ADICIONAL DEFINITIVO PROGRAMACION APLICADA TRABAJO FINAL MELISA

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INTRODUCCIÓN 
 
LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LA EFICIENCIA 
 
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular 
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones 
aritméticas. Estos nos vuelven 
aptos para entender esquemas 
numéricos a fin de resolver 
problemas matemáticos, de 
ingeniería y científicos, también 
para entender la amplia la pericia 
matemática y la comprensión de 
los principios científicos básicos. 
El análisis numérico trata de 
diseñar métodos para “aproximar” 
de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. 
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a 
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se 
requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la 
aproximación al problema matemático. 
 
Pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: 
 
· Cálculo de derivadas 
· Integrales 
· Ecuaciones diferenciales 
· Operaciones con matrices 
· Interpolaciones 
· Ajuste de curvas 
· Polinomios 
 
IMPORTANCIA DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA 
 
La integración numérica es de gran importancia en 
ciencias aplicadas e ingenierıa. Sus aplicaciones van desde 
cálculo de la capacidad de un pantano a partir de datos 
topográficos en el ámbito de la ingenierıa civil, hasta la 
estimación de la fuerza total ejercida por el aire sobre las alas 
de un avión en ingenierıa aeronáutica. En todas estas 
aplicaciones el objetivo es calcular una integral definida, 
 
 
con la mayor precisión y el menor coste computacional posibles. A pesar de este amplio 
rango de aplicaciones, es lıcito preguntarse porque es necesario realizar numéricamente el 
cálculo de la integral. La respuesta a esta pregunta es muy simple: no siempre es factible 
 
 
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calcular analıticamente una integral. Por ejemplo, en 
muchas aplicaciones se desconoce la expresión 
analıtica de la función que se debe integrar y solo se 
conoce su valor en unos puntos {(xi , f(xi)), i = 0, . . . , 
n}. Es más, existen varios casos en los que, 
incluso existiendo una expresión analıtica de la 
integral, es más eficiente realizarla 
numéricamente. 
 
● En determinadas ocasiones el resultado 
analıtico de la integral definida es una expresión 
bastante complicada, como por ejemplo, 
 
Nótese que calcular repetidamente esta integral puede ser muy caro desde el 
punto de vista computacional, ya que en la expresión anterior aparece una vez la 
función logaritmo y dos veces la función arco tangente cuyo coste computacional es 
muy superior al de una suma o un producto. Además, en las implementaciones 
numéricas incluso estas funciones se calculan aproximadamente. Por último, se debe 
observar que las funciones log(x) y arctan(x) pueden estar indeterminadas para ciertos 
valores de x. Por lo tanto, en estos casos también será preciso desarrollar alguna 
expresión aproximada al valor exacto de la función. 
 
 
 
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● A veces el resultado de la integral no admite una representación analıtica que 
pueda expresarse mediante un número finito de términos, como por ejemplo 
 
Obsérvese que si la serie infinita anterior se aproxima mediante la suma de un número 
finito de términos también se comete un error de truncamiento que en algunos casos, 
puede ser muy importante. Por consiguiente, también es necesario desarrollar un 
método numérico para calcular este tipo de integrales 
 
 
MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN 
 
En ocasiones el intervalo de integración tiene una longitud grande, entonces resulta 
conveniente dividirlo en subintervalos y aproximar cada una por medio de un polinomio. 
 
Método Trapezoidal Compuesto 
 
 
 
 
 
 
 
Figura. Representación del Método de Trapecio Compuesto 
En vez de aproximar la integral de f(x) en [a,b] por una recta. Conviene dividir [a, b] en n 
subintervalos y aproximar la integral de f(x) en cada subintervalo por un polinomio de primer 
grado como muestra la figura. 
Aplicamos la fórmula Trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el área del trapezoide de 
tal manera que la curva de todos ellos nos proporciona el área aproximada bajo la curva f(x). 
 
Donde: 
Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta que pasa por (X i-1, f(Xi-1)), (Xi, f(Xi)). 
Aplicando el método del trapezoide en cada subintervalo: 
 
X X0 x1 
a b 
f(x0) 
f(x1) 
f(X) 
f(x0) 
f(x1) 
f(X) 
f(x2) 
f(xn-1) f(xn) 
f(x) 
X0 x1 x2 xn-1 
xn 
a 
 
 
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Que ocurre si todos los intervalos tienen la misma longitud h, i.e., Xi+1 - Xi = hi; i=0, 
1,2,…,(n-1). 
 
Método Compuesto de Simpson 
 
Recordemos que para aplicar el método de Simpson se necesita dos subintervalos y como 
queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir el intervalo [a, b] en un número de 
subintervalos igual a 2n. 
Veamos gráficamente esto: 
 
Figura. Representación del Método de Simpson Compuesto 
Observamos que cada par de subintervalos sucesivos aproximamos f(x) por medio de un 
polinomio de segundo orden (parábola) y se integra usando el método de Simpson de tal 
manera que la suma de las áreas parciales proporcione el área total, es decir: 
 
Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dos que pasa por tres puntos consecutivos 
usando el método del Trapezoide. 
 
Donde: 
 
 
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Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos: 
 
Luego: 
 
INTERPOLACIÓN DE NEWTON ( DIFERENCIAS DIVIDIDAS ) 
 
Partiendo de n puntos (x, y), podemos obtener un polinomio de grado n − 1. El método que 
se utilizara es el de las diferencias divididas para obtener los coeficientes, el cual facilita la tarea 
de resolver un sistema de ecuaciones usando el cociente de sumas y restas. Dada una colección 
de n puntos de x y sus imágenes f(x), se pueden calcular los coeficientes del polinomio 
interpolante utilizando las siguientes expresiones: 
 
 
Finalmente, a partir de los valores obtenidos, se pueden obtener dos formas de representar 
el polinomio: 
 
 
 
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Consigna 
 
 
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CONSIGNA 
 
1) Dada la siguiente tabla de valores correspondiente a mediciones efectuadas en la Laguna 
Yalca (Pdo. Chascomús), se requiere calcular una estimación del volumen de agua disponible 
(𝐻𝑚3) en la misma cuando la cota de la superficie es de 7,97 m, aplicando: a) Regla del 
Trapecio. b) Fórmula de Simpson 
 
Cota[m] Área[km2] 
7,97 10,938 
7,27 5,175 
6,87 2,588 
6,67 0,179 
6,62 0,072 
 
Nota: para obtener intervalos iguales, ajustar una recta a los puntos dados, y después recién 
proceder al cálculo de volumen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolución en MATLAB 
 
 
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a) Para estimar el volumende agua disponible por la Regla del Trapecio primero vamos a 
encontrar un valor de 𝑥 (𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑎) entre 6.87 y 7.27; y un valor de 𝑦 (𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎) entre 2.588 
y 5.175, que luego nos permita aplicar la regla del trapecio múltiple entre 6.67 y 7.27. 
 
Para ello calculamos la cota intermedia entre 6.87 y 7.27. 
 
 
𝑥4 =
6.87 + 7.27
2
= 7.07 
 
Y para calcular el valor de “y” correspondiente a 𝑥4 = 7.07, utilizaremos la Interpolación 
Polinomial de Newton: 
 
 
Cota[m] Área[𝑘𝑚2] 
7.97 10.938 
7.27 5.175 
7.07 𝑦4 
6.87 2.588 
6.67 0.179 
6.62 0.072 
 
Script de Matlab que me permite realizar la Interpolación Polinomial: 
 
%interpolacion de newton 
function [yi, p, b]=pol_newton(x,y,xi) 
%inicializa variables 
n=length(x); 
b=zeros(n); 
b(:,1)=y(:); 
%obtener la tabla de diferencias 
for j=2:n 
 for i=1:n-j+1 
 b(i,j)=(b(i+1,j-1)-b(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); 
 end 
end 
%calcular el dato interpolado 
xt=1; 
yi=b(1,1); 
for j=1:n-1 
 xt=xt.*(xi-x(j)); 
 yi=yi+b(1,j+i)*xt; 
end 
%construir el polinomio 
p=num2str(b(1,1)); 
xx=x*-1; 
for j=2:n 
 signo=''; 
 if b(1,j)>=0 
 signo='+'; 
 end 
 xt=''; 
 for i=1:j-1 
 signo2=''; 
 
 
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 if xx(i)>=0 
 signo2='+'; 
 end 
 xt=strcat(xt,'*(x',signo2,num2str(xx(i)),')'); 
 end 
 p=strcat(p,signo,num2str(b(1,j)),xt); 
end 
 
A continuación calculamos el valor de “Y” que nos permita aplicar la regla del trapecio múltiple 
entre 6.87 y 7.27. 
 
 
 
 
 
Encontramos el valor de 𝑦4 = 5.0113 
 
Cota[m] Área[𝑘𝑚2] 
7.97 10.938 
7.27 5.175 
7.07 𝑦4 = 5.0113 
6.87 2.588 
6.67 0.179 
6.62 0.072 
 
Aquí encontramos la función genérica: 
 
 
 
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def = 0.072+2.14*(x-6.62)+39.62*(x-6.62)*(x-6.67)-75.2551*(x-6.62)*(x-6.67)*(x-
6.87)+61.9558*(x-6.62)*(x-6.67)*(x-6.87)*(x-7.27) 
Guardamos la función en una variable p: 
 
 
 
 
 
Corroboramos el valor de 𝑦4: 
 
Graficamos la función: 
 
 
 
 
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Ahora tenemos los datos que nos permiten aplicar la Regla del Trapecio entre 6.62-6.67; y 
7.27-7.97. Y podemos aplicar la Regla del Trapecio Múltiple entre 6.67-7.27 
 
Por Regla del Trapecio: 
a) Regla del Trapecio Simple 
𝑦1 =
𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
𝑦1 =
𝑦 − 𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
𝑦1 =
6.67 − 6.62
2
∗ [0.072 + 0.179] 
𝑦1 = 6.275 ∗ 10
−3 
Solución Analítica = 0.000491515 
𝑦1 = |0.000491515 − 6.275 ∗ 10
−3| = 5.783485 ∗ 10−3 
b) Regla del Trapecio Simple 
𝑦3 =
𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
 
 
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𝑦3 =
𝑦 − 𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
𝑦3 =
7.97 − 7.27
2
∗ [5.175 + 10.938] 
𝑦3 =
7.97 − 7.27
2
∗ [5.175 + 10.938] 
𝑦3 = 5.63955 
Solución Analítica = 2.57801 
𝑦3 = |2.57801 − 5.63955| = 3.06154 
El error es muy grande debido a que no poseemos la función original. 
Pero si trabajamos con un h=0.1, obtenemos un error mucho menor (suponiendo que nuestro 
polinomio se acerca mucho a la función original. 
Entonces: 𝑦3 =
𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦0) + 2∑
𝑦−1
𝑦=1 𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
Script: 
%codigo para calcular mediante trapecio múltiple 
clc 
f=input('Ingrese la funcion \n f(x)=','s'); 
a=input('ingrese el limite inferior de la integral\n'); 
b=input('ingrese el limite superior de la integral\n'); 
n=input('ingrese el numero de intervalos\n'); 
% f funcion 
% a,b intevalo 
% n numero partes 
disp('Funcion: '); 
f 
disp(strcat('De [a: ',num2str(a),'Hacia b : ',num2str(b),']')); 
g=inline(f); 
h=(b-a)/n; 
aprox=g(a)+g(b); 
for i=1:n-1 
x=a+i*h; 
aprox=aprox+2*g(x); 
end 
aprox=(h/2)*aprox; 
a=0; 
disp(aprox) 
 
 
 
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𝑦3 = 2.6474 
𝑦3 = |2.57801 − 2.6474| = 0.06939 
 
 
 
c) 
𝑦2 =
𝑦
2
∗ [𝑦(𝑦0) + 2 ∑
𝑦−1
𝑦=1
𝑦(𝑦𝑦) + 𝑦(𝑦𝑦)] 
 
El intervalo 𝐼2 es calculado mediante la Regla del Trapecio Múltiple, usando MATLAB. 
 
𝑦2 = 2.0553 
𝑦2 = |2.09356 − 2.0553| = 0.03826 
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 
 
 
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i) Con 𝑦3 = 5.63955 
𝑦 = 6.275 ∗ 10−3 + 5.63955 + 2.0553 
𝑦 = 7.701125 
𝑦 = 3.136713485 
ii) Con 𝑦3 = 2.6474 
𝑦 = 6.275 ∗ 10−3 + 2.6474 + 2.0553 
𝑦 = 4.708975 
𝑦 = 0.144563485 
 
b) Para estimar el volumen de agua disponible por la Regla de Simpson primero 
delimitaremos los intervalos para poder aplicar correctamente este método. 
 
Cota[m] Área 
7.97 10.938 
7.62 1.6820 
7.27 5.175 
7.07 5.0113 
6.87 2.588 
6.67 0.179 
6.645 0.0847 
6.62 0.072 
 
 
Script que permite realizar la Integración Numérica con Simpson 3/8: 
function ('Bienvenido, este programa usa la regla del Simpson 3/8 para 
aproximar el valor de una integral definida'); 
g=input('Ingrese la funcion: ','s'); 
f=inline(g); 
a=input('Ingrese el extremo inferior de la integral'); 
b=input('Ingrese el extremo superior de la integral'); 
k=input('Ingrese la cantidad de veces que desea aplicar el método: '); 
n=3*k; 
h=(b-a)/n; 
A=0; 
for i=1:k 
 A=A+((3*h)/8)*(f(a)+3*f(a+h)+3*f(a+2*h)+f(a+3*h)); 
 a=a+3*h; 
end 
 fprintf('El valor aproximado de la integral es: %f', A); 
end 
 
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [6.62-6.67] 
 
 
 
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𝑦1 = 0.004915 
 
Solución Analítica = 0.000491515 
𝑦1 = |0.000491515 − 0.004915| = 0.000000015 
 
 
 
 
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [6.67-7.27] 
 
 
𝑦2 = 2.093627 
 
Solución Analítica: 
𝑦2 = 2.09356 
𝑦2 = |2.09356 − 2.09627| = 0.00271 
 
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [7.27-7.97] 
 
 
 
𝑦3 = 2.578157 
Solución Analítica = 2.57801 
𝑦3 = |2.57801 − 2.578157| = 0,000147 
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 
𝑦 = 0.004915 + 2.093627 + 2.578157 
 
 
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𝑦 = 4.676699 
El error total es: 
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 
𝑦 = 0,002857015 
 
● Volumen estimado por la Regla del Trapecio: 
 
𝑦 = 4.708975 
 
● Volumen estimado por la Regla del Simpson 3/8: 
 
𝑦 = 4.676699 
 
 
 
 
 
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Resolución en EXCEL 
 
 
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Realizamos una representación gráfica de la curva con los valores que nos proporcionaron 
como datos, de tal forma que la gráfica queda: 
 
 
Cota[m] Área[km2] 
7,97 10,938 
7,27 5,175 
6,87 2,588 
6,67 0,179 
6,62 0,072 
 
 
 
 
Vamos a interpolar usando Diferencias Divididas para obtener un polinomio del cual 
podremos calcular valores sin tener un error considerablemente grande y así llegar a una 
estimación del volumen de agua disponible a través de la regla del Trapecio y Simpson 
 
 
El polinomio que calculamos es: 
 
 
 
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P(X)=10,938+8,23*(X-7,97)+1,6*(X-7,97)*(X-7,27)+8,39*(X-7,97)*(X-7,27)*(X-6,87)+61,96*(X-
7,97)*(X-7,27)*(X-6,87)*(X-6,67) 
 
Si realizamos la integral del polinomio que da por resultado el volumen de agua disponible el 
resultado es: 
 
 
 
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∫
7,97
6,62
𝑃(𝑥) = 4,67773 𝐻𝑚3 
 
Cota[m] Área[km2] Cota[m] Área[km2]7,97 10,938 7,97 10,938 
7,27 5,175 7,27 5,177 
6,87 2,588 6,87 2,589 
6,67 0,179 6,67 0,178 
6,62 0,072 6,62 0,071 
 
 
Es mucho más preciso y por lo tanto utilizamos ese polinomio para realizar los cálculos 
 
El valor de h en cada intervalo es: 
 
Valor de h Cota[m] Área[km2] 
 7,97 10,938 
0,70 7,27 5,177 
0,40 6,87 2,589 
0,20 6,67 0,178 
0,05 6,62 0,071 
 
Aplicamos la regla del trapecio para un h=0,135, de tal forma que queda dividido en 10 
intervalos y tenemos un resultado más aproximado 
 
 
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Valor de h Cota[m] Área[km2] 
 7,97 10,938 
0,135 7,84 3,774 
0,135 7,70 1,572 
0,135 7,57 2,112 
0,135 7,43 3,671 
0,135 7,30 5,018 
0,135 7,16 5,416 
0,135 7,03 4,622 
0,135 6,89 2,887 
0,135 6,76 0,957 
0,135 6,62 0,071 
 
 
¡Claramente el gráfico no es como en un principio parecía! Observamos que la curva se 
comporta de forma polinómica 
 
TRAPECIO MÚLTIPLE 
 
𝐼 =
𝐼
2
∗ [𝐼(𝐼𝐼) + 2 ∗ 𝐼𝐼(𝐼𝐼) + 𝐼(𝐼𝐼)] 
SIMPSON MÚLTIPLE 
 
 
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𝐼 =
𝐼
3
∗ [𝐼(𝐼𝐼) + 4 ∗ ∑
𝐼−1
𝐼=1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐼(𝐼𝐼) + 2 ∗ ∑
𝐼−2
𝐼=1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐼(𝐼𝐼) + 𝐼(𝐼𝐼)] 
ENTONCES: 
 
 UNIDADES 
Resultado 
cercano al valor 
original 
4,67773 Hm^3 
 
TRAPECIO MÚLTIPLE 
I 4,79695 Hm^3 
error 0,11922 
SIMPSON MÚLTIPLE 
I 4,68144 Hm^3 
error 0,00371 
 
 
 
 
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Conclusión 
 
 
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25 
En lo que respecta a cálculos, cuando analizamos los 
resultados obtenidos con MATLAB observamos que el método de 
Simpson 3/8 nos ofrece un error menor al obtenido por la Regla del 
Trapecio, es decir, que Simpson 3/8 es más preciso teniendo en 
cuenta la función obtenida a partir de la Interpolación Polinomial de 
Newton. 
 
Si analizamos los resultados obtenidos con EXCEL podemos 
observar de la tabla final, que la regla que mejor expresa los 
resultados deseados, es la solución por la Regla de Simpson, por la 
complejidad de la función a resolver, además entre más iteraciones 
tenga el ejercicio más exacta será su solución, estos métodos se 
pueden aplicar en infinidades de campos y más poder simularlos en 
aplicaciones en el área de ingeniería. 
 
Las distintas formas de resolución para encontrar la respuesta 
a la problemática planteada hace que conozcamos más aplicaciones 
de los métodos de cálculo que varían en grados de complejidad, así 
desde un problema sencillo como estimar el área de un objeto, hasta 
uno más rebuscado en lo que concierne a soluciones en las diversas 
ciencias y disciplinas que hacen uso de ellos. 
 
En particular, me parece de gran importancia el uso de los 
métodos numéricos vistos en la cursada de la materia Programación 
aplicada, estos tienen infinidades de aplicaciones en la vida cotidiana, 
me resultó muy beneficioso aprender respecto de estos temas e 
interesante a la vez. 
 
Los conocimientos proporcionados son de mucha utilidad, 
inclusive llegué a aplicarlos en otras materias que actualmente estoy 
cursando, una de ellas es Termodinámica, donde surge la necesidad 
de aplicar métodos de cálculo debido a la complejidad de las 
ecuaciones por resolver. 
 
 
 
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26 
Realizar este trabajo llevó consigo superar varias dificultades, 
como ellas aprender a utilizar MATLAB y afianzar mis conocimientos 
en EXCEL. 
 
Finalmente los conceptos interiorizados fueron bien aplicados 
y en cada momento surgen nuevas ideas de donde implementarlos. 
Cumpliendo con el objetivo del Trabajo Adicional, superando cada una 
de las cuestiones y demostrando que los conocimientos están 
afianzados de tal forma que los puedo aplicar en lo que resta de la 
carrera y en la vida cotidiana de manera adecuada, concluyo este 
trabajo que abre puertas hacia el camino de la investigación y el 
interés personal en seguir aprendiendo más para el día de mañana 
enfrentar cada una de las problemáticas que surgen en el día a día… 
 
 
Trabajo Adicional Programación Aplicada 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ingeniería 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
 
Trabajo Adicional Programación Aplicada 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ingeniería 
28 
 
 
 
 
 
 
 
Agradezco a la Docente Cristina Victoria Ayusa por 
su dedicación en la materia Programación Aplicada y por 
proveer de las herramientas haciendo que en cada una de 
las clases se trabaje de forma dinámica y concientizando 
que los métodos de cálculo tienen un gran campo de 
aplicaciones, a su vez agradezco la posibilidad de 
presentar este trabajo integrador de conocimientos que en 
la situación en la que actualmente me encuentro es de 
gran ayuda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Melisa Rocío Valdiviezo 
Ingeniería Industrial 
2018