3 Distribución lineal y uniforme de carga - Arturo Lara (1)

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5- 3 Distribución lineal y uniforme de carga
Como un ejemplo de la aplicación de (5-11) para encontrar el potencial, considérese la carga lineal uniforme e infinita para la que ya se ha encontrado antes el campo eléctrico y que fue dado por (3-9) como E — (X/2iTGop)p. Dado que E sólo tiene componente p, a partir de (5-3) y (1-85) se puede observar que 0 es independiente de <p y z, es decir, que es función exclusiva de p. Esto ya demuestra que las superficies equipotenciales serán cilindros coaxiales cuyo eje coincidirá con la línea de carga, ya que 0 = const. implica que p =const. Ya que se puede utilizar la trayectoria más conveniente, tómese la que se ilustra en la figura 5-5; la trayectoria está sobre un plano perpendicular a la distribución de carga, la cual lo intersecta en el origen. Se integrará a lo largo de la recta en la dirección constante de p a partir del punto inicial 1 hasta el punto final 2, cuyas distancias a la carga son p, y p2 respectivamente. De la figura puede observarse que c/s ~- pdp para este caso, por lo que el integrando de (5-11) es E • puf p = Epdp de acuerdo con (1-21), de tal forma que (5-11) se convierte en:
^P2)~^P\) =
Xdp
Jp, 2moP
(5-26)
Este método proporciona la diferencia de potencial entre los dos puntos, pero se desea saber el valor absoluto de 0 en cada uno de ellos. El término logarítmico en (5-26) puede escribirse como [( lnp2) — (—1 np t)]
2
^2
1
Pi
p
Figura 5-5. Trayectoria de integración utilizada para encontrar la diferencia de potencial debida a una línea de carga uniforme.
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y, dado que la constante aditiva se cancelará en el miembro izquierdo, por comparación de ambos miembros de (5-26) se puede llegar a la conclusión de que 0 tiene la forma
W=-^-lnp+C	(5-27)
donde C es alguna constante. Ahora, a medida que p °°, el Inp -> 00 de tal manera que si se trata de mantener la convención de que 0 se anula en el infinito, se debe concluir que C es también igual a infinito. La razón de la presente dificultad consiste en que en este caso la carga no es finita, sino que se extiende hasta el infinito, mientras que la convención de que 0 se anula en el infinito partió de (5-2) y de la suposición de que toda la carga quedaba confinada a un volumen finito, como fue el caso en el ejemplo anterior de la esfera. Aunque en esta etapa todavía resulte incómodo este hecho, lo cierto es que el0 de (5-27) da el campo E correcto por medio de (5-3). A veces resulta más conveniente expresar (5-27) dé otra manera; si se introduce una nueva constante po, haciendo que C = Xlnpo/27reo, entonces (5-27) luce de esta forma:
^=2^ln<7)	<5-28>
Cuando p - po, 0 (po) = 0, de tal manera que el significado físico de po resulta ser la distancia escogida para que 0 sea igual a cero, ya que esto no puede ocurrir en el infinito. La derivada de 0, tal como se obtiene de (5-28) y que da E, no se afecta por la elección de po, como tampoco se afecta la diferencia de potencial, la cual todavía es igual a (5-26).
Dado que estos resultados se originaron de la suposición de que la carga lineal ya era infinitamente larga, resulta de gran utilidad volver a enfocar el problema desde un nuevo punto de vista, comenzando con una carga lineal uniforme de longitud finita para la cual se obtendrá un resultado finito, y después observando que ocurre a medida que la longitud de la línea crece hasta el infinito. Así se podrá obtener también una manera lógica para elegir p0. Considérese la distribución de carga que se muestraenla figura 3-8 para X = const., y calcúlese 0 para el punto general P (p, <p, z). Dado que la distribución de carga coincide con el eje z, r = z' z, mientras que r +0 S zz, de acuerdo con (1-81). Por lo tanto, R—pp + (z — z')z, de manera que R - [p2 + (z — z')2 ]1 /2 y, dado que ds = dz' para este caso, (5-90) se convierte en:
X r ^2
~ 4^0 J-L}
dz'
[P2+(z-y)2]'/2
La integral es fácil de evaluar por medio de tablas, resultando
X . í¿ + ¿i + [p2 + (¿ + £1)2]1/2
	jnJ 	L	
(5-29)
(5-30)
[Se deja como ejercicio verificar que cuando (5-30) se usa en (5-3), se obtiene la misma E que se encontró por evaluación directa en el ejercicio 3-11.] Supóngase ahora que la línea de carga es muy larga, pero todavía no infinita, es decir, que£2 >p, Á2>iz I, Y¿1 >lzl, de modo que se pueda obtener una buena aproximación de 0 en situaciones en las que el punto de campo no está muy cerca de los extremos de la distribución de carga ni muy lejos de ella en relación a su longitud. El numerador del argumento del logaritmo en
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El potencial escalar
(5-30) no presenta ningún problema y es aproximadamente igual a 2LX, dado que se puede eccribir z + Lx = Lx, por lo que se puede despreciar a p en comparación con . Se debe tener mucho cuidado con el denominador, ya que el omitir z y p se anularía; por esta razón se le desarrolla en una serie de potencias en términos de una cantidad pequeña apropiada, y se toma el término no nulo de menor orden. Se utiliza la expresión
(l±.v)l/2=l±U -i.v2± ...
(5-31)
aunque solamente se requiera de los primeros dos términos y el signo superior. Si ahora se factoriza ¿2 — z, el denominador queda como
“ 1 +
P2
\2
'2
Al sustituirlo en (5-30) junto con 2LX en el numerador, se obtiene
.	x , M¿2¿,\ _ x r(4¿2¿,)i/2
. l.n I	o	I n	ft
4^o \ p2 ) 2^o	P
(5-32)
que es exactamente de la forma (5-27) ó (5-28). Se llega así a la misma expresión general de 0 a medida que se tiende al límite de una recta infinita. Nótese que (5-32) es independiente de z, lo cual es razonable ya que si uno no se acerca demasiado a los extremos de esta recta muy larga, un desplazamiento paralelo a la recta lleva a un punto desde donde la distribución de carga parece ser esencialmente la misma.
Si ahora se deja que ¿2 Y M tiendan a infinito en (5-32), se vuelve a obtener un valor para 0. Esta manera de resolver el problema no ha hecho desaparecer los valores infinitos, pero permite tener una idea más clara de cómo se producen.
Existe un caso muy interesante en el que esta ambigüedad en 0 desaparecen por la naturaleza misma del sistema.
Ejemplo
Dos cargas lineales paralelas y de signo opuesto. Considérese el sistema formado por una carga lineal uniforme muy larga de densidad X y otra de densidad -X. Se consideran valores de ¿2 Y L\ que se muestran en la figura 5-6. La distancia p en (5-32) para la variable en coordenadas cilindricas, pero resulta claro que es la distancia perpendicular de la línea de carga al punto de campo P; en este caso, las distancias se indican como p + y p . en la figura. Si se supone que L2 y Lx son ya suficientemente grandes, se puede utilizar (5-32). De esta manera, los potenciales individuales debidos a estas dos cargas lineales son
0+ = T	111
27T€O
P+
<t>- =
X 1
5	ln
277€o
(4¿2¿-,)l/2 ~
P-
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Figura 5-6. Dos cargas lineales paralelas de signo opuesto.
de manera que el potencial total en P es
(5-33)
y la dependencia en ¿2 yM ha desaparecido. Ahora se puede considerar que Z2 Y-^i tienden a infinito, y el resultado sigue siendo sin ambigüedades el mismo de (5-33). En un caso, específico, p + y p . deben ser evaluadas en función del sistema de coordenadas particular que se esté utilizando. Como ilustración de este punto, considérese el caso en que las cargas lineales son paralelas al eje z y que la recta de longitud 2a entre ellas descansa sobre el eje x, estando el origen a la mitad de la distancia entre ellas y P sobre el plano xy, como se indica en la figura 5-7. Se utilizan las coordenadas polares p y para especificar la posición de P. Al aplicar la ley de los cosenos, se encuentra que p2 —a1 +p2 ~2ap eos y p2 ~~= a2 +p2 + 2ap eos <p, de modo que (5-33) puede escribirse
X , l p \ X / a2 + p2 + 2apcostp
<KP,<p)= 4^Tln 	2 =	2 , 2 n	
\P+¿ /	\ a2+ p2 — 2ap eos tp
(5-34)
Figura 5-7. Geometría para el potencial de dos cargas lineales paralelas al eje z.
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El potencial escalar
y de acuerdo con (5-3) y (1-85), las componentes de E son
E =	=
P dp 2t7€0
(p — acos<p) (p + acos<p) 1 Xa(p2 —a2)cos<p
2	2	_	'	'
P+	P-2	2
7re0P+ P-
(5-35)
_ 1 3</> _ Xa(p2 + a2)sén<p
* p 9<p
(5-36)
2	2
77,€OP +¿P —
mientras que Ez = —9</>/32 = 0.
Las superficies equipotenciales 0 = const. están dadas por (5-34) como
2
= e4^/x = const	(5-37)
P +
Esta ecuación es más fácil de interpretar en coordenadas rectangulares; por inspección de la figura 5-7 se ve que resulta
(£±£¿±/=e4^/A
(x — a)2 + y2
lo que, con un poco de álgebra se puede expresar como
(x-acoth,)2+/=(^
(5-38)
Figura 5-8. Equipotenciales (sólidas) y líneas de campo eléctrico (punteadas) para dos cargas lineales de signo opuesto paralelas al eje z.
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Figuras 5-9.Relación entre Fy un desplazamiento a lo
largo de una línea de E.
donde r] - 2tt6o0/X. Esto no es sino la ecuación de una circunferencia de radio a/senhr? cuyo centro está desplazado una distancia a cotlu? sobre el eje x. En otras palabras, las superficies equipotenciales son cilindros cuyos ejes son paralelos al eje z cuyas intersecciones con el plano xy son las circunferencias dadas por (5-38). Estas circunferencias se indican como curvas sólidas en la figura 5-8. Nótese que aquéllas cuyo centro queda sobre el eje x positivo corresponden a 0 > 0, mientras que las que quedan sobre el eje x negativo corresponden a 0 < 0. Nótese también que el plano ys (x = 0), es la superficie equipotencial para 0 = 0; es fácil ver que esto es correcto a partir de la figura 5-7 en la que cada punto sobre el eje y tiene p+ = p _, haciendo que 0 = 0, de acuerdo con 5-33).
Las líneas de E son perpendiculares a estas equipotenciales como ya se sabe, y se muestran en la figura 5-8 como líneas punteadas. Los resultados de este caso pueden ser usados para ilustrar cómo se puede encontrar una ecuación explícita para estas curvas. Como ya se ha mencionado, una línea de E se define tangente a la dirección de E en el punto correspondiente. Por lo tanto, sí ds i y representa un pequeño desplazamiento a lo largo de una línea de E (línea de fuerza), es necesariamente paralelo a E en ese punto; esto se muestra en la figura 5-9. Por lo tanto, se puede escribir
<7sjf = kE
(5-39)
dado que tienen la misma dirección, y donde k es una constante de proporcionalidad de dimensiones apropiadas. Se puede usar (5-39) para obtener una ecuación diferencial para la curva que describe la línea de E.
Para poder aplicar (5-39) en el caso particular anterior, nótese que dsyy es igual a dx según se expresa en (1-82), donde r es el vector de posición de cada uno de los puntos de la curva. Dado que la línea de E descansa sobre el plano py>, dz = 0 por lo que (5-39) queda
dpp + pd(pw= k(Epp -I- EqW)
(5-40)
Al igualar componentes se obtiene
dp = kEp
y	pdcp = kE(p
y se puede ahora eliminar k dividiendo la primera ecuación por la segunda. El resultado es
El miembro derecho de (5-41) es una función conocida de p y <0, que, en principio, hace posible integrar esta ecuación para encontrar p en función de <p, es decir, la ecuación de la línea de fuerza.
En este caso, si se sustituye (5-35) y (5-36) en (5-41), se encuentra que
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El potencial escalar
1 dp _ (p2 —u2)cos<p
P d<P (p2 + a2)sin<)p
o sea,
(p2 + ax)¿/p _ eos <pd<p	^2)
p(p2-a2) *m<P
Esta ecuación puede integrarse con ayuda de tablas para tener
ln( -	— = Insentp + In K
\ P /
donde la constante de integración se escribe en función de la constante K. De este resultado se desprende que la ecuación deseada es
p2 — a2 = Kpsencp	(5-43)
Para cada valor de K se obtiene una línea de fuerza correspondiente. Si se expresa (5-43) en coordenadas rectangulares con la ayuda de (1-74) y (1-75), se ve que puede escribirse como
x2 + (y-^K)2 = a2 + ^K)2	(5-44)
lo que demuestra que las líneas de E también son arcos de circunferencia; una circunferencia dada tiene un radio (a2 + \/4K 2)1/2 y su centro se encuentra desplazado una distancia 1/2 K sobre el eje y. Estas son precisamente las curvas graficadas con líneas punteadas en la figura 5-8 y se puede apreciar, como era de esperarse, que se originan en las cargas positivas y terminad en las negativas, ya que de (5-43) se desprende que cuando y?= 0 ó tt, p = ±a ó, de acuerdo con (5-4), que x = ±a cuando y = 0.