3 El rotacional y las componentes tangenciales - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

8- 3 El rotacional y las componentes tangenciales
El teorema de Stokes (1-67) combinado con (9-1) conduce a
5f-¿/s= f (VxF)-¿/a= f c(r)-¿/a
C JS	F
(9-8)
Se aplica esto a una pequeña trayectoria rectangular construida en la capa de transición y perpendicular a la superficie de discontinuidad, como se muestra en la figura 9-5; los lados de longitud A s dan contribuciones de ambas regiones. Las flechas indican el sentido de la integración a lo largo de la trayectoria C; tx y i2 son vectores unitarios en sus direcciones respectivas de integración y son paralelos a la superficie de discontinuidad. El vector n es el vector normal a la superficie encerrada por la trayectoria y es paralelo a la superficie entre 1 y 2; así ñ' es perpendicular a A, el vector normal a la superficie. La figura también muestra un vector tangencial, t, paralelo al plano de C definido de manera tal que t2 = t y fi = —f. Por lo tanto. A, f y n forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente perpendiculares que satisfacen las relaciones análogas a (1-25), es decir,
ñ' = ñXt í = nXñ A = tXñ'	(9-9)
El área vectorial del rectángulo, según (1-52), es nhAs. Al aplicar (9-8) a esta situación se obtiene
Figura 9-5 Superficie usada para encontrar la condición de frontera a partir del teorema de Stokes.
El rotacional y las componentes tangenciales
175
(j) F-ds = F2-í2As + Ff i¡ Ay + W
= í • (F2 - FjAy + ^ = c • ñ'/zAy	(9-10)
donde F2 y Fx son los valores de F en sus respectivas regiones, y^fes la contribución a la integral de línea que resulta de los extremos de la trayectoria. De nuevo, desde un punto de vista estricto, los valores de F2, Ft ye son valores promedio, pero como As y 7/As son muy pequeños, se pueden tomar los vectores como casi constantes. Si se remplaza t por la expresión central de (9-9) y se utiliza (1-29), se puede escribir (9-10) como
ñ-[ñX(F2 — F,)-AcjAy + ^Zlí =0	(9-11)
Se deja ahora que la capa de transición vuelva a encogerse a cero, de modo que Zz->0 mientras que As se mantiene constante. De manera similar a la anterior será proporcional a h y se anulará en este proceso. Una vez realizado lo anterior, se observa que As puede cancelarse de ambos miembros de lo que queda de (9-11), por lo que se llega a
ñ-[ñX(F2-Fj)-lim(Ac)] =0	(9-12)
La orientación de la trayectoria de integración fue completamente arbitraria, por lo que n corresponde aúna dirección arbitraria en la superficie. La única posibilidad de que (9-12), sea siempre verdadera bajo estas circunstancias se tiene cuando el término entre corchetes se anula; así se obtiene
ñX(F2-F1) = lim(Ac) = lim[A(VxF)]	(9-13)
h—>0	h—>0 L
como resultdo final.
Se puede poner (9-13) en una forma más fácil de interpretar. Escríbase primero F como la suma de su componente normal a la superficie de separación (la componente normal FH) y su componente paralela a la superficie (la componente tangencial Fr es decir,
F = F„ + F, = F„ñ + F,	(9-14)
en consecuencia,
ñXF = F„ñXñ + ñXF, = ñXF,	(9-15)
debido a (1-24). Usando este resultado, se observa que (9-13) en realidad incluye solamente las componentes tangenciales de F:
ñX(F2í —Flz) = lim(Ac)	(9-16)
h-+0
Se puede, de hecho, escribir este resultado de una forma aún más explícita en función de las componentes tangenciales. Por medio de (1-23), (1-30), (1-17) y (9-14) se encuentra que
(ñ X F) X ñ = F — Fnñ = F,
(9-17)
176
Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad
Así, al realizar un producto cruz de ambos miembros de (9-13) con ñ y utilizar (9-17), se obtiene
F, — F. = lim [/j(cXñ)] = lim {//[(VxF)Xñl}	(9-18)
h-^o	J /, .o l L	J >
y si esta diferencia no es igual a cero, se tiene discontinuidad en las componentes tangenciales de F.
Al combinar estos resultados con los obtenidos en la sección anterior, se puede ver que se ha logrado obtener una manera de encontrar cómo cambia el vector F en la superficie de discontinuidad, a medida que se atraviesa la superficie de frontera. Supóngase que se conoce F,. El primer paso consiste en descomponerlo en sus componentes normal y tangencial, Fln y F]t. Se obtiene la componente normal de F2 por medio de (9-7) y su componente tangencial por (9-18). Conociéndolas, se puede obtener el vector F2 al combinarlas de acuerdo con (9-14). Dado que en principio, tanto la componente normal como la tangencial pueden cambiar a medida que se atraxicsa la superficie de frontera, se observa que el vector p! puede tener magnitud y dirección diferentes a ambos lados de la superficie de discontinuidad.