3 Campos en una guía de ondas - Arturo Lara

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3 Campos en una guía de ondas
Para seguir adelante se deben utilizar las ecuaciones de Maxwell. Se supone que no existen cargas o comentes libres en el interior de la guía, de modo que (21-48) a (21-51) se pueden escribir como
V-E = 0	V-H = 0
(26-13)
VXE=-^ VXH=^
Dado que se ha supuesto que cada una de las componentes de E y de H tienen la forma general de (26-4), se tendrá que
E = &(x,y)e'(k*z	(26-14)
H = 9C(x^)e'^z-^	(26-15)
de modo que, si£a es una componente cualquiera de E, se tendrá 3 Eojdz = ikgEa y üEqJ d t - ~ ic¿>Ea, con expresiones similares para las componentes de H. Es importante recordar que aunque las amplitudes & y JC dependen únicamente de x y de y, no se ha supuesto que los campos sean transversales, es decir, que no tengan componentes z. En otras palabras, & tiene la forma general
S(x,y) = Sx(x,^)x+	(26-16)
donde las distintas componentes & x, & y y &. z pueden depender de x y de y de diferentes maneras.
Al sustituir (26-14) y (26-15) en (26-13) y tras cancelar el factor exponencial común se obtienen ocho ecuaciones escalares:
	asx as, c- „
	(26-17)
	ax ax	„
dx	dy	8 z
	(26-18)
	
	(26-19)
	
	(26-20)
	dx dy 1^%Z
	(26-21)
	d%z	.
	ik„^v = —tcx&x dy	8 y
	(26-22)
	dXz . lkg%x	= — lbX.&y
	(26-23)
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Campos en regiones confinadas
9^
dx dy
(26-24)
Despejando	al eliminar JC v entre (26-20) y (26-22), y utilizando después (26-7) y (26-8),
se encuentra que
i / as2 a%2
(26-25)
De manera similar, de (26-19) y (26-23) se encuentra que
y que
k2 3y
(26-26)
(26-27\
(26-28)
que se siguen de los pares (26-19) - (26-23) y (26-20) - (26-22), respectivamente. Estos resultados demuestran que las cuatro componentes transversales de & y son independientes entre sí y que se pueden calcular a partir de las derivadas de las dos componentes longitudinales; esto simplifica el trabajo.
Sin embargo, al obtener (26-25) a (26-28) solamente se usaron cuatro de las ocho ecuaciones de Maxwell. Si se sustituyen (26-25) y (26-26) en (26-17) se encuentra que para satisfacerla es necesario que
+	(26-29)
dx dy
lo que, según (26-6), debe ser así. Se puede obtener el mismo resultado a partir de (26-24). De manera similar se podrán satisfacer si
92X 92X
dx2 dy2
+ k2%z = 0
(26-30)
lo que de nuevo está de acuerdo con (26-6).
Puesto que cada una de las expresiones (26-25) a (26-28) tiene la forma de una suma, pueden interpretarse las componentes transversales generales como una superposición de dos ondas independientes, una que corresponde a&^0yJ(z=0, y la otra S^-OyK ^O. De acuerdo con esto, resulta conveniente separar las soluciones en estos dos grupos y considerarlas por separado. Si &z - 0, entonces descansa completamente sobre el plano xy y es perpendicular a la dirección de propagación. Una onda de este tipo recibe el nombre de modo eléctrico transversal o ET. De manera similar, el caso Tí z = 0
Guías rectangulares
531
corresponde al modo magnético transversal o MT. (Si tanto & z como Jf z son iguales a cero, el modo correspondiente se llama electromagnético transversal o ETM',este caso requiere de un estudio por separado que se difiere hasta otra sección.)
Se pueden resumir todos estos resultados de una manera muy útil en la forma de un procedimiento paso a paso para resolver los problemas de guías de ondas. Para un ET: (1) sea & z = 0 y encuéntrese Jf z como la solución general de (26-30) o su equivalente si se expresa en otro sistema coordenado apropiado, como el de coordenadas cilindricas, por ejemplo; (2) sustitúyase esta expresión de JC z en (26-25) a (26-28) para encontrar las componentes transversales de las amplitudes; (3) sustitúyanse estos resultados en (26-14) y (26-15) para encontrar los campos E y H; (4) asegúrese que las expresiones de E y H (o lo que es equivalente, & y JC ) satisfacen las dos condiciones de frontera (26-2) que dan Etang = 0 y H normal = 0 (nótese que la componente tangencial Ez ya es igual a cero en este caso); (5) tómense las partes reales de las expresiones de E y H resultantes si se desean obtener los campos físicos; y (6) si se desea, se pueden encontrar la densidad superficial de carga y la densidad superficial de corriente a partir de las condiciones de frontera restantes, ñ ' D ~ cy y ñ X H = Kf, tomando en cuenta, desde luego, que se deben evaluar en la superficie limitante. [Como se verá más adelante, a veces resulta más conveniente realizar el paso (4) antes que el (2). ]
Para un modo MT se sigue el mismo procedimiento básico, encontrando &z a partir de (26-29) y tomando z = 0. En este caso, por lo general &z será diferente de cero en guía, pero como es una componente tangencial en la superficie debe anularse ahí.
Cuando se siguen estos procedimientos los campos obtenidos satisfacen automáticamente las ecuaciones de Maxwell, puesto que éstas fueron usadas para obtener los resultados básicos. Lo que es más, los eigenvalores kc que caracterizan los diversos modos se obtendrán también durante el procedimiento debido a las razones siguientes. Cuando se obtiene la solución general de (26-29) o (26-30) se incluyen algunas constantes de integración. Se encuentra después que la única manera de satisfacier las condiciones de frontera es dando ciertos valores a algunas de estas constantes, los que a su vez determinan los valores permitidos de kQ. (Como se verá en detalle más adelante, la manera de encontrar los kc recuerda lo que ocurrió al resolver la ecuación de Laplace en la sección 11-4.)
En los ejercicios se demostrará que los resultados de esta sección pueden expresarse de una manera todavía más compacta y elegante, antes de que se requiera especificar la configuración de la sección de la guía. Sin embargo, para el propósito buscado aquí es conveniente proceder ya a la consideración de un ejemplo específico e importante.