11 Integral de línea - Arturo Lara (1)

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1- 11 Integral de línea
Considérese un punto inicialmente en P¡ (x¡, y¡, z¡\ que se desplaza hacia una posición final Pf (Xf, y¡, Zf) siguiendo una curva específica, C, (“línea” o “trayectoria”) tal como se muestra en la figura 1-22. Todo el recorrido a lo largo de esta trayectoria puede ser considerado como la suma vectorial de una sucesión de desplazamientos infinitesimales ds a lo largo de C. Supóngase que existe un campo vectorial A tal que su valor puede encontrarse para cada punto del recorrido. En cada punto intermedio se evalúa A, se multiplica su componente en la dirección de ds por la magnitud de ds y se suman todas estas cantidades. El resultado de esta operación recibe el nombre de integral de línea de A a lo largo de C, y está dada por
Í'A cos0¿Zs= f A eos &ds = f A-ds	(1-50)
<	Jc	Je
Quizá el ejemplo más conocido de una integral de línea sea el trabajo realizado sobre una partícula; en este caso A es la fuerza que actúa sobre la partícula.
pt	Figura 1-22. Relaciones para el cálculo de una integral de línea.
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Vectores
Si la trayectoria de integración siguiera una curva cerrada, por ejemplo un círculo, los puntos inicial y final coincidirían. En este caso la integral de línea se escribe así:
(^) A-ds
A esta integral a veces se le llama la circulación de A; dependiendo de la naturaleza de A, ésta puede o no ser igual a cero, tal como se verá más adelante.
Si r es el vector de posición de cada uno de los puntos C, entonces ds = dr, por lo que se pueden usar (1-20) y (1-34) para tener
•ds = I (Axdx + Aydy + Azdz)
(1-51)
I A
c
Al usar (1-51) se debe tener cuidado de tomar en cuenta que dx, dy y dz no se pueden variar independientemente debido a que las coordenadas x, y, y z están relacionadas entre sí por la ecuación de la curva. De manera similar, las expresiones para Ax =AX (x, y, z), etc., deben ser escritas tomando en cuenta esta interdependencia. Estas consideraciones quedarán mejor ilustradas al considerar el siguiente ejemplo específico.
Ejemplo
Sea A = x2x + y2y + z2z y escójase como trayectoria aquella parte de la parábola y 2 = x que se encuentra entre el origen (0,0,0) y el punto (2, y/T, 0); esta curva es exactamente la parábola ilustrada como u2 = 0 en la figura 1-21. Aquí z = const., de manera que dz - 0 y el integrando de (1-51) resulta simplemente
Axdx + Aydy = x2dx +y2dy
Se puede escribir esto en función de una sola variable por medio de la ecuación de la curva. Dado que y2 =x, 2y, dy -dx o dy ~dx!2\Tx y y2 dy = \l2d~xdx-, así se obtiene