Factorización de expresiones algebraicas

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FACTORIZACION	
  
	
  
La	
  factorización	
  es	
  el	
  proceso	
  inverso	
  a	
  la	
  multiplicación.	
  Cuando	
  factorizamos,	
  deshacemos	
  lo	
  que	
  
hicimos	
  al	
  multiplicar.	
  Factorizar	
  entonces,	
  es	
  escribir	
  una	
  expresión	
  como	
  un	
  producto	
  de	
  dos	
  o	
  
más	
  factores.	
  Se	
  efectúa	
  invirtiendo	
  el	
  proceso	
  de	
  aplicar	
  los	
  productos	
  Notables	
  o	
  Especiales.	
  Tal	
  
descomposición	
  es	
  considerada	
  completa	
  cuando	
  cada	
  factor	
  algebraico	
  es	
  un	
  factor	
  primo.	
  
Se	
   conocen	
   como	
   Factores	
   de	
   una	
   expresión	
   algebraica,	
   a	
   las	
   expresiones	
   algebraicas	
   que	
  
multiplicadas	
  entre	
  sí	
  dan	
  como	
  producto	
  la	
  primera	
  expresión.	
  
Por	
  ejemplo:	
   x	
  (x	
  +	
  y)	
  =	
  x2	
  +	
  xy;	
  	
  x,	
  (x	
  +	
  y)	
  son	
  los	
  factores	
  de	
  	
  x2	
  +	
  xy.	
  
No	
  todos	
  los	
  polinomios	
  se	
  pueden	
  descomponer	
  en	
  dos	
  o	
  más	
  factores	
  distintos	
  de	
  uno,	
  pues	
  hay	
  
expresiones	
  algebraicas	
  que	
  sólo	
  son	
  divisibles	
  entre	
  ellas	
  mismas	
  y	
  entre	
  uno,	
  por	
  lo	
  tanto,	
  no	
  son	
  
el	
  producto	
  de	
  otras	
  expresiones	
  algebraicas.	
  
Factorización	
  de	
  Factor	
  Común	
  
La	
  factorización	
  más	
  simple	
  se	
  basa	
  en	
   la	
  propiedad	
  distributiva:	
  ab	
  +	
  ac	
  =	
  a(b	
  +	
  c).	
  Este	
  tipo	
  de	
  
factorización,	
  remueve	
  el	
  factor	
  común	
  de	
  los	
  términos.	
  Por	
  ejemplo,	
  el	
  polinomio	
  	
  
Por	
  ejemplo:	
  
1. a2	
  +	
  2a	
  =	
  a	
  (a	
  +	
  2),	
  el	
  factor	
  común	
  de	
  la	
  expresión	
  algebraica	
  es	
  a	
  en	
  los	
  dos	
  términos.	
  Y	
  
se	
  obtiene,	
  identificando	
  la	
  menor	
  potencia	
  de	
  ese	
  factor,	
  en	
  este	
  caso	
  es	
  1,	
  por	
  lo	
  cual	
  a	
  
es	
  el	
  factor	
  común.	
  
2. 3b2	
  –	
  5bc	
  +	
  6b	
   tiene	
  como	
  factor	
  común	
  a	
  b	
  en	
   los	
  tres	
  términos.	
  Al	
   factorizar,	
   tenemos	
  
entonces	
  que	
  b(3b	
  –	
  5c	
  +	
  6).	
  
3. 3x2	
  +	
  6x3	
  =	
  3x2	
  (1	
  +	
  2x),	
  el	
  factor	
  común	
  es	
  3x2	
  en	
  los	
  dos	
  términos.	
  
4. 22pq2	
  –	
  33qr	
  =	
  (11)(2)pq	
  2	
  –	
  (11)(3)qr	
  =	
  11q	
  (2pq	
  −3r).	
  
Trinomio	
  Cuadrado	
  Perfecto	
  
Un	
   trinomio	
   cuadrado	
   perfecto	
   es	
   una	
   expresión	
   algebraica	
   de	
   la	
   forma	
   a2+2ab+b2.	
   Para	
  
determinar	
  si	
  un	
  trinomio	
  es	
  cuadrado	
  perfecto	
  se	
  debe:	
  	
  
1. Identificar	
  los	
  dos	
  términos	
  que	
  son	
  cuadrados	
  perfectos	
  obteniéndoles	
  su	
  raíz	
  cuadrada.	
  	
  
2. El	
  tercer	
  término	
  corresponde	
  al	
  doble	
  producto	
  de	
   la	
  raíz	
  cuadrada	
  de	
   los	
  dos	
  términos	
  
del	
  punto	
  anterior.	
  	
  
Para	
  factorizar	
  un	
  trinomio	
  cuadrado	
  perfecto:	
  	
  
1. Se	
  obtiene	
  la	
  raíz	
  cuadrada	
  de	
  los	
  términos	
  que	
  son	
  cuadrados	
  perfectos	
  del	
  trinomio.	
  	
  
2. Se	
   anotan	
   los	
   dos	
   términos	
   anteriores	
   como	
   una	
   suma	
   algebraica	
   elevada	
   al	
   cuadrado,	
  
tomando	
  el	
  signo	
  del	
  doble	
  producto.	
  
3. Lo	
  anterior	
  queda	
  expresado	
  como	
  a2+2ab+b2	
  =(a+b)2	
  o	
  bien	
  a2-­‐2ab+b2	
  =(a-­‐b)2.	
  
Ejemplos:	
  
1. a2	
  -­‐	
  2	
  ab	
  +	
  b2	
  	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
  	
   a2	
  -­‐	
  2ab	
  +	
  b2	
  =	
  (a	
  -­‐	
  b)2	
   	
  
2. 1	
  +	
  14x2y	
  +	
  49x4y2	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
   1	
  +	
  14x2	
  y	
  +	
  49x4	
  y2	
  =	
  (1	
  +	
  7x2y)2	
  
Factorización	
  por	
  Diferencia	
  de	
  Cuadrados	
  
Se	
   llama	
  diferencia	
  de	
  cuadrados	
  a	
  un	
  binomio	
  de	
   la	
  forma	
  a2	
  –	
  b2	
  en	
  donde	
  a	
  y	
  b	
  son	
  números	
  
reales.	
  
Se	
  dice	
  que	
  dos	
  binomios	
  son	
  conjugados,	
  cuando	
  tienen	
  los	
  mismos	
  términos	
  y	
  si	
  difieren	
  sólo	
  en	
  
un	
  signo.	
  Por	
  ejemplo	
  a	
  +	
  b	
  y	
  a	
  –	
  b,	
  3	
  +	
  2n	
  y	
  3	
  –	
  2n,	
  –	
  m	
  +	
  k	
  y	
  –	
  m	
  –	
  k.	
  
La	
  factorización	
  de	
  una	
  diferencia	
  de	
  cuadrados	
  es	
  igual	
  al	
  producto	
  de	
  dos	
  binomios	
  conjugados:	
  
a2	
  –	
  b2	
  =	
  (a	
  +	
  b)	
  (a	
  –	
  b).	
  Nótese	
  que	
  el	
  término	
  que	
  cambia	
  de	
  signo	
  en	
  los	
  binomios	
  conjugados	
  es	
  
el	
  correspondiente	
  al	
  término	
  que	
  se	
  resta	
  en	
  la	
  diferencia	
  de	
  cuadrados.	
  
Ejemplos:	
  
1. x2	
  -­‐	
  y2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
  	
  (x2	
  -­‐	
  y2	
  )	
  =	
  (x	
  +	
  y)(x	
  -­‐	
  y)	
   	
  
2. a10	
  -­‐	
  	
  49b12	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
  	
  (a10	
  -­‐	
  49b12	
  )	
  =	
  (a5	
  +	
  7b6)(a5	
  -­‐	
  7b6)	
   	
  
3. 	
  4x2	
  -­‐	
  81y4	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
  	
  (4x4	
  -­‐	
  81y4	
  )	
  =	
  (2x	
  +	
  9y2)(2x	
  -­‐	
  9y2)	
   	
  
Factorización	
  de	
  una	
  Suma	
  de	
  Cubos	
  	
  
La	
  factorización	
  de	
  una	
  suma	
  de	
  cubos,	
  se	
  apoya	
  en	
  el	
  hecho	
  de	
  que	
  es	
  divisible	
  entre	
  a	
  +	
  b.	
  Si	
  se	
  
realiza	
  la	
  división,	
  lo	
  que	
  se	
  obtiene	
  es:	
  	
   	
  𝒂
𝟑!𝒃𝟑
𝒂!𝒃
= 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐.	
  	
  
Donde	
  esta	
  suma	
  queda	
  factorizada	
  como:	
   	
  𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 (𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐).	
  
Ejemplo:	
  
1. Factorizar	
  	
  	
  	
  	
  x9	
  +	
  125	
  
Por	
  lo	
  tanto,	
  x9	
  +	
  125	
  =	
  (x3	
  +	
  5)	
  (	
  x6	
  -­‐	
  5x3	
  +	
  25	
  ).	
  
2. Factorice	
  	
  	
  64x3	
  +	
  27y6	
  
Por	
  lo	
  tanto,	
  64x3	
  +	
  27y6	
  =	
  (4x	
  +	
  3y2)	
  (	
  16x2	
  -­‐	
  12xy2	
  +	
  9y4	
  ).	
  
Factorización	
  de	
  una	
  Diferencia	
  de	
  Cubos	
  	
  
Diferencia	
  de	
  cubos	
  
Se	
  llama	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  a	
  un	
  binomio	
  de	
  la	
  forma	
  a3	
  –	
  b3	
  en	
  donde	
  a	
  y	
  b	
  son	
  números	
  reales.	
  
Las	
  siguientes	
  expresiones	
  son	
  ejemplos	
  de	
  diferencias	
  de	
  cubos:	
  27	
  –	
  x3,	
  m6	
  –	
  n9,	
  a12	
  –	
  1.	
  	
  
Factorización	
  de	
  una	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  	
  
La	
  factorización	
  de	
  una	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  a3	
  –	
  b3,	
  es	
  el	
  producto	
  de	
  un	
  binomio	
  y	
  un	
  trinomio	
  de	
  
la	
  siguiente	
  forma:	
  a3	
  –	
  b3	
  =	
  (a	
  –	
  b	
  )	
  (	
  a2	
  +	
  ab	
  +	
  b2	
  ).	
  El	
  binomio,	
  es	
  la	
  diferencia	
  de	
  las	
  raíces	
  cúbicas	
  
de	
  cada	
  término	
  de	
  la	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  y	
  el	
  trinomio,	
  es	
  muy	
  semejante	
  a	
  un	
  trinomio	
  cuadrado	
  
perfecto,	
  pero	
  el	
  término	
  cruzado	
  no	
  es	
  multiplicado	
  por	
  dos.	
  
Ejemplo:	
   	
  
1. Factorizar	
  	
  125x3	
  –	
  27y6	
  
Por	
  lo	
  tanto,	
  125x3	
  –	
  27y6	
  =	
  (5x	
  –	
  3y2)	
  (25x2	
  +	
  15xy2	
  +	
  9y4	
  ).	
  
2. Factorizar	
  1	
  –	
  z6	
  	
  
Por	
  lo	
  tanto,	
  1	
  –	
  z6=	
  (1	
  –	
  z2)(1+z2+z4).	
  	
  
Obsérvese	
  que	
  el	
  binomio	
  de	
  la	
  factorización	
  es	
  una	
  diferencia	
  de	
  cuadrados,	
  que	
  también	
  puede	
  
escribirse	
  como	
  1	
  –	
  z2	
  =	
  (	
  1	
  +	
  z	
  )	
  (1	
  –	
  z),	
  por	
  lo	
  que	
  finalmente	
  1	
  –	
  z6	
  =	
  (	
  1	
  +	
  z	
  )	
  (1	
  –	
  z)	
  (	
  1	
  +	
  z2	
  +	
  z4	
  ).	
  
	
  
Factorización	
  de	
  un	
  trinomio	
  de	
  la	
  forma	
  x2+bx+c	
  
Para	
  factorizar	
  un	
  trinomio	
  de	
  la	
  forma	
  x2+bx+c:	
  
1. Se	
  obtiene	
  la	
  raíz	
  cuadrada	
  del	
  término	
  que	
  se	
  encuentra	
  elevado	
  al	
  cuadrado 𝒙𝟐 = 𝒙.	
  	
  
2. Se	
   eligendos	
   números	
  m	
   y	
  n	
   que	
   al	
  multiplicarse	
   den	
   como	
   resultado	
   el	
   número	
   c,	
   es	
  
decir,	
  	
  (m)(n)	
  =	
  c.	
  
3. Los	
  dos	
  números	
  m	
  y	
  n	
  al	
  sumarse	
  deben	
  dar	
  como	
  resultado	
  el	
  número	
  b,	
  m	
  +	
  n	
  =	
  b.	
  
4. El	
  trinomio	
  factorizado,	
  es	
  el	
  producto	
  de	
  dos	
  binomios:	
  	
  x2+bx+c	
  =	
  (x	
  +	
  m)	
  (x	
  +	
  n).	
  
Ejemplo:	
   Factorizar	
  	
  x2	
  +	
  3x	
  +	
  2	
  
Solución:	
  	
  
La	
  raíz	
  cuadrada	
  de	
  x2	
  es	
  x.	
  Se	
  elegirán	
  dos	
  números	
  m	
  y	
  n	
  que	
  multiplicados	
  den	
  como	
  resultado	
  2	
  
y	
  que	
  sumados	
  den	
  como	
  resultado	
  3,	
  es	
  decir	
  mn	
  =	
  2	
  y	
  m+n	
  =	
  3.	
  Los	
  números	
  entonces	
  son	
  m=1	
  y	
  
n=2,	
  porque	
  (1)(2)	
  =	
  2	
  y	
  1	
  +	
  2	
  =	
  3.	
  	
  
Por	
  lo	
  tanto	
  la	
  factorización	
  del	
  trinomio	
  es:	
  	
  x2	
  +	
  3x	
  +	
  2	
  =	
  (x+1)(x+2)	
  
Factorización	
  de	
  un	
  trinomio	
  de	
  la	
  forma	
  ax2+bx+c	
  	
  
Para	
  factorizar	
  un	
  trinomio	
  de	
  la	
  forma	
  ax2+bx+c:	
  
1. Se	
  eligen	
  dos	
  números	
  d	
  y	
  e	
  que	
  multiplicados	
  den	
  como	
  resultado	
  a,	
  (d)(e)	
  =	
  a.	
  
2. Se	
  eligen	
  dos	
  números	
  f	
  y	
  g	
  que	
  multiplicados	
  den	
  como	
  resultado	
  c,	
  (f)(g)	
  =	
  c.	
  
3. El	
  coeficiente	
  b	
  es	
  igual	
  a	
  la	
  suma	
  de	
  los	
  productos	
  ef	
  y	
  dg	
  como	
  se	
  indica	
  ef	
  +	
  dg	
  =	
  b.	
  
4. La	
  factorización	
  del	
  trinomio	
  es	
  ax2+bx+c	
  =	
  (dx	
  +	
  f)(ex	
  +	
  g).	
  Como	
  se	
  puede	
  observar	
  d	
  y	
  e	
  
se	
  multiplican	
  por	
  la	
  variable	
  a	
  la	
  primera	
  potencia.	
  
Ejemplo:	
  	
   Factorizar	
  	
  6x2	
  +7x+2	
  	
  
Solución:	
  	
  
En	
  el	
  trinomio	
  6x2+7x+2,	
  el	
  coeficiente	
  6=(2)(3)	
  y	
  2=(2)(1),	
  entonces	
  (2)(2)+	
  (3)(1)=	
  4+3	
  =	
  7.	
  
Por	
  lo	
  tanto,	
  la	
  factorización	
  del	
  trinomio	
  es:	
   	
  6x2+7x+2	
  =	
  (2x+1)(3x+2).