Lumbreras - Álgebra esencial (Amor a Sofía)

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V i ..enjuntos numéricos
Lectura de motivación 
Números naturales (N) 
Números enteros (Z)
Números racionales (Q) 
Números irracionales (I) 
Números reales (R) 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
u a y e s Ge e x p o n
Lectura de motivación
13
14
15 
20 
25 
25 
30 
41
Concepto 
Potenciación 
Definiciones
Propiedades de la potenciación
Radicación en R PAR
para
Propiedades de la radicación lMOR á
66
Diferencia de cuadrados 
Cubo de un binomio 
Suma y diferencia de cubos 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
M::v n .
Lectura de motivación 
Definiciones previas 
Valor numérico 
Cambio de variable 
Polinomio de una variable 
Polinomios de más de una variable 
Polinomios especiales 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
n P r o d u c t o s n o ta b le s
Lectura de motivación 
Concepto
Trinomio cuadrado perfecto 
Identidades de Legendre 
Multiplicación de binomios con un 
término común
78
85
86 
86
90
91
División de polinomios 
SO ectura de motivación 
Definición 
Tipos de división 
Propiedades
Método de división de Horner 
Regla de Rufftni 
Cálculo del resto 
Cocientes notables 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
93
96
97 
100 
116
123
124
125 
127 
130 
137 
137 
140 
156
163
164
167
168 
172 
177 
180 
183 
189 
202
p*m
o
Lectura de motivación 
Concepto
Factor de un polinomio 
Polinomio primo 
Factores primos 
Métodos de factorización 
Divisores binómicos 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Lectura de motivación 
Concepto
Solución de una ecuación 
Conjunto solución (CS)
Ecuación lineal
Determinación de una variable 
en términos de las otras
Ecuaciones cuadráticas
El discriminante
Propiedades de las raíces (teorema de 
Carda no)
Ecuaciones de grado superior 
Ecuación bicuadrada 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
5 fp| Desigualdades
207 Lectura de motivación 307
208 Definición 308
209 Números reales 310
213 Propiedades fundamentales 313
214 Intervalos 316
217 Problemas sobre variaciones 323
230 Problemas sobre máximos y mínimos 331
240 Resolvemos juntos 338
256 Practiquemos lo aprendido 355
O inecuacionest- i r
261 Lectura de motivación 361
262 Concepto 362
262 Inecuación lineal 368
262 Inecuación cuadrática 369
263 Inecuación polinomíal de grado superior 381
Inecuación fraccionaria 385
264 Resolvemos juntos 389
265 Practiquemos lo aprendido 406
271 1 n Valor absolutoIU
272 Lectura de motivación 411
275 Noción geométrica 412
278 Definición 413
282 Ecuaciones con valor absoluto 420
302 Inecuaciones con valor absoluto 423
Tí ¿V
Desigualdad triangular 
Método de zonas 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
T e o r ía de fu n c io n e s
Lectura de motivación 
Concepto de función 
Definición de función 
Regla de correspondencia 
Funciones reales
426
428
432
450
iGráfica de una función real
Función como conjunto 
de pares ordenados
455
456••. A ] I
458
‘ 460 
462 
465 í
I
laticos
Í67
Ecuación logarítmica 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
S is te m a ds e c u a c io n e s
Lectura de motivación 
Definición 
Clasificación 
Sistemas lineales 
Sistemas no lineales 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
523
527
543
549
550 
552 
552 
565 
569 
585
I
Funciones como modelos matemàtici os 468 |
I í ^ g ra m a c ió n lin e a l
Lectura de motivación 591
Funciones elementales 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
L o g a r itm o s
Lectura de motivación
Definición
Teoremas
Cologaritmo
Antilogaritmo
470AMOft
486
501
507
508 
512 
522 
522
S O F
Inecuaciones lineales con dos variables 592
Gráfica de una Inecuación lineal
con dos variables 592
Sistema de inecuaciones lineales
con dos variables 596
Programación lineal (bidimensional) 599
Resolvemos juntos 603
Practiquemos lo aprendido 622
Glosario 630
Bibliografía 631
‘•yvUr-]'
' ¡y A-
pr&pmé
r: y •-. ■' •■■f’.
'
- - - ü p j
...••" " , .... t •' . •' -.
§•-*'• fe ? " * # ' - ' Ay" .
■'■•. ' l.:. ¡t&J .' ......... *»,
" "• i-
i M P l S
; ■MrAkt'■:■ yfi»99---- ■ v ■-•^ v. v■■‘■ñt&f' ■■ vl8in>ív'i-; ' : '•/ ¡ :'
En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales 
aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los 
conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la 
necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los 
hombres antiguos necesitaban medir longitudes, determinar 
áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al 
enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no 
era suficiente contar con los números naturales para obtener 
estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de 
divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores 
que la misma, pero que no involucraban a los números 
naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto 
surgiendo así los números racionales.
La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer 
usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena 
de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan­
do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2 
kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números 
racionales.
n ro n. U V* i< ti 7 V-*> ¡ »
Identificar los números enteros y racionales.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme­
ros enteros.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme­
ros racionales.
El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene 
relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia­
ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc. 
Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.) 
en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los 
capítulos posteriores.
;ív - ,
I
g j / Í a
__ í___
a* •mam
iVÍmSy1 “K
Los signos de sumar y restar 
(+ y -) comenzaron a usarse a 
partir deí siglo xv. Antes se usa­
ban palabras o abreviaturas. En 
el caso de la suma se usaba p 
(plus) y para la resta m (minas).
í
Cuadrados mágicos
Este juego consiste en un cua­
drado con nueve casillas, donde 
se debe colocar nueve núme­
ros diferentes que sumados en 
vertical, horizontal y diagonal 
siempre den el mismo resulta­
do. Utiiice los números deí 1 al 9 
y complete el cuadrado mágico.
7
4
1
1. NUMEROS NATURALES (N)
Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad 
de nuestros antepasados de contar los elementos de un con­
junto (por ejemplo, los animales de un rebaño) y de asignar un 
símbolo a una determinada cantidad de objetos.
El primer conjunto numérico que se considera es el de los nú­
meros naturales, el cual está representado por
N={1; 2; 3; 4 ; . . . }
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cuales­
quiera, el resultado siempre será un número natural.
Ejemplos *"'* '
* 8 + 7 = 1 / * 5-9=45é v -4 A*i x... W -¿ySrSV St 1k J v-..’:' J
La suma 15 y el producto 45 son números naturales. En cambio, 
si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no 
siempre será un número natural. #
£ % ✓ , ; K y
Ejem plos j
• 8-5=3 12 + 3=4
Los resultados son números naturales, pero 5 -8 y 3+12 no son 
números naturales. Así, dentro del sistema de números natu­
rales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre 
podemos restar o dividir.
nnm
S=1 + 2 + 3 + ... + n —>
Ejemplo
5=1+2 + 3 + ... + 30 -> S =
30(30 + 1) = 465
2
1.1.2. Suma de los n primeros números impares
S-1+3 + 5+7+...+2/7-1 -»
Ejemplo
S= n¿
•S=1+3 + 5+7+...+39 -4 S=202=400
-»2/7-1-39 —> n-20
1.1.3. Suma, de los n primeros números pares
5—2+4+6+8 + ...+2/?
-+ S=n(n+1)
Ejemplo
/
S=2+4+6+uóÍ
I 'mz. w $
\ Á - i
V /
# » - > 5=20(20+1)=420
v t T jQ k . £ ja
)-20
JÜKb '*.# &
% ¿Vi *
i ^ »r. fe
En la vida real hay situaciones en jas que los números naturales 
no son suficientes. ,4
Por ejemplo, si tienes y debes S/.15, ¿de cuánto dinero 
dispones?
\ í/
A continuación veremos otros ejemplos de situaciones en las 
que se necesitan números enteros.
• “Debe S/.133” se escribe -133.
• “Tiene S/.113” se escribe +113.
• “El buzo está a 15 m de profundidad” se escribe -15.
• “El globo está a 20 m de altura” se escribe +20.
• “Bajamos al sótano 4" se escribe -4.
• “Nació en el año 234 antes de Cristo” se escribe -234.
• “El avión vuela a 3225 m de altura” se escribe +3225.
. “El termómetro marcaba 5 °C bajo cero" se escribe -5.
E! s¡gno = apareció en el siglo yvn 
y padece que la idea surgió porque 
' no hay dos cosas más iguales que 
dos rectas paralelas”.
Complete los siguientes cuadra­
dos mágicos:
?i ■ i, . ! ÍT 7- 6
2 4 6
li T i ;
5 9 
á• ; ; ¡ ! i
De los ejemplos podemos deducir que los números enteros 
son una ampliación de los números naturales.
A los números negativos en ia 
Antigüedad los llamaban núme­
ros ficticios., absurdos o raíces 
falsas.
Descubra cuál de estos cuadra­
dos es un cuadrado mágico. 
Indique, en el caso correcto, 
cuái es el valor de la suma de 
cada línea.
2 -1 -4 
5 -16 8 
-10-14 -7
-3 _ ~> i_ 5
0 2 4
-1 6 1
Los números naturales se consideran enteros positivos.
■- Los números enteros negativos van antecedidos del signo - . 
- .El cero es un número entero, pero no es negativo ni positivo.
2.1. La recta numérica
Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en 
la recta numérica.
... -3 -
números epteros
Ejemplo
"y Vi** wÍCv*“ y
¿Cuál es el valor de M y de N?
números enteros positivos 
o números naturales
Valor de M=1 
Valor de N= -3
Cuanto más a la derecha está situado un número 
en la recta numérica, es mayor.
Cuanto más a la izquierda está situado, es menor.
Veamos los siguientes ejemplos dados en la recta numérica:
N M
1.
Notemos que -1 está más a la izquierda que 3, entonces -1 
es menor que 3. Se escribe -1 < 3.
2. Determinamos el número mayor y el número menor.
M N
— ---- *-----i-----— *—-—i----- 1------1------>►
- 6 • - 2 0
Notemos que -6 está a la izquierda de -2 , entonces -6 es 
menor que -2 .
Por lo tanto, el número mayor es -2 y el menor es -6.
3. Hallamos el valor de A y de B.
<-------- 1----- 1----- \----- i-----+.---- *------>
4 0 B
El valor de 4 = -4 y de B=1.
4 B
El valor dé 4 = -6 y de 5=3.
/ ¿0 '.* . \$ 4-0 40* %
Aplicación h ™ m *
J ? ... 
47
Escriba el s ig n ó lo slsegúri convenga. f !p
%_ w J W / C W ‘ 
- 3 ....- X m - 2 / . . 4 4a.
Tiíí'í
4*-'\■# V0 A ~ * 1 .#
I / oEscribimos el signo que c o rre sp o n d í// 
a _ k ^ / u . 4 ^ : 4 c. 4 > - 8
RESOLUCION
-3 > -7 b.%;%2' V
APLICACION 2 -
Ordene de menor a mayor, 
a. 6 ;-5 ;-1 0 ; 12 b. 4 ;-2 1 ;-6 ;-4 ; 6
Resolución
a Ubicamos los números en la recta numérica.
-10 -5 0 6 12 
La respuesta es -10; -5 ; 6; 12.
b. Ubicamos los números en la recta numérica.
Por lo tanto, de menor a mayor, los números son 21, 6, 
-4 ; 4; 6.
Ejemplos
• (-2)5=2(-5)=-(2'5)=-10
. (-4)3=4(-3)=-(4-3)=-12
2.2. Operaciones con números enteros
2.2.1. Suma y diferencia de números enteros 
Veamos los siguientes ejemplos:
° +6+3=9
Si tengo S/.6 y me dan S/.3, entonces tengo S/.9.
• —7 —8 =—15
Si debo S/.7 y gasto S/.8, entonces acumulo una deuda de 
S/.15.
- 6+ 8=2
Si tengo S/.8, pero debo S/.6, entonces tengo S/.2. 
-5 + 3 = -2
Si debo S/.5 y tengo S/.3, entonces debo S/.2.' '-V. „
Por otro lado, para sumar 3 o más números enteros, tenemos 
dos métodos: 0 \ ...
a. Agrupar los dos primeros sumandos y sumar el resultado al 
tercer sumando, y asi sucesivamente.
Ejemplo ¿i '' í*' 'BN.V ' V*
{ VCé
+7-5+4= +7-5 +44+2+4=6 O--' **9Hm**éP "i'/ «
b. Sumar los positivos por un lado y los negativos por el otro, y
finalmente hallar el resultado.
Ejemplos
• -8 + 9 -4= -8-4 + 9 = -1 2 + 9 = -3
• + 6-4+ 9-5= + 6+ 9-4-5= + 15-9= 6
Si ios dos signos son iguaies, el resultado es 
positivo Si los dos signos son diferentes, el re­
sultado es negativo.
•+(+o)=+a • -(-n)-+a
• f(-£7 )~-o • - (ro )--o
Ejemplos 
+ (+ 2)=2 
+(-3)=-3
-(-/)- ? 
-(+5)--5
Capítulo t Conjuntos numéricos
Cuando se presentan algunos ejercidos del 
tipo (-5)+(-2), debemos tener en cuenta lo 
siguiente:
Eliminar los paréntesis: -5 -2 
Operar: -7 
(—5)+(—2)=—7 
Ejemplos
1. Hallamos los resultados de las siguientes 
operaciones:
a. (+4) + (-5)=+4-5=-1
b. (-2) + (+4)=-2+4=2
c. (+1)-(+9)=+1-9=-8
d. (+3)-(-8)=+3+8=11
e. (-1) - (+ 7) =-1 - 7=- 8 /8
f. -(-5)+(+7)=+ 5+7=J2
g. - ( + 3 ) + ( + 1 ) - ( + 5 ) = - % 1 - % ^ - 7 / ; 2
Ejemplos
• (+5)(+3)=15
• (—3)(—7)= 21
(+4) (-2)=-8 
(—5)(+ 3)=—15
Para dividir números enteros debemos seguir 
los siguientes pasos:
1. Dividir los números sin signos.
2. Aplicar la regla de signos.
/-Í'K-.jm r , '
'íPh'. Mi <¡ejr
(+) + (+)=+
H * B = +
Ejemplos 
■ 24-^ (+6)=4
• -20=(-4)=5
• +16-r(-8)=-2
- -32+(+2)--16
(+ )* (- )= -
(- ) - (+ )= -
2. Efectuamos las siguientes operaciones: |
a. 7+5=12
% i Ti
A % :b. -5 -3 = -8 . | '% : %%. * i
c. 7-3=4 %■ |p * :%s i
d. -6+13=7
e. -4+ 6-7= + 2-7= -5 :
f 4—6+8=—2+8=6 :
g —2+5—9=+3—9=—6 :
2 2.2. Multiplicación y división de números 
enteros
Para multiplicar números enteros debemos se- 
guir los siguientes pasos: 
f Multiplicar los números sin signos.
2. Aplicar la regla de signos.
(+)•(+)=+ (+ )• (- )= -
(_ ) .(^ )= + ( - ) ( + ) = -
2.2.|^p¿^cigpes combinadas
fty ''T^ ' p ' **
Cuando se .van a efectuar operaciones combi-
* hay. que tener en cuenta las siguientes
• ^
% fno hay paréntesis, primero se efectúan 
todas las multiplicaciones y divisio es. Con 
los resultados obtenidos se hacen las su­
mas y restas.
Si hay paréntesis, se efectúan primero las 
operaciones de los paréntesis de acuerdo 
con las reglas anteriores.
Aplicación 3
Efectúe
5-(+4)‘(-2).
Resolución
Del dato
5-(+4H-2)
5 —(— 8)
• 5+8=13
9
Aplicación 4
Efectúe
3 + (-6)t (+4-7).
Resolución
Operamos
Por tanto, dentro del sistema de los números 
enteros, podemos sumar, multiplicar y restar, 
pero no siempre podemos dividir.
Para superar la limitación de la división, exten­
demos el sistema de los números enteros (Z) 
al sistema de los números racionales (Q).
3 + (-6)-r(+4-7) 
3+(-6)*(-3J 
3 + (+2)=+3+2=5
Aplicación 5
Resuelva
donde a=numerador y ¿>=denominador.
“ 7+[—2 - (-14) * (+2)]. /
Ejemplos
Resolución
fA' .A
? ... W M / jk . í
¡ €fc- 1
1
2
3 0AC 46 n 3 3■;— ; 46 - — ; 0,3 = — 
7 1 10
Del dato
- 7+[- 2 - (-14) * (+2)]
* » ?• V f \ ¡S ."% w ■ • &• ■ • j&fcsr Jf
Ve ú«{c . ,
X * ........ ,
.... ^
-7+[—2 - (—7)] 
-7+I-2+7] ;?• \ f %
<>ví- *«;/*
. ■"a' 3 01' - y - no están definidos.o y o
i ■... . _ j
-7+(+5)=-7+5=-2
3. NÚMEROS RACIONALES (Q) w 
Es claro que los números naturales también 
son números enteros. Si sumamos, multiplica­
mos o restamos dos números enteros cuales­
quiera, el resultado también será un número
entero.
Por ejemplo,-4+8=4, (—4)(6)=—24 y 4 -9 = -5 
son enteros, pero aún no podemos dividir 
un entero entre otro y obtener un entero 
como resultado. Por otro lado, vemos que 
8 * (-2)=-4 es un número entero; pero - 8 * 3
3.1. Adición y sustracción de fracciones
a. Cuando dos fracciones tienen un común 
denominador, pueden sumarse simple­
mente sus numeradores.
a b a + b
- + - - ---------------• x c c
V__ _________ _.
Una regla similar se aplica a la sustracción.
a b a b
no lo es. V
Ejemplos
_5_ +J ! _ 5+11 _ 16 
13 13" 13 " 3
9 + 5 = 9 + 5 _1 4 
7 + 7 7 ~ 7 “ 2
_3 5 _ 3 -5 -2 -1
2x 2x 2x 2x x
5 ! 7 _ 5 + 7 __ 12
6 6 6 6
5 2 _ 5 — 2 _ 3 
a a a a
b. Cuando dos fracciones tienen denomina-■'i ' ¿
dores diferentes, se procede de la siguien-/
te manera: &
a c ad+bc 
b + d bd .
"■í>
%i
■víV
«í'} jfi-
Una regla similar se aplica a la sustracción.
Ejemplos
5 1 5-2 + 1-6 10 + 6 _ 16 _ 4~
£ + 2 = 6.2 = 12 _ 12_ 3
5 1 5-4-1-6 20 — 6 14 _
é ' ? " 6-4 24 " 2 4 12
. x 3y _ 4-x+3y-6 _ 4x + 18y 2x + 9y 
6+ 4 " " “6-4 24 12
, 2 ^ 3 2 _ 3-5 + 2-1 _ 15 + 2 _ 17 
5 " l + 5 " 5-1 5 ~ 5
4 4 2 4-1-2-7 _ 4 -14 _ 10
7 7 1 " 7-1 7 " 7
c. Casos particulares
Suma de un número entero con unat
fracción
$ a;
Ejemplos
: ! ✓ \ 15 + 1 16* 3 + - = ------= —
X / „ 2 12 + 2 14 
3 3 3
Resta de un número entero con una 
fracción
b ac-b 
g - ~ - ------
c c
Ejemplos
2 20-2 18
4 - ? = — =T
3 _ 2 8 -3 = 25 
7 4 " 4 46-4
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
-bf
rr*- I <!/•
1 '
í
/ ■[Reto.a lg B Ü errr--:..-
Establezca' si cada una de las 
igualdades es válida o no. Lue­
go reemplace cada proposición 
falsa por una verdadera.■ • ■ ■ \ ' \ W ’ I i 1 ; : ’ i [ //
;]!
1 ■ ! ! II H ! i (•; m {
b..
c.
e.
a. = _
5 + 5 ~ 5/ ’ y v’ / / f
5 ■ 5__ 5 
3 + 4~ 7
2 | 5 _ 2-f5
3 + 9 3 + 9
1 1 _ 1 
2 + 5 ~ 2 + 5
2 _ 1 
2 + 7 ~ 1 + 7
x + y ----- = x
y
2 5 , 7
3 + 9 ~ 12
/> -
j l ! i | //.
L a
Aplicación 6
Determine el resultado de operar —K 4 5
Resolución
Del dato
13 16 _ 13-5-16-4 
4 5 ~ 4-5
6 5 -6 4 ^ 1
20 “ 20
A plicac ió n 7
Indique el valor de la siguiente operación:
Í 4 - 1 1 M
V 4 A 5 3
Reso lució n
Operamos;
J w . * \
A > , \
+ I J p
**■ .... y í
16-1Y 3 + 5
4 A 15
Aplicación 8
Cr 3 f2-, 1;; f 2 ) 17Efectúe 2 • — + - - - + — .4 VS 2 3 J 5
Resolución
Operamos
, 3 (2 1 2^ 17
2
i ■»,,? Wws
32 l 2 + 1 7 3 + 2 7 ^ 2 0 + 1 7^ + l l Ó ' 3 j + T _ 2 + l 30 + 5
15-3 7 17-6 45 + 7 + 102
15.2 + 30 5-6 30
154 = 77 
30 15
3.2. M ultip licación de fracciones
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en pri­
mer término los dos numeradores y luego los dos denomina­
dores.
Ejemplos
r \
1 1 ,
2-7 14
3-11 33
S V 2-5 _ 10 _ 5 
7 A 6 y ~ 7-6 _ 42 21
f A ^/ y'2x • 4 >
3x
3y
v y \
':<v: :
§ %
, 1 t ^ j n - 5 / £‘■fe ''W* & -ir 1§ %.v á- ** r* «5*.' x\' ... <5 » X '
Av.:„
3.3. D ivisión de fracciones
» V . . x „íj . V ’'* -v
Para dividir una fracción f 4 | t 4 la'íégúrida fracción se invier/V * .
/Mk '%te y después se multiplica por la primera.
%_____ 3Vj ------ ,i5-,
' % . X'- ( c ^1 ; $ 
b.¡ d ) l .
' c A a d
i c J be
3
10x
Ahora repasemos los temas anteriores con 
otros ejemplos. i d + 4 y = l + l . 3 y3 y 3 y 3y
1 1 1-2 —1-6 2 - 6 
6 2 “ 2-6 12
4
12
1 1 1-15 + 1-10 _ 15 + 10 _ 25 _ 1
10+ 15 ~ 10*15 ” 150 “ 150 6
2. -n , ,2 </2 i 191/2
3y 3y 3y
a 2 ¡ a ^ ^
3¿> v¿> 2a,
o
|SII
x x 3x + 2x 5x 
2 + I ” 2-3 ~~6
a -6 a b -5a-a b-b-3 -5a¿ +3b‘--------- i---—---------- 1--------- —---------------
3b a 3b-a o b-3 3ab
a a 3 -o 2 o -2a -a
6b 2b 6b 3-2b 3• 2 M ~ 6 b «n 3¿>
Aplicación 9
Calcule el valor de la expresión M.
2 V 
J + 12>
1 + 1 =
.10 4 y
Í'2*4 + J 4 7 fcÜ ST+.T3*4 12 J v 10 4 y ;
.12
" i "
4^>
x + 2x
28 + 10 
40
3
.4. 40 y
. 3 T 1 11%. 5 ..I 3 M = — -- Í- - + - - 5 + - 2 \ 4 . 2 3 J 4
Resolución
, "
% | ¿/Operamos
19
20.
57
80
. íi *H* 
fe
2*1 1 _ 2 + 1 _ 3
2 *x 2x 2x 2x
o o _ a a-6 _ a -6a _ -Sa 
6b b 6b b-6 6b 6b
3 Í 1 1 5M = — — -5- — + —+ 5 
214 2 3
3+ —
4
« = l
 ^ 1 t i 1
7 ' T + b * x
3+ —4
„ ■ I
1 1 
—+ -
2 3 ;
^ 3 
+ —
3 f 3 + 2 j 3
M = á - r J + 4
i + i
6x 4x 
14x
2 -7 -x + 3*3
2 2*6x *x 3 *4x ‘
14x + 9
+
12x2 12x¿ 12x
M ¿ í 5
M = I
^ 3 5 3 8+ - _> m = - + - = -
4 4 4 4
2
M = 2
Capítulo t
A plic a c ió n 10
Se tiene la siguiente fracción irreductible:
4 i ) f 2 > f 4 1
~ + — -r --------- h-2
v5 10 J 13 J v9 2 )
Halle el valor de b-(3+4a). 
Reso lu c ió n
Además, podemos sumar, multiplicar, restar y 
dividir dos números racionales (exceptuando 
la división entre cero) y el resultado siempre 
será un número racional. De esta manera, las 
cuatro operaciones fundamentales de la arit­
mética (adición, sustracción, multiplicación y 
división) son posibles dentro de los números 
racionales.
Operamos
o
~b
a
V
o
~b
15-2 10;
2 [ 3-3 
V 3 + 3 .
V i
9 / ■^2
8 + 3 
10 .
2 + 9"|
. 3 , § + 2
'11 v rn"! ' í i '
JO y ,3 J Wiy
3 1
10 + 9
■ y
£ = 2 _ 1
b ' 10 9
£ = — 
b 90
a _ 27-10 
b~ 90
A W 
'%K
Entonces a=17 y b=90.
Nos piden
_ (3 4c7)=90 — (3+4-17)=90—(71)=19
4. NUMEROS IRRACIONALES (ü)
Debemos recordar que un número es racional 
si podemos expresarlo como la razón de dos 
enteros con denominador diferente de cero.
Acr 2. _ jL - £ v 7 = - son ejemplos de núme-
Asl 3' 10' 5 Y 1
ros racionales.
; También existen algunos números de uso co- 
• mún que no son racionales (es decir, no se 
i pueden expresar como la razón de dos ente- 
i ros); por ejemplo, y¡2, \Í3 y n no son números 
racionales, tales números se denominan nú­
meros irracionales.
; Ejemplos
__f % n
0 % ' -jr~i
j f 5. NÚMEROS REALES V i)
: La Unión de los números racionales e irracio- 
nales es el conjunto de los números reales.
R
I
S : n/7 ;^ 5 ;ti; -
; Ejemplo
Dado el siguiente conjunto:
o ^
-10 ; 50 ;— ; 0,538; V il ; 1,2;
! • Los números naturales son 2 y 50.
Relación entre los números y 
los ángulos
* Los números enteros son 2; -10 y 50.
• Los números racionales son
2;-10 ; 50; y ; 0,538; 1 , 2 y - y 
° Los números irracionales son VÜ y IÍ2..
5.1. P ro p i ed a ú me ros reales
Todos sabernos que 2+3=3+2 y que 9+6=6-t-9, y así sucesi­
vamente. En álgebra expresamos estos hechos de la siguiente 
manera: a+b=b+a, donde o y b son dos números cualesquie­
ra, es decir, a+b=b+a es una manera concisa de decir “cuan- 
do se suman dos números, no importa el orden en el que se 
sumen”. Este hecho se conoce como la propiedad conmutativa 
de la suma. ^ . f ' / A , / ' '
Ahora veamos algunas propiedades.
5.1.1. Propied ad^oí p u tat i va
Si a y b son dos números cualesquiera,-entonces
Cuando se suman dos números, no ¡m- a+b-b+a porta e| orcjen
Cuando se multiplican dos números, no 
ab =b° importa el orden.
Ejemplos
• 3+7=7+3
• 3 + (-8)= (-8)+3
. 3-7=7-3
• 3 (-8 H -8 )3
5.1.2. Propiedad asociativa
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en­
tonces
[5(3c7Ó)]2<7=(5 ■ 3 • 2)(a■ a) •b=30a2b 
5x+(4y+2x)=5x+(2x+4y)=(5x+2x)+4y=7x+4y
Cuando se suman tres nú- 
{a+b)+c=a+(b+c) meros, no importa cuáles 
dos se sumen primero.
Cuando se multiplican tres 
(iab)c=a(bc) números, no importa cuáles
dos se multipliquen primero.
Ejemplos
• (2+3)+7=2 + (3+7)
• (4+7)+11=4+(7+11)
• (3-7)-8=3-(7-8)
• (2-3)-7=2-(3-7)
5.1.3. Propiedad distributiva^ v ' /
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en­
tonces cuando se multiplica un número por 
una suma de dos números se obtiene eLrnís- ; 
mo resultado al multiplicar el número por cada 
uno de los términos y luego sumar los .resul­
tados.
a{b+c)=ab+oc
(b+c)a=ba+ca
Ejemplos
• 2(3+7)=2-3+2-7=6+14=20
. (—2)(3 + (—8))=(—2)3+(—2)(—8)=—6+16=10
. x(y+3)=*K+* '3=xK+3x
. 2x+3x=(2+3)x= 5x
. 2(3x)=(2*3)x=6x
. (2x)(3x)=((2xp) • 3)x=(3 • (2x))xp=(6xlx'=6(x-x)=6v2
• 3x(4y+ 5x)=(3x) (4y)+(3x) (5x)=12xy+1S'/
5.1.4. Elementos identidad
Si a es un número real cualquiera, entonces 
¡7+0=0 y o-1=o.
Es decir,
si 0 se suma a o, el resultado es o; y 
si o se multiplica por 1, el resultado de nuevo 
es o. Por esta razón, los números 0 y 1 a me­
nudo se conocen como elementos identidad 
para la adición y la multiplicación, respectiva­
mente, porque no alteran número alguno bajo 
sus respectivas operaciones.
Inversos# ry/.
Si o es un número real arbitrario, entonces 
existe un único número real denominado el 
negativo de a (denotado por -o), tal quev.-’v"- -rV "* y y
i, o +(-o)=0
Si o no es cero, entonces también existe un 
único número real denominado el recíproco 
de a (denotado por a-1), tal que
o-o“1=1
Observe la similitud entre las dos definiciones: 
cuando -a se suma a a, el resultado es el ele­
mento identidad para la adición; y cuando a~‘ 
se multiplica por a, el resultado es el elemen­
to identidad para la multiplicación. A menudo 
nos referiremos a -o como el inverso aditivo 
de a y a o-1 como el inverso multiplicativo de a. 
(Algunas veces o-1 se denomina simplemente 
inverso de a).
Ejemplos
• El inverso aditivo de 3 es -3.
• El inverso multiplicativo de 3 es 3 .
A plic a c ió n 77
Reduzca la siguiente expresión:2- 1-1 3 4
Res o lu c ió n
Operamos
1 2_2 
3 5.
2 ■ -,¡3 0 - 6 " 
3 4 ^ 15 j
2 / 
3 / 1 5
2-15 1-5
1-15 3-5
3 0 -5 -5 _ 
15
_5_
15
y í
4
3 H -v . + ^ //M.
A plica ció n 12
Simplifique
"2 2^ 1
( 2 n f 1
V3 5 j 5 ------ I _ - + -13 4 ) v.3 1 )
2
7'
Resolución
Operamos
2 1 f 1 1
V3 4 ) 
r 8 - 3 .
v 12
3 7
7 + 3
21
—>
3 i / 2 3
15-1QÍV5, 
,6 5fl¿Vi ¿K*
%<í^>v .X-.
pt.i'A /i'' -<V
X?k
IV
;q.
ÍOv^T?'
El sudoku
E! juego consiste en colocar en cada una de las 9 filas, columnas y cuadrículas de tres por tres los núme 
ros del 1 al 9.
1 2 8 5
r 8 6 3 9
4 9
1 3 2
8 2 3 9 1 5 4I > L. J
¡ • j 5 3 1
1 8
3 8 1 A
í 9 6 7 3
Problema N.*1
Determine la suma de los 15 primeros números • 
naturales.
II. Correcta
Efectuamos -17 > -22.
Ubicamos los números en la recta numérica.
A) 15 
D) 240
B) 100 C) 120 
E) 16 -22 -17 0 + <*>
Resolución 
Nos piden
5=1 + 2+3+4+...+15
15(15+1)S = 
5 =
2
15-
í
-> 5 = 15-8
Notamos que -22 está más a la izquierda 
que -17, entonces -22 es menor que -17.
Luego, -22 <-17.
III. Correcta 
Efectuamos 
-32=-32
\ 5=120
%\
& da 
Clave
% '
#W. -fe
C/o/e ••
P r o i W_____: % J L pj,r Efectúe las siguientes operaciones:
Problema N. 2~-------------- ---- ------ — ...-y 35-24-12 + 45-22 + 6¿Cuáles de las siguientes expresiones son,
correctas?
I. - 7 < -10
II. (- 8 - 9 ) > 3 -2 5 
IH (—8 )(4)=(—16)(2)
A) solo I 
D) solo II
B) I y II C) I y III 
E) Il y III
Resolución 
I. Incorrecta
Ubicamos los números en la recta numérica.
-10 - 7 0 +<*>
A) 24 B) 18
D) 15
Resolución 
Del dato
35-24-12+45-22 + 6
\ T
11 - 12----- r _
-1 + 45 i i
44 - 22
22 + 6p
28
C) 40 
E) 28
Notamos que -10 está más a la izquierda 
que -7 , entonces -10 es menor que -7 , es 
decir, -10 < -7 .
Clave
Problema N/ A
Indique el resultado de la siguiente operación:
a _ (-6)(-3) + (8)(-2)
(—5)(3) — (—7)(2)
A) 2 
D) -2
Resolución
B) -1 C) 1 
E) - 4
(-6)(-3) + (8)(-2) 
(-5 )(3 )-(-7 )(2 )
primero efectuamos la multiplicación. 
18+ (-16)4 =
4 =
-15-(-14) 
18-16
-15 + 14 
A = -2
Problema N.‘ 5
4 = -1 -
%
.fi-0
Clave ;
: Rrafolsma M.’ 6 _________________ ________
Efectúe las siguientes operaciones: 
6+(13-15)-[(8-4)+(-2)-6+(-3)]
i A) 7 B) -3 C) -2
I D) 1 E) 0
: Resolución
Del dato
6+(13-15)'- [(8 -4)+ ( - 2) - 6+(- 3)]... — .— -q-------
4+(-2) - (-2)
6 -i- ( - 2 ) - l-A + ¿ ¡j -
6 + ( - 2) - 0 
-3 ,
J?' . Clave
.
:.Y..
M i l Efectúe las siguientes operaciones:
rrouusm q - » _________________ t — * :
indique el valor resultante de la expresión M.
3-8+ 5-(4+ 2 )-(40^ 5 )-3 -5 -4 -2
M=8+(-4) + (-6 )+ 2-3
A) -8 
D) -1
B) -3 C) -2 
E) 0
A) 6 
D) 3
Resolución
B) 5 C) 2 
E) 20
Resolución 
Del dato
M= 8+(-4) + (-6) + 2 -3 
primero efectuamos la división.
M=(- 2) + (-3 )-3
M = - 2 - 3 - 3
M =-5-3
M --8
Clave
Del dato
3-8+5-(4+2)-(40 + 5)-3-5-4+2
T 7 T /
24 + 5-6 - 8-3 - 20*2
t i t r
X + 30 - ^ - 10 
30 - 10 
?n
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
mmm
Problema N2 8
Reduzca la expresión N. 
N=-[-(2+1)+3-{(-2+1)+5}+4]-6
A) 0 
D) 6
Resolución 
Del dato
B) -1 C) 1
E) -6
N = -[-(2+ 1 ) + 3 - {(-2 +1) + 5} + 4] - 6
/V = - [ - / + / - { - 1 + 5} + 4 ] - 6
✓A/=—[—{4} + 4] — 6
W= - [ - / + / ] - 6 I I
ti .
/. /N/=—[0] —6 = 0 —6 = -6 \
«?;■»’ ,-íKÍir 3 v-" ¿
Problema N.’ 9
,1- , ____ 1 ■ \
Clave
¿4, '%á %
Halle el resultado de la siguiente operación:
£ = - - - 4 6 6 6
• 1
» !
» !
E) 1
Resolución
Como las fracciones son homogéneas
13-11 + 7 3
5= 6 ¿ 2
C/ove
Problema M.* 10________________________
Halle el inverso de la siguiente expresión: 
13 +
1 - I
2
A) 4
D) 2
B)
Resolución
Operamos
-, 1 -, 1 3 + -— - = 3 +
1 -1 2-1
1 2$ ■
■•s (fl < »yv4
-4 3+4=3+2=5
V vi 
'
XV.
... u
■ó?-'
Por lo tanto, el inverso es
Problema N." 11
Reduzca la expresión F.
F = 4 _ 13 
13 15J
—+ 3U
10
21
* - 3
» - !
C)
E) 1 
5
Clave
o - l
Resolución
Operamos
F = í 5-4 13'
F =
F =
5-3 15 J 
r 2 0 -1 3 Í
 ^ 15 J
í / 1
. / A
f 4 3-7'— i-----
w 7 ,
4 + 211 10
. 7 J ‘ 21
10 
21
10
21
c 5 10 _F - - + — —» F = 3 21
¿ . 4
i )6 
2
, F = I 2
........ .
* • t ¿ * k e * • :U X * S.r J» •CÍQveX Á
Problema N/ 12
Halle el valor reducido de E+M.
£ = 4
1 . 1 1 H-------H1.1-2 2-3 3-47
M = 55 + - ^ + 2
A) 2 
D) 8
U - 7 7-9 9*11/ 
B) 5 C) 7 
E) 9
Resolución
Primero hallamos el valor de E.
r - . Í l 1 1 1E = 4 -----1------ f*----
11-2 2-3 3-4
£ = 4 9 A A A A aO % % £ t 4
E = 4
{ 4 j { 4 4 )
E = Á
-> £ -3
( 4 - 1 Ì
v / y
Ahora hallamos el valor de M.
f
M = 55
M = 55
2 2 2 
+ ------- +1.5-7 7-9 9-11.
1 ' . y _ i ' '
5 tí + t í b 11
Ti O M = 55 - - - 
V 5 11J
M = 551% /&■ Jr
‘ M - 55 
-> M=6
11-5 
. 5-11
' 6 ^
£+M=3 + 6=9
Clave
Problema N.‘ 1:
Si M =
2 _ i
2 5
1 _ 1
3 4
halle el valor de 25M+1.
A) 91 B) 19
D) -26
C) 28 
E) 0
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
. ______________________________________ _________________________
Resolución
Operamos
1-1 5~2 
M _ 2 5 _ 10 
1 _ 1 4 - 3
3 4 12
-+ M = — 
_1_
12
M 3->2 . . 18M = —7— -> M = — 
;0-1 5
Nos piden
1825M + 1 = ,25--4 + 1 
5
5-18+1=91
Clave
...............-..1— —
Halle el equivalente de la expresión 5.
( 1 Y 1 Y Y {s=l1+i ) r l l1+4 A w
A)f
D)í
Resolución 
Del dato
B) 1 cy .
E) I
5 = 11 + ~
' 11 + - 1 + ¿ . 4 )
5 =
2 A 3 ;
2 + l Y 3 + 1Y 4 + 1 
A T A 3 A 4
, 1 + ¿ .
10 + 1 
10
. s A" 2
Clave
Problema M." 15_______________ ___ __
Calcule el equivalente reducido de T.
T =
( 2 5 6 a---1--------
x x 2x1 + 2
V x
■ (2x +1)
A) -3
D) x+3
Resolución
Operamos
T=
B) 4 Q - 3
E) 4
( 2 +.S f i Ì í 2 + 5 - 3 Ì
x x / X - (2x+1) -+ 7= X
1 2 1 + 2x- + -vX —
V# X :X ' •• V 1 x ;
T= A- J 
X Í2x + 1)
r=4
(2x+1)
■(2x+1) -> T-- ' 4 ^V2X<1 y
Clave
Problema M.c 16 
Reduzca la expresión
1 _ 1
p = -C— £-• a; b e N. 
1 1
a + b
A)
D)
a -b 
a + b
a + b 
b -a
B) fe-a
(7 + ¿>
C)
E)
0 + ò 
a -b
ab
R esa lu d en
Operamos
1 1 b - o
p _ a___b _ ab
1_ 1 b + a
a b ab
p = {b - a)p6 
{b + a)#é
P = b - a 
a + b
1 1 1 N s ¡ _ + _ + - = 
a b c abe
i Clave
halle N-ac.
A) ab+bc B) ab-bc 
D)
bc-ac
Resolución
Por dato
1 .b e Vac_ 1 ab = N 
.~¿Tbc + b-ac ca b abe
bc + ac + ab _ N
pÜc fitá
C) ab-ac 
E) ac+ab
bc+ac+ab=N 
hc+ah=N-ac 
. f\l-ac=ab + bc
Clave
Problema M‘ 18
Simplifique M.
M = —- 11
(
2 -
1
U 2 + 2,
A) 1
D) I
B) -1 Q §
E> I
Resoluci&n
Operamos 
4M =
11 22 + 2 11 ;
M = — 11
2 -
3 + 11
l 22
M = —
: * * 11
M = — 11
« 322J
2-11 7
11 11.
M = — - 11
2 2 - 7
11
M -4 15— /W—
11 11
11 11
Clave
Froblema N.‘ 19
Reduzca E.
-KM) 2 _ 5 ' H)
») B) 112 C)
° ) | E) 1
 ro
 
uj
 I k
j
Operamos 
12E=
13
. 12 
E=13
3 Z'j _ 2 . '1 2 Ì--1--
l l 5 JU 7) 5
( 21-8^ _ 2 . ( 5 + 2s\
l 28 J 5 l 5 J
13 2 . 7 -+ E=
zé 5 ‘ 5
3 _ _ 2 X 
7 X ' 7
3 _ 2 _ 1_ 
£"7 7 7
/ - jtsr
? . Clave ... • ~
3 'éW 'Ém - 
% W-: J aZa f% vA-A-y^y.-. ■ &¿mw m 
Jr
4¿>''
-------------------
Calcule el valor de H. 
H=23-5(7-4)+6(5-2)
A) -15 B) -1
D) 34
Resolución
Operamos
H=23-5(7-4)4-6(5-2) 
H=23-5-3+6-10 
H=23-15 + 60 
/-/=8 + 60 
• H=68
o 31 i r
E) 68
Problema N. 21____________
Calcule el valor de F.
F= 22-2[4-6-(9-1)+6+2]+8
A) 1 
D) 44
B) 5 C) 7 
E) 55
Operamos
F= 22-2 [4-6-(9-1) +6 -r 2]+ 8 
F-22-2 [4-6-8+3]+ 98 
F=22-2[7-14] + 8
k-V, ...V '
^ 2 2 ¿ 2 (- :7 )k 8
f W<af=22;-fetÍ+8% -ís“ ,5«;'
, 'W
F=44
Clave
Pi Gfalernn r i ____________________
Calcule el valor de la siguiente suma:
— 1 | 1 ! 
1-2 + 2-3 + 3-4
Clave
20 B) « C) 39
21 42 40
39 E) 19
42 22
Capítulo i Conjuntos numéricos
Resolución 
De la suma
1 1 1 1
— + — + ------- + + ----------
H . M 20j_21
i er 2 o i s! 5
fumando sumando sumando
i / ,/ ,/ ,/ J
sumando
+É Á +'"+É 21
1 1 _ 21-1 _ 20 
1 21” 21 ” 21
Problem a N.° 23
Clave
Determine el valor de la expresión J.
J = - + 2 5
» ? 
» i
Resolución
Operamos
( 1 0 7 = ? + 2
J = h 2
1 o
5 +2
1 „ / 1 Ì 4 "- + 2- 2 - — H---
3 k 3 y 5 J 
3B) 7
7+ — 3
C) 287
E) — 15
"1 o - + 2 -
r f 4~
2 - - + 7
_3 l 3,-—r-Ii
5.
~1 n — + 2 •5 4
7- + — H—
L3 3 5 J 3
7H—3
11 4 
L 3 + 5.
7
*3
1 o
J=5+2
55 + 12 
15
J = l + l ( * )5 V15 y
7H—
3
, 3 1 134 7 5 , 3 + 134 + 357 = ---- + — + - • - -> J =
3 5 15 3 5 15
15
Clave
Problema N.‘ 24______________________
Simplifique las siguientes expresiones:
a. — 2 (— 4 —2)
b. — 6—2(—3 — 2)
c. 3(4z+2x)
d. - t - x - 3)
. e. -4(x-6)
f. 3y+4(x+2y)r ■ ,ó*' & "
g. -4x-2(3z-2x)
h. 3{y-2x)-2(2x-2y)
i . - 4 (8z-2 f)-3 (-t-4z)
j. 2x+5-2(x+2)
k. 4[x(2—5)—2(1—2x)]
Resolución
Simplificamos cada expresión.
a. —2(—4 —2)
-2(-6)=12
b. — 6—2(—3—2)
—6—2(— 5)
-6+10=4
c. 3(4z+2x)=12z + 6x
d. -(-x-3)= x+ 3
e- -4(x-6)=-4x+24
! Problema N.* 25
Dados los números 
14 =
1-
1 y 6=0,66...
2 - 12
i determine el valor de A-B.
f. 3y + 4(x+2y)=3y+4x+8y = 11y+4x
>g. -4x-2(3z-2x)=-4x-6z+4x=-6z
1 B) 3 C) 2
3
4
E) f3 3
h. 3(y-2x)-2(2x-2y) . 
3y-6x-4x+4y 
7y-10x
i. 4(8z- 2í) - 3(- f- 4z) 
32z-8f+3f+12z 
44z-5f
j . 2x+5-2(x+2) 
¿ / + 5 - ^ - 4 
5-4=1
k. 4[x(2-5)-2(1-2x)] 
4[-3x-2 + 4x]
4[x-2 ]
4x-8
%
j Resolución
Primero, hallamos el valor de A.
1 _ 1
1- 3 4
■&. \ :
^ = 4 t - =
»
% ■f;. xTÍyí'V ír ¡/ . £ 4 W n : 
É¡1F I.áSF # : • »«Ir a * -4(¡S% \ : 24<h? t**' • ^ * 'A $ "• éAS
%:> .
. V 1í-■
■*i-'
Ahora, hallamos el valor de 6.
6=0,666... —> 6 = — —> 6
9
Nos piden
4-6 = 3 - | = 2
Clave
Problema N.* 2 6 ________________ ______
Determine el valor de a si se sabe que 
(q+1)+(Q + 2) + (fl + 3) + ...=630+10q-
! * » mui»
A) 45
D) 41
B) 44 C) 43
E) 42
r\i | m
Capítulo i Conjuntos numéricos
Resolución 
Del dato
(q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+20)=630+1Qq
t " 2 o 3.-r 20°'
término término término término
a+o+...+o+1+2+3+.„+20=630+10(7
20 veces -
20o+210=630+10o
i
20o-10o=630-210 
10o=420 
o=42
Problema N.“ 27
/ jf S íÉ B .f - ) \
| i®-. á
1 |
V /
w
En cierta parcela se cultivan - partes de trigo
5
V en el resto 200 m2 de maíz. ¿Cuál es la super-; *
fide de la parcela?
... ’>>>
«5^
A) 50 m2 
D) 500 m2
Resolución
Tenemos
B) 125 m2 C) 250 m2 
E) 1000 m2
trigo _> — partes —> sobra -
maíz -> j parte (que equivale a 200 m2)
Por lo tanto, la superficie de la parcela es igual 
a 200-5=1000 m2.
Clave
Problema M° 28__________________
3
De una botella de - de litro se ha consumido 
. 4
la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda?
5
4
3
5
Resolución
Por dato, se ha consumido la quinta parte;
4
entonces queda sin consumir — de la botella.
/w
3 . . . 4 3 3Luego, - de -vd e litro=——- =—-1 1 ,5 # J K p 5 4 5
A) I B) 1 C)4 3
D) 1 2 E)
: I jé
iw & ié^Js; Pór Ip;tanto, - de litro queda sin consumir
¿y i w
Clave
Problema N.* 29________________
Las temperaturas medias que se alcanzan 
en un mismo mes, en distintas ciudades, son
-5 °C, 3 °C, 10 °C, -7 °C, 0o C y 12 °C. 
Ordénelas de menor a mayor.
Resolución
Ordenamos de menor a mayor.
-7 °C, -5 °C, 0 °C, 3 °C, 10 °C, 12 °C
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 30
Aristóteles murió en el año 322 a.n.e. y vivió 
62 años. ¿En qué año nació?
A) 3 8 4 a.n.e.
B) 260 a.n.e.
C) 128 a.n.e.
D) 383 a.n.e.
E) 420 a.n.e.
Reso lución
n.° de años 
vividos
ano en í año en
. que murió./' l^ que nació
Reemplazamos los datos. | 'mkT I
62 = -32 2 -
\
f
ano en 
l^ que nació)
Ar año en 
que nació
( año en ^
que nació
= -322-62
= -384
% J r
Por lo tanto, Aristóteles nació en el año 
384 a.n .e .
; Clave [ A .•
Problema N." 31
1Lizet va al mercado y gasta en carne - de lo
que tiene; en cereales, — de lo que le quedaba;
4Z)
V - del resto, en verduras. Si todavía le queda 
8
S/.20, ¿cuánto gastó?
B) S/.40A) S/.64 
D) S/.44
C) S/.15 
E) S/.52
Resolución
Suponemos que Lizet tiene x soles. Gasta de la 
siguiente manera:
1 , . 2 » En carne: - x , entonces le queda —x.
(2 ] - x 
i 3 J» En cereales: —„ f % * ,,4.# 'V v T Äf: ¡f *
í 3
C r r eritonce$1e queda —
í \ 
-X
M ;J " / * v f 3 "3 2 ViT :V • • En verduras: - -XC50¿yf <4 l3 ) j
entonces le queda
Por dato
^ . i Z x = 20 -> x = 64 
8 4 3
Por lo tanto, gastó 64-20=S/.44.
Clave
Si se cumple que 
¿=(-1)+(-1)+H)+(-1)+(-1)
determine A+B.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
con respecto de las siguientes igualdades y 
elija la secuencia correcta.
2-3
4
A) - 5 B) 3 C) 2
D) - 2 E) -1 II.
2 - 3
4
Reduzca la siguiente expresión:
(6 -5 ) + (5 -4 ) + (4+20)-(20+3)+(1-3)
A) 20 
D) 1
B) 3 C) 16
E U )
Simplifique la siguiente expresipff^
I' %
-[-(2 +1) + 3—{(— 2 +1) + 5} +
\
A) 2 
D) 6
B) -1
V -r ÆÊ$
O f ¥ y
0
Reduzca la expresión D.
D -
% . ¿i! '
‘■íjífr
III. ~2 2 __2 _ 
3 “ -3
A) V W 
D) FW
B) VFV C) FFF
E) VVF
7. Si se cumple que
>;3'
I
5’<&% %
%M -V* ** f iv 2 • jt • -î#
C ,
indique el valor de
A) 7 
D) 8
B) 5 C)
E)
6
3
5M
7
A) 3 
D) 7
2N
7
B) 4 C) 6 
E) 2
Reduzca la expresión K. 
r = | . ( - 6 ) + 4 ^ ]- 6 - 3 (2 ) + 1(-1)
Simplifique la siguiente expresión:
1 4 +
\/
2 v2 5
1 _ 4
U 5
1
4 25J I
B) 4 C) - 4 
E) 0
A) 3 
D) 1
B) 2
A) 8
D) - 8
C) 4
E) 6
COLECCIÓN ESENCIAL
- : -t* ■ \ +.;-v,'
Lumbreras Editores
nmammmm
9. Si tenemos que 
c?=-2 + 3 - 4+ 5 
b=6 -3 + 2 -1
determine el valor de o + b.
A) 2 
D) -3 3
B) 6 C) 33 
E) -16
10. Calcule el valor de P.
A) 3
D) - 1
B) 3
11. Calcule la siguiente expresión:
1 1 . 4 + — 3
C ) - 3 ,
" - j
E) -‘*33
\ w /\\ i y."
2 _ j _ : + 9 + i 
1 _ 1 1 9
6 2 3 2
-C %
A) i3 »> i
D) 1
12 Calcule el valor de £
3 Í 1 1 5 'I 3
E) 0
A ) !
D) 2
13. Simplifique la siguiente expresión:
3 2
1 - - + - 3 2
A) i
11
B) 11
D)
7
c ) !
E) 1
14. Si
S=2+4+6+... (20 términos) 
r=1+3 + 5+... (20 términos) 
halle el valor de (5-7).
A) 20 . B) 0
D)’ - 2 0
v ? < .•j'vv
? ‘11^
Hálle el valor de 5.
1 15 =>— +----+ ------+... +
C) 10 
E) 40
1
7 3-6 6-9 9-12 30-33
A) 11 33 B) 1° 99
0 1033
D) J130
E) — 90
16. Simplifique la expresión/
, ( , 2 3 V i 2 8 l
J _ í + 7 + 1 4 A 5 + 3 15/
Luego dé como respuesta el valor numéri­
co de 27+5.
1
4
C) 114
j A) 12 B) 5 C) 6
E) 35
8
D) 3
2
E) 1
Ti Determine la raíz cuadrada de la siguiente 
expresión: ■
N = 1
1 1 
+
1
48 192 96 
B) 8A) - 8 
D) 1
18. Si se cumple que
C) -1 
E) 9
3+4+5 + 6+... + 21=abc 
indique el valor de a+b+c.
A) 381 
D) 384
B) 382 / C), 383
>: E) 12 ■ i<>■ ,‘V&<
;9. Determine el valor de V42A/ + 5 si
1 1 1 1 1 
^ = 12 + 20 + 30 + 42 + + 182
'%!
21. Simplifique la siguiente expresión:
144 25 
V. 125 12
6-15:49
l 14-18
6 + 2
6 )
Luego, determine el inverso multiplicativo 
del resultado.
A)4 B) 56
D) 55
C) 56
E) 56
22. Si tenemos que
II* í 3 A— I— / 1 11 -- 1-- í | - i ]-% ; U 3 yV6 2 y13 2 y
halle el ..valor de 18x.
:y-:- >; •.
A) 1 B) 2 C) 133
' 13 D) • —
C 2 6
E) 13
A) - 4 
D) -2
B) 4
E) T
Dadas las siguientes expresiones:
__3 _ 5 1 _ 
X " 2 0 + 60
18 _ 12 
30 20)
27
13
8 2 oy =z — + — + 3 
7 5 5
halle el valor de x+y.
A) 0 B) 1
D) -1
Si sabemos que
1 5 3 7
A — — i- — — —• + —■ 2 2 2 2
6 = 0,25 + 0,75 + ^
determine el valor de A +46.
A) 9 B) 10
D) 6
Halle el valor de x. 
x=1 + 2 + 3 +... +15
C) 11 
E) 7
C) 6 
E) -2
A) 38
D) 41
B) 39 C) 40
E) 120
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25. Halle el valor de n si se sabe que 
1+3 + 5+7+...+r¡=2500.
29. Simplifique las siguientes expresiones.
A) 99 
D) 88
B) 100 C) 80 
E) 90
26. Efectúe las siguientes operaciones:
* - ?-H )l
HHH-i
4 3 ( 1^ 1 [1 3 _ 1
C 3 4 v 6,1 V12 2 ,
d. - I - 
2
2 f 3 Y12+-- —7
L 7 V. 4 JJ
¿¿Mr ¿k
I ^ 4® 
& ’ " '
'W
27. Calcule el valor de las siguientes ejpre /
siones:
1 2 _ i - i
a' 2 4 8 6
b.
c.
' M + 2 R t - í +1:
3 2
.5 4 
1
4 5
fe. ;#<5'
i"
% %.■ %. -V.:% • w>
1 1
« i H H n n .
a. 6 - (-5 ) f. - (2 -7 )
b. - 9 - (- 4 ) g. - (- 6 - 4 )
c. 5 (-3) h. 2(—2—3)
d. (—3)(—7) i -5 (2 -7 )
e. 8--(-2)
30. Simplifique las siguientes operaciones.
2 6a . ----
9 5
- mítf :%s jjP .£*¿$F J*** «•l* gVÍ s / fe #
4 - 3 8 9c. —------- 4 5 4
\yf
1 1e . -----6 2
. 1 1
f' 10 + 15
2_i
2 3
1 1--- i—4 5
g-
d. 1 J 1 . 89 V3
h.
3+¿
2 8 . Calcule el equivalente de las siguientes 
expresiones:
3 ^ 8 5
a* r í f g ’ -e
b.
31 Determine el valor de la siguiente expre­
sión:
1 1 2 A - - + - + - 2 3 5
« i
»1
B) -2 » ¡
39 E) — 1 30
Determine el valor de M. 
n 2 4 1
A)
D)
33. Calcule el valor de S.
3 + 5 2 ! " 2 - 1
¿ 2
29 1 =r B) -i C) 14 i 3 1 C) 230 4 15 ! A> 4 B> 4 3
2 E) 293 31 4i D) 3 E) 41
« i
D> ?
£
E f/ ¿ A . í- 
5w : : x,,-. V
%
4¡p
34’. Efectúe F. 
„ . 1
35. Determine el valor de K.
K = — +—4-5 5-7
A)
D)
_1_
26 B) !
4#“Sf Já
sS* Ti • vVv>lw # -'
f¿r 'fer ^*ÍSÉ#
i' í'r-f \<J W*
% m
%1 
,%Sk,.. A
A %%.%
C)
E)
_3_
28
_6
11
1
2
3
4
5
6 11
7 12
8 13
9 14
10 15
* Problema sin alternativas
16
17
18
19
20
21 26 31
22 27 32
23 28 33
24 29 34
25 30 35
1
V. « •'..' '., T;-
' ■ \Z.:&:*}XCr:*XxJ*Vf/'-r ‘ '^ >^VH-vVv-■:>
,;. : ^ ;:v-e;.-—>. >¡y
S i
\:-:;j;..vvv.:-, ".;, {\ --vî- • >. '?
- , - ^ r
t:;vV
•*.vAU;
l i t
•• • :—.—
_____
para
Las cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos 
escribir en potencias de 10. Por ejemplo, la célula huma­
na es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de 
0,0065 mm; por otro lado, la distancia del Sol a la Tierra es 
muy grande porque mide alrededor de 146 600 000 km. 
ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil 
ponerles o quitarles un cero o dos. Pero en la notación cientí­
fica, el diámetro de una célula se escribe como 6,5x10“ 3 mm 
y un año luz es más o menos 1,466x108 km. Esas cantidades 
son más fáciles de usar que sus versiones largas y las propie­
dades de potencias nos permiten operar dichas cantidades 
con facilidad.
A p r e n d iz a je s sspersadtas
Comprender el concepto de potenciación y radicación. 
Efectuar operaciones de potenciación y radicación.
• Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación a 
la resolución de problemas en diversos contextos.
PARIS^
MOR A SQFj¿Por q¡ué es necesario este conocimiento?
El capítulo de leyes de exponentes contiene dos temas: uno 
se refiere a la potenciación y el otro está relacionado con la 
radicación. Ambos son importantes porque son de útil aplica­
ción en la vida real; por ejemplo, cuando queremos calcular 
distancias muy grandes como la distancia entre la Tierra y la 
Luna. Con ese fin, se efectúa la notación científica y las pro­
piedades de la potenciación. Además, el tema sobre las leyes 
de exponentes es recurrente en los exámenes de admisión 
que las distintas universidades del país utilizan para supervisar 
el ingreso de los nuevos alumnos a las diferentes facultades.
í *
¿ K■J&k.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
/.'X-- -
Importante
El valor 34 se lee: “tres elevado 
a la cuarta”.
El valor 42 se lee: “cuatro ele-. ......• v\VS : í f f í
vado al cuadrado”.
El valor se lee: “dos 
tercios elevado al cubo”.
í i ¡ i
/r/f/fc ■ = .
: No olvide:
' " ---------
i 23=<
m : i i i
2
• ! '
. í.MjSSZ * ” éu/ifíiv i 3
: ;•
: !- ’ '' ’ r f;
00
m ; / ' / / -------
r//
X
4
y
tr
3*
Leyes de exponentes
1. CONCEPTO
Son las definiciones y teoremas que estudian a los exponentes 
por medio de las operaciones de potenciación y radicación.
2. POTENCIACIÓN
Observamos las siguientes multiplicaciones:
* 3-3-3-3=81
• 4-4=16
r 2^
3> ,3 )
J3_
27
¿Qué es lo que tienen en común cada una de ellas?
En todas las multiplicaciones mostradas se repite un mismo 
factor; por ejemplo, en la primera prevalece el factor 3 y cada 
una de las expresiones anteriores puede ser escrita como una 
potencia. | 'vítH’cV ... *•'.
Ejemplos
• 3 - 3-3 • 3=34
I El fnctof ^-serepite cuatro .. ^
veces y se escribe, ^-'n.
• 4; 4=42
El factor 4 se repite dos. 
veces y se< escribe 4?
í 1X1
U Ei factor - se repite tres
/ *> j"'
veces y se escribp i " i .! 3 1
Esta nueva forma de escribir una multiplicación, en la que se 
repiten los factores, se llama potencia.
Ejemplo
•-“«ponente
I♦
34=81*— l 'Ot' ; ■-1.»|
ixr.«1
Capítulo 2 Leyes de exponentes
3. DEFINICIONES 
3.1. Exponente natural
b n = b - b - b - . . . b
n veces
Ejemplos
• 3z=3-3=9
• 24=2-2-2-2=16
f o V n V
V 3 A 3 .
3.1.1. Base neg a tiva-=y. ex po n e n te natural par
( 4 T = +
V i& 'lhf'*. .«v.UT<¿.rv x; ‘ ' ,V
Si la base es un número real negativo y el exponente es natural 
par, entonces la potencia es positiva.
Ejemplos
• (-3)2=(-3)(-3)=9 j * %¡) ' < , y r
. (-2)4-(-2)(-2){- 2)(-2)"16
V ( o \ C \ ¿ W 4i
. (-2)6=(-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)=64
3.1.2. Base neg ativa y exp o nen te natural im par
impar _ _
Si la base es un número real negativo y el exponente es Impar, 
entonces la potencia es un número negativo.
Ejemplos
. (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8
\3 / ,1 v il 64
"2 7
¡Cuidado!.
b=V 
' 5=51 
3=31
Ejemplos
• 15=1-M-M=1
120=1
130=1
Además
. 04 =0 0 0 0=0 
* 01°=0 
• 03°=0
Ejemplos de potencia
......... .. í
ro o II UJ o ii 4°=1
21=2 31=3 41=4
22=4 32=9 42=16
23 = 8 33 = 27 43 = 64
24=16 34=81 44=256
25=32 35 = 243 :
26=64 36=729
27=128
28=256
29=512
210=1024
f o lvide
Si la base es una fracción y el 
exponente es negativo, proce­
deremos de la siguiente manera:
x i _ ( y T • x * 0/ \
X ' y * 0
En los dos primeros ejemplos se diferenciará a (-3 )4 de - 3 4 En 
(-3 )4 el exponente se aplicará a -3 , pero en - 3 4 el exponente 
se aplicará solo a 3.
Ejemplos
• (— 3)4={— B) (— 3) (— B) (— 3)=81
• — 34=—3 - 3 ■ 3 - 3=—81
• (— 3)2=(— 3)(— 3)=9
• —32=—3 ■ 3=—9
3.2.
• l io o lv íd e
\
3 + 3 + 3 + ...+3 = 3-10 3-3-3-.. ,-3 = 310
f ■!' ' '<:■... ■
f $
10
f
5+5 + 543+5 = 5-20v ’■ V“-‘v'v--“V--,.. '■ . ‘ J C 5-5-5-.. ,5 = 5 20' ■•+«!;., '■ 5.c ■'-v < - síV'
‘"a + 0 + 0 +:$+ a = 15 • a „ • o ^ 5:
'il'. - ...-¿¿y''* «! 
. __ _ __....... i,i
; + 
1
Exponente cero
■, n b = \b * 0
Ejemplos
* 576°= 1
• 5°=1
Ejemplo ¡
i = 1
3 3 . Expolíente negativo
Ejemplos
opuesto
o
5~3 = P
inverso
1
125
; b^O
opuesto 
~ — ~1 
/-A4
3“4 =
inverso
1 = 1 
W 81
1
opuesto
' 2 V 2
v3> i 94
iy y ¿wxwíkís*,,
inverso^
i
V?Ss-‘
-3-4
3 ;
(-2r 3 =
3 
v 4
27
81
Ví 2
3
1
8
Aplicación 7 ^ ;
Indique el resuItado de 32 - ( - 2)5+(-12)0
4/;'
RESOLUCION
32-(-2)5 + (-12)c
t ■ ~ r t ~
9 - (-3 2 ) + V
9+32 + 1 = 42
¿ÍV.V * \ { / '■vs''v Vv-.X'
■«i..
* 0 0 6 0
Números triangulares
Con los números 1; 3; 6; 10 y 15 
podemos forma triángulos.
* #
• ♦ ♦
• m » •
4. p r o p ie d a d e s de la p o t e n c ia c ió n
4 1. M u ltip licac ió n de bases iguales
Ejemplo
En la siguiente multiplicación indicaremos qué tienen en común 
cada uno de los factores.
34 .32 .33
(Cuidado![
x2**3*.*5
Ahora lo representaremos como una multiplicación a los factores 
de la expresión dada.
3-3-B-3 3-3- 3-3-3
4 veces 2 veces 3 veces
Determine la equivalencia en
cada caso.
| . v +2+ y +3=
. 3n+5-2-3n=
• 2"-1+ 2 '"3=
BÜMK'íM —*------- -------*
Ejemplos 
. 3x+2=3x-32
. 5x+1=5x-51
Observamos que el conteo indica el número de factores que 
se han obtenido.
La multiplicación de nueve factores iguales a 3 también se 
puede escribir como la potencia 39 y luego sumamos los 
exponentes.
Entonces
34-32-33 = 3-3-3-3 - 3-3 - 3j3-3 = 39
veces. 2 vec^ as 3 veces¿y _
34-32-33=34t 2+^=391 ;> 1
■ \ ■ / | \ / J o
Asimismo, si multiplicamos dos o más bases con diferentes (o 
iguales) exponentes, tendremos como resultado a la misma 
base elevada a la suma de exponentes.
%£ y*'
Ejemplos '%
• z2-x3=x2+3=x5i
. x5-x2 x4=x5+2+4=x11
. x9-*-3-/=x9+(- 3)+W 3
Aplicación 2
S¡ 3x+2=45, halle el valor de 3X.
R e s o l u c ió n
Nos piden 3X.
3x+2=45
3x -32=45 -> 3 =
3X=5
Capítulo 2 3 ¿-•'iilj.
Leyes de exponentes
-
4,2. División de bases iguales
; a&O
Ejemplos
• Simplifique la siguiente expresión: 
35 3-3-3-¿-¿ , , , _ , 3
32= Í-Í =ÍS =
~ = 35-2 = 33
t-20
5 _ = 5 20-18 = 5 2 = 2 5
518
x / '
X15 i
•¡esm ■?< „40^
r j f y#'AplicaciónS
Simplifique la expresión A
A = -
op+2 ^n-5 .32^ +3 ;,V $.r.
>5rt ..MV.,
Resolución ^ J
Nos piden simplificar A 
n^+2 .3/1-5 .3^+3 
->5n4 =
4 =
4=
3/1+/ .3/1-X .32/7+x
j5n
j4n
5^n
-> 4 = 34 n -5 n
/ r 4 = 3-n
Aplicación 4
Calcule el valor de £.
‘ 'jrKÍO',
+ 2 3 + 3 + .. . + 3- + 2>2-...'2
I.K'tOfñ
Es importante saber diferenciar 
las siguientes situaciones:
(23)2 * 2 32
>3-2 32 ✓
64 512
Res o lu c ió n
Nos piden £
a+a+a+...+a=na; q-a a-...-a=aA
n v e c e s n v e c e s
En el problema, tenemos
_ 2-310 3-218 
E = — r —+ ——
39 216
E= 2-3 '^ + 3-2 
/. £=6+12=18
-> £=2-31 + 3-22
4.3, Poténda de potencia
¿v
Ejemplos /
• Halle la potencia de (24) '
Expresadnos como multiplicación a la potencia que está 
entre paréntesis. ;í » J+ ? ^
(2a) = (2*2 2-2)3
Luego
6 4)3 = & a % 2 ^ = 2-2-2-2-2-2-2-2 2 2-2-2 = 2
(24)3=2
12
12
Si elevamos una potencia a otro exponente obtenemos la base 
de la potencia inicial elevada al producto de ambos exponentes.
. (23)2 = 23 2 =26 =64
• ( ( * 3)2)5 = r> 2' W 0
(x 5)4 = x 5 4 = x 20
Debemos recordar que el orden de los factores 
no altera el producto.
A
Los siguientes ejemplos poseen propiedades ya vistas anterior­
mente.
(x 2y 3)(x 3yz 3) = x 2-x3-y3-yz3 = x 5-y4-z:
a6b2C3 6-4 <2-4 3 2 l -2 3 a¿c• — — - - a -b -c - a -b -c =—-
2_3
4 1 4a b
• ’ Í7ab2f = 73o3 (b2)3 = 343c?3¿>6
, r i v 1^ 1 1
7 ; v 7
. = r
L 7. 7 J 49
T =
125-184 (3-22) -(2-32)
2 / .\3
7 =
642 -813 (26) .(34)
12M 8 4 3s -(22)5 - 24 (32)4
642 ■ 813 21z-312
125.184 ?1° .2 4 -35-3a 214-3b
r " 642 -813 2,2 -312 212-312 a12
12S-184 _ 214-12. 1^3-12 = p2 . ^ 1=12
642 • 813
Potencia de potencia
Ejemplos
. x 5 x = ( x x f
• 23M 2 6f
U clo si saber
Al simplificar 
E =
gn+2
2$n+\
¿qué se obtiene?
4.4. Potencia de una multiplicación
ari-bn-{ab)n j
:":'ó
i ‘ i ¡ 11 i 1tí
lili1yjj r r .... ‘T ... ii (a"-ir) j
Ejemplos
. fs«
(x2y5) =x6yK' ' . ' ' I ; ' .
(xy7) = x2;y 14
í
11 í l !
(2x3y 2) = 24x12y 8 = 16x12y8i ;
( x + y ) W + /
l 3-2x¿6*
A¡ ¡ ‘J/ j// :\ \ v///o I I t /
Ejemplos
• 32-52 = 3-3 ■ 5-5 = (3• 5)(3■ 5) = (3■ 5)2
?.. veces 2. veces
. 4 3 -73 = 4-4-4 - 7-7-7 = (4-7)(4-7)(4-7) = (4-7)‘
Notamos que la multiplicación de potencias con el mismo 
exponente es igual a otra potencia de igual exponente y cuya
» (3x)2=32;x2=9x27 .
• ( . v a f
• { la b 2 f = 73 g3 (ó2 f = 343g3¿>6
,12
62 • 72 • 22=(6 • 7 ■ 2)2=842
4.5. Potencia de upa división
i i a i
K ó
G ; ¿>9*0
Ejemplos
Í2í
, 5 ,
s vece-
V o V
1.5A5
2-2-2 _ 23 
5-5-5 “ 53
.4 ;
/ c Y
4 / .4 )
5-5 = 5¿ 
4-4 4 ‘
Capítulo 2 Leyes de exponentes
Si elevamos una división indicada a un exponente, este afecta 
a cada número que interviene.
u . y
15fc '■15'6
u = 5fc
(-6 )
2-46¿'
12 :12 -12 = 68-12=6-4 = 1
Aplicación 6
Calcule el valor de x¿x- x € si se sabe que x^-2
/ \
Resolución . .
Nos piden x ^ -x x.
( ^ r - iK 'V.v-vc;v:.. lS:-.
Reemplazamos y =2.
C. %
22 - ^ 'V
„ y . . . . nj« * -ií.
. . y ^
»#•* i
í • '
\
4 - 1 = 1 
2 2
* 2x- * " x =
Aplicación 7
Si la siguiente expresión se reduce a la unidad, ¿cuál es el valor 
de ni
L5-5-5-...-5
:-V l6 9
\
n v>‘¡ es
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
No. olvide’: ’:';:;
l§ El símbolo \J~ se lee: “la raíz 
‘ i cuadrada de”.
E ' X \'b - \b i . : ! J
Importante :
El valor 3/5, se lee: “la raíz cúbica
t : \\V\\Y\ I xf/fifi
Reso lu ció n
De la expresión, tenemos
L5-5-5-...-5.
— n/Í69
n veces
56" . L . 5-13 
5"
^ 6 n - 1 0 - n _ ^5n-10
56n+3+(-13) 5 6n-10
Sn Sn
Por dato, reducimos la expresión a la unidad. 
55n-lb=1=5Ó
5n-10=0
n=2
5 . R A D I C Á O O N W % ¿ I
í ISi n es un entero positivo, entonces la raíz enésima de a se 
define de la siguiente manera: - |
•>jí >
la expresión anterior quiere'decir bn=a, en caso de que el valor 
n sea par, entonces o^G y b>0.
Ejemplos
• \Í9 =3, porque se cumple que 32=9.
• %/32=2, porque se cumple que 25=32.
• V l6 =4, porque se cumple que 42=16.
aIT 1 , TlV 1• ?/— = — , porque se cumple que — = — .y 16 2 \ 2 j 16
. ^ 8 = -2 , porque se cumple que (-2)3=-8.
. = -1, porque se cumple que (-1)3=-1.
• 25, no existe en los números reales.
5.1. Definición del expórtente fraccionario
m
o en forma equivalente
donde — es una fracción
irreductible. n
Ejemplos
1. Escribimos los siguientes radicales como potencias de 
exponentes fraccionarios.
• ® = 35
• \[x^ =
. « íís r'N
7
x*
V X’= x 2
i ,
r - ,fs k jy ?
X ¿ * W /
• 1¡4=4
1
i 'A í l
%%
■<
 :
v ^ %
2. Escribimos las siguientes potencias como radicales. 
A
• 72 =y¡7
• 10 5= ^ îo2 =ÿîÔÔ 
. 3 4 = fà = tfì
s- L í m
w2-11
4 - 1 = 1
U ;
1 — 31 - 3 Ü . 
U J V16
Toda raíz de cero es igual a cero 
(independientemente del índice 
que tenga).
Ejemplos
* V0 = 0
* /^Ó = 0
3/5=o
^0=0
Toda raíz de 1 es igual a 1 (inde­
pendientemente del índice que 
tenga).
Ejemplos
• n/Í = 1
• ÿ î = 1 • ÿ î= i
COLECCIÓN ESENCIAL
'Jm j» o r t á f i t e r ^
I I I j J Ejemplos de radicación 
EEEEi* Vo=0 * V5 = 0 • \/o =0 
1 * Vi =1 « =1
: • J a =2 *^8=2 ♦ \¡VÉ>-2E l i
k ! | ' . v i =3 • I ' ? . fs-= ?
i - 7 1 = 4 .7 ¡ 4 = 4: -
51 ' ^ = 5 . 7 í ü = 5|:M3!1
| | f i | f V is =6 . V2Í 6 =6
= 7 > V iü = 7 
= 8
• .i I ; i
! i ; I //,-1 t ! « 1 /
i . V^=9 
; * Viocj=io 
p4 * V121—11
¡ > í . VÍ44=12
Uní ■ í i
/7? No olvide
Regla de signos! ¡3 i i , i -V-7 - - •
.
—-*— 1J Ptíf/7 __ .
3 - 1 v + - r
+II
] pd^ = no existe ;v tz J v
1 Ejemplos .... —22
i ] * 725 = 5
} | Í ; * ^27 -3
II • = -2
J: * V-9 = no existe i .l:__
Lumbreras EditoresKl&xa*
6. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
Propiedad 1
La multiplicación de dos raíces enésimas de igual índice es 
igual a la raíz enésima de la multiplicación de los radicandos.
Ejemplos
• f e - f e = fe8
• V2-V5=VlO
• V3-V27 = V8Í
• ^ 2 x f e y = f e x - 3 y = ^ 6 ^ /
• V ^ V r ^ / r : | • | • „
• fe~z = f e fez
Propiedad 2
r ■-ni'ja j a
j b V b
Para dividir radicales es necesario que tengan igual índice, así 
obtenemos un nuevo radical con el mismo índice y como radi­
cando sería la división de los radicandos.
Ejemplos
77 Í7 ÍT Ti 1
T T V s V 7 ~ 7 T 7 §
J / x _ _ J j T 
tfiy~vy
72 V 2
7 7
Capítulo 2
___________________________________________________________ i__:_______
Propiedad 3
Ejemplos
• 7^42 = 2'^42 = /^42
Prop iedad 4
í
^ A S i /i existí par
n jo ri^ \a\ ; si ai es par
\&y . __ . J
Ejemplos
• \fx^ = x
• 7 ? = 2
i
Caso particu lar
Ejemplos
Leyes de exponentes
La sexta operación, la radica­
ción, se expresa con J~~. Este 
símbolo es una variante de la 
letra r, primera de la palabra 
latina rad'ix, que significa raíz. 
Fue introducida por Christoph 
J Rudolff en 1525.
• 7 8 = 7 ^ = 74-72=272
• V48=V^3 VÍ6-V3=4V3
• V72 = T36: 2='/36-72=6^2
Ejemplo
Si q es igual a 9 y b es igual a 16, 
entonces vemos el error.
79+16 = 79 + 716
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
; Importante
I Situaciones particulares;
Ejemplos
. # = í
■J¡2 ■=
■ " T 1; ; ;
2 ? m
3
Na olvide':
réa
z A
' J
Ejemplos de. racionalizar
í j _ _ j _ A = J L .J i:
| f. jz ~ s¡2 y[Z: t
3. _$_&■_ U S „ 3-S í
6 6 >¡3 _ 6>Js _
i ;
en- una expresión.
Ejemplos
' • y - z S + s S ^ jS '
; V ::^32r+ ^ S = - + - ^ ia o • 2 = >/iIv2+J m - y z
- 4 4 V 2 -M (k ' 2 -
^ 2 » - # ^ l E b ^ - b ^ S - ^ S
A plicación 8
Reduzca la siguiente expresión:
, , 3 3/ 3/ 5'XVX VXVX3■ +-------- ; x > 0.X X
R e s o l u c ió n
De la expresión, tenemos
' x v x 3 ^/x^/x3 V x - x 3 %/x-x5— +-------- =-------- +--------
x x x
'XV x 3 >/xvx5 v x 4 v x D x 2 x 2 ■ -|----------_ -------1------= —- +.
X X 1
3 3/7 7 ? / , ,5A
X X
Z 2 C L +X O (X - =x2-i +x2-w +xi =2x
Otras propiedades
_ — —> 
n! i ?'/ n ia<jb ~ \a b
Ejemplos
• 3\/x=^34 x== /^81x
• 2\¡3 = y¡2*~3 = /^l6^ 3 = ^48
« x \/x^ = 7/x7-x3 = lfx^
Ejemplos
. =5 -> x-^¡S
• x *6=6 -» x = /^6
—» x W
Radicales semejantes
■ ¡filial 'índite
2Ü4 ; 7^ /4
. ¡:ju;)f í'an’c.VHjo
Los siguientes radicales no son 
semejantes.
r»nWerrt!í5 indio*,f~~ ■—-—)
2^4 2^ /4
Suma y resta de radicales 
Para sumar o restar radicales se 
necesita que estos sean seme­
jantes.
Ejemplos
• 2^4 +7^4 = 9^4
• 8Æ+17V2 = 25v/2
16^2-5^ = 11^ 2V
Aplicación 9 i_____
Se tiene la igualdad \¡42x~^ = 16. 
Determine el valor de V 4 x -5 .
Resolución
Debemos tener en cuenta lo siguiente: 
bx=t? x=y
De la expresión, tenemos
Aplicación 10
- - 'i
Si x e Z y verifica x * = - , calcule el mayor 
valor de x.
2x-1 = 16€
= 16
i¡24x~2 =16
2x-1
■'h.
4x-2.2 3 = 2¿ —» 4 x - 2 = 4 A
4x-2=12 —> 4x=14 
Nos piden
yj4x-S - V l4 — 5 -» \¡4x-5 = y¡9
Resolución
De! dato, tenemos
Elevamos a la
2
1
" \ 2 ,
i i
" ■ f e
ni ni
:X j v2
'
i 4 Í
I i . Jó - 2
... v 4 x - 5 = 3
, ¿ 4 'V
'v-, ^ x=2
- Actividad rtcreativa
En el siguiente cuadrado mágico todos los números que aparecen son potencias de base 2. Escríbelos 
como potencia y comprueba que el producto de las filas, columnas y diagonales da lugar a un mismo 
número. ¿Cuál es el número? ¿Qué número debe aparecer en el lugar de la interrogación para que sea 
de verdad un cuadrado mágico multiplicativo?
116 - 1
8 2
4 8 24
LEYES DE EXPONENTES
Potenciación Radicación
Exponente cero
b°=X 0
J
r
Exponente negativo 
b~n= -¡j;b *0
I
r DefinicionesV _ J Propiedades Regularidades
r-----------1--- --------\
Exponente natural 
¡— base ~ am-an=am+nV______________ > , f=1
— = am~" 
°n
—¡ (a-b)n=an bn
a
b)
\n Qn
bn
(om)"=o"m
al =a [
Definición Propiedades
V'- • £ - t > <-> a = bn ) '4ab = ‘^ n4b
\ [a \jani — — __
0n=0, excepto n=0
o°=1, excepto a=0
b ?fb
= n,VÍbt__!
_ |a; n es impar
[\a\; n es par
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N /1
Calcule los siguientes resultados:
a. 34
b. (-5 ):
c. (-1)3
->4d. -2
e. (-2Ÿ
f. 12
g. 8o
h. (-5)'
Resolución
a. 33=3-3-3=27
b. (—5)3=(—5)(—5)(—5)=—125
c. (—1)3=(-1)(-1)(—1)=-1
d. - 2 4=~2-2-2-2=-16
e. (~2)4=(-2)(-2){-2)(-2)=-16
f. 12=1-1=1 /
g. 8°=1
h. (-5 )4=<-5)(-5)(-5)(-5)=625 \ ’
Problema N.° 2 %
Determine los siguientes resultados:
y
a. 112 I. ((~3)2) j f
{a2b4f
c. ,3
,5 ( 3 '
Resolución
a. 112=1
b. {a2b4f = (a2f (b4f = o6b12 
( 1
c.
"3
<5
L
' r
3
f 3
, 5 J
71-5 n5
13-3;
V
.9 ,
d. (<-3)2)3 = C-3)2'3 = (-3)6 = 36
3
e. <3J _ V3J
Í 2 '
\3 J
. A )
2
37
í-1I 3 J3_1 Í 2 )= X
/ O\ (
\ 3 ) \ 3 )
A
9
2 / n ^ 2
- 31 =\ 2) 814
Pifûblerrsa H>. z¿
E fe c tú e la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s :
í 2 3\ f 3 5\ c.
o V c 5
a . y y? J
o 2fe6
b. ( x o 3 )5 d. a 6í>2c 3
a V
Rssolucf&*0
I ? Importante
• El o rd en de los facto res no a ltera 
] el p roducto .
....... .
1. (x2y 3)(x 3 ■ y • z 5) = x 2 ■ x 3 ■y 3 -y1z 5
(x2y 3) (x 3-y •z5)=x2+3 ■y3+1 -z5 
(x2y 3) (x 3-y-z5)=x5-y4-z5
b. (xa3) = x5(o3) = x5-o15 
(xo3) =X5-C715
a3b5c5c. 2u6 = a3-2 • ¿>5-6 • c5
a3¿>5c5 =01-¿r1.c5
a2¿»6
a3¿>5c5 a-c5 
a2¿»6 ~ b
Leyes de exponentes
d. a W = o6-4 • b2~4 ^
a4b4
o6b V
o4b4
=a2-b 2-c3
o5b2c3 _ o2c3 
o4b4 b2
Problem a W.* 4
Exprese en forma de potencia los siguientes 
radicales:
a. %/ÿ2
b. V53
Resolución 
a. ^ = 73 
# ” = 53
c.
d.
T Í
1
b.
c. 1 í 1
t § 5J
Problema N.‘ 5
Exprese en forma de radical las siguientes 
potencias:
1 1 ' v-12^a. 5x?' c. 2 3 e.
3 3
b. (2x)5 d. 11 2
Resolución
1
a. 5-x 2 =5-yfx
. 3
b. (2x)S = n/ Íx 3
S' 37
_ 3/ I
2j V 2
Problem #î\L*' G
Simplifique las siguientes expresiones: 
a S - V I i+ Æ c. ^95+^3
b. n/75 +V48 d. í/48-^/3
Resolución
a. 732 + 7 Ï Î = V l6 • 2 W 9-2
V32 + 7Ï8 = V Î5 -Æ + 79 ■ V2 
732 + Æ = 4^2 + 3>/2 
732 + VÏ8 = 7V2
b. 7 ^ + 7 ^ = 725^ + 7167$
775 + 748 = 725 .73 + 7
l6 - T Í 
775 + 748 = 573 + 473 
/. 775 + 748 = 973
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores¿i'
c. ,^/% +^3= ^ 324 + 5/3
%/96 + V3=^32-^3 + V3 
^96+^3 = 2-sS + sS 
^96 + ^ 3 =3 /^3
d. ^48- # j = ^ ¡6 4 -^ 3
^/48-^3=^15^/3-^/3
%/48-%/3=2-t/3-^3
^ Í4 8 -H i= ^
Problema Ni* 7
Simplifique las siguientes expresiones:
4/ 4 a. v x
>. %/l6x®
Resolución
a. v x 4 = x
b. ^f\6^ = ^f\6^lx^
/. %/l6x®=2x2
c yfr3‘ '6 - '3/-3 3/,/6fx3y =yx yjy
\Jx3y6 =x-y2
d. yíáh) • \la4b2 =\¡a2-b-a4b2
\ja2b '\Ia4b2 = \la2 ■a4 -b-b2
yfctb ->/a4¿>2 = \/a6b3 
\la*b'\laAb2 =a2-b
^V64x^ = 3'^ 64/
= ^ 6 4 ?
31 /64x5 = \ / 6 4 -VX5
0<¡y¡e4x ^= 'Í[z^-'Í[x^
V v 6 4 x 6 =2x
“ rOIDieiTíd i4. »i
Simplifique las siguientes expresiones:
2 . . 4a. o9-o 5 c.
yjx3y 6 e. yjx3y 6 y * •?&“
y/a2by/a4b2 / j b. (l2x2y 4) ^ x 5y j d.
y 41 j * V
v-2
,R«sc|¿?üéíi 
a. o9-a_5=o9+(_5)=o4
b. (l2x2y 4)Q - x 5y^
(l2x2y 4)Q - x 5y^ = 1 2 -i-x2-x5-y4 -y
(l2x2y 4) Q . x 5y]= 6x7-y5
c. a~3b4
O’ V
= 0-3-(-5).64-5
O 3¿»4 =a2 -¿r1
a~3b3
a~3¿>4 _ o2 
cT 5¿>5 ~ b
d. (2x2y 3)(3x3y )
( 2 * y )(3 *3y ) '2 = (2x2y 3)(3-2 (x3) '2 y " 2 
(2x2y 3)(3x3y ) 2 = (2x 2y 3) 
(2x2y 3)(3x3y ) 2 = 2-1
(2x2y 3)(3x3y ) 2 = | x 4 -y1
7 i h 1 „-6 -2y 1 — •x yv9 7 ) A) 1
-x2 x-6 • y 3 • y ~2 D) 9
Reso
•• (2x2y 3)(3x3y ) * =~
9x
Problema 9
Halle el valor reducido de la siguiente expresión:
M =
9-9-9... 9 
3-3-3... 3
A) 3 
D) 1
Resolución 
Nos piden M.
B) 9 C) 27 
E) 81
12
M =
9-9-9... 9 9
3-3-3... 3 ~~ 323
(o2)12 d24U y ^ ->24-23 ->1M =
•. M=3
323 323
_ ^I
' Clave
Problema N. îü
Halle el valor reducido de A.
\6 / „\3
A = (34) -(37)
(3s)s -(3er
B) 13
C) 3
E) 1 9
Nos piden A.
H f - f e 7)3A= \ -> ,4 =
& ? ■ & ? ■
45-46
324-321 345
3^0 1^6 246
A=3
■:-3
A = 3-1
C la ve
Problema Ñ/ 11
Dada la igualdad 3Zx-3=27, halle el valor de x
A) I 2
D) 1
C ) l
E) 1
Resolución
'j
Nos piden x“1 = —.
x
Importante
bx=b>' -> x-y
j2x-3 = 27 -> 32x-3=33
2x - 3 = 3 —> 2x=6 —» x=3
1 = 2
x 3x - ' . l . l
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
d. (2x2y 3)(3x3y )
-2
(2x2y 3)(3x3y ) = (2x2y 3)
( >1 A
l - x ' V 219 7 . j
(2x2y 3)(3x3y ) = 2 -~ x 2-x 6-y3-y 2~2 = 2-- 9
(2x2y 3)(3x3y ) 2=^x~4 -y1 
(2x2y 3)(3x3y ) 2 = ^ r •
9 x
Problema N.° 9
M = 9-9-9... 9 3-3-3... 3
A) 3 
D) 1
Resolución 
Nos piden M.
B) 9 C) 27 
E) 81
M = 9-9-9... 9 _ 9 3-3-3... 3 ~ 3
12
23
M = M _ = ^ = 324-23 =31 
S23 S23
M=3
! C /ave
Problema N. 10
Halle el valor reducido de A.
(2x2y 3)(3x3y ) = (2x2y 3)(3-2 (x3) y 2) ; ^__(34) -Í37)
(3s)b.(3s r
A) 1 
D) 9
B) 1 3
C) 3
E) I9
Resolución 
Nos piden A.
( 3 6 f . ( 3 8 ) 2
A=345-46 -> A=3-1
A = X ù y: 3
324.321 345
330.316 346
Clave
Problema M 11
Dada la igualdad 32x_3=27, halle el valor de
A) 1 B) 1
Resolución
C)ì
E) 1
Nos piden x 1 = —
x
1
Importante
b*=tf -> x-y
32*~3 = 27 -> 32x_ 3=33 
2x-3 = 3 —> 2x=6 —> x=3
x~1= - = - 
x 3
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores_____
Problema N.* 12 Problema M.“ 14
Si se cumple que 3a=2, halle el valor de 
9°-30+1
A) 1 B) 2 C) 0
D) -1 E) -2
Simplifique la siguiente expresión:
N = s [ j j2 -§/Í28.
A) -1 B) -2 C) 1
D) 2 E) 0
Problema M‘ 15
Indique el valor de la expresión M.
5\°'5
M = \273 - 4 2/
A) 2 
D) 7
Resolución
Nos piden M.
B) 3 C) 4 
E) 5
M = (%/274 - '/ 4 5)2
2 1
M = (34 - 2 5)2 = (81 — 32)2
M = V49
M= 7
Clave
Problema 17________________
Luego de efectuar la expresión
(43)2- 4 32* 4 3 + 42° 
indique el valor que se obtiene.
A) 1 
D) 8
B) 125 C) 27 
E) 4
Resolución
Nos piden el valor de la expresión.
(43) _ 4 32 +43 + 42 =46- 4 9+43+41
(43)2 - 432 ^43 + 42°= 46- ^ + 4
(43)2- 4 32 +43 + 42Ü = 46-4 9- 3 + 4
(43)2_ 4 32 ^43 + 42° = / - / + 4 
... (43)2- 4 32 ^43+42°=4
Simplifique la expresión A.
3 , c2l
4 = bA -ib6) •b
í>-í>2-£>3..i>8
■ ; b a 0
A) ¿A 
D) b~
B) b
Nos piden 4.
4 =
4 =
b16-ó18-ó5
l1+2+3+...+8
1^6+18+5
8^ 9
b 2
b394 = í - -> 4 = ó39-36 
b35
A=63
Clave
C) b 
E) b-1
Clave
Problema N.° 19 
Indique el valor reducido de /?. 
128-16-8/? = 256-64
B) 4A) 2
D) 1
C) 8 
E)* 16
Resolución
De la expresión, tenemos 
128-16*8R =
256-64
R = 128-16-8 27-24 -23 27+4+3
256-64 ' 2^ )8+6
14
r _ 128-16-8 _ 2 _ _ 214-14 _ 2O
256-64 214
/. /?=1
i r «
Simplifique la expresión K. I 
K =
n^+3 _ 5/1+2
sn -2_sn-3
A) 25 
D) 3125
Resolución
B) ?
C) 5‘
E) 625 v
De la expresión, tenemos
K =
K =
K =
5/7+3 _ 5/7+2 
5n-2_5n-3
5n -53-5 ” -52
5n .5- 2 _ 5n .5-3
/ ( s 3-S 2)
^ ( 5-2 _ 5-3)
y , . 125- 25, - - > K = 10°
5 52 53
£
r3
y = _> k = 25-S5
A
52-55
K=57
Clave
“■lev;
Indique el valor de x en la siguiente ecuación:
g2x+1= 2 7 2-x
A) 0,333... B) 1,5
Ú* Jf A’
D) 0,5
1| NO OLVIDEÍ 1 •| 92x+1 = 272_x
$ k?+y=b*-ty X
■ i
! (32f +1=(a3)
C) 1
"i ■
Importante
bx=by —> x+y}
De la expresión, tenemos
\2-x _ ^ 34^ +2 _ 36-3*
Entonces
4x+-2 = 6-3x
4x+3x=6-2 -> 7x=4
4x = — 7
: C /av e
Problema N.‘ 22
Halle el valor reducido de la siguiente
expresión: 
A=n
V
9 " -4"
:2n
A) 3 
D) 36
B) 9 C) 4 
E) 1
Resolución
De la expresión, tenemos
J = 610 -155 -107 215.512.315
J = (3 -2 )1°-(3 -5 )5 -(2-5)7
215x 512x 315
Resolución
De la expresión, tenemos J = 3l0 -210*35-55 -27 -57 
215 -512 -315
i
Resolución
NO OLVIDE
bx+y=bx-tf -> bx-by
De la expresión, tenemos 
H =
j2+n_-jíi +1
n-1
H =
6-7
72-7n - 7 n -71 
6-7n -7~1
7” [ l 2 - l ) 49-7H = - -> H = t——-
6 - / 4
H = — > H = ^ 4 = 7 - > ,6 j6
7
H=49
Por lo tanto, la suma de las cifras de H es igual 
a 13.
C/ave
Problem a N, 25 
Sí se cumple que 
n3 n3(mn) =mn ; m > 12; a? > \ 
determine el valor de nv\
A) 356 
D) 236
B) 365 C) 265 
E) 256
Resolución
De la expresión, tenemos
u t =m
mn^ = mnn - >n^n3=nn~
n = n -» 4 -=rí
Nos piden
n~ = W ),12
Reemplazamos
rr'-A
n12=44=256
Calcule el valor de E.
E = 64-63-153
103-812
A) 4 
D) M
B) 8
Resolución
Nos piden el valor de E.
E = 26 -(2-3)3-(3-5)3
(5-2)3-(34)2
£ = 26 • 23 -33 >33 ■ 53 
53 -38
Clave
C) 24 
E) 30
Problema M." 28E = 26-36
£=26-3~2 -> E = -
E = 6- 1
9
C/o ve
Problema N.‘ 27 
Simplifique la expresión F.
F = e2 -e4 -e6 - ...-e100 
e99-e97-e95, . , e
Considere que e es igual a 2,718182.
A) e
D) A 
e
Resolución
B) e50 C) e 
E) 1
100
, (/ >00000OOOOCKXX». <*>*
Importante |§ % ? ox-ay=ax+yi . ìi Vx;<k>oo'xv»xv:<x>»l<v».>x-c>c<»: < 'T
En el problema, tenemos
F =
e2-e4 -e6 •...•e100 
e99-e97-e95-e1
/=■ = ■
2+4+6+...+100
J+3+5+,.,+99
„ e50'51 e2550 so
' r e50-50 e2500
\ C/orve
Considere que 3x es equivalente a 2 y simplifique 
la siguiente expresión:
P = 2 ■ 3X+2 + 3 • 2X+1 - 9X+1jX+1
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
•vyHI
NO OLVIDE
bx+y=bx-t/
En el problema, tenemos 
P = 2- 3X • 32 + 3•2X•2 - 9X•9
2 -2
Por dato: 3X=2
P =
P =
2 • 2 • 32 + 3 • 2X • 2 - (3* )2 • 32
2*-2
+ 3-2x -2 -2 M ^
2X - 2
3-2^. /
P = — v = 3
/ • /
Problema N.‘ 29 
Simplifique la expresión 8.
4^+n_q2+n
Clave
E =
18-3n-2
A) 18
D) 81
B) 72 C) 36 
E) 27
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Resolución
; '<
Importante
<?+*=<?■<?v H'ó-, , , Òt < xx < »x<nvx^ >/>>^ y,K>x<^ XíOoc; 1
En el problema, tenemos 
34 -34 - 3 2-3nE =
18*3-3n o—2
E = / Í 3 4 -3 2)
9
r 81-9 r 72E = ------ —> E = —
2 2 á
'.¿/i**"
£=36 t m,, ß%y4%->
h Ä^lst. ^ ä I# .¿Éá?. I
ve ■p^pC/crve., - ■■.. *•1 ‘ « ’ " ::■■•#
Problema M" 20 -AJt,—¿3^’* ’
.2x-1 _x-1
Si se cumple que 2 = 4 , calcule el valor
de x. V \ . %
B) i2
» !
Resolución 
Del dato, tenemos 
,2x-1 ^-1
'-2 yC) v
>4 =4
,2x-1
24x_2=2* -> 4x-2= x 
3x=2 
2
x = - 3
Clave
Simplifique la expresión £.
E =
2^ +3 m^+2n 
8m-2 .16n+2
Á i 4
>2x-1
-> 42' - ,=2"
(22f ' 1 = 2"
A) 2/77 
D) 4
B) 4r/7 C) 2 
E) 6
UNFV2008
En el problema, tenemos
\m+2n
t :y E = 2m • 23'•(22)
£ =
(23 f - ^ ( 24 ) - 2
-> £ =
2^77 _ 23 .22771 + m 
23m-6 4^/7+8
7^777 _ 2-6 . ^ ^4 28
£ = — -> £=2
£=2
3-2
Clave
Problema N.‘ 32 Si
Si se cumple que
/ \7J^ 773
l/T?"; =m/1 ;m>12 a n>1
determine el valor de n12.
A) 356
D) 236
B) 365 C) 265 
E) 256
Resolución 
Nos piden n12.
Del dato, tenemos
(mn) =mnn
Problema N.° 34 
Determine el valor de la expresión 
2
a3x - a2x - a + 4 x si se sabe que </= 4
4 n~ n n—> m =m B) 52
n4=nn -+• n3 = 4 (n3)4 =
C) 48 
E) 44
n12=256
Cía ve
Problema M.° 32
Si se cumple que
jX-1
2^ = 227 , determine el valor de (2x+3)2.
B) 3« !
D) 1
Resolución •
Nos piden (2x+3)2. 
Del dato, tenemos
3-Y—1 ■j j X
23 = 227
Q 4 .
u | ;
:
A) 64 
D) 32
Efectuamos
1 3 2 1 -
a** -a 2x - a + 4* = {axY ~{axY - 4 * +4*
1 / /
a3x- a 2x- a + 4 x = 4 3 - 4 2 - / í x + X *
2
a3x- o 2x- o + 4 x = 6 4 -1 6
2
o3x-o 2v-o + 4 x =48
...
f U 8 ^
• r -,r.
Clave
3X-1=27X -+ 3X_1=(33) -> 3X_1 = 33x
r-1=3x -> -1=2x
x 2
Nos piden
(2x + 3)¿ = i ' J _ i
í )
+ 3
/. (2x+3)2=4
Clave 1
Determine el valor de x en la expresión 
y+t A
2*~2 =8.
A) i3
D) -1
2
Resolución 
Nos piden x. 
x+1
2x-2 =23
» ! 0 !
» !
X + 1 = 3 —> x+1—3x— 6x - 2
6+1 = 3 x-x -> 7 = 2x 
7x = —
2
Clave
Halle el valor reducido de P. 
P = - 32+(- 3)2 - (- 3)°+(-1)°
A) 2 
D) 1
B) 0 C) -2 
E) -1
Simplifique la expresión R.
R = 65 -156 
311 -105
A) 3 
D) 2
B) 4 C) 5 
E) 1
Determine el valor de A.
A =
í í o X“3
2 ) +
(2
3 )
+ (-7)8- 7 8
A) — 
4
B) 12
D) 1
C) 3 
E) 7
Simplifique la expresión W.
IV = 205-93-(-1)6
32-605
Simplifique la expresión C. . •;% ,
C = Í222) -(-2)~2 -2-2 I
A) 3 
D) 8
B) 4
Si tenemos que 
A =
3/7+2_3/7+1
-n+1
Q ;2 ; 
E) 0
halle la suma de cifras de A¿.
A) 3 B)
D, f td
Si se tiene que
A = 22 - 22 -22...22
fi=47 + 47 + 47 + 47
determine el valor de A -fí.
C ) íó
E) 1 3
A) 5 
D) 7
B) 9
Simplifique la expresión D. 
3fD =
>n+i + 3n+^ + 3n+3 
3^ -1 + 3^-2 + 3/7“3
C) 11 
E) 8
A) 1 
D) 0
B) 4 C) 2' 
E) 2:
Determine el valor reducido de T.
3/7+2 _ 3/7+1 2n+1_ 2n
T =------------+----------
3” 2n
A) 3 
D) 3(
B) 3- C) 3' 
E) 3*
A) 9 
D) 6
B) 8 C) 7 
E) 2
Determine el valor de M.
m = § o + 4 I +V ¡ ^
v5 V2
A) 8 
D) 4
B) 10-
Reduzca la expresión Q.
1 1
Q = 1253 + 1690,5 + 6254
C) 12 
E) 18
Simplifique la expresión A.
A =
A) 4 
D) 1
B) 5 C) 3 
E) 0
Simplifique la-expresión L y considere que 
3* es equivalente a 2.
L =
2. ^ .^ 2y+1_gx+1
->x+1
A) 28 B) 14
D) 20
12. CalculeA-B.
A = \tó/9 a B = \lQy¡Q:\
\ v
A) 12 B) 11 C) 8
D) 6 E) 7 ' %
■ ,4 ^ 5
1 3 . Calcule el valor reducido de 1/. a >"A
V = ^y¡8 + VÍ8
* y
A) 2 
D) 3
B) -3
Simplifique J 
J =
^4+n_ 2^+n
«A18-3n~2'
’• ’ A) .18 B) 12
D) ; 81.
A) 16 
D) 11
•+1
B) 9 C) 25 
E) 4
1 4 . Determine el valor de C.
C = 25
i
l l l 2, /,41 f 14- ---v32 
B) 6
\ - 0 , 5
Simplifique la expresión N. 
N =
2 ^ 1 + 3 ^ m + 2 n
m-2 1cn+28 -16
A) 2 m 
D) 4
B) 4m
Si se cumple que
.2x-1 ,x-1
24 =42 ,
calcule el valor de x.
« i
“ f
B)
C) 1 
E ) - 2
C) 36 
E) 27
C) 2 
E) 6
C)!
E)
A) 5
D) -2
C) 1 
E) 7
Si x e Z y verifica que
A i ,
2 -
calcule el mayor valor de x.
A) 2 B)- 4
D) 8
C) 6 
E) 16
Determine el valor de 16(fî2+l), si se sabe 
que
B = n i4~n +1 
4n +1 '
A) 18 
D) 17
B) 2
,.,.¿sfyíi&i j,., v<&&'y "'''*%%>
/ C ) 8 
F)- 16 ,
Luego de reducir la expresión
/2n se obtuvo x2. Calcule n.3 44/*’X \X\X"
A) 4
D ) í
B ) 3 C ) 7
E) -1
,, 2
23. Calcule el valor de n.
5\Zl6n * (24)1 ° = 20
A) 4 B) 2 C)
D) 6 E) 16
24 Halle el exponente final de x, luego de 
simplificar la siguiente expresión:
?3 J - 2)4 . v-24 . V(-1)4
26. Reduzca la expresión V. 
V =
■^n+A _ 212^
2- 2 n+3
+ 2-3; r?e W
A ) 2 
8 B) !
D) 7
26. Calcule el valor de
C ) 1
i
32n+ 3'~n+9 n si se sabe que 3n=2.
A) 14
B) 2 Q 3
D) 194 » !
Halle la suma de cifras de la expresión J.
l(-5)°y^ ï's- h !
VV /Vr* íA -3 rr - 1"i : 7 = A + +
% \2A-J,3 , , 4 .
A) 59 
D) 15
B) 13 C) 47 
E) 11
Determine el valor de x6 si se sabe que
3 * 3 = 2 4 3 3 .
A) 5b 
D) 625
B) 225 C) 125 
E) 325
Dados los números
, 1Í3íi
A = 5a ;B =
w
para
indique el valor de AB 1PARIS^
2
AMOR A S
A) 7
D) 10
B) 8 Q 9 
E) 12 D)
/ -j x3
J ,
B ) - C ) i l i
2 I 2J
E ) A
1 5 ,
Capítulo 2 Leyes de exponentes
----- A: ' 'i- -o,; '''-Jv. -te'- _ ÍÉSi -i’t; ■-• cv...»
/A*Determine el valor de — si se sabe que
A= M L a e=
f a r b
A) - 
0 B)
a
C) £
a
D) £ E) 1
31. Calcule el valor reducido de P.
4 \lr ^ ) lM rP
A) i 
n
p>4n
B) n
34. Sea x un número natural, de modo que 
x2x+16=8x*.
1
Calcule el valor de x + —.
x
A) 2 B) 12
3
D) 17
C)
E) 3
35. Calcule el valor de
£
-3
A) 1 B) 2 C) 72
f , 4 IsÆk& . % :jm? A 1. : D) - E) 4 ^ % * ^ % *
‘HMÌ/Sì. tí fòrte? ë • /é^/ :/ i
¿sf '<v'' ,■*'
30. Indiqué la secuencia correcta de vere
• f i :(V) 0 falso (F) según corresponda.
32. Simplifique la expresión L
.# 1 III. f l + 4
V2 3
11 í °
? J =1
A) 1 B) 2 C) 4 A) FFF B) VFF C) FFV
D) 8 E) 15 • D) VFV E) V W
33. Si x=20155, calcule el valor de
j x ^
\lx2yfx
A) 5/2015 B) ^|2m Q 1
D) 5/2ÔÎ5 E) 2015
^1.>1^5+... + 5 = 5: - / 1 
•í,
12
II. 206-8-3-125 = 29-53
Indique a qué exponente debemos elevar 
el resultado de
h
-3 r 2 f ^
. s i +
+
A) f
D) 2
m
B)
para que resulte 216.
C)
E) 3
COLECCIÓN ESENCIAL
38. Simplifique la expresión J.
J = K] -U2 'K3-...‘ TL20
n 1 -ti3 -ns -...'-n39
Considere que 71=3,1415...
A) 1 B) 7Í20
110D) re'
39. Simplifique la expresión H. 
H =
C) ri 
E) K
,420
,10
y 2+n_y/7+1
6*7n-1
Dé como respuesta la suma de cifras
A) 12 
D) 16
B) 13
v
4 0 . Reduzca la expresión P.
P = yfü '\Í0 ‘% 7
, - JOLuego determine P
,20
%%
\ j f
A) a 
D) a
B) a¿ C) o 
E) a
10
30
41 Reduzca la expresión D. 
^/Í25y + ^ 64x-\/8x
D = 7 8 Íh->/25
Lumbreras Editores
cSv s
;;; \>.
x -22-x-3° . x 2° . x (-3)0
A) n/x B) 2\/x C) ^ 2 A) 15 B) 18 C) -3
D) 1 E) x D) 12 E) 30
42. Reduzca la expresión L.
8 multiplicandos
A) x 
D) x36
43. Se cumple que
B) x20 C) 3t/x
E) x,10
yfl 3n+2 = 3y 32n,2
determine /?2+r?+1.
A) 43 ,
D),42 5
B) 36 C) 24 
E) 32
,^ -.v «y w'4 Dada la igualdad•S ,v i ^
^ ,1 6 % 3=44'V 3
determine la suma de cifras de la expresión 
3x2- x +5.
A) 3 
D) 6
B) 4 C) 5 
E) 2
45. Si x *0 , indique su exponente final si se 
simplifica la siguiente expresión:
S = (x3) -x 2 3 . x ‘- 3>2 . x <-2>3
46. Si se.cumple que
5x+y=625 a 2x-y=,64 
determine el valor de x2-)/2.
A) 0 B) 2 C) 4
D) 6 E) 24
Al hallar el valor de x en la igualdad
. ?2x Á2x 163 =84
se obtiene la fracción irreductible — .
n
Determine el valor de m+n.
-lo. Reduzca la expresión B.
Simplifique