Notas 07 Recta y Plano - Axel Sánchez Nazario

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RECTA Y PLANO 
 
1 
* Ecuación vectorial de la recta. 
 
Todos sabemos que una recta se puede formar conociendo un punto por donde cruce y la dirección que presente. 
 
 
 
En dos dimensiones en forma cartesiana obtuvimos la 
ecuación ordinaria de una recta: 
 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 
 
En la cual, el valor 𝑏 es la ordenada del punto donde 
la recta cruza el eje Y, y el valor 𝑚 es la pendiente de 
la recta, y por lo tanto nos brinda su inclinación. 
 
 
En tres dimensiones haremos algo equivalente. Requerimos de un punto y la inclinación de la recta. 
 
 
Para la recta 𝐿 tenemos un punto conocido 𝑃0 que 
tiene asociado un vector de posición �̅�0 
 
 
La inclinación la conseguimos con el vector �̅� que es 
paralelo a la recta 𝐿 
 
 
Y buscamos determinar cualquier punto 𝑃 de la recta 
que tendrá un vector de posición asociado �̅� 
 
 
 
En la figura podemos apreciar que el vector �̅� − �̅�0 se encuentra sobre la recta uniendo los puntos 𝑃0 y 𝑃, por lo 
tanto es paralelo al vector �̅� 
 
 
Si recordamos que el producto de un vector por un escalar da por resultado otro vector con la misma dirección 
que el original, pero magnitud y sentido diferentes, podemos establecer la siguiente equivalencia 
 
 
�̅� − �̅�0 = 𝑡 �̅� 
 
 
Siendo 𝑡 un escalar real que podemos manipular para llegar a cualquier punto sobre la recta. 
 
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2 
 
Entonces, para conocer al vector �̅� solo debemos despejarlo en la expresión anterior, y llegamos a 
 
 
�̅� = �̅�0 + 𝑡 �̅� Ecuación vectorial de la recta 
 
 
Si le asignamos componentes a cada vector luce así (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) + 𝑡 (𝑎 , 𝑏 , 𝑐) 
 
 
Desarrollando las operaciones (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑥0 + 𝑎𝑡 , 𝑦0 + 𝑏𝑡 , 𝑧0 + 𝑐𝑡) 
 
 
Y por igualdad de vectores, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta 
 
 
𝐿 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
 
 
 
Como el parámetro 𝑡 es el mismo para las tres variables en un momento determinado, basta con despejarlo en 
cada una e igualar las expresiones obtenidas, para obtener las ecuaciones en forma simétrica de la recta 
 
 
𝑡 = 
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
 
 
 
Si el vector �̅� se desconoce, basta con hacer la resta entre dos puntos conocidos de la recta para obtenerlo. 
 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación de cada recta con los datos que se muestran: 
 
 
a) Contiene a 𝑃0(3 , −2 , 4 ) y es paralela al vector �̅� = (−2 , 4 , 3) 
 
 
b) Contiene a los puntos 𝑃0(3 , −4 , −1 ) y 𝑃1(−5 , 4 , 7 ) 
 
 
c) Contiene al punto 𝑃0(3 , 2 , −1 ) y es perpendicular simultáneamente a las rectas 
 
𝐿 ∶ �̅� = (5 , 2 , −5) + 𝑡 (−3 , 1 , 2) 𝑅 ∶ 
2𝑥 − 2
6
= 𝑦 + 2 =
2 − 2𝑧
−2
 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
3 
 
* Distancia de un punto a una recta 
 
 
Es la mínima distancia entre el punto y la recta, por lo que debe ser medida en forma perpendicular a la recta. 
 
 
 
El punto 𝑄 tiene un vector de posición asociado �̅� 
 
 
La distancia buscada es el segmento 𝑄𝑃1 en color azul 
en la figura, y siempre es perpendicular a la recta 𝐿 
 
 
Si construimos un vector que una a los puntos 𝑃0 y 𝑄, 
tenemos al vector diferencia �̅� − �̅�0 que forma un 
ángulo 𝜃 con la recta 𝐿 
 
 
Del triángulo rectángulo que se forma con los puntos 𝑄 , 𝑃0 , 𝑃1 podemos afirmar que se cumple con la función 
trigonométrica 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑑
| �̅� − �̅�0 |
 
 
 
Y al despejar a la distancia 𝑑 = | �̅� − �̅�0 | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Pero si recordamos propiedades del producto cruz entre dos vectores, en este caso �̅� − �̅�0 y �̅� 
 
 
| ( �̅� − �̅�0 ) × �̅� | = | �̅� − �̅�0 | | �̅� | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Si sustituimos la identidad trigonométrica anterior en esta última ecuación 
 
 
| ( �̅� − �̅�0 ) × �̅� | = | �̅� − �̅�0 | | �̅� | 
𝑑
| �̅� − �̅�0 |
 
 
 
Finalmente, despejamos la distancia 
𝑑 =
| ( �̅� − �̅�0 ) × �̅� |
| �̅� |
 
 
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4 
 
Pero en el triángulo rectángulo también podemos aplicar el Teorema de Pitágoras 
 
 
𝑑2 + ( 𝑃0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ )
2 = | �̅� − �̅�0 |
2 
 
 
Al despejar el cateto buscado 
𝑑 = √ | �̅� − �̅�0 |2 − ( 𝑃0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ )2 
 
 
El segmento 𝑃0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ es la proyección ortogonal del vector �̅� − �̅�0 sobre el vector �̅� 
 
 
𝑃0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑐 (�̅� − �̅�0)�̅� =
( �̅� − �̅�0 ) ⋅ �̅�
| �̅� |
 
 
 
Con lo cual llegamos a 
 
𝑑 = √ | �̅� − �̅�0 |2 − ( 
( �̅� − �̅�0 ) ⋅ �̅�
| �̅� |
 )
2
 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la distancia del punto 𝑄(4 , 5 , −3) a la recta 𝐿 
 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 2
3
=
𝑦 − 1
2
= 𝑧 − 4 
 
 
 
* Ejercicio: Determina las coordenadas del punto 𝐵 que pertenece a la recta 𝐿, y se encuentra a 5 unidades del 
origen. 
 
𝐿 ∶ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(2 , −3 , 6) 𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 �̅� = 𝑖 + 𝑘 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
5 
 
* Ángulo entre dos rectas. 
 
Cuando tenemos dos rectas en el espacio, ocurre un efecto óptico. Si giramos lo suficiente la vista del espectador, 
podremos ver un ángulo aparente entre ambas rectas. Este es el ángulo 𝜃 entre ellas. 
 
 
 
Como conocemos el vector paralelo a cada una de las rectas, entonces el ángulo entre las rectas será el mismo 
ángulo que formen los vectores �̅� y �̅�, por lo que podemos aplicar la conocida expresión: 
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
�̅� ⋅ �̅�
| �̅� | | �̅� |
 ] 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el ángulo entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 3
2
=
4 − 𝑦
4
 ; 𝑧 = 1 𝑅 ∶ 𝑥 = 3 ; 𝑦 − 3 =
𝑧 + 2
4
 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el ángulo entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
𝐿 ∶ 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑅 ∶ 
𝑥 − 2
3
=
2𝑦 + 4
8
=
8 − 𝑧
4
 
 
 
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6 
 
* Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia entre rectas. 
 
 
Cuando dos rectas son perpendiculares, implica que sus vectores generadores también son perpendiculares. Esta 
es una condición que también se cumple de forma inversa, si los vectores son perpendiculares, las rectas lo son. 
 
 
𝐿 ⊥ 𝑅 ⟺ �̅� ⋅ �̅� = 0 
 
 
 
Cuando dos rectas son paralelas, implica que sus vectores generadores también son paralelos. Esta es una 
condición que también se cumple de forma inversa, si los vectores son paralelos, las rectas lo son. 
 
 
𝐿 ∥ 𝑅 ⟺ �̅� × �̅� = 0̅ 
 
 
 
Cuando dos rectas son paralelas y comparten un punto, implica que son paralelas. Esta situación la escribimos 
así: 
 
 
𝐿 = 𝑅 ⟺ �̅� × �̅� = 0̅ 𝑦 𝑃 ∈ 𝐿 , 𝑅 
 
 
 
* Ejercicio: Determina si las siguientes rectas son perpendiculares, paralelas o coincidentes: 
 
 
𝐿 ∶ �̅� = (3 + 2𝑡) 𝑖 + (−1 − 3𝑡) 𝑗 + (4 + 2𝑡) 𝑘 𝑅 ∶ 
14 − 2𝑥
4
=
3𝑦 + 21
9
=
8 − 𝑧
2
 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
7 
 
* Distancia entre dos rectas 
 
 
Es la mínima distancia entre dos rectas, por lo que se debe medir en dirección simultáneamente perpendicular a 
ambas rectas. 
 
 
Es evidente que la distancia 𝑑 es la magnitud de un 
segmento que forma 90° con las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
 
Por lo tanto, se mide en la misma dirección que el 
vector resultante de �̅� × �̅� 
 
 
Ahora construimos un vector que una dos puntos 
conocidos de cada recta �̅�𝐿 − �̅�𝑅 
 
 
Este vector lo desplazamos paralelamente hasta 
coincidir su inicio con uno de los extremos del 
segmento distancia. 
 
 
Al hacerlo, se forma siempre un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa al vector �̅�𝐿 − �̅�𝑅 y uno de sus 
catetos es la distancia 𝑑 
 
 
En consecuencia, la distancia 𝑑 se puede obtener como la proyección ortogonal del vector �̅�𝐿 − �̅�𝑅 sobre la 
dirección del vector �̅� × �̅� 
 
𝑑 = 𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑐 (�̅�𝐿 − �̅�𝑅)(�̅�×�̅�) =
( �̅�𝐿 − �̅�𝑅 ) ⋅ ( �̅� × �̅� )
| �̅� × �̅� |
 
 
 
 
* Determina la distancia entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 − 1
2
=
𝑦
4
= 𝑧 − 3 𝑅 ∶ { 
𝑥 = 3 + 2𝑡
𝑦 = 5𝑡 
𝑧 = 1 − 6𝑡
 
 
 
RECTA Y PLANO 
8 
 
* Determina la distancia entre las rectas 𝐿
y 𝑅 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 1
3
=
𝑦 − 3
4
=
2𝑧 + 6
4
 𝑅 ∶ 
2 − 𝑥
3
=
𝑦
3
=
6 − 𝑧
9
 
 
 
 
* Determina la distancia entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 2
2
= 1 − 𝑦 =
2𝑧
5
 𝑅 ∶ { 
𝑥 = 3 − 4𝑡
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑧 = 6 − 5𝑡
 
 
 
 
* Intersección entre dos rectas 
 
 
Es el punto que pertenece a dos rectas al mismo tiempo. Para determinarlo, iniciamos conociendo las ecuaciones 
paramétricas de ambas rectas. 
 
𝐿 ∶ { 
𝑥 = 𝑥𝐿 + 𝑎𝐿 𝛼
𝑦 = 𝑦𝐿 + 𝑏𝐿 𝛼
𝑧 = 𝑧𝐿 + 𝑐𝐿 𝛼
 𝑅 ∶ { 
𝑥 = 𝑥𝑅 + 𝑎𝑅 𝛽
𝑦 = 𝑦𝑅 + 𝑏𝑅 𝛽
𝑧 = 𝑧𝑅 + 𝑐𝑅 𝛽
 
 
 
En donde α y β son los parámetros de cada una de las rectas, respectivamente. 
 
 
Como el punto de intersección 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) pertenece a ambas rectas, entonces las ecuaciones paramétricas deben 
ser iguales, por lo que llegamos al siguiente sistema de ecuaciones lineales 
 
 
𝑥𝐿 + 𝑎𝐿 𝛼 = 𝑥𝑅 + 𝑎𝑅 𝛽 
𝑦𝐿 + 𝑏𝐿 𝛼 = 𝑦𝑅 + 𝑏𝑅 𝛽 
𝑧𝐿 + 𝑐𝐿 𝛼 = 𝑧𝑅 + 𝑐𝑅 𝛽 
 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tendremos los valores de los parámetros 𝛼 y 𝛽 que en las ecuaciones 
correspondientes permiten conocer las componentes del punto de intersección. 
 
 
Por ser un sistema con más ecuaciones que variables, debemos resolverlo para dos ecuaciones de ellas y la 
solución obtenida verificarla en la tercera ecuación. 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
9 
 
Si se verifica la tercera ecuación, entonces las rectas se intersectan en un punto. 
 
 
Si no se verifica la tercera ecuación, entonces las rectas nunca se tocan. Cuando esto ocurre decimos que las rectas 
se cruzan en el espacio pero no se cortan. 
 
 
Si al estar resolviendo el sistema de ecuaciones, ambos parámetros desaparecen, indica que las rectas son 
paralelas, pudiendo estar separadas o coincidentes. 
 
 
Si son paralelas separadas, no hay intersección entre ellas. 
 
 
Si son paralelas coincidentes, la intersección es toda la misma recta. 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la intersección entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 1
3
=
𝑦 − 3
4
=
2𝑧 + 6
4
 𝑅 ∶ 
2 − 𝑥
3
=
𝑦
3
=
6 − 𝑧
9
 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la intersección entre las rectas 𝐿 y 𝑅 
 
 
𝐿 ∶ 
−3 − 𝑥
−2
=
𝑦 − 1
2
= 𝑧 − 1 𝑅 ∶ 
2𝑥 + 4
2
=
𝑦 + 1
4
= 3 − 𝑧 
 
 
 
RECTA Y PLANO 
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* Ecuación vectorial de un plano. 
 
 
Para generar un plano 𝜋 se requiere conocer un punto 
𝑃0 sobre el plano y dos vectores �̅� y �̅� paralelos al 
plano, pero al mismo tiempo, no paralelos ente ellos. 
 
 
�̅� ∥ 𝜋 �̅� ∥ 𝜋 �̅� ∦ �̅� 
 
 
El objetivo es determinar cualquier punto 𝑃 del plano 
 
 
En la ilustración podemos percatarnos que el vector de posición �̅� se puede obtener con la suma de tres vectores: 
el vector de posición del punto conocido �̅�0 y dos vectores paralelos a �̅� y �̅� pero modificados en su tamaño al 
multiplicarlos por un escalar. 
 
 
�̅� = �̅�0 + 𝑟 �̅� + 𝑠 �̅� Ecuación vectorial del plano 
 
 
Los vectores 𝑟 �̅� , 𝑠 �̅� funcionan como extensiones de un compás, que se desplazan siempre sobre el plano, y con 
ello llegando a cualquier punto en el. 
 
 
Si asignamos nombres a todas las componentes de estos vectores: 
 
 
�̅� = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) �̅�0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) �̅� = (𝑎𝑢 , 𝑏𝑢 , 𝑐𝑢) �̅� = (𝑎𝑣 , 𝑏𝑣 , 𝑐𝑣) 
 
 
Solo debemos desarrollar las operaciones vectoriales para obtener 
 
 
𝜋 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑟 𝑎𝑢 + 𝑠 𝑎𝑣
𝑦 = 𝑦0 + 𝑟 𝑏𝑢 + 𝑠 𝑏𝑣
𝑧 = 𝑧0 + 𝑟 𝑐𝑢 + 𝑠 𝑐𝑣
 Ecuaciones paramétricas del plano 
 
 
El plano, a diferencia de la recta, no cuenta con ecuaciones en forma simétrica. Pero sí tendrá otras dos muy útiles 
ecuaciones: ecuación normal y ecuación cartesiana. 
 
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11 
 
Para plantear estas ecuaciones, nos apoyamos en la siguiente ilustración 
 
 
El vector 𝑁 = (𝐴 , 𝐵 , 𝐶) se conoce como vector 
normal del plano, y siempre es perpendicular a él. 
 
 
Cuando unimos el punto 𝑃0 con el punto 𝑃 se forma 
un vector �̅� − �̅�0 que siempre está contenido en el 
plano 𝜋 
 
 
Por lo tanto �̅� − �̅�0 ⊥ 𝑁 y de aquí se establece: 
 
 
(�̅� − �̅�0) ⋅ 𝑁 = 0 Ecuación normal del plano 
 
 
Si desarrollamos esta operación 
 
(𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0) ⋅ (𝐴 , 𝐵 , 𝐶) = 0 
 
Que nos conduce a 
 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 0 
 
 
Los últimos tres sumandos son constantes y se pueden agrupar en una sola letra constante 
 
 
𝐷 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = − ( 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 ) 
 
 
Para finalmente escribir 
 
 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 Ecuación cartesiana del plano 
 
 
Por ser una superficie, el plano sólo necesita de una ecuación cartesiana para quedar perfectamente definido. 
 
RECTA Y PLANO 
12 
 
Para construir la ecuación de un plano se requiere conocer un punto del plano y dos vectores generadores o 
también, un punto del plano y el vector Normal. 
 
 
Los datos anteriores pueden conocerse de antemano o bien, cuando se tiene alguna de las siguientes situaciones: 
 
 
Dos rectas no paralelas que se intersectan 
 
Cada una de las rectas contribuye con un vector 
generador. El punto del plano puede ser cualquier 
punto de alguna de las rectas. 
 
Sin embargo, cuando investigamos si dos rectas se 
intersectan obtenemos el punto donde esto ocurre. 
Entonces, es costumbre usar a ese punto como base. 
 
 
 
Dos rectas paralelas separadas 
 
Ambas rectas tienen al mismo vector �̅� o un múltiplo 
de él. Será el primer vector generador. 
 
El segundo vector generador lo construimos uniendo 
un punto de una recta con otro punto de la segunda 
recta, mediante la resta destino menos origen. 
 
Cualquiera de los dos puntos será el punto base para la 
ecuación del plano. 
 
 
Tres puntos no colineales 
 
Unimos los puntos en parejas formando dos vectores 
con direcciones diferentes pero paralelos al plano. 
 
Cualquiera de los tres puntos podrá servir de punto 
base para la ecuación del plano. 
 
 
 
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13 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación del plano definido por: 
 
 
a) El punto 𝐴 y dos vectores generadores 
 
𝐴( 3 , 0 , −4 ) �̅� = ( 3 , 2 , −1 ) �̅� = 4𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘 
 
 
b) Dos rectas no paralelas que se intersectan 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 3
2
=
𝑦 − 4
6
=
𝑧 + 1
−3
 𝑅 ∶ 𝑥 + 3 =
2𝑦 − 8
8
=
𝑧 + 1
−2
 
 
 
c) Dos rectas paralelas separadas 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 − 1
2
= −𝑦 =
3𝑧 − 6
9
 𝑅 ∶ 
4 − 2𝑥
−4
= 1 − 𝑦 =
2𝑧 − 8
6
 
 
 
d) Tres puntos no colineales 
 
𝐴( 3 , 0 , 1 ) 𝐵( −4 , 5 , 3 ) 𝐶( 3 , −6 , 2 ) 
 
 
e) El punto 𝐴 y su vector normal 
 
𝐴( 3 , 5 , −2 ) 𝑁 = 4𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘 
 
 
RECTA Y PLANO 
14 
 
* Distancia de un punto a un plano. 
 
 
Es la mínima distancia del punto 𝑄 al plano 𝜋, y por lo tanto debe medirse en dirección perpendicular al plano. 
 
 
Esto nos indica que la distancia se mide paralela al 
vector normal 𝑁 
 
 
Si unimos un punto del plano con el punto 
𝑄( 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) tenemos el vector �̅� − �̅�0 
 
 
Entonces, la distancia del punto 𝑄 al plano 𝜋 es la 
proyección ortogonal del vector �̅� − �̅�0 sobre el vector 
normal 𝑁 
 
 
𝑑 =
( �̅� − �̅�0 ) ⋅ 𝑁
| 𝑁 |
=
𝐴 𝑞1 + 𝐵 𝑞2 + 𝐶 𝑞3 + 𝐷
| 𝑁 |
 
 
 
Si el punto 𝑄 es el origen de coordenadas, la expresión anterior se simplifica a 
 
𝑑 =
𝐷
| 𝑁 |
 
 
 
Lo cual nos dice que el término independiente 𝐷 de la ecuación cartesiana del plano, nos indica que tan alejado 
se encuentra el plano del origen, es decir, nos muestra la posición del plano, mientras que el vector normal 𝑁 
proporciona la inclinación. 
 
 
* Ejercicio: Determina la distancia del punto 𝑄 al plano 𝜋 
 
 
𝑄(3 , −2 , 7) 𝜋: 𝐴(1 , 3 , −4) , 𝑁 = (3 , 4 , −3) 𝑄(−4 ,7 , 3) 𝜋: 4𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧 + 9 = 0 
 
 
𝑄(0 , 0 , 0 ) 𝜋: 3𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0 𝑄(0 , 0 , 0 ) 𝜋: 4𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 0 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
15 
 
* Ángulo
entre dos planos. 
 
Es el ángulo que forman los planos y coincide con el 
ángulo que forman sus vectores normales. 
 
 
Entonces se puede establecer 
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
𝑁1 ⋅ 𝑁2
| 𝑁1 | | 𝑁2 |
 ] 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el ángulo entre los planos 
 
 
𝜋1 ∶ 4𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧 − 9 = 0 𝜋2 ∶ −4𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 + 7 = 0 
 
 
𝜋1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 𝜋2 ∶ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑌𝑍 
 
 
 
* Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia entre planos. 
 
 
Cuando dos planos son perpendiculares, implica que sus vectores normales también son perpendiculares. Esta es 
una condición que también se cumple de forma inversa, si los vectores son perpendiculares, los planos lo son. 
 
 
𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⟺ 𝑁1 ⋅ 𝑁2 = 0 
 
 
 
Cuando dos planos son paralelos, implica que sus vectores normales también son paralelos. Esta es una condición 
que también se cumple de forma inversa, si los vectores son paralelos, los planos lo son. 
 
 
𝜋1 ∥ 𝜋2 ⟺ 𝑁1 × 𝑁2 = 0̅ 
 
 
 
RECTA Y PLANO 
16 
 
Cuando dos planos son paralelos y comparten un punto, implica que son coincidentes. Esta situación la escribimos 
así: 
 
 
𝜋1 = 𝜋2 ⟺ 𝑁1 × 𝑁2 = 0̅ ; 𝑃 ∈ 𝜋1 , 𝜋2 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación cartesiana del plano que es perpendicular simultáneamente a los siguientes 
planos, y contiene al punto 𝐴( 3 , 4 , −1 ) 
 
 
𝜋1 ∶ 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0 𝜋2 ∶ 2𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 5 = 0 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación cartesiana del plano paralelo al siguiente plano, y contiene al origen. 
 
 
𝜋1 ∶ 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 − 7 = 0 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación cartesiana del plano paralelo al siguiente plano, y se encuentra a dos unidades 
de él. 
 
𝜋1 ∶ 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la ecuación cartesiana del plano que es paralelo al plano XZ y contiene al punto 
𝐴( 2 , −1 , 3 ) 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
17 
 
* Distancia entre planos. 
 
 
Se trata de encontrar la mínima distancia entre los planos. Por lo tanto, se medirá simultáneamente perpendicular 
a ambos planos. 
 
 
Pero para que haya una distancia, los planos deben ser paralelos, por lo que la distancia entre ellos se convierte 
en un caso particular de encontrar la distancia de un punto de un plano al otro plano. 
 
 
 
Si los planos no son paralelos, invariablemente se van a intersecar, por lo que la distancia será cero. 
 
 
* Ejercicio: Determina la distancia entre los planos 𝜋1 y 𝜋2 
 
 
𝜋1 ∶ 3𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0 𝜋2 ∶ −9𝑥 − 21𝑦 + 6𝑧 − 12 = 0 
 
 
 
𝜋1 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 𝜋2 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 10 = 0 
 
 
 
𝜋1 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 𝜋2 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 9 = 0 
 
 
 
RECTA Y PLANO 
18 
 
* Intersección entre dos planos. 
 
Caso 1: planos oblicuos 
 
La intersección siempre es una recta que pertenece a 
ambos planos. 
 
𝜋1 ∩ 𝜋2 = 𝑅 
 
 
El punto 𝐴 pertenece a ambos planos y será el punto 
base para la ecuación de la recta. 
 
 
El vector �̅� es perpendicular simultáneamente a 
ambos planos, por lo cual �̅� = 𝑁1 × 𝑁2 
 
 
 
Caso 2: planos paralelos separados 
 
 
Los planos nunca se encuentran y por lo tanto 
 
 
𝜋1 ∩ 𝜋2 = ∅ 
 
 
 
Caso 3: planos paralelos coincidentes 
 
 
Los planos son uno mismo. 
 
 
𝜋1 ∩ 𝜋2 = 𝜋1 = 𝜋2 
 
 
 
 
 
RECTA Y PLANO 
 
19 
 
* Ejercicio: Determina la intersección entre los planos 𝜋1 y 𝜋2 
 
 𝜋1 ∶ 4𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 𝜋2 ∶ 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 9 = 0 
 𝜋1 ∶ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 𝜋2 ∶ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑌𝑍 
 𝜋1 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 𝜋2 ∶ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑌 
 𝜋1 ∶ 3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 + 1 = 0 𝜋2 ∶ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑍 
 𝜋1 ∶ 𝑥 = 4 𝜋2 ∶ 𝑦 = 5 
 
 
* Ángulo entre una recta y un plano. 
 
 
Es el ángulo 𝜃 que forma la recta con su proyección 
ortogonal sobre el plano. 
 
 
En la figura podemos ver el ángulo 𝜙 que forman los 
vectores �̅� y 𝑁, y que es complementario de 𝜃 
 
 
Por lo tanto cos 𝜙 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y en consecuencia 
 
 
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 [ 
�̅� ⋅ 𝑁
| �̅� | | 𝑁 |
 ] 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el ángulo entre la recta y el plano 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 4
3
=
𝑦 − 9
2
 ; 𝑧 = 3 𝜋 ∶ 2𝑥 + 5𝑦 − 6𝑧 + 9 = 0 
 
 
𝐿 ∶ �̅� = ( 3 + 2𝑡 , 4 − 𝑡 , 1 + 3𝑡 ) 𝜋 ∶ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑍 
 
 
RECTA Y PLANO 
20 
 
* Paralelismo y perpendicularidad entre un plano y una recta. 
 
 
Cuando un plano y una recta son perpendiculares, implica que el vector normal del plano y el vector director de 
la recta son paralelos. Esta es una condición que también se cumple de forma inversa, si los vectores son paralelos, 
la recta y el plano son perpendiculares. 
 
 
𝐿 ⊥ 𝜋 ⟺ �̅� × 𝑁 = 0̅ 
 
 
 
Cuando un plano y una recta son paralelos, implica que el vector normal del plano y el vector director de la recta 
son perpendiculares. Esta es una condición que también se cumple de forma inversa, si los vectores son 
perpendiculares, la recta y el plano son paralelos. 
 
 
𝐿 ∥ 𝜋 ⟺ �̅� ⋅ 𝑁 = 0 
 
 
 
* Intersección entre una recta y un plano 
 
 
Caso 1: la recta y el plano no son paralelos 
 
 
Cuando la recta cruza al plano, lo hace en un solo 
punto 
 
𝜋 ∩ 𝑅 = 𝑃𝑖 
 
Este punto pertenece simultáneamente al plano y a la 
recta, por lo cual basta con resolver simultáneamente 
las ecuaciones de ellos para encontrarlo. 
 
Podemos igualar las ecuaciones paramétricas y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, que son 
los parámetros 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 
 
 
𝜋 ∶ { 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑟 𝑎𝑢 + 𝑠 𝑎𝑣
𝑦 = 𝑦1 + 𝑟 𝑏𝑢 + 𝑠 𝑏𝑣
𝑧 = 𝑧1 + 𝑟 𝑐𝑢 + 𝑠 𝑐𝑣
 𝐿 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
 
 
RECTA Y PLANO 
 
21 
 
Pero es más sencillo si sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación cartesiana del plano, 
con lo cual solo debemos resolver una ecuación lineal de una variable, que es el parámetro 𝑡 
 
 
𝜋 ∶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝐿 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
 
 
 
 
Caso 2: la recta y el plano son paralelos separados 
 
 
La recta nunca cruza al plano 
 
 
𝜋 ∩ 𝑅 = ∅ 
 
 
 
 
 
Caso 3: la recta y el plano son paralelos coincidentes 
 
 
La recta está contenida en el plano 
 
 
𝜋 ∩ 𝑅 = 𝑅 
 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la intersección entre la recta L y el plano π 
 
𝐿 ∶ 
𝑥 + 3
2
= 𝑦 − 4 =
𝑧
3
 𝜋 ∶ 𝐴( 4 , 7 , 2 ) 𝑁 = 3𝑖 − 2𝑘 
 
 
𝐿 ∶ �̅� = ( 4 − 10𝑡 , 𝑡 − 4 , 3𝑡 + 1 ) 𝜋 ∶ 3𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0