Copia de SESIÓN 19,2 COORDENADAS POLARES VF 2021-II - Patricia Torres

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COORDENADAS POLARES. 
19,2
2
𝐂
Algunas curvas con propiedades importantes no son fáciles de representar ni
analizar a partir de una ecuación cartesiana, por ello buscaremos una nueva
forma de la ecuación.
Por ejemplo la lemniscata, curva
plana que puede definirse como el
lugar geométrico de los puntos del
plano cuyo producto de distancias
hacia dos puntos fijos es constante
tiene por ecuación:
Introducción
𝐂: 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
𝟐
= 𝟐𝐚𝟐 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐
La cual se puede expresar en
coordenadas polares con la ecuación:
Eje polar
Eje normal
𝐚; 𝟎−𝐚; 𝟎
𝐱; 𝐲
𝐝𝟏
𝐝𝟐
C: r2 = 2a2 cos 2θ
Definición: 𝐝𝟏𝐝𝟐 = 𝐚
𝟐
3
Eje normal
Definición
Consideremos una recta en el plano denominada eje polar y un punto fijo
en dicha recta, denominado polo. Fijamos la dirección positiva del eje
polar a la derecha del polo. Para cada punto P del plano consideremos el
segmento OP que une el polo O con el punto P y el ángulo θ que hace
este segmento OP con la parte positiva del eje polar.
𝛉
𝐏 𝐫; 𝛉
Eje polar
r: radio vector (distancia dirigida)
𝛉 : ángulo polar, ángulo vectorial o
argumento de P
𝐏𝐨𝐥𝐨: r = 0, para cualquier θ ∈ ℝ
⟹ 𝐏𝐨𝐥𝐨: 𝐎 = 𝟎; 𝛉 ; ∀𝛉 ∈ ℝPolo
𝐎
4
Eje polar
Eje polar
Convención:
𝟕𝛑
𝟔
≡ 𝐀 𝟒;
𝟕𝛑
𝟔
−
𝛑
𝟒
≡ 𝐁 𝟑;−
𝛑
𝟒
Si r > 0, el punto P está en el lado terminal del ángulo θ.
Si r < 0, el punto P está en la prolongación del lado terminal del ángulo θ.
Si r = 0, el punto P está en el polo.
𝐀 −𝟒;
𝛑
𝟔
𝛑
𝟔
𝐁 −𝟑;
𝟑𝛑
𝟒
𝟑𝛑
𝟒
5
APLICACIÓN 01 RESOLUCIÓN:
Dado el punto en
coordenadas polares
A 4; 3π/4 , indique cuál de
los siguientes pares de
coordenadas no
representa a dicho punto
A.
CLAVE: C
A) −4;
7π
4
B) −4;−
π
4
C) −4;
5π
4
D) 4;
11π
4
E) −4;−
9π
4
𝟕𝛑
𝟒
≡ 𝐀 −𝟒;
𝟕𝛑
𝟒
Eje polar
𝐀 𝟒;
𝟑𝛑
𝟒
𝟑𝛑
𝟒
≡ 𝐀 𝟒;
𝟏𝟏𝛑
𝟒
Eje polar
𝐀 𝟒;
𝟑𝛑
𝟒
𝟑𝛑/𝟒
−
𝛑
𝟒
≡ 𝐀 −𝟒;−
𝛑
𝟒
Eje polar
𝐀 𝟒;
𝟑𝛑
𝟒
𝟑𝛑
𝟒
≡ 𝐀 −𝟒;−
𝟗𝛑
𝟒
Eje polar
𝐀 𝟒;
𝟑𝛑
𝟒
𝟑𝛑/𝟒
𝟑𝛑
𝟒
+ 𝟐𝛑
−
𝛑
𝟒
− 𝟐𝛑
∴ No corresponde: −4;
5π
4
6
𝐱
𝐲
TEOREMA
CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A 
RECTANGULARES Y VICEVERSA
𝐱 = 𝐫 𝐜𝐨𝐬 𝛉 , 𝐲 = 𝐫 𝐬𝐞𝐧 𝛉
𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐, 𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
𝐲
𝐱
, 𝐱 ≠ 𝟎
Las coordenadas polares r; θ están
relacionadas con las coordenadas
rectangulares x; y por las fórmulas.
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐏 𝐱; 𝐲
𝛉
O 𝐗
𝐘
𝐫
7
APLICACIÓN 02
RESOLUCIÓN:
Dado el punto A 8; 5π/6 , determine sus coordenadas rectangulares.
CLAVE: B
A) 4 3; 4 B) −4 3; 4 C) −4 3;−4 D) 4 3;−4 E) −4; 4 3
Recordemos: x = r ∙ cos θ ∧ y = r ∙ sen θ
⇒ x = 8 ∙ cos
5π
6
∧ y = 8 ∙ sen
5π
6
∴ A x; y = A −4 3; 4
⇒ x = 8 −
3
2
∧ y = 8
1
2
8
𝟐
𝟐 𝟑
APLICACIÓN 03
RESOLUCIÓN:
Dado el punto P 2; 2 3 , determine sus coordenadas polares.
CLAVE: E
A) 4;
π
6
B) −4;
π
6
C) −4;
2π
3
D) 4;
4π
3
E) −4;
4π
3
En el sistema rectangular: Recordemos:
1) r2 = x2 + y2 ⇒ r2 = 22 + 2 3
2
⇒ 𝐫 = 𝟒
Algunas opciones:
2) tan θ =
y
x
⇒ tan θ =
2 3
2
𝐏 𝟐; 𝟐 𝟑
O 𝐗
𝐘
𝐫
𝟒𝛑
𝟑
⇒ 𝐭𝐚𝐧 𝛉 = 𝟑
𝐏 𝟒;
𝛑
𝟑
, 𝐏 𝟒;
𝟕𝛑
𝟑
,
𝐏 −𝟒;
𝟒𝛑
𝟑
, 𝐏 −𝟒;−
𝟐𝛑
𝟑
…
𝛑
𝟑
9
APLICACIÓN 04
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
Determine la ecuación polar
de la recta L cuya ecuación
cartesiana es:
2x − 3y − 5 = 0
A) r =
5
2 sen θ + 3 cos θ
B) r =
5
3 sen θ + 2 cos θ
C) r =
5
−2sen θ + 3 cos θ
D) r =
5
2 sen θ − 3 cos θ
E) r =
5
−3 sen θ + 2 cos θ
Recordemos: x = r cos θ ∧ y = r sen θ
L: 2x − 3y − 5 = 0
⟹ L: 2 ⋅ r cos θ − 3 ⋅ r sen θ = 5
⟹ r 2 cos θ − 3 sen θ = 5
⟹ r =
5
2 cos θ − 3 sen θ
En la ecuación de la recta:
∴ r =
5
−3 sen θ + 2 cos θ
10
TEOREMA
𝛉 + 𝟐𝐤𝛑
= 𝐏 𝐫; 𝛉 + 𝟐𝐤𝛑 = 𝐏 −𝐫; 𝛉 + 𝟐𝐤 + 𝟏 𝛑
𝐏 𝐫; 𝛉 =
𝐫, 𝛉 + 𝟐𝐤𝛑 , ∀𝐤 ∈ ℤ
−𝐫, 𝛉 + 𝟐𝐤 + 𝟏 𝛑 , ∀𝐤 ∈ ℤ
De forma equivalente:
𝛉
Eje polar
Eje polar
𝛉 + 𝛑
𝐏 𝐫; 𝛉
𝛉 + 𝛑 + 𝟐𝐤𝛑
∴ r, θ = −1 nr, θ + nπ , n ∈ ℤ
1. COORDENADAS DE UN PUNTO
Dadas las coordenadas polares del punto P r; θ , se cumple:
r, θ = −1 nr, θ + nπ , n ∈ ℤ
DEMOSTRACIÓN:
𝐏 −𝐫; 𝛉 + 𝛑
11
TEOREMA
𝐝 = 𝐫𝟏
𝟐 + 𝐫𝟐
𝟐 − 𝟐𝐫𝟏𝐫𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟏 − 𝛉𝟐
Sean P1 r1; θ1 y P2 r2; θ2 dos puntos dados del plano.
La distancia entre dichos puntos está dada por:
𝐏𝟐 𝐫𝟐; 𝛉𝟐
P1 r1; θ1
𝛉𝟐
r1
𝐝
𝛉𝟏
𝛉𝟏 − 𝛉𝟐
𝐫𝟐
Eje polarO
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES
DEMOSTRACIÓN:
Graficamos:
Por el teorema de cosenos en el ∆OP1P2:
d2 = r1
2 + r2
2 − 2r1r2 cos θ1 − θ2
∴ d = r1
2 + r2
2 − 2r1r2 cos θ1 − θ2
12
𝐝
APLICACIÓN 05
RESOLUCIÓN:
Calcule la longitud del segmento que une los puntos A y B cuyas
coordenadas polares son 3; 80° y 8; 140° .
CLAVE: E
A) 6 B) 39 C) 42 D) 3 5 E) 7
Recordemos:
d A; B = 32 + 82 − 2 3 8 cos 140° − 80°
⇒ d = 9 + 64 − 2 3 8 ∙
1
2
𝐀 𝟑; 𝟖𝟎°
𝐁 𝟖; 𝟏𝟒𝟎°
𝟖
𝟏𝟒𝟎°
𝟔𝟎°
𝟑
Eje polarO
𝟖𝟎°
= 73 − 24
∴ d = 7
13
𝐒
TEOREMA
3. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN COORDENADAS POLARES
El área de la región triangular cuyos vértices son el polo O, P1 r1; θ1 y
P2 r2; θ2 está dado por:
DEMOSTRACIÓN: Graficamos:
𝐏𝟐 𝐫𝟐; 𝛉𝟐
𝐏𝟏 𝐫𝟏; 𝛉𝟏
𝛉𝟐
𝐫𝟏
𝛉𝟏
𝛉𝟏 − 𝛉𝟐 𝐫𝟐
Eje polarO
𝐀△𝐏𝟏𝐎𝐏𝟐 =
𝟏
𝟐
𝐫𝟏𝐫𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝛉𝟏 − 𝛉𝟐
Recordemos que:
A∆P1OP2 =
OP1 OP2
2
sen θ1 − θ2
A∆P1OP2 =
r1r2
2
sen θ1 − θ2
En general:
∴ A∆P1OP2 =
1
2
r1r2 sen θ1 − θ2
14
APLICACIÓN 06
En la figura, A 4; 17° , D 3 3; 137° , 
E 5; 43° y F 4 3; 103° .
Calcule 𝔸 +𝔹 − ℂ.
RESOLUCIÓN:
A) 2 B) 0 C) − 2 D) − 4 E) − 6
CLAVE: E
Eje polarO
𝔸
ℂ
𝔹
𝐃
𝐂
𝐁
𝐀
𝐅
𝐄 Eje polarO
𝔸
ℂ
𝔹
D 3 3; 137°
𝐂
𝐁
𝐀 4; 17°
F 4 3; 103°
E 5; 43°
𝔻
Vemos que:
𝔸 +𝔻+ 𝔹 =
4 3 3
2
sen 120° = 9
𝟏𝟐𝟎°
𝟔𝟎°
𝔻+ ℂ =
5 4 3
2
sen 60° = 15
−
𝔸 +𝔹 − ℂ = 9 − 15
∴ 𝔸 + 𝔹 − ℂ = −6
15
4.b) Recta que no contiene al polo4.a) Recta que contiene al 
polo
4. ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
𝐋: 𝛉 = 𝛉𝟎
Si una recta L pasa por el
polo, su ecuación polar es
de la forma:
𝐋
𝐎 A
𝛉𝟎
𝐏 𝐫; θ
Si N d;ω es el par principal de
coordenadas polares del pie de la
perpendicular trazada desde el polo a una
recta, que no pasa por el polo, entonces la
ecuación polar de dicha recta es:
𝐋: 𝐫 𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝛚 = 𝐝
𝐝
𝐀
𝐏 𝐫; 𝛉𝐋
𝛚
𝐫
O
𝛉
𝛉 − 𝛚
𝐍 𝐝;𝛚
16
N 2 2; 135°
APLICACIÓN 07 RESOLUCIÓN:
CLAVE: D
Determine la ecuación polar
de la recta que pasa por el
punto 2 2; 135° y es
perpendicular a la recta que
une el punto 2 2; 135° con
el polo.
A) rsen θ − 135° = 2 2
B) r cos θ − 90° = 2
C) rsen θ − 90° = 2
D) rcos θ − 135° = 2 2
E) rcos θ − 45° = 2 2
𝐋
L: r cos θ − ω = d ∧ d,ω = 2 2; 135°
𝟏𝟑𝟓°
Eje polarPolo
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐫
𝛉
∴ rcos θ − 135° = 2 2
17
4.d) Recta paralela al eje normal
𝐋
4.c) Recta paralela al eje polar
𝐋: 𝐫 = 𝐤 𝐜𝐬𝐜 𝛉
Dada la recta L: y = k , su
ecuación polar es:
𝐋: 𝐫 = 𝐡 𝐬𝐞𝐜 𝛉
Dada la recta L: x = h , su
ecuación polar es:
𝐎 Eje polar
𝛉
𝐤
𝛉
𝐡
𝐏 𝐫; θ
𝐫
𝐋
4. ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
𝛉
𝐏 𝐫; θ
𝐫
𝐎 Eje polar
18
5.b) Con centro en 𝐜; 𝛂 y radio a5.a) Con centro en el polo y 
radio a
C c; α
𝐂
5. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
La ecuación de una circunferencia C
con centro en c; α y radio de longitud
a tiene ecuación de la forma
𝐂: 𝐫𝟐 − 𝟐𝐜𝐫 𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝛂 + 𝐜𝟐 = 𝐚𝟐, 𝐚 > 𝟎
𝛂
𝐀O
𝛉
𝛉 − 𝛂 𝐜
𝐫
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐚
𝐂: 𝐫 = ±𝐚, 𝐚 > 𝟎
La ecuación de una
circunferencia C con centro en
el polo y radio de longitud a
tiene ecuación de la forma
𝛉
a
𝐂
𝐏 𝐫; θ
𝐎 Eje polar
19
5.d) Circunferencia que pasa por el polo y tiene centro en el eje normal
𝐂
5.c) Circunferencia que pasa por el polo y tiene centro en el eje polar
C: x − a 2 + y2 = a2
5. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
⟹ C: x2 − 2ax + a2 + y2 = a2
⟹ C: x2 + y2 = 2ax
⟹ C: r2 = 2ar cos θ
⟹ C: r = 2a cos θ ∨ r = 0
𝛉
𝐂: 𝐫 = 𝟐𝐚 𝐜𝐨𝐬 𝛉 , 𝐚 > 𝟎
C: x2 + y − a 2 = a2
⟹ C: x2 + y2 − 2ay + a2 = a2
⟹ C: x2 + y2 = 2ay
⟹ C: r2 = 2ar sen θ
⟹ C: r =2a sen θ ∨ r = 0
𝛉
𝐂: 𝐫 = 𝟐𝐚 𝐬𝐞𝐧 𝛉 , 𝐚 > 𝟎
𝐂
Eje polar𝐎
a
a; 0
𝐏 𝐫; θ
𝐏 𝐫; θ
𝐎 Eje polar
a
0; a
Incluye al polo
Finalmente:
Incluye al polo
Finalmente:
20
APLICACIÓN 08
RESOLUCIÓN:
CLAVE: D
Calcule el área, en u2, de la región interior a las
curvas C1: r = 2 2 ∙ sen θ y C2: r = 2 2 cos θ .
A) π − 1 B) π + 1 C) π
D) π − 2 E) π + 2
Calculamos la mitad:
S
2
=
1
4
π 2
2
−
2 2
2
S
2
=
π
2
− 1
2
𝐎
Eje polar
C1
C2
2
2
2
S
S/2
∴ S = π − 2
21
𝐂
Q
O
𝐄. 𝐏.
LF
LD
6. ECUACIÓN DE LAS CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
Sea LF el eje focal de una cónica, uno
de sus focos es el polo O y LD es la
recta directriz.
e =
d P, F
d P, LD
𝐫
𝛉
𝛉 − 𝛂
𝛂H
T
𝐝
𝐝
F
Si la excentricidad de la cónica es e
y la distancia de la recta directriz al
polo es d:
⟹ e =
r
d + r cos 𝛉 − 𝛂
⟹ ed + er cos 𝛉 − 𝛂 = r
⟹ ed = r − er cos 𝛉 − 𝛂
⟹ ed = r 1 − e cos 𝛉 − 𝛂 ∴ 𝐫 =
𝐞𝐝
𝟏 − 𝐞𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝛂
𝛉 − 𝛂
𝐏 𝐫; 𝛉
22
Casos particulares cuando un foco está en el polo
6.a) 𝛂 = 𝟎°
LD: r = −d sec θ
C: r =
ed
1 − e cos 𝛉
6.b) 𝛂 = 𝟗𝟎°
LD: r = −d csc θ
C: r =
ed
1 − e sen θ
6.c) 𝛂 = 𝟏𝟖𝟎°
LD: r = d sec θ
C: r =
ed
1 + e cos θ
6.d) 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°
LD: r = d csc θ
C: r =
ed
1 + e sen θ
𝐄𝐏
LD
LF
O
C
𝐝
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐄𝐏
LD
LF
O
C
𝐝
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐄𝐏
LD
LF
O
C
𝐝
𝐏 𝐫; 𝛉
𝐄𝐏
LD
LF
O
C
𝐝
𝐏 𝐫; 𝛉
23
APLICACIÓN 09
Dada la cónica
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
Es una cónica de la forma: r =
ed
1 − e. cos(θ)
región limitada por el triángulo formados por los
extremos del lado recto y su vértice (en u2).
r =
6
1 − cos θ
. Calcule el área de la
X
Y
F(0; 0)
V
x = −6
Comparando: e = 1 parábola ;
Foco: F 0; 0 ; V −3; 0 ; p = 3; LR = |4p| = 12
⇒ S =
1
2
p . 4p =
1
2
3 12
𝐝
⇒ p = 3d = 2 p = 6
p
2 p
2 p
∴ S = 18
24
TEOREMA
7. ECUACIONES EQUIVALENTES EN COORDENADAS POLARES
EJEMPLO:
Para determinar las ecuaciones equivalentes de una ecuación polar
sustituimos: C: F r; θ = 0 ≡ F −1 nr, θ + nπ , ∀n ∈ ℤ
Determine las ecuaciones equivalente a C: r = 1 + cos θ
Sustituimos r; θ con −1 nr, θ + nπRESOLUCIÓN:
En la ecuación: −1 nr = 1 + cos θ + nπ
1) n par: n = 2k ⟹ C: −1 2kr = 1 + cos θ + 2kπ ⟹ 𝐂𝟏: 𝐫 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉
2) n impar: n = 2k + 1⟹ C: −1 2k+1r = 1 + cos θ + 2k + 1 π ⟹ C:−r = 1 − cos θ
⟹ 𝐂𝟐: 𝐫 = −𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉
∴ Las ecuaciones C1: r = 1 + cos θ y C2: r = −1 + cos θ
representan el mismo lugar geométrico.
25
8. ROSAS O ROSACEAS 
𝐫 = ±𝐚 𝐜𝐨𝐬 𝐧𝛉
𝐫 = ±𝐚 𝐬𝐞𝐧 𝐧𝛉
Rosa de n pétalos (n: impar)
Rosa de 2n pétalos (n:par)
𝐫 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝛉 𝐫 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝛉 𝐫 = 𝟒 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝛉 𝐫 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝛉
EPO EPOEPO EPO
26
9. OTRAS CURVAS
r = ±a ± b cos θ
r = ±a ± b sen θ
; a, b > 0
Limacón: a > b
Ejemplo: r = 3 + 2 cos θ
Caracol: a < b
Ejemplo: r = 1 + 2 cos θ
Cardioide: a = b
Ejemplo: r = 2 − 2 cos θ
EPO EPO EPO
27
10. LEMNISCATA DE BERNOULLI: r2 = ±a2 cos 2θ
r2 = ±a2 sen 2θ
𝐫𝟐 = 𝟗𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛉 𝐫𝟐 = −𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛉 𝐫𝟐 = 𝟒𝐬𝐞𝐧 𝟐𝛉 𝐫𝟐 = −𝐬𝐞𝐧 𝟐𝛉
EPO
EPO EPO EPO
28
29
PROBLEMA 01
Determine la ecuación
polar del lugar geométrico
de ecuación cartesiana es:
RESOLUCIÓN:
CLAVE: B
A) r =
6
2 + 3 sen θ
B) r =
6
2 − 3 sen θ
C)r =
2
2 − 3 sen θ
D)r =
3
2 − 3 sen θ
E) r =
2
3 − 2 cos θ
⇒ 4x2 + 𝟒𝐲𝟐 = 𝟒𝐲𝟐 + 5y2 + 36y + 36
2r = 3y + 6
4x2 − 5y2 − 36y − 36 = 0De la 
ecuación:
⇒ 4x2 = 5y2 + 36y + 36
4x2 − 5y2 − 36y − 36 = 0
⇒ 4 x2 + y2 = 9y2 + 36y + 36
r2 3y + 6 2
∨ 2r = −3y − 6
2r = 3r sen θ + 6 ∨ 2r = −3r sen θ − 6
r =
6
2 − 3 sen θ
∨ r =
−6
2 + 3 sen θ
∴ r =
6
2 − 3 sen θ
30
PROBLEMA 02
Determine la ecuación
cartesiana de:
RESOLUCIÓN:
CLAVE: B
A) y2 = 8(2 + x)
B) y2 = 8(2 − x)
C) y2 = 8(x − 2)
D) y2 = 8(x + 1)
E) y2 = 8(x − 1)
r =
4
1 + cos θ
⇒ r + rcos θ = 4 … I
r + x = 4
Recordemos: rcos θ = x
⇒ x2 + y2 = 16 − 8x + x2
r =
4
1 + cos θ
En (𝐼): ⇒ r2 = 4 − x 2
x2 + y2
∴ y2 = 8 2 − x
31
PROBLEMA 03
Identifique el lugar
geométrico que
representa la ecuación:
RESOLUCIÓN:
CLAVE: C
A) una recta
B) circunferencia
C) parábola
D) elipse
E) hipérbola
r =
1
2
csc2
θ
2
⇒ r =
1
2 sen2
θ
2
⇒ r =
1
1 − cos θ
r =
1
2
csc2
θ
2
⇒ r =
ed
1 − e ∙ cos θ
∴ La ecuación corresponde a una parábola
Comparando: e = 1 ∧ d = 1
32
PROBLEMA 04
Determine la ecuación de la
circunferencia, en coordenadas
polares, si se sabe que pasa
por el polo y su centro se ubica
en el punto 2; π/6 .
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
A) r =
2
cos θ −
π
6
B) r =
2
sen θ −
π
6
C) r = 2 cos θ −
π
6
D) r = 2 sen θ −
π
6
E) r = 4 cos θ −
π
6
Ubicamos el centro en 2; π/6 y trazamos 
la circunferencia que pasa por el polo. 
2;
π
6
Polo Eje Polar
π
6
r; θ
θ −
π
6
θ −
π
6
∴ r = 2 2 cos θ −
π
6
33
PROBLEMA 05
Calcule el área (en u2) de la región limitada por los ejes
de coordenadas en el primer cuadrante con la curva:
r = 2 sen θ + 2 cos θ
RESOLUCIÓN:
CLAVE: D
A) π − 1
B) π
C) π + 1
D) π + 2
E) π + 3
r = 2 sen θ + 2 cos θ
⇒ r2 = 2r sen θ + 2r cos θ
⇒ x2 + y2 = 2y + 2x
⇒ x2 − 2x + y2 − 2y = 0
⇒ x2 − 2x + 𝟏 + y2 − 2y + 𝟏 = 𝟐
⇒ x − 1 2 + y − 1 2 = 𝟐
⇒ h; k = 1; 1 ∧ r = 2
𝐎
EP
𝟏; 𝟏
𝟐; 𝟎
𝟎; 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
S =
2 2
2
+
1
2
π 2
2
𝐒
∴ S = 2 + π
34
PROBLEMA 06
Se tiene la ecuación polar de
una cónica
4r − 5 = 3r sen θ
¿Qué cónica representa dicha
ecuación?
RESOLUCIÓN:
CLAVE: B
A) Hipérbola 
B) Elipse
C) Circunferencia
D) Parábola
E) Punto
Ordenamos: 4r − 3r sen θ = 5
⟹ r =
5
4 − 3 sen θ
⟹ r 4 − 3 sen θ = 5
r =
ed
1 − e cos 𝛉
⟹ e =
3
4
< 1
⟹ r =
5
4
1 −
3
4
sen θ
∴ Es una elipse
35
PROBLEMA 07
Dada una cónica de
excentricidad e y tal que la
distancia de un foco a su recta
directriz unilateral es d.
Calcule la longitud del lado
recto en términos de d y e.
RESOLUCIÓN:
CLAVE: C
A)
ed
2
B) ed
C) 2ed
D)
2d
e
E)
4d
e
𝐀
LD
LF
F
C
∴ 𝐋𝐑 = 𝟐𝐞𝐝
e =
d P, F
d P, LD
𝐑
𝐋
𝐝
𝐝
⟹ e =
LF
d
⟹ LF = ed
36
PROBLEMA 08
Sea la ecuación polar de la
parábola
r =
2
1 − cos(θ)
Calcule la longitud (en u) de su
lado recto.
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
A) 2 B) 3 C) 2
D) 3 E) 4
De la ecuación polar se tiene: 
r =
2
1 − cos(θ)
Identificamos: e = 1 ∧ ed = 2
∴ 𝐋𝐑 = 𝟒
LR = 2ed
𝐫 =
𝐞𝐝
𝟏 − 𝐞𝐜𝐨𝐬 𝛉
Longitud del lado recto:
37
PROBLEMA 09
Dada una cónica de
excentricidad e y tal que la
longitud del lado recto es LR.
Calcule la longitud de una
cuerda focal que forma un
ángulo de medida α con el eje
focal de la cónica.
RESOLUCIÓN:
CLAVE: C
A)
LR
1 + e cos θ
B)
LR
1 + e2 cos2 θ
C) 2
LR
1 − e2 cos2 θ
D)
LR
e cos θ
E)
LR
e2 cos2 θ
m+ n = L … 1
𝛂
𝐝
d =
m
n
e + n
m
e
(m + n)
4mn = LR L… 2
n
e
𝐁
m
e
𝐀
d =
2mn
e
1
L
⟹ 4mn = 2edL𝛂
n − m
e
𝛂
n − m
e
= L cos α
n − m = eL cos α … 3
Por Legendre: m+ n 2 − m− n 2 = 4mn
De 1 , 2 y 3 :
En el trapecio:
LD
LF
F
C
m
n
∴ L =
LR
1 − e2 cos2 θ
L2 − e2L2 cos2 θ = LR L
38
PROBLEMA 10
Sea la ecuación polar de la
cónica
r =
12
2 + 3cos(θ)
Calcule la longitud de la cuerda
focal que forma un ángulo de
medida 60° con el eje focal.
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
A)
127
7
B)
145
7
C)
167
7
D)
192
7
E)
207
7
De la ecuación polar se tiene: r =
12
2 + 3cos(θ)
Identificamos: e =
3
2
∧ ed = 6 ⟹ LR = 12
L =
LR
1 − e2 cos2 θ
α = 60°
⟹ r =
ed
1 + e cos 𝛉
Además: 
r =
6
1 +
3
2
cos(θ)
⟹ L =
12
1 −
3
2
2 1
2
2=
12
1 −
9
16
∴ 𝐋 =
𝟏𝟗𝟐
𝟕
39
PROBLEMA 11
Sea la cónica:
RESOLUCIÓN:
CLAVE: D
A)
32
15
B)
40
15
C)
51
15
D)
64
15
E)
72
15
Adecuando: r =
1.5
1 − 1.25cos(θ)
Identificando: e=1.25
r =
6
4 − 5 cos θ
. Calcule la distancia entre sus rectas
directrices, en u.
1 y 2 en 3:
c2 = a2 + b2…(3)
2b2
a
= 2 1.5 … (2)
c
a
= 1.25… (1)También
(1.25a)2= a2 + 1.5a
Resolviendo: a =
8
3
Luego:
2d = 2(
8
3
1.25
) 2d =
64
15
u∴
Se sabe: 2d =
2a
e
40
PROBLEMA 12
Sea la cónica:
RESOLUCIÓN:
CLAVE: D
A)x =
2
3
B)x =
4
5
C)x =
14
15
D)x =
13
15
E)x =
4
3
Adecuando:r =
0.5
1 − 1.5cos(θ)
Identificando: e=1.5 (hipérbola)
r =
1
2 − 3 cos θ
.Determine una ecuación de las rectas
directrices.
1 y 2 en 3:
c2 = a2 + b2…(3)
2b2
a
= 2(0.5)… (2)
c
a
= 1.5… (1)
También
(1.5a)2= a2 + 0.5a
Resolviendo: a =
2
5
Luego: d =
4
15
→ x =
3
5
±
4
15
∴
Se sabe: d =
a
e
En C.P, se sabe que el eje
focal es coincidente con el
eje x, además, las ecuaciones
de las rectas directrices son:
x=cd
x =
13
15
V x =
1
3
c =
3
5
41
PROBLEMA 13
RESOLUCIÓN:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Recordemos: x = r cos θ  y = rsen θ
Una hipérbola tiene por ecuación polar 6r = 4 csc θ + 3 sec θ , 
mientras que las ecuaciones polares de sus asíntotas son 
r = A. sec θ y r = B. csc θ . Calcule el valor de 2A + 3B.
x =
x´ − y´
2
En 6r = 4 csc θ + 3 sec θ
6 =
4
rsen θ
+
3
r cos θ
⇒ 6 =
4
y
+
3
x
−6xy + 4x + 3y = 0
0x2 + 0y2 − 6xy + 4x + 3y⇒ cot(2 ) = 0
Rotación de ejes
 = 45°
y =
x´ + y´
2
xy =
x´2 − y´2
2
−6
x´2 − y´2
2
+ 4
x´ − y´
2
+ 3
x´ + y´
2
= 0
x´2 −
7
3 2
x´ − y´2 +
y´
3 2
= 0
x´ −
7
6 2
2
− y´ −
1
6 2
2
=
2
3
Completando 
cuadrados
Rectas asíntotas a la hipérbola
x´ −
7
6 2
= ± y´ −
1
6 2
…(I)
42
CLAVE: C
De la rotación de ejes 
x´ =
x + y
2
y´ =
y − x
2
x + y
2
−
7
6 2
= ±
y − x
2
−
1
6 2
En (I)
x + y −
7
6
= y − x −
1
6
1ra asíntota
⇒ 2x = 1
L1: x =
1
2
2da asíntota
x + y −
7
6
= −y + x +
1
6
⇒ 2y =
8
6
L2: y =
2
3
L1: rcos θ =
1
2
A =
1
2
L2: rsen θ =
2
3
B =
2
3
Piden:
E = 2A + 3B ⇒ E = 2
1
2
+ 3
2
3
∴ E = 3
43
PROBLEMA 14
Determine la ecuación polar de
la elipse de ecuación
x2
a2
+
y2
b2
= 1
situando el polo en el foco de
abscisa negativa.
RESOLUCIÓN:
CLAVE: A
A) r =
b2
a − ccos(θ)
B) r =
b2
a + ccos(θ)
C) r =
a2
b − ccos(θ)
D) r =
a2
b + ccos(θ)
E) r =
b
a + ccos(θ)
Recordemos:
r =
ed
1 − e cos 𝛉
⟹ r =
LR
2
1 − e cos 𝛉
⟹ r =
b2
a
1 −
c
a
cos 𝛉
∴ 𝐫 =
𝐛𝟐
𝐚 − 𝐜 𝐜𝐨𝐬 𝛉