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INTRODUCCIÓN
Interpolación, un poco de historia
La historia de la interpolación comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en
las tablas exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar
linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores
intermedios. El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de
las diferencias finitas, empezando
por la cuadratura del círculo de
Wallis en 1655, con la que propuso
el principio de “intercálculo” o
interpolación. Esto fue aceptado por
Newton en 1676, lo cual le permitió
la derivación de las series
binómicas, es decir, a partir de un
problema de cuadraturas, Newton
pudo obtener el teorema binomial.
Luego se continúa con la
construcción de fórmulas prácticas
de interpolación. Aunque “la historia
de las fórmulas de interpolación es
complicada y muy discutida” (Bell,
1995, p. 421), se le puede
considerar como un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución
independiente de las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias
finitas, las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en
astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.
INTERESANTE, La interpolación en diferentes actividades humanas 
A continuación se describen diferentes actividades humanas de la actualidad, donde
aparece la noción de interpolación, posteriormente se hace un análisis de cómo emerge
implícitamente la interpolación y predicción en el movimiento. El término de interpolación
aparece de diferentes maneras, en la vida cotidiana, en el arte, en la física, en la
matemática. Por ejemplo en estadística la interpolación aparece, cuando se tiene un
censo de una población, donde las variables son: el número de habitantes y el año, por
ejemplo de 1940 a 1990, podríamos preguntarnos, si es posible utilizarlos para obtener una
estimación razonable de la población que habría en 1965, e incluso en el año 2000, este
tipo de predicciones puede obtenerse por medio de una función que corresponda a los
datos disponibles. Este proceso recibe el nombre de interpolación (Burden & Faires, 1980).
La interpolación de forma, se dibuja una forma en un punto del tiempo y se cambia o se
dibuja una nueva en otro punto. Al interpolar formas se crea un efecto similar al de
transformación y las formas parecen cambiar en el transcurso del tiempo. La animación
interpolada es una forma eficaz de crear movimiento y cambios a lo largo del tiempo y de
reducir al mínimo el tamaño del archivo. Al contrario de la animación imagen a imagen, sólo
necesita almacenar los valores de los cambios de la imagen, no la imágen completa. La
interpolación en las mediciones de temperaturas y precipitaciones son las medias
mensuales de temperatura (máxima, mínima y media) y precipitaciones. La disminución del
número de estaciones reduce la calidad de las interpolaciones y esta variación en el número
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de puntos puede introducir movimientos irreales en las series temporales de los campos
generados, con independencia del método de interpolación que se utilice; así los campos
interpolados con menos estaciones no serán capaces de captar todas las características
espaciales del fenómeno. Este inconveniente hizo necesario que se utilizara una estrategia
para garantizar que los campos de temperatura y
precipitación interpolados, este método se denomina
Interpolación Climatológicamente Asistida (ICA),
parte de la idea de realizar la interpolación, separando
las componentes espaciales y temporales. La
reconstrucción de una señal a partir de sus muestras
usando interpolación es un proceso de empleo común
en la reconstrucción aproximada o exacta de una señal
a partir de sus muestras. Para una señal de banda
limitada, si los instantes de muestra están bastante cerca, entonces la señal puede
reconstruirse exactamente, es decir, mediante el empleo de un filtro se puede efectuar la
interpolación exacta entre los puntos de muestreo. La interpretación de la reconstrucción de
una señal como un proceso de interpolación se hace evidente cuando se considera el efecto
en el dominio del tiempo del filtro. La utilización de la interpolación como una técnica tiene
un amplio espectro de utilización, tanto es así que es reformulada en cada campo que
aplica. La interpolación también es usada en: topografías, tecnologías de
comunicación, genética, biotecnologías, reconstrucción tridimensional de imágenes
médicas. 
INTRODUCCIÓN TEÓRICA DE
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
 Método del trapecio
En matemáticas la regla del trapecio es un
método de integración numérica, es decir, un
método para calcular aproximadamente el
valor de la integral definida.
 
 
 La función f(x) (en azul) es aproximada por la
función lineal (en rojo).
 
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 La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que
pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del
trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
Regla del trapecio compuesta
 
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una
integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es
continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida
representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b.
Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:
REGLAS DE SIMPSON:
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Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de
obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden
superior para conectar los puntos.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas
de Simpson.
 REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en
la ecuación:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de 
Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación: 
 REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MÚLTIPLES.
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de
integración en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
 Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
reordenando los términos, se obtiene: 
 REGLA DE SIMPSON DE 3/8.
 De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se
ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;
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para obtener
En donde
h=(b-a)/3.
 A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta
es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes. 
Aplicaciones en las diferentes ramas
El lector seguramente recuerda las importantes aplicaciones que poseen las integrales en
las diferentes ramas de la Geometría, la Física, la Química, las Ciencias Económicas y,
prácticamente, en todas las ramas del saber. Supuesto que f(x) sea continua en [a, b], la
integral se puede calcular mediante la regla de Barrow (también llamada de Newton –
Leibniz), donde F(x) es cualquier primitiva de f(x), es decir, una función cuya derivada de
una función sea f(x).
El punto débil de este procedimiento analítico para evaluar una integral es la obtenciónde
una función primitiva. Para muchas funciones sencillas se obtienen primitivas con mayor o
menor dificultad pero, en muchos casos se presentan integrales para las cuales no existen
primitivas que se puedan expresar en términos de funciones elementales.
Lo peor es que, en muchas ocasiones, se trata de integrandos sencillos (es decir, formados
por funciones elementales). Por supuesto que, si no se tiene una primitiva expresada en
términos de funciones elementales, no es posible evaluarla en los límites de integración, y la
regla de Barrow se hace inaplicable.
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CONSIGNA
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CONSIGNA
Corriente arriba de una represa, el agua ejerce una presión,
p(z )=d∗g∗(D−z )
medida en N/m^2 y ejercida a una elevación z metros por encima del fondo fluvial. Si se
omite la presión atmosférica, la fuerza f puede ser determinada al multiplicar la presión por
el área de la cara de la represa. Esta área se obtiene integrando la función w(z) que
proporciona el ancho del río a una altura z del lecho y toma valores según figura:
Debido a que ambas, la presión y el área, varían con la elevación, la fuerza total se obtiene
al calcular
F= ∫ d∗g∗w(z )∗(D−z )dz
Donde d=103 kg/m^3 es la densidad del agua, g=9,8 m/s^2 es la aceleración debida a la
gravedad y D=60 es la elevación en metros de la superficie del agua por encima del fondo
a) Calcular la fuerza total ejercida por el agua en la cara de la represa, empleando los
datos proporcionados en la figura. Utiliza la fórmula de Trapecio para segmentos
múltiples con 6 intervalos
b) Calcula la fuerza total ejercida por el agua mediante la fórmula compuesta de
Simpson para 10 intervalos
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RESOLUCIÓN
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RESOLUCIÓN
Como es una función simétrica podemos calcular el área debajo de una de las curvas y al 
finalizar multiplicarlo por 2
A su vez, el valor de X es la media del ancho que nos proporcionaron, por lo tanto, si 
ponemos como nombre eje X al eje horizontal de la gráfica, obtendremos:
Media del
ancho X Y
61 0 0
65 4 10
67,5 6,5 20
80 19 30
87,5 26,5 40
95 34 50
100 39 60
En la tabla anterior tomamos como referencia el primer valor de la media del ancho como un
punto que se ubica en 0, por lo tanto lo tomamos como referencia para el cálculo de los 
demás valores correspondientes a X
Si 61 le corresponde 0 entonces a 65 le corresponde (65-61) que es igual a 4 y así 
sucesivamente con los demás valores, a fin de hacer notar una gráfica fácil de interpretar
Gráfica correspondiente a los valores de X e Y anteriormente calculados
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Observamos que sigue una misma tendencia con respecto a los
valores que le corresponden a la gráfica original
Para saber cómo varía la función y obtener valores de tal forma que h sea constante 
interpolamos y obtenemos un polinomio con los valores encontrados de X e Y
Entonces:
POLINOMIO DE LAGRANGE
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El polinomio encontrado es:
Comprobamos que la función nos de valores muy próximos a los reales, y por lo tanto 
procedemos a realizar el cálculo de verificación
Valor de X Valor de la Valor de X Valor de la
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función función
0 0 0 0
4 9,99995 4 10
6,5 19,99981 6,5 20
19 29,99628 19 30
26,5 39,99003 26,5 40
34 49,97886 34 50
39 59,96824 39 60
Observamos que la función encontrada tiene un valor de Y muy cercano al real
Con la función P(x) podemos calcular el error, si bien no es el exacto obtendremos una muy 
buena aproximación
I=2∗∫
0
39
❑P(x )=2∗¿1257,89 N = 2515,78 N
Por lo tanto procedemos a realizar los cálculos correspondientes aplicando las distintas 
reglas, primero usaremos la Regla del Trapecio y luego Simpson
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REGLA DEL TRAPECIO MÚLTIPLE
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TRAPECIO
La consigna pide que trabajemos con la fórmula de Trapecio para segmentos múltiples con 
6 intervalos, por lo que realizamos la siguiente operación:
h=
0+39
6
=6,5
TRAPECIO
X Y Valor de h
0 0
6,5 19,99981 6,5
13 30,72629 6,5
19,5 30,17904 6,5
26 39,00238 6,5
32,5 48,99146 6,5
39 59,96824 6,5
El gráfico correspondiente a los 6 intervalos es:
Una vez realizado el gráfico y luego de haber comparado con el correspondiente a la 
función original, podemos calcular el área bajo la curva
REGLA DE TRAPECIO PARA SEGMENTOS MÚLTIPLES
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I=
h
2
∗[ f (xo)+2∗Σf (xi)+ f (xn)]
REGLA DE TRAPECIO
Fuerza 2515,78 N
I 1292,74015 N
I TOTAL 2585,4803 N
Error 69,7003
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REGLA DE SIMPSON MÚLTIPLE
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SIMPSON
La consigna pide que trabajemos con la fórmula compuesta de Simpson para segmentos 
múltiples con 6 intervalos, por lo realizamos la siguiente operación:
h=
0+39
10
=3,9
SIMPSON
X Y Valor de h
0 0
3,9 9,58261 3,9
7,8 24,14364 3,9
11,7 30,36985 3,9
15,6 30,24601 3,9
19,5 30,17904 3,9
23,4 34,24526 3,9
27,3 41,56049 3,9
31,2 47,77321 3,9
35,1 50,68072 3,9
El gráfico correspondiente a los 10 intervalos es:
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REGLA DE SIMPSON PARA SEGMENTOS MÚLTIPLES
I=
h
3
∗[ f (xo)+4∗ ∑
i=1 impares
n−1
❑ f (xi)+2∗ ∑
i=1 pares
n−2
❑ f (xi)+ f (xn)]
REGLA DE SIMPSON
Fuerza 2515,78 N
I 1276,957916 N
I TOTAL 2553,915832 N
Error 38,135832
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CONCLUSIÓN
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CONCLUSIÓN:
En este trabajo pudimos aplicar el concepto de interpolación y los distintos métodos
de integración, ya que al tratar de resolver tuvimos inconvenientes al no saber exactamente
cómo era la función w(z) y por lo tanto desconocíamos el comportamiento de la función p(z),
pero teníamos los puntos que la describen, entonces nos dimos cuenta que podíamos
utilizar interpolación puesto que su principal utilidad es obtener una nueva función
partiendo de un conjunto de puntos. 
Para finalizar tenemos una serie de conclusiones, primeramente concluimos que la
importancia de los métodos numéricos es una herramienta fundamental para la vida
profesional como también para la obtención de resultados más exactos con la ayuda de un
software para facilitar la obtención del resultado.
Los conocimientos aprendidos en el transcurso de la materia nos sirvieron para la
obtención de la resolución del problema dado que a la vez puede ser un problema cotidiano,
como ser el concepto de interpolación que nos ayudó mediante una cantidad mínima de
puntos a obtener la función aproximada necesaria para poder calcular el área requerida y
así poder, a su vez, obtener la fuerza que ejerce el agua en las paredes de la represa dato
que en algún trabajo específico sería primordial.
Otro concepto que nos facilitó la resolución del ejercicio es la obtención de la integral
mediante el concepto de “integración numérica” el cual usamos la herramienta “excel” para
tener una mayor exactitud y rapidez a la hora de realizar el cálculo mediante los métodos
pedidos.
También observamos la exactitud de los métodos al calcular una función o el
resultado de una integración, dichos casos si quisiéramos resolver por conceptos
específicos del análisis matemático el tiempo de resolución sería mucho más largo y podría
generar algún tipo de error al ser procedimientos de mucha complejidad.
Finalmente concluimos en forma grupal que la utilización e información de los
métodos numéricos es de suma importancia ya que nos permiten resolver diversos
problemas de forma eficiente y pueden ser aplicados en distintos campos ya sea en la vida
cotidiana o profesional, también podemos decir que los métodos numéricos son importantes
para encontrar resultados aproximados a sistemas complejos utilizando solo las
operaciones matemáticas más simples , además que es algo que se renueva de forma
constante en la actualidad con el fin de facilitar y obtener resultados aproximadamente
verdaderos que genera a la vez en el campo de investigación progresos de forma muy
avanzada. 
La cantidad de problemas que se abordan aumentan dia a dia y la calidad de los
resultados se ajusta más a la realidad. Debemos tener en cuenta que para resolver cada
problema de los métodos numéricos es necesario tener ordenporque la cantidad de datos
pueden ser demasiados y podremos observar ciertos errores, también se necesita tener los
programas necesarios para resolver cada método en este caso utilizamos el programa
“Excel” que nos resultó demasiado eficaz a la hora de obtener los resultados.
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