G1 Informe TP3

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1. Los registros históricos de una cátedra con�enen la siguiente información:
a. Determine la probabilidad de que un inscripto promocione la materia.
A=Estudiante inscripto promocione lamateria .
P (A )=
100
300
=
1
3
�0,3333
Respuesta: la probabilidad de que un estudiante inscripto promocione la
materia es 0,3333.
b. Determine la probabilidad de que un estudiante que cursa (es decir, que no
está ausente) promocione la materia.
A=Estudianteque cursa promocionelamateria .
P (A )=
100
280
=
5
14
�0,3571
Respuesta: la probabilidad de que un estudiante que cursa promocione la
materia es 0,3571.
c. Determine la probabilidad de que un inscripto quede ausente o libre.
A=Estudiante inscripto quedeausente .
B=Estudiante inscriptoquede libre.
P (A )=
20
300
=
1
15
�0,0667
P (B )=
30
300
=
1
10
�0,1
P (A⇥B )= 1
15
+
1
10
=
1
6
�0,1667
Respuesta: la probabilidad de que un estudiante inscripto quede ausente o
libre es 0,1667.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 1 de 12
2. Un frasco con�ene 10 bolitas rojas y 15 azules. Determine la probabilidad de los
siguientes casos independientes entre sí:
a. La primera bolita extraída al azar sea roja.
A=Primerabolitaextraídaal azar searoja .
P (A )=
10
25
=
2
5
�0,4
Respuesta: la probabilidad de que la primera bolita extraída al azar sea roja es
0,4.
b. La segunda bolita extraída al azar sea roja. No se repone la primera bolita.
A=Primerabolitaextraídaal azar searoja .
B=Primerabolita extraídaal azar sea azul.
C=Segundabolitaextraídaal azar sea roja .
D=A∩C
E=B∩C
P (D )=
10
25
×
9
24
=
3
20
�0,15
P (E )=
15
25
×
10
24
=
1
4
�0,25
P (D⇥ E )= 3
20
+
1
4
=
2
5
�0,4
Respuesta: la probabilidad de que la segunda bolita extraída al azar sea roja
(sin reposición) es 0,4.
c. Las dos primeras bolitas extraídas al azar sean rojas. No se repone la primera
bolita.
A=Primerabolitaextraídaal azar searoja .
B=Segundabolitaextraída alazar searoja .
P (A )=
10
25
=
2
5
�0,4
P (B )=
9
24
=
3
8
�0,375
P (A∩B )=
2
5
×
3
8
=
3
20
�0,15
Respuesta: la probabilidad de que las dos primeras bolitas extraídas al azar
sean rojas (sin reposición) es 0,15.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 2 de 12
3. Una empresa de televisión de cable �ene la siguiente distribución de cables en la
ciudad:
TOTAL = 37 km
De producirse un corte de cable, determine:
a. La probabilidad de que el corte esté en el sector 5.
A=Corteesté en el sector5.
P (A )=
8
37
�0,2162
Respuesta: la probabilidad de que el corte esté en el sector 5 es 0,2162.
b. La probabilidad de que el corte esté en el sector 4 o 5.
A=Corteesté en el sector 4.
B=Corte esté enel sector 5.
P (A )=
10
37
�0,2703
P (B )=
8
37
�0,2162
P (A⇥B )=10
37
+
8
37
=
18
37
�0,4865
Respuesta: la probabilidad de que el corte esté en el sector 4 o 5 es 0,4865.
c. El sector con máxima probabilidad.
Respuesta: el sector con máxima probabilidad es el sector 4, con probabilidad
0,2703.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 3 de 12
4. La probabilidad de que alguien contraiga gripe en invierno es de 0.15. En un
consultorio médico se revisan 20 personas en una hora. Determine:
a. La probabilidad de que cuatro personas estén enfermas.
X Binomial(n , p)
n=20
p=0,15
q=0,85
p (X=4 )=(204 ) ∙0,15
4
∙0,85
20−4
p (X=4 )=(204 ) ∙0,15
4
∙0,85
16�0,1821
Respuesta: la probabilidad de que cuatro personas estén enfermas es 0,1821.
b. La probabilidad de que las tres primeras personas estén enfermas.
X Geometrica( p)
p=0,85
q=0,15
p (X=4 )=0,85 ∙0,154−1
p (X=4 )=0,85 ∙0,153�2,8687×10−3
Respuesta: la probabilidad de que las tres primeras personas estén enfermas es
2,8687×10
−3.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 4 de 12
c. La probabilidad de que la cuarta persona en ser revisada sea el primer caso de
gripe encontrado.
X Geometrica( p)
p=0,15
q=0,85
p (X=4 )=0,15 ∙0,854−1
p (X=4 )=0,15 ∙0,853�0,0921
Respuesta: la probabilidad de que la cuarta persona en ser revisada sea el
primer caso de gripe encontrado es 0,0921.
d. La can�dad de enfermos esperada y su varianza.
X Binomial(n , p)
n=20
p=0,15
q=0,85
E (X )=20×0,15=3
V (X )=20×0,15×0,85=
51
20
=2,55
Respuesta: la can�dad de enfermos esperada es 3 y su varianza es 2,55.
5. Un equipo falla con una frecuencia media de 4 veces/año siguiendo una
distribución exponencial. Determine la probabilidad de los siguientes casos:
a. El equipo falle antes del 3° año.
X Exponencial(β )
λ=4
F (X=3 )=P ( X≤3 )=1−e−4 ∙ 3�0,9999
Respuesta: la probabilidad de que el equipo falle antes del 3° año es 0,9999.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 5 de 12
b. El equipo falle durante el 3° año.
X Exponencial(β )
λ=4
P (3≤ X ≤4 )=P (X ≤4 )−P (X≤3 )=(1−e−4 ∙4 )−(1−e−4 ∙3 ) �6,0317×10−6
Respuesta: la probabilidad de que el equipo falle durante el 3° año es
6 ,0317×10
−6.
c. El equipo falle durante el 3° año, no habiendo fallado durante el primero ni el
segundo.
X Exponencial(β )
λ=4
P (X>3|X>2 )=P (X>1 )=1−P (X≤1 )=1−(1−e−4 ∙ 1)�0,0183
Respuesta: la probabilidad de que el equipo falle durante el 3° año, no
habiendo fallado durante el primero ni el segundo, es 0,0183.
d. El equipo falle seis veces en un año.
X Poisson (α)
λ=4
α=4 ∙1=4
p(N (1 )=6)=
(4 )6 ∙ e−4
6 !
�0,1042
Respuesta: la probabilidad de que el equipo falle seis veces en un año es
0,1042.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 6 de 12
e. Las cinco primeras fallas ocurran en menos de tres años.
X Erlang (k , λ)
λ=4
k=5
F (X=3 )=P ( X≤3 )=1−e−4 ∙ 3∙∑
i=0
5−1 (4 ∙3 )i
i !
F (X=3 )=P ( X≤3 )=1−e−12 ∙∑
i=0
4 (12 )i
i !
�0,9924
Respuesta: la probabilidad de que las cinco primeras fallas ocurran en menos
de tres años es 0,9924.
6. En una parada de colec�vo, los pasajeros llegan con una distribución exponencial
y �empo medio 3 min/pasajero para la línea A, y 5 min/pasajero para la línea B.
a. Determine la probabilidad de que arriben 4 personas en 6 min.
X Poisson (α)
βA=3
βB=5
λ A=
1
3
λB=
1
5
λ=
1
3
+
1
5
=
8
15
α=
8
15
∙6=
16
5
p(N (6 )=4)=
(165 )
4
∙ e
−16
5
4 !
�0,1781
Respuesta: la probabilidad de que arriben 4 personas en 6 minutos es 0,1781.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 7 de 12
b. Determine la frecuencia de paso de los colec�vos para que en el 80 % de los
casos la can�dad de personas que espera cada colec�vo no supere 6 (en total
serían 12).
βA=3
βB=5
λ A=
1
3
λB=
1
5
P (N (t )≤6 )=∑
x=0
6 ( 13∗t)
x
∗e
−(13∗t)
x!
=0,80
t=14,1930036
P (N (t )≤6 )=∑
x=0
6 ( 15∗t)
x
∗e
−(15∗t )
x!
=0,80
t=23,6665612
Respuesta: la frecuencia de paso del colec�vo de la línea A es 14,19 minutos y
de la línea B 23,66.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 8 de 12
7. En un superclásico Boca-River, el público arriba al estadio con distribución
exponencial y �empo medio 1.25 s/espectador. La probabilidad de que los
espectadores sean de River es 0.3. Determine la probabilidad de que:
a. Lleguen 30 simpa�zantes de River en un minuto.
X Poisson (α)
p=0,3
β=1,25
λ=
1
1,25
=
4
5
λR=0,3 ∙
4
5
=
6
25
αR=
6
25
∙60=
72
5
p(N (60 )=30)=
(725 )
30
∙ e
−72
5
30!
�1,1841×10−4
Respuesta: la probabilidad de que lleguen 30 simpa�zantes de River en un
minuto es 1 ,1841×10
−4.
b. Los 30 primeros espectadores lleguen en menos de un minuto.
X Erlang (k , λ)
β=1,25
λ=
1
1,25
=
4
5
k=30
F (X=60 )=P ( X≤60 )=1−e
−4
5
∙ 60
∙∑
i=0
30−1 ( 45 ∙60)
i
i !
F (X=60 )=P ( X≤60 )=1−e−48 ∙∑
i=0
29 (48 )i
i !
�0 ,9978
Respuesta: la probabilidad de que los 30 primeros espectadores lleguen en
menos de un minuto es 0,9978.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 9 de 12
c. Los 30 primeros simpa�zantes de Boca lleguen en menos de un minuto.
X Erlang (k , λ)
p=0,3
β=1,25
λ=
1
1,25
=
4
5
λB=(1−0,3) ∙
45
=
14
25
k=30
F (X=60 )=P ( X≤60 )=1−e
−14
25
∙60
∙∑
i=0
30−1 ( 1425 ∙60)
i
i !
F (X=60 )=P ( X≤60 )=1−e
−168
5 ∙∑
i=0
29 (1685 )
i
i !
�0 ,7558
Respuesta: la probabilidad de que los 30 primeros simpa�zantes de Boca
lleguen en menos de un minuto es 0,7558.
8. La temperatura de un equipo industrial sigue una distribución normal con media
50 °C y desviación estándar 2° C.
a. Determine la probabilidad de que la temperatura sea mayor a 70 °C.
X Normal(μ ,σ )
μ=50
σ=2
P (X>70 )=1−P (X ≤70 )=1−P(Z≤ 70−502 )
P (X>70 )=1−P (X ≤70 )=1−P (Z ≤10 )=1−1=0
Respuesta: la probabilidad de que la temperatura sea mayor a 70 °C es 0.
Cazón, Molloja, Pacheco Arce, Perez, Sandoval, Soliz Página 10 de 12
b. Determine la probabilidad de que la temperatura esté entre 65 y 70 °C.
X Normal(μ ,σ )
μ=50
σ=2
P (65≤X ≤70 )=P( 65−502 ≤Z ≤
70−50
2 )=P (7,5≤Z≤10 )
P (65≤X ≤70 )=P (7,5≤Z≤10 )=P (Z ≤10) ∙P(Z≥7,5)
P (65≤X ≤70 )=P (Z≤10 ) ∙ P (Z ≥7,5 )=P (Z≤10 ) ∙(1−P (Z≤7,5 ))
P (65≤X ≤70 )=P (Z≤10 ) ∙ (1−P (Z≤7,5 ) )=1 ∙ (1−1 )=0
Respuesta: la probabilidad de que la temperatura esté entre 65 y 70 °C es 0.
c. Determine el intervalo alrededor de la media que con�ene a la temperatura
con una probabilidad del 0.90.
μ=50
σ=2
1−0,90
2
=0,05
Z=1,65
P (X⇤ [50−1,65×2;50+1,65×2 ] )=P (X⇤ [46,7 ;53,3 ])=0,90
Respuesta: el intervalo alrededor de la media que con�ene a la temperatura
con una probabilidad del 0.90 es [46,7 ;53,3 ].
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