Notas 03 Números Complejos - Axel Sánchez Nazario

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LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
1 
 
Al estar realizando operaciones con ciertos números de un conjunto, por ejemplo los Naturales, algunas de ellas 
no se pueden resolver dentro de ese mismo conjunto, lo que da pie a nuevos conjuntos numéricos. 
 
 
La resta en los números naturales ( ℕ ) dio origen a los números enteros ( ℤ ) 
 
 
La división de dos enteros ( ℤ ) dio origen a los números racionales ( ℚ ) 
 
 
Trabajando en los números reales ( ℝ ) se ha requerido resolver la ecuación general de segundo grado 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
La cual sólo es posible en los números reales ( ℝ ) si el radicando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 
 
 
Pero, ¿y si aplicamos la idea de crear un nuevo conjunto que permita radicandos negativos? 
 
 
Esta idea se empezó a desarrollar en el terreno del álgebra en el siglo XVIII cuando Euler sugirió que la operación 
algebraica √−1 se empleara con el término 𝑖, dando origen a un nuevo conjunto de números: los imaginarios. 
 
 
Su nombre responde a la idea general de que no existen en la realidad, sin embargo, permiten extender las ideas 
del álgebra hacia caminos de uso práctico. 
 
 
Todos los múltiplos de este número 𝑖, forman el conjunto de números imaginarios, que se escriben 𝑏𝑖, en donde 
el coeficiente 𝑏 ∈ ℝ 
 
 
La unión de los números reales ( ℝ ) con los números imaginarios ( 𝐼𝑚 ) se formalizó en el siglo XIX, dando 
origen al conjunto de números complejos ( ℂ ). 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
2 
 
Los números complejos ( ℂ ) son el resultado de sumar un número puramente real con otro imaginario, y se 
acostumbra designarlos con la letra genérica 𝑧 
 
 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ 𝑖 = √−1 
 
 
Esta expresión se conoce como la forma binomial de los números complejos. 
 
 
En ella se identifican dos partes perfectamente definidas: la parte real ( 𝑎 ) y la parte imaginaria ( 𝑏𝑖 ) 
 
 
¿Cuántas combinaciones de números reales con números imaginarios podemos formar? 
 
 
La regla de las combinaciones nos dice que el total de combinaciones de dos conjuntos, será el producto de los 
elementos de uno de ellos, por el total de elementos del segundo. 
 
 
Si la operación fuera posible, estaríamos hablando de multiplicar un número infinito de elementos, por otro 
número infinito de elementos, lo que nos llevaría a la idea del cuadrado de un número infinito de elementos. 
 
 
Definitivamente son muchos, y nuestro eje numérico real ( ℝ ) ya se encuentra lleno. 
 
 
 
 
Entonces, ¿cómo los representamos? 
 
 
La respuesta la sugirió Jean-Robert Argand, matemático autodidacta francés, utilizando ideas de geometría 
analítica, en un trabajo que publicó a inicios del siglo XIX. 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
3 
 
Su idea fue graficar a los números imaginarios con un eje perpendicular al eje numérico real, de manera que 
coincidan ambos en el 0. El plano obtenido se conoce como plano de Argand. 
 
 
Entonces, el número complejo en su forma binomial 
 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 
 
Se puede escribir como el arreglo ordenado de sus 
componentes real e imaginaria, conocida como forma 
vectorial 
 
𝑧 = ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
Utilizando los conceptos de vectores, el módulo del 
número complejo es 
 
| 𝑧 | = √ 𝑎2 + 𝑏2 
 
Por eso se dice que el conjunto de los números complejos ( ℂ ) forma un espacio vectorial de dimensión 2 en los 
reales ( ℝ2 ) 
 
 
Al observar esta representación, podemos percatarnos que los números complejos no pueden establecerse en un 
único orden, por lo tanto, los números complejos no tienen reglas de orden definidas. 
 
 
* Ejercicio. Representa en un plano de Argand los siguientes números complejos. También determina el valor 
de su módulo. 
 
3 + 3𝑖 ( −2 , 6 ) 4𝑖 − 6 ( 2 , −3 ) 
( −4 , −5 ) −5 − 7𝑖 ( 6 , 7 ) −2𝑖 
5 3𝑖 −6 4 − 2√3 𝑖 
 
 
Una vez que se ha establecido el conjunto de números complejos, debemos definir sus operaciones y propiedades 
básicas para el trabajo cotidiano. Empezaremos con la igualdad. 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
4 
 
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
Se dice que dos números complejos 𝑧 = ( 𝑎 , 𝑏 ) y 𝑤 = ( 𝑐 , 𝑑 ) son iguales cuando las dos partes reales son 
iguales así como las dos partes imaginarias. 
 
 
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⟺ 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑 
 
 
Finalmente estamos comparando los términos semejantes de dos binomios. 
 
 
CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 
Esta es una nueva operación, la cual tendrá diversas aplicaciones más adelante. Consiste en cambiar de signo el 
término imaginario de un número complejo. 
 
 
Si tenemos el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 su 
conjugado será el número 
 
 
𝑧∗ = 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 = ( 𝑎 , −𝑏 ) 
 
 
Podemos ver en el plano de Argand que un número y 
su conjugado son simétricos con respecto del eje 
numérico real. 
 
Como toda operación, cumple con determinadas propiedades, que serán útiles al momento de trabajar 
cotidianamente. 
 
 
Primeramente podemos apreciar que un número complejo y su conjugado tienen el mismo módulo 
 
| 𝑧 | = | 𝑧∗ | = √ 𝑎2 + 𝑏2 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
5 
 
De forma general podemos decir que si tenemos dos números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 se cumplen las 
siguientes propiedades: 
 
( 𝑧 + 𝑤 )∗ = 𝑧∗ + 𝑤∗ 𝑧 + 𝑧∗ = 2𝑎 𝑧 − 𝑧∗ = 2𝑏 𝑖 
( 𝑧 × 𝑤 )∗ = 𝑧∗ × 𝑤∗ 𝑧 ∈ ℝ ⟺ 𝑧 = 𝑧∗ 𝑧 × 𝑧∗ = | 𝑧 |2 
 1 
𝑧
=
 𝑧∗ 
| 𝑧 |2
= ( 
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
 ,
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑧 ≠ 0 
 
 
 
* Ejercicio. La suma de las partes reales de dos números complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos 
es 5. Determina ambos números. 
 
 
OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS 
 
Como los números complejos son binomios algebraicos 𝑎 + 𝑏𝑖, la suma, la resta y la multiplicación de números 
complejos se trabajan con las mismas reglas de las operaciones con binomios. 
 
 
Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes aplicando las reglas de los signos. 
 
 
Al multiplicar términos algebraicos se deben aplicar las reglas de los signos, y al multiplicar elementos de igual 
base, los exponentes se suman. 
 
 
Así, sean los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 
 
 
𝑧 + 𝑤 = ( 𝑎 + 𝑐 ) + ( 𝑏 + 𝑐 ) 𝑖 𝑧 − 𝑤 = ( 𝑎 − 𝑐 ) + ( 𝑏 − 𝑐 ) 𝑖 
 
 
𝜆𝑧 = 𝜆𝑎 + 𝜆𝑏 𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ 𝑧 × 𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑 𝑖2 
 
𝑧 × 𝑤 = 𝑎𝑐 + ( 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ) 𝑖 + 𝑏𝑑 (√−1)
2
 
 
𝑧 × 𝑤 = 𝑎𝑐 + ( 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ) 𝑖 + 𝑏𝑑 (−1) 
 
𝑧 × 𝑤 = ( 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ) + ( 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ) 𝑖 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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* Ejercicio. Realiza las siguientes operaciones de números complejos. 
 
 
(4 + 2𝑖) + (−2 + 𝑖) (4 − 2𝑖) + (4 + 2𝑖) (−3 − 4𝑖) − (5 + 𝑖) (7 − 6𝑖) − (−3 + 4𝑖) 
 
 
2(−3 + 𝑖) − 4(−1 + 3𝑖) (5 + 3𝑖)(2 + 4𝑖) (7 + 2𝑖)(−1 + 3𝑖) 
 
 
 
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 
Para realizar la división con dos números complejos, 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 que se escribe 
 
 𝑧 
𝑤
 𝑐𝑜𝑛 𝑤 ≠ 0 
 
 
nos apoyamos en la propiedad del conjugado de un complejo 
 
 
 1 
𝑤
=
 𝑤∗ 
| 𝑤 |2
= ( 
𝑐
𝑐2 + 𝑑2
 ,
−𝑑
𝑐2 + 𝑑2
 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑤 ≠ 0 
 
 
De esta manera, nuestra división es 
 
 
 𝑧 
𝑤
= 𝑧 ∙
 1 
𝑤
= 𝑧 ∙
 𝑤∗ 
| 𝑤 |2
= ( 𝑎 , 𝑏 ) ∙ ( 
𝑐
𝑐2 + 𝑑2
 ,
−𝑑
𝑐2 + 𝑑2
 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑤 ≠ 0 
 
 
Y al desarrollar el producto de binomios, llegamos a 
 
 
 𝑧 
𝑤
=
1
𝑐2 + 𝑑2
 ( 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 , 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 ) 
 
 
* Ejercicio. Realiza las siguientes divisiones de números complejos. 
 
 
(2 + 𝑖) ÷ (1 + 3𝑖) (−5 − 2𝑖) ÷ (4 − 3𝑖) (6 + 𝑖) ÷ (−2𝑖) 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
7 
 
POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 
Ya que el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = ( 𝑎 , 𝑏 ) es un binomio, cuando establecemos la potencia 𝑧𝑛 debemos 
elevar un binomio a la potencia 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎. 
 
 
Esto significa multiplicar “n” veces el binomio 𝑎 + 𝑏𝑖 por el mismo. 
 
 
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖)= 𝑎2 + 2𝑎(𝑏𝑖) + (𝑏𝑖)2 
 
 
(𝑎 + 𝑏𝑖)3 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎3 + 3𝑎2(𝑏𝑖) + 3𝑎(𝑏𝑖)2 + (𝑏𝑖)3 
 
 
(𝑎 + 𝑏𝑖)4 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎4 + 4𝑎3(𝑏𝑖) + 6𝑎2(𝑏𝑖)2 + 4𝑎(𝑏𝑖)3 + (𝑏𝑖)4 
 
 
Evidentemente, el binomio de Newton nos da la solución general de estas potencias de binomios: 
 
 
(𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛 = (
𝑛
0
) 𝑎𝑛 + (
𝑛
1
) 𝑎𝑛−1(𝑏𝑖)1 + (
𝑛
2
) 𝑎𝑛−2(𝑏𝑖)2 + ⋯ + (
𝑛
𝑛 − 1
) 𝑎1(𝑏𝑖)𝑛−1 + (
𝑛
𝑛
) (𝑏𝑖)𝑛 
 
 
Donde 
(
𝑛
𝑘
) =
 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1) 
𝑘!
 
 
 
 
Si las potencias son de bajo exponente, podemos 
aplicar el triángulo de Pascal para el cálculo de los 
coeficientes de las potencias parciales. 
 
El primer sumando del binomio va disminuyendo su 
exponente en cada término del desarrollo, mientras 
que el segundo sumando del binomio va aumentando 
su exponente en cada término del desarrollo. 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
 
 
 
Al desarrollar la potencia de un número complejo, aparecen muchas potencias de 𝑖𝑛. Para trabajar con ellas, basta 
con hacer la siguiente observación: 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
8 
 
𝑖 = √−1 𝑖2 = (√−1)
2
= −1 𝑖3 = 𝑖2 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 𝑖2 = 1 
 
 
𝑖5 = 𝑖4 𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖4 𝑖2 = −1 𝑖7 = 𝑖4 𝑖3 = −𝑖 𝑖8 = 𝑖4 𝑖4 = 1 
 
 
Lo anterior nos indica que las potencias del número 𝑖, se van repitiendo en ciclos de cuatro tiempos. En el primer 
tiempo tenemos el valor de 𝑖, en el segundo tiempo tenemos el valor de −1, en el tercer tiempo tenemos el valor 
de −𝑖, y finalmente en el cuarto tiempo tenemos el valor de 1. 
 
 
(2 − 3𝑖)4 = (2)4 − 4(2)3(3𝑖) + 6(2)2(3𝑖)2 − 4(2)(3𝑖)3 + (3𝑖)4 
 
 
(2 − 3𝑖)4 = 16 − 96𝑖 + 216𝑖2 − 216𝑖3 + 81𝑖4 = 16 − 96𝑖 − 216 + 216𝑖 + 81 
 
 
(2 − 3𝑖)4 = −119 + 120𝑖 
 
 
¿Cómo saber en cuál tiempo estamos para potencias muy altas? Es muy simple. 
 
 
Dividimos el exponente en cuestión entre 4. El resultado tendrá por terminación una de cuatro posibilidades. 
 
 
Si termina en .25 estamos en el primer tiempo, y por lo tanto el resultado será 𝑖 
 
 
Si termina en .5 estamos en el segundo tiempo, y por lo tanto el resultado será −1 
 
 
Si termina en .75 estamos en el tercer tiempo, y por lo tanto el resultado será – 𝑖 
 
 
Si la división es un número entero, nos encontramos en el cuarto tiempo, y por lo tanto el resultado es 1. 
 
Por ejemplo 
 
𝑖841 = 𝑖 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 841 ÷ 4 = 210.25 𝑖106 = −1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 106 ÷ 4 = 26.5 
 
 
𝑖239 = −𝑖 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 239 ÷ 4 = 59.75 𝑖148 = 1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 148 ÷ 4 = 37 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
Esta es otra forma de trabajar números complejos. Se basa en el diagrama de un número complejo en el plano de 
Argand, y el uso de coordenadas polares. 
 
 
El ángulo θ lo medimos desde el eje numérico real, en 
su sentido positivo. 
 
 
Si giramos en sentido anti-horario, el ángulo se 
considera positivo, mientras que si giramos en sentido 
horario, el ángulo se considera negativo. 
 
 
El módulo del número complejo | 𝑧 | siempre será 
positivo y se mide desde el cero, y lo reconoceremos 
también con la letra r. 
 
Apoyados en el triángulo rectángulo que se forma, podemos observar que el número complejo se puede escribir 
de las siguientes formas: 
 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 = ( 𝑎 , 𝑏 ) = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖 = ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
 
La expresión 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖 se acostumbra simplificarla hasta llegar a la siguiente notación 
 
 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖) = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃 = 𝑧 
 
 
 
En esta ilustración podemos ver el número complejo 
 
 
𝑧 = 2 + 3𝑖 en su forma binomial 
 
 
𝑧 = ( 2 , 3 ) en su forma de componentes de Argand 
 
 
𝑧 = √13 𝑐𝑖𝑠 56.31° en su forma polar 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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* Ejercicio. Dibuja en un plano de Argand los siguientes números complejos. Escribe su equivalente en las tres 
representaciones: binomial, componentes, y forma polar. 
 
 
1 + 3𝑖 ( −5 , 2 ) −5 − 4𝑖 ( 4 , −3 ) 
 
 
√10 𝑐𝑖𝑠 30° 5 𝑐𝑖𝑠 53.13° √3 𝑐𝑖𝑠 120° √8 𝑐𝑖𝑠 135° 
 
 
Uno de los inconvenientes de usar la forma polar, es que se puede llegar al mismo punto con giros de diferentes 
tamaños y sentidos. 
 
𝑧 = 5 𝑐𝑖𝑠 30° = 5 𝑐𝑖𝑠 390° = 5 𝑐𝑖𝑠 (−330°) 
 
 
Por esa razón se acostumbra medir el ángulo 𝜃 con valores menores de 180°, en sentido positivo o negativo, aún 
cuando podemos usar cualquier otro ángulo que corresponda con el número complejo. 
 
 
Para los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 tenemos que su módulo cumple algunas propiedades muy 
útiles en las operaciones algebraicas. 
 
| 𝑧 | = √ 𝑧 𝑧∗ = √ 𝑎2 + 𝑏2 | 𝑧 | = 0 ⟺ 𝑧 = 0 | 𝑧 𝑤 | = | 𝑧 | | 𝑤 | 
 
 
OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 
 
 
Las operaciones suma y resta no se pueden realizar en forma polar. Sin embargo, la multiplicación, división, 
potencia y radicación si se pueden realizar en forma polar y son bastante simples y prácticas. 
 
 
Si tenemos los números complejos 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼 , 𝑤 = 𝑠 𝑐𝑖𝑠 𝛽 la multiplicación y división resultan así: 
 
𝑧 ∙ 𝑤 = (𝑟 ∙ 𝑠) 𝑐𝑖𝑠 (𝑎 + 𝛽) 𝑧 ÷ 𝑤 =
 𝑟 
𝑠
 𝑐𝑖𝑠 (𝛼 − 𝛽) 
 
Por ejemplo: 
6 𝑐𝑖𝑠 45° × 3 𝑐𝑖𝑠 15° = (6 × 3) 𝑐𝑖𝑠 (45° + 15°) = 18 𝑐𝑖𝑠 60° 
 
 
6 𝑐𝑖𝑠 45° ÷ 3 𝑐𝑖𝑠 15° =
 6 
3
 𝑐𝑖𝑠 (45° − 15°) = 2 𝑐𝑖𝑠 30° 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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* Ejercicio. Realiza las siguientes operaciones con números complejos. 
 
 
4 𝑐𝑖𝑠 25° × 3 𝑐𝑖𝑠 45° 7 𝑐𝑖𝑠 139° ÷ 4 𝑐𝑖𝑠 97° 6 𝑐𝑖𝑠 29° × 4 𝑐𝑖𝑠 (−38°) 
 
 
2 𝑐𝑖𝑠 25° ÷ 6 𝑐𝑖𝑠 45° 3 𝑐𝑖𝑠 36° × 7 𝑐𝑖𝑠 48° 9 𝑐𝑖𝑠 85° ÷ 3 𝑐𝑖𝑠 (−25°) 
 
 
Al realizar la potencia de un número complejo 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼 tendríamos que multiplicar repetidamente el número 
por el mismo, aplicando la regla de la división descrita. 
 
 
Este desarrollo se simplifica gracias a la fórmula de De Moivre 
 
 
𝑧𝑛 = (𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼)𝑛 = 𝑟𝑛 𝑐𝑖𝑠 (𝑛𝛼) 
 
 
Por ejemplo 
(2 𝑐𝑖𝑠 30°)4 = (2)4 𝑐𝑖𝑠 (4 × 30°) = 16 𝑐𝑖𝑠 120° 
 
 
Sin embargo la sencillez de este procedimiento, debemos considerar un ligero error de precisión al estar 
trabajando con radios de raíces no exactas y funciones trigonométricas: 
 
 
(2 − 3𝑖)4 = 16 − 96𝑖 + 216𝑖2 − 216𝑖3 + 81𝑖4 = 16 − 96𝑖 − 216 + 216𝑖 + 81 = −119 + 120𝑖 
 
 
(2 − 3𝑖)4 = (√13 𝑐𝑖𝑠 (−56.31°))
4
= (√13)
4
 𝑐𝑖𝑠 (4(−56.31°)) = 169 𝑐𝑖𝑠 (−225.24°) = 169 𝑐𝑖𝑠 134.76° 
 
 
 
* Ejercicio. Realiza las siguientes operaciones con números complejos. 
 
 
(3 𝑐𝑖𝑠 32°)4 (2 𝑐𝑖𝑠 25°)6 (6 𝑐𝑖𝑠 30°)3 (
 3 𝑐𝑖𝑠 30° 
2 𝑐𝑖𝑠 60°
)
3
 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 
 
Trabajar raíces para números complejos en forma binomial es un proceso bastante laborioso y complicado. Sin 
embargo, en forma polar es relativamente simple. 
 
 
Para el número complejo 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼, su raíz 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 es 
 
 
√ 𝑧 
𝑛
= √ 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼 
𝑛
= √ 𝑟 
𝑛
 𝑐𝑖𝑠 (
 𝛼 + 2𝜋 𝑘 
𝑛
) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , (𝑛 − 1) 
 
 
Donde 𝑛 es un entero y 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 180° 
 
 
Por ejemplo, para el número complejo 𝑧 = 1 + 𝑖 = √2 𝑐𝑖𝑠 45° se requiere obtener su raíz sexta. 
 
 
√ 𝑖 + 𝑖 
6
= √ √2 𝑐𝑖𝑠 45° 
6
= √ √2 
6
 𝑐𝑖𝑠 (
 45° + 2𝜋 𝑘 
6
) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 
 
 
Esta expresión nos conducirá a 6 raíces posibles, que se reparten en forma equitativa dentro de una vuelta de 
360° iniciando desde alguna de las raíces. 
 
𝑘 = 0 𝑧1 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 7.5° 
 
𝑘 = 1 𝑧2 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 67.5° 
𝑘 = 2 𝑧3 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 127.5° 
𝑘 = 3 𝑧4 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 187.5° 
𝑘 = 4 𝑧5 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 247.5° 
𝑘 = 5 𝑧6 = √2
12
 𝑐𝑖𝑠 307.5° 
 
 
Como podemos ver, cada raíz se encuentraseparada 360° ÷ 6 = 60° una de la otra. 
 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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* Ejercicio. Realiza las siguientes operaciones con números complejos. 
 
√27 𝑐𝑖𝑠 30°
3
 √256 𝑐𝑖𝑠 45°
4
 √32 𝑐𝑖𝑠 15°
5
 √729 𝑐𝑖𝑠 60°
6
 
 
 
 
FORMA EXPONENCIAL DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
También conocida como forma de Euler, ya que se basa en la fórmula que lleva su nombre. 
 
 
𝑒𝑖 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∀ 𝜃 ∈ ℝ 
 
 
Entonces, un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃 se podrá expresar también así: 
 
 
𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
 
 
A partir de la fórmula de Euler se pueden encontrar las siguientes equivalencias: 
 
 
𝑒𝑖 𝜋 = −1 𝑒𝑖 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒−𝑖 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
 𝑒𝑖 𝜃 + 𝑒−𝑖 𝜃 
2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
 𝑒𝑖 𝜃 − 𝑒−𝑖 𝜃 
2𝑖
 
 
 
* Ejercicio. Escribe los siguientes números complejos en su forma exponencial. 
 
4 + 7𝑖 3 𝑐𝑖𝑠 30° ( −2 , 4 ) 2 𝑐𝑖𝑠 45° 
 
 
Siendo la forma exponencial una equivalencia con la forma polar, entonces será otra forma de trabajar con 
números complejos cuando se requiera multiplicar, dividir, elevar a una potencia o sacar una raíz. 
 
 
Todas las operaciones algebraicas que hemos definido, se utilizan de manera cotidiana en la resolución de 
ecuaciones con números complejos. 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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ECUACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 
 
En cursos de álgebra previos, ya se han trabajado resolución de ecuaciones donde sólo intervienen números reales. 
En este tema, apoyados en las operaciones de números complejos, extenderemos el universo numérico para 
nuestras ecuaciones. 
 
 
Vale la pena recordar las recomendaciones en cuanto a la forma de un número complejo y su comodidad al operar 
con ellos. 
 
 
Las sumas y restas se trabajan sólo en forma binomial. 
 
 
Las multiplicaciones y divisiones se trabajan más simple en la forma polar y exponencial. 
 
 
Las potencias y raíces se trabajan más simple en forma polar y exponencial. 
 
 
Por ejemplo, realicemos la siguiente operación 
 
 𝑒2𝜋 𝑖 ( −3 + 𝑖 ) 
√8 𝑐𝑖𝑠 45° + √2 𝑒
5
4
 𝜋 𝑖
 
 
El término 𝑒2𝜋 𝑖 indica un giro de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠, que es una vuelta completa a la circunferencia, y el número 
complejo se encuentra sobre el eje real con módulo de 1. Al multiplicarlo por el número binomial −3 + 𝑖, 
tendremos el mismo número binomial. 
 
 
La suma del divisor sólo se podrá realizar en forma binomial, por lo que ambos sumandos los convertimos a dicha 
expresión 
√8 𝑐𝑖𝑠 45° = 2 + 2𝑖 √2 𝑒
5
4
 𝜋 𝑖 = −1 − 𝑖 
 
 
Y procedemos a realizar la suma, que resulta en 1 + 𝑖 lo que finalmente nos lleva a la división 
 
 −3 + 𝑖 
1 + 𝑖
=
 √10 𝑐𝑖𝑠 161.57° 
√2 𝑐𝑖𝑠 45°
= √5 𝑐𝑖𝑠 116.57° = −1 + 2𝑖 
 
 
Con un poco de práctica, podremos realizar y elegir el mejor camino al resolver ecuaciones donde intervienen 
números complejos. 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
15 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝛾 y 𝜃 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
 
2 (𝛾 𝑐𝑖𝑠 𝜃)2 = 𝑧1
∗ ( 𝑧2 − 𝑧3 ) 
 
 
El número complejo 𝑧1 se muestra en la figura, 
mientras que los otros dos son: 
 
𝑧2 = 2 𝑒
5
2
𝜋 𝑖
 
 
 
𝑧3 = 25 + 27 𝑖 
 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝑤 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
 
 
 
 
𝑤 = (
 𝑧1 𝑧2 
𝑧3
)
2
3⁄
 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝑧 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
𝑧
2
3⁄ =
 𝑖356 9 𝑒
𝜋
6
 𝑖 [ √2 𝑐𝑖𝑠 315° + ( −1 + 4𝑖 ) ] 
9 𝑐𝑖𝑠 60°
 
 
 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
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* Ejercicio. Determina los valores de 𝐴 y 𝐵 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
 
 𝐴 𝑒3𝜋 𝑖 
1
4
 𝑖24
+
 ( 10 𝐵 𝑐𝑖𝑠 225° ) ( 𝑖23 ) 
√2 ( 1 + 𝑖 )
= 15𝑖 + 8 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝑥 y 𝑦 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
 
 [ 4 𝑒
𝜋
2
 𝑖 + 4 + 4 𝑐𝑖𝑠 225° (
1
√2
) ] 𝑖20 
( 1 + 𝑖 ) √2 𝑒
𝜋
4
 𝑖
= √2 𝑒𝑥+𝑦𝑖 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝑥 y 𝑦 para que la siguiente ecuación resulte cierta. 
 
 
𝑒𝑥+𝑦𝑖 −
 2 𝑐𝑖𝑠 300° + √3 𝑖 
𝑒
5
2
𝜋 𝑖
= 0