Solución Problema 3 - Dinámica de la Partícula

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

Soluciones a los problemas del Tp N° 4–Dinámica de la partícula 
Problema 3 
Datos 
𝑃𝐴 = 10𝑁 𝑚𝐴 = 1,02 𝑘𝑔 
𝑃𝐵 = 20𝑁 𝑚𝐵 = 2,04 𝑘𝑔 
𝐹 = 10𝑁 
Incógnitas 
a) Realizar el diagrama de cuerpo libre, especificando los pares de interacción 
b) Determinar las fuerzas de contacto con las superficies 
c) Determinar la aceleración de los cuerpos 
Resolución 
El diagrama de cuerpo libre, se utiliza para aislar un cuerpo u objeto en estudio, y señalar todas las fuerzas externas 
que se aplican sobre él, y luego aplicar la segunda ley de Newton. 
El diagrama de cuerpo libre, que señalaremos con la sigla DCL, recurriremos a un video en el aula virtual para ver 
algunos ejemplos de DCL cuyo enlace es: 
https://www.youtube.com/watch?v=7AVmPRVNRpc 
 
Para el caso de la figura 1. (a) 
Del gráfico tenemos información que actúa sobre el bloque A una fuerza externa llamada F y procedemos a Identificar 
las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo de la figura 1. (a) que son el peso y la normal: 
Peso [P]: Es la fuerza peso aparece en todos los casos que estudiaremos puesto que los cuerpos están en interacción 
con la Tierra, a dicha interacción se la denomina gravitatoria. 
El punto de aplicación está sobre el cuerpo. 
La dirección es la recta que coincide con la vertical. 
La magnitud es P= m.g 
El sentido es hacia abajo (apuntando hacia el centro de la Tierra) 
 
Primero dibujamos el cuerpo, que es nuestro sistema de estudio en este caso un bloque apoyado sobre una superficie 
horizontal, luego colocamos la fuerza P. 
 
Sabiendo que 𝑃 = 𝑚𝑔 , compruebe los valores 
señalados para la masa. 
https://www.youtube.com/watch?v=7AVmPRVNRpc
 
Como el bloque A está apoyado sobre una superficie horizontal actúa una fuerza Normal 
Normal [N]: es la fuerza que resulta de la interacción entre un cuerpo y la superficie con la que está en contacto y que 
tiene las siguientes características: 
El punto de aplicación está sobre el cuerpo. 
La dirección es la perpendicular a la superficie de apoyo 
La magnitud depende del sistema de fuerzas que actúa sobre el objeto de análisis 
y el sentido es siempre desde la superficie hacia el cuerpo 
 
 
El diagrama de cuerpo libre DCL para la figura 1. (a) 
Considerando la normal el peso y las componentes rectangulares de la fuerza 
externa 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 30° y 𝐹𝑦 = 𝐹 sen 30°, el DCL queda como en la figura que se 
muestra en la derecha. 
 
b) Cálculo de las fuerza de contacto del bloque con la superficie 
 
Debido a que la dirección de la fuerza de contacto NA que queremos determinar tiene la dirección vertical, 
consideramos la componente de la fuerza resultante según el eje y 
 
 𝐹𝑦 = 𝑚𝐴𝑎𝑦 
No hay movimiento según el eje Y, implica que la componente de la aceleración según el eje y es igual a cero (𝑎𝑦 =
0), por lo tanto: 
 𝐹𝑦 = 0 
Reemplazamos los módulos de las componentes de las fuerzas actuantes y el sentido está dado por el signo que 
corresponde con el sistema de referencia que hemos tomado, en este caso serán positiva las fuerzas que tengan 
sentido hacia arriba y negativas las que van hacia abajo 
𝑁𝐴 + 𝐹𝑦 − 𝑃𝐴 = 0 
A 30
0
 
F 
P 
Superficie 
N
A
 
A 30
0
 
F 
P 
𝑁𝐴 = 𝑃𝐴 − 𝐹𝑦 = 10𝑁 − 10 𝑠𝑒𝑛 30ᵒ 
𝑁𝐴 = 5𝑁 
Para el caso de la figura 1 (b), 
 
El diagrama de cuerpo libre DCL para la figura 1. (b)Se analizan por separado los dos cuerpos A y B, se identifican 
las fuerzas externas que actúan sobre cada cuerpo y se representan en los siguientes Diagrama de cuerpo libre: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Cálculo de las fuerzas de contacto con las superficies 
 Si aplicamos la segunda Ley de Newton, se tiene: 
Para el cuerpo A como el objeto no se mueve en la dirección de y la componente de la aceleración ay=0 se tiene: 
 𝐹𝑦 = 𝑚𝐴𝑎𝑦 por lo tanto 𝐹𝑦 = 0 
𝑁𝐴 + 𝐹𝑦 − 𝑃𝐴 = 0 
𝑁𝐴 = 𝑃𝐴 − 𝐹 𝑠𝑒𝑛30ᵒ 
𝑁𝐴 = 10 𝑁 − 10 𝑁 𝑠𝑒𝑛 30ᵒ 
𝑁𝐴 = 5 𝑁 
Para el cuerpo B, en el eje y se tiene las siguientes fuerzas: 
Fuerza Normal NB con dirección vertical y sentido hacia arriba que resulta de la fuerza ejercida por la superficie inferior 
de apoyo del bloque B 
Fuerza Normal 𝑁´𝐴que corresponde al par acción reacción entre el bloque A y el B. El bloque A ejerce una acción B 
𝑁𝐴y el bloque ve responde con una fuerza de reacción 𝑁´𝐴que tiene la misma dirección, distinto sentido y actúan sobre 
cuerpos distintos en forma simultánea. 
 
 𝐹𝑦 = 𝑚𝐵𝑎𝑦 𝐹𝑦 = 0 
30
º
 
F 
b) 
A 
B 
Nota: El diagrama de cuerpo libre para el 
bloque A, es el mismo que realizamos en la 
parte a), por lo tanto, NA tiene el mismo valor 
¿Si es que no se aplica la fuerza externa F el 
valor de NA seria el mismo? 
𝑁𝐵 − 𝑃𝐵 − 𝑁´𝐴 =0 
𝑁𝐵 = 𝑃𝐵 + 𝑁´𝐴 
Como 𝑁𝐴 = 𝑁´𝐴 ya que son par acción reacción sus módulos son iguales 
𝑁𝐵 = 20𝑁 + 5𝑁 
𝑁𝐵 = 25𝑁 
Para el caso de la figura 1 (c), 
Para iniciar el tema sugerimos visualizar un video en el aula virtual para ver el DCL para un plano inclinado para la 
identificación de ángulos en un plano inclinado https://www.youtube.com/watch?v=iCAadj5DM8U 
Y resolución de un ejercicio con plano inclinado https://www.youtube.com/watch?v=CKo-1n5WYF4 
El enunciado presentado en el video es el siguiente : una caja de 110 kg está subiendo a velocidad 
constante por una rampa que está inclinada 34° respecto de la horizontal. a) ¿Qué fuerza horizontal F se 
requiere para hacer subir la caja? b) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la rampa sobre la caja? 
 
La figura 1 (c) se trata de un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado es decir plano que forma un ángulo con el eje 
positivo de las x 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre el objeto actúa la fuerza externa F.; la fuerza de atracción de la Tierra, que es su peso P= mg; la fuerza que el 
plano ejerce sobre el cuerpo, que es la normal NA 
Para iniciar la resolución fijamos nuestro sistema de referencia, en general para el plano inclinado se coloca uno de los 
ejes paralelo al plano y el sentido positivo se toma 
donde se supone que tiene la dirección el movimiento 
del objeto, para la resolución del problema suponemos 
en este caso que el cuerpo de masa mA sube por el 
plano inclinado, lo que determina el sentido de la 
aceleración 
Descomponemos la fuerzas peso según la dirección del 
eje x e y elegidos. 
El ángulo formado por la fuerza peso y el eje y es igual 
al ángulo del plano inclinado de 30 °, por lo tanto la 
componente del peso 𝑃𝐴𝑌 es el cateto adyacente del 
triangulo rectángulo y por lo tanto queda 
 
A 
30
º
 
20
º
 
F 
N
A
 
P
A
 
30
0
 
Sistema 
De 
Referencia 
 
A 
30
º
 
20
º
 
F 
c) 
https://www.youtube.com/watch?v=iCAadj5DM8U
https://www.youtube.com/watch?v=CKo-1n5WYF4
𝑃𝐴𝑌 = 𝑃𝐴 cos 30° 
𝑃𝐴𝑥 = 𝑃𝐴 sen 30° 
Las componentes de la fuerza F son las siguientes 
𝐹𝑥 = 𝐹 cos 20° 
𝐹𝑦 = 𝐹 sen 20° 
El DCL de la masa 𝑃𝐴 muestra las fuerzas en función de sus componentes 
y luego, entonces aplicando la segunda Ley de Newton a la masa según el eje y para el 
cálculo de la normal 
 𝐹𝑦 = 0 
𝐹𝑦 + 𝑁𝐴 − 𝑃𝐴𝑌 = 0 
𝑁𝐴 = 𝑃𝐴 . cos 30ᵒ − 𝐹. 𝑠𝑒𝑛20ᵒ = 10𝑁. cos 30ᵒ − 10𝑁. 𝑠𝑒𝑛 20ᵒ 
𝑁𝐴 = 5,24𝑁 
c) Cálculo de la aceleración 
Para averiguar la aceleración de los bloques en cada figura, debemos aplicar la segunda Ley de Newton teniendo en 
cuenta la dirección del movimiento que se tomará como positiva (es decir las fuerzas que vayan en la dirección del 
movimiento tendrán signo positivo en la suma de fuerzas), en este caso el movimiento ocurre en la dirección del eje 
positivo de las x, por lo tanto: 
 𝐹𝑋 = 𝑚.𝑎𝑥 
Para la figura 1 (a) vemos que según el DCL en el eje x solo actúa la componente de la fuerza Fx por lo tanto la 
ecuación queda: 
𝐹𝑋 = 𝑚𝐴 .𝑎𝑥 
Despejando la aceleración 
𝑎𝑥 =
𝐹𝑥
𝑚𝐴
=
𝐹 cos 30ᵒ
1,02 𝑘𝑔
 
𝑎𝑥 = 8,49 
𝑚
𝑠2
 
𝑎 = ( 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 ) 
𝑚
𝑠2
 
𝑎 = ( 𝑎𝑥 𝑖 + 0𝑗 ) 
𝑚
𝑠2
 
 𝑎 =
𝑎𝑥 
𝑎 = 8,49 
𝑚
𝑠2
 y su dirección es horizontal 
Para la figura 1(b) la sumatoria de fuerzas queda igual que para la figura (a): 
𝐹𝑋 = 𝑚𝐴 .𝑎 
Despejando la aceleración 
𝑎 =
𝐹𝑥
𝑚𝐴
=
𝐹 cos 30ᵒ
1,02 𝑘𝑔
𝑎 = 8,49 
𝑚
𝑠2
 su dirección es horizontal 
 
 
Para la figura 1(c): 
𝐹𝑋 − 𝑃𝐴𝑋 = 𝑚𝐴 𝑎 
Despejo la aceleración: 
𝑎 =
𝐹 cos 20ᵒ − 𝑃𝐴 𝑠𝑒𝑛 30ᵒ
𝑚𝐴
 
𝑎 =
10 𝑁 𝑐𝑜𝑠20ᵒ − 10𝑁 𝑠𝑒𝑛 30ᵒ
1,02 𝑘𝑔
 
𝑎 = 4,31
𝑚
𝑠2
 
la dirección de la aceleración es paralela al plano inclinado y el sentido es hacia arriba del plano inclinado