Condiciones de frontera en - Arturo Lara (1)

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Condiciones de frontera en
una superficie de
discontinuidad
Al tomar en cuenta la ¡Msib ¡1 idad de que exista materia presente que este4 sujeta a la influencia de otras cargas, inmediatamente se crea la necesidad de considerar una situación en la que coincidan dos tipos de materia en una frontera común. Por ejemplo, se podría tener un bloque de cera en contacto con un vidrio, o vidrio en contacto con un conductor o con el vacío, y así sucesivamente. Es de esperarse que estas diferentes clases de materiales tengan “propiedades” electromagnéticas diferentes, de tal forma que estas propiedades cambien abruptamente a medida que se cruza la superficie de separación. C omo resultado, es posible que los diversos campos sean diferentes en las dos regiones, y es muy útil conocer qué cambios sufren al cruzar la frontera entre ellas. Estos cambios, o la ausencia de ellos como pudiera ser el caso, reciben a menudo el nombre de “condiciones de frontera”, y aquí se les analiza en términos generales.
Como se verá más adelante, estas condiciones de frontera pueden encontrarse para cualquier vector en función de su divergencia y de su rotacional, de modo que resulta conveniente derivarlas aquí. De esta manera se podrá contar con un conjunto de expresiones “prefabricadas” que se pueden aplicar a campos específicos a medida que se requiera.
8- 1 Origen de una superficie de discontinuidad
En la figura 9-1 se ilustra lo que se podría llamar la “situación real” en la frontera entre dos materiales o medios, que se han denotado como 1 y 2. Se ha graficado la variación de alguna “propiedad" electromagnética todaxía no específica, en función de x; la “frontera” entre el medio I y el 2 se indica por medio de la línea llena vertical. A medida que uno se aleja lo suficiente hacia la izquierda, esta propiedad se vuelve constante y completamente característica del medio 1 ; de manera similar, a medida que uno se aleja hacia la derecha, la propiedad se vuelve otra vez. constante, pero con un valor diferente, de modo que no hay duda que se encuentra ya en el medio 2. Como se ilustra, es de esperarse que en un caso real esta propiedad no cambiará en forma abrupta, sino con finitamente, aunque quizá muy rápido en una región angosta entre los dos medios; a esta región se le llama “capa de transición”. Esta expectativa concuerda con la suposición que se ha hecho constantemente de que los campos físicos que se están estudiando son continuos y poseen derivadas continuas. Aunque se indica la anchura de esta capa de transición por medio de las líneas punteadas y se le ha asignado un valor h, no es posible esperar que se lograrán conocerlos detalles específicos de lo que realmente ocurre en ella. Por lo tanto, es costum-
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Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad
bre remplazar esta situación real por una situación idealizada, que se muestra en la figura
8- 2. Esto se puede lograr si se imagina que la capa de transición se contrajo a una anchura cero, provocando con ello una discontinuidad de las propiedades electromagnéticas. Como resultado de ello, es posible que los campos mismos puedan considerarse como discontinuos en este límite a medida que Zz->0, y es eso precisamente lo que se desea considerar.
Figura 9-2 La superficie de discontinuidad idea-
lizada entre dos medios.
Supóngase un campo vectorial general, F (r). Como en la sección 1-18, se escriben sus ecuaciones fuente en la forma
V-F = Z?(r) y VxF = c(r)
(9-1)
Estas proporcionan la información deseada pero no es posible aplicarlas directamente a una discontinuidad. Lo que se hace es utilizar estas ecuaciones en la capa de transición en la que todo es continuo, y después pasar al límite A->0.
En la figura 9-3 se da una definición importante, muestra la dirección de la normal n a la superficie de discontinuidad. Como está ilustrado
n = n,, _
de 1 a 2
(9-2)
y siempre se seguirá esta convención de signos; es muy importante no olvidarla.
Figura 9-3 Definición de la normal a la superfi-
cie de discontinuidad.