Notas 03 Curvas polares - Axel Sánchez Nazario

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CURVAS POLARES 
1 
 
 
SISTEMA POLAR: está construido sobre un eje horizontal llamado Eje Polar. En él se ubica el origen del 
sistema al cual se le llama Polo. 
 
 
A partir del Polo se mide la distancia en línea recta hacia el punto P, a la cual se le llama radio (𝑟). Todo radio 
que avance hacia donde mira un observador se considera positiva, mientras que si retrocede desde esa 
perspectiva, el radio se considera negativo. 
 
 
A partir del eje polar, y tomando como vértice el Polo, se mide el ángulo que forma el eje polar con el radio 
para llegar al punto P. Si el giro se hace contra el sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se 
considera positivo. Si el giro se hace a favor del sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se 
considera negativo. 
 
 
La combinación en orden de estas dos mediciones, nos dará las coordenadas polares del punto: 𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo, las imágenes anteriores nos muestran como en el sistema polar un mismo punto puede tener más 
de una pareja ordenada de valores que lo identifique. 
 
 
Por eso decimos que el sistema polar es un sistema de muchos a uno. 
 
 
En algunas situaciones, esto será una desventaja del sistema polar. 
 
CURVAS POLARES 
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Por ejemplo, al ubicar los siguientes puntos en el plano polar 
 
𝐴 (4 ,
𝜋
6
 ) 𝐵 (−4 , − 
5
6
𝜋 ) 
 
 
𝐶 (4 , −
11
6
𝜋 ) 𝐷 (−4 ,
7
6
𝜋 ) 
 
En todos ellos estamos definiendo al mismo punto pero con diferentes coordenadas. 
 
 
Para simplificar el trabajo cotidiano, se acostumbra 
manejar las siguientes restricciones: 
𝑟 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
 
El ángulo 𝜃 se puede trabajar en radianes o en grados sexagesimales. 
 
 
Para encontrar la equivalencia entre estas dos 
unidades, basta con recordar que los radianes son la 
longitud de arco medida sobre una circunferencia de 
radio 1, y equivalen al radio central medido en grados 
sexagesimales. 
 
Como el perímetro de una circunferencia es 2𝜋𝑟, 
entonces el arco completo de la circunferencia que se 
muestra es: 
2𝜋 = 360° 
 
Que equivale a escribir 𝜋 = 180° 
CURVAS POLARES 
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ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN 
 
 
Pasar del sistema cartesiano al sistema polar y viceversa es muy sencillo. Basta con superponer un sistema en 
el otro y aplicar un poco de trigonometría apoyados con el triángulo rectángulo que se forma entre las 
referencias. 
 
 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
 
 
 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 
 
 
Por ejemplo, el punto 𝐴 (3 ,
𝜋
3
 ) en coordenadas polares se puede escribir en coordenadas cartesianas así 
 
𝑥 = 3 cos
𝜋
3
=
3
2
 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
3
=
3√3
2
 𝐴 (
3
2
 ,
3√3
2
) 
 
 
* Ejercicio: Para los siguientes puntos en coordenadas polares, escribe su equivalente en coordenadas 
cartesianas. Dibuja cada punto en el sistema polar y en el sistema cartesiano. 
 
 
𝐵 (4 ,
2
3
𝜋) 𝐶 (5 ,
4
3
𝜋) 𝐷 (2 ,
5
3
𝜋) 𝐸 (6 ,
𝜋
2
) 𝐹 (0 ,
11
6
𝜋) 
 
 
* Ejercicio: Para los siguientes puntos en coordenadas cartesianas, escribe su equivalente en coordenadas 
polares. Dibuja cada punto en el sistema polar y en el sistema cartesiano. 
 
 
𝐴(3 , −4) 𝐵(5 , 6) 𝐶(−3 , 4) 𝐷(−5 , −6) 
 
 
CURVAS POLARES 
4 
 
 
Para transformar ecuaciones hay que proceder usando las ecuaciones en la forma más conveniente de cada 
situación, así por ejemplo 
 
Si se requiere transformar la ecuación polar 𝑟 =
3
5 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
Empezamos por quitar el divisor 5𝑟 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3 
Ahora empleamos las ecuaciones de transformación 5√ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦 = 3 
 
Y finalmente procedemos a simplificarla 5√ 𝑥2 + 𝑦2 = 3 − 𝑦 
 
25(𝑥2 + 𝑦2) = (3 − 𝑦)2 
 
25𝑥2 + 25𝑦2 = 9 − 6𝑦 + 𝑦2 
 
25𝑥2 + 24𝑦2 + 6𝑦 − 9 = 0 
 
 
* Ejercicio: Para las siguientes ecuaciones en forma polar, escribe su equivalente en coordenadas cartesianas. 
 
 
𝑟 =
2
4 − 6 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 𝑟 =
4
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 𝑟 =
4
2 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝑟 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 = 8 𝜃 =
5
4
𝜋 
 
 
* Ejercicio: Para las siguientes ecuaciones en forma cartesiana, escribe su equivalente en coordenadas polares. 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 7𝑥 − 9𝑦 + 4 = 0 𝑥2 + 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 
 
 
CURVAS POLARES 
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
 
 
En esta situación, que se muestra en la figura, usamos 
la ley de los cosenos con el triángulo que se forma. 
 
 
Por consiguiente, la distancia entre los puntos es 
 
 
 
𝑑 = √𝑟12 + 𝑟22 − 2 𝑟1 𝑟2 cos(𝜃2 − 𝜃1) 
 
 
 
 
Como ejercicio, determina la distancia ente los puntos 𝐴 (4 ,
𝜋
6
) 𝐵 (7 ,
2
5
𝜋) 
 
 
ECUACIÓN GENERAL POLAR DE UNA RECTA 
 
 
Al igual que en coordenadas cartesianas, se trata de establecer una expresión algebraica para conocer todos los 
puntos que forman una recta, en la cual, conociendo el valor de una de las variables, se pueda determinar el 
valor de la otra variable. 
 
 
Un punto cualquiera de la recta tendrá coordenadas 
 
𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
Pero hay un solo punto 𝑁(𝑝 , 𝛼) en cada recta que es 
el más cercano al polo. 
 
 
Por lo tanto, el segmento p es perpendicular a la recta 
 
 
Esto permite utilizar identidades trigonométricas 
 
 
cos(𝜃 − 𝛼) =
𝑝
𝑟
 
 
 
CURVAS POLARES 
6 
 
 
Si despejamos el valor de r, tendremos la ecuación polar de una recta 
que se encuentra a p unidades del polo, y es perpendicular al 
segmento p, el cual tiene una inclinación 𝛼. 
𝑟 =
𝑝
cos(𝜃 − 𝛼)
 
 
Por ejemplo la ecuación polar 
 
 
𝑟 =
3
cos (𝜃 −
𝜋
6)
 
 
 
Es una recta con el punto 𝑁(3 , 𝜋 6⁄ ) que es el más 
cercano al polo. 
 
 
Si desarrollamos la identidad trigonométrica del 
coseno para una resta de ángulos 
cos (𝜃 −
𝜋
6
) = cos 𝜃 cos
𝜋
6
+ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
6
 
 
 
Que al simplificar luce así cos (𝜃 −
𝜋
6
) =
√3
2
cos 𝜃 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Y al sustituirlos en nuestra ecuación, la recta es 𝑟 =
6
√3 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
 
La ecuación general no es aplicable cuando la recta contiene al polo, puesto que el radio del punto más cercano 
es cero, puesto que es el mismo polo. 
 
 
Pero en este caso, todos los puntos de la recta tienen el mismo 
ángulo 𝜃 y lo que va cambiando es el tamaño del radio, el cual 
siempre se mide sobre la misma recta. 
 
 
Entonces la ecuación de la RECTA QUE CONTIENE AL POLO es 
 
 
𝜃 = 𝑐 con 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
 
CURVAS POLARES 
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ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA HORIZONTAL 
 
 
Este es un caso particular en el cual el punto más cercano al polo siempre es perpendicular al eje polar, y el 
valor de su radio p es la distancia de la recta al polo. 
 
 
Al sustituir el ángulo 𝛼 = 90° en la ecuación general 
de la recta 
 
𝑟 =
𝑝
cos(𝜃 − 𝛼)
=
𝑝
cos(𝜃 − 90°)
 
 
 
En esta ecuación cos(𝜃 − 90°) = 𝑠𝑒𝑛 𝜃, por lo que 
la ecuación polar de una recta horizontal es 
 
𝑟 =
𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
 
Si el valor de p es positivo, la recta está por encima del polo, pero si es negativo, la recta estará por debajo del 
polo. 
 
 
ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA VERTICAL 
 
 
Este es un caso particular en el cual el punto más cercano al polo siempre está sobre el eje polar, y el valor de 
su radio p es la distancia de la recta al polo. 
 
 
Al sustituir el ángulo 𝛼 = 0° en la ecuación general 
de la recta 
 
𝑟 =
𝑝
cos(𝜃 − 𝛼)
=
𝑝
cos(𝜃 − 0°)
 
 
 
Por lo que la ecuación polar de una recta vertical es 
 
 
𝑟 =
𝑝
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
 
 
Si el valor de p es positivo, la recta está a la derecha del polo, pero si es negativo, la recta estará a la izquierda 
del polo. 
 
CURVAS POLARES 
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* Ejercicio. Determina la ecuación polar de una recta para cada una de las siguientes condiciones: 
 
a) Su punto más cercano al polo es 
 
𝑁 (3 ,
𝜋
6
) 
b) Contienea los puntos 
 
𝐴(0 , 0) 𝑦 𝐵 (7 ,
2
3
𝜋) 
c) Es una recta horizontal y contiene al punto 
 
𝐶 (5 ,
5
3
𝜋) 
d) Es una recta vertical y contiene al punto 
 
𝐷 (6 ,
4
3
𝜋) 
 
 
* Ejercicio. Dibuja la gráfica de cada una de las siguientes rectas en coordenadas polares 
 
𝑟 =
3
cos 𝜃
 𝑟 =
−4
3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 𝑟 =
4
cos (𝜃 −
𝜋
4)
 
𝑟 =
4
cos (𝜃 −
5
4 𝜋)
 𝑟 =
5
cos (𝜃 −
2
3 𝜋)
 𝜃 =
𝜋
9
 
 
 
CURVAS POLARES 
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ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA 
 
 
Una circunferencia se puede construir conociendo el centro y el radio. Entonces empezamos desde esa idea. 
 
 
Le asignamos coordenadas polares al centro de la 
circunferencia 
𝐶(𝑐 , 𝛼) 
 
 
El radio de la circunferencia, para no confundirlo con 
los radios de las coordenadas, lo llamaremos a 
 
 
Y un punto cualquiera sobre la circunferencia tendrá 
coordenadas 
𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
 
Con el polo, el centro de la circunferencia C, y el punto P, se forma un triángulo en el cual se distingue el 
ángulo 𝜃 − 𝛼 
 
 
Entonces, si aplicamos la ley de los cosenos podemos establecer la siguiente relación 
 
 
𝑟2 + 𝑐2 − 2𝑟𝑐 cos(𝜃 − 𝛼) = 𝑎2 
 
 
Esta es la ecuación general polar de una circunferencia. 
 
 
Por ejemplo, una circunferencia con centro y radio 
 
𝐶(6 , 40°) 𝑎 = 3 
 
 
Tendrá por ecuación 
 
𝑟2 + (6)2 − 2𝑟(6) cos(𝜃 − 40°) = (3)2 
 
 
𝑟2 − 12𝑟 cos(𝜃 − 40°) + 27 = 0 
 
 
CURVAS POLARES 
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Al igual que con la recta, para la circunferencia tenemos algunos casos particulares, que bien vale la pena 
conocer. 
 
Cuando la circunferencia tiene su centro en el polo, 
todos los puntos de la misma comparten el mismo 
valor de r, sin importar el ángulo seleccionado. 
 
 
Entonces la ECUACIÓN POLAR DE UNA 
CIRCUNFERENCIA que tiene su CENTRO EN EL 
POLO es 
 
𝑟 = 𝑎 
 
 
 
 
ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE CONTIENE AL POLO 
 
 
Empecemos analizando una circunferencia que contiene al polo y en la cual, su centro está sobre el eje polar a 
la derecha del polo. 
 
En este escenario, el centro de la circunferencia es 
 
𝐶(𝑎 , 0) 
 
Y al sustituir en la ecuación general 
 
 
𝑟2 + (𝑎)2 − 2𝑟(𝑎) cos(𝜃 − 0°) = (𝑎)2 
 
 
Al simplificar queda 
 
𝑟2 − 2𝑎𝑟 cos 𝜃 = 0 
 
De donde 
 
𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃 
 
 
 
En esta ecuación, el valor 2a es el diámetro de la circunferencia. Se acostumbra decir que la circunferencia 
está orientada hacia la derecha del polo. 
 
 
CURVAS POLARES 
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Si en el supuesto anterior colocamos el centro de la circunferencia sobre el eje polar pero a la izquierda del 
polo, llegaríamos al siguiente desarrollo: 
 
𝐶(−𝑎 , 0) 
 
Y al sustituir en la ecuación general 
 
 
𝑟2 + (−𝑎)2 − 2𝑟(−𝑎) cos(𝜃 − 0°) = (𝑎)2 
 
 
Al simplificar queda 
 
𝑟2 + 2𝑎𝑟 cos 𝜃 = 0 
 
De donde 
 
𝑟 = −2𝑎 cos 𝜃 
 
 
En esta ecuación, el valor 2a es el diámetro de la circunferencia. Se acostumbra decir que la circunferencia 
está orientada hacia la izquierda del polo. 
 
 
Si ahora colocamos el centro de la circunferencia sobre la recta 𝜃 = 90° (esta es una recta perpendicular el eje 
polar y que contiene al polo), pero hacia arriba del polo, llegaríamos al siguiente desarrollo: 
 
𝐶(𝑎 , 90°) 
 
Y al sustituir en la ecuación general 
 
 
𝑟2 + (𝑎)2 − 2𝑟(𝑎) cos(𝜃 − 90°) = (𝑎)2 
 
 
Al simplificar queda 
 
𝑟2 − 2𝑎𝑟 sen 𝜃 = 0 
 
De donde 
 
𝑟 = 2𝑎 sen 𝜃 
 
 
En esta ecuación, el valor 2a es el diámetro de la circunferencia. Se acostumbra decir que la circunferencia 
está orientada hacia arriba del polo. 
 
CURVAS POLARES 
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Si ahora colocamos el centro de la circunferencia sobre la recta 𝜃 = 90° (esta es una recta perpendicular el eje 
polar y que contiene al polo), pero hacia abajo del polo, llegaríamos al siguiente desarrollo: 
 
𝐶(−𝑎 , 90°) 
 
Y al sustituir en la ecuación general 
 
 
𝑟2 + (−𝑎)2 − 2𝑟(−𝑎) cos(𝜃 − 90°) = (𝑎)2 
 
 
Al simplificar queda 
 
𝑟2 + 2𝑎𝑟 sen 𝜃 = 0 
 
De donde 
 
𝑟 = −2𝑎 sen 𝜃 
 
 
En esta ecuación, el valor 2a es el diámetro de la circunferencia. Se acostumbra decir que la circunferencia 
está orientada hacia abajo del polo. 
 
 
Algo que ya podemos ir reconociendo de las ecuaciones en coordenadas polares, es que tienden a estar hacia 
la derecha o a la izquierda del polo, cuando en su ecuación sólo opera cos 𝜃, y que se orientan hacia arriba o 
hacia abajo cuando sólo operan con 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
* Ejercicio: Para cada inciso, determina la ecuación polar de una circunferencia con: 
 
a) 
𝐶 (3 ,
𝜋
3
) 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑎 = 5 
b) 
𝐶 ( 0 ,
𝜋
12
) 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑎 = 4 
c) 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑎 = 3, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (0 ,
7
9
𝜋) 𝑦 𝑠𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 
d) 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑎 = 3, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (0 ,
7
9
𝜋) 𝑦 𝑠𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝜃 =
𝜋
2
 
 
 
* Ejercicio: Dibuja la gráfica de las siguientes circunferencias en coordenadas polares: 
 
𝑟 = 4 𝑟 = 8 cos 𝜃 𝑟 = −10 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟2 − 8𝑟 cos (𝜃 −
𝜋
3
) − 9 = 0 
 
 
CURVAS POLARES 
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ECUACIÓN GENERAL POLAR DE LAS CÓNICAS 
 
 
Empezamos con algunas condiciones indispensables: 
 
1) Uno de los focos de la curva cónica siempre deberá estar en el polo 
 
2) El eje focal de la cónica se coloca sobre el eje polar 
 
3) Las directrices son rectas verticales, y una de ellas se encuentra a p unidades a la izquierda del polo 
 
 
En toda curva cónica, existe una proporción 
constante llamada excentricidad, que es la razón 
entre la distancia del punto P al Foco, y la distancia 
del punto P a la directriz 
 
 
En la imagen, la distancia del polo a la directriz la 
llamaremos p, por lo que el punto más cercano de la 
directriz al polo es 𝑁(𝑝 , 𝛼) 
 
 
El punto D se encuentra sobre la directriz pero a la 
misma altura que el punto 𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
Entonces, la excentricidad de la cónica es 
 
 
𝑒 =
 𝑟 
𝐷𝑃̅̅ ̅̅
=
𝑟
𝑝 + 𝑟 cos 𝜃
 
 
 
Si en esta última expresión despejamos a la variable r, llegaremos a la 
ECUACIÓN GENERAL POLAR DE LAS CÓNICAS orientada de 
forma horizontal (eje polar coincidiendo con el eje focal de la cónica) 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 − 𝑒 cos 𝜃
 
 
 
La directriz, que es una recta vertical, tendrá por ecuación 𝑟 =
−𝑝
cos 𝜃
 
 
 
El tipo de cónica lo determina el valor de la excentricidad: 
 
𝑒 < 1 → 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒 = 1 → 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒 > 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 
 
 
CURVAS POLARES 
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Así, tenemos los siguientes ejemplos, todos ellos con la misma directriz a la izquierda del polo. 
 
𝑝 = 3 𝑒 =
1
2
 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
2 − cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 1 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
1 − cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 2 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
6
1 − 2 cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
CURVAS POLARES 
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Y si ahora colocamos la misma directriz pero a la derecha del polo, sólo hay un cambio de signo en las 
ecuaciones. 
 
𝑝 = 3 𝑒 =
1
2
 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
2 + cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
3
cos 𝜃
 
 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 1 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
1 + cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
3
cos 𝜃
 
 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 2 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
6
1 + 2 cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
3
cos 𝜃
 
 
 
CURVAS POLARES 
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En todos los ejemplos anteriores podemos apreciar lo siguiente: 
 
 
1) Al trabajar sólo con la función cos 𝜃, la cónica se orienta en sentido horizontal, puesto que el eje de la 
cónica coincide con el eje polar. 
 
 
2) Si la directriz se encuentra a la derecha del polo, la cónica se orienta al lado opuesto, es decir a la 
izquierda. 
 
 
3) Si ladirectriz se encuentra a la izquierda del polo, la cónica se orienta al lado opuesto, es decir a la 
derecha. 
 
 
4) Si la directriz se encuentra a la izquierda del polo, su ecuación polar lleva un signo (-) lo mismo que la 
ecuación de la cónica 
 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 − 𝑒 cos 𝜃
 𝑟 =
−𝑝
cos 𝜃
 
 
5) Si la directriz se encuentra a la derecha del polo, su ecuación polar lleva un signo (+) lo mismo que la 
ecuación de la cónica 
 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 + 𝑒 cos 𝜃
 𝑟 =
𝑝
cos 𝜃
 
 
 
Si en las ecuaciones anteriores cambiamos la función cos 𝜃 con la función 𝑠𝑒𝑛 𝜃, la cónica se orienta 
verticalmente, ya que su eje focal queda perpendicular al eje polar. 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
𝑒𝑝
1 ± 𝑒 sen 𝜃
 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
±𝑝
sen 𝜃
 
 
 
La directriz, que será una recta horizontal, podrá estar a p unidades hacia arriba del polo o p unidades hacia 
abajo del polo. La cónica siempre se orienta hacia el lado opuesto. 
 
 
Para identificar fácilmente el valor de la excentricidad, el divisor en la ecuación polar de la cónica deberá 
comenzar con 1, así el coeficiente que acompaña a la función trigonométrica, será el valor de dicha 
excentricidad. 
 
 
Una vez conocida la excentricidad, el valor de p será el numerador de la ecuación polar de la cónica entre el 
valor de la excentricidad. 
 
CURVAS POLARES 
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* Ejercicio. Determina la ecuación polar de cada una de las siguientes cónicas, con los elementos que se 
proporcionan: 
 
a) Foco en el polo 𝑒 =
2
3
 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−8
cos 𝜃
 
 
 
b) Foco en el polo 𝑒 = 1 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−4
5 sen 𝜃
 
 
 
c) Foco en el polo 𝑒 = 4 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−8
cos 𝜃
 
 
 
* Ejercicio. Identifica y dibuja una de las siguientes cónicas en coordenadas polares, indicando la ecuación 
polar de su directriz. 
 
 
𝑟 =
3
2 + 8 cos 𝜃
 𝑟 =
4
2 + sen 𝜃
 𝑟 =
6
2 − 2 cos 𝜃
 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES 
 
 
Hasta aquí, hemos analizado curvas conocidas en forma polar, la recta, la circunferencia y las cónicas. Pero, 
¿Qué hacemos cuando se nos presenta otro tipo de curva? 
 
 
En el sistema cartesiano, el análisis de una curva se hace a partir de comparar a la curva contra las tres 
referencias cartesianas: el origen, el eje X y el eje Y. 
 
 
En forma análoga, en el sistema polar analizaremos a una curva a partir de compararla con tres referencias 
polares: el polo, el eje polar y la recta vertical 𝜃 = 90° 
 
 
Determinaremos la intersección de la curva con cada una de estas referencias, así como si existe simetría con 
cada una de ellas. 
 
 
También debemos conocer el alcance de la curva, es decir, hasta donde se extiende. 
 
 
CURVAS POLARES 
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Con toda esta información deberíamos poder hacer un bosquejo de la curva. En muchas ocasiones nos 
apoyamos de una tabulación con algunos valores del ángulo 𝜃, los cuales hacemos variar en intervalos de 30° 
hasta completar una vuelta completa de 360° (si es conveniente, también se emplean múltiplos de 45°) 
 
 
Y finalmente, se acostumbra encontrar la ecuación cartesiana equivalente con nuestra curva polar. 
 
 
En todo este análisis se acostumbra iniciar trabajando con la curva polar 𝑟 = 𝑓(𝜃), es decir, con la variable r 
despejada. 
 
 
1) Intersecciones: 
 
 
a) Con el polo. Si el radio r es cero, estamos sobre el polo. Entonces, basta con averiguar que ángulos 
producen un radio igual a cero. 
 
 
b) Con el eje polar. Este eje lo tocamos con ángulos de 0° , 180° , 360°, así como cuando estamos en 
el polo. 
 
 
c) Con la recta 𝜃 = 90°. Esta recta la tocamos con ángulo de 90° , 270°, así como cuando estamos en 
el polo. 
 
 
2) Simetrías. Esta referencia es simple en su concepto pero, como estamos trabajando coordenadas 
polares, tenemos diferentes posibilidades para investigarla y concluir si ocurre o no. 
 
 
Simetría con respecto del eje polar 
 
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 − 𝜃 𝑦 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 
Si en una ecuación hacemos alguna de estas sustituciones y la ecuación no se altera o resulta una 
ecuación equivalente, decimos que la curva es simétrica con el eje polar. 
 
 
CURVAS POLARES 
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Simetría con respecto de la recta 𝜃 = 90° 
 
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 − 𝜃 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃 𝑦 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 
Si en una ecuación hacemos alguna de estas sustituciones y la ecuación no se altera o resulta una 
ecuación equivalente, decimos que la curva es simétrica con la recta 𝜃 = 90° 
 
 
Simetría con respecto del polo 
 
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 + 𝜃 
Si en una ecuación hacemos alguna de estas sustituciones y la ecuación no se altera o resulta una 
ecuación equivalente, decimos que la curva es simétrica con el polo. 
 
 
3) Extensión. Nos referimos al alcance de la curva. En específico hablamos de los valores que puede o no 
tomar la variable r. A este respecto, tenemos tres escenarios: 
 
 
a) Curva finita. Cuando para todos los valores del ángulo 𝜃 existe un valor finito para r 
 
 
b) Curva infinita. Cuando para al menos un valor del ángulo 𝜃 el valor para r se va al infinito 
 
 
c) Inexistencia de valores. Cuando para algunos valores del ángulo 𝜃, el radio deja de existir. 
 
 
 
CURVAS POLARES 
20 
 
 
4) Tabulación de varios puntos. Obtenemos algunos valores del ángulo 𝜃, haciéndolo variar en intervalos 
de 30° hasta completar una vuelta completa de 360° (si es conveniente, también se emplean múltiplos 
de 45°) 
 
 
5) Gráfica de la curva. Hacemos un bosquejo aproximado de la curva en coordenadas polares. 
 
 
6) Transformación a coordenadas cartesianas. Encontramos el equivalente de nuestra curva empleando 
las ecuaciones de transformación de un sistema al otro. 
 
 
Todos los aspectos anteriores se pueden apreciar mejor con un ejemplo. 
 
 
Ejemplo. Analizar la curva polar 𝑟 = 2 + 4 cos 𝜃 
 
 
Para las intersecciones con el polo, el radio debe ser cero. 2 + 4 cos 𝜃 = 0 
 
Despejando al ángulo llegamos a lo siguiente 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−2
4
) 
 
Y en una vuelta completa de la circunferencia 𝜃 = 120° , 240° 
 
 
Que son los ángulos en los cuales la curva toca al polo. 
 
 
 
Las intersecciones con el eje polar se obtienen en los siguientes ángulos, para los cuales calculamos su 
respectivo valor de r 
 
𝜃 0° 180° 360° 
𝑟 6 −2 6 
 
 
 
Las intersecciones con la recta 𝜃 = 90° se obtienen en los siguientes ángulos, para los cuales calculamos su 
respectivo valor de r 
 
𝜃 90° 270° 
𝑟 2 2 
 
 
 
 
CURVAS POLARES 
21 
 
 
La simetría con el eje polar se investiga al 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃 
 
 
𝑟 = 2 + 4 cos(−𝜃) = 2 + 4 cos(0 − 𝜃) = 2 + 4[cos 0 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃] = 2 + 4 cos 𝜃 
 
 
Como la ecuación obtenida es la misma ecuación, entonces concluimos que la curva sí es simétrica con el eje 
polar. 
 
 
 
La simetría con la recta 𝜃 = 90° se investiga al 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃 𝑦 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 
 
 
−𝑟 = 2 + 4 cos(−𝜃) = 2 + 4 cos(0 − 𝜃) = 2 + 4[cos 0 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃] = 2 + 4 cos 𝜃 
 
𝑟 = −2 − 4 cos 𝜃 
 
Como la ecuación obtenida es diferente de la ecuación original, entonces concluimos que la curva NO es 
simétrica con la recta 𝜃 = 90° 
 
 
 
La simetría con el polo se investiga al 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 
 
 
−𝑟 = 2 + 4 cos 𝜃 
 
𝑟 = −2 − 4 cos 𝜃 
 
Como la ecuación obtenida es diferente de la ecuación original, entonces concluimos que la curva NO es 
simétrica con el polo. 
 
 
 
Para la extensión preguntamos: 
 
¿Para algún valor del ángulo, el radio es infinito? Como el cos 𝜃 ∈ [−1 , 1] podemos concluir que el resultado 
de cualquier operación en la ecuación dará un valor finito, por lo tanto la curva es cerrada. 
 
 
¿Para algún valor del ángulo, el radio no existe? Como siempre hay valores reales para cos 𝜃,al hacer las 
operaciones siempre darán números reales. Por lo tanto no tiene inexistencias la curva. 
 
CURVAS POLARES 
22 
 
Para la tabulación, procedemos con ángulos múltiplos de 30° 
 
𝜃 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 
𝑟 6 5.46 4 2 0 −1.46 −2 
 
 
𝜃 210° 240° 270° 300° 330° 360° 
𝑟 −1.46 0 2 4 5.46 6 
 
El hecho de que los valores de la primera mitad de ángulos se repitan en forma inversa con la segunda mitad 
de valores, nos está confirmando la simetría con el eje polar. 
 
 
Todos los puntos con radio negativo se deben medir 
hacia atrás de la línea a donde mira su ángulo, por 
eso aparecen segmentos hacia el interior de la curva. 
 
 
Podemos observar que la mayor longitud ocurre en 
el ángulo de 0° lo que nos da un radio de 6 unidades 
 
 
Cuando trabajamos con el ángulo de 180°, 
obtuvimos el mayor radio con signo negativo, que en 
nuestra curva es -2 
 
 
Este es el radio máximo del rizo interior de la curva 
 
Para la transformación a coordenadas cartesianas, conviene primero multiplicar toda la ecuación por r y desde 
ahí aplicar las ecuaciones de transformación. 
 
𝑟 = 2 + 4 cos 𝜃 → 𝑟2 = 2𝑟 + 4 𝑟 cos 𝜃 → 𝑥2 + 𝑦2 = 2√ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 
 
 
Aplicando las reglas algebraicas para eliminar a la raíz cuadrada en la ecuación 
 
 
(𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥)2 = 4𝑥2 + 4𝑦2 
 
 
y simplificando, llegamos a la siguiente ecuación cartesiana 
 
 
𝑥4 + 𝑦4 + 2𝑥2𝑦2 − 8𝑥3 − 8𝑥𝑦2 + 12𝑥2 − 4𝑦2 = 0 
 
CURVAS POLARES 
23 
 
 
Como vemos, analizar una curva polar tiene su dificultad, y requiere práctica y tiempo para poder realizarse. 
 
 
Sin embargo, como todas las curvas y en todos los sistemas de referencia, se pueden establecer algunas reglas 
para curvas con el mismo comportamiento, a las cuales llamamos familias de curvas. 
 
 
El ejemplo que planteamos trata sobre una curva conocida como caracol. 
 
 
Los caracoles se pueden establecer con las siguientes ecuaciones: 
 
 
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Cuando trabajan con la función cos 𝜃 se orientan de forma horizontal, mientras que con la función 𝑠𝑒𝑛 𝜃 se 
orientan de forma vertical. 
 
 
Cuando en la ecuación tenemos el signo (+) la máxima amplitud se localiza hacia la derecha o hacia arriba 
según el caso de la función trigonométrica, mientras que si tenemos el signo (-), la máxima amplitud se localiza 
hacia la izquierda o hacia abajo según la función trigonométrica. 
 
 
El radio máximo siempre es la suma de a y b sin tomar en cuenta su signo, mientras que el radio menor será la 
resta de a y b sin tomar en cuenta su signo. 
 
 
Y finalmente, dependiendo del tamaño de los coeficientes a y b, tendremos la siguiente sub-división: 
 
 
𝑎 < 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑎 = 𝑏 
 
 
El tercero recibe el nombre particular de cardioide. 
 
 
 
CURVAS POLARES 
24 
 
Otra familia interesante son las lemniscatas, cuyas ecuaciones son: 
 
 
𝑟2 = ±𝑎 cos 2𝜃 𝑟2 = ±𝑎 sen 2𝜃 
 
 
El ángulo doble y el radio al cuadrado, hacen que la curva se cierre formando una especie de número 8, con 
rangos amplios de ángulos con inexistencias de radios, que provienen de la imposibilidad de calcular raíces 
cuadradas de números negativos. 
 
 
El mayor radio será el valor de √𝑎 
 
 
Distinguimos cuatro casos, dependiendo de la función trigonométrica y el signo del coeficiente a 
 
 
𝑟2 = 𝑎 cos 2𝜃 𝑟2 = −𝑎 cos 2𝜃 
 
 
 
𝑟2 = 𝑎 sen 2𝜃 𝑟2 = −𝑎 sen 2𝜃 
 
𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 45° 𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 135° 
 
CURVAS POLARES 
25 
 
Una familia un poco más elaborada son las rosas, que reciben dicho nombre porque parecen pétalos de una 
flor, y cuyas ecuaciones son: 
 
 
𝑟 = 𝑎 cos 𝑛𝜃 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 
 
 
En esta familia, el valor del coeficiente n determinará la cantidad de pétalos, también conocidos como hojas. 
 
- Si n es un número impar, la rosa tendrá n pétalos 
 
- Si n es un número par, la rosa tendrá 2n pétalos 
 
 
Todos los pétalos miden lo mismo y se distribuyen uniformemente alrededor de una circunferencia completa. 
 
 
El primer paso es encontrar el primer pétalo. Éste siempre se orienta hacia donde indique el primer valor de r 
con el ángulo 0°. Desde ahí, todos los demás pétalos se distribuyen uniformemente alrededor de una 
circunferencia completa, con la longitud máxima de radio dada por el valor de a. 
 
𝑟 = 𝑎 cos 2𝜃 𝑟 = 𝑎 sen 2𝜃 
 
 
 
𝑟 = 𝑎 cos 3𝜃 𝑟 = 𝑎 sen 3𝜃 
 
 
 
 
CURVAS POLARES 
26 
 
Finalmente, tenemos las espirales 
 
 
𝑟 = 𝑎𝜃 𝑟 = 𝑎𝑒𝑏𝜃 
 
 
Son curvas que crecen de forma muy rápida, pero como lo hacen hacia ambos sentidos del ángulo 𝜃, son curvas 
simétricas con la recta 𝜃 = 90° 
 
𝑟 = 𝜃 
 
 
 
 
 
El estudio de las curvas polares es muy extenso, pero estas líneas tienen la intención de estimular la curiosidad 
del lector para que continúe adentrándose en este fascinante aspecto de la geometría.