GEOMETRIA_03_CONGRUENCIA DE TRIANGULOS - Gabriel Solis

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Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 1 
GEOMETRÍA 
 
SEMANA 03: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – 
CRITERIOS DE CONGRUENCIA – APLICACIONES 
DE CONGRUENCIA – TRIÁNGULOS 
RECTÁNGULOS NOTABLES 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
01. Indique la secuencia correcta después de 
determinar si la proposición es verdadera (V) o 
falsa (F). 
I. Dos triángulos rectángulos con la misma 
hipotenusa son congruentes. 
II. Dos triángulos rectángulos isósceles con un 
cateto común son congruentes. 
III. Dos triángulos rectángulos con un ángulo 
agudo de igual medida son congruentes 
A) FFF B) FVF C) VFF 
D) VVF E) FVV UNI 2007–I 
 
02. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones. 
I. Si dos triángulos rectángulos tienen en común un 
ángulo y un lado, entonces son congruentes. 
II. Dos triángulos rectángulos isósceles tienen 
en común un lado entonces son congruentes. 
III. Dos triángulos rectángulos isósceles con un 
cateto en común son congruentes. 
A) FFF B) FFV C) FVF 
D) FVV E) VVF 
 
03. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones. 
I. Si un triángulo presenta dos alturas de igual 
longitud, entonces dicho triángulo es isósceles. 
II. En todo triángulo isósceles, la altura relativa 
a la base biseca a dicha base. 
III. En un triángulo equilátero las tres alturas 
tienen la misma longitud. 
A) VVV B) VFV C) VVF 
D) FVV E) FFV 
 
04. En la figura mostrada, las regiones 
sombreadas son congruentes, calcule x. 
A) 60° 
B) 53° 
C) 45° 
D) 37° 
E) 30° 
 
05. Del gráfico mostrado, las regiones 
sombreadas son congruentes. Calcule x, 
sabiendo que  =20°. 
A) 20° 
B) 40° 
C) 70° 
D) 65° 
E) 35° 
 
06. En la figura, si las regiones sombreadas son 
congruentes, CD=2cm y ED=3cm. Calcule AB 
(en cm). 
A) √29 
B) 2√10 
C) 5 
D) 4√2 
E) 4√3 
 
07. En la figura mostrada, AB=3(PC)=3cm. 
Calcule PQ (en cm). 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) √10 
E) √5 
 
08. Del gráfico mostrado, BC=DE y las regiones 
sombreadas son congruentes. Calcule x. 
A) 60° 
B) 65° 
C) 45° 
D) 55° 
E) 50° 
 
CRITERIO DE CONGRUENCIA 
* SUG. CRITERIO LAL 
09. En un triángulo ABC, en la prolongación de 
AC̅̅̅̅ y en el exterior relatico a BC se ubican los D 
y E respectivamente. tal que CD=AB. Si m∡BAC= 
60 y el triángulo BCE es equilátero, determine la 
medida del ángulo CDE. 
A) 30 B) 45 C) 50 
D) 60 E) 75 
 
10. En un triángulo ABC se traza la ceviana inte 
rior BP, tal que: m∡ABP=3, m∡ACB= 4 y 
m∡PBC=7. Si AB=PC, calcule . 
A) 6° B) 8° C)9° 
D) 10° E) 12° 
 
11. En la figura AB=RC, calcule x. 
 
 
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A) 8° 
B) 10° 
C) 12° 
D) 14° 
E) 15° 
UNI 2016-I 
 
12. Se construyen exteriormente los triángulos 
equilátero AEB y BFC sobre los lados AB yBC 
de un triángulo escaleno, tal que AF ∩ CE = {P}. 
Determine (en radianes) la medida del ángulo 
APC. 
A) 
2

 B) 
2
3

 C) 
3
4

 
D) 
4
5

 E) 
5
6

 UNI 2006-II 
 
* SUG. CRITERIO ALA 
13. En un triángulo ABC se ubica el punto H en 
la mediana BM (AH̅̅ ̅̅ ⊥ BM̅̅ ̅̅ ). Si AH=8 y HM=3, 
detremine la longitud del HC̅̅ ̅̅ 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
 
14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se 
traza la ceviana AD, si DC=2(AB) y m∠BAD 
=m∠ACD. Determine la medida del ángulo BAD. 
A) 18,5 B) 22,5 C) 30 
D) 37 E) 45 
 
15. Sean los triangulo rectángulo ABC y ADC 
(AD=DC) rectos en B y D respectivamente con-
tenidos en semiplanos distintos con respecto a la 
recta AC. Si AB=3 y BC=8, determine la longitud 
del segmento DH perpendicular al BC̅̅̅̅ (H𝞊BC̅̅̅̅ ). 
A) 4,5 B) 5 C) 5,5 
D) 6 E) 6,5 
 
16. En el interior de un triángulo ABC se ubica el 
punto tal que: AB=PC, AP=8u, m∠ABP = 
2m∠BAP, m∠APC=5m∠ACP y m∠BAP =m∠ACP. 
Determine (en u) el valor de AC 
A) 12 B) 14 C) 16 
D) 20 E) 24 
 
* SUG. CRITERIO LLL 
17. En un triángulo ABC, en AC̅̅̅̅ y en el exterior 
relativa a AC̅̅̅̅ , se ubican los puntos D y E res-
pectivamente tal que: AB=BD, DC=AE y 
BC=BE. Si m∠BAC=80, determine la medida 
del ángulo CAE. 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 25 E) 40 
18. En el interior de un triángulo ABC se ubica el 
punto P, tal que AP=BP, AB=CP, m∠PAC 
=2m∠ACP y m∠BPC=90, determine la medida 
del ángulo ACP. 
A) 9 B) 10 C) 15 
D) 18 E) 20 
 
19. En un triángulo ABC en AC se ubican los 
puntos D y F (D en AF ) y en BC se ubica el 
punto E, tal que: BD=BE, AD=EF, m∡BAD = 
m∡BFD=30 y m∡BCA =20. Determine la 
medida del ángulo ABD. 
A) 5 B) 8 C) 15 
D) 10 E) 22,5 
 
20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
se ubican los puntos E y D en la prolongación de 
AC̅̅̅̅ y en el exterior relativo a BC̅̅̅̅ , si 
3m∠BAC=3m∠BDC=2m∠CED, BC=CE y DC= 
DE. Determine la medida del ángulo BAC. 
A) 30 B) 37 C) 45 
D) 53 E) 60 
 
* SUG. CRITERIO LLA 
21. E es un punto contenido en el interior del 
triángulo equilátero ABC. Si la m∠EAC = θ, 
m∠ABE = 3θ y m∠ECB = 2θ. Calcular θ 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 30 E) 45 
 
22. En el interior de un triángulo equilátero ABC, 
se ubica el punto P, tal que m∡ABP = 5m∡BCP y 
m∡CAP = 3m∡BCP, determine la medida del 
ángulo BCP. 
A) 10 B) 12 C) 15 
D) 18 E) 20 
 
APLICACIONES DE CONGRUENCIA 
*SUG.TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
23. En un triángulo ABC recto en B, se traza la 
bisectriz interior AP y la altura BH las cuales se 
intersecan en Q. Si BQ=12, calcule la distancia 
de P a AC . 
A) 12 B) 8 C) 4,5 
D) 6 E) 9 
 
24. En un triángulo ABC recto en B, se traza la 
bisectriz interior AP y la altura BH. Si BH=12 y 
AH=5, calcule la distancia de P a BH . 
A) 6,5 B) 7 C) 8 
D) 8,5 E) 9 
 
7x 
x 
6x 
B 
C A 
R 
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25. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
se traza la altura BH, en AB y HC se ubican los 
puntos P y Q respectivamente tal que PQ ∩ BH 
={R} y PQ // BC . Si PR=a, HC=b y QR=QC, 
calcule BC. 
A) a+b B) 2a+b C) 2a+2b 
D) 2b–a E) 3a–b 
 
*SUG.TEOREMA DE LA MEDIATRIZ 
26. En un triángulo ABC recto en B, en AC se 
ubica el punto D, tal las mediatrices de AD y 
DC intersecan a AB y BC en M y N respecti-
vamente. Si AM=5 y CN=12, calcule MN. 
A) 17 B) 13 C) 7 
D) 8,5 E) 6,5 
 
27. En un triángulo ABC se traza la bisectriz 
interior BP y la recta mediatriz de BP inter-
seca a la prolongación de AC en el punto Q si: 
m∡BAC=α, entonces m∡QBC es: 
A) α/3 B) α/2 C) α 
D) 3α/2 E) 2α 
 
28. En un triángulo isósceles ABC de base AC̅̅̅̅ se 
ubica el punto D (AC̅̅̅̅ ∩BD̅̅ ̅̅ ≠∅), tal que AB=CD y 
la m∠CAD=30. Determine la medida del ángulo 
ACD si m∠BAC=α. 
A) α B) 30-α C) 30+α 
D) 60-α E) 60+α 
 
*SUG.TEOREMA DE LA BASE MEDIA 
29. En un triángulo rectángulo, M ∈ AB y N ∈ BC
, T punto medio de MN , Q punto medio de AC . 
Si AM=4u y NC=6u, entonces TQ mide (en u) 
A) 2 B) 3 C) 13 
D) 15 E) 4 UNI 2005-II 
 
30. En un triángulo ABC, AB=4, BC=8 y AC=10 
por el vértice C se trazan CE y CF perpendi-
culares a las bisectrices interior de A y exterior 
de B, respectivamente. Halle EF. 
A) 0,5 B) 0,60 C) 0,75 
D) 0,80 E) 1 
 
31. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
M es punto medio de AC . En BC y MC se 
ubican los puntos P y Q respectivamente tal 
que: PQ⊥ AC . Si AB=12u y m∡BAC = 
2m∡PMQ, calcule(en u) QM. 
 
A) 6 3 B) 6 2 C) 3 
D) 4 E) 6 
 
*SUG.TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN 
EL TRIANGULO RECTANGULO 
32. En un triángulo ABC recto en B, se traza la 
ceviana exterior BP (P en la prolongación de CA ), 
tal que AB=AP y AC=2BP. Calcule la m∡ABP. 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 30 E) 36 
 
33. En un triángulo ABC se trazan las alturas AD y 
CE (E en AB, D en BC). Si M es punto medio de AC 
y m∡EMD=72, calcule (m∡MEC+ m∡ADM). 
A) 52 B) 53 C) 54 
D) 55 E) 56 UNI 2008-II 
 
34. En un triángulo ABC se traza la altura BH tal 
que M y N son puntos medios de AB y HC 
respectivamente. Si AB=18u y m∡BAC = 
m∡ANQ (Q 𝞊 MC ), calcule (en u) NQ.A) 4,5 B) 4,5 2 C) 4,5 3 
D) 9 E) 12 
 
TRIÁNGULOS NOTABLES 
35. En un triángulo ABC, se traza la ceviana 
interior BD, tal que BC=AD. Si 2∡BAC= 
3m∡ACB=90, calcule la m∡CBD. 
A) 10 B)15 C) 18 
D) 20 E) 22,5 
 
36. En la región exterior de un triángulo ABC 
recto en B, se ubica el punto P, tal que BP inter 
seca a AC . Si ∡BAP=m∡APB=75 y m∡BPC 
=90, calcule la m∡ACP. 
A) 3,5 B) 4,5 C) 6 
D) 6,5 E) 7 
 
37. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
se traza PC perpendicular a AC , tal que la 
altura BH interseca a AP . Si 3m∡PAB = 
m∡PAC=45, calcule la m∡PHB. 
A) 30 B) 37 C) 45 
D) 53 E) 60 
 
38. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
se traza la ceviana interior AD y en él se ubica el 
punto medio M. Si m∡BMC=90 y m∡BCM =15, 
calcule la m∡BCA. 
A) 18,5 B) 26,5 C) 30 
D) 53 E) 37 
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39. En un triángulo ABC recto en B, se ubican los 
puntos D y E en los lados BC y AC , respec-
tivamente, tal que AD=AE=EC y m∡EDC=45. Si 
BD=10u, entonces la longitud (en u) de DC es: 
A) 15 B) 20 C) 25 
D) 30 E) 35 
 
40. En el interior de un triángulo ABC recto en B, 
se ubica el punto P tal que m∡BPC=90 y 
m∡ABP=m∡ACP=. Si la distancia de P a AC es 
la cuarta parte de la longitud de BC , calcule . 
A) 12 B) 15 C) 18 
D) 18,5 E) 22,65 
 
41. En un triángulo ABC se traza la ceviana in-
terior AP y en la prolongación se ubica el pun-
to Q talque: AB=BP y AC=BQ. Si m∡ABC =2 
m∡ACB, calcule la m∡AQB. 
A) 15 B) 18,5 C) 26,5 
D) 30 E) 45 
 
42. En un cuadrilátero convexo ABCD se veri-
fica que AB BC CD  . Si m∢ABD = 13 m∢DBC 
y m∢ADB = 6 m∢DBC, calcule m∢DBC 
A) 2° B) 3° C) 4° 
D) 5° E) 6° UNI 2017 - I 
 
43. En un triángulo ABC se traza la mediana 
BM , tal que AB=AM y m∡MBC=14°. Halle la 
m∡BAC. 
A) 105° B) 104° C) 107° 
D) 106° E) 108° UNI 2008-I 
 
44. En un cuadrado ABCD se prolonga AD has-
ta el punto R. Desde un punto Q de BC se traza 
QR que interseca a CD en el punto P. Deter-
mine la medida del ángulo APQ si AP=RC y 
m∡PAR=20° 
A) 55° B) 60° C) 65° 
D) 70° E) 75° UNI 2010-II 
 
45. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD 
tal que BC=AD. Si m∠BAC=30 y la m∠BCA =20. 
Determine la medida del ángulo DBC. 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 30 E) 35 
 
46. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
en AB y BC se ubican los puntos P y Q tal que 
PQ=QC, m∠QPA=70 y m∠ACB=40. Calcule 
m∠BAQ 
A) 10 B) 30 C) 15 
D) 20 E) 40 
 
47. En un triángulo ABC se ubica el punto 
interior P, si m∠PAC=30, m∠PCA=35 y m∠PAB 
=2m∠BCP =10. Determine la medida del 
ángulo exterior BPC. 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 30 E) 40 
 
48. En un triángulo ABC se ubica el punto 
interior Q, si m∠QAB = m∠QAC=5, m∠QBA 
=35 y m∠QCB = 50. Determine la medida del 
ángulo QCA. 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 30 E) 35 
 
49. En un triángulo ABC se ubica el punto D 
exterior relativo a AC̅̅̅̅ , si m∠ABD=35 , m∠BDC 
=20, m∠BDA=80 y m∠DBC=110. Determine la 
medida del ángulo determinado por AC̅̅̅̅ y BD̅̅ ̅̅ . 
A) 115 B) 120 C) 125 
D) 130 E) 135 
 
50. En un triángulo ABC, m∠ACB=50 se traza la 
ceviana interior BN y AM tal que m∠MNC=35, 
m R ABN=80 y m∠NBM=30. Determine la 
medida del ángulo AMN 
A) 10 B) 20 C) 30 
D) 45 E) 60