que se aborda en este apartado es obtener, a partir de la representación 
del estado de un sistema lineal e invariante, la función de transferencia. Si el sistema no 
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18 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
cumple con estas dos condiciones, linealidad e invarianza, no es posible establecer esta 
relación, puesto que el modelo de la teoría clásica requiere que el sistema cumpla con 
estas condiciones . 
La expresión de un sistema lineal e invariante es: 
x(t) = Ax(t) + Bu(t) 
y(t) = Cx(t) + Du(t) 
( 1 .2 1 ) 
( 1 .22) 
Para aproximar el modelo al de la función de transferencia se toman transformadas 
de Laplace y se establece una relación entre la entrada y la salida. En principio, todas 
las variables son vectores : 
sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s) 
donde x(O) es el vector de condiciones iniciales . Si es x(O) = 0, entonces: 
[sI - Al X(s) = BU(s) 
X(s) = [sI - Ar1 BU(s) 
Y(s) = CX(s) + DU(s) = C [sI - Ar1 BU(s) + DU(s) 
Y(s) = [c [sI - Ar1 B + D] U(s) => 
=> G(s) = C [sI - Al - 1 B + D 
( 1 . 23) 
donde G(s) es una matriz de funciones de transferencia de dimensión p x m . Esta matriz 
consiste, para todos sus elementos, en cocientes de polinomios. 
Ya se tiene, de esta manera, una relación entre la función de transferencia de la teoría 
clásica y el sistema de estado de la teoría moderna. 
Como ya se ha visto en este capítulo, un mismo sistema admite infinitas representa­
ciones de estado, pudiendo obtenerse una cualquiera a partir de una dada mediante la 
aplicación de una transformación lineal . 
Si T es una transformación invariante, la función de transferencia del correspondiente 
sistema es, aplicando la Ecuación 1 . 15 : 
O(s) e [sI - Á r 1 B + f> = 
CT [sI - T- 1 AT] - 1 T- 1B + D = 
CTT-1 [sI - Al - 1 TT- 1B + D = 
C [sI - Ar1 B + D = O(s) ( 1 . 24) 
Es decir , coincidiendo con la teoría clásica, la función de transferencia que rige la 
relación entrada salida es única, sea cual sea el modelo de estado del sistema. 
Teniendo en cuenta además que en 1 .24: 
[sI - Al - 1 = det [s� _ Al Adj [sI - AlT ( 1 .25) www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 19 
se concluye que el polinomio característico del sistema es : 
p(s) = det [sI - Al ( 1 .26) 
por lo que los polos del sistema coinciden con los valores propios de la matriz A. 
Polos = Valores propios de A 
Se ve asimismo que, como el polinomio característico sólo depende de A, también ha 
4e ser así con la estabilidad del sistema. La posición de los ceros del sistema viene dada 
por las matrices A, B , C y D. 
1. 7 . Métodos de obtención del modelo de estado 
Como se ha venido mencionando en distintas secciones de este capítulo, la represen­
tación del estado de un sistema no es única, sino que pueden encontrarse infinitas, todas 
ellas equivalentes entre sí, e igualmente válidas para la descripción del sistema. En esta 
sección se van a explicar diferentes técnicas para obtener una representación del estado, 
de forma que dado un sistema cada una de ellas es diferente, pudiendo obtenerse una a 
partir de otra mediante transformaciones lineales . 
Observando las ecuaciones de estado y de salida del sistema: 
x(t) = Ax(t) + Bu(t) 
y (t) = Cx(t) + Du(t) 
se pueden deducir las siguientes condiciones que habrá que tener en cuenta cuando se 
elige un modelo de estado: 
1 . En la ecuación de estado sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, sus 
primeras derivadas y las entradas . 
2 . En la ecuación de salida sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, las 
entradas y las salidas. 
3. Las variables de estado no pueden presentar discontinuidades , aunque la entrada al 
sistema sí que las tenga, pues en tal caso la derivada de la variable de estado que 
aparece en la Ecuación 1 .4 no estaría definida. 
4. Se admiten discontinuidades en la entrada (por ejemplo, entrada en escalón) , por 
lo que en ningún caso pueden elegirse las entradas como variables de estado del 
sistema. 
Existen distintas posibilidades de elección de las variables de estado de un sistema, 
para cada una de las cuales las ecuaciones que definen su comportamiento, 1 .4 y 1 .5 , 
tienen distinta expresión. En los siguientes subapartados se explican diversas metodologías 
para elegir variables de estado de un sistema y, por tanto, para representarlo mediante 
su modelo de estado: 
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20 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
1 . Variables de estado como magnitudes físicas del sistema. 
2 . Variables de estado como salida de los integradores del sistema. 
3. Variables de estado de fase. 
4. Variables de estado de Jordan. 
Estas metodologías se presentan ordenadas de manera que las variables de estado 
elegidas en cada una de ellas presentan un orden decreciente en su significado físico y un 
orden creciente en cuanto a la simplicidad del modelo matemático resultante. Según este 
criterio de ordenación, la primera metodología puede considerarse como la más intuitiva, 
desde el punto de vista físico, y las dos últimas como las que presentan una mayor 
elaboración matemática que repercute en la simplicidad de las ecuaciones del modelo de 
estado resultante. La segunda, basada en la salida de los integradores, puede considerarse 
con unas características intermedias , en las que las variables de estado elegidas pueden 
tener una interpretación física y adicionalmente se puede sistematizar su elección para la 
obtención del modelo de estado sencillo. 
Según se verá en las subsecciones siguientes , las dos últimas metodologías expuestas 
son aplicables solamente a sistemas lineales , mientras que la primera es la más genérica y 
menos sistematizada, pudiéndose aplicar a cualquier tipo de sistemas dinámicos lineales 
o no-lineales . La segunda puede aplicarse también a todo tipo de sistemas , si bien en 
el caso de sistemas lineales se puede predecir la forma del modelo de estado resultante, 
según se muestra en el Subapartado 1 . 7 . 2 . 
1 . 7. 1 . Variables de estado como magnitudesfísicas 
La idea básica es escoger como variables de estado los elementos que acumulan ener­
gía, lo que impide que las variables de estado presenten discontinuidades. Al hablar de 
elementos que acumulan energía, se hace referencia tanto a elementos que acumulan 
energía potencial (un condensador , una masa suspendida a una cierta cota o el agua 
dentro de un depósito hasta una cierta altura) , como a aquellos que acumulan energía 
cinética (intensidades en bobinas, una masa desplazándose a una cierta velocidad o un 
objeto girando a una cierta frecuencia) . Cuando uno de estos elementos acumuladores 
de energía son puestos en contacto con un entorno con un nivel energético distinto, 
se produce una transmisión de energía hasta producir un equilibrio energético, con la 
característica de que dicha transmisión no es instantánea en ningún caso: el condensador 
tiene una función de descarga, la masa suspendida cae con una cierta aceleración finita, 
el móvil giratorio se decelera con una cierta aceleración angular, etc. Por tanto, las 
variables que pueden elegirse como variables de estado son aquellas que caracterizan esta 
transmisión de energía entre un objeto y el medio, y que al representar esa dinámica no 
podrán sufrir variaciones bruscas : 
• En sistemas eléctricos: las tensiones en los condensadores y las intensidades en las 
bobinas. 
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1 . 7. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 21 
• En sistemas mecánicos: las posiciones (energía potencial) y las velocidades (energía 
cinética) . 
• En sistemas hidráulicos : altura de fluido en los depósitos (energía potencial) . 
• En sistemas térmicos : temperatura (energía térmica) . 
Ejemplo 1.5 
Elegi r u n conj u nto posib le de variables de estado para el sistema de la figu ra : 
14 15 
l/2 
+ R R R 
L 
U e e 
uc1 uc2 L/2 e e 
Según se ha dicho, se deben elegi r como variables de estado aquel las que repre­
sentan el "estado"de cada u no de los elementos acumu ladores de energía , que en 
un ci rcuito electrón ico son las tensiones en los condensadores y las i ntensidades 
en las bobinas . Por ta nto, las tensiones Uc1 Y Uc2 son varia bles de estado del 
sistema que representan la tensión en condensadores d iferentes . Dichas tensiones 
tienen en genera l va lores d isti ntos q ue dependen de sus condiciones i n icia les . 
El m ismo razonamiento es ap l icable para concl u i r que las i ntensidades i4 e 
i5 son ambas varia bles de estado y representan variab les d isti ntas que tendrán 
en genera l valores d isti ntos , que son necesarios para determinar el estado del 
sistema en cada insta nte. 
Las tensiones Uc3 Y Uc4 no representan d isti ntas var iables físicas y son idén­
ticamente igua les para cua lesqu iera cond iciones i n ic ia les y cua lq uier evol ución 
de la d inám ica del sistema , representando en rea l idad la misma tensión física de 
un m ismo condensador. Por tanto, deben ser designadas con el mismo símbolo 
y ser elegidas sólo como una n ueva var iable de estado. 
Un razonamiento aná logo a l del a partado a nterior l leva a la concl usión de 
que la i ntensidad q ue pasa por la ú lt ima rama es la misma que pasa , s imu ltánea­
mente , por los dos devanados contiguos q ue constituyen la ún ica bobina de esta 
rama , y por tanto d icha i ntensidad debe considerarse como la ún ica variable de 
estado asociada a d icha rama del c i rcu ito . 
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22 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
Se concl uye , por consigu iente, q ue una adecuada elección de las variables de 
estado l igada a los elementos físicos q ue componen el sistema es : Uc1 , Uc2 , Uc3 , 
i4 e is . 
Ejemplos adicionales de obtención de modelos de estado basándose en este criterio se 
pueden encontrar en la sección dedicada a tal efecto al final del capítulo, en concreto los 
1 . 7 y 1 .8 . 
1.7.2. Variables de estado como salida de los integradores 
Una opción clara para elegir variables de estado de acuerdo con su definición da­
da en la Sección 1 . 2 , es elegir éstas como las variables que representan las condiciones 
iniciales de las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico del sis­
tema. Esta elección es equivalente a expresar dichas ecuaciones diferenciales en forma 
de integraciones sucesivas y elegir como variables de estado la salida de cada uno de los 
integradores, que por tanto no presentan discontinuidades en sus valores ante discon­
tinuidades de la entrada. 
Este procedimiento puede aplicarse de forma genérica tanto a sistemas lineales como a 
sistemas no-lineales . Sin embargo, a continuación se expone dicho procedimiento aplicado, 
de forma sistemática, a sistemas lineales con objeto de obtener una forma genérica del 
modelo de estado para dichos sistemas, simplificando con ello la notación empleada. Un 
ejemplo de aplicación a sistemas no-lineales de esta metodología de elección de variables 
de estado puede verse en el Ejercicio 3 al final de este capítulo. 
Variables de estado como salida de integradores en sistemas monovariables 
Para estudiar esta metodología se va a considerar, en primer lugar, la obtención de 
variables de estado de sistemas monovariables representados por una ecuación genérica 
del tipo: 
( 1 . 27) 
donde por comodidad se ha omitido la dependencia del tiempo de las variables u(t) e 
y(t) , como se hará en adelante con las Xi (t) . 
Primeramente se reordena y se saca como factor común el operador derivada en dicha 
ecuación genérica, resultando: 
( 1 .28) 
donde el término entre corchetes se obtiene mediante la integración del término de la 
derecha de la ecuación y, por tanto, puede ser elegido como variable de estado, Xl , 
descomponiéndose entonces la anterior ecuación en las dos siguientes : 
bou - aoy 
(sn- l + an_ 1 Sn-2 + . . . + at )y - (bnsn- 1 + . . . + b1 )u 
( 1 .29) 
( 1 .30) 
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1 . 7. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 23 
que son, respectivamente, la ecuación de salida del integrador y la ecuación que describe 
la variable de estado. 
Procediendo de forma análoga con la segunda de estas últimas ecuaciones se obtiene: 
en la que de nuevo se elige el término entre corchetes como la siguiente variable de estado, 
resultando: 
xI + blu - aIY 
(Sn-2 + an_ I Sn-3 + . . . + a2 )Y - (bnSn-2 + . . . + b2 )u 
( 1 .32) 
( 1 .33) 
Procediendo reiteradamente de la misma forma, se van obteniendo ecuaciones con la 
siguiente expresión genérica: 
hasta obtener las dos últimas ecuaciones: 
Xn- l + bn- Iu - an- I Y 
y - bnu 
( 1 .34) 
( 1 .35) 
( 1 .36) 
la última de estas ecuaciones es la ecuación de salida del sistema monovariable, que puede 
reescribirse como: 
( 1 .37) 
e introduciendo este valor de y en las ecuaciones anteriores de salida de los integradores 
representadas por su expresión genérica 1 .34, se obtiene: 
Xl = - aaXn + (ba - bnaa )u, para i = 1 
Xi =Xi- l - ai- I Xn + (bi_ l - ai- I bn )U, para 1 < i ::; n 
que, expresado en forma matricial , da lugar al siguiente modelo de estado: 
Xl O O O -aa Xl ba - bnaa 
X2 1 O O -al X2 bl - bnal 
X3 O 1 O -a2 X3 + b2 - bna2 
Xn O O 1 -an- l Xn bn- l - bnan- l 
Y = [ O O 1 ] x + bnu 
u 
( 1 .38) 
( 1 .39) 
( 1 .40) 
( 1 .41 ) www.FreeLibros.org
24 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
Ejemplo 1.6 
Ha l la r un modelo de estado del sistema descrito por : 
u(t) K(s + e) y (t) 
, S2 + as + b 
Siendo el denomi nador no factorizable en � 
se defi nen : 
con lo que: 
K(s + c)u = (S2 + as + b)y ::::} 
::::} s2y + s (ay - Ku) + by - cKu = O ::::} 
::::} s (sy + ay - Ku) + by - cKu = O 
Xl = sy + ay - K u = iJ + ay - K u 
sy = Xl - ay + K u ::::} X2 = Y 
Xl + bX2 - cK u = O ::::} Xl = -bX2 + cK U 
X2 + aX2 - K u - Xl = O ::::} X2 = Xl - aX2 + K u 
y las ecuaciones de estado son : 
-bX2 + cKu 
-ax2 + XI + Ku 
X2 
Variables de estado como salida de integradores en sistemas multivariables 
El procedimiento anterior se puede generalizar para sistemas lineales multivariables , 
representados por un conjuntode ecuaciones diferenciales y algébricas lineales. Denomi­
nando Ui , (i = 1 , . . . , m) a las distintas entradas del sistema y Wi , (i = 1 , . . . , q) al resto 
de las variables involucradas en las ecuaciones del sistema entre las que se encuentran las 
variables de salida consideradas, para que el sistema esté bien definido existirán q ecua­
ciones linealmente independientes , cada una de las cuales va a relacionar un conjunto Uj 
de entradas con un conjunto Wj de variables intermedias y de salida: www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 25 
= L (bji nj snj + . . . + bji l S + bji O )Ui para j = 1 , . . . , q ( 1 .42) 
i EU, 
verificándose que al menos uno de los coeficientes aji nj es no nulo y siendo nj = O en las 
ecuaciones algébricas. 
En cada una de las ecuaciones diferenciales se van eligiendo variables de estado de 
manera análoga al procedimiento descrito para sistemas monovariables . En primer lugar 
se reordena y se saca factor común al operador derivada: 
= L bji OUi - L aji OWi ( 1 .43) 
i EUj iEWj 
Se elige entonces como variable de estado el término entre corchetes, descomponién­
dose la ecuación anterior en las dos siguientes : 
Xjl = L (aji nj Snj - l + . . . + aji l )Wi - L (bji nj Snj - l + . . . + bji ¡ )Ui } 
i EW, iEUj 
Xjl = L bji OUi - L aji OWi 
iEUj iEWj 
( 1 .44) 
Al igual que en sistemas monovariables el procedimiento se reitera con la primera de 
las anteriores ecuaciones , obteniéndose un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer 
orden de la forma: 
Xj k = Xj k- l + L bji k- l Ui - L aji k_ lWi para k = 2 , . . . , nj 
i EUj i EWj 
junto con la ecuación algébrica: 
Xj nj = L aji nj Wi - L bji njUi 
i EWj iEUj 
( 1 .45) 
( 1 .46) 
La aplicación de este procedimiento a todas las ecuaciones diferenciales dará entonces 
como resultado un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden, siendo: 
( 1 .47) www.FreeLibros.org
26 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO 
que se pueden agrupar de forma matricial , dando como resultado una expresión de la 
forma: 
( 1 .48) 
También se obtienen q ecuaciones algébricas que se pueden agrupar de forma matricial: 
( 1 .49) 
donde, si las q ecuaciones iniciales son linealmente independientes, la matriz A2 , de 
dimensiones q x q, será no singular pudiéndose despejar, por tanto, las variables w: 
w = -A2l (E2x + B2u) 
Sustituyendo ahora en 1 .48 se obtiene la ecuación de sistema: 
( 1 . 50) 
x = Elx + Bl U - AlA2 l (E2X + B2u) = (El - AlA2 lE2) x + (Bl - AlA2 lB2 )u 
( 1 .51 ) 
Obsérvese que, al ser las variables de salida Yi un subconjunto de las variables Wi , el 
vector de salida y se obtiene directamente del vector w mediante una matriz de selección 
S, de modo que: 
( 1 . 52) 
En la sección dedicada al desarrollo de ejemplos se puede encontrar un caso de obten­
ción del modelo de estado para un sistema multivariable por este método en el Ejemplo 
1 .9. 
Variables de estado como salida de sistemas de orden reducido 
El procedimiento descrito es un método sistemático, en el que las ecuaciones diferen­
ciales del sistema se han descompuesto en integraciones sucesivas de distintos términos, 
que han sido elegidos como variables de estado del sistema, puesto que representan la 
información del sistema en cada instante y no pueden presentar discontinuidades en sus 
valores ante discontinuidades de la entrada. 
Para elegir variables de estado no es necesario descomponer las ecuaciones diferen­
ciales del sistema hasta obtener integradores puros, pudiéndose elegir alternativamente 
como variables de estado la salida de una ecuación diferencial de primer orden simple, 
o bien la salida y la derivada de ésta en una de segundo orden simple2 • En estos casos 
se descompone el sistema original en bloques con funciones de transferencia de orden 
reducido, en los que pueden elegirse sus salidas y las derivadas de sus salidas como varia­
bles de estado sin necesidad de una descomposición más pormenorizada en integradores 
puros , como la detallada anteriormente. 
Varios casos de obtención de modelos de estado según este método se pueden encontrar 
en los ejemplos agrupados en el Ejemplo 1 . 10 al final del capítulo. 
2 Como norma general , se puede elegir como variable de estado la salida del bloque si el grado del 
denominador supera en uno al del numerador; la derivada de la salida si el grado del denominador supera 
en dos al del numerador, y así sucesivamente para las derivadas de orden superior de la salida. 
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1 . 7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 
1 . 7. 3 . Variables d e estado d e fase 
La expresión genérica de un sistema monovariable: 
27 
( 1 . 53) 
puede reescribirse de la siguiente forma como cociente de dos polinomios en el operador 
derivada s : 
bmsm + . . . + bI S + bo ( 1 . 54) y = n n- l U S + an- l S + . . . + al S + ao 
El procedimiento de elección de variable de estado de fase consiste en elegir como 
primera variable de estado Xl : 
( 1 . 55) 
lo que quiere decir que Xl es una solución de la ecuación diferencial del primer término 
igualada a u. 
Se eligen las restantes variables por sucesiva derivación: 
Xn = Xn- l 
Con este criterio ya se pueden escribir las ecuaciones de estado: 
Xn 
SnXl = -an_ l Sn- lXl - an_2Sn-2Xl - . . . - al SXl - aOXl + u 
-an- lXn - an-2Xn- l - . . . - al X2 - aOXl + u 
( 1 .56) 
( 1 . 57) 
Con lo que ya puede construirse la ecuación de estado, que puesta en forma matricial 
resultará: 
o 1 O O O O 
O O 1 O O O 
O O O 1 O O 
x = x + u ( 1 . 58) 
O O O O 1 O 
-ao -al -a2 -a3 -an- l 1 
La ecuación de salida queda: 
y = (bmsm + . . . + bI S + bo ) Xl ( 1 . 59) 
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28 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
pasando esta expresión a notación matricial se obtiene: 
y = [ bo b1 b2 . . . bm O . . . O ] x ( 1 .60) 
Cuando n = m, en los casos en los que en la función de transferencia se cumple que 
gr(num) = gr(den) , entonces al ser snX1 = xn se sustituye xn por la Ecuación 1 .57: 
y (bnsn + . . . + b1 s + bo ) Xl = 
bn [-aOX1 - a1X2 - . . . - an- 1Xn + u] + 
+bn- 1xn + . . . + b1X2 + bOX1 
En este caso, la ecuación de salida sería de la forma: 
que podría ponerse en forma matricial como: 
y = Cx + Du 
( 1 .6 1 ) 
( 1 .62) 
La matriz D sólo aparece si el grado del numerador es igual al del denominador, lo 
que indica la matriz D es la acción directa de la entrada sobre la salida a la que se 
superpone una respuesta dinámica. 
1 . 7.4. Variables de Jordan 
Partiendo de la Ecuación 1 .54, la representación del sistema en variables de Jordan 
admite las siguientes opciones : 
1 . Se suponen todos los polos simples y se descompone en fracciones simples , de la 
forma: 
y = (bn + � + � + " ' + �) u s - Al S - A2 S - An 
Se le asigna una variable a cada uno de estos operadores : 
1 Xl = --u S - Al 
1 X2 = --u S - A2 
1 X3 = -- u S - A3 
1 
xn = --u s - An 
( 1 .63) 
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1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 
con lo que la ecuación viene representada por: 
x = [ �l �2 : : : 
O O 
La ecuación de salida se obtiene como: 
y = [ PI P2 . . . Pn ] X + bn u 
29 
( 1 .65) 
( 1 .66) 
2. Suponiendo que uno de los polos tiene multiplicidad r, la descomposición se reali­
zará como: 
y (b + PI + . . . + Pr- l + �+ n (s - Adr (s - Ad2 S - Al 
+ Pr+l + . . . + �) U S - Ar+l s - An 
El método de asignación de variables de estado será: 
1 1 Xl = u = --X2 ::::} (S - Al ) r S - Al 
1 1 X2 = (s _ Adr- l u = s _ Al x3 ::::} 
1 1 Xr- l = ( \ ) 2 U = --\-xr ::::} S - Al S - Al 
1 Xr = --u ::::} S - Al 
1 Xn = --u ::::} xn = AnXn + u s - An 
Con esto, la ecuación de estado queda de la forma: 
Al 1 O O O O O O Al O O O O O 
x = O O Al 1 O O O O O O Al O O x + 
O O O O Ar+l O 1 
O O O O O An 1 
( 1 .67) 
( 1 .68) 
u ( 1 .69) 
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30 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 
y la ecuación de salida toma la forma: 
y = [ PI P2 Pr- l Pr Pr+l Pn ] x + bnu ( 1 . 70) 
Cuando hay raíces múltiples,