Notas 02 La Integral definida e indefinida - Axel Sánchez Nazario

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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ANTIDERIVADA 
 
 
Muchas operaciones en matemáticas vienen en pares: la original y su inversa. 
 
 
𝑆𝑈𝑀𝐴 ⟷ 𝑅𝐸𝑆𝑇𝐴 
 
𝑀𝑈𝐿𝑇𝐼𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 ⟷ 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐼Ó𝑁 
 
 
𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 ⟷ 𝑅𝐴Í𝑍 
 
𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼Ó𝑁 𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴 ⟷ 𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼Ó𝑁 𝐼𝑁𝑉𝐸𝑅𝑆𝐴 
 
En cada caso, la segunda operación deshace la primera, y viceversa. 
 
 
La operación DERIVADA, también tiene su operación inversa, la cual llamaremos ANTIDERIVADA o 
INTEGRACIÓN. 
 
 
Con esta idea en mente, podemos establecer la siguiente definición: 
 
 
𝐹(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥) en el intervalo 𝐼 si se verifica que 𝐷𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
 
Esto nos indica que en un intervalo establecido se cumple que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
¿Por qué la definición dice una antiderivada, y no simplemente la antiderivada? 
 
 
La respuesta la tiene el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, que nos indica que si dos funciones 
distintas tienen derivadas iguales en un intervalo, entonces entre ellas sólo difieren de una constante de traslación. 
 
 
Por ejemplo, para la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 en el intervalo (−∞ , ∞ ) algunas de sus antiderivadas son 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥4 𝐹(𝑥) = 𝑥4 + 3 𝐹(𝑥) = 𝑥4 − 2 
 
 
De acuerdo con lo anterior, la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 , tendrá una familia de antiderivadas, que se acostumbra 
escribir 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥4 + 𝐶 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS 
 
 
Cuando trabajamos con la derivada, empleamos la simbología 𝐷𝑥 que es un operador, y se indica así 
 
𝐷𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
Entonces, sería correcto escribir la antiderivada con el símbolo 𝐴𝑥 lo cual se indicaría así 
 
𝐴𝑥 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
 
Sin embargo, en la mayoría de los libros de cálculo, se acostumbra utilizar la notación atribuida a Leibniz 
 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
En cualquier caso, ambas notaciones son correctas. 
 
 
 
Atendiendo a la definición, para comprobar la validez de una antiderivada, basta con hacer su derivada y obtener 
la función original. 
 
∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝐶 ⟺ 𝐷𝑥 (𝑥
4 + 𝐶) = 4𝑥3 
 
 
Esta es una idea sencilla, como la mayoría de las operaciones inversas, pero su obtención es un asunto diferente. 
 
 
Podemos empezar por ayudarnos de todas las reglas básicas de derivación que ya conocemos y aplicarlas en 
sentido inverso. Esto nos brinda un catálogo de fórmulas básicas de integración. 
 
 
El conocimiento y dominio de las fórmulas básicas de derivación y de integración, son un paso fundamental para 
resolver integrales más elaboradas. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 
 
 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =
 𝑥𝑟+1 
𝑟 + 1
+ 𝐶 ∫ 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
∫[ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
∫ 𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
∫
𝑑𝑥
√ 1 − 𝑥2 
= 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 + 𝐶 ∫
− 𝑑𝑥
√ 1 − 𝑥2 
= 𝑐𝑜𝑠−1𝑥 + 𝐶 ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 + 𝐶 
 
 
 
∫
− 𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= 𝑐𝑜𝑡−1𝑥 + 𝐶 ∫
𝑑𝑥
𝑥 √ 𝑥2 − 1 
= 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 + 𝐶 ∫
− 𝑑𝑥
𝑥 √ 𝑥2 − 1 
= 𝑐𝑠𝑐−1𝑥 + 𝐶 
 
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
 
∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥 + 𝐶 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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REGLA DE LA CADENA 
 
 
Es importante mencionar que la regla de la cadena aplicada en las derivadas y sus fórmulas, también se puede 
utilizar al momento de hacer integrales, sólo basta con verificar la presencia de 𝐷𝑥𝑢 en la expresión por integrar. 
 
 
∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢) [ 𝐷𝑥𝑢 𝑑𝑥 ] = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 
 
 
Por ejemplo, la siguiente integral directa no nos causa ninguna complicación al emplear la fórmula básica de la 
potencia 
 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
 𝑥3 
3
+ 𝐶 
 
 
Sin embargo, la integral podría presentarse así 
 
 
∫( 𝑥4 + 3𝑥 )2 ( 4𝑥3 + 3 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =
 𝑢3 
3
+ 𝐶 =
( 𝑥4 + 3𝑥 )3
3
+ 𝐶 
 
 
Lo anterior es válido puesto que 𝑑𝑢 = ( 4𝑥3 + 3 ) 𝑑𝑥 
 
 
Cuando esta última igualdad se cumple, decimos que la diferencial 𝑑𝑢 se encuentra completa. 
 
 
Algunas personas prefieren hacer el cambio de variable y completar la diferencial con la nueva variable. Otras 
personas con más experiencia podrán realizar la integral y completar su diferencial sin escribir el cambio de 
variable. 
 
 
En cualquier caso, se trata de plantear una integral completa de forma sencilla para aplicar una fórmula básica de 
integración conocida. 
 
 
Como ya se mencionó, conocer las derivadas es el primer paso para resolver integrales. 
 
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* Ejercicio. Obtener la antiderivada general de las siguientes funciones: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥
4
3⁄ 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2⁄ − 3𝑥 + 14 
 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ √𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑒
4𝑥 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 
 
 
 
* Ejercicio. Resuelve las siguientes integrales indefinidas 
 
∫( 𝑥5 + 2𝑥 ) ( 5𝑥4 + 2 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛8𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
∫( 𝑥3 + 6𝑥 )5 ( 6𝑥2 + 12 ) 𝑑𝑥 ∫( 𝑥2 + 4 )6 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )4 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 √ 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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SUMA DE RIEMANN 
 
 
Consideremos una función definida en un intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ]. La vamos a dividir en n sub-intervalos (no 
necesariamente de la misma magnitud), la cual recibe el nombre de partición P. 
 
 
En cada sub-intervalo seleccionamos un punto muestra llamado 𝑥�̅� (que puede incluso ser un punto frontera) 
 
 
Para cada sub-intervalo, el valor 𝑓( 𝑥�̅� ) determina el 
valor de la altura de un rectángulo cuya base es el 
ancho ∆𝑥𝑖 
 
 
Entonces, la suma de Riemann es el valor resultante de 
la suma de áreas de todos los rectángulos de la 
partición. 
 
𝑅𝑃 = ∑ 𝑓( 𝑥�̅� )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑥𝑖 
 
 
 
En la figura podemos apreciar que los rectángulos que estamos formando, no empatan del todo con el área bajo 
la curva de la función 𝑓(𝑥) en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ], por lo que la suma de Riemann es una aproximación del valor 
real de dicha área. 
 
 
Revisemos el siguiente ejemplo. 
 
 
Para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 en el intervalo [ −1 , 2 ] vamos a obtener la suma de Riemann utilizando una 
partición entre los puntos −1 < −0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 y el punto muestra será el punto medio de cada 
sub-intervalo. 
 
 
En este ejemplo formamos 6 sub-intervalos, por lo que la suma es 
 
𝑅𝑃 = ∑ 𝑓(𝑥�̅�)
6
𝑛 = 1
 ∆𝑥𝑖 
 
 
𝑅𝑃 = 𝑓(−0.75)(0.5) + 𝑓(−0.25)(0.5) + 𝑓(0.25)(0.5) + 𝑓(0.75)(0.5) + 𝑓(1.25)(0.5) + 𝑓(1.75)(0.5) 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Como los sub-intervalos tienen la misma amplitud ∆𝑥𝑖 = 0.5 podemos escribir la suma así 
 
 
𝑅𝑃 = [ 𝑓(−0.75) + 𝑓(−0.25) + 𝑓(0.25) + 𝑓(0.75) + 𝑓(1.25) + 𝑓(1.75) ] (0.5) 
 
 
𝑅𝑃 = [ 1.5625 + 1.0625 + 1.0625 + 1.5625 + 2.5625 + 4.0625 ] (0.5) = 5.9375 
 
 
 
En esta imagen podemos ver la curva en el intervalo requerido. 
 
 
Las líneas discontinuas marcan la altura en cada sub-intervalo, 
que sirve para formar cada rectángulo con el ancho elegido. 
 
 
En nuestro ejemplo se formaron 6 rectángulos que van siguiendo 
a la curva. 
 
 
Las líneas laterales y la inferior en color morado, señalan la 
región real formada bajo la curva. 
 
 
La suma de Riemann obtenida es una aproximación al valor real 
de dicha área bajo la curva. 
 
 
Como práctica, realiza la suma de Riemann para la función 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2 en elintervalo [ −1 , 2 ] empleando 
una partición entre los puntos −1 < −0.4 < 0 < 1.2 < 1.6 < 2 y en la que el punto medio de cada sub-intervalo 
sea el punto muestra. 
 
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INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
Sea 𝑓 una función que está definida en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ]. Decimos que 𝑓 es integrable en [ 𝑎 , 𝑏 ] si 
existe el límite de la suma de Riemann cuando la Norma de la partición ‖𝑃‖ tiende a cero 
 
lim
‖𝑃‖ → 0
∑ 𝑓( 𝑥�̅� )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑥𝑖 
 
 
La norma de la partición ‖𝑃‖ es el mayor valor ∆𝑥𝑖 que exista en todos nuestros rectángulos. 
 
 
Entonces, la integral definida (o integral de Riemann) de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 está dada por 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = lim
‖𝑃‖ → 0
∑ 𝑓( 𝑥�̅� )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑥𝑖 = 𝐿 
 
 
Y de acuerdo con la definición de límite, para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 
 
 
| ∑ 𝑓( 𝑥�̅� )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑥𝑖 − 𝐿 | < 𝜀 siempre que 0 < ‖ 𝑃 ‖ < 𝛿 
 
 
De lo anterior, podemos concluir que LA INTEGRAL DEFINIDA ES UN LÍMITE. 
 
 
La integral definida es el número que resulta de 
calcular el límite de la suma de Riemann desde el 
extremo inferior 𝑎 hasta el extremo superior 𝑏 cuando 
la norma de la partición ‖𝑃‖ tiende a cero. 
 
 
Es decir, formamos pequeños rectángulos de base ∆𝑥𝑖 
que al sumarse, dan por resultado el área bajo la curva 
de 𝑓(𝑥) y el eje de las abscisas. 
 
 
 
La idea de tener pequeñas secciones que al sumarse dan un gran total al resolver el límite de la definición, son la 
base para muchas de las aplicaciones de la integral definida. 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Una situación que debemos tener muy en cuenta, es el hecho de que la curva puede tener su recorrido en los 
positivos, los negativos e incluso en cero. Por lo tanto, en ocasiones se forman los rectángulos hacia abajo del eje 
de las abscisas, en los cuales la altura es un número negativo, y por lo tanto el área de ese rectángulo será negativa. 
 
 
 
 
Entonces, al obtener la suma de Riemann de todas las áreas, llegaremos a la siguiente idea 
 
 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 
 
 
Esto será algo que debemos vigilar dependiendo de la aplicación que se esté resolviendo. 
 
 
La integral definida, al igual que la derivada, es un límite y se rige con las reglas aplicables a todos los límites, 
empezando con el teorema de Unicidad, es decir, cuando la integral definida existe, su valor es único. 
 
 
Con base en las propiedades de los límites, se han desarrollado diversas propiedades para la integral definida, las 
cuales permiten calcular esta operación de forma más simple y práctica. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones integrables en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] y 𝑘 , 𝑚 , 𝑀 son constantes, se cumplen las 
siguientes propiedades: 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑎
 𝑑𝑥 = 0 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑏 
 
 
∫ 𝑘 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ∫ [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑎
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑐
 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ; 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 
 
 
𝑚 ( 𝑏 − 𝑎 ) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≤ 𝑀 ( 𝑏 − 𝑎 ) 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función que cumple con las siguientes condiciones: 
 
1) Es continua en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
2) Es integrable en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
Entonces, siendo 𝐹(𝑥) cualquier antiderivada de 𝑓(𝑥) en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ], se cumple que 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
Esta última expresión la podemos escribir así 
 
∫ 𝐹′(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
Que nos muestra la estrecha relación que existe entre derivadas e integrales. 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo en la resolución de integrales definidas, tenemos una manera 
práctica para determinar el valor del límite de la definición, la cual se conoce como Regla de Barrow 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 |
𝑎
𝑏
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
 
Hasta este momento, hemos utilizado ambos extremos de la integral definida como números fijos. Ahora vamos 
a trabajar con el extremo superior variable. Esto se traduce en el siguiente teorema. 
 
 
Sea 𝑓 una función continua en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] y sea 𝑥 un punto variable en el intervalo ( 𝑎 , 𝑏 ). Entonces 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) 
 
 
¿Qué nos indica este teorema? Si resolvemos la integral definida 
 
 
∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥)|𝑎
𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) 
 
 
El valor de 𝐹(𝑎) es una constante. Ahora aplicamos la derivada 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 [ 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)] = 𝑓(𝑥) 
 
 
Esto nos recuerda que una derivada puede provenir de dos funciones primitivas diferentes, las cuales difieren 
entre ellas solamente en una constante de traslación. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Revisemos ahora el siguiente ejemplo: 
 
 
∫ 𝑥2
2
0
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
1
0
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
2
1
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
3
0
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
2
3
 𝑑𝑥 
 
 
La primera igualdad parece evidentemente cierta pero, la segunda igualdad puede resultar no tan evidente. Vamos 
a comprobar ambas resolviéndolas por separado. 
 
 
Empezamos obteniendo una función primitiva 
 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 
 
 
Con ella resolvemos la primera de las igualdades 
 
 
∫ 𝑥2
2
0
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
1
0
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
2
1
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 |
0
1
+
𝑥3
3
 |
1
2
= [
(1)3
3
−
(0)3
3
] + [
(2)3
3
−
(1)3
3
] =
1
3
+
7
3
=
8
3
 
 
 
Continuamos resolviendo la segunda de las igualdades 
 
 
∫ 𝑥2
2
0
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
3
0
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
2
3
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 |
0
3
+
𝑥3
3
 |
3
2
= [
(3)3
3
−
(0)3
3
] + [
(2)3
3
−
(3)3
3
] = 9 −
19
3
=
8
3
 
 
 
Estamos comprobando que con ambas selecciones de intervalos se obtiene el mismo resultado que la integral 
original. Esto será de mucha ayuda en temas posteriores. 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de las siguientes integrales definidas. 
 
 
∫ (𝑥4 − 3𝑥)
3
1
(4𝑥3 − 3) 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛6𝑥
2𝜋
0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
1
 √ 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función que cumple con las siguientes condiciones: 
 
1) Es continua en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
2) Es integrable en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
 
Entonces existe un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ] para el cual se verifica que 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = ( 𝑏 − 𝑎 ) 𝑓(𝑥0) 
 
 
 
Esto nos indica que existe un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ] para 
el cual, su correspondiente valor 𝑓(𝑥0) es la altura de 
un rectángulo que tiene por base la distancia entre los 
extremos 𝑎 y 𝑏. 
 
 
Además, el teorema nos asegura que el área de este 
rectángulo es equivalente al área bajo la curva entre 
los extremos 𝑎 y 𝑏. 
 
 
El valor de 𝑓(𝑥0) se conoce como valor promedio de 
la función. 
 
 
En algunos casos existe más de un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ] 
que cumple con el teorema. 
 
 
 
 
* Ejemplo. Determina todos los valores que satisfacen el Teorema del Valor Medio del cálculo integral para la 
función 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑛 [ −3 , 3 ] 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Por tratarse de una función polinomial, es continua e integrable, que son las condiciones del teorema del valor 
medio del cálculo integral. 
 
 
Por lo tanto, existe un rectángulo que tiene la misma área que la resultante de la integral de 𝑓(𝑥) entre −3 y 3 
 
 
Resolviendo la integral 
∫ 𝑥2
3
−3
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 |
−3
3
= 9 − (−9) = 18 
 
 
La base del rectánguloque buscamos es (𝑏 − 𝑎) = 3 − (−3) = 6 
 
 
En consecuencia, la altura del rectángulo o valor promedio de la función es 
 
 
𝐴 = 𝑓(𝑥0) ( 𝑏 − 𝑎 ) ⟹ 18 = 𝑓(𝑥0) (6) ⟹ 𝑓(𝑥0) = 3 
 
 
Para obtener el correspondiente valor 𝑥0 basta con despejarlo en la función original 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 ⟹ 3 = 𝑥2 ⟹ 𝑥 = ±√ 3 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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* Ejercicio. Determina todos los valores que satisfacen el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral para la 
función 
 
𝑓(𝑥) =
1
( 𝑥 + 1 )2
 𝑒𝑛 [ 0 , 2 ] 𝑔(𝑥) = 40 + 20𝑥 (2 − 𝑥) 𝑒𝑛 [ 0 , 2 ] 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor promedio para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 𝑒𝑛 [ 0 , √ 𝜋 ] 
 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
Sea 𝑓 una función que está definida en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ]. Llamaremos integral indefinida a la función 
resultado de la operación 
 
∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥)|𝑎
𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
 
El valor de 𝐹(𝑎) es una constante para un cierto punto 𝑎, pero como no tenemos suficiente información para 
conocer su valor de forma específica, se deja generalizado con la letra 𝐶 
 
 
La función 𝐹(𝑥) se conoce como función de acumulación, ya que acumula el área bajo una curva desde un valor 
fijo 𝑡 = 𝑎 hasta un valor variable 𝑡 = 𝑥 
 
 
En la práctica, se acostumbra escribir simplemente 
 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
 
La constante 𝐶 nos recuerda que una derivada proviene de muchas posibles funciones primitivas, las cuales 
difieren entre ellas sólo en una constante. 
 
 
 
PRECAUCIÓN: La integral definida nos conduce al valor de un límite perfectamente definido, mientras que la 
integral indefinida nos lleva a una familia de funciones primitivas de 𝑓(𝑥) 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL 
 
 
Esta es una de las funciones más utilizadas en el cálculo. Se define por medio de la siguiente integral indefinida 
 
 
ln 𝑥 = ∫
 1 
𝑡
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 
 
 
Estamos calculando el área acumulada para la función 𝑓(𝑡) = 1 𝑡⁄ desde un punto cualquiera 𝑡 = 𝑎 hasta un 
punto indefinido 𝑡 = 𝑥 cuando 𝑥 > 0 
 
 
 
 
 
En consecuencia, la función 𝐹(𝑥) = ln 𝑥 es una función primitiva de la función 𝑓(𝑥) = 1 𝑥⁄ y por lo tanto 
 
 
∫
 𝑑𝑥 
𝑥
= ln | 𝑥 | + 𝐶 
 
 
 
Que es una de las fórmulas de integración más usuales en la práctica. 
 
 
El número irracional 𝑒 = 2.718281828 es el valor en el cual ln 𝑒 = 1 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
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Algunas de las propiedades de la función ln 𝑥 son: 
 
ln 1 = 0 ln 𝑒 = 1 ln 𝑒𝑥 = 𝑥 ln 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑎 
 
 
ln ( 𝑎 𝑏 ) = ln 𝑎 + ln 𝑏 ln ( 
𝑎
𝑏
 ) = ln 𝑎 − ln 𝑏 log𝑎 𝑥 =
 ln 𝑥 
ln 𝑎
 
 
 
𝑒ln 𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑎 
 
 
Las funciones logaritmo natural ln 𝑥 y exponencial 𝑒𝑥 = exp 𝑥 son funciones inversas, por lo tanto, cada una de 
ellas nulifica a la otra, ya que al hacer la composición de una sobre la otra, obtenemos la función identidad. 
 
 
Esto tiene una aplicación muy útil en el cálculo de límites: 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑦 = lim
𝑥 → 𝑎
exp ( ln 𝑦 ) = exp ( lim
𝑥 → 𝑎
ln 𝑦 ) 
 
 
 
La función logaritmo natural resuelve muchos casos de integración. Por ejemplo 
 
∫
5
2𝑥 + 7
 𝑑𝑥 
 
 
Si escribimos 𝑢 = 2𝑥 + 7 entonces su diferencial es 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
 
 
∫
5
2𝑥 + 7
 𝑑𝑥 = 5 ∫
𝑑𝑥
2𝑥 + 7
=
 5 
2
 ∫
2 𝑑𝑥
2𝑥 + 7
=
 5 
2
 ∫
 𝑑𝑢 
𝑢
=
 5 
2
 ln | 𝑢 | =
 5 
2
 ln | 2𝑥 + 7 | + 𝐶 
 
 
Con un poco de práctica, podemos hacer estas integrales sin escribir todo el cambio de variable, y sólo 
concentrarnos en verificar que la diferencial de los argumentos se encuentre completa. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
18 
 
* Ejercicio. Resuelve las siguientes integrales. 
 
∫
𝑥
10 − 𝑥2
 𝑑𝑥 ∫
 𝑥2 − 𝑥 
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
∫
6𝑥 + 9
3𝑥2 + 9𝑥
 𝑑𝑥 ∫
 𝑥3 + 𝑥2 
𝑥 + 2
 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
REGLA DE L’HOPITAL 
 
 
Si para dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) se verifica que 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 0 
 
 
Y además existe, finito o infinito 
lim
𝑥 → 𝑎
 
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
 
 
Entonces 
lim
𝑥 → 𝑎
 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥 → 𝑎
 
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
 
 
Este teorema tan popular entre los alumnos del bachillerato, sólo es aplicable para dos tipos de indeterminaciones 
 
 
 0 
0
 
 ∞ 
∞
 
 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
19 
 
Por ejemplo, se requiere determinar el siguiente límite 
 
lim
𝑥 → 0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 
𝑥3
=
 0 
0
 
 
 
Como se presenta una de las indeterminaciones válidas para la regla de L’Hopital, podemos escribir 
 
 
lim
𝑥 → 0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 
𝑥3
= lim
𝑥 → 0
 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 
3𝑥2
= lim
𝑥 → 0
 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
6𝑥
= lim
𝑥 → 0
 − cos 𝑥 
6
= −
 1 
6
 
 
 
En cada una de los nuevos límites, se ha verificado que sigue presente la indeterminación 
 
0
0
 
 
 
Por lo tanto, la regla de L’Hopital se pudo aplicar de manera sucesiva hasta que ya no se presentó la 
indeterminación, y por tanto se pudo calcular el valor del límite requerido. 
 
 
Existen otras cinco indeterminaciones a las cuales deberemos enfrentar 
 
 
0 ∙ ∞ ∞ − ∞ 00 ∞0 1∞ 
 
 
Ninguna de ellas permite el uso de la regla de L’Hopital. 
 
 
Sin embargo, utilizando un poco de álgebra, podremos escribirlas de forma que se presenten los cocientes de la 
hipótesis del teorema. 
 
 
En el caso de las potencia, el truco es trabajar con el logaritmo natural de la expresión original, resolver el límite 
y regresarlo a la función original con una función exponencial, aprovechando la propiedad 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑦 = lim
𝑥 → 𝑎
exp ( ln 𝑦 ) = exp ( lim
𝑥 → 𝑎
ln 𝑦 ) 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
20 
 
* Ejercicios. Con ayuda de la regla de L’Hopital, resuelve los siguientes límites. En algunos casos, habrá que 
reacomodar la expresión original, para poder aplicar el teorema. 
 
 
lim
𝑥 → 0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑥
 lim
𝑥 → 3
 
𝑥2 − 9
𝑥2 − 𝑥 − 6
 lim
𝑥 → 0
 
 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 
ln(1 + 𝑥)
 
 
 
 
lim
𝑥 → 0
 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑥2 + 3𝑥
 lim
𝑥 → 0
 𝑒−𝑥 
𝑥−1
 lim
𝑥 → 0+
( 
1
𝑥
 )
𝑥
 
 
 
 
lim
𝑥 → ∞
 
𝑥
𝑒𝑥
 lim
𝑥 → 0+
 
 ln 𝑥 
𝑐𝑜𝑡 𝑥
 
lim
𝑥 → 
𝜋
2
 [ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ∙ ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) ] 
 
 
 
lim
𝑥 → 1+
 [ 
𝑥
𝑥 − 1
−
1
ln 𝑥
 ] 
lim
𝑥 → 0+
(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 lim
𝑥 → 
𝜋
2
(−)
(𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
lim
𝑥→0(−)
(3𝑥)𝑥
2
 
 
 
 
El trabajo con este tipo de límites, aunado con los conceptos de integrales, preparan el camino para lo que se 
conoce como integrales impropias. 
 
 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
21 
 
INTEGRALES IMPROPIAS 
 
Se llama así a las integrales en las que alguno de sus extremos, o ambos, es un infinito. 
 
 
∫
1
1 + 𝑥2
∞
0
 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
1
−∞
 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
∞
−∞
 𝑑𝑥 
 
 
En este tipo de integrales no podemos aplicar la definición de integral definida, la cual se establece para un 
intervalo finito [ 𝑎 , 𝑏 ]. 
 
 
Sin embargo, son expresiones de uso común en física, economía y probabilidad, por lo que tenemos que darle 
sentido a cada una de ellas. 
 
 
Esto se consigue involucrando la idea de límites infinitos. 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
−∞
 𝑑𝑥 = lim
𝑎 → −∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
Si el límite existe y tiene valor finito, entonces decimos que la integral impropia converge y tiene ese valor. 
 
 
Si el límite no existe, decimos que la integral impropia diverge. 
 
 
Cuando los dos extremos son infinitos, la integral se separa en dos integrales con un punto intermedio o pivote, 
el cual generalmente es cero∫ 𝑓(𝑥)
∞
−∞
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
0
−∞
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
∞
0
 𝑑𝑥 
 
 
Si las dos integrales que forman la suma convergen, entonces decimos que la integral impropia completa converge. 
 
 
Si alguna de las dos integrales diverge, entonces la integral completa diverge. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
22 
 
Revisemos la siguiente integral impropia 
∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
−1
−∞
 𝑑𝑥 
 
La vamos a resolver escribiéndola así 
 
lim
𝑎 → −∞
∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
−1
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
Para simplificar la notación, trabajamos primero la integral y después aplicaremos el límite 
 
∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
−1
𝑎
 𝑑𝑥 = −
 1 
2
 ∫ 𝑒−𝑥
2
−1
𝑎
 ( −2𝑥 𝑑𝑥 ) = −
 1 
2
 𝑒−𝑥
2
 |
𝑎
−1
= −
 1 
2
 𝑒−1 +
 1 
2
 𝑒−𝑎
2
= −
1
2𝑒
+
1
2𝑒𝑎
2 
 
 
lim
𝑎 → −∞
∫ 𝑥 𝑒−𝑥
2
−1
𝑎
 𝑑𝑥 = lim
𝑎 → −∞
[ −
1
2𝑒
+
1
2𝑒𝑎
2 ] = −
1
2𝑒
 
 
 
Que por ser una cantidad finita, concluimos que la integral impropia converge. 
 
 
 
 
Otro ejemplo es la siguiente integral impropia 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
∞
0
 𝑑𝑥 
 
Y se resuelve al escribir 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
∞
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑏
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → ∞
(− 𝑐𝑜𝑠 𝑥)|0
𝑏 = lim
𝑏 → ∞
[ − 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 0 ] = lim
𝑏 → ∞
[ − 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 1 ] 
 
 
Como este último límite no existe, concluimos que la integral impropia diverge. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
23 
 
Ahora tenemos la siguiente integral impropia 
∫
1
1 + 𝑥2
∞
−∞
 𝑑𝑥 
 
Que separamos en dos integrales impropias 
 
∫ 
1
1 + 𝑥2
0
−∞
 𝑑𝑥 + ∫ 
1
1 + 𝑥2
∞
0
 𝑑𝑥 
 
 
Cada una la resolvemos por separado 
 
∫ 
1
1 + 𝑥2
0
−∞
 𝑑𝑥 = lim
𝑎 → −∞
∫ 
1
1 + 𝑥2
0
𝑎
 𝑑𝑥 = lim
𝑎 → −∞
(𝑡𝑎𝑛−1𝑥)|𝑎
0 = lim
𝑎 → −∞
[ 𝑡𝑎𝑛−10 − 𝑡𝑎𝑛−1𝑎 ] = 0 +
𝜋
2
=
𝜋
2
 
 
 
 
∫ 
1
1 + 𝑥2
∞
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → ∞
∫ 
1
1 + 𝑥2
𝑏
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → ∞
(𝑡𝑎𝑛−1𝑥)|0
𝑏 = lim
𝑏 → ∞
[ 𝑡𝑎𝑛−1𝑏 − 𝑡𝑎𝑛−10 ] =
𝜋
2
− 0 =
𝜋
2
 
 
 
Entonces, nuestra integral impropia resulta 
 
∫
1
1 + 𝑥2
∞
−∞
 𝑑𝑥 = ∫ 
1
1 + 𝑥2
0
−∞
 𝑑𝑥 + ∫ 
1
1 + 𝑥2
∞
0
 𝑑𝑥 =
𝜋
2
+
𝜋
2
= 𝜋 
 
 
Que por ser una cantidad finita, concluimos que la integral impropia converge. 
 
 
Cuando en una integral, un extremo es infinito, sabemos que se trata de una integral impropia. Sin embargo, 
existen otras integrales impropias que debemos reconocer primero. 
 
 
Esto ocurre cuando en el intervalo de integración requerido, se presenta una asíntota vertical. 
 
 
En términos estrictos, la función no es integrable. Pero podemos sortear la situación con el uso de integrales 
impropias. Basta con resolver la integral y después aplicar el límite en el valor de la asíntota vertical. 
 
 
Si existe el límite, la integral existe y converge a dicho valor. En caso contrario, diverge la integral. 
 
LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 
24 
 
Revisemos el siguiente ejemplo: 
∫
1
√ 4 − 𝑥2 
2
0
 𝑑𝑥 
 
 
En el dominio de esta función, 𝑥 ≠ −2 , 2 porque ahí se presentan asíntotas verticales. 
 
 
Para poder resolver la integral, planteamos la integral impropia 
 
∫
1
√ 4 − 𝑥2 
2
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → 2−
∫
1
√ 4 − 𝑥2 
𝑏
0
 𝑑𝑥 = lim
𝑏 → 2−
 𝑠𝑒𝑛−1 ( 
𝑥
2
 ) |
0
𝑏
= lim
𝑏 → 2−
[ 𝑠𝑒𝑛−1 ( 
𝑏
2
 ) − 𝑠𝑒𝑛−1 (
0
2
) ] 
 
 
 
 
∫
1
√ 4 − 𝑥2 
2
0
 𝑑𝑥 =
 𝜋 
2
− 0 =
 𝜋 
2
 
 
 
 
Que por ser una cantidad finita, concluimos que la 
integral impropia converge. 
 
 
 
Aún con la asíntota vertical, se pudo calcular el área 
comprendida dentro de la región formada con la curva, 
la asíntota vertical y el eje de las abscisas, en el 
intervalo [ 0 , 2 ) 
 
Si la asíntota vertical se presenta en un valor intermedio de un intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ], tendremos que separar la integral 
completa en dos integrales impropias, en las cuales habrá que aplicar el límite en el valor de la asíntota vertical. 
 
 
Si las dos integrales que forman la suma convergen, entonces decimos que la integral impropia completa converge. 
 
 
Si alguna de las dos integrales diverge, entonces la integral completa diverge.