Corrientes filamentales - Arturo Lara

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18- Corrientes filamentales
Hasta ahora se han estudiado sólo las corrientes distribuidas. Resulta sencillo adaptarlos resultados ya obtenidos para aplicarlos a las corrientes filamentales, usando (12-10) para remplazar Sdr ' por Ids . Así, de (19-20) se puede observar que el momento dipolar magnético de un solo circuito filamental C' está dado por
m= r'Xí/s'	(19-25)
y se puede utilizar cualquier elección conveniente de coordenadas para evaluar la integral.
Ejemplo
Corriente filamental plana. Si el circuito descansa sobre un plano, se puede dar a la integral una interpretación muy sencilla y útil. Tomando el origen de este mismo plano, se obtiene la situación que se ilustra en la figura 19-6. Pero r' X ds es perpendicular al plano déla espira y la magnitud |/ X ds'l es igual al área del paralelogramo con lados r' y ds como se vio en la figura 1-15. Al comparar estas dos figuras se puede observar que el área triangular sombreada de la figura 19-6 formada por líneas desde el origen hacia los extremos de ds es iiistamente la mitad del área del paralelogramo, es decir, que si da' es el área de la región sombreada, entonces ) r'X ds -da , por lo que la integral de (19-25) queda
r'Xds' = Jda' = S = Sñ	(19-26)
donde S es el vector de área total cerrada por la corriente y n es la normal a esa superficie, dad? por la convención usual que se definió en la figura 1-24. Por lo tanto, (19-25) se simplifica para quedar
m = /S= /óñ
(19-27)
Corrientes filam en tales
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Figura 19-6 Corriente filamental plana.
de modo que la magnitud del momento dipolar de una corriente filamental plana es justamente el producto de la corriente circulante por la superficie que ésta encierra. Nótese que el resultado es independiente de la forma del circuito.
Ejemplo
Anillo circular plano. Si el anillo es un círculo de radio a, entonces m — I v a2. A distancias muy grandes, la inducción axial Bz puede calcularse de (19-24) con 0=Oyr = z.El resultado es Bz = go7a2/2z3 , exactamente lo que se encontró en (14-20).
Los circuitos planos como éstos a menudo reciben el nombre de espiras o espirales de corriente, y producen el potencial vectorial dipolar y la inducción dipolar cuando existe una distancia grande entre ellos. [Mientras más cerca estén los detalles de la distribución más importantes se vuelven éstos, por lo que se hace necesario regresar a la expresión exacta (19-1).] Así, como prototipo del dipolo magnético puntual se puede tomar una espira de comente muy pequeña, cuyo momento magnético es perpendicular a su superficie, como se ilustra en la figura 19-7.
Si el sistema consiste en un determinado número de estas corrientes filamentales, es posible encontrar el momento dipolar My del circuito j por medio de (19-25), y para calcular el momento dipolar de todo el sistema se realiza la suma vectorial de todos estos términos:
r, X ds,,
m= =
(19-28)
En particular, si todos ellos son circuitos planos, cada uno de los my tendrá la forma (19-27) y el total será
A
Figura 19-7 El momento dipolar magnético de una espira de corriente perpendicular a su área.
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Multipolos magnéticos
(19-29)
Ejemplo
Solenoide ideal. En el ejemplo de la sección 14-3 se vio que un solenoide ideal de TV vueltas para el que el ángulo de enrollado no se tenga que tomar en cuenta, puede ser tratado como un conjunto de N espiras circulares de corriente paralelas, cada una de ellas conduciendo una corriente I en el mismo sentido. Así, si S es el área de su sección, el momento dipolar de cada espira será ISz, según (19-27) donde z es la dirección del eje. En este caso todos los my de (19-29) son paralelos, por lo que el momento dipolar total del solenoide será TV veces el de una de las espiras, es decir,
m = NSIi = nlSIi
(19-30)
En consecuencia, cuando se encuentra uno mu y lejos del solenoide, la inducción que éste produce estará dada por (19-24), siendo m = NS1. (Esta es esencialmente la justificación de la figura 18-3.)