TRIGONOMETRIA_19_CÓNICAS_PARÁBOLA_ELIPSE - Gabriel Solis

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Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 1 
TRIGONOMETRÍA 
 
SEMANA 19: CÓNICAS: PARÁBOLA - ELIPSE 
PARÁBOLA 
01. Determine la ecuación del lugar geométrico 
de los puntos de un plano cartesiano que 
equidistan del punto (4; 10) y de la recta y = 6 
A) (x – 4)2 = 4(y – 8) 
B) (x + 4)2 = 8(y – 8) 
C) (x – 4)2 = 8(y – 8) 
D) (x – 2)2 = 8(y – 8) 
E) (x – 4)2 = 2(y – 8) 
 
02. Si (x – h)2 = 4p(y – k) es la ecuación ordi-
naria de una parábola que tiene por directriz la 
recta y = 1 y por foco el punto (–3; 7); halle el 
valor numérico de F = 3h + 2k + 3p 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
03. El foco de una parábola es el punto F = (2; 1) 
y el vértice (–1; 2). Determine la ecuación de la 
recta directriz. 
A) y – 3x – 10 = 0 B) y – 3x – 15 = 0 
C) y + 3x – 15 = 0 D) y + 3x + 15 = 0 
E) y – 2x – 15 = 0 
 
04. Determine la ecuación de la parábola cuyo 
vértice es el punto (2; – 1) y pasa por el punto (– 
4; 3) 
A) x2 – 4x – 9y + 5 = 0 
B) x2 – 4x + 9y – 5 = 0 
C) x2 + 4x – 9y – 5 = 0 
D) x2 + 4x + 9y + 5 = 0 
E) x2 – 4x – 9y – 5 = 0 
 
05. Se tiene una parábola cuya ecuación es 3y2 
– 5x – 18y + 37 = 0; si su vértice es el punto (h; 
k); y p es su parámetro, calcule el valor 
numérico de F = 12p – 3k + h. 
A) – 3 B) – 2 C) 2 
D) 3 E) 6 
 
06. Sea la parábola x2 = 20y, se traza la cuerda 
focal MN que contiene a A(2; 9). Determine la 
ecuación de MN . 
A) 2x – y + 15 = 0 B) 2x + y – 5 = 0 
C) 2x – y + 5 = 0 D) x – y – 5 = 0 
E) 2x – 3y + 5 = 0 
 
07. Calcule el radio focal del punto P (7; y) que 
pertenece a la parábola: y2 = 20x 
A) 11 B) 12 C) 13 
D) 123 E) 140 
08. Determine la ecuación de la recta que pasa 
por el foco de la parábola P: 3x2 – 12x + 2y + 15 
= 0 y tiene pendiente igual a la longitud del lado 
recto. 
A) 3x + 2y = 9 B) 2x + 3y = – 9 
C) 3x – 2y = – 9 D) 2x + 5y = 3 
E) 2x – 3y = 9 
 
09. Si la ecuación de la parábola es x2=4py, 
determine la ecuación de la recta tangente a la 
parábola en el extremo de su lado recto. La recta 
tiene pendiente positiva y corta el eje de 
abscisas en x = 1. 
A) y 3x 1= + B) y 3x 1= − 
C) y x 1= + D) y x 1= − E) y = 2x +1 
 
10. Se tiene una parábola de eje horizontal que 
se abre a la derecha, cuyo vértice se encuentra 
en la intersección de las rectas 
 
1
L :5x 3y 2 0+ − = y 
2
L : 4x 2y 3 0− + = , y su 
parámetro es 5. Si su ecuación general es 
2y 20x Ey F 0− + + = ; calcule el valor de 
11E+484F. 
A) –1694 B) –786 C) 406 
D) 786 E) 1694 
 
11. Un depósito de agua tiene sección trans-
versal parabólica cuando el nivel del agua al-
canza una altura de 18 m, su ancho mide 24 m, 
cuando el nivel del agua desciende 10 m, el nue 
vo ancho del nivel del agua (en m) es igual a: 
A) 12 B) 15 C) 16 
D) 18 E) 20 
 
12. Determine la ecuación del arco parabólico 
formado por los cables que soportan un puente 
colgante, cuando la luz es de 82 m, la depresión 
es 9 m y el punto más bajo del puente está a 1 m 
del nivel del terreno. 
A) x2 + 2x + 160y – 1 = 0 
B) x2 – 2x + 80y – 2 = 0 
C) x2 – 2x – 160y + 1 = 0 
D) x2 + 2x – y – 1 = 0 
E) 9x2 – 1681y + 1681 = 0 
 
13. El foco de una parábola es el punto F 
= (3; 2) y la recta directriz es x + y – 10 = 0. 
Determine las coordenadas del vértice. 
A) 1 3;
4 4
 
 
 
 B) 3 5;
4 4
 
 
 
 C) 17 13;
4 4
 
 
 
 
D) (2; 4) E) (0; 2) 
 
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14. El foco de una parábola es F= (4; 1) y la recta 
directriz es L: x + y – 17= 0. Calcule la longitud 
(en u) del lado recto. 
A) 4 2 B) 8 2 C) 12 2 
D) 14 2 E) 16 2 
 
15. Dado la directriz L: 3x – 4y – 12 = 0 y el foco 
F(1; 2) halle la ecuación de la parábola. 
A) 16x2 + 9y2 + 12xy – 22x + 196y – 44 = 0 
B) 9x2 + 16y2 + 24xy + 22x – 196y + 19 = 0 
C) 16x2 + 9y2 – 24xy + 22x + 100y – 19 = 0 
D) 16x2 + 9y2 + 24xy + 22x – 196y – 19 = 0 
E) 8x2 + 3y2 + 24xy + 22x – 196y + 44 = 0 
 
16. Determine la ecuación de la recta tangente a la 
curva dada por x2+y–4 = 0, en el punto (1; 3). 
A) 2x + y – 5 = 0 B) 2x + y + 5 = 0 
C) x + 2y – 5 = 0 D) x + 2y + 5 = 0 
E) x + y – 4 = 0 
 
17. Determine la ecuación de la recta tangente a 
la parábola y2 – 9x = 0 en el punto (1; 3) 
A) 3x + 2y – 3 = 0 B) 3x – 2y + 3 = 0 
C) 3x – 2y – 3 = 0 D) 2x – 3y + 2 = 0 
E) 2x + 3y – 3 = 0 
 
18. ¿Para qué valor de k la recta L: y = kx + 2 es 
tangente a la parábola P: y2 = 4x? 
A) –1/4 B) –1/2 C) – 1 
D) 1/2 E) 1 
 
19. Determine la ecuación de la recta tangente a 
la parábola x2 + 4x + 12y – 8 = 0 y paralela a la 
recta 3x – 9y – 8 = 0. 
A) x + 3y + 2 = 0 B) x – 3y + 6 = 0 
C) x + 3y – 2 = 0 D) x – 3y – 2 = 0 
E) x – 3y + 2 = 0 
 
20. Determine la mínima distancia entre los 
puntos de la parábola P: y2 = x – 1 y la recta L: 
2y = x + 6 
A) 5
5
 B) 3 5
5
 C) 6 5
5
 
D) 8 5
5
 E) 2 5 
 
21. Determine la ecuación de la recta tangente a 
la parábola: y2 – 2x + 2y + 3 = 0, que es 
perpendicular a la recta: 2x + y + 7 = 0 
A) x + 2y +1 = 0 B) x – 2y – 1 = 0 
C) x + 2y – 1 = 0 D) x + y – 1 = 0 
E) 2x – 4y + 1 = 0 
22. La ecuación de una parábola es y2 = – 48x, 
(PQ es su lado recto), determine la coordenadas 
de Q, si la recta que pasa por Q y el origen de 
coordenadas, tiene pendiente positiva. 
A) (– 12; 24) B) (– 12; – 24) 
C) (12; – 24) D) (12; 24) 
E) (– 2; 4) 
 
23. Un punto se mueve de tal manera que su 
distancia al punto A(–1; 2) es siempre el doble 
de sus distancia al eje X. Halle la ecuación de su 
lugar geométrico (indicar que representa en el 
plano XY) 
A) una recta B) elipse C) circunferencia 
D) parábola E) hipérbola CEPRE_2012-II 
 
24. Se tiene una parábola cuya longitud del lado 
recto es 6u . Si por cada extremo de su lado 
recto se trazan rectas tangentes a la parábola, 
calcule el área de la región triangular limitada 
por las dos rectas y el lado recto (en u2). 
A) 3 B) 3/2 C) 2 3 
D) 4 E) 6 
 
25. Determine la ecuación de la parábola en la 
figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 012 =+++ yxx 
B) 0122 =−++ yxx 
C) 0122 =−−+ yxx 
D) 0122 =+−+ yxx 
E) 0122 =−−− yxx 
 
ELIPSE 
26. Dada la elipse de ecuación: 
4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0. Determine las 
coordenadas del centro 
A) (6; – 4) B) (6; 4) C) 5; 4) 
D) (5; – 4) E) (4; – 4) 
 
27. Dada la ecuación de la elipse: 
x2 + 16y2 – 8x +16y – 12 = 0, halle las 
coordenadas del centro. 
 
(1;- 2) 
(0; -1) 
Y 
X 
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A) (1; – 2) B) (4; 1/2) C) (4; – 1/2) 
D) (4; – 1) E) (4; – 2) 
 
28. Se tiene una cónica cuya ecuación es 16x2 + 
y2 – 224x + 12y + 756 = 0; calcule la distancia 
(en u) que existe desde el punto de mayor 
ordenada de dicha cónica al punto (12; –2). 
A) 5 B) 27 C) 29 
D) 6 E) 41 
 
29. Se tiene una elipse con centro en el origen de 
coordenadas, si la distancia entre los focos es la 
mitad de la distancia entre vértices, además; la 
longitud de su lado recto (paralelo al eje de 
ordenadas) mide 4 m, entonces al determine su 
ecuación se obtiene: 
A) 6x2 + 3y2 = 16 B) 3x2 + 6y2 = 16 
C) 9x2 + 12y2 = 64 D) 12x2 + 9y2 = 64 
E) 9x2 + 6y2 = 16 
 
30. Determine la ecuación de la elipse con centro 
en el origen, eje mayor sobre el eje de abscisas, 
y que pasa por los puntos (4; 3) y (6; 2) 
A) 
2 2x y
1
13 52
+ =
 
 B)
 
2 2x y
1
51 11
+ = 
C) 
2 2x y
1
52 13
+ =
 
 D)
 
2 2x y
1
42 13
+ = 
E)
 
2 2x y
1
52 12
+ = 
 
31. Determine la ecuación de la elipse cuyo 
centro es (1; 5), uno de sus focos es el punto (1; 
2) y la suma de las distancias de un punto de la 
elipse a los dos focos es igual a 12u. 
A)
 
2 2(y 5) (x 1)
1
36 27
− −
+ = 
B)
 
2 2(y 5) (x 1)
1
36 9
− −
+ = 
C)
 
2 2(y 1) (x 5)
1
36 27
− −
+ = 
D)
 
2 2(x 1) (y 5)
1
27 9
− −
+ = 
E)2 2(y 5) (x 1)
1
27 9
− −
+ =
 
 
32. Se tiene una elipse con centro en el origen de 
coordenadas, de tal manera que la distancia 
entre sus focos es igual a la longitud del eje 
menor de la elipse. Si su lado recto mide 8u (en 
u) calcule la longitud del eje mayor de la elipse. 
 
A) 12 B) 14 C) 16 
D) 18 E) 20 
 
33. Calcule la longitud del lado recto de una elipse 
cuyos vértices están en el eje de abscisas, un 
extremo del eje menor es (6; 3) y un foco es (2; 0). 
A) 13/5 B) 14/5 C) 16/5 
D) 18/5 E) 21/5 
 
34. Determine la ecuación de una elipse cuyo 
foco es (1; – 2) y el vértice opuesto a dicho foco 
es (1; 6); además la longitud de su eje menor es 
8 unidades. 
16(x + 1)2 + 25(y – 1)2 = 400 
25(x – 1)2 + 16(y – 1)2 = 400 
25(x + 1)2 + 16(y + 1)2 = 400 
25(x – 1)2 + 16(y + 1)2 = 400 
16(x – 1)2 + 25(y – 1)2 = 400 
 
35. Determine la ecuación de la elipse que pasa 
por el punto 7P( ;3)
2
, tiene su centro en el 
origen, su eje menor coincide con el eje x y la 
longitud de su eje mayor es el doble de la de su 
eje menor. 
A) 
2 22x y
1
7 4
+ =
 
 B)
 
2 27x y
1
2 4
+ = 
C)
 
2 2x 7y
1
4 2
+ = D)
 
2 2x y
1
4 16
+ = 
E) 
2 2x y
1
16 4
+ =
 
 
 
36. Determine la ecuación de la elipse de eje 
mayor 2a en la que, el eje menor, se vé bajo un 
ángulo que mide 90º desde uno de los focos. 
A) x2 + 2y2 = a2 B) x2 + 2y2 = 2a2 
C) x2 + 4y2 = a2 D) x2 + 2y2 = 4a2 
E) x2 + 4y2 = a2 
 
37. Determine las ecuaciones de las directrices 
de la elipse cuya ecuación es: 9x2 +4y2 = 36 
A) 
3
x
5
= 
 
 B) 
6
x
5
= 
 
C) 
9
x
5
= 
 
 D)
 
3
y
5
=  
E)
 
9
y
5
=  
 
38. Por el punto (5; 6) se trazan las rectas tan-
gentes a la elipse 
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2 2(x 3) (y 3)
E : 1
4 9
− −
+ = . Calcule el valor máximo 
de la ordenada de uno de sus puntos de 
tangencia. 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
39. Determine el menor ángulo con que se 
observa desde el origen el segmento que une los 
focos de la elipse. 
E : 4x2 + y2 – 8x + 4y + 4 = 0 
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 60° E) 75° 
 
40. Los focos de una elipse están en (–8, 2) y (4, 
2), y su excentricidad es 2/3. Halle A–B+h si la 
ecuación de la elipse es de la forma 
( ) ( )
2 2
x h y k
1
A B
− −
+ = 
A) 34 B) 38 C) 44 
D) 48 E) 58 
 
41. Una elipse con centro en el origen de coor-
denadas, tiene un foco en F(4; 0) y su 
excentricidad es 1/2, entonces su ecuación es: 
A) 16x2 + 25y2 = 400 B) 8x2+ 3y2 = 192 
C) 16x2 + 9y2 = 144 D) 3x2+ 8y2 = 192 
E) 3x2 + 4y2 = 192 
 
42. Determine la ecuación de la elipse con eje 
focal paralelo al eje X, si es tangente a la 
circunferencia : x2+y2–6x+4y–12=0 que 
contiene a los focos: 
x2 + 2y2 – 6x + 8y + 33 = 0 
x2 + 2y2 – 6x – 8y + 33 = 0 
x2 + 2y2 + 6x – 8y – 33 = 0 
x2 + 2y2 + 6x + 8y – 33 = 0 
x2 + 2y2 – 6x + 8y – 33 = 0 
 
43. Una elipse cuyos focos son puntos de trisec-
ción del eje mayor, tiene su centro en el origen 
de un sistema rectangular y como directriz la 
recta x – 9 = 0. Halle la longitud del eje menor. 
A) 2 B) 2 2 C) 4 2 
D) 8 2 E) 12 2 
 
44. Calcule (en u2) el área de un cuadrado 
inscrito en la elipse. 
E: 4x2 + 3y2 – 8x + 12y – 32 = 0 
A) 167/15 B) 229/17 C) 287/19 
D) 377/15 E) 192/7 
 
45. La puerta de una catedral es un rectángulo 
que termina en la parte superior en una 
semielipse. El ancho de la puerta es de 6 metros, 
las partes laterales de la puerta tienen una 
altura de 10 metros y en la parte central la altura 
es 12 metros. Calcule aproximadamente (en 
metros) la altura de la puerta a 2 metros de una 
de las paredes laterales. 
A) 11.2 B) 11.3 C) 11.5 
D) 11.7 E) 11.9 
 
46. El arco de un túnel es de forma semielíptica 
tiene un ancho en la parte más baja de 16m y una 
altura en el centro de 6m, que ancho tiene el 
túnel a la mitad de su altura. 
A) 3 B) 2 3 C) 3 3 
D) 4 3 E) 8 3 
 
47. Un puente tiene la forma de un arco de 
semielipse con diámetro mayor de 150 m y su 
altura máxima 45m. Halle la altura en metros de 
las columnas que soportan el puente, si están 
colocadas a 50m de los extremos del arco. 
A) 10 3 B) 20 5 C) 22,5 
D) 30 2 E) 35 2 
 
48. Determine las ecuaciones de las tangentes a 
la elipse E: x2 + 4y2 = 10, tales que sean 
paralelas a la recta L: 3x+2y+7=0. 
Indique una de las tangentes. 
3x + 2y + 5 = 0 B) 3x + 2y + 4 = 0 
C) 3x + 2y + 3 = 0 D) 3x + 2y + 2 = 0 
E) 3x + 2y + 10 = 0 
 
49. Calcule el valor de n (n>0) para que la recta 
y = 2x+n sea tangente a la elipse 9x2+4y2 = 36. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
50. Dada la ecuación de una elipse
2 2
2
(x 3) (y 6)
E : 1
9a
+ −
+ = ; a > 3, y sea la recta 
L: 3x – 4y + 21 = 0 que contiene al foco de la 
elipse. Calcule 2W a 11= + . 
A) 2 5 B) 3 3 C) 6 
D) 2 15 E) 5 3 
 
PROF: FELIPE GALLEGOS DE TOMÁS